BAB V - Simponi MDP

BAB VI
PENERAPAN DIFFERENSIASI
6.1 Persamaan garis singgung
Bentuk umum persamaan garis adalah y = mx + n, dimana m adalah koeffisien arah
atau kemiringan garis dan n adalah penggal garis. Sekarang perhatikan Gambar 6.1.
y
dy
f(x + x)
y
f(x)
l1
x = dx
f(x)
l
0
x
x
x+x
Gambar 6.1
Jadi dapat disimpulkan bahwa kemiringan garis yang menyinggung titik (x,y) pada f(x)
adalah
Jika garis tersebut menyinggung titik P(x1,y1) maka kemiringannya adalah
128
Contoh 6.1
Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva y = x2 + x -3 di titik P(2,3)
Penyelesaian
Kemiringan garis singgung yang menyinggung titik P(2,3) adalah
Persamaan garis : y = mx + n. Karena menyinggung titik P(2,3) maka
3 = 5(2) + n  n = –7.
Jadi garis singgung yang menyinggung titik P(2,3) adalah
y = 5x – 7
6.2 Persamaan garis normal
Garis normal adalah garis yang tegak lurus terhadap garis singgung. Dari pembahasan
terdahulu kita telah mengetahui bahwa dua garis dikatakan saling tegak lurus jika
perkalian kemiringan garisnya sama dengan -1; atau dalam bentuk rumus dapat ditulis
menjadi,
dimana m1 adalah kemiringan garis singgung dan m2 adalah kemiringan garis
normalnya.
Contoh 6.2
Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di titik (1,6) pada kurva
y = 3x2 – 2x + 5
Penyelesaian
Jadi,
Persamaan garis singgung y1 = m1x1 + n1  y1 = 4x1 + 2
Contoh 6.3
Tentukan persamaan garis singgung, garis normal dan titik singgung pada t = 2
Penyelesaian
Titik singgung untuk t = 2 adalah (–2,12)
129
Persamaan garis singgung y = 12x + 36
Soal-soal
1. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal dari kurva:
2. Tentukan persamaan garis singgung, garis normal dan titik singgung dari fungsi
parameter
5.3 Kelengkungan (Curvature)
Besarnya kelengkungan suatu kurva di titik tertentu dipengaruhi seberapa cepatnya
perubahan arah dari kurva di titik tersebut. Jika perubahan arah suatu kurva di titik
tertentu terjadi secara berangsur-angsur maka harga kelengkungannya besar.
Sebaliknya jika perubahan arah kurva terjadi secara mendadak maka kelengkungannya
kecil.
5.3.1 Jari-jari kelengkungan
y
C

R
R
Q
s
P
 +

0
Gambar 5.2
130
x
Pada Gambar 6.2 dapat dilihat bahwa garis normal CP dan CQ berpotongan di
titik C. Panjang busur PQ = s. Jika jarak titik P dan titik Q sangan kecil, maka CP
= CQ = R dan panjang busur s  0. Telah diketahui bahwa panjang busur
suatu lingkaran yang dibatasi oleh sudut  adalah R. Sehingga panjang busur,
s

y
x
Gambar 6.3
Perhatikan Gambar 6.3
Jadi jari-jari kelengkungan di titik (x,y) adalah
Sedangkan jari-jari kelengkungan di titik (x1,y1) adalah
131
Contoh 6.4
Tentukan jari-jari kelengkungan dari hiperbola xy = 9 si titik (3,3)
Penyelesaian
6.3.2 Pusat kelengkungan ( Center of Curvature )
y
C

R
k
L
P(x,y)

0
h
x1
Gambar 6.4
132
x
Dari Gambar 6.4 didapat
LC = R cos 
LP = R sin 
h = x1 – LP
k = y1 + LC
Sehingga,
Contoh 6.5
Tentukan pusat kelengkungan dari kurva pada contoh 6.4
Penyelesaian
Soal-soal
1. Tentukan jari-jari kelengkungan dan pusat kelengkungan untuk kurva :
a) y = x2 + lnx–24 di titik (1,–23)
c) y2 = –x2 +4x – 3 di titik (1,0)
2. Tentukan jari-jari dan pusat kelengkungan dari fungsi parametrik
6.4 Nilai ekstrim
Misal terdapat suatu hasil pengukuran seperti yang situnjukkan pada Gambar 6.5.
Pengukuran tersebut dapat berupa pengukuran temperatur, tekanan atau
pertumbuhan suatu jenis bakteri terhadap waktu atau pengukuran lainnya. Jika kita
perhatikan Gambar 6.5, harga pengukuran meningkat pada [x0,x1], menurun pada
[x1,x2] dan seterusnya hingga konstan pada selang [x6 , x7].
Definisi 6.4.1
Misal suatu fungsi terdefinsi pada selang I. Jika x1 dan x2 adalah dua buah bilangan yang
terletak pada selang I, maka :
i) fungsi f naik pada selang I, jika x1 < x2 menghasilkan f(x1) < f(x2)
ii) fungsi f naik pada selang I, jika x1 < x2 menghasilkan f(x1) > f(x2)
iii) fungsi f konstan selang I jika f(x1) = f(x2) untuk setiap harga x1 dan x2
133
y
0
x0 = a
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x
x7
Gambar 5.5
Teorema 6.4.2
Jika suatu f kontinu pada selang tertutup [a,b] maka f setidak-tidaknya mempunyai
satu nilai maksimum dan minimum [a,b].
Contoh 6.6
Jika diketahui f(x) = x2 + 5x + 6, tentukan nilai ekstrim f untuk selang-selang berikut :
a) [-2,0]
b) (-3, 1)
c) [-3,-2)
d) (-1,1]
Penyelesaian :
y
-2 0
y
x
-3
(a)
(b)
y
-3
x
0 1
-2 0
y
x
-1 1
(d)
(c)
Gambar 5.6
134
x
a) Pada selang [-2,0]
Maksimum =f(0)=6
Minimum = f(-2) = 0
b) Pada selang (-3,1)
Maksimum tidak ada (f tak kontinu pada x=-3)
Minimum tidak ada (f tak kontinu pada x = 1)
c) Pada selang [-3,-2)
Maksimum =f(-3)=0
Minimum tidak ada (f tak kontinu pada x = -2)
d) Pada selang (-1,1]
Maksimum tidak ada (f tak kontinu pada x = -1
Minimum = f(1) = 12
6.4.1 Nilai Ekstrim Lokal
Istilah nilai ekstrim lokal sering digunakan apabila terdapat suatu selang
terbuka yang mengandung bilangan c sedemikian rupa sehingga f mempunyai
nilai terbesar (maksimum) atau terkecil (minimum). Setiap harga f yang
mempunyai harga maksimum atau minimum disebut ekstrim lokal.
Definisi 6.4.3
Jika c adlah bilangan yang terletak dalam daerah definisi (domain) fungsi, maka
i) f(c) adalah maksimum lokal f jika terdapat suatu selang terbuka (a,b) yang
mengandung c sedemikian rupa sehingga f(x)  f(c) untuk setiap x pada
(a,b).
ii) f(c) adalah minimum lokal f jika terdapat suatu selang terbuka (a,b) yang
mengandung c sedemikian rupa sehingga f(x)  f(c) untuk setiap x pada
(a,b).
y
Maksimum
lokal
0
a
x
Minimum
lokal
b
x1
c
x
Gambar 6.7
Teorema 6.4.4
Misal c adalah bilangan yang terletak pada selang terbuka (a,b). Suatu fungsi f
dikatakan mempunyai ekstrim lokal pada titik c jika f’(c) = 0.
Teorema 6.4.5
Misal c adalah bilangan yang terletak pada selang terbuka (a,b). Suatu fungsi f
dikatakan tidak mempunyai ekstrim lokal pada titik c jika f’(c) ada dan tidak
sama dengan 0.
135
Teorema 6.4.6
Misal c adalah bilangan yang terletak pada selang tertutup [a,b]. Suatu fungsi f
dikatakan mempunyai ekstrim lokal pada titik c jika f’(c) = 0.
Teorema 6.4.7
Jika c merupakan daerah definisi dan merupakan bilangan kritis f, maka f’(c)= 0
6.4.2 Nilai Ekstrim Mutlak
Jika f(c) adalah nilai maksimum mutlak dari fungsi f, maka kita dapat
menyimpulkan bahwa titik (c, f(c)) merupakan titik tertinggi pada garafik f.
Sebaliknya f(c) adalah minimum mutlak dari fungsi f, maka titik (c,f(c))
merupakan titik terendah pada grafik f. Nilai maksimum dan/atau minimum
sering disebut juga dengan nilai ekstrim fungsi f.
Teorema 6.4.8
Misal fungsi f terdefinisi pada suatu himpunan bilangan ril S. Jika c terletak pada
S, maka :
i) f(c) adalah nilai maksimum mutlak f jika f(x)  f(c) untuk setiap nilai x yang
terletak dalam S.
ii) f(c) adalah nilai minimum mutlak f jika f(x)  f(c) untuk setiap nilai x yang
terletak dalam S.
Tuntunan untuk medapatkan nilai-nilai ekstrim fungsi f yang kontinu pada
selang tertutup [a,b] :
1. Tentukan seluruh nilai kritis f pada selang terbuka (a,b)
2. Tentukan titik ujung
a) Jika fungsi f terletak pada selang tertutup [a,b] maka titik ujungnya adalah
a dan b.
b) Jika fungsi f terletak pada selang terbuka (a,b) maka f tidak mempunyai
titik ujung.
c) Jika fungsi f terletak pada selang setengah terbuka (a,b] maka titik
ujungnya adalah b.
d) Jika fungsi f terletak pada selang setengah terbuka [a,b) maka titik
ujungnya adalah a.
3. Hitung nilai f(c) untuk setiap bilangan kritis c yang didapat dari nomor 1
diatas.
4. Hitung harga f pada setiap titik ujung.
5. Nilai maksimum dan minimum dari fungsi f adalah nilai terbesar dan terkecil
yang dihitung pada nomor 3 dan 4 diatas.
Tuntunan untuk medapatkan nilai-nilai ekstrim fungsi f yang kontinu pada
selang terbuka (a,b) :
1. Tentukan seluruh nilai kritis f pada selang terbuka (a,b).
2. Hitung nilai f(c) untuk seluruh nilai kritis.
3. Nilai maksimum dan minimum dari fungsi f adalah nilai terbesar dan terkecil
yang dihitung pada nomor 2 diatas.
Tuntunan untuk medapatkan nilai-nilai ekstrim fungsi f yang kontinu pada
selang setengah terbuka [a,b) :
1. Tentukan seluruh nilai kritis f pada selang terbuka (a,b).
2. Hitung nilai f(c) untuk seluruh nilai kritis.
136
3. Hitung nilai f(a)
4. Nilai maksimum dan minimum dari fungsi f adalah nilai terbesar dan terkecil
yang dihitung pada nomor 2 dan 3 diatas.
Tuntunan untuk medapatkan nilai-nilai ekstrim fungsi f yang kontinu pada
selang setengah terbuka (a,b] :
1. Tentukan seluruh nilai kritis f pada selang terbuka (a,b).
2. Hitung nilai f(c) untuk seluruh nilai kritis.
3. Hitung nilai f(b)
4. Nilai maksimum dan minimum dari fungsi f adalah nilai terbesar dan terkecil
yang dihitung pada nomor 2 dan 3 diatas.
Contoh 5.7
Jika diketahui f(x) = 2x3 - 3x2 – 12x + 10, tentukan nilai maksimum dan
minimum f pada selang tertutup [-4,3]
Penyelesaian :
Menentukan bilangan kritis (lihat teorema 5.4.7)
f(x) = 2x3 - 3x2 – 12x + 10
f’(x) = 6x2 – 6x – 12 = 0
6x2 – 6x – 12 = 0  6(x2 – x – 2) = 0  6(x-2)(x+1) = 0
x1 = 2 ; x2 = -1
f(x1) = f(2) = 16 – 12 – 24 + 10 = -10
f(x2) = f(-1) = -2 – 3 + 12 + 10 = 17
Titik ujung : -4 dan 3
f(-4) = -64 – 48 + 48 + 10 = -54
f(3) = 54 – 27 -36 + 10 = 1
Jadi : f(2) adalah minimum lokal
f(-1) adalah maksimum lokal dan maksimum mutlak
f(-4) adalah minimum mutlak
y
17
-4
-3 -2
-1
1 2 3
0
Gambar 6.8
137
x
Soal-soal
1. Tentukan nilai-nilai ekstrim dari fungsi berikut ini serta gambarkan grafiknya!
a) f(x) =
1 2
x  2x ; [2,5]
2
c) f(x) = 3x2  10x  7 ; [-1,3)
b) f(x) = 5  6x2  2x3 ; (-3,1]
d) f(x) = x 4  5x2  4 ; (-2,2)
2. Tentukan nilai-nilai kritis dari fungsi-fungsi berikut ini!
a) f(x) = 4x2  3x  2
c) f(x) = 2x3  x2  20x  4
d) f(x) = 4x3  5x2  42x  7
b) f(x) = 2x + 5
6.5 Kecekungan dan kecembungan
Jika terdapat sebuah persamaan lingkaran x2 + y2 = r2, maka persamaan tersebut dapat
ditulis menjadi
atau
y
y
-r
-r
0
r
r
x
x
(a)
(b)
Gambar 6.9
Jika kita perhatikan Gambar 6.7 (a) maka akan terlihat bahwa garis singgung yang
menyinggung kurva pada sembarang titik selalu berada pada bagian atas kurva pada
selang terbuka (–r,r). Sedangkan pada Gambar 6.7 (b) garis singgung yang
menyinggung kurva selalu berada bagian bawah kurva pada selang terbuka (–r,r).
Bentuk Gambar 6.7 (a) biasanya disebut cembung keatas atau cekung kebawah dan
Gambar 6.7 (b) biasanya disebut cembung kebawah atau cekung keatas.
Definisi 6.5.1
Kurva f dikatakan cembung ke bawah (cekung keatas) pada selang (a,b) jika garis
singgung yang menyinggung kurva pada sembarang titik pada selang (a,b) selalu
terletak pada bagian bawah kurva f. Sebaliknya kurva f dikatakan cembung keatas
(cekung kebawah) jika garis singgung yang menyinggung kurva pada sembarang titik
pada selang (a,b) selalu terletak pada bagian atas kurva f.
138
Kurva f pada Gambar 5.10 cembung keatas pada selang (a,b) dan cembung kebawah
pada selang (b,c).
y
cembung ke bawah
cembung keatas
0
a
b
c
x
Gambar 6.10
Definisi 6.5.2
Jika pada selang (a,b) terdapat sembarang bilangan ril xo dan harga turunan kedua f
pada x = xo atau f’’(xo) < 0 maka kurva f pada selang tersebut cekung kebawah atau
cembung keatas. Jika pada selang (a,b) harga f’’(xo) > 0, maka kurva f pada selang
tersebut cekung keatas atau cembung kebawah.
Definisi 6.5.3
Misal kurva f mempunyai persamaan y = f(x) dan kontinu di titik x = xo. Jika f’’(xo) = 0
dan disekitar x = xo berlaku f’’(x)>0 untuk x<xo dan f’’(x) < 0 untuk x>xo atau berlaku
f’’(x)<0 untuk x<xo dan f’’(x) > 0 untuk x>xo, maka titik (xo,f(xo)) merupakan titik
belok dari kurva tersebut.
Contoh 6.8
Tentukan daerah cembung keatas dan cembung kebawah jika diketahui :
f(x) = 6 – 5x + x2.
Penyelesaian :
f(x) = 6 – 5x + x2 ; f’(x) = -5 + 2x ; f’’(x) = 2
Karena f’’(x) > 0 untuk sembarang bilangan ril xo, maka kurva f cembung kebawah.
Contoh 6.9
Jika diketahui persamaan f(x) = 2+x+3x2-x3, tentukan daerah pada kurva f yang
merupakan daerah cembung kebawah, daerah cembung keatas dan titik belok dari
kurva yang dimaksud !
Penyelesaian :
f(x) = 2+x+3x2-x3
f’(x) = 1 + 6x – 3x2
f’’(x) = 6 – 6x
Daerah cembung keatas : f’’(x) = 6 – 6x < 0  x>1
Daerah cembung kebawah : f’’(x) = 6 – 6x > 0  x<1
Titik belok : f’’(x) = 6 – 6x = 0  x=1
139
Soal-soal
Tentukan daerah cembung kebawah, cembung keatas dan titik belok kurva dari
fungsi berikut jika ada!
6.6 Kecepatan dan percepatan sesaat
6.6.1 Kecepatan
Sebelum kita membahas kecepatan dan percepatan sesaat, kiranya kita perlu
mengetahui apa yang dimaksud dengan kecepatan dan percepatan rata-rata.
Kecepatan rata-rata
pada bidang datar didefinisikan sebagai,
dimana s2 dan s1 adalah masing-masing posisi akhir dan awal terhadap titik
acuan. Sedangkan t2 dan t1 adalah waktu yang dibutuhkan untuk mencapai
posisi akhir dan posisi awal. Untuk selisih waktu (t) yang cukup besar, maka
persamaan 6.8 hanya dapat digunakan untuk menentukan kecepatan rata-rata
saja; tidak dapat digunakan untuk menghitung kecepatan untuk suatu saat
tertentu. Sebetulnya persamaan 6.8 dapat digunakan untuk menentukan
kecepatan untuk suatu saat tertentu, dengan catatan t sangat kecil atau dalam
bentuk rumus,
dimana v adalah kecepatan sesaat dan ds/dt adalah turunan pertama dari
lintasan. Lintasan (s) adalah fungsi waktu atau dapat ditulis dalam bentuk s =
s(t).
6.6.2 Percepatan
Percepatan rata-rata
( a ) pada bidang datar didefinisikan sebagai berikut.
dimana v2 dan v1 adalah masing-masing posisi akhir dan awal terhadap titik
acuan. Sedangkan t2 dan t1 adalah waktu yang dibutuhkan untuk mencapai
posisi akhir dan posisi awal. Untuk selisih waktu (t) yang cukup besar, maka
persamaan 6.8 hanya dapat digunakan untuk menentukan percepatan rata-rata
saja; tidak dapat digunakan untuk menghitung percepatan untuk suatu saat
tertentu. Sebetulnya persamaan 6.10 dapat digunakan untuk menentukan
percepatan untuk suatu saat tertentu, dengan catatan t sangat kecil atau dalam
bentuk rumus,
140
dimana a adalah kecepatan sesaat dan dv/dt adalah turunan pertama dari
kecepatan.
Contoh 6.10
Lintasan sebuah partikel ditunjukkan oleh persamaan s = 3t2 – 5t + 2, dimana t
dalam detik dan s dalam satuan meter. Tentukan panjang lintasan, kecepatan
dan percepatan pada saat t = 15 detik.
Penyelesaian
Untuk t = 15 detik :
Didapat : s = 15(45 – 5) = 600 meter
v = 90 – 5 = 85 m/detik
a = 6 m/detik2
Soal
Berikut adalah lintasan partikel yang bergerak dengan percepatan konstan.
Tentukan panjang lintasan dan kecepatan partikel pada waktu t = 50 detik!
s (meter)
240
110
0
10
15
141
t (detik)