Statistika industri - elista:.

BEBERAPA DISTRIBUSI KHUSUS (DISKRIT)
1. Distribusi Seragam
Misalkan x mengalami harga-harga x1 , x2 ,, xk
x dikatakan mempunyai distribusi seragam bila
1
,
k
f ( xi ) 
i = 1, 2, 3, … , k
X1
X2
X3
Contoh:
Sebuah dadu dilontarkan sekali; x = mata dadu yang tampak
x = 1, 2, 3, 4, 5, 6
f ( x) 
1
,
6
x = 1, 2, 3, 4, 5, 6
f ( x) 
1
,
k
x  x1 , x2 , x3 ,, xk
Ex 
x1  x2  x3    xk
k
k
x
=
i 1
k
i
(tidak bisa dirumuskan)
XK
2. Distribusi Binomial
Usaha Bernoulli: suatu eksperimen yang hasilnya kita klasifikasikan sebagai S
(sukses) dan G (gagal) dengan P( S )  p dan P(G )  q  1  p
Contoh:
1. Ujian pilihan ganda (4 pilihan).
Memilih mendapat jawaban benar
1
3
dan P (G ) 
4
4
P( S ) 
2. Pengertian sukses relatif
Penyelundup  barang illegal masuk  sukses
Pabean  barang illegal masuk  gagal
n! 1 2  3   n
0! 1
1! 1
2! 1 2
  C
n
r
n
r

n!
r!(n  r )!
a  b 1  a  b  
1  1 0 1 0 1
a b   a b
 0
1
2
2
2
a  b 2  a 2  2ab  b 2   a 2b0   a1b1   a 0b 2
0
1
 2
a  b 3  a 3  3a 2b  3ab 2  b3
 3
 3
 3
 3
  a 3b 0   a 2b1   a1b 2   a 0b3
0
1
 2
 3
n
n
n
n
a  b n   a nb0   a n 1b1   a n  2b 2 ...........   a 0b n
0
1
 2
n
Usaha Bernoulli
P(S) = P
P(G) = g=1-p
Usaha Bernoulli kita ulang sebanyak 3 kali secara independent (n = 3)
X = banyaknya sukses
 3
X = 0 GGG P(X = 0) = g3 =   p 0 g 3
0
 3
X = 1 SGG = pg2 P(X = 1) = 3pg2 =   p1 g 2
1
2
GSG = pg
GGS = pg2
X = 2 SSG = p2g
 3
P(X = 2) = 3p2g =   p 2 g 1
 2
SGS = p2g
GSS = p2g
 3
X = 3 SSS = P(X = 3) = p3 =   p 3 g 0
 3
 3
P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) =   p 0 g 3 
 0
 3 1 2  3  2 1
  p g    p g 
1
 2
= (p + g)3 = 13 = 1
Secara umum
Usaha Bernoulli kita ulang sebanyak u kali secara independent
X menyatakan sukses
n
F(X) = P(X = X) =   p x g n  x X  0,1,2,....n
 x
F(X) ini disebut distribusi binomial
n
 n  x n x
  p g  ( p  g ) n  1n  1
F
(
x
)



x 0
x 0  x 
n
 3 3 6
  p g
 3
X mempunyai distribusi binomial
Maka E(X) = np
n
 n  x n x
  p g
F
(
x
)



x 0
x 0  x 
n
E(X) =
n
=
n!
x
n!
x
 X . x!(n  x)! p g
n x
x 0
n
=
 X . x!(n  x)! p g
n x
x 1
n
=
n!
 ( x  1)!(n  x)! p g
x
n x
x 1
(n  1)!
p x g n 1 ( x 1)
x 1 ( x  1)!(n  1  ( x  1)!
n
= n.p 
y = x-1
x = 1 => y = 0
x = n => y = n – 1
n 1
= n.p
(n  1)!
 y!(n  1  y)! p g
y 0
= n.p (p + g)n -1
= n.p(1)n -1
= np
y
n 1 y
DISTRIBUSI BINOMIAL
 
f x    n  p x  q n  x ; x = 0, 1, 2, …. n
x 
Probabilitas suatu barang elektronik tahan guncangan pada waktu pengiriman adalah 0,9.
Tentukan probabilitas dari kiriman 10 barang elektronik, 8 diantaranya masuk dalam
keadaan baik.
P( S )  0,9
P(G )  0,1
 10
P( x  8)  
8
n = 10
x=8

10!
  (0,9) 8 (0,1) 2 
(0,9) 8 (0,1) 2  0,19
8
!

2
!

DISTRIBUSI GEOMETRIK
Misalkan kita mempunyai usaha Bernoulli dengan P( S )  p dan P(G )  q  1  p
Usaha ini kita ulang sampai mendapatkan sukses pertama
x 1
G

P( x  1)  p
x2
GS

P( x  1)  qp
x3
GGS

P( x  1)  q 2 p
x4
GGGS

P( x  1)  q 3 p
G G G ……
G G S
x
Secara umum P( x  x)  f ( x)  q x 1 . p
x=1, 2, …
Contoh:
Suatu proses produksi diketahui bahwa rata-rata 1 diantara 100 butir hasil produksi cacat.
Berapa probabilitas memeriksa 5 butir dan baru menemukan yang cacat pada yang ke lima?
P(S) = 0,01
o o o o o
B B B B C
P(x=5) = (0,99)4 . (0,01)
DISTRIBUSI POISSON
Misalkan x adalah variabel random diskrit yang menyatakan banyaknya sukses dalam suatu
selang waktu suatu daerah tertentu. Selang waktu bisa dari milidetik sampai dengan tahun.
Daerah pengamatan bisa luasan dari mm2 sampai dengan ha atau km2.
Contoh:
1. Banyaknya langganan yang datang di suatu toko dalam selang waktu 5 menitan.
2. banyaknya telepon yang masuk suatu kantor dalam selang waktu 30 menitan.
3. Banyak salah ketik perhalaman.
4. banyaknya pertandingan sepak bola yang tertunda selama satu musim kompetisi.
Maka f ( x)  P( x  x) 
e  x
, x = 0, 1, 2, …
x!
 = parameter
x  E (x)  
Var (x) = x 2  
Biasanya ciri-ciri dari distribusi poison adalah diketahui harga rata-ratanya.
Contoh:
1. Rata-rata banyaknya partikel radioaktif yang melewati suatu penghitung selama satu
milidetik dalam suatu percobaan laboratorium adalah empat. Berapakah probabilitas
terdapat 6 partikel yang melewati penghitung selama 1 milidetik tertentu?
4
x6
e 4 4 6
 P( x  6) 
6!
2. Rata-rata banyaknya tanker minyak yang tiba tiap hari di suatu pelabuhan adalah
10. Pelabuhan tersebut hanya mampu menampung 15 tanker perhari. Berapakah
probabilitas pada suatu hari tertentu tanker terpaksa disuruh pergi, karena pelabuhan
tidak mampu melayaninya.
Pelabuhan tidak mampu melayani bila x  15
 Probabilitas (tanker disuruh pergi)  P ( x  15)
 1  P( x  15)
 1  P( x  0)  P( x  1)     P( x  15)
diperlukan
tabel
Pendekatan Distribusi Binomial pada Poisson.
Misalkan pada distribusi binomial, n besar, p kecil sedemikian hingga np   , maka
perhitungan distribusi binomial bisa menggunakan perhitungan distribusi Poisson.
e  x
, x = 0, 1, 2, …
f ( x) 
x!
Contoh:
Dalam suatu proses produksi yang menghasilkan barang dari gelas. Tejadi gelembung atau
cacat yang kadang-kadang menyebabkan barang tersebut sulit dipasarkan. Diketahui bahwa
rata-rata 1 dari 1000 barang yang dihasilakan mempunyai satu atau lebih gelembung.
Berapakah probabilitas bahwa dalam sampel random berjumlah 8000 akan terdapat 7 yang
mempunyai gelembung?
Ini adalah distribusi binomial dengan p=0,001
n = 8000
x=7
  np  (8000)  (0,0001)  8
 8000
 P ( x  7)   7



  0,0017  0,99980007


e 8 (8) 7
Maka f ( x)  P( x  7) 
7!
VARIABEL RANDOM KONTINU
x disebut diskrit: x menjalani harga-harga x1, x2, x3, …….
x1
x2
x3
x4
Pandang x pengamatan suhu air yang dimasak
0
100
x disebut variabel random kontinu bila x mengalami harga-harga kontinu pada suatu selang
atau interval.
x diskrit: bila dapat menyusun fungsi distribusi probabilitas, atau fungsi massa probabilitas
dalam suatu tabel.
Untuk x kontinu kita tidak mungkin membuat daftar atau tabel demikian. Tetapi ada fungsi
f(x) yang disebut fungsi kepadatan probabilitas yang fungsinya menyerupai fungsi massa
probabilitas untuk kasus diskrit.
f(x) disebut fungsi kepadatan probabilitas bila
(a.)
f ( x)  0
  f ( x)dx  1 a  b f ( x)dx
(b.)

(c.)
P ( a  x  b)
(d.)
P ( a  x  b) = P ( a  x  b)  P ( a  x  b)
= P(a  x  b) a  b f ( x)dx
 P( x  a) = a  b f ( x)dx  0
Contoh:
Buktikan bahwa
 x 23

f ( x)  
0

1 x  2
x yang lain
untuk
Meupakan fungsi kepadatan probabilitas dan hitunglah P(0  x  1)
f ( x)  0

  f ( x)dx =

 1 f ( x)dx +
=0+
=
=
2
1 
1 3
x
9
 2 f ( x)dx +
x2
dx + 0
3
2
=
1
1

1
8  (1) 3
9

9
=1
9
1
x2
P(0  x  1) = 0 
dx = x 3
9
3
1
1
=
0
1
9

  f ( x)dx
Mean dan variasi variabel random kontinu
Misalkan x adalah variabel random kontinu dengan fungsi kepadatan probabilitas f(x).
Mean atau harga harapan dari x ditulis E(x) atau  kita definisikan sebagai:
  E ( x)    x  f ( x)dx
Variasi dari x ditulis  2 adalah :
 2 = E x   2     x   2  f ( x)dx
Deviasi standar atas adalah akar positif dari variasi seperti dalam kasus diskrit berlaku:
 2 = E ( x) 2  E ( x) 2
Bukti:
 2 = E x   2
=

  x     f ( x)dx
=

  x 2  2 x   2
=

  x 2  f ( x)dx – 2    x  f ( x)dx +  2    f ( x)dx
2


 f ( x)dx
= E ( x) 2  2  2   2
= E ( x 2 )  E ( x)
2
Dimana:
2    x  f ( x)dx = 
 2    f ( x)dx = 1
Contoh:
Tentukan  dan  2 dari distribusi pada contoh diatas!
1
1 4
x
 = E (x) + 1  x  f ( x)dx = 1  x 3 dx =
3
3 4
2
=
1
16  1 = 15 = 5 = 1,25
12
12
4
2
2
1
E ( x ) = 1  2 x 2
2
=
1 2
1
1 5
x dx = 1  2 x 4 dx =
x
3
3
35
2
1
1
32  1 = 33 = 11
15
15
5
51
11 25
176  125
11  5 
 = E ( x )  E ( x) =

  =
=
=
80
5 16
80
5 4
2
2
2
2
BEBERAPA DISTRIBUSI KHUSUS (KONTINU)
1. Distribusi Seragam
Variabel random kontinu x dikatakan mempunyai distribusi seragam (uniform) dalam
(a,b) bila f ( x) 
1
ba
, a xb
2. Distribusi Eksponensial
x dikatakan mempunyai distribusi eksponensial bila
f ( x)  
1


x

, 1 0
0 untuk x yang lain
Distribusi eksponensial ini banyak dipakai untuk memodelkan tahan hidup
(keandalan) berbagai komponen seperti bola lampu, alat-alat elektronik, dan
sebagainya.
x

 x  f ( x)dx
E (x) =
0

1
x

e
=
 dx

0


+
0


  x
=     de   =    e

0 
f ( x) 
1 
2e
x


x 

  x
=   x  de   =  x e


0
x
e
x

 dx
0


= 
0
, x0
E (x) =  = 
Dengan cara yang sama dapat dibuktikan bahwa:
 2 = E ( x 2 )   2  2
Contoh:
Misalkan daya tahan suatu komponen dinyatakan dalam variabel random x yang
mempunyai distribusi eksponensial dengan rata-rata sama dengan 5. Tentukan
probabilitas bahwa komponen itu akan berfungsi pada akhir tahun kedelapan atau
P ( x  8)
 E (x) =  = 5
Jadi f (x) =
1 
5e
x
5
, x0

P ( x  8) =
1 x
8 5 e 5 dx

=   e
x


=

e
8
5
=
1, 6
e
 0,2
8
Distribusi yang lebih umum dari distribusi eksponensial untuk menyatakan ketahanan
suatu benda adalah distribusi weibull.
x dikatakan mempunyai distribusi weibull bila:
f (x) =  x  1
E (x) = 
1
Var (x) = 
2

P(n) =

e
, x0
3

1
P1  
 
3
2


2
1 
 

P1    P1   

  
  

x
e
 x
x
n 1
dx
0
Khusus   1
f (x) =  
x
 distribusi eksponensial
 3
 1
 2
3. Distribusi Normal
Distribusi yang paling penting dalam statistika adalah distribusi normal karena
kebanyakan data dapat dimodelkan sebagai distribusi normal.
x dikatakan mempunyai distribusi normal bila:
f (x) =
1
2 
1
e
2
x


  
2
Sifat-sifat:
E (x) = 
Var (x) =  2
  x  
    
 0
 
5

 
 kecil
 besar

1
2
3
Notasi:
Bila x mempunyai distribusi normal dengan mean  dan variasi  2 maka x ditulis:

x  N , 2

Khusus   0 dan   1 maka distribusi normal disebut distribusi normal standar dan
distribusi notasi Z.
Z  N (0, 1)
Tersedia tabel probabilitas distribusi normal standar. Lihat tabel 4  luas dibawah
kurva normal akan dicari PZ  z 
0
z  0,49  0,3121
-0,49
Dibawah z
Z=
disebelah kanan z
0,00
0,01
0,02
-3,4
-0,4
0,04
0,05
.
.
………... ………... ………... ………... ………... ………..
0,5
.
.
1,0
.
.
1,4
………... ………... ………... ………..
2,0
2,3
………
.
………... ………... ………... 0,9904
3,4
z  2,34  0,9904
2,34
0,9245
0,09
.
0,3121
 z  1,45  1   z  1,45
 1  0,9265
 0,0735
0
1,45
 1,27  z  1,65
  z  1,65   z  1,27 
 0,9505  0,1020
 0,8485
-1,27
1,65
Mencari kembali
Diketahui prababilitas  akan dicari harga z yang bersesuaian.
Contoh:
Temtukan z agar
P( z  Z  z ) = 0,90
 P (  z  Z  z ) = P (0  Z  z )
= 0,45
 P ( z  Z ) = P( z  0)  P(0  Z  z )
= 0,5 + 0,45
= 0,95
0,90
-z
1,6
z
0,04
0,05
.
.
………... ………... 0,9495
 z yang bersesuaian =
………... ………... 0,9505
1,64  1,65
 1,645
2
x  N ( , 2 )
Dengan transformasi : Z =
x

, maka Z  N (0, 1)
a x b
P ( a  x  b) = P 




 
 
b
a
z
= P

 
 

X1
Z
X2
Z1
x

xz0
x1    Z1 
x2    Z 2 
x1  

0
x2  

0
Misalkan x  N(60,16)
Tentukan P55  x  63
Adakan transformasi Z =
x

=
x  60
4
x  63  Z  =
63  60
3
=
= 0,75
4
4
x  55  Z =
3
55  60
=  = -1,25
4
4
0
Z2
55
60
63
-1,25
0
0,25
 P(55  x  63) = P(1,25  z  0,75)
= P( z  0,75)  P( z  1,25)
= 0,7734 – 0,1056
= 0,6678
Selanjutnya misalkan x  N(60,16)
Menyatakan distribusi nilai akhir mahasiswa. Bila 10% diantaranya mendapat A,
berapakah nilai terendah untuk mendapat A?
10%
60
X0
Misalkan X0 adalah batas terendah untuk mendapatkan nilai A.
Maka P( x  X 0 )  0,10 atau P( x  X 0 )  0,90
 x  60 xo  60 
P

  0,90
4 
 40
x  60 

P Z  Z 0  o
  0,90
4 

Z0 = 1,28
xo  60
= 1,28
4
Xo = 60 + 4 (1,28) = 60+ 5,12 = 65,12
0,08
……….
1,2
………..
0,8447
4. Distribusi Sampling Harga Statistik
Misalkan kita mempunyai populasi dengan mean  dan variasi  2 . Diambil sampel
random berukuran n.
x = mean sampel
Mean ini akan berbeda dari sampel ke sampel tetapi diharapkan mempunyai pola
tertentu yang bisa kita selidiki.
Contoh populasi 2,3,4
=
23 4
3
3
Diambil sampel random berukuran:
Sampel
x
(2,2)
2
(2,3)
2,5
(2,4)
3
(3,2)
2,5
x =
(3,3)
3
(3,4)
3,5
(4,2)
3
(4,3)
3,5
(4,4)
4
2  2,5  3  2,5  3  3,5  3  3,5  4 27

3
9
9
 x  
Sifat distribusi sampling  x  
 x2 

2
n
23 4
3
3
Sampel berukuran 2
(2,2)  x  2
(2,3)  x  2,5
(2,4)  x  3
(4,4)  x  4
x
x 
2
Z
2
n
x

 Z
n
x
x
Sifat-sifat distribusi sampling harga mean.
Misalkan kita mempunyai populasi dengan mean  dan variasi  2 . Diambil sampel
random berukuran n.
Maka:
1.  x  
2.  2 x 
2
n
x

disebut standar error atau galat standar dari x
n
3. Bila populasi mempunyai distribusi normal maka x juga mempunyai distribusi normal.
4. Apapun bentuk distribusi populasi bila ukuran sampel n  30 maka x mempunyai
distribusi normal. Hasil terakhir ini dikenal sebagai teorema limit pusat.
Contoh:
1. Dari suatu populasi diketahui bahwa   82 dan   12 . Dari populasi tersebut
diambil sampel random berukuran n  64 . Tentukan P(80,8  x  83,2)
80,8
82
x  N ( x; 2 x )
83,2 X
Z
Karena n  61  30 maka teorema limit pusat berlaku atau x  N (82 ;
x
12
 1,5
8
 P(80,8  x  83,2)
 80,8  82 x  82 83,2  82 


= P

1,5
1,5 
 1,5
1,2 
  1,2
Z
= P
 = P(0,8  Z  0,8)
1,5 
 1,5
144
) atau
64
= P( Z  0,8)  P( Z  0,8)
= 0,7881 – 0,2119
= 0,5762
2. Sebuah perusahaan memproduksi lampu yang umumnya berdistribusi normal dengan
mean 800 jam dan deviasi standar 40 jam. Hitunglah probabilitas bahwa suatu sampel
random dengan 16 bola lampu akan mempunyai umur rata-rata kurang dari 775 jam.
Walaupun n  16  30 , karena populasi mempunyai distribusi normal maka x juga
mempunyai distribusi normal.
x  N (800 ;
x
(40) 2
)
16
40
 10
4
775
800
X
0
Z
 x  800 775  800 
P( x  775) = P


10
 10

 25 

= P Z 
  P( Z  25)
10 

= 0,0062
Teori Penaksiran (Theory of Estimation)
Statistika adalah ilmu yang mempelajari generalisasi harga parameter berdasar harga
statistika.
Generalisasi ini juga disebut dengan inferensi
Inferensi statistik
Teori Estimasi
Uji Hipotesa
Secara umum teori estimasi berurusan dengan penaksiran harga parameter berdasar harga
statistika pada tingkat probabilitas tertentu.
Estimasi mean populasi () statistik yang digunakan adalah x
n  30
 2
x  N   ,
n


x
  Z 
 N (0,1)


n




x

P  Z 
Z  = 1–
2 
2

n


atau

 
  
P x  Z 
   xZ 
 = 1 – 
2
2
n
n 

(1-  )
Z

Z
2

2
X Z
 
2
n
X Z
 
2
n

 
  
Interval  x  Z 
, xZ 
 disebut interval konfidensi (1 –  ) untuk . .
2
2
n
n 

Untuk n  30 bila  tidak diketahui maka  bisa kita dekati dengan deviasi standar
n
 x
sampel S =
i 1
i
 x
2
n 1
Contoh:
Mean dari deviasi standar indeks prestasi 36 mahasiswa adalah 2,6 dan 0,3. tentukan
interval konfidensi 95% untuk indeks prestasi seluruh mahasiswa.
(1 –  ) 100% = 95%
 = 0,05

= 0,025
2
0,025
0,025
Cari Z sedemikian sehingga PZ  z   0,975
z = 1,96
Interval konfidensi untuk  adalah x  Z

2

2,6  1,96 
S
n
   xZ

2

S
n
0,3
0,3
   2,6  1,96 
6
6
2,50    2,70
Ukuran sampel n  30
Bila populasi mempunyai distribusi normal maka t 
dengan derajat kebebasan (n – 1)
t

2
;n 1
t

2
;n 1
x 
S
n
mempunyai distribusi
t
 

x

P  t ; n  1 
 t ; n  1 = 1 – 
2
S n
 2

 Interval konfidensinya berbentuk


S

S 
P x  t ; n  1
   x  t ; n 1
 = 1 – 
2
2
n
n 

Contoh :
Tujuh botol yang mirip masing-masing berisi asam sulfat 9,8; 10,2; 10,4; 9,8; 10,0; 10,2
dam 9,6. Tentukan interval kepercayaan 95% untuk mean isi botol semacam itu bila
distribusinya dianggap normal.
x 
9,8    9,6
 10,0
7
(9,8 - 10) 2    (9,6 - 10) 2
 0,283
6
S 
 = 0,05

= 0,025
2
Derajat kebebasan 6

V
0,10
6
0,025
2,447
0,005

t ; n  1
Interval kepercayaan 95% untuk  adalah
 0,283 
 0,283 
10  2,447 
    10  2,447 

 7 
 7 
atau 9,74    10,26