Abu Syafik: Aplikasi Distribusi Lognormal dalam Statistika 1

APLIKASI DISTRIBUSI LOGNORMAL
DALAM STATISTIKA
Abu Syafik
Jurusan Pendidikan Matematika
FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo
Abstrak
Salah satu distribusi yang penting dan banyak digunakan dalam statistika
adalah distribusi normal. Karena distribusi normal merupakan dasar dari
statistika maka distribusi normal merupakan dasar hukum untuk semua
distribusi peluang. Terutama distribusi peluang dengan peubah acak kontinu.
Satu-satunya distribusi peluang dengan peubah acak kontinu yang mengikuti
hukum distribusi normal adalah distribusi lognormal.
Distribusi Lognormal mengikuti hukum distribusi normal, karena
distribusi lognormal diperoleh dari transformasi peubah acak pada fungsi
densitas distribusi Normal.
Kata Kunci: distribusi normal, fungsi densitas, aplikasi
Pendahuluan
Statistika adalah ilmu
yang
Dalam
penerapan
statistika
berhubungan dengan pengumpul- an
digunakan berbagai metode statis- tika
pengaturan,
peng-
sesuai dengan kebutuhan. Salah satu
gambaran dari penganalisisan data,
metode statistika yang diguna-kan
serta
adalah
perhitungan,
penarikan
kesimpulan
dan
distribusi
peluang.
Pada
pengambilan keputusan yang rasio-
Statistika Matematika1 telah dipela-
nal berdasarkan hasil analisis yang
jari
dilakukan.
(aplikasi)
khusus yang penting baik distribusi
statistika digunakan dalam berbagai
peluang dengan peubah acak diskrit
bidang seperti ilmu fisika, ilmu
maupun distribusi
teknik, perdagangan atau usaha, ilmu
peubah acak kontinu. Salah satu
kesehatan dan biologi, ilmu sosial dan
distribusi peluang dengan peubah
Penerapan
beberapa
distribusi
peluang
peluang dengan
pendidikan.
Abu Syafik: Aplikasi Distribusi Lognormal dalam Statistika 1
acak
kon-tinu
adalah
distribusi
normal.
Fungsi densitas dari peubah acak X
didefinisikan sebagai :
Distribusi normal merupa-kan
f ( x)  1 ( 2 y2 )
2
salah satu distribusi yang pen- ting
dan
banyak
digunakan.
2
 
 
   exp  -  1
  
  2 
 
Karena
distribusi normal merupakan hu- kum
peluang untuk distribusi pelu-
1
= 0,
2
y
(ln x
  

 )²  , x   0   
   


x lainnya
ang
Fungsi densitas pada definisi 1
terutama. Distribusi peluang dengan
peubah acak kontinu. Ada satu
diperoleh dari
distribusi normal
distribusi peluang dengan pe-
ubah
dengan mentransformasikan peu-bah
acak kontinu yang mengikuti distribusi
acaknya. Berikut uraian bagai-mana
normal yaitu distribusi lognormal.
fungsi distribusi lognormal diperoleh.
Misalkan X dan Y adalah dua
Distribusi Lognormal
buah
Distribusi lognormal dalam
bentuk
sederhana
adalah
peubah
acak
dengan
Y
mengikuti distribusi normal. Jika
X
fungsi
= exp (Y) atau Y = ln X, maka
densitas dari sebuah peubah acak
distribusi peubah acak X diperoleh
yang logaritmanya mengikuti hu-
dengan mentransformasikan peu-bah
kum distribusi normal.Adapun de-
acak Y = ln X, yaitu:
finisi dari distribusi lognormal adaf(x) = g(y)
lah sebagai berikut :
dengan g(x) adalah fungsi densitas
Definisi 1:
Misalkan sebuah peubah acak X
mempunyai ruang range atau daerah
hasil Rx  {x / 0  x  } dan
dx
dx
Y
dari distribusi normal. Hubungan
nilai y dari Y dengan x dari X
diberikan dengan
= lnX mengikuti distribusi normal
dengan rata-rata µ1 dan varians  y2 .
2 Abu Syafik: Aplikasi Distribusi Lognormal dalam Statistika
dy 1
dx
= sehingga
dx x
dx
y = ln x, maka
=
1
x

0



  ,a  0
2
 exp  au du 
1
2
1 
2 a
0

lognormal berbentuk:
1
2

1
 2 (2 ) 2 exp  12 z 2 dx
Kita ingat bahwa
maka fungsi densitas dari distribusi
f (x)  1 (2y2 )
2

 f ( x)dx 1.
Maka
1
exp [- 2 (lnx π)² , x > 0]
2σ y
= 0 , x lainnya

Jadi, fungsi (fx) pada definisi 1
merupakan fungsi densitas.
Kita periksa bahwa f(x) yang dipe
Kita
akan
menentukan
pa-
roleh merupakan fungsi densitas.
rameter dari besaran-besaran yang
f (x)  0, untuk setiap x > 0
berkaitan dengan distribusi lognor-
(i)
(ii) ∫_ f (x) dx
mal, seperti: rata-rata, varians, mo-
[ 2σ1
=∫0-½(2 σ y2 )-½exp -
Misal z =
dz 
ln x   y
y
2
y
(lnx- y)²]dx
dus, median, momen,ukuran kemiringan dan ukuran keruncingan.
1. Rata-rata dan Varian
maka
Jika kita memperhatikan defi- nisi
1
dx
x y
1,maka terdapat dua para- meter
dan distribusi lognormal yaitu µy
Batas-batas dalam z
dan σ y2 . Rata-rata dan varians dari
untuk x  0 , maka z  
dis- tribusi lognormal adalah
untuk x   , maka z  
E(X )  y 
sehingga diperoleh





 x . f ( x ) dx

1


f ( x)dx   (2 ) 2 exp  z dx
1
2
2


 x.
1
x
( 2 
2
y
)

1
2


misal z =
e xp  

ln x
σy
μy
1
2
2
y
(ln x   y ) 2  dx

,
Abu Syafik: Aplikasi Distribusi Lognormal dalam Statistika 3
maka dz =
untuk x   , maka z  
1
dx
xσ y
sehingga:
x = exp ( σy z + µy )


1


E( X 2 )   exp(2 y z  2 y )(2 ) 2 exp  12 z 2 dx

Batas-batas dalam z


1

 exp(2y ) 2 y2  (2) 2 exp 12 (z2 4 y z 4 y2 )2 dx
untuk x  0 , maka z  


1


 exp(2y )  2 y2  (2 ) 2 exp  12 z2  2 y )2 dx
untuk x   , maka z  

sehingga:
 exp(2y )  2 y2

1


E(X)  x   exp( y z  y )(2) 2 exp 12 z 2 dx



1

sehingga:


 exp(x  12 y2 ) (2) 2 exp 12 (z2 y2 ) dx
Var ( X )   x2  E ( X 2 )  E ( X ) 2
 x  exp y  12   y2 
 exp 2 y  2 y2  exp( y  12  y2 )


 
 x2  exp 2  y  2 y2   exp( y2 )  1

2
Apabila rata-rata dan varians
Sedangkan untuk memperoleh varians kita perlu menghitung
varians dari X, maka dari
 x2  exp 2  y  2 y2   exp( y2 )  1

E( X 2 ) 
x
2
. f ( x) dx



2
2
 x. 1x (2 y ) 2 exp  21 2y (ln x   y )  dx
1


1

 exp(x  12 y2 ) (2) 2 exp 12 (z2 y2 ) dx

misal z =
ln x
μy
σy
maka dz =
dari Y dinyatakan dalam rata-rata dan
,
1
dx
xσ y
x = exp ( σy z + µy )
Batas-batas dalam z
= π y2 [exp( σ y2 )-1]
2
exp ( σ y2 ) = 1 + x
2
μ
x
σ
2
atau σ y2 = ln 1 + x
2
μ
x
σ
,
dan dari
µx = exp (µy + ½ σ y2 )
untuk x  0 , maka z  
4 Abu Syafik: Aplikasi Distribusi Lognormal dalam Statistika
ln µx
= µy + ½ σ y2
µy = ln µx - ½ σ y2
2
= ln µx - ½ ln 1 + x
2
μ
x
µy = ln µx - ½ ln


σ
µy

1
1
2y2 2 exp 21 2 (lnx  y )2 
2
 y

x
2
ln(x)   y  1
1
 1

2 

ln x  y )2 
 2 (2y ) 2 exp
2
2
 2y

  y  x
f ' (x)  

Karena f’ (x) = 0, maka


1
1
2y2 2 exp 21 2 (lnx  y )2  
2
 y

x
2
ln(x)   y  1
 1

1
ln x  y )2 
 2 (2y2 ) 2 exp

2
2
  y  x
 2y

μ x2 + σ y2

μ y2

µy = ln µx - ½ [ln ( μ x2 + σ x2 ) – ln μ y2 )
sehingga σ y2 = [ln x - µy] atau
µy = lnµx-½ [ln ( μ x2 + σ x2 )+ ½ln μ x2
ln x = - σ y2 atau
x = exp (µy- σ y2 )
µy = 2 ln µx - ½ ln ( μ x2 + σ x2 )
Jadi modus dari distri-busi
µy = ln µx - ½ [ln ( μ x2 + σ x2 )
lognormal terjadi pada:
μ x2
µy = ln
x = exp (µy- σ y2 )
μ y2 + σ x2
Sedangkan median dari sebuah
distribusi didefinisikan sebagai
2. Modus dari Median
Modus dari sebuah dis-
nilai x sedemikian sehingga (X 
tribusi didefinisikan sebagai nilai
x ) = P (X > x). Dari definisi 1
x yang mengakibatkan nilai fungsi
kita ketahui bahwa Y =
kepadatan peluang f(x) mencapai
maksimum.Nilai
f
(x)
akan
ln X
dengan rata-rata µy dari varians
σ y2 , sehingga:
maksimum jika dan hanya jika
P (X  x) = P (X > x)
f’(x) = 0. Dari definisi 1 kita tahu
P (ln X  ln x) = P (ln X > ln x)
bahwa:
P (Y  ln x) = P (Y > ln x)

f ( x)  1x 2 y2
maka

 12
exp 21 2 (ln x   y ) 2 , x  0
 y

P Z
ln x
μy
σ 2y
=P Z>
ln x
μy
σ 2y
Abu Syafik: Aplikasi Distribusi Lognormal dalam Statistika 5
Hal di atas akan terjadi jika hanya
jika
ln x
μy
σ 2y
distribusi lognormal ada-lah: µ3 =
exp (3µy +
=0
Secara umum momen ke-k:
Sehingga ln x - µy = 0 atau
µk = exp (k1µy + ½ k² σ y2 )
x = exp (µy)
Jadi media dari distribusi lognormal
terjadi pada x = exp (µy)
Sedangkan momen ketiga dan
keempat sekitar rata-rata adalah
µ3 = µ3 - 3 µ1.µ3 + 2(µ1)3
3. Momen
Nilai ekspektasi dari X
(ditulis
9 2
σ )
2 y
E(X)
adalah
momen
kesatu sedangkan E (X) adalah
rata-rata, maka rata-rata merupakan momen kesatu. Sehingga
momen kesatu distribusi lognormal adalah :
Nilai ekspektasi X² (ditulis
E(X²)) merupakan momen kedua. Sehingga momen kedua dari
distribusi lognormal adalah : µ2 =
exp (2µy + 2 σ y2 )
Nilai ekspektasi X
(ditulis E
(X3)) merupakan momen ketiga.
Sehingga momen
ketiga
9 2
σ )–3
2 y
 
4 
 exp( x  12  y2 ) exp 2 y   y2 
2 
 


 
1 
 2exp  y   y2 
2 
 
9


  exp( 3  x   y2 ) 
2



5


 3  exp  3  y   y2  
2



µ1 = exp (µy + ½ σ y2 )
3
= exp (3µy +
dari

3


 2  exp  3  y   y2  
2



3


  exp( 3  x   y2 ) 
2


2
2
exp  y  exp  y  2

 
 

1 2 3

 exp(  x   y ) 
2


2
exp 3 y  3 exp  y2  2
  
  
6 Abu Syafik: Aplikasi Distribusi Lognormal dalam Statistika
4. Ukuran Kemiringan
5. Ukuran
Untuk menentukan mo-del
lengkungan
kurva
dari
Keruncingan
(Kur-
tosis)
Untuk
suatu
menentukan
distribusi ditinjau dari koefisien
runcingan
kemiringannya, kita harus meng-
distribusi digunakan rumus:
hitung dahulu koefisien kemiringan.
Koefisien
kemiringan
diperoleh dengan menggunakan
2 =
kurva
dari
kesuatu
μ4
–3
σ4
2 : koefisien
dengan
keruncingan
rumus:
µ4 : momen keempat
μ3
σ3
1 : koefisien ketiga
1 =
dengan
sekitar rata-rata
σ = simpangan baku
sekitar rata-rata
Sehingga
µ3 : momen ketiga
koefisien
keruncingan
distribusi lognormal adalah:
sekitar rata-rata
 2  [exp( y2 ) 1]4  6[exp( y2 ) -1]3
σ = simpangan baku
15[exp( y2 ) 1]2 16[exp( y2 ) -1]
suatu distribusi
Sehingga
koefisien
kemiringan
distribusi lognormal adalah:
1 
Dari hasil perhitungan sebelumnya,
(  x ) 3 ([exp( y2 )  1]3  3[exp(3 y2 )  1]2 )
(  [exp( )  1])
2
2
3
2
3
2
 1  [exp( )  1]  3[exp( ) - 1]
2
y
2
y
Grafik Distribusi Lognormal
1
2
seperti
rata-rata
ukuran
kemiringan
keruncingan,
distribusi
modus,
maka
lognormal
median,
dan
grafik
ukuran
dari
digambarkan
sebagai berikut:
Abu Syafik: Aplikasi Distribusi Lognormal dalam Statistika 7
= 7,20 x 1010
f(x)
Me = exp (µy)
= 5,18 x 1010
b. P (X)  1021)
= P (ln X  1021)
Mo
Me
x
= P (Y  1021)
x
= P (Z 
Gambar 2.
10 21
50
5
Contoh soal dan penyelesaian:
= P (Z  - 0,33)
1. Misalkan x adalah peubah acak
= 0,3707
dengan Y = ln X yang meng-ikuti
distribusi lognormal dengan ratarata
2. Buktikan
jika
X
)
mempunyai
distribusi lognormal dengan rata-
µy = 50 dan
rata dan varians σ 2y dan a,b beserta
varians σ 2y = 25.
d adalah tiga buah konstanta
Tentukan:
dengan b = exp (d) maka W = b
a. Rata-rata, varians, modus, dan
Xa
median dari peubah acak X
b. P (x  10)21
distribusi
lognormal dan rata-rata (d + σ 2y )
dan varians (a² σ 2y ).
Penyelesaian:
1
a. µx = exp (µx + σ 2y )
2
= 1,39 x 1027
σ 2x =exp(2µy+ σ 2y )[exp( σ 2y )– 1]
= 1,39 x 1085
Mo = exp (µy -
mempunyai
σ
2
y
)
Bukti:
Diketahui : X berdistribusi lognormal, maka :

f ( x)  12  2 y2




1
2



1 
ln x   y 2 , x  0
exp  
2 


 2 y 

a
W = bx , maka X =
8 Abu Syafik: Aplikasi Distribusi Lognormal dalam Statistika
W
b
1
a
Hubungan nilai w dari W de-ngan
x dari X diberikan dengan
w
b
x=
=
w
b
1
a
, sehingga
dx
1
=
x
dw
ab
1
1
a
Batas dalam w
Untuk x > 0, maka w > 0.
g(w)

1
1
=f
w
b
1
a
dx
dw
2 
1
2 
2
y
 w a
b 
 

 1
exp  2
 2 y

1


  w a

 ln    y 
 b



2

 1 wa

 ab b





1
1
2 2 

2a  y 2
w
2
1





1   w a
 
exp  2 2  ln    a y  
 
 2a  y   b 

 

1
1
2 2 
 2a  y 2
w


1
2
exp  2 2 ln w  ln b  a y  
 2a 

y


1
1

 2a 2 y2  2
w


1
2
exp  2 2 ln w  d  a y  
 2a 

y


Jadi g(w) merupakan fungsi densitas
dari distribusi lognor-mal dengan rata
(d + aµy) dan varians (a² σ 2y ).
Penutup
1. Definisi Distribusi Lognormal
Misalkan sebuah peubah acak X
mempunyai range atau dae-rah
hasil Rx = {x0 < x < ~} dan Y =
ln X mengikuti distribusi normal
dengan rata-rata y dan varians
σ 2y .
Abu Syafik: Aplikasi Distribusi Lognormal dalam Statistika 9
Fungsi densitas dari peubah acak
X didefinisikan sebagai:

f ( x)  1x 2 y2

 12
exp 21 2 (ln x   y ) 2 , x  0
 y

=0
,x lainnya
2. Rata-rata dan Varians distribusi
lognormal adalah:
µx = exp (µx +
1 2
σ ) dan
2 y
Daftar Pustaka
Freud, J. E. and Walpole, R. F. 1980.
Mathematical Statitics. Third
Edition. Englewood New
York: Prentice-Hall. Inc.
Heryanto, Nar. 1992. Pengantar
Statistika Matematika. Jilid 1.
Bandung: Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA IKIP
Bandung.
lognormal terjadi pada:
Hinnes, William W. and Montgomery, Douglas C., 1972.
Probability and Statistics in
Engeneering and Mana-gement
Science. New York: John
Willey & Sons. Inc.
x = exp (µy - σ 2y )
Pollet,
σ 2x = exp(2µy+ σ 2y )[exp( σ 2y ) – 1]
3. Modus dan median distribusi
ke-k
A dan Nasrullah. 1994.
Penggunaan Metode Statistika untuk Ilmu Hayati. Yogyakarta: Gadjah Mada University
Press.
5. Koefisien kemiringan distribusi
Purcel and Varberg (terjemahan I.N.
Susilo dkk). 1990. Kal-kulus
dan Geometri Analitik. Jilid 1.
Edisi
Keempat.
Jakarta:
Erlangga.
dan x = exp (µy)
4. Secara umum
diberikan oleh:
momen
1
k = exp k.y + k² σ 2y
2
lognormal adalah:
3
2
1
2
 1  [exp( y2 )  1]  3[exp( y2 ) - 1]
Koefisien keruncingan distri-busi
lognormal adalah:
R. V, Hogg,. and Craig, A. T. 1978.
Introduction ot Mathematical
Statistics. Fourth Edition.
New
York:
Macmillan
Publishing Co. Inc.
Supranto, J. 1991. Statistik: Teori dan
Aplikasi. Jilid 2. Edisi Kelima.
Jakarta: Erlangga
10 Abu Syafik: Aplikasi Distribusi Lognormal dalam Statistika
Abu Syafik: Aplikasi Distribusi Lognormal dalam Statistika 1