Bilangan Kompleks

II. BILANGAN KOMPLEKS
2.1 Pendahuluan
Sistem bilangan kompleks pada dasarnya merupakan perluasan dari sistem bilangan
riil. Sistem bilangan ini diperkenalkan untuk memecahkan sistem-sistem persamaan aljabar
yang tidak mempunyai jawaban dalam sistem bilangan kompleks.
Dalam aljabar ada menggunakan bilangan imajiner dan bilangan kompleks yaitu pada
penyelesaian dari persamaan kuadrat yaitu:
𝑎𝑧 2 + 𝑏𝑧 + 𝑐 = 0
Untuk mencari nilai kuadrat menggunakan persamaan
𝑧=
−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
Sistem bilangan kompleks pada dasarnya merupakan perluasan dari sistem bilangan
riil, sistem bilangan ini diperkenalkan untuk memecahkan sistem-sistem persamaan aljabar
yang tidak mempunyai jawaban dalam sistem bilangan kompleks. Jika diskriminan dari 𝑑 =
(𝑏 2 − 4𝑎𝑐) adalah negatif, kita harus memakai akar dari angka negatif dalam rangka
menemukan z. Hanya non-negatif angka yang memiki akar real, maka tidak memungkinkan
jika menggunakan persamaan z diatas, ketika 𝑑 < 0. Kecuali jika memahami mengenai jenis
bilangan lain yang disebut bilangan imajiner.
Angka imajiner ini menggunakan simbol 𝑖 yaitu 𝑖 = √−1 maka 𝑖 2 = −1 maka,
√−16 = 4i,
i3 = - i
√−3 = i√3,
Dimana bilangan imajiner,
i2 = -1,
√−2 √−8 = i√−2. i√8 = -4,
i4n = 1
dari persamaan z diatas menunjukan bilangan imajiner dan bilangan riil, dengan solusi
z + 2z + 2 =0
z=
2±√4−8 2±√−4
= 2 =
2
1±i
digunakannya istilah bilangan kompleks untuk menandakan satu atau seluruh angka, riil dan
imajiner, atau kombinasi dari keduanya seperti 1 ± 𝑖. Lalu 𝑖 + 5,17𝑖, 4, 3 + 𝑖√5 semua adalah
contoh dari bilangan kompleks.
Dalam Fisika, sistem kompleks memegang peranan yang penting seperti misalnya dalam
mempelajari gelombang, rangkaian listrik sampai dengan penggambaran dinamika partikel
sub-atomik.
2.2 Bilangan Riil dan Imajiner adalah Bagian dari Bilangan Kompleks
Sebuah angka kompleks seperti 5+3i adalah rangkaian dari dua bagian. Bagian real
(tidak memiliki i) disebut bagian real dari bilangan kompleks. Koefisien dari 𝑖 pada bagian lain
disebut imajiner dari bagian bilangan kompleks. Pada 5+3i, 5 adalah real dan 3 adalah imajiner.
Antara real atau imajiner dari bilangan kompleks bisa saja bernilai nol. Jika bagian
real bernilai 0 maka, bilangan kompleks tersebut disebut imajiner ( atau, lebih singkatnya,
imajiter murni). Bilangan real yang bernilai nol biasanya dihilangkan; jad 0+5i hanya ditulis 5i.
jika bagian imajiner dari bilangan kompleks bernilai nol, bilangan real. ditulis 7+0i menjadi 7.
Bilangan kompleks yang terdapat real dan imajiner asli hanya ada di beberapa kasus khusus.
2.3 Bidang Kompleks
Jika dalam sistem bilangan riil kita dapat merepresentasikannya dalam suatu garis lurus
seperti yang diilustrasikan pada gambar 1(a), maka bilangan kompleks lazim direpresentasikan
dalam suatu bidang kartesian yang dinamakan sebagai bidang kompleks seperti yang
diilustrasikan dalam gambar 1(b) dengan sumbu-sumbu x = Re(z)dan y = Im(z). Dalam
representasi ini, untuk setiap bilangan kompleks z = a + ib , kita dapat mengaitkannya dengan
suatu titik (a, b) di dalam sistem koordinat kartesius.
Sebagai contoh kita plot
Gambar 2.1
Sebagai contoh, secara geometri kita plot titik (5,3) seperti pada gambar 2.1, kita dapat
mendefinisikan bilangan kompleks nya 5+3i. Maka bidang kompleksnya
Gambar 2.2
Bilangan kompleks dapat divisualisasikan sebagai titik atau vektor posisi pada sistem
koordinat dua dimensi yang dinamakan bidang kompleks atau diagram argand. Koordinat
kartesius bilangan kompleks adalah bagian riil x dan bagian imajiner y , sedangkan koordinat
kartesius adalah 𝑟 = |𝑧| yang disebut modulus dan   arg( z ) .
Selain itu, kita dapat pula menyatakan bidang kompleks dalam koordinat polar, secara
geometri ditunjukkan oleh gambar 2.3
Gambar 2.3
Dengan mentransformasikan koordinat x dan y ke dalam koordinat polar
sedemikian rupa sehingga
x  r cos
y  r sin 
(2.1)
Sehingga persamaan bilangan kompleks menjadi
x  iy  r cos  ir sin 
 r (cos  i sin  )
(2.2)
Persamaan (2.2) tersebut dinamakan bentuk polar dari bilangan kompleks. Wakilan dari
(cos  i sin  )
ditulis sebagai e i , sehingga bentuk polar dari bilangan kompleks dapat
dinotasikan juga sebagai
x  iy  r cos  i sin    re i
(2.3)
2.4 Terminologi dan Notasi
Seperti pembahasan sebelumnya, bilangan kompleks dapat di notasikan
x  iy  r cos  i sin    re i
Dalam hal ini, z adalah bilangan kompleks, x adalah bagian riil dari bilangan kompleks
z, dan y adalah bilangan imajiner dari z. Nilai r dinamakan modulus atau nilai mutlak dari z,
dan  dinamakan sudut dari z (fase, argumen, ataupunamplitudo dari z). Secara simbol dapat
ditulis sebagai berikut:
Re z  x
Im z  y (bukaniy )
z  mod z  r  x 2  y 2
angleof z  
(2.4)
Contoh:
Tentukan nilai r, dan sudut dari bilangan kompleks  3  i
Penyelesaian:
r  x2  y2
r
 3
2
  1
2
r  3 1
r 4
2
y
x
  arctan
 arctan


3
1
3
6
Dengan y  r sin 
x  r cos
y  2 sin
x  2 cos

3

3




maka :  3  1  2 cos  sin   2e 3
3
3

x 3
y 1
2.5 Aljabar Kompleks
Menyederhanakan ke Formula x+iy
Setiap bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam bentuk x+iy. Untuk
menambahkn, mengurangi, dan mengalikan bilangan kompleks. Kompleks Seperti halnya
bilangan riil, pada bilangan kompleks juga berlaku operasi-operasi aljabar seperti
penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Selain itu, untuk melakukan
penyederhanaan aljabar bilangan kompleks juga mengikuti aturan aljabar biasa dan tetap
berlaku bahwa i2 = -1.
Contoh 1:
1  i   1  2i  i
2
2
 1  2i  1  2i
Contoh 2:
2  i 2  i 3  i 6  5i  i 2 5  5i 1 1




  i
3i 3i 3i
10
2 2
9  i2
Sehingga, didapatkan nilai x =
1
1
dan y =  . Untuk menentukan nilai r, maka digunakan
2
2
2
rumus : r  x  y
2
2
1
1
1
 ( ) 2 
lalu,masukkan angka x dan y nya ke rumus. r 
2
2
2
. Sehingga didapatkan nilai sebesar
:   arctan
1
2
. Untuk menentukan nilai  dengan menggunakan
y
. Dapat ditulis :
x
1

  arctan 2 = arc tan -1= -45 atau  .
1
4
2

Kompleks Konjugat
Untuk menentukan besaran modulus bilangan kompleks, diperkenalkan konsep
kompleks konjugasi i  i , dengan i i  1. Sehingga dapat didefinisikan kompleks
konjugat untuk bilangan kompleks z, yaitu:
z  z  a  i  b
 a  ib
(2.5)
Jelas dari sini bahwa untuk memperoleh modulus z dapat dilakukan melalui ungkapan:
z  z  z  a  ib a  ib   a 2  b 2
(2.6)
Untuk menentukan konjugat dari dua jumlah bilangan kompleks adalah jumlah konjugat
dari angka-angka tersebut. Jika :
z1  x1  iy1
dan
z 2  x2  iy 2 ,
Maka konjugatnya
z1  z 2  x1  iy1  x 2  iy 2  x1  x 2  i  y1  y 2 
Contoh :
z
2  3i
2  3i
, maka konjugatnya z  z 
i4
i  4
Menentukan Nilai Mutlak dari z
Seperti yang telah diketahui bahwa untuk menetukan nilai r digunakan persamaan
r
x2  y2 
zz
(2.7)
Sehingga terlihat jelas bahwa terdapat hubungan antara r dan z.
Contoh 1:
5  3i

1 i
5  3i 5  3i
14

 7
1 i
1 i
2
Contoh 2:
2i  1
i2
2i  1 2i  1
2i  1

=
i2 i2
i2
5
 1 1
5
Persamaan Kompleks
Jika membahas tentang bilangan kompleks,sebenarnya bilangan kompleks adalah
sepasang bilangan real dan bilangan imajiner. Dua bilangan kompleks adalah sama jika dan
hanya jika bagian sebenarnya mereka sama dan bagian imajiner mereka sama. Sebagai
contoh, x + iy = 2 +3i berarti x = 2 dan y = 3. Dengan kata lain, persamaan apapun
melibatkan bilangan kompleks benar-benar dua persamaan yang melibatkan bilangan riil.
Contoh:
Tentukan nilai x dan y jika
( x  iy ) 2  2i
Persamaan tersebut dapat di jabarkan menjadi
( x  iy ) 2  x 2  2 xy  y 2
Dan ekivalen dengan dua persamaan riil:
x2  y2  0
2 xy  2
Dari persamaan pertama, x 2  y 2 , kita temukan x  y atau y   x , substitusi ke
persamaan kedua, sehingga diperoleh
2 x 2  2 atau  2 x 2  2
Oleh karena x adalaha bilangan riil, maka x2 tidak boleh negatif, sehingga
x 2  1 dan y  x , maka
x  y  1, x  y  1
Aplikasi Fisika
Masalah fisika seperti geometri dapat di sederhanakan dengan menggunakan satu
bilangan kompleks dari dua persamaan riil.
Contoh:
Suatu partikel bergerak pada bidang (x,y), dengan posisinya bergantung pada waktu t, yang
diberikan oleh
z  x  iy 
i  2t
t i
Tentukan magnitud, atau besaran kecepatan dan percepatan partikel tersebut sebagai fungsi
waktu!
Penyelesaian:
Didefinisikan kecepatan kompleks dan percepatan kompleks
d 2z d 2x
d2y
dz dx
dy
dan 2  2  i 2

i
dt
dt
dt
dt dt
dt
Maka besarnya kecepatan v didefinisikan
v  (dx / dt) 2  (dy / dt) 2  dz / dt
Dan hal yang sama juga pada percepatan a  d 2 z / dt 2 . Sehingga
dz 2t  i   (i  2t )
 3i


2
2
dt
(t i)
(t i)
 3i
dz

dt
v

 3i
3

(t i) (t i) t
2
2
d z   3i (2)  6i
dt (t i) (t i)
2
1
,
2
2
3
2
a
d z
dt (t
2
3
,
6
2
 1) 3 / 2
2.6 Persamaan Euler
Rumus
Euler,
dinamakan
untuk
Leonhard
Euler,
adalah rumus matematika dalam analisis kompleks yang menunjukkan hubungan mendalam
antara fungsi trigonometri dan fungsi eksponensial. (Identitas Euler adalah kasus spesial dari
rumus Euler.)
Untuk real 𝜃, kita tahu dari bab 1 pangkat dari deret untuk sin 𝜃 dan cos 𝜃 :
𝜃3 𝜃5
sin 𝜃 = 𝜃 −
+
− ⋯,
3! 5!
𝜃2 𝜃4
cos 𝜃 = 1 −
+
−⋯
2! 4!
Dari definisi (8.1), kita menyebutkan bahwa deret untuk e ke semua pangat, real
atau imaginer. Dituliskan untuk 𝑒 𝑖𝜃 ,dimana 𝜃 adalah real :
e𝑖𝜃 = 1 + 𝑖𝜃 +
= 1 + 𝑖𝜃 −
(𝑖𝜃)2
2!
𝜃2
2!
−
+
𝑖𝜃3
3!
(𝑖𝜃)3
3!
+
+
𝜃4
4!
(𝑖𝜃)4
+
4!
𝑖𝜃5
5!
+
(𝑖𝜃)5
5!
+⋯
…=1−
𝑖𝜃2
2!
(2.8)
+
𝑖𝜃4
4!
… . +𝑖 (𝜃 −
𝜃3
3!
+
𝜃5
5!
)
(Perubahan dari rumus hanya untuk membuktkan bahwa deret tersebut adalah absolute
konvergen.) Formula Euler didefinisikan :
e𝑖𝜃 = cos θ + 𝑖 sin θ
(2.9)
Lalu, kita harus membuktikan dengan menulis bilangan komples seperti yang kita tulis di (4.1)
z = 𝑥 + 𝑖𝑦 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃) = 𝑟𝑒 𝑖𝜃
(2.10)
Contoh:
1. Tentukan nilai dari 2𝑒 𝑖𝜋⁄6
jawab : 2𝑒 𝑖𝜋⁄6 = 𝑟𝑒 𝑖𝜃
dengan r = 2, 𝜃 = 𝜋⁄6 dari gambar disamping diketahui
bahwa
𝑥 = √3, 𝑦 = 1, 𝑥 + 𝑖𝑦 = √3 + 𝑖 maka,
2𝑒 𝑖𝜋⁄6 = √3 + 𝑖
2. Tentukan nilai 3𝑒 −1𝜋⁄2
Jawab:
3𝑒 −𝑖𝜋/2 is 𝑟𝑒 𝑖𝜃 with r = 3, θ = −π/2. Dari gambar dibawah
,
x = 0, y = −3,
jadi 3𝑒 −𝑖𝜋/2 = x + iy = 0− 3i = −3i.
2.7 Akar dan Pangkat Bilangan Kompleks
Dengan menggunakan aturan sebelumnya, untuk mengali dan membagi bilangan
kompleks,kita mempunyai
𝑧𝑛 = (𝑟𝑒 𝑖𝜃 )𝑛 = 𝑟 𝑛 𝑒 𝑖𝑛𝜃
Untuk seluruh integral n. Dengan kata lain, untuk mendapatkan pangkat ke-n dari bilangan
kompleks, kita mengambil pangkat ke n dari modul dan mengalikan sudut dengan n. Untuk
kasus r = 1 adalah beberapa kelainan khusus.
(𝑒 𝑖𝜃 )𝑛 = (cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃)𝑛 = cos 𝑛𝜃 + 𝑖 sin 𝑛𝜃
Kalian
bisa
menggunaan
rumus
(2.11)
ini
untuk
menemukan
𝑠𝑖𝑛2𝜃, 𝑐𝑜𝑠2𝜃, 𝑠𝑖𝑛2𝜃, dan seterusnya Untuk akar ke n dari z,𝑥
1⁄
𝑛,
formula
untuk
berarti sebuah bilangan
komples yang pangkat ke n-nya adalah z. dari (10.1)
1
1
𝑖𝜃
𝑛
𝜃
𝜃
𝑧1/𝑛 = (𝑟𝑒 𝑖𝜃 )𝑛 = 𝑟 𝑛 𝑒 𝑛 = √𝑟 (cos 𝑛 + 𝑖 sin 𝑛)
(2.12)
Formula ini harus digunakan dengan hati-hati .
2.8 Fungsi Eksponensial dan Trigonometri
Didalam materi mengenai bilangan kompleks, terdapat 3 persamaan bilangan
kompleks, diantaranya sebagai berikut :
z  x  iy......(1)
z  r (cos  i sin  ).......(2)
z  re i ........(3)
Dari persamaan tersebut, untuk fungsi eksponensial e x berdasarkan persamaan
diatas, dapat diubah bentuknya menjadi :
e z  e x iy  e x e y  e x (cos y  i sin y)
Sebenarnya, terdapat hubungan erat antara fungsi eksponensial dantrigonometri dengan
persamaan euler, yang mana pada persamaan euler dapat dituliskan :
e i  cos  i sin 
Dan selalu diingat bahwa cos( )  cos dan sin(  )   sin  , sehingga untuk  yang
bernilai negatif dapat dituliskan :
e i  cos  i sin 
Dari kedua persamaan tersebut, untuk mencari nilai sin  dan cos dapat digunakan
dengan metode eliminasi. Berikut penjabarannya :
e i  cos  i sin 
e i  cos  i sin 
e i  e i  2i sin 
sin  
e i  e i
2i
Untuk mencari nilai dari cos sama seperti sebelumnya dengan menggunakan metode
eliminasi,sebagai berikut :
e i  cos  i sin 
e i  cos  i sin 
e i  e i  2 cos
cos 
e i  e i
2
Jika digunakan z sebagai pengganti θ, maka hanya mengganti nilai z nya menjadi θ ,atau
dapat dituliskan persamaannya sebagai berikut :
e iz  e  iz
,
2i
e iz  e iz
cos z 
2
sin z 
Contoh 1:
e 2i  e 2 e i  e 2 .(1)  e 2
Contoh 2:
1
2
2
e
e i.i  e i.i e i  e i
e 1  e
sin i 

i
i e
 1.1752011936 i
2i
2i
2
2
2.9 Fungsi Hiperbolik
(2.13)
Fungsi hiperbolik dapat didefinisikan sebagai kombinasi dari fungsi eksponen. Berikut
adalah sin z dan cos z untuk nilai murni z dengan z  x  iy
e y  e y
e y  e  iy
sin iy 
i
2i
2
y
y
y
e e
e  ey
cosiy 

2
2
(2.14)
Untuk fungsi hiperbolik juga dapat didefuinisikan dlam bentuk sinh z dan cosh z. Berikut
persamaannya.
e z  ez
2
z
e  ez
cosh z 
2
sinh z 
(2.15)
Adapun empat fungsi trigonometri lain dapat didefinisikan sebagai berikut :
sinh z
cosh z
1
sec hz 
cosh z
1
coth z 
tanh z
1
csc hz 
sinh z
tanh z 
(2.16)
Contoh:
Buktikan bahwa sinh z  sinh x cos y  i sinh x sin y
Penyelesaian:
sinh z  sin( x  iy )


1 x iy
e
 e  x iy
2
1
1
 e x e iy  e  x e iy
2
2
1
1
 e x (cos y  i sin y )  e  x (cos y  i sin y )
2
2
1
1
 (e x  e  x ) cos y  i (e x  e  x ) sin y
2
2

Contoh 2:
Buktikan bahwa
d
cosh z  sinh z
dz
Penyelesaian:
d
d  e z  ez
cosh z  
dz
dx  2
 e z  ez
 
 sinh z (terbukti)
2

2.10 Logaritma
Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan (atau invers) dari
eksponen atau pemangkatan. Logaritma tidak selalu bilangan positif saja. Mungkin sudah
umum
diketahui
bahwa
tidak
ada
logaritma
bilangan
negatif.
Ini benar jika hanya menggunakan bilangan real, tapi hal ini tidak benar bila kita melihat pada
bilangan kompleks. Berikut adalah bagaimana cara menemukan logaritma dari bilangan
kompleks manapun z ≠ 0 termasuk bilangan riil negatif sebagai kasus khusus. jika
z = 𝑒𝑤 ,
(2.17)
maka menurut definisinya
w = ln z
𝑧1 𝑧2 = 𝑒 𝑤1 . 𝑒 𝑤2 =𝑒 𝑤1+𝑤2
(2.18)
ln 𝑧1 𝑧2 = 𝑤1+𝑤2 = ln 𝑧1 + ln 𝑧2
Persamaan tersebut sudah dikenal umum untuk logaritma suatu produk, untuk logaritma pada
bilangan kompleks. Kita kemudian dapat menemukan bagian real dan imajiner dari logaritma
a bilangan kompleks dari persamaan
w = ln = ln (𝑟𝑒 𝑖𝜃 ) = Ln r + ln 𝑒 𝑖𝜃 = Ln r + i𝜃
dimana Ln r logaritma biasa, ke basis e dari bilangan positif nyata r
Karena θ memiliki jumlah nilai tak terbatas (semua berbeda dengan kelipatan 2π), Bilangan
kompleks memiliki logaritma tak terhingga banyaknya, berbeda satu sama lain dengan
kelipatan 2πi. Nilai pokok ln z (sering ditulis sebagai Ln z) adalah yang menggunakan prinsip
nilai θ, yaitu 0 ≤ θ <2π. (Beberapa referensi menggunakan -π <θ ≤ π.)
2.11 Invers dari Trigonometri dan Fungsi Hiperbolik
Telah didefinisikan fungsi trigonometri dan hiperbolik bilangan kompleks z
misalnya.
w  cos z 
e iz  e iz
2
(2.19)
Didefinisikan w=cos z, yaitu untuk setiap bilangan komplek yang memberikan
bilangan 𝜔. Sekarang dapat didefinisikan invers dari kosinus atau arccos oleh
z  arccos w
if w  cos z
(2.20)
Semua invers fungsi trigonometri dan hiperbolik lainnya didefinisikan dengan cara
yang sama.
Contoh 1
z  arccos2
or cos z  2
Sedemikian rupa sehingga
e iz  e iz
2
2
Dalam aljabar , misalkan u  e iz , lalu e iz  u 1 dan hasilnya menjadi :
u  u 1
2
2
Kalikan dengan 2 dan oleh u 2  1  4u atau u 2  4u  1  0 . Pecahkan persamaan ini dengan
rumus kuadrat untuk ditemukan.
u
4  16  4
 2  3 atau e iz  u  2  3
2
Tentukan logaritma dari kedua sisi persamaan ini dan selesaikan z.
iz  ln( 2  3)  Ln(2  3 )  2ni
arccos 2  z  2ni  iLn(2  3 )  2ni  1.317i
dengan kalkulator ,
untuk membuktikan cos z dan hasilnya adalah 2 , substitusi iz  ln( 2  3)
e iz  e ln(2
e iz 
3)
 2  3,
1
1
2 3


 2  3.
iz
43
e
2 3
Sedemikian rupa sehingga
cos z 
e iz  e iz 2  3  2  3 4

 2
2
2
2
Telah terbukti.
Dengan metode yang sama, kita dapat menemukan semua fungsi trigonometri dan
hiperbolik terbalik dalam istilah logaritma.