Limit Fungsi

Definisi Limit Fungsi
Sifat Limit Fungsi
KALKULUS MULTIVARIABEL II
Limit Fungsi
(Minggu ke-2)
Supama dan Hadrian Andradi
Jurusan Matematika
FMIPA UGM
Yogyakarta, Indonesia
Supama dan Hadrian
Limit Fungsi
Definisi Limit Fungsi
Sifat Limit Fungsi
1
Definisi Limit Fungsi
2
Sifat Limit Fungsi
Supama dan Hadrian
Limit Fungsi
Definisi Limit Fungsi
Sifat Limit Fungsi
Limit Fungsi
Diberikan sebarang c ∈ R, c ∈ Rn , dan r > 0. Himpunan
Nr (c) = {x ∈ R ∶ ∣x−c∣ < r} dan Nr (c) = {x ∈ Rn ∶ ∥x−c∥2 < r}
masing-masing disebut persekitaran titik c dan titik c
dengan jari-jari r.
Titik c ∈ R disebut titik limit himpunan D ⊂ R jika untuk
setiap r > 0
Nr (c) ∩ D − {c} ≠ ∅
Contoh 2.2
Titik 2 merupakan titik limit himpunan D = [0, 2) ∪ {3}, tetapi
3 bukan titik limit D.
Supama dan Hadrian
Limit Fungsi
Definisi Limit Fungsi
Sifat Limit Fungsi
Limit Fungsi
Diberikan fungsi f ∶ D ⊂ R → Rn dan c ∈ R titik limit D.
Fungsi f dikatakan mempunyai limit L = (L1 , L2 , . . . , Ln ) untuk
x mendekati c, ditulis
lim f (x) = L
x→c
jika untuk setiap bilangan real ε > 0 terdapat bilangan real δ > 0
sehingga untuk setiap x ∈ D dengan 0 < ∣x − c∣ < δ berlaku
∥f (x) − L∥2 < ε
Hal tersebut dapat pula dinyatakan sebagai:
Definisi
lim f (x) = L jika dan hanya jika untuk setiap bilangan real ε > 0
terdapat bilangan real δ > 0 sehingga untuk setiap
x ∈ D ∩ Nδ (c) − {c} berakibat f (x) ∈ Nε (L).
x→c
Supama dan Hadrian
Limit Fungsi
Definisi Limit Fungsi
Sifat Limit Fungsi
Contoh
Contoh Soal
1. Jika f (x) = (x, 1 − 2x, 3), tunjukkan lim f (x) = (−1, 3, 3).
x→−1
2. Selidiki apakah lim f (x) ada, jika
x→1
f (x) = (
∣x2 − 1∣
, x)
x−1
Telah dijelaskan hubungan antara fungsi f ∶ D ⊂ R → Rn
dengan fungsi g ∶ D ⊂ R → Rn .
Pertanyaan: bagaimana hubungan lim f (x) dan lim g(x)
x→c
x→c
untuk kedua fungsi di atas?
Supama dan Hadrian
Limit Fungsi
Definisi Limit Fungsi
Sifat Limit Fungsi
Sifat-sifat
Sifat 2.3
Diberikan f ∶ D ⊂ R → Rn sehingga
f = (f1 , f2 , . . . , fn )
untuk suatu fk ∶ D ⊂ R → R, k = 1, 2, . . . , n. Berlaku
lim f (x) = (L1 , L2 , . . . , Ln )
x→c
jika dan hanya jika
lim fk (x) = Lk
x→c
untuk setiap k = 1, 2, . . . , n.
Supama dan Hadrian
Limit Fungsi
Definisi Limit Fungsi
Sifat Limit Fungsi
Contoh-contoh
Hitunglah:
x5 + 32 x + 2
,√
, 2 − x).
x→−2 x2 − 16
x2 − 2
√
x2 − 3x + 1 √ 2
,
2. lim (
x
−
1
−
x2 + x).
x→−∞
3x2 − 7
1. lim (
Supama dan Hadrian
Limit Fungsi
Definisi Limit Fungsi
Sifat Limit Fungsi
Sifat-sifat
Dengan memperhatikan Sifat 2.3, selanjutnya dapat ditunjukkan
sifat berikut.
Sifat 2.4
Jika lim f (x) = L = (L1 , L2 , . . . , Ln ),
x→c
lim g(x) = K = (K1 , K2 , . . . , Kn ), dan k ∈ R, maka
x→c
(i) lim{f (x) + g(x)} = L + K.
x→c
(ii) lim kf (x) = kL.
x→c
(iii) lim{f (x).g(x)} = LK.
x→c
(iv) lim
x→c
f (x) L
= , asalkan Ki ≠ 0 untuk setiap i ∈ {1, 2, . . . , n}.
g(x) K
Supama dan Hadrian
Limit Fungsi