TRIGONOMETRI - purwantowahyudi.com

TRIGONOMETRI
5. tan (A + B) =
tan A + tan B
1 − tan A. tan B
6. tan (A - B) =
tan A − tan B
1 + tan A. tan B
Pengertian Sinus, Cosinus dan Tangen
Sin α =
r
y
r
Rumus-rumus Sudut Rangkap :
y
Cos α =
x
r
Tan α =
y
x
α
x
1. sin 2A = 2 sin A cosA
2. cos 2A = cos 2 A - sin 2 A
3. tan 2A =
Hubungan Fungsi Trigonometri :
Rumus Jumlah Fungsi :
1. sin α + cos α = 1
2
2 tan A
1 − (tan A) 2
2
2. tan α =
sin α
cos α
3. sec α =
1
cos α
Perkalian
jumlah/selisih
1. 2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B)
2 2 cos A sin B = sin (A+B) – sin (A-B)
3 2 cos A cos B= cos (A+B) + cos (A-B)
4. -2sin A sin B = cos (A+B) – cos(A-B)
Jumlah/selisih
perkalian
1
4. cosec α =
sin α
1. Sin A + sin B = 2 sin
cos α
sin α
1
1
(A + B) cos (A –B)
2
2
2. Sin A - sin B = 2 cos
1
1
(A + B) sin (A –B)
2
2
5 . cotan α =
6. tan 2 α + 1 = sec 2 α
3. cos A + cos B = 2 cos
7. cot an 2 α + 1 = cos ec 2 α
1
1
(A + B) cos (A –B)
2
2
4. cos A - cos B = - 2 sin
Rumus-rumus Penjumlahan dan Pengurangan :
1. sin (A + B) = sin A cos B + cos A Sin B
2. sin (A - B) = sin A cos B - cos A Sin B
3. cos (A + B) = cos A cos B – sin A Sin B
4. cos (A - B) = cos A cos B + sin A Sin B
www.pintarmatematika.web.id - 1
1
1
(A + B) sin (A –B)
2
2
Kuadrant III :
Sudut-sudut istimewa :
α
00
30 0
45 0
Sin
0
1
1
Cos
1
1
Tan
0
1
2
2
3
3
2
1
2
1
3
60 0
2
1
2
1
2
90 0
3 1
Sin (180 0 + θ ) = -sin θ
Cos (180 0 + θ ) = -cos θ
tan (180 0 + θ ) = tan θ
0
2
3
Kuadrant IV :
~
Sin (360 0 - θ ) = -sin θ
Cos (360 0 - θ ) = cos θ
tan (360 0 - θ ) = -tan θ
Tanda-tanda fungsi pada setiap kuadrant :
Aturan sinus dan cosinus
C
II
I
γ
b
Sin +
III
Tan +
α
IV
β
A
c
Cos +
aturan sinus
Kuadrant I
Kuadrant II Kuadrant III Kuadrant IV
+
+
+
180 0 - α 180 0 + α
+
+
α
Sin
Cos
Tan
360 0 - α
+
-
b
c
a
=
=
sin α
sin β
sin γ
Aturan cosinus
1. a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos α
2. b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos β
Hubungan nilai perbandingan sudut di semua
kuadrant:
Kuadrant I
Sin (90 0 - θ ) = cos θ
Cos (90 0 - θ ) = sin θ
tan (90 0 - θ ) = cotan θ
3. c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos γ
Luas Segitiga
Luas segitiga =
1
ab sin γ
2
=
1
ac sin β
2
=
1
bc sin α
2
Kuadratn II :
Sin (180 - θ ) = sin θ
Cos (180 0 - θ ) = -cos θ
tan (180 0 - θ ) = -tan θ
0
a
Semua +
www.pintarmatematika.web.id - 2
B
Hubungan Koordinat Cartesius dan Koordinat Kutub :
Persamaan dan pertidaksamaan Trigonometri
1. Persamaan
P(x,y)
P(r, α 0 )
koordinat cartesius
koordinat kutub
a. sin x = sin α , maka x1 = α + k. 360 0
x 2 = ( 180 0 - α ) + k. 360 0
y
α0
x
P (x,y) → P (r, α 0 )
r=
b. cos x = cos α , maka x1, 2 = ± α + k. 360 0
c. tan x = tan α , maka x = α + k. 180 0
x2 + y2
α 0 didapat dari tan α 0 =
Rumus umum penyelesaian persamaan trigonometri
adalah :
y
x
Persamaan umum trigonometri adalah :
a cos x + b sin x = c : dimana c = k cos (x - α )
P (r, α 0 ) → P (x,y)
x = r cos α 0 ; y = r sin α 0
dengan k =
a2 + b2 :
persamaan lengkapnya:
jadi , p (x,y) = p(r cos α 0 , r sin α 0 )
a cos x + b sin x = k cos (x - α ) = c
Nilai Maksimum dan Minimum
α didapat dari tan α =
1. Jika y = k cos (x + n π ) dengan k > 0 maka
a. maksimum jika y = k dimana cos (x + n π ) = 1
sehingga (x + n π )= 0
b. minimum jika y = -k dimana cos (x + n π ) = -1
sehingga (x + n π )= π
b
a
Syarat agar persamaan a cos x + b sin x = c mempunyai
jawaban adalah :
c2 ≤ a2 + b2
2. Jika y = k sin (x + n π ) dengan k > 0 maka
a. maksimum jika y = k dimana sin (x + n π ) = 1
π
sehingga (x + n π )=
2
b. minimum jika y = -k dimana sin (x + n π ) = -1
3π
sehingga (x + n π )=
2
2. Pertidaksamaan
Pertidaksamaan-pertidaksamaan trigonometri seperti
sin ax ≤ c, cos ax ≥ c dan sebagainya dapat
diselesaiakan dengan menggunakan langkah-langkah
umum pertidaksamaan seperti :
- Diagram garis bilangan
- Grafik fungsi trigonometri
www.pintarmatematika.web.id - 3
Fungsi Trigonometri:
1. Fungsi Sinus : f(x) = sin x
.
Ciri-ciri grafik fungsi sinus (sinusoida) y = sin x
a. Mempunyai nilai maksimum 1 dan nilai minimu -1
b. Mempunyai amplitudo ½ ( nilai maksimum – nilai minimum) = ½ (1 – (-1)) = ½ .(2) = 1
c. Memiliki Periode sebesar 2 π
d. Periodisitas fungsi : sin (x + k.2 π ) = sin x, k ∈ bilangan bulat
2. Fungsi Cosinus : f(x) = cos x
Ciri-ciri grafik fungsi cosinus : y = cos x
a. Mempunyai nilai maksimum 1 dan nilai minimu -1
b. Mempunyai amplitudo ½ ( nilai maksimum – nilai minimum) = ½ (1 – (-1)) = ½ .(2) = 1
c. Memiliki Periode sebesar 2 π
d. Periodisitas fungsi : cos (x + k.2 π ) = cos x, k ∈ bilangan bulat
www.pintarmatematika.web.id - 4
2. Fungsi Tangen : f(x) = tan x
Ciri-ciri grafik fungsi y = tan x adalah :
a. Nilai maksimum = +~ (positif tidak terhinggaa) dan nilai minimum = - ~ (minus tak terhingga)
b. Mempunyai perioda sebesar π
c. Periodaisitas fungsi tan (x +k. π ) = tan x, k ∈ bilangan bulat
www.pintarmatematika.web.id - 5
UN2010
Contoh Soal :
2. Hasil dari
Soal-soal UN2010 – UN2012
UN2010
1. Himpunan penyelesaian persamaan 2cos2 x – 3 cos x +
π 5π 

6 6 
C.  ,
π 11π 

6 6 
D.  ,
A.  ,
B.  ,
A. - 3
B. -
1 = 0 untuk 0 < x < 2π adalah ….
 π 2π 

3 3 
 2π 4π 
, 
 3 3 
E. 
2
D. 1
sin
A
cos
B
=
sin
(A+B)
+
sin
(A-B)
1
3
= 2
=1
1
3
2
2y-1 = 0
cos x =
x = 60 0 (
π
3
1
2
) dan 300 0 (
5π
)
3
Jawabannya adalah D
UN2010
3. Diketahui (A+B) =
y-1 = 0
x=0
3
2 sin 60 0 cos α 0
sin 60 0
=
=
2 cos 30 0 cos α 0 cos 30 0
(2y -1) (y -1) = 0
π
3
dan sin A sin B =
1
. Nilai dari
4
cos (A – B) = ….
cos x = 1
0
E.
sin(60 + α ) 0 + sin(60 − α ) 0
cos(30 + α ) 0 + cos(30 − α ) 0
2y - 3y + 1 = 0
y=1
3
sin(60 − α ) 0 + sin(60 + α ) 0
=
cos(30 + α ) 0 + cos(30 − α ) 0
2cos2 x – 3 cos x + 1 = 0 ; misal cos x = y
1
2
3
1
3
2 cos A cos B= cos (A+B) + cos (A-B)
Jawab:
y=
1
3
C.
Jawab:
2
π 5π 

3 3 
sin(60 − α ) 0 + sin(60 + α ) 0
= .…
cos(30 + α ) 0 + cos(30 − α ) 0
dan 360 (2 π )
0
tidak memenuhi 0 < x < 2π
π 5π 

3 3 
A. –1
C.
1
2
D.
Himpunan penyelesaiannya adalah  ,
B. -
Jawabannya adalah D
Jawab:
1
2
3
4
-2sin A sin B = cos (A+B) – cos(A-B)
=-
1
{ cos (A+B) – cos(A-B)}
2
-
1
1
{ cos (A+B) – cos(A-B)} =
2
4
-
1
π
1
{ cos ( ) – cos(A-B)} =
2
3
4
www.pintarmatematika.web.id - 6
E. 1
sin A sin B
-
Jawab:
1 1
1
{
– cos(A-B)} =
2 2
4
1
1
(A + B) sin (A –B)
2
2
1
1
Sin A - sin B = 2 cos
(A + B) sin (A –B)
2
2
1
2
1
– cos(A-B) = =2
4
2
cos A - cos B = - 2 sin
1 1
+
= cos(A-B)
2 2
cos(A-B) = 1
=
Jawabannya adalah E
UN2011
4. Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x + cos x = 0,
00 ≤ ≤ 1800 adalah....
A. {450, 1200}
B. {450, 1350}
C. {600, 1350}
D. {600, 1200}
=
E. {600, 1800}
= -
√
=-
= √3
Jawabannya adalah E
Jawab:
UN2011
cos 2x + cos x = 0
6. Diketahui (A+B) = dan Sin A Sin B = , Nilai dari cos (A- B) = …
cos 2x = cos 2 x - sin 2 x = cos 2 x – (1 - cos 2 x)
= 2 cos 2 x - 1
A. -1
sehingga
B. -
C.
D.
Jawab:
cos 2x + cos x = 2 cos 2 x - 1 + cos x = 0
(2 cos x - 1 )(cos x + 1) = 0
2 cos x – 1 = 0
2 cos x = 1
1
2
x = 600
(A+B) =
cos x + 1 = 0
cos x = -1
maka cos (A+B) = cos
= Cos 600 =
cos (A+B) = CosA Cos B – Sin A Sin B
= CosA Cos B –
CosA Cos B = + =
x = 1800 (di kuadran ke-2)
cos x =
cos (A- B) = cos A cos B + sin A Sin B = + = 1
0
0
Himpunan penyelesaiannya adalah 60 atau 180
Jawabannya adalah E
Jawabannya adalah E
UN2011
5. Nilai
= .....
1
A. - √3
B. − √3
2
D. √3
E. √3
1
C. − √3
3
www.pintarmatematika.web.id - 7
E. 1
UN2012
7. Himpunan penyelesaian persamaan cos2x -2cos x = -1;
0 < x < 2π adalah ....
A. { 0, π,
π, 2π }
C. { 0, π, π,
π, 2π }
D. { 0, π,
π}
{ 0, π, π }
B. { 0, π,
π}
E.
UN2012
8. Nilai dari sin 75° - sin165° adalah ....
A. √2
D. √2
B. √3
E.
√6
C. √6
Jawab:
1
1
(A + B) sin (A –B)
2
2
Sin A - sin B = 2 cos
Jawab:
1
1
(750 + 1650) sin (750 –1650)
2
2
1
1
= 2 cos . 2400 sin (-900)
2
2
cos2x = cos2x – sin2x
= cos2x – (1 – cos2x)
= 2 cos2x - 1
sin 75° - sin165 = 2 cos
cos2x -2cos x = -1
2 cos2x – 1 – 2 cos x + 1 = 0
2 cos2x – 2cos x = 0
cos2x – cos x = 0
cosx . (cosx – 1) = 0
cos x = 0
; cos x = 1
cos x = cos 00
cos x = cos
cos x = cos α , maka x1, 2 = ± α + k. 360 0
= 2 cos 1200 sin (-450)
sin – = - sin
cos – = cos
tan – = tan
Cos (180 0 - θ ) = - cos θ
= 2 cos (1800 – 600) . – sin 450
= - 2 cos 600. – sin 450
= 2. ½ . ½ √2
= ½ √2
Jawabannya D
cos x = cos
x1 =
+ 0. 2π
;
UN2012
x 2 =-
+ 1. 2π
= =
A. 1
;
= 0
dan sin α . sin β =
dengan α dan β
merupakan sudut lancip. Nilai cos (α + β) = ...
cos x = cos 00
x1 = 0 + 0. 2π
9. Diketahui α – β =
B.
C.
D.
x 2 = 0 + 1. 2π
= 2π
Jawab:
karena intervalnya 0 < x < 2π,
maka nilai yang memenuhi adalah dan
cos (A + B) = cos A cos B – sin A Sin B
cos (A - B) = cos A cos B + sin A Sin B
cos A cos B = cos (A - B) - sin A Sin B
Tidak ada jawaban
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β
= cos (α - β) - sin α sin β - sin α sin β
= cos – ¼ - ¼
=½-½=0
Jawabannya E
www.pintarmatematika.web.id - 8
E. 0