Kalkulus - STIKOM Surabaya

Kalkulus
Teori, Soal-Soal & Penerapannya
Ira Puspasari
SEKOLAH TINGGI
MANAJEMEN INFORMATIKA & TEKNIK KOMPUTER
SURABAYA
BAB 1
FUNGSI{
XE "FUNGSI" } UMUM
Materi
:
Fungsi
Sub Materi
:
Pengertian Fungsi
Fungsi Aljabar{ XE "Aljabar" }
Fungsi Trigonometri
Fungsi Pangkat{ XE "Pangkat" }
Tujuan
Setelah mengikuti pertemuan ini, mahasiswa diharapkan mampu menjelaskan
konsep fungsi aljabar, fungsi trigonometri dan fungsi pangkat, menggambar
grafik fungsi, menentukan invers{ XE "invers" } dan komposisi{ XE
"komposisi" } dari fungsi, membuktikan identitas{ XE "identitas" }
trigonometri serta menghitung fungsi pangkat dan eksponensial{ XE
"eksponensial" }.
1.1. Pengertian Fungsi
Dalam kehidupan sehari-hari banyak kita jumpai hubungan antara dua
hal. Misalnya hubungan antara seseorang dengan hobi yang dimiliki. Seperti
ditunjukkan pada Gambar 1.1
Ari
Menyanyi
Benny
Berenang
Cello
Membaca
Dean
Menari
Gambar 1.1 Hubungan antara mahasiswa dengan hobi
Kalkulus
1
Pada Gambar 1.1, dapat dilihat bahwa peristiwa ini menghubungkan
antara mahasiswa dengan hobi. Setiap orang dapat memiliki satu atau lebih
hobi. Sebaliknya satu jenis hobi dapat diambil oleh beberapa mahasiswa.
Hubungan demikian disebut relasi{ XE "relasi" }, yang menghubungkan
antara himpunan nama orang dengan himpunan hobi. Contoh lain misalnya
hubungan antara negara dan ibukota negara. Seperti yang ditunjukkan pada
Gambar 1.2
India
New Delhi
Italia
Roma
Inggris
London
Spanyol
Madrid
Gambar 1.2 Hubungan antara negara dan Ibukota
Pada Gambar 1.2, dapat dilihat bahwa peristiwa ini menghubungkan antara
negara dan ibukotanya. Setiap negara hanya memiliki sebuah ibukota negara,
sebaliknya nama sebuah ibukota negara hanya dimilki oleh sebuah negara
saja. Hubungan (relasi{ XE "relasi" }) dalam kondisi khusus seperti ini disebut
korespondensi satu-satu seperti pada Gambar 1.2
Beberapa contoh di atas telah memberikan kita gambaran seperti
apakah fungsi itu. Menurut definisinya suatu fungsi f adalah pengawanan
setiap elemen sebuah himpunan (daerah asal) kepada tepat satu elemen
himpunan yang lain (daerah nilai). Daerah asal dan daerah nilai tidak dibatasi
oleh angka, tetapi bisa manusia, hewan, tumbuhan, benda mati dan lain-lain,
sedangkan dalam kalkulus himpunan itu adalah himpunan bilangan-bilangan
real.
Untuk mendefinisikan fungsi dapat digunakan notasi{ XE "notasi" } berikut.
f:A
Kalkulus
B
2
Dengan demikian kita telah mendefinisikan fungsi f yang memetakan setiap
elemen himpunan A kepada B. Notasi ini hanya mengatakan bahwa ada
sebuah fungsi f yang memetakan dua himpunan, A kepada B. Sedangkan
untuk memberi nama suatu fungsi selain menggunakan huruf f
bisa
menggunakan g atau F. Jadi, jika f(x) = 2x2 + 3 x, maka
f(1) = 2.12 + 3.1 = 5
f(2) = 2.22 + 3.2 = 14
f(3) = 2.32 + 3.3 = 24
f(a) = 2.a2 + 3.a
f(a + h) = 2.(a + h)2 + 3.(a + h)
= 2a2 + 2ah + h2 + 3a + 3h
Dalam fungsi terdapat daerah asal dan daerah nilai. Daerah asal adalah daerah
dimana suatu elemen dipetakan.
Daerah asal f : A
B adalah semua unsur anggota bilangan real dalam A
yang menyebabkan daerah hasil dalam B selalu Real.
Daerah hasil f : A
B adalah semua unsur anggota bilanganreal dalam B
yang merupakan hasil yang dikenai fungsi unsur anggota A.
Variabel bebas adalah variabel{ XE "variabel" } yang bisa berubah dan
diatur, sedangkan variabel tak bebas adalah variabel yang mencerminkan
respon dari variabel bebas. Berbagai cara menentukan daerah asal dan daerah
nilai fungsi diberikan dalam contoh berikut.
Contoh:
1.
Tentukan daerah asal, daerah nilai fungsi dan gambarkan grafik dari
f(x) =
x 1
x
Jawab:
Supaya f(x)   , syaratnya adalah x  0, sehingga daerah asal fungsi f adalah
D f = {f (x)  : x  0}=  - {0}
Untuk menentukan daerah nilai fungsi f, ubahlah bentuknya menjadi
y=
x 1
,
x
kemudian nyatakan x dalam y, perhatikan syarat yang harus dipenuhi oleh y.
Kalkulus
3
yx=x–1
x( y – 1 ) = -1
x=
1
,y 1
y 1
Jadi daerah nilai fungsi f adalah
R f = {f(x)   : y  1}=  - {1}
Sketsa grafik dari persamaan
f(x) =
x 1
x
dapat diselesaikan dengan membuat bilangan x di sekitar nol terlebih dahulu
x
-3
-2
y = f(x) 1,33 1,5
-1 1
2
2
3
0 0,5 0,67
Gambar 1.3 Grafik fungsi f dengan daerah asal  - {0}dan daerah nilai  {1}
Gambar 1.3 menunjukkan grafik fungsi f dengan daerah asal  - {0}dan
daerah nilai  - {1}.
2.
f(x) =
Tentukan daerah asal, daerah nilai fungsi dan gambarkan grafik dari
4 x
Jawab:
f(x) =
Kalkulus
4 x
4
4  x , besaran 4 – x tidak dapat negatif. Yaitu, 4 – x
Dalam y =
harus lebih besar daripada atau sama dengan 0. Penulisannya dalam lambang
adalah
0 4 x
Atau
0 x  4 x x
Atau
x4
Bentuk y =
x  4 memberikan harga y yang riel untuk sebarang x yang lebih
kecil daripada atau sama dengan 4.Sehingga daerah asal fungsi f adalah
D f = {   : x  4 }= { 4 , -  }
Untuk menentukan daerah nilai fungsi f,
D f ={ 4 , -  }
  x  4
x  4 memberikan harga y yang riel, maka daerah nilai
Karena bentuk Bentuk y =
fungsi f adalah
0  f (x)  
Jadi daerah nilai fungsi f adalah
R f = 0, 
Sketsa grafik dari persamaan
f(x) =
4 x
dapat diselesaikan dengan membuat bilangan x di sekitar nol terlebih dahulu
Kalkulus
x
-5
y = f(x)
3
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3 4
2,83 2,65 2,45 2,24 2 1,73 1,41 1 0
5
Gambar 1.4 Grafik fungsi f dengan daerah asal    x  4 dan daerah nilai
0  f (x)  
Gambar di atas menunjukkan grafik fungsi f dengan daerah asal    x  4 dan
daerah nilai 0  f (x)   .
Jenis-jenis fungsi :
1. Surjektif (Fungsi pada)
f:A
B surjektif jika dan hanya jika untuk setiap y  B terdapat x  A
sehingga y = f (x)
2. Injektif (Fungsi satu-satu)
f:A
B injektif jika terdapat x1, x2  A dengan x1 ≠ x2 sehingga f (x1) ≠ f
(x2)
3. Bijektif (Fungsi satu-satu dan pada)
Fungsi y = f (x) bijektif jika dan hanya jika fungsi f adalah fungsi satu-satu dan
fungsi pada
Jumlah, Selisih, Hasil-Kali Dan Hasil-Bagi Fungsi
Jika f(x) dan g(x) adalah dua buah fungsi dengan Df dan Dg , maka
f
 g x   f x   g (x)
( f  g )( x)  f ( x)  g ( x)
( f .g )( x)  f ( x).g ( x)
( f / g )( x)  f ( x) / g ( x)
Kalkulus
6
Fungsi Komposisi Dan Fungsi Invers
Fungsi Komposisi
Seandainya keluaran-keluaran dari sebuah fungsi f dapat digunakan sebagai
masukan-masukan dari sebuah fungsi g, maka kedua fungsi tersebut dapat dikaitkan
untuk membentuk sebuah fungsi baru. Fungsi baru tersebut, masukan-masukannya
adalah masukan dari f dan keluaran-keluarannya adalah bilangan-bilangan g(f(x)).
Dapat dilihat pada gambar di bawah, dikatakan bahwa fungsi g(f(x)) (diucapkan “g
dari f dari x”) adalah sebuah fungsi komposisi{ XE "komposisi" } dari f dan g, fungsi
tersebut terbentuk dari menggabungkan f dan g dalam urutan f pertama, kemudian g.
X
f(x)
g(f(x))
f
g
Gambar 1.5 Fungsi komposisi{ XE "komposisi" } dari f dan g
Keterangan dari gambar di atas bisa juga dinyatakan jika f bekerja pada x dan
menghasilkan
f(x), selanjutnya g bekerja pada f(x) untuk menghasilkan
g(f(x)),
dikatakan bahwa kita telah menyusun g dengan f. Fungsi yang dihasilkan disebut
komposisi{ XE "komposisi" } g dengan f, yang dinyatakan dengan g  f . Jadi
( g  f )x   g  f x 
Contoh:
Bila diketahui f(x) = x 2 dan g (x) = x  5 maka
g  f x  g  f x  g x 2   x 2  5
( f  g )x   f g x   f ( x  5) = x  5
2
Fungsi Invers
Fungsi f : Df
Rf dikatakan fungsi satu-satu (injektif) jika f (u) = f(v); u =
v untuk setiap u dan v  D f
Invers fungsi satu-satu f : Df
Rf didefinisikan sebagai fungsi
f
Kalkulus
1
: Rf
Df
7


yang memenuhi f f 1  y   y untuk setiap y  R f . Jika aturan fungsi f
y  f x  , maka
adalah


f f 1  y   f x  . Karena fungsi f satu-satu, maka
f 1  y   x , sehingga f 1  f x   x untuk setiap x  D f . Hal ini mengakibatkan
y  f x   x  f 1  y 
Ini berarti bahwa aturan fungsi f
1
diperoleh dengan cara membuat x dan y
saling bertukar peran.
Contoh:
Bila diketahui f x   5  10 x berapakah f
1
?
Tulislah y  5  10 x, x  , y  
Nyatakan x dalam y, diperoleh 10 x  y  5 ; x 
y 5
10
Jadi
f
1.2.
1
x   x  5
10
Fungsi Aljabar{ XE "Aljabar" }
Fungsi aljabar adalah fungsi dengan menggunakan operasi aljabar
biasa
yaitu penjumlahan, pengurangan, perkalian, pemangkatan dan
sebagainya. Berikut, sebagian fungsi aljabar:
a. Fungsi Kuadrat{ XE "Kuadrat" } (Parabola)
f x   ax 2  bx  c
dengan a, b, c adalah konstanta{ XE "konstanta" } dan a tidak sama dengan nol
Contoh:
f  x   3x 2  2 x  1 ]
b. Fungsi Pangkat{ XE "Pangkat" } Tiga (Kubik)
f x   ax 3  bx 2  cx  d
dengan a, b, c adalah konstanta{ XE "konstanta" } dan a tidak sama dengan nol
Contoh:
f x   x 3  4x 2
Kalkulus
8
c. Fungsi Polinom (Suku Banyak)
f x   an x n  an1 x n1  an2 x n2  ...  a1 x  a0
Contoh:
f x    x 5  7
d. Fungsi Linier{ XE "Linier" }
f x   ax  b
Contoh:
f x   9 x  5
Operasi Aljabar{ XE "Aljabar" } pada Dua Fungsi
Pada dua fungsi yang daerah asalnya sama kita dapat mendefinisikan operasi
aljabar, yaitu penjumlahan, perkalian, dan pembagian atas dua fungsi tersebut.
Misalkan fungsi f dan g mempunyai daerah asal D. Jumlah, selisih, hasil kali dan hasil
bagi dari f dan g ditulis f  g , f  g , f .g dan f / g didfefinisikan sebagai fungsi yang
aturannya disetiap x  D ditentukan oleh:
f
f
 g x   f x   g x 
 g x   f x   g x 
 f .g x  f x.g x
 f x   f x 
; g x   0
g x 
 g
Contoh:
Jika f x  
1 x
1
dan g x   , maka D  D f  Dg    1,0 , dan operasi
1 x
x
aljabarnya adalah
 Jumlah dari fungsi f dan g :
f
 g x  
Kalkulus
1  x 1 1  x x  1  x 1 x  x 2  1  x x 2  1

 2
,
 
1 x x
x1  x 
x  x2
x x
9
dengan D f  g    {1,0}
 Selisih dari fungsi f dan g :
1  x 1 1  x x  1  x 1 x  x 2  1  x x 2  2 x  1
 f  g x 


 
1 x x
x1  x 
x  x2
x2  x
dengan D f g    {1,0}
 Hasil kali dari fungsi f dan g :
 f .g x  1  x . 1
1 x x

1  x 1  1  x
x1  x  x  x 2
dengan D f . g    {1,0}
 Hasil bagi dari fungsi f dan g :
 f x   1  x
 g
1 x
1 1  x x x 2  x
=

x 1  x 1
1 x
dengan D f / g    {1}
Kalkulus
10
1.3.
Fungsi Trigonometri
Apabila sebuah sudut sebesar  derajat ditempatkan dalam kedudukan
standar pada pusat sebuah lingkaran
berjari-jari r seperti pada gambar di
bawah, maka harga-harga sinus, cosinus, dan tangen dari sudut ini diberikan
oleh rumus-rumus berikut:
sin  
y
r
cos  
x
r
tan  
y
x
y

x
Gambar 1.6 Sudut trigonometri
Dari definisi fungsi sinus dan cosinus, dapat diturunkan fungsi-fungsi
trigonometri yang lain, yaitu:
tan  
sin 
cos 
cot  
cos 
sin 
sec  
1
cos 
csc  
1
sin 
Grafik y  sin  dan y  cos  terlihat seperti Gambar 1.7 dan Gambar 1.8:
Kalkulus
11
π
-π
- π/2
π /2
0
y  sinx 
2π
3π/2
Gambar 1.7 Grafik fungsi Sinus
π
-π
2π
y  cosx 
- π/2
0
π /2
3π/2
Gambar 1.8 Grafik fungsi Cosinus
Dengan keterangan sebagai berikut:
180 0   rad; 10 

180
rad; 1 rad 
180 0

dengan  = 3,14159
Ada empat hal yang berkaitan tentang grafik sinus dan cosinus:
1. sin x dan cos x keduanya berkisar -1 sampai 1
2. Kedua grafik berulang pada selang yang berdampingan sepanjang 2 
Kalkulus
12
3. Grafik y  sinx  simetri terhadap titik asal dan y  cosx  simetri
terhadap sumbu y
4. Grafik y  cosx  sama seperti y  sinx  tetapi digeser  /2 satuan ke
kanan.
Kesamaan Trigonometri
Fungsi-fungsi Trigonomeri mempunyai rumus-rumus kesamaan sebagai berikut:
a. Kesamaan ganjil{ XE "ganjil" }-genap{ XE "genap" }:
sin  x    sin x
cos  x   cos x
tan x    tan x
b. Kesamaan fungsi Trigonometri
sin 2 A  cos 2 A  1
1
 sec 2 A
cos 2 A
1  cot 2 A  csc 2 A
1  tan 2 A 
tan A 
sin A
cos A
c. Kesamaan jumlah
sin  A  B   sin A cos B  cos A sin B
sin  A  B   sin A cos B  cos A sin B
cos  A  B   cos A cos B  sin A sin B
cos  A  B   cos A cos B  sin A sin B
tan A  tan B
1  tan A tan B
tan A  tan B
tan A  B  
1  tan A tan B
tan A  B  
d. Kesamaan Sudut rangkap dua
sin 2 A  2 sin A cos A
cos 2 A  cos 2 A  sin 2 A  2 cos 2 A  1  1  2 sin 2 A
Kalkulus
13
e. Kesamaan Sudut rangkap tiga
sin 3 A  3 sin A  4 sin 3 A
cos 3 A  4 cos 3 A  3 cos A
f. Kesamaan Setengah Sudut
sin
A
1  cos A

2
2
cos
A
1  cos A

2
2
tan
A
1  cos A
sin A
1  cos A



2
1  cos A 1  cos A
sin A
g. Kesamaan Hasil Kali
1
cosx  y   cosx  y 
2
1
cos x cos y  cos x  y   cos x  y 
2
1
sin x cos y  sin x  y   sin x  y 
2
sin x sin y  
Fungsi-fungsi Siklometri adalah invers{ XE "invers" } dari fungsi-fungsi
trigonometri dalam domain{ XE "domain" } yang tertentu. Invers f
persamaan y  f x   sin x,
invers
fungsi
g

2
x
dengan

2
dengan
adalah x  f 1  y   arcsin y. Demikian juga
y  g x   cos x , 0  x   adalah
persamaan
x  g 1  y   arccos y.
Persamaan fungsi-fungsi siklometri{ XE "siklometri" }:
y  arcsin x, invers{ XE "invers" } dari x  sin y,

2
 y

2
y  arccos x, invers{ XE "invers" } dari x  cos y,0  y  
y  arctan x, invers{ XE "invers" } dari x  tan y,

2
 y

2
y  arc cot x, invers{ XE "invers" } dari x  cot y,0  y  
y  arc sec x invers{ XE "invers" } dari x  sec y,0  y  
Kalkulus
14
y  arc csc x, invers{ XE "invers" } dari x  sec y,

2
 y

2
Grafik y  arcsin x, dan y  arctan x terlihat dalam Gambar 1.9 dan Gambar 1.10:
π/2
-1
0
y  arcsin x
1
-π/2
Gambar 1.9 Grafik y  arcsin x
y
π/2
y  arctan x
x
0
-π/2
Gambar 1.10 Grafik y  arctan x
Kalkulus
15
Latihan penerapan fungsi trigonometri :
Buktikan kebenaran persamaan trigonometri berikut ini :
(1 + sin z) (1 - sin z) =
1
sec 2 z
Penyelesaian :
1 – sin z + sin z – sin2 z =
1 – sin2 z =
cos2 z =
1
sec 2 z
1
sec 2 z
1
sec 2 z
persamaan ini dapat dilihat pada persamaan trigonometri bagian (b)
1.4.
Fungsi Pangkat{ XE "Pangkat" }
Bentuk umum fungsi pangkat adalah:
y  xn
Dengan y: peubah{ XE "peubah" } tak bebas
x: peubah{ XE "peubah" } bebas
n: konstanta{ XE "konstanta" }
Contoh:
y  x3
Identitas fungsi Pangkat{ XE "Pangkat" }:
a.
x a .x b  x a  b
b. x a : x b  x a b
c.
x 
a b
 x a.b
d. x  a  1 / x a , x  0
a
xa
 x
e.    a
z
z
Kalkulus
16
a xb  x
f.
b
a
g. x 0  1
Contoh penggunaan Identitas
Sederhanakanlah fungsi pangkat berikut ini:
a.
x 2 .x 3
b. 5x
1
4
: 10 x 3 / 4
1 

c.  2 2 2 


d.
e
2x
3
 e 2 x

2
Jawab:
a.
x 2 .x 3 = x 23 = x 5
b. 5x
1
4
: 10 x 3 / 4  1 x
2
1 3
4 4
1
= x
2
3
3
 1 12 
3
7
1 

c.  2 2 2  = 2  2 2    2.2 4  2 4

 



d.
Kalkulus
e
2x
 e 2 x

2
 
 e 4 x  2e 2 x .e 2 x  e 2 x
2
 e 4 x  2.e 0  e 4 x  e 4 x  2  e 4 x
17
RINGKASAN
1. Relasi adalah hubungan antara dua himpunan atau lebih. Hubungan (relasi{ XE
"relasi" }) dalam kondisi khusus disebut korespondensi satu-satu.
2. Variabel bebas adalah variabel{ XE "variabel" } yang bisa berubah dan diatur,
sedangkan variabel tak bebas adalah variabel yang mencerminkan respon dari
variabel bebas.
3. Fungsi aljabar adalah fungsi dengan menggunakan operasi aljabar biasa yaitu
penjumlahan, pengurangan, perkalian, pemangkatan dan sebagainya. Sebagian
fungsi aljabar diantaranya: Fungsi Kuadrat{ XE "Kuadrat" } (Parabola), Fungsi
Pangkat{ XE "Pangkat" } Tiga (Kubik), Fungsi Polinom (Suku Banyak) dan
Fungsi Linier{ XE "Linier" }
4. Pada suatu fungsi, selain ditentukan notasi{ XE "notasi" }/aturan, juga daerah
asal fungsi (domain{ XE "domain" }), yang merupakan sumber nilai dari suatu
fungsi, dan daerah hasil fungsi (kodomain{ XE "kodomain" }), yang merupakan
nilai hasil dari aturan yang ada. Jika tidak disebutkan apapun juga, maka selalu
dianggap bahwa daerah asalnya adalah himpunan bilangan real.
5. Jika f adalah fungsi pada x untuk menghasilkan f(x) dan g adalah fungsi pada
f(x) untuk menghasilkan g(f(x)), dikatakan bahwa telah dilakukan komposisi{
XE "komposisi" } g dengan f. Fungsi yang dihasilkan disebut komposisi g
dengan f, yang dinyatakan oleh g ○ f atau (g ○ f)(x) = g(f(x)), sedangkan
komposisi f dengan g dinyatakan oleh f o g dituliskan (f o g)(x) = f(g(x)).
6. Jika fungsi f : A  B, maka fungsi g : B  A merupakan fungsi invers{ XE
"invers" } dari fungsi f, yang dilambangkan dengan f -1(x).
Kalkulus
18
Soal-soal Latihan
1. Tentukan fungsi g  f dan f  g beserta daerah asal dan daerah nilai fungsi
komposisinya
a.
f x   2  x 2 dan g x   2 x
b.
f x   x 2  5x dan g x   x
c.
f x   cos x dan g x   1  x
2. Fungsi f dengan persamaan f x   5x  10 . Tentukan
a.
f 2
b.
f 5a  7
3. Tentukan Invers fungsi-fungsi berikut
a.
f x   4 x  x 2
b.
f x   1  x
c.
f x   10  x
4. Buktikan bahwa kesamaan trigonometri berikut ini adalah benar
a.
2
 tan 2 x
cot x  tan x
b. cos xtan x  cot x   csc x
c.
Kalkulus
sec 2 t  1
 sin 2 t
2
sec t
19
BAB II
FUNGSI{ XE "FUNGSI" } TRANSENDEN
Materi
:
Sub Materi
:
Fungsi Transenden
-
Fungsi Eksponen
-
Fungsi Logaritma{ XE "Logaritma" }
-
Fungsi Hiperbolik{ XE "Hiperbolik" }
Tujuan
Setelah mengikuti pertemuan ini, mahasiswa diharapkan dapat menjelaskan
dan menghitung tiga macam fungsi transenden{ XE "transenden" }, bentuk
umum dan operasi pada masing-masing fungsi transenden tersebut.
Materi
Kita ingat kembali bahwa fungsi transenden{ XE "transenden" } adalah fungsi
yang tidak dapat dinyatakan sebagai sejumlah berhingga operasi aljabar atas
fungsi konstan y = k dan fungsi kesatuan y = x. Sampai saat ini fungsi
trasenden yang telah kita kenal adalah fungsi trigonometri, yang terdiri dari
fungsi sinus, kosinus, tangen dan kotangen, sekan dan kosekan. Sekarang kita
akan mempelajari fungsi trasenden lainnya, yaitu fungsi eksponen, fungsi
logaritma dan fungsi hiperbolik.
2.1.
Fungsi Eksponen
Persamaan eksponensial{ XE "eksponensial" } ditulis : y  a x
Dimana :
y = peubah{ XE "peubah" } tak bebas
a = konstanta{ XE "konstanta" }, a  0
x = peubah{ XE "peubah" } bebas
Contoh :
1. y  2 x
2. y  10 x
Sifat-sifat Fungsi Eksponen
Apabila a  0, b  0, x dan y   , maka
a. a x a y  a x  y
Kalkulus
20
b.
ax
 a x y
y
a
c.
a 
d.
abx  a x b x
x y
 a xy
x
ax
a
e.    x
b
b
Ada beberapa macam persamaan eksponen, berikut ini adalah macammacam persamaan eksponen berikut contoh soal dan penyelesaiannya:
1. Bentuk a f  x   a p
Contoh:
Tentukan Himpunan Penyelesaian dari:
2 x2 
1
8
Penyelesaian:
2 x2 
1
8
2x2  2 3
x  2  3
x  3  2
x  1
2. Bentuk a f  x   a g ( x )
Contoh:
Tentukan Himpunan Penyelesaian dari:
53 x
2
 x 6
 5 2 x
2
 x2

3x2  x  6  2 x2  x  2
x2  4  0
( x  2)( x  2)  0
x  2  x  2
Kalkulus
21
Tentukan Himpunan Penyelesaian dari:
6
 1 


 216 
x 2  2 x 1
2 x 2  5 x  2
Penyelesaian:
6x
2
 6 3 
2 x 2 5 x  2
 2 x 1
x 2  2 x  1  3(2 x 2  5x  2)
x 2  2 x  1  6 x 2  15x  6
 5x 2  17 x  7  0
5x 2  17 x  7  0
x1, 2 
 b  b 2  4ac
2a
x1, 2 
 (17)  (17) 2  4.5.(7)
2.5
x1, 2 
17  289  140
10
x1, 2 
17  289  140
10
x1, 2 
17  20,7123
10
x1 
17  20,7123
17  20,7123
atau x2 
10
10
x1  3,78 atau x2  0,37
3. Bentuk a f ( x )  a g ( x )  C
Contoh:
Tentukan Himpunan Penyelesaian dari:
52 x2 
 25 
x
1
Penyelesaian:
5 2 x2  5  1
x
5 2 x  2  5  50
x
2x  2  x  0
Kalkulus
22
2  3x  0
x
2.2.
2
3
Fungsi Logaritma{ XE "Logaritma" }
Fungsi logaritma dan fungsi eksponen merupakan dua fungsi yang saling
invers{ XE "invers" } dan dinyatakan sebagai :
y=b log x  x = b y ; x, b > 0
Sifat-sifat logaritma :
1. b log 1 = 0
2. b log b = 1
3. b log ac = b log a + b log c
4. b log a/c = b log a - b log c
5. b log a r = r b log a
6. b log a 
7. a
a
log b
c
c
log a
log b
b
Menentukan himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma
Berbagai sifat logaritma di atas dapat dibentuk menjadi berbagai mcam persamaan
logaritma. Persamaan logaritma adalah persamaan yang variabelnya terkandung
dalam pokok logaritma. Bentuk yang paling sederhana dari persamaan logaritma
adalah sebagai berikut:
a
log f x   a log b
Contoh:
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari r log
1 q
1
1
. log 3 . p log
5
q
p
r
Penyelesaian:
r
log
1 q
1
1
. log 3 . p log
5
q
p
r
Kalkulus
23
= r log p 5 .q log r 3 . p log q 1
= (5.  3.  1) r log p.q log r. p log q
=  15 r log p. p log q.q log r
 15


2. Tentukan himpunan penyelesaian dari 2 log 2 log 2 x1  3  1  2 log x
Penyelesaian:
2



log 2 log 2 x1  3  1  2 log x  2 log 2  2 log x
1  2 log x  2 log 2  2 log x



2
log 2 log 2 x1  3  2 log 2 x
2
log( 2 x1  3)  2 x
(2 x 1  3)  (2) 2 x
(2) 2 x  2 x.2  3  0 ; Misal 2 x  A
A2  2 A  3  0
( A  3)  ( A  1)
A  3  A  1
2 x  3  2 x  1
x  2 log 3  x   
3. Tentukan himpunan penyelesaian dari 2 log2  x   2 log( 5  x)  2 logx  2  5
Penyelesaian:
2
log2  x   2 log( 5  x)  2 logx  2  5
2
log2  x   2 log( 5  x)  2 logx  2  2 log 32
2  x.(5  x)
x  2  32
10  3x  x 2
 32
x2
74  29 x  x 2  0
x 2  29  74  0
Kalkulus
24
x1, 2 
 b  b 2  4ac
2a
x1, 2 
 (29)  (29) 2  4.1.(74 )
2.(1)
x1, 2 
 32  841  296
2
x1, 2 
 32  33,72
2
x1  32,86  x2  0,86
Karena logaritma selalu positif, maka x= -32,86 bukan merupakan himpunan
penyelesaian. Jadi himpunan penyelesaian ={0,86}
2.3.
Fungsi Hiperbolik{ XE "Hiperbolik" }
v
s
1
P(s,t)
t
s
-1
u
t
0
s
ss
s
s
1
-1
Gambar 2.1. Lingkaran satuan
Pada gambar 2.1. jika titik P(s,t) terletak pada hiperbol u 2  v 2  1 , akan
didefinisikan cosh x  u dan sinh x  t , di mana cosh dan sinh menyatakan sinus dan
kosinus hiperbolik. Ternyata bahwa salah satu pilihan untuk cosh x  u dan
sinh x  t adalah kombinasi dari fungsi eksponen natural, yaitu cosh x 
dan sinh x 
Kalkulus


1 x
e  ex
2


1 x
e  ex .
2
25
Definisi fungsi Hiperbolik{ XE "Hiperbolik" }:



Fungsi Kosinus hiperbolik
: f x   cosh x 

Fungsi Sinus hiperbolik
: f x   sinh x 
1 x
(e  e  x ), x  
2

Fungsi Tangen hiperbolik
: f x   tanh x 
sinh x
, x 
cosh x

Fungsi Kotangen hiperbolik : f x   coth x 
cosh x
,x  0
sinh x

Fungsi Sekan hiperbolik
: f x   sec hx 
1
, x 
cosh x

Fungsi Kosekan hiperbolik : f x   cosh x 
1
,x  0
sinh x
1 x
e  e x , x  
2
Dalam bentuk eksponen, fungsi tangen, kotangen, sekan dan kosekan dapat
ditulis sebagai berikut:

tanh x 
e x  ex e2x 1

, x 
e x  ex e2x  1

coth x 
e x  ex e2x  1

,x  0
e x  e x e 2x  1

sec hx 
2
2e x

, x 
e x  e x e 2x  1

csc hx 
2
2e x

,x  0
e x  e x e 2x  1
Sifat- sifat fungsi Hiperbolik{ XE "Hiperbolik" }:

cosh( x)  cosh x

sinh( x)   sinh x

tanh( x)   tanh x

coth( x)   coth x

sec h( x)  sec hx

csc h( x)   csc hx

sec h( x)  sec hx
Kalkulus
26

cosh x  sinh x  e x

cosh x  sinh x  e  x

cosh 2 x  sinh 2 x  1

1  tanh 2 x  sec h 2 x

coth 2 x  1  csc h 2 x

cosh( x  y)  cosh x cosh y  sinh x sinh y

cosh( x  y)  cosh x cosh y  sinh x sinh y

sinh( x  y)  sinh x cosh y  cosh x sinh y

sinh( x  y)  sinh x cosh y  cosh x sinh y

tan( x  y ) 
tanh x  tanh y
1  tanh x tanh y

tan( x  y ) 
tanh x  tanh y
1  tanh x tanh y

sinh 2 x  2 sinh x cosh x

cosh 2 x  cosh 2 x  sinh 2 x  2 cosh 2 x  1  1  2 sinh 2 x

tanh 2 x 
2 tanh x
1  tanh 2 x
Invers fungsi Hiperbolik{ XE "Hiperbolik" }:

x  ln x 

 1, x  1

y  arcsin hx / sinh 1 x  ln x  x 2  1

y  arccos hx / cosh 1

y  arctan hx / tanh 1 x 
1 1 x
ln
2 1 x

y  arctan hx / tanh 1 x 
1 1 x
ln
,x1
2 1 x

y  arc coth x / coth 1 x 
1 x 1
ln
,x 1
2 x 1

1
y  arc sec hx / sec h 1 x  cosh 1 , x  1
x
Kalkulus
x2
27
RINGKASAN
1. Persamaan eksponensial{ XE "eksponensial" } ditulis : y  a x ; dimana y =
peubah{ XE "peubah" } tak bebas, a = konstanta{ XE "konstanta" }, a  0 , x =
peubah bebas.
2. Ada beberapa macam persamaan eksponen, berikut ini adalah macam-macam
persamaan eksponen:
-
a f x  a p
-
a f x   a g ( x)
-
a f ( x)  a g ( x)  C
3. Fungsi logaritma dan fungsi eksponen merupakan dua fungsi yang saling
invers{ XE "invers" } dan dinyatakan sebagai :
y=b log x  x = b y ; x, b > 0
4. Beberapa fungsi hiperbolik yang sering digunakan:
- Kosinus: f x   cosh x 
- Sinus: f x   sinh x 

1 x
(e  e  x ), x  
2
- Tangen: f x   tanh x 
Kalkulus

1 x
e  e x , x  
2
sinh x
, x 
cosh x
28
Soal-Soal Latihan:
1. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan-persamaan berikut:
a. 52 x1  5 x2  1  5 x
b. 9 2 x
2
 5 x 3
1
2. Tentukan Himpunan penyelesaian dari:
a.
x
log(10 x 3  9 x)  x log x 5
b. 5 x log 6  x log 96  4
c. log
41
41
 log 70  log  2 log 5
35
2
3. Buktikan kebenaran persamaan berikut:
1
1
cosh x  1
a. cosh x 
2
2
1
cosh x  1
b. tan x 
2
sinh x
Kalkulus
29
BAB III
LIMIT
Materi
:
Sub Materi
:
Limit{ XE "Limit" }
-
Pengertian Limit{ XE "Limit" }
-
Limit{ XE "Limit" } Fungsi
-
Limit{ XE "Limit" } Tak Hingga
-
Bentuk Tak Tentu Limit{ XE "Limit" } Fungsi
Tujuan
Setelah mengikuti pertemuan ini, mahasiswa diharapkan dapat memahami
sifat dan berbagai bentuk limit serta menghitung pada masing-masing bentuk
limit tersebut.
Materi
3.1.
Pengertian Limit{ XE "Limit" }
Limit{ XE "Limit" } menggambarkan seberapa jauh sebuah fungsi akan
berkembang apabila variabel{ XE "variabel" } di dalam fungsi yang
bersangkutan terus menerus berkembang mendekati suatu nilai tertentu.
Sebagai gambaran: dari Y  f (x)
Akan dapat diketahui limit atau batas perkembangan f (x) ini, apabila nilai
x terus menerus berkembang hingga mendekti suatu nilai tertentu. Jika fungsi
f (x) mendekati L disebut limit fungsi
f (x) untuk x mendekati a .
Hubungan ini dilambangkan dengan notasi{ XE "notasi" }
lim f ( x) = L
xa
Dibaca limit fungsi f (x) untuk mendekati a adalah L . Artinya jika variabel{
XE "variabel" } x berkembang secara terus menerus hingga mendekati
bilangan tertentu a , maka nilai fungsi x f (x) akan berkembang pula hingga
mendekati L . Atau sebaliknya fungsi f (x) dapat dibuat mendekati nilai
tertentu yang mendekati L dengan mengembangkan variabel x sedemikian
rupa hingga mendekati a .
Kalkulus
30
Dua hal perlu diperhatikan dalam notasi{ XE "notasi" } atau pernyataan limit
di atas. Pertama x  a harus dibaca dan ditafsirkan dengan mendekati a , dan
bukan berarti x  a !. Kedua, lim f ( x) = L harus dibaca serta ditafsirkan
bahwa L adalah limit fungsi f (x) dan bukan berarti L adalah nilai fungsi
f (x) .
Ringkasnya:
lim f ( x) = L bukan berarti f (a) = L
xa
3.2.
Limit{ XE "Limit" } Fungsi
Limit{ XE "Limit" } fungsi biasanya digunakan dalam konsep dasar
pada kalkulus differensial dan integral{ XE "integral" }. Sebuah fungsi yang
peubah{ XE "peubah" } bebasnya menuju suatu titik tertentu (jarak dari
peubah bebasnya ke titik tersebut semakin lama semakin kecil). Jika peubah
tak bebasnya  /   , maka hal ini berkaitan dengan limit fungsi disuatu titik.
a.
Limit{ XE "Limit" } fungsi untuk x mendekati a
lim f ( x)  f (a)
x a
Jika f (a) 
0
maka f (x) harus disederhanakan terlebih dahulu.
0
Contoh:
Berapakah nilai x dari lim
x 2
x
?
x  4x
2
Penyelesaian:
lim
x
, jika dimasukkan langsung nilai x , maka hasilnya akan:
x  4x
lim
x
0
0
= lim
 ( TIDAK DIPERBOLEHKAN )
x

2
0  4.0 0
x  4x
x 2
x 2
2
2
Cara yang benar adalah
lim
x 2
Kalkulus
x
x
1
1
1
 lim
 lim


2
x  4 x x2 x( x  4) x2 ( x  4) (2  4)
2
31
Jadi lim
x 2
x
1
=
2
x  4x
2
b. Limit{ XE "Limit" } f (x) untuk x mendekati 
lim f ( x)  f ()
x 
Jika f () 

; f () diubah dahulu dengan dibagi x pangkat terbesar.

Jika f     ; f ( x) dikali sekawan{ XE "sekawan" } dahulu, baru
dibagi x pangkat yang terbesar.
Contoh:
2x 2  1
?
x  6  x  3 x 2
Berapakah nilai x dari lim
Penyelesaian:
2x 2  1
, jika dimasukkan langsung nilai x , maka hasilnya akan:
lim
x  6  x  3 x 2
2x 2  1
2 2  1

= lim
= ( TIDAK DIPERBOLEHKAN )
lim
x  6  x  3 x 2
x  6    3 2

Cara yang benar adalah
2x 2  1
2x 2
2
=
lim

2
2
x  6  x  3 x
x   3 x
3
lim
2x 2  1
2

2
x  6  x  3 x
3
Jadi lim
c. Limit{ XE "Limit" } fungsi trigonometri
lim
sin x
1
x 0
x
lim
cos x

x 0
x
lim
x
1
x 0 sin x
lim
x
1
x 0 cos x
lim
lim
Kalkulus
tan x
1
x 0
x
x
1
x 0 tan x
32
 Jika ada bentuk cosinus hasilnya
0
maka bentuk tersebut diubah
0
dengan menggunakan rumus cos 2 x  1  2 sin 2 x
 Bentuk sin dan tan di atas dapat diperluas lagi menjadi:
sin ax

bx
ax

sin bx
tan ax

bx
ax

tan bx
sin ax

sin bx
a
b
tan ax

tan bx
sin ax

tan bx
tan ax

sin bx
Contoh:
Tentukan besarnya limit dari masing-masing fungs berikut ini:
1.
lim sin x
2.
lim
3.
lim
x 0
tan x
x 0
x
3x  sin 4 x
x 0 5 x  tan 2 x
Penyelesaian:
limit dari masing-masing fungsi berikut ini:
1.
lim sin x  lim
x 0
Kalkulus
x 0
 
sin x
sin x 

.x   lim
 lim x  1.0  0
x

0
x
x  x 0

33
2.
sin x
lim
tan x
sin x
x 0
x  1 1
lim
 lim

x 0
x 0 x cos x
x
lim cos x 1
x 0
sin 4 x
sin 4 x
.4 3  4 lim
3x  sin 4 x
x 0
4x
4x  7  2 1
 lim

lim
x 0
x 0 5 x  tan 2 x
tan 2 x
tan 2 x 3
3
5
.2 5  2 lim
x 0
2x
2x
3
3.
d.
Limit{ XE "Limit" } Sisi-Kiri dan Limit Sisi-Kanan
Analisis mengenai limit sesuatu fungsi sesungguhnya dapat dibagi menjadi
dua bagian, tergantung pda sisi mana kita melihat gerakan perkembangan
variabelnya. Apabila dianalisis limit f (x) dari nilai – nilai x yang lebih kecil
dari a ( x  a ),
x  a
berarti kita melihatnya dari sisi kiri, sebaliknya jika dianalisis limit f (x) dari
nilai –nilai x yang lebih besar dari a ( x  a ),
x  a
berarti kita melihatnya dari sisi kanan.
Limit{ XE "Limit" } sisi kiri dari sebuah fungsi adalah nilai yang didekati
oleh sebuah fungsi tersebut apabila variabelnya bergerak mendekati limitnya
melalui nilai-nilai yang membesar ( x  a ) dari sisi kiri, melalui nilai-nilai
x  a . Jadi jika, lim f ( x)  L' berarti L' merupakan limit sisi kiri dari f (x)
x a
untuk x  a
Limit{ XE "Limit" } sisi kanan dari sebuah fungsi adalah nilai yang didekati
oleh sebuah fungsi tersebut apabila variabelnya bergerak mendekati limitnya
melalui nilai-nilai yang mengecil ( x  a ) dari sisi kanan, melalui nilai-nilai
x  a Jadi jika, lim f ( x)  L' berarti L' merupakan limit sisi kanan dari f (x)
x a
untuk x  a
Limit{ XE "Limit" } sebuah fungsi dikatakan ada jika dan hanya jika limit sisi
kiri dan limit sisi kanannya ada serta sama.
lim f ( x)  lim f ( x)  lim f ( x)
x a 
Kalkulus
x a
x a
34
Apabila salah satu dari ketentuan-ketentuan di atas tidak terpenuhi, maka limit
dari fungsi yang bersangkutan tidak terdefinisi. Dengan demikian limit sebuah
fungsi dikatakan tidak ada jika limit salah satu sisinya tidak ada, atau limit
kedua sisinya tidak ada, atau limit kedua sisinya ada tetapi tidak sama.
Contoh :
1.
lim (1  2 x 2 )  7 (terdefinisi)
x 2
Sebab
2.
maka
 3
lim f ( x)  lim    =+
n 0
n 0 
x
 3
lim f ( x)  lim    =n 0
n 0 
x
Karena
3.3.
maka
tidak terdefinisi
Limit{ XE "Limit" } Tak Hingga
Limit{ XE "Limit" } tak hingga adalah konsep limit yang melibatkan lambang
 dan   , yaitu bila nilai fungsi f (x) membesar atau mengecil tanpa batas
atau bila peubah{ XE "peubah" } x membesar atau mengecil tanpa batas.
Misalnya:
Diberikan fungsi f (x) 
1
. Maka nilai fungsi f(x) menuju tak hingga (  )
x 1
untuk x mendekati 1 dari kanan, sedangkan menuju minus tak hingga ( -  )
untuk x mendekati 1 dari kiri. Pengertian tersebut dapat dinotasikan dengan
limit sebagai berikut :
lim f ( x)   dan lim f ( x)  
x 1
Kalkulus
x 1
35
Bila f ( x) 
1
maka didapatkan limit lim f ( x)   dan lim f ( x)  
x 1
x 1
( x  1) 2
atau dituliskan lim f ( x)   . Bentuk limit tersebut dinamakan limit tak
x 1
hingga. Yaitu nilai fungsi f (x) untuk x mendekati 1 sama dengan tak hingga
(  ). Sedangkan bentuk limit di titik mendekati tak hingga digambarkan
sebagai berikut: Misal diberikan fungsi f ( x) 
1
. Maka nilai fungsi akan
x
mendekati nol bila x menuju tak hingga atau minus tak hingga dinotasikan
lim f ( x)  0 dan lim f ( x)  0
x 
x 
Secara umum limit fungsi f ( x) 
1
, n  B  untuk x mendekai tak hingga
n
x
atau minus tak hingga sama dengan nol dapat dituliskan
1
1
 0 atau lim n  0
n
x  x
x   x
lim
Bila
f (x) merupakan
f ( x) 
p( x)
dengan
q( x)
fungsi
p(x) dan
rasional{
XE
q(x) merupakan
"rasional"
polinom
}
,
misal
maka
untuk
menyelesaikan limit di tak hingga dilakukan dengan membagi pembilang
p(x) dan penyebut q(x) dengan x pangkat tertinggi.
Contoh:
Hitung lim
x 3
3 x
3 x
Penyelesaian:
Nilai pembilang untuk x mendekati 3 dari arah kanan adalah mendekati
6, sedangkan nilai penyebut akan mendekati negatif bilangan yang sangat
kecil. Bila 6 dibagi bilangan negatif kecil sekali akan menghasilkan bilangan
yang sangat kecil.
Jadi lim
x 3
3.4.
3 x
=- 
3 x
Bentuk Tak Tentu Limit{ XE "Limit" } Fungsi
Kalkulus
36
Pada limit fungsi trigonometri, kita telah mempelajari bahwa :
sin x
1
x 0
x
lim
Perhatikan bentuk limit ini untuk x  0 , limit pembilang dan limit
penyebutnya 0. Bentuk demikian dinamakan bentuk tak tentu 0/0, Kita
mengenal
tujuh
macam
bentuk
tak
tentu
limit
fungsi,
yaitu
:
0 ,  ,0.,   ,0 0 ,  0 dan 1 
0 
Pada pertemuan ini kita hanya membahas empat bentuk yang pertama
saja, yaitu:
a.
Bentuk tak tentu 0
0
Kita akan menghitung lim
xc
f ( x)
, dengan lim f ( x)  0  lim g ( x)
x c
x c
g ( x)
( x  c dapat diganti oleh x  c  , x  c  , x  , atau x   )
Cara penyelesaian :
Mengubah bentuk f(x)/g(x) sehingga sifat-sifat limit fungsi dapat digunakan.
Cara yang dapat dicoba adalah menguraikan pembilang dan penyebut, menggunakan
rumus trigonometri dan limit trigonometri, merasionalkan bentuk pecahannya dan
sebagainya.
Perhitungan limit berbentuk tak tentu 0/0 diberikan dalam contoh berikut.
Contoh:
Hitunglah lim
x 2
4  x2
3  x2  5
Penyelesaian:
lim
x 2
4  x2
3  x2  5
= lim
x 2

4  x 3 
3 
2

x2  5

x2  5 3  x2  5


 lim
x 2
4  x 3 
x2  5
2
4 x

2
 lim 3  x 2  5  6
x 2
b.
Bentuk tak tentu 
Kalkulus

37
Kita akan menghitung lim
x 
f ( x)
, dengan lim f ( x)    lim g ( x)
x 
x 
g ( x)
( x   dapat diganti oleh x  c, x  c  , x  c  atau x   )
Cara penyelesaian :
Mengubah bentuk f(x)/g(x) sehingga sifat-sifat limit fungsi dapat digunakan.
Cara yang dapat dicoba adalah merasionalkan bentuk pecahannya, memunculkan
bentuk 1 x n , n bilangan asli, membagi pembilang dan penyebut dengan pangkat
tertinggi dari x yang ada kemudian menggunakan lim 1  0
x  x
Perhitungan limit benbentuk tak tentu 

dan sebagainya.
diberikan dalam contoh berikut:
Contoh:
Hitunglah lim
x 
3x  2
9x  7
Penyelesaian:
3 2 x 30 1
3x  2
 lim


x  9 x  7
x  9  7 x
90 3
lim
c.
Bentuk tak tentu 0.
Kita akan menghitung lim f ( x) g ( x), dengan lim f ( x)  0 dan lim g ( x)   .
xc
x c
x c
( x  c dapat diganti oleh x  c  , x  c  , x   atau x   )
Cara penyelesaian :
Tulislah f(x)/g(x) sebagai
f ( x)
untuk memperoleh bentuk 0/0 atau sebagai
1 g ( x)
g ( x)
untuk memperoleh bentuk  , kembeli ke masalah sebelumnya. Perhitungan

1 f ( x)
limit benbentuk tak tentu 0. diberikan dalam contoh berikut:
Contoh:
Hitunglah lim x sin
x 
Kalkulus
1
x
38
Penyelesaian:
Bentuk limit fungsi ini adalah 0. , karena
lim x   dan lim sin
x 
x 
1
1

 sin lim sin   sin 0  0
x
x
 x 
Ubahlah bentuk limitnya menjadi 0/0 denagn menuliskan x dalam bentuk
1
1
x
kemudian gunakan penggantian t  1 x , diperoleh
1
sin
1
x  lim sin t  1
lim x sin  lim
x 
t 0 
x x  1
t
x
t 1 x
x    t  0
d.
Bentuk tak tentu   
Kita akan menghitung lim ( f ( x)  g ( x)), dengan lim f ( x)   dan lim g ( x)  
x 
x 
x 
( x   dapat diganti oleh x  c x  c  , x  c  , atau x   )
Cara penyelesaian :
Ubahlah bentuk limitnya menjadi 

Perhitungan limit benbentuk tak tentu 
Contoh: Hitunglah lim
x 



x  1  x  lim
x 

= lim
x 
Kalkulus
diberikan dalam contoh berikut:
  xx 11 xx
x 1  x .
x 1 x
x 1  x
 lim
x 
1
x 1  x
=0
39
RINGKASAN
1. Limit{ XE "Limit" } menggambarkan seberapa jauh sebuah fungsi akan
berkembang mendekati suatu nilai tertentu. Dilambangkan dengan notasi{ XE
"notasi" }:
lim f ( x) = L
xa
2. Berbagai bentuk Limit{ XE "Limit" } Fungsi:
-
Limit{ XE "Limit" } fungsi untuk x mendekati a : lim f ( x)  f (a)
-
Limit{ XE "Limit" } f (x) untuk x mendekati  : lim f ( x)  f ()
-
Limit{ XE "Limit" } fungsi trigonometri
-
Limit{ XE "Limit" } Sisi-Kiri dan Limit Sisi-Kanan
x a
x 
3. Limit{ XE "Limit" } tak hingga adalah konsep limit yang melibatkan lambang 
dan   , yaitu bila nilai fungsi f (x) membesar atau mengecil tanpa batas atau
bila peubah{ XE "peubah" } x membesar atau mengecil tanpa batas. Dapat
dinotasikan dengan limit sebagai berikut :
lim f ( x)   dan lim f ( x)  
x 1
x 1
4. Beberapa Bentuk Tak Tentu Limit{ XE "Limit" } Fungsi
-
Bentuk tak tentu 0
-
Bentuk tak tentu 
-
Bentuk tak tentu 0.
-
Bentuk tak tentu   
Kalkulus
0

40
Soal-soal Latihan
Hitunglah setiap limit yang diberikan
1. lim
x 4
x4
x  x  12
2
2  3x  x 2
x 
1 x2
2. lim
x3 1
x 1
3. lim
x 1
4.
lim
x  
5. lim
x 2
x2 1
x2 1
3
x 4
2
1  cos x
x 
tan x
6. lim

sin 2  3x  2
x 2
x2
7. lim
Kalkulus

41
BAB IV
TURUNAN ALJABAR
Materi
:
Turunan{ XE "Turunan" } Aljabar{ XE "Aljabar" }
Sub Materi
:
-
Pengertian Turunan{ XE "Turunan" } Fungsi
-
Rumus Turunan{ XE "Turunan" } Fungsi
Aljabar{ XE "Aljabar" }
Aljabar{ XE "Aljabar" }
-
Turunan{ XE "Turunan" } Berantai Fungsi
Aljabar{ XE "Aljabar" }
-
Turunan{ XE "Turunan" } Tingkat Tinggi
Fungsi Aljabar{ XE "Aljabar" }
Tujuan
Setelah mengikuti pertemuan ini, mahasiswa diharapkan dapat menjelaskan
konsep turunan dan rumus-rumus turunan fungsi aljabar serta menghitung
turunan fungsi aljabar secara konsep dan pada aplikasinya.
Materi
4.1.
Pengertian Turunan{ XE "Turunan" } Aljabar{ XE "Aljabar" }
Suatu fungsi dikatakan dapat diferensiasi di x  x0 bila fungsi itu
mempunyai turunan di titik tersebut. Suatu fungsi dikatakan dapat
dideferensiasi pada suatu selang bila fungsi itu dapat dideferensiasi di setiap
titik pada selang tersebut. Sebelum membicarakan tentang turunan fungsi,
terlebih dahulu kita mngingat konsep limit karena konsep turunan dijelaskan
lewat limit suatu fungsi.Misalkan f(x) didefinisikan pada sembarang titik x 0
pada (a,b). Turunan{ XE "Turunan" } f(x) di x  x0 didefinisikan sebagai:
f ' ( x0 )  lim
h 0
f ( x 0  h)  f ( x )
h
Jika limit ini ada. Turunan{ XE "Turunan" } juga dapat didefinisikan
dengan beberapa cara, diantaranya:
f ' ( x0 )  lim
x  x0
Kalkulus
f ( x)  f ( x0 )
f ( x0  x)  f ( x0 )
 lim
x 0
x  x0
x
42
Sebuah fungsi dikatakan dapat dturunkan di titik x  x0 jika mempunyai di
titik tersebut, yaitu jika f’(x) ada. Jika f(x) dapat diturunkan di x  x0 maka
fungsi tersebut kontinu di titik tersebut.
Secara grafis, pengertian turunan dapat dijelaskan sebagai berikut:
Misal P(a,f(a)) adalah sembarang titik pada sebuah grafik suatu fungsi f. Titik
lain pada gambar dinotasikan dengan Q(a+h,f(a+h)),dimana h adalah beda
antara absis Q dan P. Kemiringan tali busur yang melalui titik P dan Q adalah
mPQ  f (a  h)  f (a)
h
Perhatikan gambar berikut:
Q(a+h,f(a+h))
P(a,f(a))
y
y
p(a,f(a))
a
a+h
x
a
x
Gambar 4.1. Kemiringan Tali Busur dan Garis Singgung
i. Kemiringan Tali Busur
ii.
Kemiringan
garis
singgung
mPQ 
f ( a  h)  f ( a )
h
m  lim
h 0
f ( a  h)  f ( a )
h
Jika sebuah fungsi f didefinisikan pada sebuah interval terbuka yang memuat
a, maka kemiringan garis singgung m dari grafik fungsi f pada titik P(a,f(a))
adalah:
m  lim
h 0
f ( a  h)  f ( a )
h
Dengan catatan limitnya ada.
Contoh:
Kalkulus
43
Diketahui fungsi f ( x)  x 2 dapatkan kemiringan garis singgung ke grafik f(x)
pada titik P(a,a2)
Penyelesaian:
Dengan menggunakan penjelasan di atas maka
f ( a  h )  f ( a ) ( a  h) 2  a 2

h
h

a 2  2ah  h 2  a 2
h

2ah  h 2
h
 2a  h
Kemiringan garis singgungnya :
m  lim (2a  h)  2a
h0
Jadi turunan suatu fungsi adalah kemiringan garis singgung fungsi tersebut
pada titik tertentu. Cara mendapatkan turunan suatu fungsi akan dijelaskan
pada bagian selanjutnya.
4.2.
Rumus Turunan{ XE "Turunan" } Fungsi Aljabar{ XE "Aljabar" }
Teorema I (Aturan Fungsi Konstanta)
Jika f(x) = k dengan k adalah suatu konstanta{ XE "konstanta" } untuk
sembarang x, f’(x)= 0. Bukti:
f ' ( x)  lim
h 0
f ( x  h)  f ( x )
k k
 lim
 lim 0  0
h 0
h 0
h
h
Contoh: f(x) = 2 maka f’(x) = 0
Teorema II (Aturan Fungsi Identitas)
Jika f(x) = x, maka f’(x) = 1
Bukti:
Kalkulus
44
f ( x  h)  f ( x )
xhx
h
 lim
 lim  1
h 0
h 0 h
h
h
f ' ( x)  lim
h 0
Teorema III (Aturan Pangkat{ XE "Pangkat" })
Jika f(x) = xn, dengan n bilangan-bilangan bulat positif, maka f’(x) = nxn-1
Bukti:
f ( x  h)  f ( x )
( x  h) n  x n
 lim
h 0
h
h
f ' ( x)  lim
h 0
 lim
x n  nx n 1 h 
h 0
n(n  1) n 2 2
x h  ...  nxh n 1  h n  x n
2
h
n(n  1) n 2


h nx n 1 
x h  ...  nxh n 2  h n 1 
2

 lim 
h 0
h
Semua suku di dalam tanda kurung siku kecuali suku pertama mempunyai h
sebagai faktor, sehingga masing-masing suku ini mempunyai limit nol bila h
mendekati nol. Jadi
f ' ( x)  nx n1
Contoh:
F(x)=x2 maka f’(x) = 2x
Teorema IV (Aturan Kelipatan Konstanta)
Jika k suatu konstanta{ XE "konstanta" } dan f suatu fungsi yang
terdeferensialkan, maka (kf)’ = (x). Bukti:
Misalkan F(x) = k. f(x). Maka
F ( x)  lim
h 0
F ( x  h)  F ( x )
k . f ( x  h)  k . f ( x )
 lim
h

0
h
h
 lim k
h 0
f ( x  h)  f ( x )
f ( x  h)  f ( x )
 k lim
 k . f ' ( x)
h 0
h
h
Contoh:
F(x) =5x2 maka f’(x) =5(2x) =10x
Teorema V (Aturan Jumlah)
Kalkulus
45
Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdeferensialkan, maka (f+g)’(x) =
f’ (x) + g’ (x). Bukti:
Andaikan F(x) = f(x)+g(x), maka
[ f ( x  h)  g ( x  h)]  [ f ( x)  g ( x)]
h 0
h
F ( x)  lim
 f ( x  h)  f ( x ) g ( x  h )  g ( x ) 
F ( x)  lim 


h 0
h
h

F ( x)  lim
h 0
f ( x  h)  f ( x )
g ( x  h)  g ( x)
 lim
 f ' ( x)  g ' ( x)
h 0
h
h
Contoh:
F(x) =x2+3x maka f’(x) = 2x+3
Teorema VI (Aturan Selisih)
Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdeferensialkan, maka (f-g)’(x) =
f’ (x) - g’ (x). Bukti:
(f-g)’(x) = (f+(-1)g)’ (x) = f’(x) – g’(x)
Contoh:
F(x) =3x2-x maka f’(x) = 6x – 1
Teorema VII (Aturan Hasil Kali)
Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdeferensialkan, maka (f.g)’(x) =
f(x).g’(x)+f’(x).g(x). Bukti:
Andaikan F(x) = f(x).g(x)
F ( x  h)  F ( x )
f ( x  h) g ( x  h)  f ( x ) g ( x )
 lim
h 0
h 0
h
h
F ' ( x)  lim
 lim
h 0
f ( x  h ) g ( x  h)  f ( x  h ) g ( x )  f ( x  h) g ( x )  f ( x ) g ( x )
h
g ( x  h)  g ( x )
f ( x  h)  f ( x ) 

 lim  f ( x  h)
 g ( x)

h 0
h
h

Kalkulus
46
 lim f ( x  h). lim
h 0
h 0
g ( x  h)  g ( x )
f ( x  h)  f ( x )
 g ( x). lim
h0
h
h
 f ( x) g ' ( x)  g ( x) f ' ( x)
Contoh:
F(x) = ( x  2)( x  5) 2 maka
f’(x) = ( x  2).
d
d
( x  5) 2  ( x  5) 2
( x  2)
dx
dx
= ( x  2).2.( x  5).
d
d
( x  5)  ( x  5) 2
( x  2)
dx
dx
= ( x  2).2.( x  5).1  ( x  5) 2 .1
= ( x  2)(2 x  10)  ( x  5) 2
= (2 x 2  6 x  20)  ( x  5) 2
= (2 x 2  6 x  20)  ( x 2  10 x  25)
= 3x 2  16 x  5
Teorema VIII (Aturan Hasil Bagi)
Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdeferensialkan, dengan g(x)  0.
Maka
'
f
g ( x) f ' ( x)  f ( x) g ' ( x)
  ( x) 
g 2 ( x)
g
Bukti:
Misalkan F(x) = f ( x)
g ( x)
. Maka
f ( x  h) f ( x )

F ( x  h)  F ( x )
g ( x  h) g ( x )
F ( x)  lim
 lim
h 0
h 0
h
h
 lim
h 0
g ( x ) f ( x  h)  f ( x ) g ( x  h)
1

h
g ( x ) g ( x  h)
 g ( x ) f ( x  h )  g ( x ) f ( x )  f ( x ) g ( x )  f ( x ) g ( x  h)

1
 lim 

h 0
h
g ( x) g ( x  h) 



f ( x  h)  f ( x )
g ( x  h)  g ( x 0 
1
 lim  g ( x)
 f ( x)


h 0
h
h
 g ( x ) g ( x  h) 

Kalkulus
47
 g ( x) f ' ( x)  f ( x) g ' ( x)
1
g ( x) g ( x)
Contoh:
f ( x) 
( x  2)
, berapakah f’(x) ?
( x 2  5)
Penyelesaian:
f ' ( x) 
4.3.
( x 2  5)(1)  ( x  2)(2 x)  x 2  4 x  5

( x 2  5) 2
( x 2  5) 2
Turunan{ XE "Turunan" } Berantai Fungsi Aljabar{ XE "Aljabar" }
Jika y = (u) dan u = g (x) maka
y' 
dy du
.
du dx
Jika y = f(u), u = g(x), x = h(w), maka
y' 
dy du dx
. .
du dx dw
Contoh:
1. y  (3x  1)10
Penyelesaian:
Misal: y = f(u) dengan u = 3x+1 atau y = u10
Sehingga y’= 10u9.3 =30u9 = 30(3x+1)9
2. Carilah
u2 1
dy
, bila diketahui y  2
dan u  3 x 2  2
dx
u 1
Penyelesaian:
du
2x
2x
dy
2u

 2
dan
 2
2
2
dx 3( x 2  2) 3 3u
du (u  1)
dy dy du
2x
4u
8x
. 2 

.
 2
2
dx du dx (u  1) 3u
3u (u 2  1) 2
4.4.
Turunan{ XE "Turunan" } Tingkat Tinggi Aljabar{ XE "Aljabar" }
Kalkulus
48
Turunan{ XE "Turunan" } tingkat tinggi adalah turunan fungsi yang
tidak hanya sampai turunan pertama, bisa turunan kedua, ketiga, bahkan
sampai turunan ke n. Jika f ' adalah turunan suatu fungsi f , maka f ' juga
merupakan suatu fungsi, f ' adalah turunan pertama dari f . Jika turunan dari
f ' ada,turunan ini dinamakan turunan kedua dan ditulis f ' ' . Dengan cara yang
sama turunan ketiga dari f didefinisikan sebagai turunan pertama dari f ' ' , jika
turunan ini ada. Turunan ketiga ditulis f ' ' ' . Turunan ke-n dari fungsi f , di
mana n bilangan positif yang lebih besar dari 1, adalah turunan pertama dari
turunan ke (n-1) dari f . Turunan ke n dinyatakan dengan f n  . Berikut ini
adalah tabel cara penulisan turunan sampai dengan turunan ke-n:
Derivatif Penulisan f '
Penulisan y '
Penulisan D Penulisan Leibniz
Pertama
f ' ( x)
y ' ( x)
Dx y
dy
dx
Kedua
f ' ' ( x)
y ' ' ( x)
D2 x y
d2y
dx 2
Ketiga
f ' ' ' ( x)
y ' ' ' ( x)
D3 x y
d3y
dx 3
Keempat
f ' ' ' ' ( x)
y ' ' ' ' ( x)
D4 x y
d4y
dx 4
Kelima
f ' ' ' ' ' ( x)
y ' ' ' ' ' ( x)
D5 x y
d5y
dx 5
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
Ke-n
f ( n ) ( x)
y ( n ) ( x)
Dn x y
dny
dx n
Contoh:
Carilah turunan ke-3 dari fungsi berikut ini:
f ( x)  x 3  3 x 2  8 x  2
Penyelesaian:
Kalkulus
49
f ' ( x)  3 x 2  6 x  8
f ' ' ( x)  6 x  6
f ' ' ' ( x)  6
RINGKASAN
1. Turunan{ XE "Turunan" } suatu fungsi adalah kemiringan garis singgung fungsi
tersebut pada titik tertentu. Turunan f(x) di x  x0 didefinisikan sebagai:
f ' ( x0 )  lim
h 0
f ( x 0  h)  f ( x )
h
2. Konsep aturan pada turunan fungsi aljabar:
-
Aturan Fungsi Konstanta. Jika f(x) = k dengan k adalah suatu konstanta{
XE "konstanta" } untuk sembarang x, f’(x)= 0.
-
Aturan Fungsi Identitas. Jika f(x) = x, maka f’(x) = 1
-
Aturan Pangkat{ XE "Pangkat" }. Jika f(x) = xn, dengan n bilangan-bilangan
bulat positif, maka f’(x) = nxn-1
-
Aturan Kelipatan Konstanta. Jika k suatu konstanta{ XE "konstanta" } dan f
suatu fungsi yang terdeferensialkan, maka (kf)’= (x).
-
Aturan Jumlah. Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdeferensialkan,
maka (f+g)’(x) = f’ (x) + g’ (x).
-
Aturan Selisih. Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdeferensialkan,
maka (f-g)’(x) = f’ (x) - g’ (x).
-
Aturan
Hasil
Kali.
Jika
f
dan
g
adalah
fungsi-fungsi
yang
terdeferensialkan, maka (f.g)’(x) = f(x).g’(x)+f’(x).g(x).
-
Aturan
Hasil
Bagi.
Jika
f
dan
g
adalah
fungsi-fungsi
yang
terdeferensialkan, dengan g(x)  0.
3. Turunan{ XE "Turunan" } Berantai Fungsi Aljabar{ XE "Aljabar" }
Jika y = (u) dan u = g (x) maka y ' 
dy du
.
du dx
y' 
Jika y = f(u), u = g(x), x = h(w), maka
Kalkulus
dy du dx
. .
du dx dw
50
4. Turunan{ XE "Turunan" } tingkat tinggi adalah turunan fungsi yang tidak hanya
sampai turunan pertama, bisa turunan kedua, ketiga, bahkan sampai turunan ke
n. Turunan ke-n dari fungsi f , di mana n bilangan positif yang lebih besar dari
1, adalah turunan pertama dari turunan ke (n-1) dari f . Turunan ke n
dinyatakan dengan f n  .
Kalkulus
51
Soal-soal Latihan
Carilah turunan pertama fungsi-fungsi di bawah ini:
3x  7
1.
3x 2  5
2. ( x  7)( x  8) 3
x 3 x  4
5
3.
Carilah turunan berantai fungsi-fungsi di bawah ini:
1. y  u 5  3 , u  x 4  2 x
2. y  u , u  v(4  2v), v  x 2
3. Jika y  2 x 2  x dan x  3t 2  9 , berapakah
dy
ketika t  2
dt
Carilah turunan kedua fungsi-fungsi di bawah ini:
1.
f ( x)  3 x 4  4 x 2  x  2
2. g ( z )  5z  2
3.
f (t )  (t  2) 3 / 2
4.
f ( x) 
1
4

2
2x
x
5. Diketahui f ( x) 
Kalkulus
2
, cari f ( n ) ( x)
1 x
52
BAB V
TURUNAN FUNGSI{ XE "FUNGSI" } TRIGONOMETRI
Materi
:
Sub Materi
:
Turunan{ XE "Turunan" } Fungsi Trigonometri
-
Pengertian Turunan{ XE "Turunan" } Fungsi
-
Rumus Turunan{ XE "Turunan" } Fungsi
Trigonometri
Trigonometri
-
Turunan{ XE "Turunan" } Berantai Fungsi
Trigonometri
-
Turunan{ XE "Turunan" } Tingkat Tinggi
Fungsi Trigonometri
Tujuan
Setelah mengikuti pertemuan ini, mahasiswa diharapkan dapat menjelaskan
konsep turunan dan rumus-rumus turunan fungsi trigonometri serta
menghitung turunan fungsi trigonometri secara konsep dan pada aplikasinya.
Materi
5.1.
Pengertian Turunan{ XE "Turunan" } Trigonometri
Dalam menghtung turunan fungsi trigonometri, digunakan cara yang
sama seperti mencari turunan aljabar. Selain itu digunakan kesamaan
trigonometri. Misalnya untuk menghitung turunan
f ( x)  sin x , adalah
sebagai berikut:
sin( x  h)  sin( x)
sin x cosh  cos x sinh  sin x
 lim
h 0
h0
h
h
f ' ( x)  lim
1  cosh
sinh 

 lim  sin x
 cos x

h 0
h
h 

sinh 
 1  cosh 

 ( sin x) lim
 (cos x) lim

h 
 h0
 h0 h 
Dari pengertian tentang limit, dapat dihitung nilai akhir turunan fungsi f(x) =
sin (x), yaitu
sinh 
 1  cosh 

 ( sin x) lim
 (cos x) lim

h 0
h

0
h 
h 


Kalkulus
53
 ( sin x).0  (cos x).1  cos x
Jadi turunan f(x) = sin (x) adalah cos (x)  f ' ( x)  cos( x)
Contoh lain adalah turunan fungsi sinus dan cosinus, tetapi dengan cara
mendapatkan hasil turunan fungsi cosinus tanpa harus menggunakan proses limit,
dimana
d
sin x   cos x, x   dan d cos x    sin x, x  
dx
dx
Pembuktian dari turunan fungsi cosinus adalah sebagai berikut:
1
1
2 cos (t  x) sin (t  x)
d
sin t  sin x
2
2
(sin x)  lim
 lim
t

x
t

x
1
dx
tx
2. (t  x)
2
1


sin (t  x) 

1


2
  cos x
  lim cos (t  x)  lim
tx
t

x
1
2


(t  x) 

2


1
1
 2 sin (t  x) sin (t  x)
2
2
1
2. (t  x)
2
1


sin (t  x) 

1


2
   sin x
  lim sin (t  x)  lim
tx
tx
1
2



(t  x) 

2


d
cos t  cos x
(cos x)  lim
 lim
tx
tx
dx
tx
5.2.
Rumus Turunan{ XE "Turunan" } Fungsi Trigonometri
Untuk mendapatkan turunan-turunan fungsi trigonometri yang lain,
dapat digunakan cara yang sama dengan di atas dan hasilnya adalah sebagai
berikut:
Kalkulus
1.
d
(sin x)  cos x
dx
2.
d
(cos x)   sin x
dx
3.
d
(tan x)  sec 2 x
dx
4.
d
(cot x)   csc 2 x
dx
54
5.
d
(sec x)  sec x tan x
dx
6.
d
(csc x)   csc x cot x
dx
Secara umum rumus turunan trigonometri adalah sama seperti rumus
yang digunakan pada fungsi aljabar. Berikut ini beberapa teorema dan contoh
turunan pada fungsi trigonometri.
Teorema I (Turunan{ XE "Turunan" } Jumlah Fungsi Trigonometri)
f
 g ' ( x)  f ' ( x)  g ' ( x)
Contoh:
y  sin 3x  cos 2 x
Penyelesaian:
y  sin 3x  cos 2 x
y'  sin 3x
d
d
(3x)  cos 2 x (2 x)
dx
dx
y  3 cos 3x  2 sin 2 x
Teorema II (Turunan{ XE "Turunan" } Selisih Fungsi Trigonometri)
f
 g ' ( x)  f ' ( x)  g ' ( x)
Contoh:
y  sin x  cos 5x
Penyelesaian:
y  sin x  cos 5x
y'  sin x
d
d
( x)  cos 5 x (5 x)
dx
dx
y  cos x  5 sin 5x
Teorema III (Turunan{ XE "Turunan" } Hasil Kali Fungsi Trigonometri)
 f .g ' ( x)  f ( x) g ' ( x)  g ' ( x) f ( x)
Contoh:
y  x 2 sin x
Kalkulus
55
Penyelesaian:
y  x 2 sin x
y'  x 2
 
d
sin x   sin x d x 2
dx
dx
y'  x 2 cos x  2 x sin x
Teorema IV (Turunan{ XE "Turunan" } Hasil Bagi Fungsi Trigonometri)
f
g ( x) f ' ( x)  f ( x) g ' ( x)
( x) 
g
g x 2
Contoh:
y
cos x
x
Penyelesaian:
y
y' 
y' 
5.3.
cos x
x
x
d
d
(cos x)  cos x ( x)
dx
dx
2
x
 x sin x  cos x
x2
Turunan{ XE "Turunan" } Berantai Fungsi Trigonometri
Pada fungsi trigonometri, secara umum dalam menghitung turunan
berantai adalah sama dengan cara menghitung turunan berantai pada fungsi
aljabar. Jika y = (u) dan u = g (x) maka
y' 
dy du
.
du dx
Jika y = f(u), u = g(x), x = h(w), maka
y' 
dy du dx
. .
du dx dw
Contoh:
Dapatkan turunan dari fungsi berikut ini y  sin 3 3x
Penyelesaian:
Kalkulus
56
Misal: y  f (u), u  g (v), v  3x
Dengan y  u 3 dan u  sin v, v  3x
Maka:
y' 
dy du dx
. .
du dx dw
 3u 2 . cos v.3
 3(sin v) 2 . cos(3x).3
 3 sin 2 (3x). cos(3x).3
 9 sin 2 (3x). cos 3x
5.4.
Turunan{ XE "Turunan" } Tingkat Tinggi Fungsi Trigonometri
Pada turunan tingkat tinggi fungsi trigonometri, secara umum dalam
menghitung turunannya adalah sama dengan cara menghitung turunan tingkat
tinggi pada fungsi aljabar. Supaya lebih jelas tentang turunan tingkat tinggi
fungsi trigonometri dapat dilihat cara penulisan dan contoh-contoh di bawah
ini:
Derivatif Penulisan f '
Kalkulus
Penulisan y '
Penulisan D Penulisan Leibniz
Pertama
f ' ( x)
y ' ( x)
Dx y
dy
dx
Kedua
f ' ' ( x)
y ' ' ( x)
D2 x y
d2y
dx 2
Ketiga
f ' ' ' ( x)
y ' ' ' ( x)
D3 x y
d3y
dx 3
Keempat
f ' ' ' ' ( x)
y ' ' ' ' ( x)
D4 x y
d4y
dx 4
Kelima
f ' ' ' ' ' ( x)
y ' ' ' ' ' ( x)
D5 x y
d5y
dx 5
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
Ke-n
f ( n ) ( x)
y ( n ) ( x)
Dn x y
dny
dx n
57
Contoh:
1. Hitunglah turunan kedua dari fungsi berikut ini:
sin y  cos x  1
Penyelesaian:
sin y  cos x  1
cos y. y' sin x  0
y '
sin x
cos y
y' ' 
cos y cos x  sin x( sin y ). y '
cos 2 y
y' ' 
cos x cos y  sin x. sin y. y '
cos 2 y
cos x cos y  sin x. sin y.
y' ' 
sin x
cos y
cos 2 y
cos x cos 2 y  sin 2 x. sin y.
y' ' 
cos 2 y
2. Hitunglah turunan ketiga dari fungsi berikut ini:
y  x sin x
Penyelesaian:
y  x sin x
 f .g ' ( x)  f ( x) g ' ( x)  g ' ( x) f ( x)
y'  x
d
sin x   sin x d x 
dx
dx
y'  x cos x  sin x
y' '  x
d
cos x   cos x d x   d (sin x)
dx
dx
dx
y' '  x( sin x)  cos x.1  cos x
y' '   x. sin x  2 cos x
y' ' '   x
Kalkulus
d
sin x   sin x d  x   d (2 cos x)
dx
dx
dx
58
y' ' '   x(cos x)  sin x.  1  (2 sin x)
y' ' '   x cos x  sin x.  1  (2 sin x)
y' ' '   x cos x  3 sin x
RINGKASAN
1. Turunan{ XE "Turunan" }-turunan fungsi trigonometri:
7.
d
(sin x)  cos x
dx
8.
d
(cos x)   sin x
dx
9.
d
(tan x)  sec 2 x
dx
10.
d
(cot x)   csc 2 x
dx
11.
d
(sec x)  sec x tan x
dx
12.
d
(csc x)   csc x cot x
dx
2. Beberapa teorema turunan pada fungsi trigonometri:
-
Teorema I (Turunan{ XE "Turunan" } Jumlah Fungsi Trigonometri)
f
-
Teorema II (Turunan{ XE "Turunan" } Selisih Fungsi Trigonometri)
f
-
 g ' ( x)  f ' ( x)  g ' ( x)
 g ' ( x)  f ' ( x)  g ' ( x)
Teorema III (Turunan{ XE "Turunan" } Hasil Kali Fungsi Trigonometri)
 f .g ' ( x)  f ( x) g ' ( x)  g ' ( x) f ( x)
-
Teorema IV (Turunan{ XE "Turunan" } Hasil Bagi Fungsi Trigonometri)
f
g ( x) f ' ( x)  f ( x) g ' ( x)
( x) 
g
g x 2
3. Turunan{ XE "Turunan" } berantai fungsi trigonometri :
Jika y = (u) dan u = g (x), maka
y' 
dy du
.
du dx
Jika y = f(u), u = g(x), x = h(w), maka
Kalkulus
59
y' 
Kalkulus
dy du dx
. .
du dx dw
60
Soal-soal Latihan
Carilah turunan pertama fungsi-fungsi di bawah ini:
1. y  sin( x  y)
2. y 
cos x  1
cos x  1
3. y  x 2 sin x  2 x cos x  2 sin x
Carilah turunan berantai fungsi-fungsi di bawah ini:
1. y  sin 3 (2 x  3)
2. y  tan 2 (1  2 x 2 )
3. y  cot 2 (5x  2)
Carilah turunan kedua fungsi-fungsi di bawah ini:
1. y 
1
cot 8 x
4
2. y  sec2 x  tan 2 x
3. y 
1  cos 2 x
2
4. y  sin x cos 2 x
Kalkulus
61
BAB VI
TURUNAN FUNGSI{ XE "FUNGSI" } EKSPONENSIAL DAN LOGARITMIK
Materi
:
Turunan{ XE "Turunan" } Fungsi Eksponensial
dan Logaritmik
Sub Materi
:
-
Pendahuluan
-
Rumus Turunan{ XE "Turunan" } Fungsi
Eksponensial dan
Logaritmik
-
Turunan{ XE "Turunan" } Berantai Fungsi
Eksponensial dan
Logaritmik
-
Turunan{ XE "Turunan" } Tingkat Tinggi
Fungsi Eksponensial
dan Logaritmik
Tujuan
Setelah mengikuti pertemuan ini, mahasiswa diharapkan dapat menjelaskan
konsep turunan dan rumus-rumus turunan fungsi eksponensial{ XE
"eksponensial" } dan logaritmik serta menghitung turunan fungsi eksponensial
dan logaritmik secara konsep dan pada aplikasinya.
Materi
6.1.
Pengertian Fungsi Eksponensial
Fungsi eksponensial{ XE "eksponensial" } adalah salah satu fungsi
yang paling penting dalam matematika. Biasanya, fungsi ini ditulis dengan
notasi{ XE "notasi" } exp(x) atau ex, dimana e adalah basis logaritma natural
yang kira-kira sama dengan 2.71828183, nilai ini diperoleh dari perhitungan
limit sebagai berikut:
h
 1
e  lim 1    lim (1  k )1 / k
h 
k 0
 h
 11
1 1
1
  ...   ...  2,71828183
2! 3!
n!
Sedangkan fungsi logaritma yang biasa digunakan adalah logaritma berbasis
10 dari bilangan b sebagai pangkat kita menaikkan 10 untuk mendapatkan b:
Kalkulus
62
10 logb  b
Selain logaritma dengan basis 10 kita mengenal fungsi logaritma natural (ln).
Dalam turunan kita mengenal bahwa
d
1
ln x  , sifat-sifat dasar dari ln
dx
x
antara lain:
ln ax  ln a  ln x
a
ln  ln x  ln a
x
ln x n  n ln x
Jika a  0 dan a  1 , dan jika a y  x maka y  log a x
y  log e x  ln x
6.2.
y  log 10 x  log x
Rumus Turunan{ XE "Turunan" } Fungsi Eksponensial dan Logaritmik
Jika u adalah fungsi x yang dapat diturunkan maka,
a. Bentuk persamaan :
d
1
du
(log a u )  log a e , (a  0, a  1)
dx
u
dx
Contoh:
Turunkan persamaan berikut ini :
y  log a (3x 2  5)
Penyelesaian:
y  log a (3x 2  5)
dy
1
d
 2
log a e. (3x 2  5)
dx 3x  5
dx
dy
6x
 2
log a e
dx 3x  5
b. Bentuk persamaan :
d
1 du
(ln u ) 
dx
u dx
Contoh:
Turunkan persamaan berikut ini:
y  ln( x  2) 2
Penyelesaian:
Kalkulus
63
y  ln( x  2) 2
y  2 ln( x  3)
dy
1 d
2
. ( x  3)
dx
x  3 dx
dy
2

dx x  3
c. Bentuk persamaan :
d u
du
(e )  e u
dx
dx
Contoh:
Turunkan persamaan berikut ini:
y  e 1 / 2 x
Penyelesaian:
y  e 1 / 2 x
y '  e 1 / 2 x
d
1
( x)
dx 2
1
y '   e 1 / 2 x
2
6.3.
Turunan{ XE "Turunan" } Berantai Fungsi Eksponensial dan Logaritmik
Pada
prinsipnya
dalam
menghitung
turunan
berantai
fungsi
eksponensial{ XE "eksponensial" } dan logaritmik, adalah sama dengan
menghitung turunan berantai pada fungsi aljabar. Kaidah berantai berlaku:
dy dy du

dx du dx
akan memberikan sebuah rumus untuk turunan dari y  a u bila u adalah
sebarang fungsi yang diturunkan dari x:
d u
d u du
a 
a .
dx
du
dx
Bentuk ini akan menghasilkan turunan persamaan sebagai berikut:
 
d u
du
a  a u ln a , (a  0)
dx
dx
Kalkulus
64
Contoh:
Turunkan persamaan berikut ini:
1. y  a 2 x
2
Penyelesaian:
y  a 2x
2
y'  a 2 x ln a
2
d
(2 x 2 )
dx
y'  4 xa 2 x ln a
2
2. y  3sin x
Penyelesaian:
y  3sin x
y'  3sin x ln 3
d
sin x
dx
y'  3sin x ln 3 cos x
6.4.
Turunan{ XE "Turunan" } Tingkat Tinggi Fungsi Eksponesial dan
Logaritmik
Pada turunan tingkat tinggi fungsi trigonometri, secara umum dalam
menghitung turunannya adalah sama dengan cara menghitung turunan tingkat
tinggi pada fungsi aljabar. Supaya lebih jelas tentang turunan tingkat tinggi
fungsi trigonometri dapat dilihat cara penulisan dan contoh-contoh di bawah
ini:
Derivatif Penulisan f '
Kalkulus
Penulisan y '
Penulisan D Penulisan Leibniz
Pertama
f ' ( x)
y ' ( x)
Dx y
dy
dx
Kedua
f ' ' ( x)
y ' ' ( x)
D2 x y
d2y
dx 2
65
Ketiga
f ' ' ' ( x)
y ' ' ' ( x)
D3 x y
d3y
dx 3
Keempat
f ' ' ' ' ( x)
y ' ' ' ' ( x)
D4 x y
d4y
dx 4
Kelima
f ' ' ' ' ' ( x)
y ' ' ' ' ' ( x)
D5 x y
d5y
dx 5
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
Ke-n
f ( n ) ( x)
y ( n ) ( x)
Dn x y
dny
dx n
Pada persamaan fungsi eksponensial{ XE "eksponensial" }, turunan kedua
( y' ' ( x) ) merupakan turunan dari hasil turunan pertama ( y' ( x) ), begitu pula turunan
ketiga ( y' ' ' ( x) ) merupakan hasil penurunan dari turunan kedua ( y' ( x) ), dan begitu
seterusnya.
Contoh:
Tentukan turunan kedua dari persamaan-persamaan berikut ini:
1) y  e x ln x
2) y  e2 x sin 2 x
3) y  ln
x3
3x  22
Penyelesaian:
1) y  e x ln x
y'  e x
Kalkulus
d
d
(ln x)  ln x (e x )
dX
dx
=
ex
 e x ln x
x

ex
y
x
66
2) y  e2 x sin 2 x
y'  e 2 x
d
d
(sin 2 x)  sin(2 x) (e 2 x )
dx
dx
 2e 2 x cos 3x  2e 2 x sin 2 x
 2e 2 x cos 3x  2 y
y' ' 
x
d x
d
(e )  e  x
( x)
dx
dx
 y'
x2
 xe  x  e  x e  x


 e  x ln x
2
x
x
2 1

 e  x   2  ln x 
x x

3) y  ln
x3
3x  22
 ln x 3  ln(3x  2) 2
 3 ln x  2 ln(3x  2)
y'  3
1 d
1
d
( x)  2
(3x  2)
x dx
(3x  2) dx
y' 
3
6

x 3x  2
y' 
3x  6
3x 2  2 x
y' ' 
u ' v  v' u
v2
y' ' 
3(3x 2  2 x)  (6 x  2)(3x  6)
(3x 2  2 x) 2
y' ' 
9 x 2  6 x  (18 x 2  36 x  6 x  12)
(3x 2  2 x) 2
u  3x  6  u '  3
v  3x 2  2 x  v'  6 x  2
9 x 2  6 x  18 x 2  36 x  6 x  12
y' ' 
(3x 2  2 x) 2
y' ' 
Kalkulus
 9 x 2  36 x  12
(3x 2  2 x) 2
67
RINGKASAN
1. Fungsi eksponensial{ XE "eksponensial" } ditulis dengan notasi{ XE "notasi" }
exp(x) atau ex, dimana e adalah basis logaritma natural yang kira-kira sama
dengan 2.71828183.
2. Jika u adalah fungsi x yang dapat diturunkan maka,
a. Bentuk persamaan :
d
1
du
(log a u )  log a e , (a  0, a  1)
dx
u
dx
b. Bentuk persamaan :
d
1 du
(ln u ) 
dx
u dx
c. Bentuk persamaan :
d u
du
(e )  e u
dx
dx
3. Pada turunan fungsi eksponensial{ XE "eksponensial" } berlaku:
dy dy du

dx du dx
Bentuk ini akan menghasilkan turunan persamaan sebagai berikut:
 
d u
du
a  a u ln a , (a  0)
dx
dx
Kalkulus
68
Kalkulus
69
Soal-soal Latihan
Carilah turunan pertama dan kedua fungsi di bawah ini:
1. y  ln 2 (2 x  5)
2. y  ln( x  2)( x  4)
3. y  ln(2 x 2  5x  2)
4. y  ln ln sin x 
5. y  ln cos 2 x 
Carilah turunan pertama dan kedua fungsi-fungsi di bawah ini:
1. y  e 4 x
2. y  e x
5
x
3. y  e x e 
4. y  e sec x
5. y  e sin 2 x
Carilah turunan pertama fungsi-fungsi di bawah ini:
1. y 
ln x
ex
2. y  ln 2 xe 3 x
3. y  x 2 e 3 x sin 4 x
Kalkulus
70
BAB VII
TURUNAN FUNGSI{ XE "FUNGSI" } IMPLISIT{ XE "IMPLISIT" } DAN
PARSIAL{ XE "PARSIAL" }
Materi
:
Sub Materi
:
Turunan{ XE "Turunan" } Fungsi Implisit Dan
Parsial
-
Turunan{ XE "Turunan" } Implisit
-
Turunan{ XE "Turunan" } Parsial
-
Turunan{ XE "Turunan" } Tingkat Tinggi
Parsial
-
Turunan{ XE "Turunan" } Parsial Fungsi
Aljabar{ XE "Aljabar" }
-
Turunan{ XE "Turunan" } Parsial Fungsi
Trigonometri
-
Turunan{ XE "Turunan" } Parsial Fungsi
Eksponensial
Tujuan
Setelah mengikuti pertemuan ini, mahasiswa diharapkan dapat menjelaskan
konsep turunan dan rumus-rumus turunan fungsi implisit dan parsial serta
menghitung turunan fungsi implisit dan parsial secara konsep dan pada
aplikasinya.
Materi
7.1. Turunan{ XE "Turunan" } Implisit
Dalam materi turunan kita akan mengenal bentuk turunan implisit,
dimana turunan pertama (y’) dari f(x,y) = 0 dapat diperoleh dengan dua cara
berikut:
a. Jika y dinyatakan sebagai bentuk eksplisit dari x, kemudian
dideferensialkan terhadap x.
b. Jika setiap suku dalam f(x,y) = 0 dideferensialkan terhadap x.
Contoh:
Cari
Kalkulus
dy
jika 2 x 2 y  y  3x 3  2
dx
71
Penyelesaian:
Berdasarkan uraian di atas, maka persamaan tersebut dapat diselesaikan
dengan dua cara:
Cara 1: Fungsi implisit di atas dinyatakan ke dalam bentuk eksplisit
2 x 2 y  y  3x 3  2
y(2 x 2  1)  3x 3  2
y
3x 3  2
2x 2  1
y' 
u ' v  v' u
v2
u  3x 3  2
u'  9 x 2
v  2x 2  1
v' 4 x
y' 
9 x 2 (2 x 2  1)  4 x(3x 3  2)
(2 x 2  1) 2
y' 
18 x 4  9 x 2  12 x 4  8 x
(2 x 2  1) 2
6 x 4  9 x 2  8x
(2 x 2  1) 2
Cara 2 : Menurunkan masing-masing suku:
y' 
y(2 x 2  1)  3x 3  2
2x 2

dy
dy
 y.4 x  1. = 9x 2
dx
dx

dy
2 x 2  1  9 x 2  4 xy
dx
3x 3  2
dy 9 x 2  4 xy
y


(Keterangan
:
y
diganti
dengan
masin
)
dx (2 x 2  1)
2x 2  1
 3x 3  2 

9 x 2  4 x 2
2 x  1 
dy


dx
(2 x 2  1)
dy

dx
Kalkulus
 3x 3  2 
9 x 2 (2 x 2  1)

 4 x 2
2x 2  1
 2x  1 
(2 x 2  1)
72
dy 18 x 4  9 x 2  12 x 4  8 x

dx
2x 2  1
dy 6 x 4  9 x 2  8 x

dx
2x 2  1
Kalkulus
73
Contoh beserta penyelesaiannya:
Cari
a.
dy
jika :
dx
x 2 y  xy 2  2 x  2 y  0
b. ln y  yx  e 3 x  0
c.
y  y 2 cos x  0
Penyelesaian:
a.
d 2
d
d
d
( x y)  ( xy 2 )  (2 x)  (2 y)  0
dx
dx
dx
dx
x2
d
d
d
d
d
d
( y)  y ( x 2 )  x ( y 2 )  y 2
( x)  2 ( x)  2 ( y )  0
dx
dx
dx
dx
dx
dx
x 2 y'2 yx  2 xyy ' y 2  2.1  2 y '  0
y' ( x 2  2 xy  2) +2xy+y 2 2  0
y' 
 2 xy  y 2  2
x 2  2 xy  2
b. ln y  yx  e 3 x  0
d
d
d
d
(ln y)  y ( x)  x ( y)  e 3 x  0
dx
dx
dx
dx
1 d
d
d
( y)  y.1  x ( y )  e 3 x
(3x)  0
y dx
dx
dx
1 d
d
( y )  y  x ( y)  3e 3 x  0
y dx
dx
1 dy
dy
 y  x  3e 3 x  0
y dx
dx

dy  1
  x   y  3e 3 x  0
dx  y

dy  y  3e 3 x

1
dx
x
y
Kalkulus
74
c.
d
d
d
( y)  cos x ( y 2 )  y 2
cos x  0
dx
dx
dx
d
d
( y)  cos x.2 y ( y)  y 2 ( sin x)  0
dx
dx
dy
1  2 y cos x   y 2 sin x  0
dx
dy
y 2 sin x

dx 1  2 y cos x
7.2.
Turunan{ XE "Turunan" } Parsial
Jika z = f(x,y) memiliki variabel{ XE "variabel" } bebas x dan y, maka
dalam turunan parsial akan ada kemungkinan yang akan terjadi antara lain:
a) Variabel x berubah-ubah, sedangkan variabel{ XE "variabel" } y
dianggap tetap.
f x x, y  
z
f x  x, y   f x, y 
 lim
x x0
x
Jika x berubah sedangkan y dianggap tetap, maka z adalah fungsi x dan
turunannya ke x.
b) Variabel y berubah-ubah, sedangkan variabel{ XE "variabel" } x
dianggap tetap.
f x x, y  
z
f x, y  y   f x, y 
 lim
y x0
y
Jika y berubah sedangkan x dianggap tetap, maka z adalah fungsi y dan
turunannya ke y.
7.3.
Turunan{ XE "Turunan" } Tingkat Tinggi Parsial
Turunan{ XE "Turunan" } Parsial
z
dari z  f ( x, y) dapat diturunkan
x
parsial lagi ke x dan y, menghasilkan turunan kedua ( z ' ' ). Turunan kedua
dapat diturunkan lagi ke x dan y, menghasilkan turunan ketiga ( z ' ' ' ) dan
seterusnya. Jika dituliskan sebagai berikut:
Turunan{ XE "Turunan" } Pertama:
Kalkulus
z
 f ( x, y )
x
75
Turunan{ XE "Turunan" } Kedua:
2z
  z 
 f xx ( x, y )   
2
x  x 
x
2z
  z 
 f yx ( x, y )    sedangkan,
yx
y  x 
Turunan{ XE "Turunan" } Pertama:
z
 f ( x, y )
y
2z
  z 
Turunan{ XE "Turunan" } Kedua:
 f xy ( x, y )   
xy
x  y 
2z
  z 
 f yy ( x, y )   
2
y  y 
y
Contoh:
Hitunglah turunan kedua dari:
z  2 x 2  4 xy  3 y 2
Penyelesaian:
7.4.
z
 4x  4 y ,
x
 2z
  z 
    4,
2
x  x 
x
2z
  z 
  4
yx y  x 
z
 6 y  4x ,
y
2z
  z 
    4 ,
xy x  y 
 2z
  z 
    6
2
y  y 
y
Turunan{ XE "Turunan" } Parsial Fungsi Aljabar{ XE "Aljabar" }
Fungsi Aljabar{ XE "Aljabar" } dapat diturunkan secara parsial,
dimana jika diturunkan terhadap x maka y konstan, dan sebaliknya ketika
diturunkan terhadap y maka x dianggap konstan. Supaya lebih jelas mngenai
turunan parsial fungsi aljabar, kita pelajari contoh berikut:
Hitung turunan dari: z  x 3  5xy  y 2 jika diturunkan terhadap x dan y
Penyelesaian:
Jika diturunkan terhadap x dan y dianggap konstan, maka
z
 3x 2  5 y
x
Jika diturunkan terhadap y dan x dianggap konstan, maka
z
 5 x  2 y
y
Kalkulus
76
7.5.
Turunan{ XE "Turunan" } Parsial Fungsi Trigonometri
Cara penurunan secara parsial fungsi trigonometri sama seperti pada
fungsi aljabar. Supaya lebih jelas mngenai turunan parsial fungsi aljabar, kita
pelajari contoh berikut:
Hitung turunan dari z  2 x cos y  y sin x jika diturunkan terhadap x dan y
Penyelesaian:
Jika
diturunkan
terhadap
x
dan
y
dianggap
konstan,
maka
z
 2 cos y  y cos x
x
Jika diturunkan terhadap y dan x dianggap konstan, maka
7.6.
z
 2 sin y  sin x
y
Turunan{ XE "Turunan" } Parsial Fungsi Eksponensial
Pada prinsipnya cara penurunan parsial pada fungsi eksponensial{ XE
"eksponensial" } sama seperti fungsi aljabar dan fungsi trigonometri. Supaya
lebih jelas mngenai turunan parsial fungsi aljabar, kita pelajari contoh berikut:
Hitung turunan dari z = e x
3
 xy
jika diturunkan terhadap x dan y
Penyelesaian:
Jika diturunkan terhadap x dan y dianggap konstan, maka
3
z
 e x  xy (3x 2  y )
x
 z (3x 2  y )
3
z
 e x  xy ( x)
y
 zx
Kalkulus
77
RINGKASAN
1. Turunan{ XE "Turunan" } implisit adalah turunan dimana proses menurunkan
persamaan tidak dapat diturunkan secara langsung, turunan pertama (y’) dari
f(x,y) = 0 dapat diperoleh dengan dua cara berikut:
a. Jika y dinyatakan sebagai bentuk eksplisit dari x, kemudian
dideferensialkan terhadap x.
b. Jika setiap suku dalam f(x,y) = 0 dideferensialkan terhadap x.
2. Pada turunan parsial, jika z = f(x,y) memiliki variabel{ XE "variabel" } bebas x
dan y:
a) Variabel x berubah-ubah, sedangkan variabel{ XE "variabel" } y
dianggap tetap.
f x x, y  
z
f x  x, y   f x, y 
 lim
x x0
x
b) Variabel y berubah-ubah, sedangkan variabel{ XE "variabel" } x
dianggap tetap.
f x x, y  
z
f x, y  y   f x, y 
 lim
y x0
y
3. Pada turunan parsial
z
dari z  f ( x, y) dapat diturunkan parsial lagi ke x dan
x
y, menghasilkan turunan kedua ( z ' ' ). Turunan{ XE "Turunan" } kedua dapat
diturunkan lagi ke x dan y, menghasilkan turunan ketiga ( z ' ' ' ) dan seterusnya.
Jika dituliskan sebagai berikut:
Turunan{ XE "Turunan" } Pertama:
Turunan{ XE "Turunan" } Kedua:
z
 f ( x, y )
x
2z
  z 
 f xx ( x, y )   
2
x  x 
x
2z
  z 
 f yx ( x, y )    sedangkan,
yx
y  x 
Turunan{ XE "Turunan" } Pertama:
Turunan{ XE "Turunan" } Kedua:
Kalkulus
z
 f ( x, y )
y
2z
  z 
 f xy ( x, y )   
xy
x  y 
78
2z
  z 
 f yy ( x, y )   
2
y  y 
y
Kalkulus
79
Soal-soal Latihan
Carilah turunan implisit fungsi berikut ini:
1. 4 x 3  3xy  2 y 2  5
Carilah y’
2. cos xy  3x 2 y 2  9
3. x  2 xy  y  10
Carilah y’’bila diketahui x =1
4. 2 x 4 y  xy 4  4
Carilah turunan parsial fungsi berikut ini:
1. z  cos(7 x  3 y) , berapakah
2. z = e 2 x  y berapakah ,
3. w 
z
z
dan
x
y
z
z
dan
x
y
x z y2
w w
w
, berapakah
,
dan
 
2
x z
x y
z
y
4. z  sin( x  5) cos(4 y  6) , berapakah
z
z
dan
x
y
5. sin( x  y)  sin( y  z)  sin( x  z)  1 , berapakah
6.
f ( x, y, z)  x  3 y  3z  ln z  0 , berapakah
Kalkulus
z
z
dan
x
y
2z
2z
dan
y 2
x 2
80
BAB VIII
INTEGRAL TAK TENTU ALJABAR
Materi
:
Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar{ XE
"Aljabar" }
Sub Materi
:
-
Pendahuluan
-
Rumus – rumus Dasar Integral
-
Integral dengan Substitusi ”u”
Tujuan
Setelah mengikuti pertemuan ini, mahasiswa diharapkan dapat menjelaskan
konsep integral{ XE "integral" } tak tentu dan teknik pengintegralan dengan
substitusi{ XE "substitusi" } pada fungsi aljabar serta menghitung integral tak
tentu dengan substitusi secara konsep dan aplikasi.
Materi
8.1. Pendahuluan
Jika
diketahui
F ( x)  x 2
maka
turunannya
adalah:
F 1 ( x)  2 x  f ( x) . Bila operasi dibalik yakni diketahui f ( x)  2 x dapatkah
di temukan F (x) sebagai anti turunan dari
f (x) sedemikian hingga
F 1 ( x)  2 x  f ( x) ? Jawabannya adalah Dapat. Caranya adalah sebagai
berikut:
F ( x)  x 2
, sebab F 1 ( x)  2 x  f ( x) atau
F ( x)  x 2  1 , sebab F 1 ( x)  2 x  f ( x) atau
F ( x)  x 2  7 , sebab F 1 ( x)  2 x  f ( x) atau
F ( x)  x 2  10 , sebab F 1 ( x)  2 x  f ( x) atau
………dan seterusnya sehingga dapat ditulis
F ( x)  x 2  C untuk sembarang konstanta{ XE "konstanta" } C .
Ini benar sebab F 1 ( x)  2 x  f ( x) . Ternyata anti turunan F dari
f
jawabnya tidak hanya satu. Dapat dikatakan bahwa himpunan anti turunan F dari
Kalkulus
81
f ( x)  2 x
adalah
F ( x)  x 2  C
berlaku untuk sembarang konstanta{ XE
"konstanta" } C .
Dapat dimengerti bahwa himpunan anti turunan F dari f yang di rumuskan
oleh f ( x)  x n adalah F ( x) 
1 n 1
x  C , n  1
n 1
sebab turunannya
F 1 ( x)  x n  f ( x ) .
Himpunan anti turunan F dari f ditulis dalam bentuk integral{ XE "integral"
} (Leibniz) :
F ( x)   f ( x)dx
ini berarti F 1 ( x) 
(1-1)
d
F ( x)  d  f ( x)dx  f ( x) atau :
dx
dx
d
f ( x)dx  f ( x)
dx 
(1-2)
Dari (1-1) dan (1-2) juga di peroleh rumusan :
 f ( x)dx   F ( x)dx   dx F ( x)dx   dx F ( x)  C dx   d F ( x)  C   F ( x)  C
d
1
d
, sehingga
 d F ( x)  C   F ( x)  C
(1-3)
atau ditulis
 d F ( x)  F ( x)  C
(1-3 * )
kemunculan C ini disebut konstanta{ XE "konstanta" } integrasi.
Dari definisi F ( x)   f ( x)dx , maka f (x) disebut integran sedang F (x)
adalah hasil integrasi. Karena hasil penghitungan bertambah dengan
konstanta{ XE "konstanta" } sembarang C maka
 f ( x)dx  F ( x)  C disebut
integral{ XE "integral" } tak tentu.
Sekarang himpunan anti turunan F dari f yang dirumuskan oleh f ( x)  x n
adalah F ( x)   f ( x)dx   x n dx 
1 n 1
x C
n 1
untuk n  1 . Dengan
demikian kita peroleh :
(1-4)
1
 x dx  n  1 x
n
Kalkulus
n 1
 C , n  1
82
sebagai rumus dasar integral{ XE "integral" } tak tentu.
Kalkulus
83
Rumus – rumus Dasar Integral
8.2.
A.
1
 dx  x  C
2
 adx  a dx ax  C
3
 x dx  n  1 x
4

5
ax
 a dx  ln a  C,
6
 e dx  e
7
 kf ( x)dx  k  f ( x)dx , k adalah konstanta{ XE "konstanta" }
8
  f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx
9
  f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx
10
 udv  uv   vdu,
1
n
n 1
 C , n  1
dx
 ln x  C , x  0
x
x
x
x
a  0, a  1
C
B.
u  u( x ), v  v( x ) , disebut integral{ XE "integral" }
parsial
Integral dengan Substitusi ”u”
8.3.
Integral substitusi{ XE "substitusi" } dapat digunakan untuk
menentukan hasil dari bentuk
 f ( x)dx . Dengan menggunakan substitusi u =
g(x), di mana g adalah fungsi yang dapat diintegralkan. Jika substitusi itu
mengubah f(x) dx menjadi h (u) du dan apabila H sebuah anti turunan h,
maka:
 f ( x)dx   h(u)du  H (u)  C  H ( g ( x))  C
Contoh Integral Substitusi dan penyelesaiannya:
1.
 2 x  8 dx
Kalkulus
5
84
2.
x
2
3x 3  5dx
Penyelesaian:
1.
 2 x  8 dx
5
Langkah awal menyelesaikan integral{ XE "integral" } substitusi{ XE "substitusi"
} di atas adalah sebagai berikut:
-
mengasumsikan bahwa u  2 x  8
-
menghitung
du
du
; karena u  2 x  8 maka
2
dx
dx
sehingga dx 
du
2
du
2
-
bentuk integral{ XE "integral" } menjadi :  u 5
-
diubah menjadi bentuk:
-
hasil pengintegralan:
-
konstantanya disederhanakan menjadi:
-
variabel{ XE "variabel" } u dikembalikan seperti di awal:
1 5
u du
2
1  1 15 
u c

2 1 5

1 6
u c
12
1
2 x  86  c
12
2.
x
2
3x 3  5dx
Langkah awal menyelesaikan integral{ XE "integral" } substitusi{ XE "substitusi"
} di atas adalah sebagai berikut:
-
mengasumsikan bahwa u  3x 3  5
-
menghitung
du
du
; karena u  3x 3  5 maka
 9x 2
dx
dx
sehingga dx 
du
9x 2
-
bentuk integral{ XE "integral" } menjadi :
-
disederhanakan menjadi bentuk:
Kalkulus
1
9u
1
2
x u
2
1
2
du
9x 2
du
85
1 1
1 1
u 2 c
9 1 1
2
-
hasil pengintegralan:
-
konstantanya disederhanakan menjadi:
-
variabel{ XE "variabel" } u dikembalikan seperti di awal:

2 32
u c
27

2
3x 3  5 3x 3  5  c
27
Contoh Soal dan Penyelesaiannya:
1.
x
2.
x
3.
3
4.
 ( 2t
4
dx
2
 2 x  2dx
3
x dx
1
2
 2t )dt
5. Jika Biaya marginal suatu perusahaan ditunjukkan oleh persamaan Marginal
Cost = 5q2-3q+2 dengan q adalah banyaknya unit yang diproduksi, dan biaya
tetap k=3, dimana k adalah konstanta{ XE "konstanta" } integral{ XE
"integral" }. Tentukan persamaan biaya total (Cost).
Penyelesaian:
1.
4
 x dx 
2.
x
3.
3
1
 2 x  2dx = x 3  x 2  2 x  C
3
2
3
x5
C
5
1
x dx =  3x 3 dx
1
= 3 x 3 dx
= 3( x
1 1
3
)c
4
= 3( x 3 )  c
4.
1
 ( 2t
Kalkulus
2
1 
1
 2t )dt =   t 2  2t  2 dt
2

86
1
1
=
 2t
=
1
1 2
t
dt

2
t
 2 dt
2
=
=
2
dt   2t 2 dt
1
1
1 12 1
t  21 dt  2
t dt

1
2  2 1
1
2
2 3 
1
 t 1  2 t 2 
2
3 

=

3
1 1  4 2 
t   t 
2
3 
 
5. Persamaan Marginal Cost = 5q2-3q+2
MC 
dC
; sehingga dC  MCdq
dq
Cost (C) =
=
 MCdq
 (5q
=5
=
Kalkulus
2
 3q  2)dq
1 21
1 11
q 3
q  2q  c
2 1
11
5 3 3 2
q  q  2q  c
3
2
87
RINGKASAN
1. Integral tak tentu F pada fungsi aljabar dari f yang dirumuskan:
f ( x)  x n adalah F ( x)   f ( x)dx   x n dx 
1 n 1
x  C untuk n  1 .
n 1
2. Integral substitusi{ XE "substitusi" } pada fungsi aljabar, dapat digunakan untuk
menentukan hasil dari bentuk
 f ( x)dx .
Dengan menggunakan substitusi{ XE "substitusi" } u = g(x), di mana g adalah
fungsi yang dapat diintegralkan. Jika substitusi itu mengubah f(x) dx menjadi
h (u) du dan apabila H sebuah anti turunan h, maka:
 f ( x)dx   h(u)du  H (u)  C  H ( g ( x))  C
3. Operasi penjumlahan dan pengurangan pada integral{ XE "integral" }:
  f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx
  f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx
4. Integral tak tentu parsial dirumuskan:
 udv  uv   vdu,
Kalkulus
u  u( x ), v  v( x )
88
Soal-soal Latihan
1
1.
 (2
2.

3.
 2t
4.

5.
 2 x  4
6.
 x  3
7.
 2 x  24 x  1dx
8.
  2 x 
x
3
5
x
da
a3
1
dt
t
4s
ds
2s 2  5
2
dx
3

 3x dx
2
 x

s
3
2
9.

10.

11.
 6 x
12.

 5)dx
2 
dx
5 x 
3
 2s  7
ds
s
24t
dt
4t 2  6
3

5
 4 x 2 dx
5a
1
10  a 2
2
12a 2
da
13.

14.
 2 x
15.
  3x 3
9 x 2 


dx
3


6
x

15
 6 x  15 2

16.
 2 x  42 x  6dx
Kalkulus
2a 3  8
5
 5x
da
 10x
10
4

 5 dx
20  8 x
3
89
17.

4t  6
6t 2  18t  2
dt
18. Sebuah roket yang bergerak memiliki percepatan dengan persamaan
a(t )  (5t  2) 3 meter per detik kuadrat. Kecepatan roket pada saat t = 0
adalah 10 meter per sekon. Berapakah kecepatan roket pada saat empat detik?
19. Truk pengangkut barang memindahkan box dengan cara meluncurkan balok
tersebut pada bidang miring dengan percepatan tetap sebesar 4 meter per detik.
Jika bidang miring memiliki panjang 40 meter dan box mencapai alas dalam
waktu 3, 25 detik. Berapakah kecepatan awal box tersebut?
(Rumus bantuan: Vt  V0  at )
20. Pada perusahaan ABC terdapat biaya marginal untuk memproduksi makanan
ringan dengan persamaan berikut: MC = 6q2 – 10q + 4. Jika untuk
memproduksi satu makanan ringan tersebut diperlukan
biaya Rp. 120.
tentukanlah :
a. Persamaan Biaya total pembuatan makanan ringan.
b. Besar biaya total, biaya rata-rata serta biaya marginal pada saat output
tiga makanan ringan.
(Rumus bantuan: Fungsi biaya total C = ∫ (MC) dq, Dicari Nilai Konstanta
Integrasi dengan memasukkan nilai q= 1 dan C (Biaya).
Kalkulus
90
BAB IX
INTEGRAL TAK TENTU FUNGSI{ XE "FUNGSI" } TRIGONOMETRI
Materi
:
Sub Materi
:
Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri
-
Pendahuluan
-
Rumus
–
rumus
Dasar
Integral
Fungsi
Trigonometri
-
Integral dengan Substitusi ”u” dengan Fungsi
Trigonometri
Tujuan
Setelah mengikuti pertemuan ini, mahasiswa diharapkan dapat menjelaskan
konsep integral{ XE "integral" } tak tentu dan teknik pengintegralan dengan
substitusi{ XE "substitusi" }
pada fungsi trigonometri serta menghitung
integral tak tentu dengan substitusi secara konsep dan aplikasi.
Materi
9.1. Pendahuluan
Pada bab sebelumnya telah dibahas mengenai integral{ XE "integral" }
pada fungsi aljabar. Rumus dasar yang digunakan dalam integral, baik pada
fungsi aljabar maupun fungsi trigonometri pada umumnya sama. Integral pada
fungsi aljabar telah dituliskan dalam rumus – rumus dasar di bawah ini.
Integral tak tentu tidak memiliki nilai batas awal dan nilai batas akhir.
Sehingga pada penggunaannya dapat langsung memperhatikan rumus – rumus
dasar yang telah ditetapkan. Untuk lebih jelasnya perhatikan penjelasan
berikut ini:
Jika
diketahui
F ( x)  sin x
maka
F 1 ( x)  cos x  f ( x) . Bila operasi dibalik yakni
turunannya
diketahui
adalah
:
f ( x)  c o sx
dapatkah di temukan F (x) sebagai anti turunan dari f (x) sedemikian hingga
F 1 ( x)  cos x  f ( x) ? Jawabannya adalah Dapat. Caranya adalah sebagai
berikut:
F ( x)  sin x
Kalkulus
, sebab F 1 ( x)  cos x  f ( x) atau
91
F ( x)  sin x  5 , sebab F 1 ( x)  cos x  f ( x) atau
F ( x)  sin x  15 , sebab F 1 ( x)  cos x  f ( x) atau
F ( x)  sin x  10 , sebab F 1 ( x)  cos x  f ( x) atau
………dan seterusnya sehingga dapat ditulis
F ( x)  sin x  C untuk sembarang konstanta{ XE "konstanta" } C .
Ini benar sebab F 1 ( x)  cos x  f ( x)
Ternyata anti turunan F fungsi trigonometri sama seperti halnya pada
fungsi aljabar yaitu dari f jawabnya tidak hanya satu. Dapat dikatakan bahwa
himpunan anti turunan F dari f ( x)  cos x adalah F ( x)  sin x  C berlaku
untuk sembarang konstanta{ XE "konstanta" } C .
Himpunan anti turunan F dari f ditulis dalam bentuk integral{ XE "integral"
} (Leibniz) :
F ( x)   f ( x)dx
ini berarti F 1 ( x) 
(1-1)
d
F ( x)  d  f ( x)dx  f ( x) atau :
dx
dx
d
f ( x)dx  f ( x)
dx 
(1-2)
Dari (1-1) dan (1-2) juga di peroleh rumusan :
 f ( x)dx   F ( x)dx   dx F ( x)dx   dx F ( x)  C dx   d F ( x)  C   F ( x)  C
1
d
d
, sehingga
 d F ( x)  C   F ( x)  C
(1-3)
atau ditulis
 d F ( x)  F ( x)  C
(1-3 * )
kemunculan C ini disebut konstanta{ XE "konstanta" } integrasi.
Dari definisi F ( x)   f ( x)dx , maka f (x) disebut integran sedang F (x)
adalah hasil integrasi. Karena hasil penghitungan bertambah dengan
konstanta{ XE "konstanta" } sembarang C maka
 f ( x)dx  F ( x)  C
disebut
integral{ XE "integral" } tak tentu.
Pada penggunaan integral{ XE "integral" } fungsi trigonometri dapat
digunakan rumus-rumus dasar yang ada di bawah. Tidak hanya fungsi
Kalkulus
92
trigonometri dasar, tetapi juga tersedia untuk trigonometri fungsi hiperbolik.
Rumus – rumus di bawah dapat digunakan pada integral sederhana, sedangkan
untuk teknik pengintegralan yang rumit dapat menggunakan teori substitusi{
XE "substitusi" } yang akan dijelaskan pada bab ini.
Rumus – rumus Dasar Integral Fungsi Trigonometri
9.2.
A.
11
 sin x dx   cos x  C
12
 cos x dx  sin x  C
13
 sec
14
 cos sec
15
 sec x
16
 cos sec x
17
 tan x dx   ln cos x  C  ln sec x  C
18
 cot x dx  ln sin x  C   ln cos sec x  C
19
 sec x dx  ln sec x  tan x  C
20
 cos sec x dx   ln cos sec x  cot x  C
21
 sinh x dx  cosh x  C
22
 cosh x dx  sinh x  C
23
 sec h x dx  tanh x  C
24
 cos ech x dx   coth x  C
25
 sec h x
26
 cos ech x
2
x dx  tan x  C
x dx   cot x  C
2
tan x dx  sec x  C
cot x dx   cos sec x  C
B.
2
2
tanh x dx   sec h x  C
coth x dx   cos ech x  C
C.
Kalkulus
93
27 a.

b.

28 a.
dx
 arc sin x  C ,
1  x2
dx
a x
2
dx
1 x
b.
a
29 a.
x
b.
x
30 a.
x
b.
x
2
2
 arc sin
2
 arc tan x  C ,
dx
1
x
 arc tan  C
2
x
a
a
dx
x2  1
 arc sec x  C ,
dx
x a
2
2
1
x
arc sec  C
a
a

dx
1 x 1
 ln
 C, x2  1 ,
1 2 x 1
2
2
dx
1
xa

ln
 C, x2  a 2
2
a
2a x  a

arc

dx
31 a. 
 arc
2
1 x



b.
a
32 a.

b.

33 a. 
2
tanh x  C , x  1
coth x  C , x  1 ,
1 1 x
ln
C
2 1 x
dx
1
xa

ln
 C, x2  a 2
2
x
2a x  a

dx
x 1
dx
x a
2
dx
x 1
2
2


 ln x  x 2  a 2  C


 arc cosh x  C  ln x  x 2  1  C ,
dx


34 a.

1  x 2 dx 
b.

a 2  x 2 dx 
x a
2

 arc sinh x  C  ln x  x 2  1  C ,
2
b.
Kalkulus
x
C
a
2

 ln x  x 2  a 2  C
x
1
1  x 2  arc sin x  C ,
2
2
x 2
a2
x
a  x 2  arc sin  C
2
2
a
94
35 a.  x 2  1 dx 


x 2
1
x  1  ln x  x 2  1  C
2
2


x 2
a2
x  a 2  ln x  x 2  a 2  C
2
2
b.

x 2  a 2 dx 
36 a.

x 2  1 dx 

x 2
a2
2
x  a dx 
x  a  ln x  x 2  a 2  C
2
2
b.
9.3.
2


x 2
1
x  1  ln x  x 2  1  C
2
2

2

Integral dengan Substitusi ”u” pada Fungsi Trigonometri
Integral substitusi{ XE "substitusi" } pada fungsi trigonometri dapat
digunakan untuk
menentukan hasil
dari bentuk
 f ( x)dx .
Dengan
menggunakan substitusi u = g(x), di mana g adalah fungsi yang dapat
diintegralkan. Jika substitusi itu mengubah f(x) dx menjadi h (u) du dan
apabila H sebuah anti turunan h, maka:
 f ( x)dx   h(u)du  H (u)  C  H ( g ( x))  C
Rumus dasar ini sama dengan rumus pada fungsi aljabar. Pada fungsi
trigonometri dapat digunakan logika yang sama. Metode substitusi{ XE
"substitusi" } ini memiliki peran yang sama untuk integral{ XE "integral" }integral yang dimainkan oleh Aturan Rantai terhadap turunan. Hal yang perlu
dicermati disini adalah bahwa Aturan Substitusi adalah Aturan Rantai dalam
kebalikannya.
Sebelum mengerjakan integral{ XE "integral" } substitusi{ XE
"substitusi" }, yang perlu diperhatikan adalah bentuk dasar integral yang sudah
sederhada ataukah belum. Jika bentuk integral belum sederhana, maka yang
perlu dilakukan adalah mengubahnya ke bentuk dasar trigonometri.
Berikut ini adalah rumus-rumus trigonometri yang dapat dijadikan
rumus penunjang dalam mengerjakan integral{ XE "integral" } trigonometri
untuk mengubah persamaan ke dalam bentuk dasar sebelum diintegralkan:
1.
sin 2 x  cos 2 x  1
2.
1  tan 2 x  sec 2 x
Kalkulus
95
3.
1  cot an 2 x  cos ec 2 x
4.
sin 2 x 
1
1  cos 2 x 
2
5.
cos 2 x 
1
1  cos 2 x 
2
6.
sin x. cos x 
1
sin 2 x
2
7.
sin x. cos y 
1
sinx  y   sinx  y 
2
8.
sin x. sin y 
1
cosx  y   cosx  y 
2
9.
cos x. cos y 
1
cosx  y   cosx  y 
2
10.
1  cos x  2 sin 2
1
x
2
11.
1  cos x  2 cos 2
1
x
2
Untuk lebih jelasnya mengenai integral{ XE "integral" } tak tentu pada Fungsi
Trigonometri, perhatikan pada beberapa contoh dan penyelesaiannya berikut ini:
1.
 (cos x  2 sin x)dx
2.
 2 sin
3.
 4x  4sin2 x
4.
 5 cos
5.
 sin 2 x. cos 2 xdx
2
5
xdx
2
 4 x dx
xdx
Dari beberapa contoh soal di atas, di berikan penyelesaian berupa tahapan-tahapan
seperti berikut:
1.
 (cos x  2 sin x)dx
Untuk menyelesaikan soal di atas, dapat digunakan teknik pengintegralan
secara langsung. Hal ini dikarenakan bentuk integral{ XE "integral" } di atas
merupakan bentuk integral dasar.
Kalkulus
Langkah pertama adalah memecah persamaan tersebut menjadi:
96
 cos xdx   2 sin xdx
-
Langkah kedua adalah langsung mengintegralkan masing-masing suku
dalam persamaan:
sin x  2 cos x  C
2.
 2 sin
2
xdx
Jika penyelesaian nomor satu dapat diselesaikan secara langsung, maka nomor
dua ini tidak bisa diselesaikan secara langsung dikarenakan berpangkat lebih
dari satu (pangkat kuadrat).
-
Langkah pertama adalah mengubah bentuk persamaan tersebut ke dalam
persamaan dasar trigonometri:
2
1
1  cos 2 x dx
2


2 1  1 cos 2 x dx
2
2
-
Langkah kedua adalah memecah persamaan:
 2. 12 dx   2. 12 cos 2 xdx
-
Langkah ketiga adalah mengubah persamaan tersebut menjadi:
 dx   cos 2 x 12 d (2 x)
Hal yang perlu diingat: d (2 x)
-
dx
 2 , sehingga dx  1 d (2 x)
2
Langkah keempat adalah mengintegralkan persamaan:
x  1 sin 2 x  C
2
3.
 4x  4sin2 x
2
 4 x dx
Untuk menyelesaikan soal ini dibutuhkan permisalan dengan langkah-langkah
sebagai berikut:
-
Langkah pertama adalah mengubah bentuk persamaan:
 sin udu
dengan u  2 x 2  4 x; du  4 x  4dx
Kalkulus
97
karena du bernilai sama dengan konstanta{ XE "konstanta" } pada
persamaan awal maka persamaan akhir dikali 1, sehingga tidak ada
perubahan pada persamaan akhir.
-
Langkah kedua adalah mengintegralkan persamaan menjadi:
 cos udu +c
-
Langkah terakhir yaitu mengganti nilai u dan du:
 cos(2 x 2  4 x)(4 x  4)dx  c
4.
 5 cos
5
xdx
Berikut ini langkah-langkah menyelesaikan integral{ XE "integral" } dengan
pangkat tinggi, selain menggunakan teknik permisalan juga digunakan teknik
substitusi{ XE "substitusi" }.
-
Langkah
pertama
adalah
mengubah
bentuk
persamaan
yang
memungkinkan ke bentuk permisalan dan substitusi{ XE "substitusi" }:
5 cos xcos 4 x dx
-
Langkah kedua yaitu memecah pangkat empat:


5 cos x cos 2 x dx
2
karena sin 2 x  cos 2 x  1, maka


5 cos x 1  sin 2 x dx
2
misalkan:
u  sin x; du  cos xdx
-
Langkah ketiga yaitu substitusi{ XE "substitusi" } u:


5 1  u 2 du
-
2
Langkah keempat sebelum diintegralkan, persamaan didalam integral{
XE "integral" } dikuadratkan lebih dulu:
5 1  2u 2  u 4 du
-
Langkah kelima adalah diintegralkan satu per satu:
2
1 

5 u  u 3  u 5   C
3
5 

Kalkulus
Langkah terakhir adalah diubah nilai u ke nilai awalnya:
98
5 sin x 
5.
10 3
sin x  sin 5 x  C
3
 sin 3x. cos 2 xdx
Berikut ini langkah-langkah menyelesaikan integral{ XE "integral" } yang
didalamnya terdapat perkalian trigonometri.
-
Langkah pertama adalah mengubah bentuk perkalian di dalam
persamaan
yang memungkinkan
ke
bentuk
penjumlahan atau
pengurangan:
sin x. cos y 
-
1
1
sin x  y   sin x  y 
2
2
Langkah kedua yaitu memasukkan ke dalam persamaan integral{ XE
"integral" }:
-
 sin 3x. cos 2 xdx  
1
1
sin 3x  2 x dx   sin 3x  2 x dx
2
2
 sin 3x. cos 2 xdx  
1
1
sin 5 x dx   sin x dx
2
2
Langkah ketiga dengan mengintegralkan masing-masing bagian:

-
Langkah akhir yaitu menyederhanakan hasil pengintegralan:

Kalkulus
1
1
11
1
sin 5 x dx   sin x dx  
cos5 x   .1 cos x   C
2
2
25
2
1
1
cos5 x   cosx   C
10
2
99
RINGKASAN
1. Dari definisi F ( x)   f ( x)dx , maka f (x) disebut integran sedang F (x)
adalah hasil integrasi. Karena hasil penghitungan bertambah dengan
konstanta{ XE "konstanta" } sembarang C maka
 f ( x)dx  F ( x)  C
disebut
integral{ XE "integral" } tak tentu pada fungsi trigonometri.
2. Beberapa rumus dasar pada integral{ XE "integral" } tak tentu trigonometri:
a.
 sin x dx   cos x  C
b.
 cos x dx  sin x  C
c.
 tan x dx   ln cos x  C  ln sec x  C
d.
 sec x dx  ln sec x  tan x  C
e.
 cos sec x dx   ln cos sec x  cot x  C
3. Integral substitusi{ XE "substitusi" } pada fungsi trigonometri dapat digunakan
untuk menentukan hasil dari bentuk
 f ( x)dx .
Dengan menggunakan
substitusi u = g(x), di mana g adalah fungsi yang dapat diintegralkan. Jika
substitusi itu mengubah f(x) dx menjadi h (u) du dan apabila H sebuah anti
turunan h, maka:
 f ( x)dx   h(u)du  H (u)  C  H ( g ( x))  C
Kalkulus
100
Soal-soal Latihan
1.
 cosv  2dv
2.
 cos
3.
 sin(4x)  cos(6x)dx
4.
 x tan x
5.
 (sec tan )d
6.
 sec
7.
 2 sin
8.
 cos x  sin xcos x  sin xdx
9.
 sec   2 xdx
10.
x
11.
cos 2 x  sin 2 x
 cos x  sin x dx
2
(2 )d
2
dx
d
2
2
x  2 cos 2 xdx
2
cosx 3  3dx
2
(Note: sederhanakan persamaan terlebih dahulu!)


12.
 2v
13.
 3 sin 7 x.sin 5xdx
4
cos 2v 5  2 dv
(Note: Lihat rumus dasar trigonometri!)
14.
 2 cos x tan xdx
(Note: Ingat bahwa tan x 
15.
5
 1  sin
2
x
sin x
!)
cos x
dx
(Note: Ingat bahwa sin 2 x  cos 2 x  1 !)
16.

sin 2 x
1  2 sin x
dx
(Note: Ubahlah bentuk sin 2 x  2 sin x cos x ; Lakukan permisalan u  1 2 sin x ;
Lakukan substitusi{ XE "substitusi" }!)
Kalkulus
101
17.
 2 sin
2
xdx
(Note: Ingat bahwa sin 2 x  cos 2 x  1 !)
18.
 cos x sin
4
xdx
(Note: Ingat bentuk substitusi{ XE "substitusi" } u = sin x!)
19.
 (sec x tan x  sin x)dx
(Note: Lihat rumus dasar trigonometri!)
20.
 2 cos
2
x sin xdx
(Note: Lihat rumus dasar trigonometri; Gunakan permisalan & Substitusi; u = cos
x!)
Kalkulus
102
BAB X
INTEGRAL TENTU FUNGSI{ XE "FUNGSI" } ALJABAR
Materi
:
Sub Materi
:
Integral Tentu Fungsi Aljabar{ XE "Aljabar" }
-
Pendahuluan
-
Definisi
-
Sifat-sifat Integral Tentu Fungsi Aljabar{ XE
"Aljabar" }
-
Penghitungan Integral Tentu Fungsi Aljabar{
XE "Aljabar" }
Tujuan
Setelah mengikuti pertemuan ini, mahasiswa diharapkan dapat menjelaskan
konsep integral{ XE "integral" } tentu pada fungsi aljabar dan teknik
pengintegralan serta menghitung integral tentu secara konsep dan aplikasi.
Materi
10.1. Pendahuluan
Pada bab sebelumnya telah di pelajari tentang integral{ XE "integral" }
tak tentu pada fungsi aljabar. Prinsipnya secara teknik pengintegralannya
adalah sama, yang membedakan adalah nilai batasnya. Integral tentu terdapat
nilai batas minimum atau nilai batas bawah dan nilai maksimum atau batas
atas. Sebelum mengenal lebih jauh tentang integral tentu, pengertian, sifatsifat integral tentu, teknik pengintegralannya, penyelesaiannya soal-soal, serta
penerapannya, perhatikan beberapa penjelasan di bawah ini. Pada gambar di
bawah ini terdapat kurva yang memiliki luasan dalam batasan tertentu, untuk
menghitung batasannya, maka diperlukan teknik pengintegralan dengan
memasukkan nilai batasannya.
Kalkulus
103
Gambar 10.1. Luas daerah bidang A
Daerah R dibatasi oleh grafik-grafik y = f(x), x = a, x = b dan y = 0, luasnya
A(R) ditentukan oleh:
b
A(R) =
 f ( x)dx
a
Jika gambar terletak dibawah sumbu
"integral"
X
maka integral{
XE
} diatas bernilai negatif, karena luas daerah tidak mungkin
bilangan negatif maka nilai integral tersebut dimutlakkan. Perhatikan pula
gambar berikut ini:
Gambar 10.2. Luas daerah bidang B
Daerah R dibatasi oleh grafik-grafik x = f(y), y = c, y = d dan x = 0, luasnya
A(R) ditentukan oleh :
d
A(R) =
 f ( y )dy
c
Jika gambar terletak disebelah kiri sumbu Y maka integral{ XE "integral" }
diatas bernilai negatif, karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif
maka nilai integral tersebut dimutlakkan.
10.2.
Definisi
Misalkan f sebuah fungsi yang didefinisikan pada selang tertutup [a,b]. Jika,
Kalkulus
104
n
lim  f ( xi )xi
P  0 i 1
b
bernilai, f dikatakan terintegralkan pada [a,b]. Selanjutnya  f ( x)dx disebut
a
Integral Tentu (Integral Riemann) f dari a ke b, dan didefinisikan:
b
n
 f ( x)dx = lim  f ( xi )xi
P  0 i 1
a
b
Kembali ke lambang  f ( x)dx , boleh disebut bahwa a titik ujung bawah dan b
a
titik ujung atas integral{ XE "integral" }. Tetapi kebanyakan referensi
menyebutnya istilah batas bawah dan batas atas integrasi.
b
Pada definisi  f ( x)dx , secara implisit kita menganggap bahwa ab
.
a
Perhatikan rumus-rumus berikut:
a
 f ( x)dx  0
a
b
a
a
b
 f ( x)dx   f ( x)dx,
a b
Berdasarkan rumus dasar di atas, dapat dituliskan contoh berikut ini:
3
 x dx  0
2
3
4
2
 x dx   x dx
2
2
2
4
Variabel x merupakan peubah{ XE "peubah" } dummy (dummy
variable), dimana x dapat diganti dengan huruf sebarang lainnya.
b
b
b
b
a
a
a
a
 f ( x)dx  f (t )dt  f (u)du  f (s)ds
Tidak semua fungsi dapat diintegrasikan pada selang tertutup [a, b].
Misalnya fungsi tak terbatas.
Kalkulus
105
1
 jika x  0
f ( x)   x 2
 1 jika x  0
Pada teorema keintegrasian dijelaskan bahwa jika f terbatas pada [a, b]
dan f kontinyu di sana, kecuali pada sejumlah titik yang berhingga, maka f
terintegrasikan pada [a, b]. Khususnya jika f kontinyu pada seluruh selang
tertutup [a, b], maka f terintegrasikan pada [a, b].
Berikut ini adalah fungsi – fungsi yang dapat diintegrasikan pada
selang tertutup [a, b]:
1. Fungsi polinomial{ XE "polinomial" }
2. Fungsi sinus dan kosinus
3. Fungsi rasional{ XE "rasional" },
dengan syarat selang [a, b] tidak mengandung titik – titik yang
mengakibatkan penyebut bernilai 0.
10.3.
Sifat-sifat Integral Tentu Fungsi Aljabar{ XE "Aljabar" }
Terdapat beberapa sifat integral{ XE "integral" } tentu pada fungsi aljabar
yang dapat digunakan untuk menyelesaikan berbagai macam kasus.
a. Sifat Tambahan pada Selang
Jika f terintegralkan pada suatu selang yang mengandung tiga titik a, b
dan c, maka:
c
b
c
a
a
b
 f ( x)dx =  f ( x)dx +  f ( x)dx
dengan catatan tidak mempedulikan orde a, b dan c.
Contoh dari sifat pertama:
2
1
2
0
2
0
3
1
2
0
2
0
1
3
0
0
a)  x 2 dx   x 2 dx   x 2 dx
b)  x 2 dx   x 2 dx   x 2 dx
2
c)  x 2 dx   x 2 dx   x 2 dx
1
b. Sifat Perbandingan
Kalkulus
106
Jika f dan g terintegrasikan pada selang [a, b] dan jika
f ( x)  g ( x) untuk semua x dalam [a, b], maka:
b

b
f ( x)dx   g ( x)dx
a
a
c. Sifat Keterbatasan
Jika f dan g terintegrasikan pada selang [a, b] dan m  f ( x)  M untuk
semua x dalam [a, b], maka:
b
m(b  a)   f ( x)dx  M (b  a)
a
d. Sifat Kelinearan
Jika f dan g terintegrasikan pada selang [a, b] dan k adalah kostanta.
Maka kf dan f+g terintegrasikan, sehingga:
b
b
a
a
 kf ( x)dx  k  f ( x)dx
a)
b
b
b
a
a
a
b
b
b
a
a
a
 [ f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g ( x)dx
b)
c)  [ f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g ( x)dx
10.4.
Perhitungan Integral Tentu Fungsi Aljabar{ XE "Aljabar" }
Untuk lebih memahami penerapan teori dalam perhitungan integral{
XE "integral" } tentu pada fungsi aljabar, perhatikan beberapa contoh berikut
ini:
1
1.
x
2
dx
1
2
2.
 (2 x  3x
2
)dx
0
4
3.
1
Kalkulus
1
w
2
1
 w 2 dw
2
107
1
4.
 (x
2
 2 x) 2 dx
0
1
5.
 3x
3x 2  1dx
0
Dari beberapa contoh soal di atas, di berikan penyelesaian berupa tahapantahapan seperti berikut:
1
1.
x
2
dx
1
Ada dua langkah penyelesaian soal di atas:
-
2
Integralkan x
x3
-
1
1
Masukkan nilai batas awal dan akhir
[(1 3 )-  1 ] = 2
3
Jadi hasil dari pengitegralan persamaan di atas sebesar 2.
2
2.
 (2 x  3x
2
)dx
0
Ada dua langkah penyelesaian soal di atas:
-
2
Integralkan 2 x  3x
x2  x3
-
2
0
Masukkan nilai batas awal dan akhir
2
2
 

 23  0 2  03  4
Jadi hasil dari pengitegralan persamaan di atas sebesar -4.
4
3.
1 1 2
1 w2  2 w dw
Ada dua langkah penyelesaian soal di atas:
Kalkulus
108
-
Integralkan
1 1 2
 w
w2 2
Untuk lebih mudahnya persamaan di atas diubah dulu menjadi:
1
w 2  w 2
2
1
Hasil integralnya:  w 
11 3
w
23
4
1
 w 1  w3
6 1
-
Masukkan nilai batas awal dan akhir
 1 1 3   1 1
3 


4



(

1
)




 4 6
  1 6


 1 64   1 
  4  6   1  6 
 


 3 128   6 1 
  12  12    6  6 
 


 125   5 
 12    6 
  

 125   10  115
 12    12   12
  

Jadi hasil dari pengitegralan persamaan di atas sebesar
115
12
1
4.
 (x
2
 2 x) 2 dx
0
Ada tiga langkah penyelesaian soal di atas:
-
Uraikan pangkat dua pada persamaan di dalam integral{ XE
"integral" }
x 4  4x3  4x 2
-
4
3
2
Integralkan x  4 x  4 x
x 4  4x3  4x 2
Kalkulus
1
0
109
-
Masukkan nilai batas awal dan akhir
1
4


 4.13  4.12  0  9
Jadi hasil dari pengitegralan persamaan di atas sebesar 9.
1
5.
 3x
3x 2  1dx
0
Ada tiga langkah penyelesaian soal di atas:
-
Ubah ke bentuk substitusi{ XE "substitusi" }
u  3x 2  1
du  6 xdx
dx 
1
du
6x
 3x.u
0
-
1
2
du
6x
Integralkan persamaan
1  2 32  1
.u 
2  3
0
-
Masukkan nilai awal dan akhir
3
1
1 2
(3x  1) 2 
 0
3 
3
3
1
1
(3(1) 2  1) 2  (3(0) 2  1) 2 
 0
3 
3
1  2 32
(2 )  (1) 2 

3 
7
3
Jadi hasil dari pengitegralan persamaan di atas sebesar
Kalkulus
7
3
110
RINGKASAN
1. Integral Tentu (Integral Riemann) f dari a ke b, dan didefinisikan:
b
n
 f ( x)dx = lim  f ( xi )xi
P  0 i 1
a
b
2. Pada definisi  f ( x)dx , secara implisit dengan menganggap bahwa ab , maka:
a
a
 f ( x)dx  0
a
b

a
f ( x)dx    f ( x)dx, ab
a
b
3. Berikut ini adalah fungsi – fungsi yang dapat diintegrasikan pada selang
tertutup [a, b]:
a. Fungsi polinomial{ XE "polinomial" }
b. Fungsi sinus dan kosinus
c. Fungsi rasional{ XE "rasional" },
dengan syarat selang [a, b] tidak mengandung titik – titik yang
mengakibatkan penyebut bernilai 0.
4. Terdapat beberapa sifat integral{ XE "integral" } tentu pada fungsi aljabar yang
dapat digunakan untuk menyelesaikan berbagai macam kasus.
a. Sifat Tambahan pada Selang
b. Sifat Perbandingan
c. Sifat Keterbatasan
d. Sifat Kelinearan
Kalkulus
111
Soal-soal Latihan
2
1.
 (x
 x )dx
2
0
3
2.
 (3t  2)
3
dt
1
2
3.
1
 (2 x
4
 3x 3 )dx
3
1
2
4.
 (2  6 x)  (2  2 x)dx
1
(Note: Sederhanakan persamaan!)
3
5.
 (1  x)
x dx
1
2
6.

1
1
dx
t ( t  1) 3
4
7.

x 2  x (2 x  1)dx
0
(Note: Integral Substitusi!)
5
8.
1
1 (t  2) 2 dt
2
9.
 3x
2
x 3  1dx
1
(Note: Integral Parsial!)
3
10.
dx
 (2 x  3)
2
2
(Note: Integral Substitusi!)
3
11.
2dx
 (2 x  3)
2
2
(Note: Integral Parsial!)
Kalkulus
112
2
12.
 2 x(6 x  10)
4
dx
0
(Note: Integral Substitusi!)
3
13.

2 x 2  2 x (4 x  2)dx
0
(Note: Integral Parsial!)
Tentukan nilai p integral{ XE "integral" } di bawah ini!
p
14.

8 
  8  3 x dx  96
3
0
15.
 (2 x
2
 8 x)dx  8
p
2p
16.
3dx 3
1 x 2  2
17. Hitung Luas Daerah yang dibatasi oleh kurva dengan persamaan
2 x 2  12 x  16  0 dan sumbu x!
(Note: Batas integral{ XE "integral" } diperoleh dari titik potong kurva
terhadap sumbu x  y  0 )
18. Dua elektron memiliki muatan negatif sebesar 1,6. 10-19 C. Berapa besar gaya
yang diperlukan untuk memisahkan dua elektron yang memiliki jarak awal
1µm, sehingga jarak akhir dua elektron tersebut menjadi 4µm.
(Note: Hukum Coulomb = F 
kq1q 2
; jika dimasukkan ke dalam persamaan
r2
b
kq1q 2
dx ; k = konstanta{ XE
2
x
a
integral{ XE "integral" } menjadi F  
"konstanta" } gaya listrik yang besarnya 9.109 N m2 C−2)
19. Sebuah bola pantul dilemparkan ke atas dengan persamaan kecepatan gerak
bola, yaitu v = (t – 1) m/s. Berapakah percepatan bola selama 2 detik dan jarak
yang dapat ditempuh bola selama 10 detik? Kapankah bola akan membentur
tanah? (dengan mengabaikan gesekan udara)
(Note: a(t ) 
Kalkulus
dv
ds
; v(t )  )
dt
dt
113
20. Laju perubahan muatan listrik terhadap waktu dinamakan arus listrik. Apabila
1/3t2+2t Coulomb muatan mengalir melalui suatu kawat penghantar dalam t
detik. Ingat bahwa Arus Listrik (I) =
dQ
.
dt
a) Berapakah arus listrik dalam Ampere (Coulomb per detik) setelah 3 detik?
b) Kapankah suatu sekering 20 Ampere yang dipasang pada saluran itu akan
putus?
Kalkulus
114
BAB XI
INTEGRAL TENTU FUNGSI{ XE "FUNGSI" } TRIGONOMETRI
Materi
:
Sub Materi
:
Integral Tentu Fungsi Trigonometri
-
Pendahuluan
-
Sifat – sifat Integral Tentu Fungsi Trigonometri
-
Integral Tentu dengan Substitusi ”u” pada
Fungsi Trigonometri
Tujuan
Setelah mengikuti pertemuan ini, mahasiswa diharapkan dapat menjelaskan
konsep integral{ XE "integral" } tentu pada fungsi trigonometri dan teknik
pengintegralan dengan substitusi{ XE "substitusi" } serta menghitung integral
tentu secara konsep dan aplikasinya.
Materi
11.1.
Pendahuluan
Perhitungan integral{ XE "integral" } tentu secara umum telah
dijelaskan pada bab sebelumnya yaitu integral tentu fungsi aljabar, akan tetapi
ada
beberapa
teori
yang membedakan pada
penggunaan sifat-sifat
trigonometri. Jika dalam integral tentu fungsi aljabar telah dikenalkan teori
substitusi{ XE "substitusi" }, maka pada integral tentu fungsi trigonometri juga
terdapat teori substitusi yang akan dijelaskan pada sub bab berikut ini. Pada
perhitungan integral tentu trigonometri tidak terlepas dari rumus – rumus dasar
trigonometri yang telah dijelaskan pada bab sebelumnya, karena rumus –
rumus dasar tersebut akan digunakan untuk mengubah persamaan trigonometri
dalam integral yang tidak bisa langsung diintegralkan. Berikut ini adalah sifat
– sifat integral tentu yang terdapat dalam fungsi trigonometri.
11.2.
Sifat – Sifat Integral Tentu Fungsi Trigonometri
1. Sifat Penambahan Selang
Kalkulus
115
Jika f terintegralkan pada suatu selang yang mengandung tiga titik a, b
dan c, maka:
c
c
b
 f ( x)dx =  f ( x)dx +  f ( x)dx
a
2. Sifat Periodik{
b
a
XE "Periodik" }
Jika f periodik dengan periode p, maka:
b p

a p
b
f ( x)dx   f ( x)dx
a
Suatu fungsi f merupakan fungsi periodik jika terdapat suatu bilangan
p sedemikian rupa sehingga f(x+p) = f(x) untuk semua nilai x dalam
daerah asal f. Bilangan positip p yang terkecil disebut periode dari
fungsi f. Fungsi – fungsi trigonometri merupakan contoh dari fungsi –
fungsi yang periodik.
Contoh:
2
Hitunglah:
 sin x dx
0
Jika dilihat dari keperiodikannya, maka fungsi tersebut periodik
dengan periode  . Perhatikan gambar berikut.
Gambar 11.1. Gambar fungsi yang periodik
Karena periodik seperti yang telah di jelaskan dengan gambar, maka
dapat diselesaikan seperti di bawah ini:
2

2
0
0

 sin x dx   sin x dx 


0

 sin x dx
  sin x dx   sin x dx
Kalkulus
116

 2  sin xdx
0

  2 cos x 
0
 2  (2)
4
3. Sifat Simetri
Jika f fungsi genap{
XE "genap" }
a
a
a
0
[f(-x) = f(x)] , maka:
 f ( x)dx = 2  f ( x)dx
Jika f fungsi ganjil{
XE "ganjil" }
[f(-x) = - f(x)], maka:
a
 f ( x)dx = 0
a
Contoh :



 x
 x
 x 1
cos
dx

2
 4
 cos 4 dx  8  cos . dx 4 2
 
4 4
  
0
0
11.3.
Integral Tentu dengan Substitusi ”u” pada Fungsi Trigonometri
Terdapat beberapa langkah sebelum sebuah persamaan trigonometri dapat
langsung diintegralkan, diantaranya adalah teknik substitusi{ XE "substitusi"
}.
Misal g mempunyai turunan kontinu pada [a,b] dan f kontinu pada daerah
nilai g, maka:
b
g (b )
a
g (a)
 f ( g ( x)) g ' ( x)dx   f (u )du
Untuk membuat sebuah substitusi{
XE "substitusi" } dalam integral{
XE "integral" } tentu, terdapat beberapa langkah yang harus dipenuhi:
 Membuat substitusi{
XE "substitusi" } dalam integran
 Membuat perubahan yang tepat dalam memisalkan ke bentuk
diferensial
 Mengubah limit - limit dari a dan b menjadi g(a) dan g(b)
Kalkulus
117
Perhatikan contoh berikut untuk memperjelas teori:
1. Hitunglah:

 2 cos xdx

2
Penyelesaian:


 2 cos xdx  sin x 

2
2


 sin   sin 
2

 0 1
 1
2. Hitunglah:

 x sin( x
2
)dx
0
Penyelesaian:
Misal : u  x 2
du  2 xdx
xdx 
1
du
2
Masukkan ke dalam persamaan awal:

1
 sin u ( 2 du )
0
 1

  cos u 
 2
0
 1

  cos x 2 
 2
0
 1
  1

  cos  2    cos 0 2 
 2
  2

1 
 1
  (1)  .1
2 
 2
0
3. Hitunglah:
 /3

0
Kalkulus
4 cos 2
1
x sin xdx
2
118
Untuk menyelesaikan integral{
XE "integral" } di atas diperlukan
beberapa rumus trigonometri dasar yang telah dibahas pada bab
sebelumnya.
(i) cos x  2 cos 2
cos 2
1
x 1
2
1
1
x  (1  cos x)
2
2
(ii) sin 2x  2 sin x cos x
sin x cos x 
Ubahlah cos 2
 /3


0
1
sin 2 x
2
1
1
x  (1  cos x) , sehingga persamaan menjadi:
2
2
1
4. (cos x  1) sin xdx
2
 /3
 2  (cos x sin x  sin x)dx
0
1
Ubahlah sin x cos x  sin 2 x , sehingga persamaan menjadi:
2
 /3
2

0
1
( sin 2 x  sin x)dx
2
 1

 2  cos 2 x  cos x  3
 4
 0
 1
  1

 2   cos 120  cos 60     cos 0  cos 0 
  4

 4
 1 1   1 
 2        1
 8 2   4 
 3  5 
 2     
 8  4 
7
 2 
8
7

4
4. Hitunglah:
 /2

1  cos x dx
0
Kalkulus
119
Untuk menyelesaikan integral{
XE "integral"
} di atas diperlukan
rumus trigonometri dasar yang telah dibahas pada bab sebelumnya.
cos 2  1  2 sin 2 
2 sin 2   1  cos 2
x
Substitusikan   x ; sehingga 2 sin 2 ` 1  cos x
2
2
 /2

 /2

1  cos x dx 
0
0
 /2
 2

0
x
2 sin 2 dx
2
x
sin dx
2
x

karena f ( x)  sin tidak bernilai negative pada [ 0, ]; maka dapat
2
2
x
 x
dituliskan sin   sin
2
 2
 /2
2

0

x
x  
2
sin dx  2   2 cos


2
2
0



x  
2
 2 2  cos


2
0





 2 2  cos  cos 0 
4


 2

 2 2 
 1
 2

 2  2 2
5. Hitung volume benda putar yang dibatasi oleh y = sin x untuk 0  x  
dan diputar mengelilingi sumbu x sejauh 2 . Perhatikan gambar di bawah
ini.
Gambar 11.2 Batas Volume Benda Putar
Kalkulus
120
Kalkulus
121
Penyelesaiannya:

XE "integral" } untuk volume:
Persamaan integral{
V    sin 2 xdx
0

1 1

     cos 2 x dx
2 2

0

1
1
  ( x  sin 2 x )
0
2
4
1
1
1
1

     sin 2   .0  sin 2.0  
4
4
2

2
1
 2
2
6. Buktikan bahwa persamaan keliling lingkaran untuk lingkaran yang
memiliki jari – jari sebesar r adalah 2r . (Gunakan bantuan gambar di
bawah!)
Gambar 11.3. Representasi sudut dalam Lingkaran
Penyelesaiannya:
dari gambar di atas, dapat dibuat persamaan sebagai berikut:
x  r cos t
y  r sin t
Pada persamaan x  r cos t , maka
dx
 r sin t
dt
Pada persamaan y  r sin t , maka
dy
 r cos t
dt
t2
Keliling  
t1
Kalkulus
2
2
 dy   dx 
     dt
 dt   dt 
122
2
Keliling 

 sin t 2  r cos t 2 dt
0
2
Keliling 

r 2 sin t 2  cos t 2 dt
0
2
Keliling  r  dt
0
Keliling  rt
2
0
Keliling  r (2  0)
Keliling  2r
Kalkulus
123
RINGKASAN
1. Sifat – Sifat Integral Tentu Fungsi Trigonometri
4.
Sifat Penambahan Selang
Jika f terintegralkan pada suatu selang yang mengandung tiga titik a, b
dan c, maka:
c
c
b
 f ( x)dx =  f ( x)dx +  f ( x)dx
a
5.
Sifat Periodik{
b
a
XE "Periodik" }
Jika f periodik dengan periode p, maka:
b p
b
a p
a
 f ( x)dx   f ( x)dx
6.
Sifat Simetri
Jika f fungsi genap{
XE "genap" }
a
a
a
0
[f(-x) = f(x)] , maka:
 f ( x)dx = 2  f ( x)dx
Jika f fungsi ganjil{
XE "ganjil" }
[f(-x) = - f(x)], maka:
a
 f ( x)dx = 0
a
2. Fungsi g mempunyai turunan kontinu pada [a,b] dan f kontinu pada daerah
nilai g, maka:
b
g (b )
a
g (a)
 f ( g ( x)) g ' ( x)dx   f (u )du
Untuk membuat sebuah substitusi{
XE "substitusi"
} dalam integral{
XE "integral" } tentu, terdapat beberapa langkah yang harus dipenuhi:
 Membuat substitusi{
XE "substitusi" } dalam integran
 Membuat perubahan yang tepat dalam memisalkan ke bentuk
diferensial
 Mengubah limit - limit dari a dan b menjadi g(a) dan g(b)
Kalkulus
124
Kalkulus
125
Soal-soal Latihan

1.
 (sin x  cos x)dx

(Note: Gunakan bantuan sifat simetri!)
 /2
2.
sin x
dx
1  cos x
/2



(Note: Gunakan bantuan sifat simetri!)
 /2
3.

0
sin x
dx
cos 3 x
(Note: Gunakan bantuan metode substitusi{ XE "substitusi" }!)

4.
 (2 sin 2 x  3 cos x)dx
0
 /2
5.
 (3 sin 2 x  cos x)dx
0
 /4
6.
 sin(2 x   )dx
0
 /2
7.
(sin x  cos x)


2
dx
/4
(Note: Sederhanakan persamaan terlebih dahulu!)

8.
 sin
2
x cos 2 xdx

(Note: Gunakan bantuan sifat trigonometri!)
 /8
9.
 sin(5x) cos(3x)dx
0

10.
 2 sin

2
x cos xdx
/2

11.
 2 cos 2 xdx
 /2
 /2
12.
 (4 cos x  1)dx
 /3
Kalkulus
126
 /3
13.

1  cos 2 x dx
0
 /2
14.

sin x cos 3xdx
0
 /2
15.

0
sin 3 x
cos x
dx
 /2
16.
 tan x sec

2
xdx
/3
 /4
17.
 (2 sin x  6 cos x)dx
 / 2
 /3
18.
 (4 cos
2
x  2)dx
0
19. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh:
3
y  sin x; 0  x  
2
20. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh:
y  sin x; y  cos x;   x  2
Kalkulus
127
Daftar Pustaka
1.
Purcell, E J. Varberg, Dale. Rigdon, S E. 2004. Calculus 8th Edition
(Terjemahan, Jilid 8). Erlangga. Jakarta.
2. Koko M. 1999. Kalkulus. Penerbit Erlangga. Jakarta.
3. Frank, Ayres. 1998. Theory and Problems of Differential and Integral
Calculus. 2nd Edition (Terjemahan, Edisi Kedua). Penerbit Erlangga.
Jakarta.
4. Lucy, I. 1998. Kalkulus I. STIKOM. Surabaya.
5. Baisuni, HM. Hasyim. 2005. Calculus. UI-Press. Jakarta.
6. Sudaryono. 2012. Langkah Mudah Belajar Kalkulus. Penerbit Andi.
Yogyakarta.
7. Harshbarger, R J. 1990. Calculus with applications. DC Heath & Co.
Lexington.
8. Dubinsky E D. 1992. Calculus, Concept and Computer Preliminary
Version. West Pub. Co. New York.
Kalkulus
128
Indeks
A
Aljabar, 1, 8, 9, 42, 44, 48, 50, 71, 76, 81, 103, 106, 107
D
domain, 14, 18
E
eksponensial, 1, 20, 28, 62, 64, 66, 68, 77
F
FUNGSI, 1, 20, 53, 62, 71, 91, 103, 115
G
ganjil, 13, 117, 124
genap, 13, 117, 124
H
Hiperbolik, 20, 25, 26, 27
I
identitas, 1
IMPLISIT, 71
integral, 31, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 88, 91, 92, 95, 96, 98, 99, 100, 103, 104, 105, 106, 107, 109, 111, 113, 115,
117, 119, 120, 122, 124
invers, 1, 14, 15, 18, 23, 28
K
kodomain, 18
komposisi, 1, 7, 18
konstanta, 8, 16, 20, 28, 44, 45, 50, 81, 82, 84, 86, 92, 98, 100, 113
Kuadrat, 8, 18
L
Limit, 30, 31, 32, 34, 35, 36, 40
Linier, 9, 18
Logaritma, 20, 23
N
notasi, 2, 18, 30, 31, 40, 62, 68
P
Pangkat, 1, 8, 16, 18, 45, 50
PARSIAL, 71
Periodik, 116, 124
peubah, 16, 20, 28, 31, 35, 40, 105
Kalkulus
129
polinomial, 106, 111
R
rasional, 36, 106, 111
relasi, 2, 18
S
sekawan, 32
siklometri, 14
substitusi, 81, 84, 85, 88, 91, 93, 95, 98, 100, 101, 102, 110, 115, 117, 124, 126
T
transenden, 20
Turunan, 42, 44, 48, 49, 50, 51, 53, 54, 55, 56, 57, 59, 62, 63, 64, 65, 71, 75, 76, 77, 78
V
variabel, 3, 18, 30, 75, 78, 85, 86
Kalkulus
130