Print this article - Jurnal Universitas Mercu Buana Yogyakarta

Jurnal Mercumatika Vol. 1 No. 1 Oktober 2016
ISSN: 2548-1819
PERFORMANSI METODE TRAPESIUM DAN
METODE GAUSS-LEGENDRE DALAM PENYELESAIAN INTEGRAL TERTENTU
BERBANTUAN MATLAB
Adi Prasetia
Program Studi Pendidikan Matematika , Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan (FKIP) Universitas
Mercu Buana Yogyakarta
email : [email protected]
Abstrak
Penelitian ini bertujuan untuk membandingkan performansi perhitungan integral tertentu
menggunakan metode Trapesium dan metode Gauss-legendre dalam lima kasus integral untuk
mengetahui ketelitian nilai hasil integral dari kedua metode tersebut berdasarkan presentase error
relatifnya. Penelitian ini merupakan penelitian literatur yang memformulasikan persoalan matematika
sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan atau aritmatik biasa yaitu tambah, kurang, kali
dan bagi untuk memperoleh bilangan yang dengan keakuratan terbaik. Formula metode trapesium
b
yang digunakan adalah

a
f ( x ) dx 
n 1
h

f
a

f
b

2
f i  sedangkan formula Gauss-legendre






2
i 1

yang digunakan adalah
b

a
 
1

ba
 (b  a )

ba 
3

f
f ( x )dx 


2 
2


 

1


 b  a 
 (b  a )
 3

f


2

 .


Penelitian ini menunjukkan bahwa metode Gauss-Legendre mempunyai performansi lebih baik
dengan memberikan presentase error relatif lebih baik daripada metode Trapesium dalam lima kasus
yang digunakan.
Kata kunci: Metode Numerik, metode Trapesium, metode Gauss-legendre
1
Jurnal Mercumatika Vol. 1 No. 1 Oktober 2016
ISSN: 2548-1819
PERFORMANCE OF TRAPEZOIDAL METHOD AND
GAUSS-LEGENDRE METHOD IN SETTLEMENT OF CERTAIN INTEGRAL ASSISTED
MATLAB
Adi Prasetia
Program Studi Pendidikan Matematika , Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan (FKIP) Universitas
Mercu Buana Yogyakarta
email : [email protected]
Abstract
This study aimed to compare the performance of a particular integral calculation using the
Trapezoid and Gauss-Legendre method in five cases integral to determine the accuracy of the integral
value of the results of both methods are based on the percentage of relative error. This study is a
literature formulate mathematical problem that can be solved with the usual arithmetic operations or
calculations are added, less, times and for numbers to obtain the best accuracy. Formula trapezoidal
b
method is used

f ( x ) dx 
a
b

a
n 1
h

f
a

f
b

2
f i  while the Gauss-Legendre formula used is






2
i 1

 
1

ba
 (b  a )
ba  
3

f
f ( x )dx 

2  
2

 

1


 b  a 
 (b  a )
 3
 ,
f


2




This study shows that the Gauss-Legendre method has better performance by giving the percentage of
error is relatively better than Trapezoid method used in five cases.
Keywords: Numerical Methods, Trapezoid method, the method of Gauss-Legendre
perhitungan.
Pendahuluan
Era
globalisasi
saat
ini,
ilmu
Banyak
masalah
ilmu
pengetahuan (sciences) maupun teknologi
pengetahuan dan teknologi berkembang
yang
sangat
dengan
menggunakan integral. Menurut definisi
Matematika
kamus, mengintegrasi berarti “memadukan
pesat,
perkembangan
begitu
juga
matematika.
perlu
pada dasarnya merupakan alat, sarana atau
bersama,
pelayanan ilmu lain. Hal ini tidak dapat
keseluruhan,
dipungkiri dengan munculnya berbagai
jumlah total“.
aplikasi matematika, baik dalam kehidupan
diselesaikan
sebagian
dengan
kedalam
suatu
menyatukan, menunjukkan
Integral
tidak
lain
limit
dari
sehari-hari maupun dalam berbagai disiplin
penjumlahan suatu partisi kecil pada suatu
ilmu lain yang membutuhkan banyak
interval. Interval I : [a,b] yang dibagi atas n
2
Jurnal Mercumatika Vol. 1 No. 1 Oktober 2016
ISSN: 2548-1819
partisi kecil dan memiliki panjang sebesar
menggunakan
metode
Trapesium,
Xk , k = 1,2,…,n. Untuk mengambil n
Menyelesaian
yang cukup besar agar didapat partisi p
metode
sangat kecil, jumlah dari luas persegi
(3) Membandingkan performansi metode
panjang yang berada di bawah kurva y =
yang terbaik berdasarkan ketelitiannya
f(x) (f(x) > 0) dan terbatas dalam interval I :
antara metode Trapesium dan metode
[a,b] dapat dinyatakan.
Gauss-Legendre
integral
(2)
menggunakan
Gauss-legendre,
dalam
penyelesaian
lim  f X k Xk , dengan X k suatu titik
integral. Batasan masalah pada penelitian
pada suatu partisi p dan didefinisikan
dalam penyelesaian integral tunggal adalah
 
n
P 0
k 1
b
sebagai
integral
tunggal I   f ( x)dx .
a
ini meliputi: (1) Metode yang dibahas
metode Trapesium dan metode GaussLegendre dua titik. (2) Membandingkan
performansi metode Trapesium dan metode
(Pratiwi, 2005:17)
Metode numerik merupakan suatu
Gauss-Legendre
dengan
bantuan
cabang atau bidang ilmu matematika yang
MATLAB dari segi ketelitian. (3) Kasus
digunakan
untuk
memformulasikan
yang digunakan adalah integral dengan
persoalan
matematik
sehingga
dapat
maksimal dua order. Berdasarkan uraian
dipecahkan dengan operasi perhitungan
pada alasan pemilihan judul tersebut, maka
atau aritmatik biasa yaitu tambah, kurang,
penelitian ini adalah menyelesaikan suatu
kali dan bagi. (Munir, 2003: 5). Setiap
permasalahan
perhitungan
numerik
Trapesium dan metode Gauss-Legendre.
mempunyai suatu tujuan, tetapi perlu
Program MATLAB sebagai alat untuk
diperhatikan bahwa maksud utama dari
menyelesaikan
perhitungan adalah penghayatan masalah
komputasi. Tujuan penelitian ini adalah
untuk memperoleh bilangan yang tepat.
untuk mencari performansi terbaik antara
Oleh karena itu proses perhitungan atau
metode Trapesium dan metode Gauss-
algoritma yang tepat sangat dibutuhkan
Legendre
dalam menyelesaikan permasalahan yang
masalah integral menggunakan MATLAB
menyangkut metode numerik. Sehingga
berdasarkan ketelitian. Manfaat penelitian
perhitungan dapat dapat
ini adalah untuk mengetahui metode yang
dalam
metode
menghasilkan
terbaik
ketelitian yang baik.
Identifikasi dalam penelitian ini
yaitu:
(1)
Menyelesaian
integral
integral
menyelesaikan
menggunakan
metode
permasalahan
dalam
dari
dengan
secara
penyelesaian
segi
ketelitian
masalah
metode
suatu
dalam
integral
trapesium
dan
3
Jurnal Mercumatika Vol. 1 No. 1 Oktober 2016
metode
Gauss-Legendre
ISSN: 2548-1819
berbantuan
MATLAB.
Integral Numerik
Integral adalah salah satu hal yang
mendasar disamping turunan (derivative).
Gambar 1. Integral Tertentu
Dalam kuliah kalkulus integral, kita telah
Diberikan dua buah titik data (0,f(0)) dan
diajarkan cara memperoleh solusi analitik
(h,f(h)). Polinom interpolasi yang melalui
dan eksak dari integral tak tentu maupun
kedua buah titik itu adalah sebuah garis
integral tentu. Integral tak tentu dinyatakan
lurus. Luas daerah yang dihitung sebagai
sebagai
hampiran nilai integrasi adalah daerah di
 f (x)dx  F (x)  C
bawah garis lurus tersebut seperti pada
Solusinya,
F(x)
adalah
fungsi
gambar 2.
menerus sedemikian sehingga F’(x) = f(x),
dan C adalah konstanta. Integral tertentu
y = f (h)
menangani perhitungan integral di antara
batas-batas yang telah ditentukan, yang
dinyatakan sebagai
b
I   f ( x)dx
Gambar 2. Kaidah Trapesium
a
Menurut teorema dasar kalkulus integral di
Polinom interpolasi-Gregory derajat 1 yang
atas dihitung sebagai
melalui kedua buah titik i adalah
b
b

p1 ( x)  f ( x0 )  x
f ( x) dx  F ( x)  F (b)  F ( a )
a
a
yang diartikan sebagai integrasi fungsi
f(x)terhadap variabel x, yang dievaluasikan
antara batas x = a hingga x = b.
Sebagaimana
dianjurkan
oleh
definisi
kamus, makna persamaan diatas adalah
f ( x0 )
f
 f0  x 0
h
h
Integrasikan p1 ( x) di dalam selang [0,1]:
h
I   f ( x)dx
0
h
  p1 ( x ) dx
0
h
f

   f0  x 0
2h
0
jumlah total atau asumsi f(x) dx yang
meliputi bentangan dari x = a hingga x = b
 xf 0 
x2
f 0
2h

dx

xh
x0
terlihat pada gambar 1.
4
Jurnal Mercumatika Vol. 1 No. 1 Oktober 2016
ISSN: 2548-1819
h
 hf 0  f 0
2
x1
b
 f ( x)dx
  f ( x)dx   f ( x)dx  ...
a
x0
h
 hf 0  ( f1  f 0 ) ,
2

f ( x)dx
h
 f (x0 )  f (x1 )
2
h
  f ( x1 )  f (x2 )  ...
2
h
  f ( xn 1 )  f (xn )
2
h
 ( f 0  f1 )
2

Jadi kaidah trapesium adalah
h
 f ( x0 )  2 f ( x1)  2 f ( x2 )  ...  2 f ( xn1 )  f ( xn )
2
n 1
h

  f 0  2 f i  f n 
2
i 1

h
2
I   f ( x)dx  ( f 0  f1 )
Dengan f r  f ( xr ), r  0,1,2,..., n
Kaidah trapesium untuk integrasi dalam
selang [0,h] dapat


f 0  f1  f 0
h
h
 f 0  f1
2
2
0
x1
xn
xn1
sebab
h
x2
diperluas
untuk
menghitung
Untuk x0  a dan xn  b maka diperoleh
metode trapesium
b

b
I   f ( x)dx
f ( x ) dx 
a
n 1
h

f
a

f
b

2
fi 






2
i 1

a
I sama dengan luas daerah integrasi di
Metode Gauss-Legendre
dalam
Dalam kaidah trapesium jika digunakan
selang
[a,b]
menjadi
n
buah
upaselang (subinterval) dengan lebar tiap
upaselang diinterpolasi dengan polinom
derajat 1. Jadi, di dalam selang [a,b]
terdapat n buah polinom
yang
terpotong-potong
Integrasi masing-masing
derajat
satu
(piecewise).
polinom
itu
menghasilkan n buah kaidah trapesium
yang disebut kaidah trapesium gabungan.
Luas daerah integrasi di dalam selang [a,b]
untuk menghitung
1
I   f ( x)dx
1
Daerah
integrasi
dihampiri
dengan
dalam
selang
sebuah
[-1,1]
trapesium
(Gambar 3) yang luasnya adalah
1
h
 f (1)  f (1)  f (1)  f (1)
2
dengan h = (1-(-1)) = 2
I   f ( x)dx 
1
adalah jumlah seluruh luas trapesium, yaitu
5
Jurnal Mercumatika Vol. 1 No. 1 Oktober 2016
ISSN: 2548-1819
1
 f ( x)dx dihampiri dengan kuadraturGauss
1
Sebuah garis lurus ditarik menghubungkan
dua titik sembarang pada kurva y  f (x).
Gambar 3. Integral
1
 f ( x)dx dihampiri dengan kuadratur
1
I
h
1
garis
sedemikian
lurus
tersebut
menyeimbangkan galat positif dan galat
Luas
daerah
yang
dihitung
lurus, yang dinyatakan sebagai
1
I   f ( x)dx  c1 f ( x1 )  c2 f ( x2 )
sebagai
1
I  c1 f (a)  c2 f (b)
dengan a = -1, b = 1, c1= c2= h/2 = 2/2 =
1
Pendekatan integrasi yang berbeda dengan
metode Newton-Cotes dikembangkan oleh
Gauss dan dinamakan metode Kuadratur
Gauss (Gaussian Quadrature). Metode ini
batasan-batasan yang terdapat pada metode
Newton-Cotes dihilangkan sehingga tidak
perlu lagi menentukan titik-titik diskrit
yang berjarak sama, tetapi nilai integrasi
numerik
sehingga
diatur
sekarang adalah luas daerah di bawah garis
 f ( x)dx  2  f (1)  f (1)  f (1)  f (1)
dapat ditulis
tersebut
negatif.
trapesium Persamaan
1
Titik-titik
cukup
diperoleh
dengan
menghitung nilai fungsi f(x) pada beberapa
jarak tertentu. Pemberian gambaran tentang
kuadratur Gauss pada gambar 4.
dengan c1, c2, x1, dan x2 adalah sembarang
nilai.
Persamaan
diatas
dinamakan
persamaan kuadratur Gauss. Perhatikan
bahwa bila dipilih x1 = -1, x2 = 1 dan c1= c2
= 1, maka persamaan kuadratur Gauss
menjadi kaidah trapesium. Jadi kaidah
trapesium memenuhi persamaan kuadratur
Gauss.
Persamaan
1
I   f ( x)dx  c1 f ( x1 )  c2 f ( x2 )
1
mengandung empat buah peubah yang
tidak diketahui yaitu c1, c2, x1, dan x2. Kita
harus memilih c1, c2, x1, dan x2 sedemikian
sehingga
galat
integrasinya
minimum.
Karena ada empat buah peubah yang tidak
diketahui, maka kita harus mempunyai
empat buah persamaan simultan yang
mengandung c1, c2, x1, dan x2.
Telah
Gambar 4. Integral
dikatakan
bahwa
kaidah
trapesium bersesuaian dengan kuadratur
6
Jurnal Mercumatika Vol. 1 No. 1 Oktober 2016
ISSN: 2548-1819
Gauss. Dapat dilihat bahwa nilai integrasi
tetap dan fungsi lanjar, maka penalaran ini
numerik dengan kaidah trapesium akan
juga
tepat (galat = 0) untuk fungsi tetap dan
anggapan bahwa integrasinya sejati untuk
fungsi lanjar. Misal f(x) = 1 dan f(x) = x.
diperluas
diperoleh
dua
persamaan:
Sekarang kita mendapatkan dua
persamaan tambahan, yaitu
f ( x)  1 maka,
1
1dx  x
1
1
 1  (1)  2  c1  c2 dan,
x  1
1 2
1 xdx  2 x
2
2
3
3
 2 / 3  c1 x1  c2 x2
1
dan
f ( x)  x maka,
1
1
1
f ( x)  x 2   xdx  1 x 3
3
x 1
menambahkan
f  x   x2 dan f  x   x 3
Perhatikan gambar 5, dari dua buah fungsi
tersebut,
dengan
1
1
f ( x)  x   x dx  1 x 4
4
3
x 1
1
1
 (1)2  (1)2  0
2
2
x 1
1
 c1 x1  c2 x2
 0  c1 x1  c2 x2
2
1
sehingga didapatkan empat buah persamaan
simultan
c1  c2  2
c1 x1  c2 x 2  0
2
2
3
3
c1 x1  c 2 x2  2 / 3
c1 x1  c2 x2  0
Yang bila dipecahkan menghasilkan:
c1  c2  1
1
x1 
 0.577350269
3
1
x2  
 0.577350269
3
1
Jadi,
 f ( x) 
1
 1 
f 
 
 3
 1 
f  

3

Persamaan ini dinamakan kaidah GaussLegendre 2-titik.
Gambar 5. Integrasi bernilai sejati dengan
kaidah trapesium
Memerlukan
b
transformasi
dapat ditentukan. Berdasarkan penalaran
bahwa kaidah trapesium sejati untuk fungsi

a
dua
buah persamaan lagi agar c1, c2, x1, dan x2
Selanjutnya
1
f ( x ) dx menjadi
 f (t ) dt
1
b
untuk
menghitung integrasi I   f ( x)dx
a
harus dilakukan tranformasi terlebih dahulu
7
Jurnal Mercumatika Vol. 1 No. 1 Oktober 2016
ISSN: 2548-1819
yaitu: (1) Selang a, b menjadi selang 1,1
Selang
a, b dan 1,1 dilukiskan
, (2) Peubah x menjadi peubah t, (3)
gambar 6.:
oleh
Diferensial dx menjadi dt
Gambar 6. Selang a, b dan
1,1
Dari
kedua
garis
itu
kita
membuat
perbandingan:
b

1
f ( x)dx 
 (a  b)  (b  a)t  (b  a)
 2 dt
2

 f 
1
a
1
(b  a)
f
2 1
 (a  b)  (b  a)t 

dt.
2


x  a t  ( 1)

b  a 1  ( 1)

x  a t 1

ba
2
 2 x  2a  (t  1)(b  a )
atau dalam bentuk eksplisit berikut

b
 f (x)dx 
a
 2 x  (t  1)(b  a )  2 a
(t  1)(b  a )  2a bt  at  b  a  2 a
 x

2
2
a  b  bt  at (a  b)  (b  a )t
 x

.
2
2
Dari
persamaan
diatas,
diperoleh
diferensialnya yaitu:
dx 
ba
dt
2
 f ( x)dx
menjadi
a
f (t ) dt dilakukan dengan menyulihkan
( a  b )  ( b  a )t
dan dx  b  a dt
2
2
ke
b
dalam
 f ( x)dx ,
a
menjadi:
di mana
t1 
1
1
dan t2   .
3
3
sehingga
Galat (error) berasosiasi denganh
seberapa dekat solusi hampiran terhadap
galat maka semakin teliti solusi numerik
1
x
 (b  a)t2  b  a  
f
 ,
2


solusi sejatinya (eksak). Semakin kecil
1

 (b  a)t1  b  a 


2


Analisis Galat
b
Transformasikan

f

ba
2
persamaan
yang didapatkan. Sebagai contoh, seorang
anak melaporkan panjang kawat 99 cm,
padahal nilai sebenarnya 100 cm. Galatnya
adalah 100 – 99 = 1 cm. Anak lain
melaporkan panjang sebatang pensil 9 cm,
padahal
panjang
sebenarnya
10
cm,
sehingga galatnya juga 1 cm. Kedua galat
pengukuran sama-sama bernilai 1 cm,
8
Jurnal Mercumatika Vol. 1 No. 1 Oktober 2016
ISSN: 2548-1819
namun galat 1 cm pada pengukuran
algoritma berlaku untuk semua anggota
panjang pensil lebih berarti daripada galat 1
himpunan masukan.
cm pada pengukuran panjang kawat. Jika
tidak ada informasi mengenai panjang
Diagram Alir (Flowchart)
sesungguhnya, kedua galat tersebut terlihat
Diagram alir merupakan alat bantu
sama. Untuk mengatasi interpretasi nilai
pemrograman yang membantu pembuat
galat ini, maka galat harus dinormalkan
program dalam mengatur pemikiran dan
terhadap nilai sejatinya yaitu menggunakan
penalaran
galat relatif. Galat relatif disini akan
Menurut Yulikispartono (2004:12), sebuah
menujukkan performansi suatu metode
algoritma
dalam metode numerik.
suatu prosedur yang
dalam
pada
memecahkan
prosedur
hakikatnya
program.
merupakan
tepat untuk dapat
masalah
dengan
Algoritma
menggunakan bantuan komputer serta suatu
Definisi algoritma berkembang menjadi
bahasa pemrograman.
sebuah
himpunan
instruksi
yang
mempunyai karakteristik sebagai berikut:
Pemrograman Menggunakan MATLAB
(a) Presisi, yaitu langkah-langkah dari suatu
Sebelum
membahas
algoritma harus dinyatakan dengan jelas
pemrograman
sehingga algoritma tersebut bisa dituliskan
MATLAB terlebih dahulu akan dibahas
dalam bahasa pemrograman, (b) Unik,
tentang pemrograman. (1) Pemrograman
yaitu pelaksanaan setiap langkah pada
adalah Instruksi-instruksi yang diberikan
algoritma
Hasil
kepada komputer agar komputer dapat
semata-mata
melaksanakan tugas-tugas tertentu disebut
bergantung pada masukan dan hasil dari
program. (Abdul Kadir, 2002: 2). Langkah-
langkah sebelumnya, (c) Terhingga, yaitu
langkah dalam penulisan program adalah:
algoritma
(a) Menulis program, (b) menjalankan
pelaksanaan
bersifat
tunggal.
tersebut
berhenti
setelah
beberapa
untuk
dengan
tentang
menggunakan
instruksi terhingga dilaksanakan, jadi tidak
program
menguji
kebenaran
mungkin algoritma berjalan terus-menerus
program, (c) jika ada kesalahan (logika
tanpa berhenti yaitu: (a) Masukan yang
maupun kaidah), program diperbaiki dan
akan diproses. (b) Keluaran dimana sebuah
kembali ke langkah b.
algoritma menghasilkan keluaran yang
MATLAB adalah sebuah bahasa
merupakan hasil dari proses yang nilainya
dengan kemampuan tinggi untuk komputasi
bergantung pada masukan. (c) Umum, yaitu
teknis.
MATLAB
menggabungkan
komputasi, visualisasi, dan pemrograman
9
Jurnal Mercumatika Vol. 1 No. 1 Oktober 2016
dalam
satu
digunakan
kesatuan
di
mana
yang
mudah
perangkat
keras dan perangkat
lunak
dan
dengan spesifikasi sebagai berikut: (1)
dalam
Perangkat Lunak yaitu MATLAB 7.1, (2)
notasi matematik yang sudah dikenal.
Perangkat Keras yaitu komputer dengan
Pemakaian
meliputi:
spesifikasi Prossesor INTEL CORE 2 DUO
komputasi,
e6300 1,89GHz, memori 3GB DDR3,
(b) Pengembangan algoritma, (c) Akuisisi
Harddisk 160GB Keyboard, Mouse dan
data,
Monitor.
penyelesaiannya
(a)
diekspresikan
MATLAB
Matematika
(d)
prototype,
masalah
ISSN: 2548-1819
dan
Pemodelan,
simulasi
dan
(e)
saintifik
dan
engineering,
Grafik
(f)
Perluasan
pemakaian,
Diagram Alir (Flowchart) dan Algoritma
seperti Graphical User Interface (GUI).
Langkah-langkah dalam diagram
alir metode Trapesium: (1) Memasukkan
batas atas dan batas bawah integral,
Metode Penelitian
Metode
yang
digunakan
dalam
(2)
Selanjutnya
memproses
masukan
penelitian ini adalah penelitian literatur
(input) dan kasus integral, (3) Diperoleh
dengan menggunakan dua metode dalam
hasil integral secara numerik. Langkah-
metode numerik yaitu Metode Trapesium
langkah
dan Metode Gauss-Legendre. Materi yang
Legendre: (1) Memasukkan batas atas dan
dibutuhkan dalam penelitian ini sebagai
batas bawah integral., (2) Selanjutnya
berikut: Objek dari penelitian ini adalah
memproses masukan (input) dan kasus
Metode Trapesium dan Metode Gauss-
integral, (3) Diperoleh hasil integral secara
Legendre
numerik.
yang
menyelesaikan
digunakan
sebuah
untuk
diagram
alir
metode
Gauss-
permasalahan
integral dengan performansi terbaik yaitu
Galat (Error) Relatif
kecepatan program dalam menyelesaikan
Misalkan a adalah nilai hampiran
permasalahan integral dan nilai galat yang
terhadap nilai sejati (eksak) a, maka selisih
terkecil. Bahan penelitian ini adalah kasus
  a  a disebut galat. Jika tanda galat
integral. Permasalahan integral ini akan
diselesaikan
menggunakan
Metode
Trapesium dan Metode Gauss-Legendre.
Kasus dalam penelitian ini diperoleh dari
(positif dan negatif) tidak dipertimbangkan,
maka galat mutlak dapat didefinisikan
sebagai   a  a
buku sebagai sumber literatur berupa
Galat relatif didefinisikan sebagai
permasalahan integral. Dalam pembuatan
R 
program
membutuhkan
konfigurasi

a
10
Jurnal Mercumatika Vol. 1 No. 1 Oktober 2016
atau dalam presentase
ISSN: 2548-1819
Kesimpulan

 R  100%
Hasil penelitian berdasarkan tabel
a
perbandingan
(Munir, 2003: 23)
ketelitian
antara
metode
trapesium dan metode Gauss-Legendre,
Performansi metode trapesium dan
maka dari lima kasus integral diperoleh
metode Gauss-Legendre akan dilihat dari
metode
galat relatif yang dimiliki oleh kedua
ketelitian kerja lebih baik, hal ini dapat
metode tersebut.
diketahui dari presentase Error Relatif
Gauss-Legendre
mempunyai
yang lebih kecil dibandingkan metode
Trapesium pada setiap kasusnya.
Hasil Penelitian
Performansi metode Trapesium dan
metode Gauss-Legendre dapat diketahui
menggunakan Error Relatif yang terdapat
Error Relatif
Kasus integral
Untuk tindak lanjut atau penelitian
selanjutnya hasil penelitian dalam hal
pada tabel di bawah ini.
No
Saran
Trapesium
 R 
tampilan
Gauss-
dapat
lebih
baik
jika
menggunakan GUI.
Legendre
2
1
 x dx
2
7,1444 %
0,0043 %
Daftar Pustaka
1,9064 %
Munir, Rinaldi. 2003. Metode Numerik.
Bandung: Informatika Munir,
Rinaldi.
2005.
Algoritma
dan
Pemrograman dalam Bahasa Pascal
dan C. Bandung:
Informatika.
1
4
2
x
x 2  9dx
0
200,0027
%
2
3
 (x
 1)dx
2
5,0010 %
0%
dx
80,0000%
5,5250 %
x
dx
 1) 3
83,3483 %
5,0405 %
1
1
4

1
0, 04
x
1
5
 (2 x
0
2
Berdasakan tabel metode Gausslegendre menunjukkan presentase error
relatif
lebih
Trapesium.
kecil
Hal
daripada
ini
metode
menunjukkan
performansi metode Gauss-Legendre lebih
baik daripada metode Trapesium.
Purcell, Edwin J, Dale Varberg. 1987.
Kalkulus dan Geometri Analitis
Jilid 1 Jakarta: Erlangga.
Pratiwi, Rr Nanny. 2005. Metode
Trapesium
–
Kuadratur
Gauss-Legendre
Untuk
Menyelesaikan Integral Lipat Dua
Dengan
Bahasa
Pemrograman
Pascal.
Skripsi, (Universitas
Negeri Semarang)
Qudratullah, M. Farhan. 2008. Praktikum
Metode
Numerik
(Modul).
Yogyakarta: UIN Sunan Kalijaga
11
Jurnal Mercumatika Vol. 1 No. 1 Oktober 2016
Rachmadi, Timotius Iman. 2006. Analisis
Perbandingan Metode Romberg,
Metode Gauss-Legendre, Metode
Simulasi Monte Carlo, dalam
perhitungan
Integral
Tertentu.
Skripsi
(Universitas
Bina
Nusantara)
Sahid. 2005. Pengantar Komputasi
Numerik
dengan
MATLAB.
Yogyakarta: Andi Offset
ISSN: 2548-1819
Satiadi, Adhitya. 2006. Perbandingan
Metode Integrasi Boole, GaussLegendre, dan Adaptive Simpson
Dalam Menghitung Volume Benda.
Skripsi,
(Universitas
Bina
Nusantara)
Tim Praktikum. 2005. Modul Praktikum
Pemrograman
Komputer.
Yogyakarta: Jurusan
Elektro
Universitas Islam Indonesia.
12