PD linier 1, Bernoully dan eksak

MATERI :
Persamaan Diferensial Linier orde satu,
Persamaan Diferensial Bernoulli
Persamaan Diferensial Eksak
Persamaan Diferensial Linier orde satu
Bentuk Umum :
.
dy
+P( x) y = Q( x)
dx
Penyelesaian umum :
y
P ( x ) dx
e
P ( x ) dx
{ Q( x).e
dx C}
Contoh-contoh:
1.Selesaikan persamaan diferensial berikut :
dy
+ x y = 3x.
dx
Jawab :
penyelesaian umum.
y
y
e
y
e
e
1 2
x
2
P ( x ) dx
xdx
{ Q( x).e
3x.e
{ 3x.e
1 2
x
2
x ) dx
P ( x ) dx
dx C
dx C}
Catatan Misal U = x2
dU = 2x dx
dx =
dU
2x
dx C}
1
2
z.e z dz
0
Jadi
1
2
1 z2
e
2
3 z2
e
2
C)
= eU
e
y=
1 2
x
2
(
3
Ce
2
dU
2z
dU
2
eU
y
z.eU
1 2
x
2
 sebagai penyelesaian pesamaan diferensial.
2.Selesaikan persamaan diferensial berikut :
dy
2
+ y = 3x.
dx
x
Jawab :
penyelesaian umum.
y
e
y
e
y
e
P ( x ) dx
{ Q( x).e
2 / xdx
{ 3x.e
2 ln x
P ( x ) dx
2 / xdx
dx C}
dx C}
{ 3x.e2lx 2dx C}
.y = x-2 ( 3x( x2 )dx C )
3
4
y = x-2 ( x 4 C )  y =
3 2
x
4
Cx 2 ///
Persamaan Diferensial Bernoulli
Bentuk Umum :
.
dy
+P( x) y = Q( x) . yn
dx
Cara Menyelesaikan :
- Dibagi yn :
1 dy
+P( x) y1-n = Q( x)
n
y dx
- Dimisalkan u = y1-n  du = (1-n) y-n dy
1 du
1 n dx
1 dy
y n dx
- Persamaan diferensial akan menjadi:
1 du
1 n dx
du
dx
P( x).u
(1 n) P( x).u
Q( x)
(1 n)Q( x)  PD linier orde satu dalam u.
- Penyelesaian umum :
u
e
p ( x ) dx
{ q( x).e
p ( x ) dx
dx C}
Dimana p(x) = (1-n) P(x)
.q(x) = (1-n) Q(x)
Contoh-contoh:
1Selesaikan persamaan diferensial berikut :
dy
+ y =(2- 3x.) y4
dx
Jawab :
Dibagi y4 :
-
1 dy
+ y-3 = (2-3x)
4
y dx
- Dimisalkan u = y-3  du = (-3) y-4 dy
1 du
3 dx
1 dy
y 4 dx
- Persamaan diferensial akan menjadi:
1 du
+ u = (2-3x)
3 dx
du
dx
3.u
3(2 3x)  PD linier orde satu dalam u.
- Penyelesaian umum :
u
p ( x ) dx
e
u
3 dx
e
{ q( x).e
p ( x ) dx
{ ( 6 9 x).e
dx C}
3 dx
dx C}
u
e3 x{ ( 6 9 x).e 3 x dx C}
u
e3 x {
1
y3
(9 x 6)
e
3
3x
e
3x
C}
(2 3 x) 1 Ce3 x
.y =
1
3
1 3 x Ce 3 x
///
2.Selesaikan persamaan diferensial berikut :
dy
2
+ y = 3x.y3
dx
x
Jawab :
Dibagi y3 :
-
1 dy
2
+ y2 = 3x
3
y dx
x
- Dimisalkan u = y-2  du = (-2) y-3 dy
1 du
2 dx
1 dy
y 3 dx
- Persamaan diferensial akan menjadi:
1 du
2
+ u = 3x
2 dx
x
du
dx
4
.u
x
6 x  PD linier orde satu dalam u.
- Penyelesaian umum :
u
e
p ( x ) dx
{ q( x).e
p ( x ) dx
dx C}
u
4
dx
x
e
{ ( 9 x).e
4
dx
x
u
e4 ln x{ ( 9 x).e
u
x 4{ ( 9 x).x 4dx C}
1
y2
1
y2
x4 (
9
2
x2
9
2
2
x
4 ln x
dx C}
dx C}
C)
Cx 4  y =
1
9
2
x2
Cx 4
///
Persamaan Diferensial Eksak
Bentuk umum :
.m(x,y) dx + n(x,y) dy = 0
m
y
Disebut PD Eksak bila dipenuhi
n
x
Cara menyelesaikan :
- Dicari fungsi F(x,y) = C yang memenuhi persamaan diferensial
tersebut, maka
- Maka
F
x
F
dx
y
m( x, y )dan.
F
dy
x
F
y
0
n ( x, y )
- F(x,y) = m( x, y).dx Q( y)
- Turunkan terhadap y dan disamakan dengan n(x,y) diperoleh Q(y).
Sehingga diperoleh penyeesaian F(x,y) = C.
Contoh-contoh:
1..Selesaikan persamaan diferensial berikut :
.(2xy-sin x) dx + x2 dy = 0
Jawab : m= 2 xy – sin x 
.n = x2 
n
x
m
y
2x
2 x Jadi merupakan PD Eksak.
Penyelesaian :
F(x,y) = (2 xy sin x)dx Q( y)
F(x,y) = x2 y + cos x + Q(y)
.
F
y
2
2
n( x, y )  x + 0 + Q’(y) = x  Q’(y) = 0  Q(y) = C
Jadi F(x,y) = x2 y + cos x = C ///
2. 1..Selesaikan persamaan diferensial berikut :
.(3+ y exy ) dx – ( 3y – x exy) dy = 0
Jawab : m= .(3+ y exy ) 
m
y
e xy
.n = – ( 3y – x exy) 
n
x
xye xy
e xy
xye xy Jadi merupakan PD
Eksak.
Penyelesaian :
F(x,y) = {3 ye xy) }dx Q( y)
F(x,y) = 3x + exy + Q(y)
.
F
y
n( x, y )  0+ x e
xy
+ Q’(y) = – ( 3y – x exy)
Q’(y) = - 3y  Q(y) = - 3/2 y2 + C
Jadi F(x,y) = 3x + exy – 3/2 y2 = C ///
TUGAS:
1Selesaikan persamaan diferensial berikut :
dy
2
+ y =2 cos 3x.
dx
x
2Selesaikan persamaan diferensial berikut :
dy
+ y =(cos x – sin x ) y
dx
3Selesaikan persamaan diferensial berikut :
dy
+ y =(9x- 3x2.) y4
dx
4.Selesaikan persamaan diferensial berikut :
6 3 ye xy
dy
=
6 y 3 xe xy
dx
5.Selesaikan persamaan diferensial berikut :
(x y2 – x ) dx + ( y + x2y ) dy = 0
LINK INTERNAL
LINK EKSTERNAL
LINK DOKUMEN :
- Murray R. Spiqel JR, KALKULUS LANJUTAN, , Erlangga , Jakarta
1991
- Frank Ayers JR, Persamaan Diferensial”, London Schoum Outline
Series ,Mc Graw Hill Book Co., 1994