fungsi hiperbolik

FUNGSI HIPERBOLIK
Matematika
FTP – UB
Matematika
Pokok Bahasan
•
•
•
•
•
•
•
Pendahuluan
Grafik dari fungsi hiperbolik
Menentukan nilai fungsi hiperbolik
Fungsi hiperbolik invers
Bentuk log dari fungsi hiperbolik invers
Identitas hiperbolik
Hubungan antara fungsi trigonometrik dan
hiperbolik
Matematika
Pokok Bahasan
•
•
•
•
•
•
•
Pendahuluan
Grafik dari fungsi hiperbolik
Menentukan nilai fungsi hiperbolik
Fungsi hiperbolik invers
Bentuk log dari fungsi hiperbolik invers
Identitas hiperbolik
Hubungan antara fungsi trigonometrik dan
hiperbolik
Matematika
Pendahuluan
• Diketahui cos  j sin  e j and cos  j sin  e j
j
 j
e

e
• Maka
cos 
2
jjx
 jjx
 x  ex
e

e
e
• Jika   jx
cos jx 

2
2
• Bagian real ini merupakan bagian genap dari fungsi
eksponensial yang disebut kosinus hiperbolik
x  e x
e
cosh x 
2
Matematika
Pendahuluan
• Bagian ganjil dari fungsi hiperbolik disebut
sinus hiperbolik
x  e x
e
sinh x 
2
• Rasio sinus hiperbolik terhadap kosinus
hiperbolik disebut tangen hipebolik
sinh x ex  e x
tanh x 
 x x
cosh x e  e
Matematika
Pendahuluan
• Deret pangkat fungsi eksponensial
ex
2 x3 x4
2 x3 x4
x
x

x
1 x     ... and e 1 x    ...
2! 3! 3!
2! 3! 3!
• Sehingga diperoleh
2 x4 x6
3 x5 x7
x
x
cosh x 1    ... and sinh x  x     ...
2! 3! 6!
3! 5! 7!
Matematika
Pokok Bahasan
•
•
•
•
•
•
•
Pendahuluan
Grafik dari fungsi hiperbolik
Menentukan nilai fungsi hiperbolik
Fungsi hiperbolik invers
Bentuk log dari fungsi hiperbolik invers
Identitas hiperbolik
Hubungan antara fungsi trigonometrik dan
hiperbolik
Matematika
Grafik dari Fungsi Hiperbolik
• Grafik sinus hiperbolik dan kosinus
hiperbolik
Matematika
Grafik dari Fungsi Hiperbolik
• Grafik tangen hiperbolik
Matematika
Pokok Bahasan
•
•
•
•
•
•
•
Pendahuluan
Grafik dari fungsi hiperbolik
Menentukan nilai fungsi hiperbolik
Fungsi hiperbolik invers
Bentuk log dari fungsi hiperbolik invers
Identitas hiperbolik
Hubungan antara fungsi trigonometrik dan
hiperbolik
Matematika
Menentukan Nilai Fungsi Hiperbolik
• Nilai sinh x, cosh x dan tanh x dapat dicari
dengan menggunakan kalkulator atau
tombol eksponensial
• Sebagai contoh:
1.275  e1.275 3.5790.279
e
sinh1.275 

1.65 to 2dp
2
2
Matematika
Pokok Bahasan
•
•
•
•
•
•
•
Pendahuluan
Grafik dari fungsi hiperbolik
Menentukan nilai fungsi hiperbolik
Fungsi hiperbolik invers
Bentuk log dari fungsi hiperbolik invers
Identitas hiperbolik
Hubungan antara fungsi trigonometrik dan
hiperbolik
Matematika
Fungsi Hiperbolik Invers
• Untuk mencari sebuah fungsi hiperbolik invers
mengunakan kalkulator tanpa fasilitas yang
dibutuhkan untuk menggunakan fungsi
eksponensial
• Sebagai contoh, untuk mencari nilai sinh-1 1.475
diperlukan terlebih dahulu mengetahui nilai x
sehingga sinh x = 1.475. Dengan cara:
1
2 x  2.950e x 1  0

2.950
so
that
e
ex
• Sehingga didapat: ex  3.257 or  0.307 so x 1.1808
ex 
Matematika
Pokok Bahasan
•
•
•
•
•
•
•
Pendahuluan
Grafik dari fungsi hiperbolik
Menentukan nilai fungsi hiperbolik
Fungsi hiperbolik invers
Bentuk log dari fungsi hiperbolik invers
Identitas hiperbolik
Hubungan antara fungsi trigonometrik dan
hiperbolik
Matematika
Bentuk Log dari Fungsi Hiperbolik
Invers
• Jika y = sinh-1x maka x = sinh y. maka:
y
e  e  2x so that e  2xe 1 0
y
• Sehingga:
2y
y
e  x  x 1
2
y


• Oleh karena itu, y  sinh-1 x  ln x  x 2 1
Matematika
Bentuk Log dari Fungsi Hiperbolik
Invers
• Dengan cara yang sama
y  cosh-1 x   ln
x

x 1
2
1 1 x 
-1
y  tanh x  ln


2 1 x 
Matematika
Pokok Bahasan
•
•
•
•
•
•
•
Pendahuluan
Grafik dari fungsi hiperbolik
Menentukan nilai fungsi hiperbolik
Fungsi hiperbolik invers
Bentuk log dari fungsi hiperbolik invers
Identitas hiperbolik
Hubungan antara fungsi trigonometrik dan
hiperbolik
Matematika
Identitas Hiperbolik
• Seperti rasio trigonometrik lainnya,
terdapat fungsi-fungsi hiperbolik kebalikan
coth x 
1
tanh x
1
sechx 
cosh x
cosechx 
1
sinh x
Matematika
Identitas Hiperbolik
• Dari definisi cosh x dan sinh x
2
2
 e  e   e e 

  

2
2

 

 e2 x  2 e2 x   e2 x  2 e 2 x 

  


4
4

 

x
cosh 2 x  sinh 2 x 
x
x
x
1
cosh2 x  sinh2 x 1
Matematika
Identitas Hiperbolik
• Dengan cara yang sama
sech 2 x 1 tanh 2 x
cosech 2 x  coth 2 x 1
sinh 2 x  2sinh x cosh x
cosh 2 x  cosh 2 x  sinh 2 x
1 2sinh 2 x
 2cosh 2 x 1
2 tanh x
tanh 2 x 
1 tanh 2 x
Matematika
Pokok Bahasan
•
•
•
•
•
•
•
Pendahuluan
Grafik dari fungsi hiperbolik
Menentukan nilai fungsi hiperbolik
Fungsi hiperbolik invers
Bentuk log dari fungsi hiperbolik invers
Identitas hiperbolik
Hubungan antara fungsi trigonometrik dan
hiperbolik
Matematika
Hubungan antara Fungsi
Trigonometrik dan Hiperbolik
• Diketahui
j
 j
j
 j
e

e
e

e
cos 
and j sin 
2
2
• Maka untuk   jx
cos jx  cosh x
j sin x  sinh jx
Matematika
Hubungan antara Fungsi
Trigonometrik dan Hiperbolik
• Dengan cara yang sama
cosh jx  cos x
• Lebih lanjut
sin jx  j sinh x
tanh jx  j tan x
tan jx  j tanh x
Matematika
Hasil Pembelajaran
• Mendefinisikan fungsi hiperbolik dalam bentuk
fungsi eksponensial
• Menyatakan fungsi hiperbolik sebagai deret
pangkat
• Mengenal grafik fungsi hiperbolik
• Mencari nilai fungsi hiperbolik dan inversnya
• Menentukan bentuk logaritmik dari fungsi
hiperbolik invers
• Membuktikan identitas trigonometrik hiperbolik
• Memahami hubungan antara fungsi
trigonometrik melingkar dan hiperbolik
Matematika