PEMBENTUKAN POLINOMIAL ORTOGONAL

PEMBENTUKAN POLINOMIAL ORTOGONAL MENGGUNAKAN
PERSAMAAN INTEGRAL NONLINEAR
Susilawati1∗
1
Mahasiswa Program Studi S1 Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau
Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia
∗ [email protected]
ABSTRACT
This article discusses how to construct a polynomial orthogonal with a certain weight
function using a nonlinear integral equation. Discussions focus on the determination
of the coefficients of the polynomial, so that a formed polynomial is orthogonal.
Keywords: system of linear equation, polynomials, orthogonal polynomials, nonlinear integral equation.
ABSTRAK
Artikel ini mendiskusikan bagaimana membentuk polinomial ortogonal terhadap
fungsi bobot tertentu dengan menggunakan persamaan integral nonlinear. Diskusi
difokuskan pada penentuan koefisien-koefisien polinomial, sehingga polinomial yang
terbentuk ortogonal.
Kata kunci: sistem persamaan linear, polinomial, polinomial ortogonal, persamaan
integral nonlinear.
1. PENDAHULUAN
Salah satu persoalan dalam matematika yang sering dijumpai adalah bagimana
menyelesaikan sebuah persamaan integral. Persamaan integral merupakan persamaan yang memuat fungsi tidak diketahui f (x) berada dalam integral. Persamaan
integral terbagi atas dua kelas utama yaitu, persamaan integral linear dan persaman
integral nonlinear. Persamaan integral nonlinear merupakan sebuah persamaan integral yang mana fungsi tidak diketahui berbentuk nonlinear. Persamaan integral
nonlinear dapat digunakan untuk membentuk polinomial ortogonal. Polinomial
berderajat maksimum n, dinotasikan dengan Pn (x) adalah fungsi dengan bentuk
[4, h. 27]
Pn (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn .
Dua metode yang umum untuk menentukan suatu himpunan polinomial ortogonal pertama dapat menetapkan domain [α, β] dan fungsi bobot g(x) terhadap
polinomial yang ortogonal, kemudian kedua dengan menggunakan prosedur
Repository FMIPA
1
ortogonalisasi Gram-Schmidt, dengan menggunakan sebuah hubungan rekursif, akan
menghasilkan polinomial Chebyshev. Metode yang diuraikan di artikel ini
merupakan cara yang sederhana untuk membentuk polinomial ortogonal dengan
menggunakan persamaan integral nonlinear. Artikel ini merupakan review dari
artikel yang berjudul ”Nonlinear Integral Equation Formulation Of Orthogonal
Polynomials”[3]. Pembahasan diawali dengan pendahuluan, di bagian kedua
pembahasan tentang pembentukan polinomial ortogonal menggunakan persamaan
integral nonlinear, kemudian dilanjutkan bagian ketiga dengan contoh.
2. POLINOMIAL ORTOGONAL MENGGUNAKAN PERSAMAAN
INTEGRAL NONLINEAR
Pada bagian ini, dibahas mengenai bagaimana membentuk polinomial ortogonal
terhadap fungsi bobot g(x), dengan menggunakan persamaan integral nonlinear.
Kemudian dilakukan proses aljabar untuk mendapatkan koefisien-koefisien xk
pada polinomial.
2.1 Persamaan Integral Nonlinear
Metode yang dibahas untuk membentuk polinomial ortogonal dengan memanfaatkan
persamaan integral nonlinear berikut ini.
Bentuk umum persamaan integral nonlinear adalah sebagai berikut
∫ β
Pn (x) =
w(y)Pn (y)Pn (x + y)dy.
(1)
α
Batas integrasi α dan β dengan fungsi w(x) yang berubah-ubah kecuali untuk
∫β
batasan bahwa w(x) harus memenuhi, α w(x)dx ̸= 0. Oleh karena itu, tanpa
kehilangan bentuk umum, dapat diasumsikan bahwa w adalah normalisasi
∫ β
w(x)dx = 1.
(2)
α
2.2 Pembentukan Polinomial Ortogonal Menggunakan Persamaan
Integral Nonlinear
Sebelum membentuk polinomial ortogonal dengan menggunakan persamaan integral
nonlinear, diberikan notasi berikut
∫ β
⟨f ⟩ =
w(y)f (y)dy.
(3)
α
Langkah untuk membentuk polinomial ortogonal menggunakan persamaan (1),
pertama akan dicari solusi dalam bentuk sebarang polinomial berderajat n berikut
Pn (x) =
n
∑
an ,k xk ,
(4)
k=0
Repository FMIPA
2
yang mempertahankan derajat polinomial pada persamaan (1). Sebagai contoh, jika
disubstitusikan polinomial linear sebarang
P1 (x) = a1 ,0 +a1 ,1 x,
dan polinomial kuadratik sebarang
P2 (x) = a2 ,0 +a2 ,1 x + a2 ,2 x2 ,
ke persamaan (1), diperoleh berturut-turut
∫
β
a1 ,0 +a1 ,1 x =
w(y)P1 (y)(a1 ,0 +a1 ,1 x + a1 ,1 y)dy,
(5)
α
dan
∫
β
2
a2 ,0 +a2 ,1 x + a2 ,2 x =
(
w(y)P2 (y) a2 ,0 +a2 ,1 x + a2 ,1 y
)
+ a2 ,2 x2 + 2a2 ,2 xy + a2 ,2 y 2 dy.
α
(6)
Dengan memperhatikan notasi persamaan (3), maka persamaan (5) dapat ditulis
menjadi
a1 ,0 +a1 ,1 x = ⟨P1 (y)(a1 ,0 +a1 ,1 x + a1 ,1 y)⟩ ,
kemudian dengan cara yang sama persamaan (6) menjadi
⟨
⟩
a2 ,0 +a2 ,1 x + a2 ,2 x2 = P2 (y)(a2 ,0 +a2 ,1 x + a2 ,1 y + a2 ,2 x2 + 2a2 ,2 xy + a2 ,2 y 2 ) .
(7)
Sehingga polinomial linear mempunyai derajat yang sama pada sisi kiri dan kanannya, dan polinomial kuadratik juga mempunyai derajat yang sama pada sisi kiri dan
kanannya.
Secara umum, polinomial sebarang berderajat n, pada sisi kiri dan kanan persamaan (1) merupakan polinomial berderajat yang sama, n.
Pensubstitusian sebuah polinomial berderajat n ke sisi kanan pada persamaan (1)
dan melakukan pengintegralan diperoleh sebuah polinomial berderajat n.
Kedua, untuk kasus solusi polinomial, persamaan (1) berubah menjadi sepasang
sistem persamaan yang diperoleh dengan menyamakan pangkat yang sama dalam
x. Untuk polinomial linear berderajat n = 1, dengan menyamakan koefisien dari x1
pada kedua sisi persamaan menghasilkan
a1 ,0 +a1 ,1 x = ⟨P1 (y)a1 ,0 ⟩ + ⟨P1 (y)a1 ,1 x⟩ + ⟨P1 (y)a1 ,1 y⟩
a1 ,1 x = ⟨P1 (y)a1 ,1 x⟩
∫ β
=
w(y)P1 (y)a1 ,1 xdy
α
∫ β
a1 ,1 x = a1 ,1 x w(y)P1 (y)dy,
(8)
α
Repository FMIPA
3
atau
a1 ,1 = a1 ,1 ⟨P1 (y)⟩ .
Karena polinomial harus berderajat satu maka a1,1 ̸= 0, sehingga
⟨P1 (x)⟩ = 1,
(9)
dimana variabel y diganti x. Selanjutnya menyamakan koefisien x0 dari persamaan
(8) diperoleh
a1 ,0 = ⟨P1 (y)a1 ,0 ⟩ + ⟨P1 (y)a1 ,1 y⟩ ,
(10)
dengan mensubstitusikan (9) ke persamaan (10), diperoleh
a1 ,0 = a1 ,0 +a1 ,1 ⟨P1 (y)y⟩ .
Karena a1 ,1 ̸= 0, maka
⟨yP1 (y)⟩ = 0,
atau dengan notasi x dapat ditulis
⟨xP1 (x)⟩ = 0.
Terlihat bahwa persamaan (1) direduksi ke sebarang sistem dari persamaan linear
nonhomogen dengan variabel a1,0 dan a1,1 yang tidak diketahui. Perhatikan bahwa
persamaan integral yang didapat direduksi ke sistem linear hanya untuk polinomial,
seperti terlihat dalam persamaan di atas bahwa deret pangkat x terpotong sampai
suku berhingga.
Selanjutnya prosedur yang sama diulang untuk polinomial kuadratik, yaitu untuk
n = 2 dari persamaan (7) diperoleh
⟨
⟩
a2 ,0 +a2 ,1 x + a2 ,2 x2 = ⟨P2 (y)a2,0 ⟩ + ⟨P2 (y)a2,1 x⟩ + ⟨P2 (y)a2,1 y⟩ + P2 (y)a2,2 x2
⟨
⟩
+ ⟨P2 (y)2a2,2 xy⟩ + P2 (y)a2,2 y 2 .
(11)
Dengan menyamakan koefisien x2 dari persamaan (11), diperoleh
⟨
⟩
a2 ,2 x2 = P2 (y)a2 ,2 x2
∫ β
=
w(y)P2 (y)a2 ,2 x2 dy
α
∫ β
2
2
a2 ,2 x = a2 ,2 x
w(y)P2 (y)dy
α
a2 ,2 = a2 ,2 ⟨P2 (y)⟩ ,
dimana variabel y diganti oleh x, sehingga diperoleh
⟨P2 (x)⟩ = 1.
(12)
Selanjutnya menyamakan koefisien x1 dari persamaan (11) menjadi
∫ β
∫ β
a2 ,1 x = a2 ,1 x w(y)P2 (y)dy + 2a2 ,2 x w(y)P2 (y)ydy,
α
Repository FMIPA
α
4
atau
a2 ,1 = a2 ,1 ⟨P2 (y)⟩ + 2a2 ,2 ⟨yP2 (y)⟩ ,
(13)
dengan mensubstitusikan persamaan (12) ke persamaan (13) diperoleh
2a2 ,2 ⟨yP2 (y)⟩ = 0,
karena a2 ,2 ̸= 0, maka
⟨yP2 (y)⟩ = 0,
(14)
atau dapat ditulis
⟨xP2 (x)⟩ = 0.
Kemudian menyamakan koefisien x0 , dari persamaan (11) diperoleh
⟨
⟩
a2 ,0 = a2 ,0 ⟨P2 (y)⟩ + a2 ,1 ⟨yP2 (y)⟩ + a2 ,2 y 2 P2 (y) ,
(15)
dengan substitusikan persamaan (12) dan (14) ke persamaan (15), diperoleh
⟨
⟩
a2 ,2 y 2 P2 (y) = 0,
atau dapat ditulis
⟨ 2
⟩
x P2 (x) = 0.
Sebuah polinomial berderajat ke n merupakan solusi dari persamaan integral
jika dan hanya jika himpunan n + 1 persamaan linear terlihat dipenuhi
⟨ k
⟩
x Pn (x) = δk ,0 ,
(16)
k = 0, 1, 2, ..., n.
Persamaan linear pada persamaan (16) mengimplikasikan bahwa polinomial Pn (x)
adalah ortogonal terhadap fungsi bobot
g(x) = xw(x).
Jika
Pm (x) =
m
∑
am,k xk ,
k=0
adalah polinomial berderajat m < n, kemudian dari persamaan (16) dapat disimpulkan bahwa
∫
β
⟨xPn Pm ⟩ =
w(x)xPn (x)
α
⟨xPn Pm ⟩ = 0.
m
∑
am,k xk dx
k=0
(17)
Persamaan (17) merupakan hasil utama dalam pembahasan ini, yaitu telah ditunjukkan bahwa polinomial tersebut saling ortogonal dengan menggunakan persamaan
integral nonlinear pada persamaan (1). Himpunan solusi polinomial derajat n ini
Repository FMIPA
5
adalah tunggal, yaitu terdapat satu dan hanya satu solusi polinomial berderajat n.
Polinomial ini adalah ortogonal terhadap fungsi bobot g(x). Pendekatan polinomial
ortogonal yang sudah ada dapat dilakukan dengan menggunakan
∫ β
⟨Pn Pm ⟩ =
g(x)Pn (x)Pm (x)dx.
(18)
α
Berikut diberikan dua buah polinomial klasik, yaitu polinomial Laguerre dan
polinomial Jacobi.
1. Generalized Polinomial Laguerre
Generalized polinomial Laguerre Lγn (x) dengan menggunakan α = 0, β = 0 dan
g(x) = xγ−1 e−x untuk semua γ ≥ 1, pada persamaan (18). Sebagai contoh, dengan
menggunakan Definisi polinomial ortogonal berikut [1, h. 773]
∫ b
g(x)Pn (x)Pm (x)dx = 0, untuk semua n ̸= m
(19)
a
untuk n = 1, m = 0 dan untuk γ = 1 maka
∫ ∞
xγ−1 e−x Lγ1 (x)Lγ0 (x)dx,
(20)
0
dengan menggunakan bentuk polinomial Laguerre berikut [1, h. 775]
(
)
n
∑
1 m
γ
m n+γ
Ln (x) =
(−1)
x ,
n
−
m
m!
m=0
diperoleh L01 (x) = 1 − x dan L00 (x) = 1, maka persamaan (20) menjadi
∫ ∞
∫ ∞
1−1 −x
x e (1 − x)(1)dx =
e−x (1 − x)(1)dx.
0
(21)
(22)
0
Apabila integral pada persamaan (22) diselesaikan maka diperoleh
∫ ∞
∫ ∞
∫ ∞
−x
−x
−x
(e − xe )dx =
e dx −
xe−x dx = 0.
0
0
0
Terlihat L01 (x) dan L00 (x) ortogonal terhadap fungsi bobot g(x) pada interval [0, ∞].
Selanjutnya n = 2 dan m = 1, dengan cara yang sama diperoleh L02 (x)=1 − x + 14 x2
dan L01 (x) = 1 − x, sehingga persamaan (20) menjadi
(
)
∫ ∞
∫ ∞
∫ ∞
5 2 1 3
0 −x
−x
xe
1 − 2x + x − x dx =
e dx −
2xe−x dx
4
4
0
0
0
∫ ∞
∫ ∞
5 2 −x
1 3 −x
+
x e dx −
x e dx = 0.
0 4
0 4
Sehingga polinomial L02 (x) dan L01 (x) terlihat saling ortogonal pada interval [0, ∞],
dengan fungsi bobot g(x).
Repository FMIPA
6
2. Polinomial Jacobi
Polinomial Jacobi Gn (p, q, x), dengan menggunakan g(x) = xq−2 (1 − x)p−q , dan
α = 0, β = 1 untuk q > 1, p − q > −1 kemudian m ̸= n, pada persamaan (18)
maka dari Definisi polinomial ortogonal pada persamaan (19), untuk n = 1, m = 0
diperoleh
∫ 1
xq−2 (1 − x)p−q Gn (p, q, x)Gm (p, q, x)(x)dx
0
∫ 1
=
xq−2 (1 − x)p−q G1 (p, q, x)G0 (p, q, x)(x)dx.
(23)
0
Bila diambil q = 2 dan p = 2, kemudian dengan menggunakan bentuk polinomial
Jacobi berikut [1, h. 775]
( )
n
Γ(q + n) ∑
m n Γ(p + 2n − m) n−m
Gn (p, q, x) =
x
,
(−1)
Γ(p + 2n) m=0
m Γ(q + n − m)
diperoleh G1 (p, q, x) = − 12 + x dan G0 (p, q, x) = 1 maka persamaan (23) menjadi
(
)
(
)
∫ 1
∫ 1
1
1
2−2
2−2
0
0
x (1 − x)
− + x (1)dx =
x (1 − x) − + x (1)dx = 0. (24)
2
2
0
0
Kemudian n = 2 dan m = 1, dengan cara yang sama diperoleh G2 (p, q, x)= 13 −x+x2 ,
G1 (p, q, x) = − 12 + x kemudian disubstitusikan ke persamaan (23) diperoleh
∫ 1
xq−2 (1 − x)p−q Gn (p, q, x)Gm (p, q, x)(x)dx
0
(
)
∫ 1
1
1
2−2
2−2 2
=
(25)
x (1 − x) (x − x + ) − + x dx,
3
2
0
maka persamaan (25) menjadi
(
)(
)
)(
)
∫ 1
∫ 1(
1
1
1
1
0
0
2
2
−x+x
− + x dx =
−x+x
x−
dx = 0.
x (1 − x)
3
2
3
2
0
0
(26)
Sehingga polinomial Jacobi pada persamaan (24) dan persamaan (26) menunjukkan
polinomial ini ortogonal terhadap fungsi bobot g(x), pada interval [0, 1].
Perhatikan persamaan (16) dan momen
∫ β
mn =
w(x)xn dx,
(27)
α
dapat ditulis sebagai solusi dari n + 1 buah persamaan linear dan untuk koefisien
an ,j
n
⟨ k
⟩ ∑
x Pn (x) =
an,j mk+j ,
(28)
j=0
Repository FMIPA
7
k = 0, 1, ..., n.
Dengan menjalankan nilai k pada persamaan (28) dan mengikuti δi,j = 1 jika
i = j dan δi,j = 0 jika i ̸= j [5, h. 68] yang merupakan kronecker delta didapat


  
an,0
1
m0 m1 · · · mn
 m1 m2 · · · mn+1   an,1   0 


  
(29)
 ..
..
..   ..  =  ..  ,
..


 .
.
.
.   . 
.
mn mn+1 · · · m2n
an,n
0
dengan asumsi m0 = 1, kemudian menggunakan aturan Cramer [2, h. 83-84] dan
persamaan (4) pada persamaan (29) diperoleh
P0 (x) = 1
m2 − m1 x
P1 (x) =
m2 − m21
(m2 m4 + m23 ) + (m3 m2 − m4 m1 )x + (m2 m3 − m22 )x2
P2 (x) =
.
m4 (m2 − m21 ) − m23 + 2m1 m2 m3 − m32
Didefinisikan



Rn (x) = 

1
m1
..
.
x
m2
..
.
mn mn+1
···
xn
· · · mn+1
..
...
.
· · · m2n



,




Sn (x) = 

m0
m1
..
.
m1
m2
..
.
mn mn+1
· · · mn
· · · mn+1
..
...
.
· · · m2n
(30)



.

⟨Rn (x)⟩ = Sn (x).
Polinomial dari persamaan (30) dapat ditulis dalam bentuk umum sebagai berikut
Pn (x) =
det(Rn )
.
det(Sn )
(31)
Normalisasi polinomial Pn (x) dapat diberikan dalam bentuk
⟨xPn (x)Pm (x)⟩ = δn,m Gn ,
(32)
normalisasi Gn adalah determinan dari matrik
Gn =
det(Cn ) det(Cn+1 )
,
det(Sn )2
dimana matrik Cn diberikan oleh

m1 m2 · · ·
mn
 m2 m3 · · · mn+1

Cn =  ..
..
..
..
 .
.
.
.
mn mn+1 · · · m2n−1
Repository FMIPA
(33)



.

8
Sehingga dengan menggunakan persamaan (33), diperoleh berturut-turut
G0 = m1
m1 m3 − m22
m2 − m21
(m1 m3 − m22 )(m1 m3 m5 − m22 m5 − m1 m24 + 2m2 m3 m4 − m33 )
G2 =
.
(m4 (m2 − m21 ) − m23 + 2m1 m2 m3 − m32 )2
G1 = m1
Normalisasi polinomial Pn (x) pada persamaan (32) terpenuhi, yaitu untuk n = 1,
m = 0 dan dengan menggunakan kronecker delta, diperoleh
⟨xP1 (x)P0 (x)⟩ = δ1,0 G1 = 0.
Dengan cara yang sama yaitu menggunakan kronecker delta, untuk n = 2 dan
m = 1, diperoleh
⟨xP2 (x)P1 (x)⟩ = δ2,1 G2 = 0.
3. CONTOH
Akan ditunjukkan bahwa polinomial Legendre [6, h. 55]
1 dn 2
(x − 1)n ,
2n n! dxn
merupakan polinomial ortogonal dengan mengunakan bentuk pada persamaan (31),
polinomial Legendre ortogonal pada interval [α,β], dengan α = −1, β = 1, dan
g(x) = 1. Untuk memenuhi kondisi pada persamaan (2), pilih
Pn (x) =
w(x) =
1
.
(iπx)
(34)
Akan ditentukan momen pada persamaan (27). Untuk n = 0, menggunakan persamaan (34) diperoleh
∫ 1
1
m0 =
dx = 1.
−1 (iπx)
Untuk n = 1, menggunakan persamaan (34) diperoleh
∫ 1
2
m1 =
w(x)x1 dx = .
iπ
−1
(35)
2
Selanjutnya n = 2, 3, 4, 5, 6, dengan cara yang sama diperoleh m2 = 0, m3 = 3iπ
,
2
m4 = 0, m5 = 5iπ , dan m6 = 0. Selanjutnya akan ditentukan bentuk polinomial pada
persamaan (31), untuk n = 0, 1, 2, 3 diperoleh berturut-turut
P0 (x) = 1
iπ
P1 (x) = x
2
P2 (x) = 1 − 3x2
3(iπ)
P3 (x) =
(3x − 5x3 ).
8
Repository FMIPA
(36)
(37)
(38)
(39)
9
Akan ditunjukkan bahwa bentuk polinomial pada persamaan (36)-(39) saling
ortogonal pada interval [−1, 1], terhadap fungsi bobot g(x), dengan menggunakan
Definisi polinomial ortogonal pada persamaan (19), kemudian dengan menggunakan
persamaan (37) dan (36) maka diperoleh
(
)
∫ 1
∫
iπ
iπ 1
g(x)
x dx =
xdx = 0.
(40)
2
2 −1
−1
Dengan cara yang sama, kemudian menggunakan persamaan (38) dan (37) diperoleh
)
(
∫
∫ 1
iπ 1
iπ
2
x dx =
(1 − 3x2 )xdx = 0.
g(x)(1 − 3x )
(41)
2
2 −1
−1
Selanjutnya dengan menggunakan persamaan (39) dan (38), diperoleh
∫
∫ 1
3iπ 1
3iπ
3
2
(3x − 5x )(1 − 3x )dx =
(3x − 14x3 + 15x5 )dx = 0.
g(x)
8
8 −1
−1
(42)
Maka polinomial pada persamaan (40), (41) dan (42) terlihat ortogonal pada interval
[−1, 1] terhadap fungsi bobot g(x) = 1, sehingga secara langsung dapat ditunjukkan
bahwa polinomial pada persamaan (36)-(39) juga saling ortogonal terhadap fungsi
bobot g(x) = 1 .
Ucapan Terimakasih Penulis mengucapkan terimakasih kepada dosen pembimbing Bapak Supriadi Putra, M.Si, dan Ibu Dra. Asli Sirait, M.Si yang telah memberikan arahan dan bimbingan dalam penulisan artikel ini.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Abramowitz, M. & I. A. Stegun. 1972. Handbook Of Mathematical Functions
With Formulas, Graphs and Mathematical Tables. Government Printing Office,
New York.
[2] Anton, H. 1987. Aljabar Linear Elementer Edisi Kelima. Terj. dari Elementery
Linear Algebra, Fifth Edition, oleh Silaban, P. & I. N. Susila. Penerbit Erlangga,
Jakarta.
[3] Bender, C. M. & E Ben-Naim. 2007. Nonlinear Integral Equation Formulation
of Orthogonal Polynomials. J. Phys. A: Math. Theor. 40: F9-F15.
[4] Conte, S.D. & C. De Boor. 1993. Dasar-Dasar Analisis Numerik, Suatu Pendekatan Algoritma Edisi Ketiga. Terj. dari Elementary Numerical analysis, An
Algorithmic Approach, Third Edition, oleh Ir. Mursaid. Penerbit Erlangga,
Jakarta.
[5] Matthews, P. C. 1998. Vector Calculus. Springer-Verlag, London.
[6] Phillips, G. M. 2003. Interpolation and Approximation by Polynomials.
Springer, New York.
Repository FMIPA
10