135 sifat-sifat lanjut fungsi terbatas
advertisement
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster)
Volume 03, No. 2(2014), hal 135 –142.
SIFAT-SIFAT LANJUT FUNGSI TERBATAS
Suhardi, Helmi, Yundari
INTISARI
Fungsi terbatas merupakan fungsi yang memiliki batas atas dan batas bawah. Terdapat kajian lanjut
tentang fungsi terbatas yaitu fungsi bervariasi terbatas. Penelitian ini mengkaji definisi fungsi bervariasi
terbatas dan hubungan fungsi bervariasi terbatas dengan fungsi terbatas, fungsi monoton serta sifat-sifat
fungsi bervariasi terbatas. Suatu fungsi f dikatakan bervariasi terbatas jika jumlahan selisih nilai fungsi
dari koleksi partisi pada suatu interval [a,b] lebih kecil atau sama dengan sebarang bilangan real positif
M. Fungsi bervariasi terbatas berhubungan dengan fungsi terbatas dan fungsi monoton. Selain itu sifatsifat fungsi bervariasi terbatas yaitu himpunan fungsi bervariasi terbatas pada [a,b] bersifat linear
terhadap perkalian dengan suatu konstanta, penjumlahan, pengurangan, pembagian dan perkalian. Jika
fungsi f bervariasi terbatas pada [a,b] maka f bervariasi terbatas juga pada subset [a,b]. Jika fungsi f
bervariasi terbatas pada [a,c] dan [c,b] maka fungsi f bervariasi terbatas pada [a,b].
Kata kunci : Interval, fungsi terbatas, fungsi bervariasi terbatas
PENDAHULUAN
Salah satu teori dasar yang menjadi pembahasan dalam analisis matematika yaitu fungsi. Suatu
fungsi dari himpunan ke himpunan , dengan A dan B merupakan dua himpunan tak kosong adalah
pemetaan yang memenuhi syarat setiap anggota himpunan
mempunyai tepat satu kawan ke
himpunan . Fungsi dari himpunan ke himpunan B tersebut dinotasikan dengan
[1].
Kajian tentang fungsi terus berkembang seiring dengan banyaknya penelitian-penelitian yang
dilakukan oleh para matematikawan. Salah satu fungsi yang dikembangkan oleh para matematikawan
]
adalah tentang fungsi terbatas. Misal diberikan suatu fungsi [
, fungsi dikatakan terbatas
jika fungsi tersebut memiliki batas atas dan batas bawah dengan kata lain suatu fungsi dikatakan
terbatas jika terdapat
sedemikian sehingga f x M untuk setiap
[
] [1].
Matematikawan yang mengembangkan kajian tentang fungsi terbatas yaitu Camille Jordan (1881).
Camille Jordan mengenalkan kajian tentang sifat-sifat lanjut dari fungsi terbatas di
yaitu fungsi
bervariasi terbatas (Bounded Variation Function) dan fungsi terbatas merupakan dasar dari kajian
tentang fungsi bervariasi terbatas. Fungsi bervariasi terbatas merupakan jumlahan dari selisih-selisih
nilai fungsi pada setiap partisi di suatu interval. Oleh karena itu dalam penelitian ini dikaji definisi
fungsi bervariasi terbatas dan hubungan fungsi bervariasi terbatas dengan fungsi terbatas, fungsi
monoton serta sifat-sifat fungsi bervariasi terbatas.
FUNGSI BERVARIASI TERBATAS
Diketahui bahwa interval tertutup merupakan himpunan bagian dari real yang bersifat jika
[
]. Pada bilangan real dapat dibentuk banyak
dengan
dengan
, maka
interval sedemikian sehingga interval-interval tersebut ada yang tumpang tindih. Misal diberikan
interval
dan
dengan
, interval-interval tersebut dikatakan tidak tumpang tindih jika
terdapat sebanyak banyaknya satu titik
[1].
] dapat dipartisi menjadi sub interval. Partisi dari suatu interval didefinisikan dengan
Interval [
] adalah koleksi
{
} tidak saling tumpang tindih
Definisi 1 [1] Partisi dari interval [
]. Partisi [
] ke-n dari koleksi
yang gabungannya adalah interval [
dapat juga dinotasikan
[
], dengan a x1 x2 x3 xn1 xn b.
dengan
135
136
SUHARDI, HELMI, YUNDARI
Fungsi bervariasi terbatas merupakan jumlahan fungsi-fungsi dari setiap koleksi partisi pada suatu
interval tertutup yang terbatas atau dengan kata lain jumlahan dari fungsi-fungsi tersebut lebih kecil
atau sama dengan sebarang bilangan real positif M. Hal ini sebagaimana yang didefinisikan pada
definisi 2 berikut.
]
Definisi 2 [2] Diberikan suatu fungsi [
f dikatakan bervariasi terbatas jika terdapat
{[
]|
} di dalam [
] dengan
sehingga untuk setiap koleksi
, untuk setiap
yang tidak tumpang tindih berlaku
n
f b f a M .
i
i
i 1
Koleksi semua fungsi yang bervariasi terbatas pada [
] dinotasikan dengan
[
].
Contoh
[ ], tunjukan fungsi
Diberikan [ ]
yang didefinisikan dengan ( )
untuk setiap
bervariasi terbatas pada [ ].
{[
]|
Akan ditunjukan fungsi
bervariasi terbatas pada [ ]. Misal diambil koleksi
} pada interval [ ] dengan partisi
, untuk setiap
berlaku
n
f b f a f b f a f b f a ... f b f a
i
i
i 1
1
1
2
2
n
n
f b 1 f a1 f b 2 f a2 ... f bn f an
f a 1 f b1 f a 2 f b2 f a3 ... f bn f an f bn
f a1 f bn
untuk ( )
, maka
f 0 f 1
0 1
1
Karena untuk koleksi
{[
]|
} di dalam [
] dengan partisi
n
,
dan dengan mengambil
diperoleh
f bi f ai M ,
sehingga dapat
i 1
disimpulkan bahwa fungsi
bervariasi terbatas pada [
].
SIFAT-SIFAT DARI FUNGSI BERVARIASI TERBATAS
] maka fungsi tersebut
Diberikan suatu fungsi bervariasi terbatas pada suatu interval [
merupakan fungsi terbatas. Sebagaimana yang dijelaskan pada Teorema 3 berikut.
Teorema 3 [3] Diberikan suatu fungsi
].
pada [
Bukti
Diketahui
[
bervariasi terbatas pada [
merupakan fungsi bervariasi terbatas pada [
ditunjukkan fungsi f terbatas yaitu terdapat
[
]
], maka
terbatas
], berdasarkan Definisi 2, dan akan
yang memenuhi sifat | ( )|
].
Akibatnya untuk setiap x a, b , dan berdasarkan ketaksamaan segitiga maka
, untuk setiap
137
Sifat-Sifat Lanjut Fungsi Terbatas
f bi f ai f bi f ai f x f x M
f x f ai f bi f x M
sehingga
f x f ai f x f ai f bi f x M
f x f ai M
dengan menggunakan ketaksamaan segitiga berlaku
f x f ai f x f ai M
f x f ai M
f x f ai M
Misal dipilih M 1 f ai M , sehingga | ( )|
, dengan demikian dapat disimpulkan bahwa
] pasti terbatas pada [
].
untuk setiap fungsi yang bervariasi terbatas pada [
] maka belum tentu
Konvers dari Teorema 3 tidak berlaku yaitu jika suatu fungsi terbatas pada [
].
fungsi tersebut bervariasi terbatas pada [
], Sedemikian sehingga fungsi
Misal diberikan fungsi monoton pada interval [
]. Sebagaimana yang dijelaskan pada Teorema 4 berikut.
bervariasi terbatas pada [
monoton pada interval [
Teorema 4 [4] Diberikan fungsi
[
].
], maka
tersebut
bervariasi terbatas pada
Bukti
Diketahui fungsi monoton terbagi menjadi dua yaitu fungsi monoton naik dan fungsi monoton turun.
], jika untuk setiap
[
] dengan
Suatu fungsi
monoton naik pada [
, berlaku
( )
( ) dan berdasarkan Definisi 2, maka
n
f b f a f b f a f b f a ... f b f a
i
i
1
i 1
1
2
2
n
n
f b 1 f a1 f b 2 f a2 ... f bn f an
f bn f a1
{[
Karena koleksi
]|
} di dalam [
] dengan
,
dan dengan mengambil M f bn f a1 1 sedemikian sehingga diperoleh
untuk setiap
n
f b f a M
i
i
sehingga dapat disimpulkan bahwa jika suatu fungsi
monoton naik pada
i 1
[
] maka fungsi bervariasi terbatas pada [
].
], jika untuk setiap
Jika fungsi monoton turun pada [
( )
( ) dan berdasarkan definisi 2, maka
n
i 1
f bi f ai
[
n
f a f b
i
i
i 1
f a 1 f b1 f a 2 f b2 ... f an f bn
f a 1 f b1 f a 2 f b2 ... f an f bn
f an f b1
] dengan
, berlaku
138
SUHARDI, HELMI, YUNDARI
{[
Karena untuk koleksi
]|
} di dalam [
] dengan
dan dengan mengambil M f an f b1 1 sedemikian sehingga diperoleh
, untuk setiap
n
f b f a M
i
sehingga dapat disimpulkan bahwa jika suatu fungsi
i
monoton turun pada
i 1
[
] maka fungsi bervariasi terbatas pada [
]. Karena fungsi monoton naik dan monoton turun
] bervariasi terbatas, sehingga dapat disimpulkan bahwa fungsi monoton pada [
pada interval [
]
bervariasi terbatas pada [
].
] maka jika dikalikan dengan suatu konstanta
Suatu fungsi yang bervariasi terbatas pada [
, dijumlahkan dua fungsi BV, pengurangan dua fungsi BV, pembagian dan perkalian dua fungsi
]. Hal ini sebagaimana yang dijelaskan
BV. Maka fungsi tersebut tetap bervariasi terbatas pada [
pada teorema 5 berikut.
Teorema 5 [3] Diberikan dua fungsi f dan g bervariasi terbatas pada interval [
suatu konstanta
. Maka
]
i.
adalah bervariasi terbatas pada [
]
f g dan f g adalah bervariasi terbatas pada [
ii.
fg adalah bervariasi terbatas pada [
iii.
iv.
Jika
1
terbatas pada [
g
Bukti
Diketahui fungsi
], maka
] dan diberikan
]
f
adalah bervariasi terbatas pada [
g
bervariasi terbatas pada [
].
] berdasarkan Definisi 2 berlaku
n
f b f a M
i
i
(1)
1
i 1
n
Fungsi
bervariasi terbatas pada [
g b g a M
] berdasaran Definisi 2 berlaku
i
i
2
(2)
i 1
Pada penelitin ini akan dibuktikan Teorema 5 bagian ii dan iii, karena untuk pembuktian i dan iv dapat
menggunakakn cara yang sama dengan bagian ii dan iii.
ii.
Akan dibuktikan f g dan f g bervariasi terbatas pada [
], akan dibuktikan f g
n
bervariasi
terbatas
[
],
akan
dicari
sedemikian
sehingga
f g b
i
i 1
f g ai M , maka
n
f g bi f g ai
i 1
n
f b g b f a g a
i
i
i
i
i 1
n
f b f a g b g a
i
i
i
i
i 1
n
n
f b f a g b g a
i
i
i 1
i
i
i 1
n
Berdasarkan (1) dan (2) maka
f g b f g a M
i
i 1
i
1
M 2.
139
Sifat-Sifat Lanjut Fungsi Terbatas
{[
Karena untuk koleksi
]|
] dengan
dan dengan mengambil M M1 M 2 sehingga diperoleh
, untuk setiap
n
f
} di dalam [
n
f g a M
g bi
i
i 1
1
M 2 M maka dapat disimpulkan bahwa
].
bervariasi terbatas pada [
Kemudian untuk membuktikan f g bervariasi terbatas pada [
dengan cara membuktikan f g bervariasi terbatas pada [
iii.
f g
i 1
] menggunakan cara yang sama
].
Akan dibuktikan fg bervariasi terbatas pada [
], akan dicari
sedemikian sehingga
n
fg b fg a M , maka
i
i
i 1
n
n
fg bi fg ai f bi g bi f ai g ai
i 1
i 1
n
f b g b f b g b f b g b f a g a
i
i
i
i
i
i
i
i
i 1
n
n
i 1
i 1
f bi g bi f bi g bi f bi g bi f ai g ai
n
f b g b f a g a
i
i
i
i
i 1
f bn g bn f a1 g a1
{[
Karena untuk koleksi
,
untuk
]|
setiap
} di dalam [
dan
dengan
mengambil
] dengan
M 1 max f bn ,
bn a ,b
m2 min f a1 , M 3 max g bn dan m4 min g a1
a1 a ,b
bn a ,b
sedemikian
sehingga
a1 a ,b
n
fg b fg a M M
i
i
1
i 1
terbatas pada [
3
m2 m4 M maka dapat disimpulkan bahwa fg bervariasi
].
] dan [ ] [
]. Jika fungsi
Misal diberikan dua interval [
] maka fungsi tersebut bervariasi terbatas pada interval [
interval [
dijelaskan pada Teorema 6 berikut.
]
Teorema 6 [2] Diberikan suatu fungsi [
bervariasi terbatas pada [ ] untuk sebarang [
bervariasi terbatas pada
]. Hal ini seperti yang
yang bervariasi terbatas pada [
] [
].
], maka fungsi
Bukti
Diketahui fungsi
merupakan fungsi bervariasi terbatas, berdasarkan Definisi 2 dan diketahui
[ ] [
]. Akan ditunjukan fungsi
bervariasi terbatas pada [ ]. Misal diambil koleksi
{[
]|
} di dalam [ ] dengan
, untuk setiap
,
maka
n
f d f c f d f c f d f c ... f d f c
i
i 1
i
1
1
2
2
n
n
140
SUHARDI, HELMI, YUNDARI
f d 1 f c1 f d 2 f c2 ... f d n f cn
f c 1 f d1 f c 2 f d 2 f c3 ... f d n f cn f d n
f d n f c1
{[
karena untuk koleksi
]|
} di dalam [
n
f d f c M
dan dengan mengambil M f d f c 1 diperoleh
bervariasi terbatas pada [
disimpulkan bahwa fungsi
] dengan
i
i
sehingga dapat
i 1
].
], [ ] dan [ ] dengan
[
],
Diketahui suatu fungsi bervariasi terbatas pada interval [
sedemikian sehingga fungsi bervariasi terbatas pada [ ] dan [ ] maka fungsi juga bervariasi
]. Sebagaimana yang dijelaskan pada Teorema 7 berikut.
terbatas pada [
Teorema 7 [5] Jika fungsi
bervariasi terbatas pada [
].
pada [ ] maka bervariasi terbatas pada [
Bukti
Diketahui fungsi
n
bervariasi terbatas pada [
f ci f ai M dan
i 1
n
] dan fungsi
] dan [
bervariasi terbatas
], berdasarkan definisi 2 berlaku
n
f b f c M
i
maka
i
i 1
f bi f ai
i 1
n
f c1 f a1
i n
n
f b f c
1
1
1 n
f c
f c1 f a1 f c2 f a2 ... f cn f an
f b 1 f c1 f b2 f c2 ... f b n
n
f cn f a1 f bn f c1
{[
karena untuk koleksi
untuk setiap
{[
]|
} di dalam [
] dengan
,
dan dengan mengambil M1 f cn f a1 1 kemudian untuk koleksi
]|
} di dalam [
] dengan partisi
, untuk setiap
dan dengan mengambil M 2 f bn f c1 1 diperoleh
n
f b f a f c f a f b f c
i
i
n
1
n
1
i 1
M1 M 2
n
dengan mengambil M M1 M 2 maka
bervariasi terbatas [
f b f a M sehingga dapat disimpulkan fungsi
i
i
i 1
].
n
Menurut Definisi 2 suatu fungsi yang bervariasi terbatas pada [
] maka
f b f a
i
i
i 1
f bn f a1 dengan f bn f a1 M , sedemikian sehingga dari suatu fungsi bervariasi
terbatas tersebut diperoleh dua fungsi monoton yang berbeda yaitu f b n dan f a1 . Sebagaimana
141
Sifat-Sifat Lanjut Fungsi Terbatas
yang dijelaskan pada Teorema 8 berikut.
]
Teorema 8 [2] Diberikan fungsi [
adalah bervariasi terbatas jika dan hanya jika terdapat
fungsi monoton naik
dan
sedemikian sehingga
.
Sebelum membuktikan teorema perlu dibahas tentang lemma yang berkaitan dengan fungsi monoton
naik yang bervariasi terbatas.
bervariasi terbatas pada [
Lemma 9 Fungsi
f x
] dan
[
] sedemikian sehingga
n
f x f a , adalah fungsi monoton naik.
i
i
i 1
Bukti
Ambil sebarang x1 , x2 a, b dengan x1 x2 . Akan di tunjukan bahwa f x2 f x1 . karena
fungsi bervariasi terbatas pada [
n
], berdasarkan Definisi 2 dan Teorema 7 maka
f x2 f a
n
f x1 f a
i 1
n
f x2 f a
i 1
n
f x1 f a
i 1
i 1
n
f x f x
2
1
i 1
n
f x f x
2
1
i 1
f x2 f x1
n
f x f x
2
1
i 1
n
Berdasarkan Teorema 6
f x f x M
2
i 1
1
atau dengan kata lain bervariasi terbatas pada x1 , x2
dan berdasarkan Teorema 4 maka f x2 f x1 . Sehingga dapat disimpulkan f x merupakan
fungsi monoton naik.
Bukti Teorema 8
Menurut definisi fungsi
maka berlaku
( )
monoton naik pada [
( ). Didefinisikan f1
], jika untuk setiap
[
] dengan
,
n
f x f a untuk
(
] dan
( )
.
i 1
Menurut lemma 11,
( )
( )
Misalkan
merupakan fungsi monoton naik. Kemudian didefinisikan juga
( )
. Berdasarkan Definisi 2 dapat dituliskan
f1 x f1 y f y f x
f y f x
f y f x
kemudian
f1 y f1 x f y f x
f1 y f y f1 x f x
f2 y f2 x
karena f 2 y f 2 x maka dapat disimpulkan bahwa fungsi tersebut merupakan fungsi monoton
naik.
142
SUHARDI, HELMI, YUNDARI
PENUTUP
]
Suatu fungsi [
dikatakan bervariasi terbatas jika jumlahan dari selisih nilai fungsi dari
] terbatas atau terdapat
setiap koleksi partisi pada [
sehingga untuk setiap koleksi
{[
]|
} di dalam [
] dengan
, untuk setiap
yang
n
tidak tumpang tindih berlaku
f b f a M . Sifat-sifat fungsi bervariasi terbatas sebagai
i
i
i 1
berikut:
], maka fungsi tersebut
a. Jika suatu fungsi yang bervariasi terbatas pada suatu interval [
].
merupakan fungsi terbatas pada [
], maka fungsi
b. Jika suatu fungsi monoton pada interval [
tersebut bervariasi terbatas
]
pada [
] tertutup terhadap perkalian dengan suatu
c. Suatu fungsi yang bervariasi terbatas pada [
konstanta
, penjumlahan, pengurangan, pembagian dan perkalian.
], maka fungsi tersebut bervariasi terbatas pada
d. Jika fungsi bervariasi terbatas pada [
].
subset [
e. Jika fungsi
bervariasi terbatas pada [ ] dan [ ] maka fungsi
bervariasi terbatas
pada [
].
n
f. Jika suatu fungsi bervariasi terbatas pada [
] maka menurut definisi
f b f a
i
i
i 1
f bn f a1 , sedemikian sehingga dari suatu fungsi bervariasi terbatas tersebut diperoleh
dua fungsi monoton yaitu f bn dan f a1 .
DAFTAR PUSTAKA
[1]. Bartle, Robert G. dan Sherbert, Donald R. 2000. Introduction to Real Analysis. Third Edition.
John Wiley and Sons, Inc. United States of America
[2]. Gordon, Russell A. 1994. The integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock. American
Mathematical Society. United States of America
[3]. Jones, Frank. 2001. Lebesgue Integration on Euclidean Space. Jones and Bartlett Publishers,
Inc. United States of America
[4]. Dshalalow J.H. 2001. Real analysis an introduction to the theory of real functions and
integration. CRC Press LLC. Florida
[5]. Protter, Murray H. 1998. Basic elements of real analysis. Springer-Verlag New York, Inc.
United States of America
SUHARDI
HELMI
YUNDARI
: Jurusan Matematika FMIPA UNTAN, Pontianak, [email protected]
: Jurusan Matematika FMIPA UNTAN, Pontianak, [email protected]
: Jurusan Matematika FMIPA UNTAN, Pontianak, [email protected].