II. BILANGAN KOMPLEKS 2.1 Pendahuluan Sistem bilangan kompleks pada dasarnya merupakan perluasan dari sistem bilangan riil. Sistem bilangan ini diperkenalkan untuk memecahkan sistem-sistem persamaan aljabar yang tidak mempunyai jawaban dalam sistem bilangan kompleks. Dalam aljabar ada menggunakan bilangan imajiner dan bilangan kompleks yaitu pada penyelesaian dari persamaan kuadrat yaitu: ππ§ 2 + ππ§ + π = 0 Untuk mencari nilai kuadrat menggunakan persamaan π§= −π ± √π 2 − 4ππ 2π Sistem bilangan kompleks pada dasarnya merupakan perluasan dari sistem bilangan riil, sistem bilangan ini diperkenalkan untuk memecahkan sistem-sistem persamaan aljabar yang tidak mempunyai jawaban dalam sistem bilangan kompleks. Jika diskriminan dari π = (π 2 − 4ππ) adalah negatif, kita harus memakai akar dari angka negatif dalam rangka menemukan z. Hanya non-negatif angka yang memiki akar real, maka tidak memungkinkan jika menggunakan persamaan z diatas, ketika π < 0. Kecuali jika memahami mengenai jenis bilangan lain yang disebut bilangan imajiner. Angka imajiner ini menggunakan simbol π yaitu π = √−1 maka π 2 = −1 maka, √−16 = 4i, i3 = - i √−3 = i√3, Dimana bilangan imajiner, i2 = -1, √−2 √−8 = i√−2. i√8 = -4, i4n = 1 dari persamaan z diatas menunjukan bilangan imajiner dan bilangan riil, dengan solusi z + 2z + 2 =0 z= 2±√4−8 2±√−4 = 2 = 2 1±i digunakannya istilah bilangan kompleks untuk menandakan satu atau seluruh angka, riil dan imajiner, atau kombinasi dari keduanya seperti 1 ± π. Lalu π + 5,17π, 4, 3 + π√5 semua adalah contoh dari bilangan kompleks. Dalam Fisika, sistem kompleks memegang peranan yang penting seperti misalnya dalam mempelajari gelombang, rangkaian listrik sampai dengan penggambaran dinamika partikel sub-atomik. 2.2 Bilangan Riil dan Imajiner adalah Bagian dari Bilangan Kompleks Sebuah angka kompleks seperti 5+3i adalah rangkaian dari dua bagian. Bagian real (tidak memiliki i) disebut bagian real dari bilangan kompleks. Koefisien dari π pada bagian lain disebut imajiner dari bagian bilangan kompleks. Pada 5+3i, 5 adalah real dan 3 adalah imajiner. Antara real atau imajiner dari bilangan kompleks bisa saja bernilai nol. Jika bagian real bernilai 0 maka, bilangan kompleks tersebut disebut imajiner ( atau, lebih singkatnya, imajiter murni). Bilangan real yang bernilai nol biasanya dihilangkan; jad 0+5i hanya ditulis 5i. jika bagian imajiner dari bilangan kompleks bernilai nol, bilangan real. ditulis 7+0i menjadi 7. Bilangan kompleks yang terdapat real dan imajiner asli hanya ada di beberapa kasus khusus. 2.3 Bidang Kompleks Jika dalam sistem bilangan riil kita dapat merepresentasikannya dalam suatu garis lurus seperti yang diilustrasikan pada gambar 1(a), maka bilangan kompleks lazim direpresentasikan dalam suatu bidang kartesian yang dinamakan sebagai bidang kompleks seperti yang diilustrasikan dalam gambar 1(b) dengan sumbu-sumbu x = Re(z)dan y = Im(z). Dalam representasi ini, untuk setiap bilangan kompleks z = a + ib , kita dapat mengaitkannya dengan suatu titik (a, b) di dalam sistem koordinat kartesius. Sebagai contoh kita plot Gambar 2.1 Sebagai contoh, secara geometri kita plot titik (5,3) seperti pada gambar 2.1, kita dapat mendefinisikan bilangan kompleks nya 5+3i. Maka bidang kompleksnya Gambar 2.2 Bilangan kompleks dapat divisualisasikan sebagai titik atau vektor posisi pada sistem koordinat dua dimensi yang dinamakan bidang kompleks atau diagram argand. Koordinat kartesius bilangan kompleks adalah bagian riil x dan bagian imajiner y , sedangkan koordinat kartesius adalah π = |π§| yang disebut modulus dan οͺ ο½ arg( z ) . Selain itu, kita dapat pula menyatakan bidang kompleks dalam koordinat polar, secara geometri ditunjukkan oleh gambar 2.3 Gambar 2.3 Dengan mentransformasikan koordinat x dan y ke dalam koordinat polar sedemikian rupa sehingga x ο½ r cosο± y ο½ r sin ο± (2.1) Sehingga persamaan bilangan kompleks menjadi x ο« iy ο½ r cosο± ο« ir sin ο± ο½ r (cosο± ο« i sin ο± ) (2.2) Persamaan (2.2) tersebut dinamakan bentuk polar dari bilangan kompleks. Wakilan dari (cosο± ο« i sin ο± ) ditulis sebagai e iο± , sehingga bentuk polar dari bilangan kompleks dapat dinotasikan juga sebagai x ο« iy ο½ r ο¨cosο± ο« i sin ο± ο© ο½ re iο± (2.3) 2.4 Terminologi dan Notasi Seperti pembahasan sebelumnya, bilangan kompleks dapat di notasikan x ο« iy ο½ r ο¨cosο± ο« i sin ο± ο© ο½ re iο± Dalam hal ini, z adalah bilangan kompleks, x adalah bagian riil dari bilangan kompleks z, dan y adalah bilangan imajiner dari z. Nilai r dinamakan modulus atau nilai mutlak dari z, dan ο± dinamakan sudut dari z (fase, argumen, ataupunamplitudo dari z). Secara simbol dapat ditulis sebagai berikut: Re z ο½ x Im z ο½ y (bukaniy ) z ο½ mod z ο½ r ο½ x 2 ο« y 2 angleof z ο½ ο± (2.4) Contoh: Tentukan nilai r, dan sudut dari bilangan kompleks ο 3 ο« i Penyelesaian: r ο½ x2 ο« y2 rο½ ο¨ 3ο© 2 ο« ο¨ο 1ο© 2 r ο½ 3 ο«1 rο½ 4 ο½2 y x ο± ο½ arctan ο½ arctan ο±ο½ ο° 3 1 3 ο½6 Dengan y ο½ r sin ο± x ο½ r cosο± y ο½ 2 sin x ο½ 2 cos ο° 3 ο° 3 ο° ο° ο°οΆ ο¦ maka : ο 3 ο« 1 ο½ 2ο§ cos ο« sin ο· ο½ 2e 3 3 3οΈ ο¨ xο½ο 3 y ο½1 2.5 Aljabar Kompleks Menyederhanakan ke Formula x+iy Setiap bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam bentuk x+iy. Untuk menambahkn, mengurangi, dan mengalikan bilangan kompleks. Kompleks Seperti halnya bilangan riil, pada bilangan kompleks juga berlaku operasi-operasi aljabar seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Selain itu, untuk melakukan penyederhanaan aljabar bilangan kompleks juga mengikuti aturan aljabar biasa dan tetap berlaku bahwa i2 = -1. Contoh 1: ο¨1 ο« i ο© ο½ 1 ο« 2i ο« i 2 2 ο½ 1 ο« 2i ο 1 ο½ 2i Contoh 2: 2 ο« i 2 ο« i 3 ο« i 6 ο« 5i ο« i 2 5 ο« 5i 1 1 ο½ ο ο½ ο½ ο½ ο« i 3οi 3οi 3ο«i 10 2 2 9 ο i2 Sehingga, didapatkan nilai x = 1 1 dan y = ο . Untuk menentukan nilai r, maka digunakan 2 2 2 rumus : r ο½ x ο« y 2 2 1 1 1 ο« (ο ) 2 ο½ lalu,masukkan angka x dan y nya ke rumus. r ο½ 2 2 2 . Sehingga didapatkan nilai sebesar : ο± ο½ arctan 1 2 . Untuk menentukan nilai ο± dengan menggunakan y . Dapat ditulis : x 1 ο° ο± ο½ arctan 2 = arc tan -1= -45 atau ο . 1 4 2 ο Kompleks Konjugat Untuk menentukan besaran modulus bilangan kompleks, diperkenalkan konsep kompleks konjugasi iοͺ ο½ οi , dengan i οͺi ο½ 1. Sehingga dapat didefinisikan kompleks konjugat untuk bilangan kompleks z, yaitu: z ο½ zοͺ ο½ a ο« i οͺ b ο½ a ο ib (2.5) Jelas dari sini bahwa untuk memperoleh modulus z dapat dilakukan melalui ungkapan: z ο½ z οͺ z ο½ ο¨a ο ib ο©ο¨a ο« ib ο© ο½ a 2 ο« b 2 (2.6) Untuk menentukan konjugat dari dua jumlah bilangan kompleks adalah jumlah konjugat dari angka-angka tersebut. Jika : z1 ο½ x1 ο« iy1 dan z 2 ο½ x2 ο« iy 2 , Maka konjugatnya z1 ο« z 2 ο½ x1 ο iy1 ο« x 2 ο iy 2 ο½ x1 ο« x 2 ο i ο¨ y1 ο« y 2 ο© Contoh : zο½ 2 ο 3i 2 ο« 3i , maka konjugatnya z ο½ zοͺ ο½ iο«4 οi ο« 4 Menentukan Nilai Mutlak dari z Seperti yang telah diketahui bahwa untuk menetukan nilai r digunakan persamaan rο½ x2 ο« y2 ο½ zz (2.7) Sehingga terlihat jelas bahwa terdapat hubungan antara r dan z. Contoh 1: 5 ο« 3i ο½ 1ο i 5 ο« 3i 5 ο 3i 14 ο½ ο½ 7 1ο i 1ο« i 2 Contoh 2: 2i ο 1 iο2 2i ο 1 2i ο« 1 2i ο 1 ο½ = iο2 iο«2 iο2 ο5 ο½ 1 ο½1 ο5 Persamaan Kompleks Jika membahas tentang bilangan kompleks,sebenarnya bilangan kompleks adalah sepasang bilangan real dan bilangan imajiner. Dua bilangan kompleks adalah sama jika dan hanya jika bagian sebenarnya mereka sama dan bagian imajiner mereka sama. Sebagai contoh, x + iy = 2 +3i berarti x = 2 dan y = 3. Dengan kata lain, persamaan apapun melibatkan bilangan kompleks benar-benar dua persamaan yang melibatkan bilangan riil. Contoh: Tentukan nilai x dan y jika ( x ο« iy ) 2 ο½ 2i Persamaan tersebut dapat di jabarkan menjadi ( x ο« iy ) 2 ο½ x 2 ο« 2 xy ο y 2 Dan ekivalen dengan dua persamaan riil: x2 ο y2 ο½ 0 2 xy ο½ 2 Dari persamaan pertama, x 2 ο½ y 2 , kita temukan x ο½ y atau y ο½ ο x , substitusi ke persamaan kedua, sehingga diperoleh 2 x 2 ο½ 2 atau ο 2 x 2 ο½ 2 Oleh karena x adalaha bilangan riil, maka x2 tidak boleh negatif, sehingga x 2 ο½ 1 dan y ο½ x , maka x ο½ y ο½ 1, x ο½ y ο½ ο1 Aplikasi Fisika Masalah fisika seperti geometri dapat di sederhanakan dengan menggunakan satu bilangan kompleks dari dua persamaan riil. Contoh: Suatu partikel bergerak pada bidang (x,y), dengan posisinya bergantung pada waktu t, yang diberikan oleh z ο½ x ο« iy ο½ i ο« 2t t οi Tentukan magnitud, atau besaran kecepatan dan percepatan partikel tersebut sebagai fungsi waktu! Penyelesaian: Didefinisikan kecepatan kompleks dan percepatan kompleks d 2z d 2x d2y dz dx dy dan 2 ο½ 2 ο« i 2 ο½ ο«i dt dt dt dt dt dt Maka besarnya kecepatan v didefinisikan v ο½ (dx / dt) 2 ο« (dy / dt) 2 ο½ dz / dt Dan hal yang sama juga pada percepatan a ο½ d 2 z / dt 2 . Sehingga dz 2ο¨t ο i ο© ο (i ο« 2t ) ο 3i ο½ ο½ 2 2 dt (t οi) (t οi) ο 3i dz ο½ dt vο½ ο ο« 3i 3 ο½ (t οi) (t οi) t 2 2 d z ο½ ο¨ο 3i ο©(ο2) ο½ 6i dt (t οi) (t οi) 2 ο«1 , 2 2 3 2 aο½ d zο½ dt (t 2 3 , 6 2 ο« 1) 3 / 2 2.6 Persamaan Euler Rumus Euler, dinamakan untuk Leonhard Euler, adalah rumus matematika dalam analisis kompleks yang menunjukkan hubungan mendalam antara fungsi trigonometri dan fungsi eksponensial. (Identitas Euler adalah kasus spesial dari rumus Euler.) Untuk real π, kita tahu dari bab 1 pangkat dari deret untuk sin π dan cos π : π3 π5 sin π = π − + − β―, 3! 5! π2 π4 cos π = 1 − + −β― 2! 4! Dari definisi (8.1), kita menyebutkan bahwa deret untuk e ke semua pangat, real atau imaginer. Dituliskan untuk π ππ ,dimana π adalah real : eππ = 1 + ππ + = 1 + ππ − (ππ)2 2! π2 2! − + ππ3 3! (ππ)3 3! + + π4 4! (ππ)4 + 4! ππ5 5! + (ππ)5 5! +β― …=1− ππ2 2! (2.8) + ππ4 4! … . +π (π − π3 3! + π5 5! ) (Perubahan dari rumus hanya untuk membuktkan bahwa deret tersebut adalah absolute konvergen.) Formula Euler didefinisikan : eππ = cos θ + π sin θ (2.9) Lalu, kita harus membuktikan dengan menulis bilangan komples seperti yang kita tulis di (4.1) z = π₯ + ππ¦ = π(cos π + π sin π) = ππ ππ (2.10) Contoh: 1. Tentukan nilai dari 2π ππ⁄6 jawab : 2π ππ⁄6 = ππ ππ dengan r = 2, π = π⁄6 dari gambar disamping diketahui bahwa π₯ = √3, π¦ = 1, π₯ + ππ¦ = √3 + π maka, 2π ππ⁄6 = √3 + π 2. Tentukan nilai 3π −1π⁄2 Jawab: 3π −ππ/2 is ππ ππ with r = 3, θ = −π/2. Dari gambar dibawah , x = 0, y = −3, jadi 3π −ππ/2 = x + iy = 0− 3i = −3i. 2.7 Akar dan Pangkat Bilangan Kompleks Dengan menggunakan aturan sebelumnya, untuk mengali dan membagi bilangan kompleks,kita mempunyai π§π = (ππ ππ )π = π π π πππ Untuk seluruh integral n. Dengan kata lain, untuk mendapatkan pangkat ke-n dari bilangan kompleks, kita mengambil pangkat ke n dari modul dan mengalikan sudut dengan n. Untuk kasus r = 1 adalah beberapa kelainan khusus. (π ππ )π = (cos π + π sin π)π = cos ππ + π sin ππ Kalian bisa menggunaan rumus (2.11) ini untuk menemukan π ππ2π, πππ 2π, π ππ2π, dan seterusnya Untuk akar ke n dari z,π₯ 1⁄ π, formula untuk berarti sebuah bilangan komples yang pangkat ke n-nya adalah z. dari (10.1) 1 1 ππ π π π π§1/π = (ππ ππ )π = π π π π = √π (cos π + π sin π) (2.12) Formula ini harus digunakan dengan hati-hati . 2.8 Fungsi Eksponensial dan Trigonometri Didalam materi mengenai bilangan kompleks, terdapat 3 persamaan bilangan kompleks, diantaranya sebagai berikut : z ο½ x ο« iy......(1) z ο½ r (cosο± ο« i sin ο± ).......(2) z ο½ re iο± ........(3) Dari persamaan tersebut, untuk fungsi eksponensial e x berdasarkan persamaan diatas, dapat diubah bentuknya menjadi : e z ο½ e x ο«iy ο« e x e y ο« e x (cos y ο« i sin y) Sebenarnya, terdapat hubungan erat antara fungsi eksponensial dantrigonometri dengan persamaan euler, yang mana pada persamaan euler dapat dituliskan : e iο± ο½ cosο± ο« i sin ο± Dan selalu diingat bahwa cos(οο± ) ο½ cosο± dan sin( οο± ) ο½ ο sin ο± , sehingga untuk ο± yang bernilai negatif dapat dituliskan : e οiο± ο½ cosο± ο i sin ο± Dari kedua persamaan tersebut, untuk mencari nilai sin ο± dan cosο± dapat digunakan dengan metode eliminasi. Berikut penjabarannya : e iο± ο½ cosο± ο« i sin ο± e οiο± ο½ cosο± ο i sin ο± e iο± ο e οiο± ο½ 2i sin ο± sin ο± ο½ e iο± ο e οiο± 2i Untuk mencari nilai dari cosο± sama seperti sebelumnya dengan menggunakan metode eliminasi,sebagai berikut : e iο± ο½ cosο± ο« i sin ο± e οiο± ο½ cosο± ο i sin ο± e iο± ο« e οiο± ο½ 2 cosο± cosο± ο½ e iο± ο« e οiο± 2 Jika digunakan z sebagai pengganti θ, maka hanya mengganti nilai z nya menjadi θ ,atau dapat dituliskan persamaannya sebagai berikut : e iz ο e ο iz , 2i e iz ο« e οiz cos z ο½ 2 sin z ο½ Contoh 1: e 2οiο° ο½ e 2 e οiο° ο½ e 2 .(ο1) ο½ οe 2 Contoh 2: 1 2 2 οe e i.i ο e οi.i e i ο e οi e ο1 ο e sin i ο½ ο½ ο½i ο½i e ο½ ο1.1752011936 i 2i 2i 2 2 2.9 Fungsi Hiperbolik (2.13) Fungsi hiperbolik dapat didefinisikan sebagai kombinasi dari fungsi eksponen. Berikut adalah sin z dan cos z untuk nilai murni z dengan z ο½ x ο« iy eο y ο e y e y ο e ο iy sin iy ο½ ο½i 2i 2 οy y y e ο«e e ο« eοy cosiy ο½ ο½ 2 2 (2.14) Untuk fungsi hiperbolik juga dapat didefuinisikan dlam bentuk sinh z dan cosh z. Berikut persamaannya. e z ο eοz 2 z e ο« eοz cosh z ο½ 2 sinh z ο½ (2.15) Adapun empat fungsi trigonometri lain dapat didefinisikan sebagai berikut : sinh z cosh z 1 sec hz ο½ cosh z 1 coth z ο½ tanh z 1 csc hz ο½ sinh z tanh z ο½ (2.16) Contoh: Buktikan bahwa sinh z ο½ sinh x cos y ο« i sinh x sin y Penyelesaian: sinh z ο½ sin( x ο« iy ) ο¨ ο© 1 x ο«iy e ο e ο x οiy 2 1 1 ο½ e x e iy ο e ο x e οiy 2 2 1 1 ο½ e x (cos y ο« i sin y ) ο e ο x (cos y ο i sin y ) 2 2 1 1 ο½ (e x ο e ο x ) cos y ο« i (e x ο« e ο x ) sin y 2 2 ο½ Contoh 2: Buktikan bahwa d cosh z ο½ sinh z dz Penyelesaian: d d ο¦ e z ο eοz cosh z ο½ ο§ο§ dz dx ο¨ 2 οΆ e z ο eοz ο·ο· ο½ ο½ sinh z (terbukti) 2 οΈ 2.10 Logaritma Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan (atau invers) dari eksponen atau pemangkatan. Logaritma tidak selalu bilangan positif saja. Mungkin sudah umum diketahui bahwa tidak ada logaritma bilangan negatif. Ini benar jika hanya menggunakan bilangan real, tapi hal ini tidak benar bila kita melihat pada bilangan kompleks. Berikut adalah bagaimana cara menemukan logaritma dari bilangan kompleks manapun z ≠ 0 termasuk bilangan riil negatif sebagai kasus khusus. jika z = ππ€ , (2.17) maka menurut definisinya w = ln z π§1 π§2 = π π€1 . π π€2 =π π€1+π€2 (2.18) ln π§1 π§2 = π€1+π€2 = ln π§1 + ln π§2 Persamaan tersebut sudah dikenal umum untuk logaritma suatu produk, untuk logaritma pada bilangan kompleks. Kita kemudian dapat menemukan bagian real dan imajiner dari logaritma a bilangan kompleks dari persamaan w = ln = ln (ππ ππ ) = Ln r + ln π ππ = Ln r + iπ dimana Ln r logaritma biasa, ke basis e dari bilangan positif nyata r Karena θ memiliki jumlah nilai tak terbatas (semua berbeda dengan kelipatan 2π), Bilangan kompleks memiliki logaritma tak terhingga banyaknya, berbeda satu sama lain dengan kelipatan 2πi. Nilai pokok ln z (sering ditulis sebagai Ln z) adalah yang menggunakan prinsip nilai θ, yaitu 0 ≤ θ <2π. (Beberapa referensi menggunakan -π <θ ≤ π.) 2.11 Invers dari Trigonometri dan Fungsi Hiperbolik Telah didefinisikan fungsi trigonometri dan hiperbolik bilangan kompleks z misalnya. w ο½ cos z ο½ e iz ο« e οiz 2 (2.19) Didefinisikan w=cos z, yaitu untuk setiap bilangan komplek yang memberikan bilangan π. Sekarang dapat didefinisikan invers dari kosinus atau arccosο· oleh z ο½ arccos w if w ο½ cos z (2.20) Semua invers fungsi trigonometri dan hiperbolik lainnya didefinisikan dengan cara yang sama. Contoh 1 z ο½ arccos2 or cos z ο½ 2 Sedemikian rupa sehingga e iz ο« e ο½iz ο½2 2 Dalam aljabar , misalkan u ο½ e iz , lalu e οiz ο½ u ο1 dan hasilnya menjadi : u ο« u ο1 ο½2 2 Kalikan dengan 2 dan oleh u 2 ο« 1 ο½ 4u atau u 2 ο 4u ο« 1 ο½ 0 . Pecahkan persamaan ini dengan rumus kuadrat untuk ditemukan. uο½ 4 ο± 16 ο 4 ο½ 2 ο± 3 atau e iz ο½ u ο½ 2 ο± 3 2 Tentukan logaritma dari kedua sisi persamaan ini dan selesaikan z. iz ο½ ln( 2 ο± 3) ο½ Ln(2 ο± 3 ) ο« 2nο°i arccos 2 ο½ z ο½ 2nο°i ο iLn(2 ο± 3 ) ο½ 2nο°i ο 1.317i dengan kalkulator , untuk membuktikan cos z dan hasilnya adalah 2 , substitusi iz ο½ ln( 2 ο± 3) e iz ο½ e ln(2ο± e οiz ο½ 3) ο½ 2 ο± 3, 1 1 2ο 3 ο½ ο½ ο½ 2 ο 3. iz 4ο3 e 2ο± 3 Sedemikian rupa sehingga cos z ο½ e iz ο« e οiz 2 ο± 3 ο« 2 ο 3 4 ο½ ο½ ο½2 2 2 2 Telah terbukti. Dengan metode yang sama, kita dapat menemukan semua fungsi trigonometri dan hiperbolik terbalik dalam istilah logaritma.