Fungsi Balikan Trigonometri

Fungsi Balikan Trigonometri
Tujuan: (Persiapan untuk Teknik Pengintegralan)
1. Memahami pendefinisian fungsi balikan trigonometri.
2. Memahami pencarian turunan dari fungsi balikan
trigonometri.
Fungsi trigonometri merupakan fungsi periodik yang memiliki
nilai yang berulang. Untuk mendefinisikan fungsi balikan
digunakan pembatasan pada selang domainnya. Jadi perlu
diperhatikan selain domainnya dalam menentukan nilai
fungsinya.
Definisi:
x  sin 1 y  y  sin x, dan


2
x

2
x  cos 1 y  y  cos x, dan 0  x  
x  tan1 y  y  tan x, dan    x  
2
2
1
Kaitan Invers Sinus dan Kosinus cos - 1x + sin - 1x = 2p , - 1 £ x £ 1.
Bukti Dari y = cos - 1x untuk 0  y   atau - 12p £ 12p - y £ 12p , maka diperoleh

y  cos 1x berarti x  cos y  sin 2   y
1
 y
2
1

 sin 1x berarti cos 1x  sin 1x  2 .
1

x  sec1 y  y  sec x, dan 0  x   , x 
2
1
1
sec
x

csc
x

Ingat bahwa
cos x dan
sin x dapat diperoleh
1
sec x  cos   , | x |  1
 x
1
1

csc1x  sin 1 x , | x |  1
1
Contoh: Hitunglah
 2

cos 

1.
 2 
1
4. sec 2
1
3 
1 
sin
sin


2.
2


3. tan
1
 3 
Bagaimana menentukan
sin  cos1 x  , cos(sin 1 x), sec(tan 1 x), tan(sec1 ) ?
Gunakan segitiga berikut ini:
1
x
t
1 x2
1
t
1 x2
t  sin 1 x
cos(sin 1 x)  1  x 2
x
t  cos 1 x
sin(cos1 x)  1  x 2
1 x2
x
x
x2 1
t
t
1
1
t  tan1 x
1
sec(tan 1 x) 
 1  x2
cos t
t  sec1 x
tan(sec1 x)  x 2  1
Turunan untuk fungsi balikan trigonometri
1
1
1. y = sin - 1x Û x = sin y, - 1 £ x £ 1, - 2p £ y £ 2p
d
dx
sin x   dydx  dx1  d (sin1 y)  cos1 y 
1
dy
dy
1
1  sin y
2

1
1  x2
, 1 x 1
1
2. Dari relasi cos - 1x + sin - 1x = 2p , - 1 £ x £ 1 di-peroleh
d
dx
 cos x   dxd    sin x   0 
1
1
1
2
1
1  x2

1
1  x2
, 1  x  1.
3. Dengan menggunakan turunan fungsi invers
1
1
y  tan 1x  x  tan y, x ,  2  y  2. diperoleh
d
dx
 tan x   dydx  dx1  d (tan1 y)  sec1 y  1  tan1 y  1 1x
1
2
dy
dy
1
1
D
sin
x

,1  x  1
1. x
2
1 x
1
1
D
cos
x

,1  x  1
2. x
2
1 x
2
2
pada
, x .
relasi
1
1
D
tan
x

3. x
1  x2
1
Dx sec1 x 
,1  x  1
2
4.
x x 1
Petunjuk dalam mengingat:
Rumus 1 dan 2 berkaitan dengan kesamaan sin x  cos x  1
2
2
dengan bentuk sin x  1  cos x atau cos x  1  sin x .
2
2
Rumus 3 dan 4 berkaitan dengan kesamaan 1  tan x  sec x
2
2
atau sec x  1  tan x
2
2
Rumus integral yang terkait dengan invers trigonometri
adalah
dx
ò 1 - x2
dx
ò a2 - x2
= sin - 1 x + C
x
= sin - 1 a + C , a > 0 .
dx
= tan - 1x + C
2
1+ x
dx
1
- 1x
=
tan
+ C, a > 0 .
a
a
a2 + x2
ò
ò
Contoh Hitunglah
xdx
ò 4 x - x2
dengan menggunakan manipulasi
integral.
ò
x dx
1 (4- 2 x - 4) dx
=- 2
=2
4x - x
4 x - x2
ò
d (4 x - x2)
+
2 4 x - x2
ò
2 dx
ò 22 - ( x- 2)2 = -
x- 2
4 x- x 2 + 2sin - 1 2 + C.