X matematika PEMINATAN SIFAT-SIFAT EKSPONEN TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami definisi eksponen. 2. Memahami sifat-sifat bentuk pangkat. 3. Memahami sifat-sifat bentuk akar. 4. Menggunakan sifat-sifat bentuk pangkat dan akar dalam pemecahan masalah. A. DEFINISI EKSPONEN Eksponen atau bilangan berpangkat dinotasikan dengan am (dibaca a pangkat m), dengan a, m∈R, a > 0, dan a ≠ 1. Pada notasi eksponen, a disebut basis atau bilangan pokok, sedangkan m disebut pangkat atau eksponen. Jika m adalah bilangan bulat positif, maka definisi dari eksponen dapat dinyatakan sebagai berikut. am = a× a × a × ... ×a sebanyak m bilangan B. SIFAT-SIFAT BENTUK PANGKAT Jika a dan b bilangan real, serta m dan n bilangan bulat positif, maka berlaku sifat-sifat berikut. 1. am × an = am + n 1 Kela s K13 2. am = am −n , dengan a ≠ 0 dan m > n an 3. (am)n = am × n 4. (a × b)m = am × bm 5. am a = , dengan b ≠ 0 b bm 6. a0 = 1, dengan a ≠ 0 7. a− m = 8. a n = n am , dengan n ≥ 2 m 1 , dengan a ≠ 0 am m Contoh Soal 1 Tentukan hasil dari operasi eksponen berikut! a. 32 × 3 b. 24 22 c. (52)3 d. 23 × 33 e. 102 22 f. 4–3 g. 2−3 × 3 3 2 × 3 −1 h. 2 83 Pembahasan: a. Dengan menggunakan sifat am × an = am + n, diperoleh: 32 × 31 = 32 + 1 = 33 = 27 Jadi, 3 × 3 = 27. 2 2 b. Dengan menggunakan sifat am = am −n , diperoleh: dengan a ≠ 0 dan m > n an 24 = 24 −2 22 = 22 =4 Jadi, c. 24 = 4. 22 Dengan menggunakan sifat (am)n = am × n, diperoleh: (5 ) 2 3 = 52× 3 = 56 = 15.625 Jadi, (52)3 = 15.625. d. Dengan menggunakan sifat am × bm = (a × b)m, diperoleh: 23 × 33= (2 × 3)3 = 63 = 216 Jadi, 23 × 33 = 216. e. m a am Dengan menggunakan sifat = m ,, diperoleh: dengan b ≠ 0 b b 102 10 = 22 2 2 = 52 = 25 Jadi, f. 102 = 25. 22 −m Dengan menggunakan sifat a = 1 43 1 = 64 1 a≠0 , dengan diperoleh: am 4 −3 = Jadi, 4 −3 = 1 . 64 3 g. Dengan menggunakan sifat-sifat bentuk pangkat, diperoleh: −1 2−3 × 3 23 × 3−1 = 3 2−1 × 3−3 2×3 23 × 2 × 33 3 4 2 =2 3 = 144 = −1 2−3 × 3 4 2 Jadi, 3 = 2 3 = 144. 2 3 × h. m Dengan menggunakan sifat a n = n am , dengan diperoleh: n≥2 2 8 3 = 3 82 = 3 64 =4 2 Jadi 8 3 = 43 82 = 3 64 Contoh Soal =4 2 Sederhanakan operasi bentuk pangkat berikut! a. (4 x b. 64 a−7 b −6 27 a−8 b −2 −3 2 y )(2 x 2 −1 y ) −1 Pembahasan: a. Dengan menggunakan sifat-sifat bentuk pangkat, diperoleh: (4 x −3 2 y )(2 x 2 −1 y )= 4⋅x −3 ⋅ y 2 ⋅ 2 ⋅ x 2 ⋅ y −1 = 4 ⋅ 2 ⋅ x −3 ⋅ x 2 ⋅ y 2 ⋅ y −1 = 8 ⋅ x -3+2 ⋅ y 2 −1 ( )( = 8 x −1y 8y = x ) Jadi, 4 x −3 y 2 2 x 2 y −1 = 8y . x 4 b. Dengan menggunakan sifat-sifat bentuk pangkat, diperoleh: −1 64 a−7 b −6 26 a−7 b −6 = 27 a−8 b −2 27 a−8 b −2 ( = 2−1ab −4 ) −1 −1 = 2a−1b 4 = 2b 4 a −1 64 a−7 b −6 2b 4 = Jadi, . 27 a−8 b −2 a Contoh Soal 3 Bentuk sederhana dari Pembahasan: ( b − a )10 ( a + b )−7 ( a − b )9 ( b + a )−8 adalah .... Dengan sedikit memodifikasi bentuk pada soal dan menggunakan sifat-sifat bentuk pangkat, diperoleh: −7 ( b − a )10 ( a + b )−7 = ( ( −1)( a − b ) ) ( a + b ) ( a − b )9 ( b + a )−8 ( a − b )9 ( a + b )−8 ( −1)10 ( a − b )10 ( a + b )1 = ( a − b )9 = ( a − b )( a + b ) 10 = a2 − b 2 Jadi, bentuk sederhana dari ( b − a )10 ( a + b )−7 ( a − b )9 ( b + a )−8 5 adalah a2 – b2. Contoh Soal 4 Jika 22017 – 22016 – 22015 = ab, dengan a bilangan prima, maka a + b = .... Pembahasan: Dengan sedikit memodifikasi bentuk pada soal dan menggunakan sifat-sifat bentuk pangkat, diperoleh: 22017 − 22016 − 22015 = ab ⇔ 22+2015 − 21+2015 − 22015 = ab ⇔ 22 × 22015 − 2 × 22015 − 22015 = ab Misal 22015 = p , maka : ⇔ 4 p − 2 p − p = ab ⇔ p = ab ⇔ 22015 = ab Oleh karena 2 adalah bilangan prima, maka : a = 2 dan b = 2015 5 Jadi, a + b = 2017. C. SIFAT-SIFAT AKAR PANGKAT n Akar dari suatu bilangan dinotasikan dengan a (dibaca akar pangkat n dari a), dengan n bilangan positif, n ≥ 2, dan a ≥ 0. Pada notasi akar, a disebut radikan, sedangkan n disebut pangkat akar. Jika a, b, p, dan q bilangan rasional positif, a, b ≥ 0, serta n ≥ 2, maka berlaku sifat-sifat berikut. 1. 2. n a × n b = n ab n a n b = n a b 3. ( a) 4. p n a ± q n a = ( p ± q) n a 5. ( 6. n n =a )( a − b = a−b (a + b) ± 2 ab = a ± b a+ b ) 6 Contoh Soal 5 Tentukan nilai dari bentuk akar berikut! 72 a. b. c. d. 3 72 3 9 32 − 4 50 + 18 (3 2 +2 3 ) 2 Pembahasan: a. Dengan menggunakan sifat n a × n b = n ab , diperoleh: 72 = 36 × 2 = 36 × 2 =6 2 Super "Solusi Quipper" Selain menggunakan sifat-sifat akar pangkat, bentuk pada soal juga dapat diselesaikan dengan pohon faktor berikut. 72 Untuk yang berpasangan ditulis sekali Untuk yang tidak berpasangan diakarkan 36 2 2 18 2 9 2 3 3 3 72 =722 ×= 3 ×36 2× 2= 6 2 = 36 × 2 Jadi, 72 = 6 2 7 b. Dengan menggunakan sifat 3 72 3 9 =3 n n a b = n a , diperoleh: b 72 9 =38 =2 Jadi, c. 3 72 3 9 == 23 72 9 =38 Dengan menggunakan sifat-sifat akar pangkat, diperoleh: =2 32 − 4 50 + 18 = 16 × 2 − 4 25 × 2 + 9 × 2 = 16 2 − 4 25 2 + 9 2 = 4 2 − 4×5 2 +3 2 = 4 2 − 20 2 + 3 2 = -13 2 32 − 4 50 + 18 = −13 2. Jadi, d. Dengan menggunakan sifat-sifat akar pangkat, diperoleh: (3 2 +2 3 ) = (3 2 ) + 2 × 3 2 × 2 3 + (2 3 ) = 3 ( 2 ) + 12 6 + 2 ( 3 ) 2 2 2 2 2 2 = 9 × 2 +12 6 + 4 × 3 = 30 +12 6 ( Jadi, 3 2 + 2 3 ) 2 = 30 +12 6. Contoh Soal 6 Rasionalkan penyebut pecahan berikut ini! a. b. 4 2 8 2 3 8 2 c. d. 2+ 3 2− 3 16 5+ 3 Pembahasan: a. a Berdasarkan sifat 4 2 4 = 2 b = a b × b b = a b , diperoleh: b = a b , diperoleh: b 2 × 2 4 2 2 =2 2 = Jadi, b. 4 2 = 2 2. a Berdasarkan sifat 8 2 3 = 8 × 2 3 b = a b × b b 3 3 8 3 6 4 = 3 3 = Jadi, c. 8 2 3 = 4 3. 3 Dengan menggunakan bentuk sekawan dari penyebutnya, diperoleh: 2+ 3 2− 3 = 2+ 3 2− 3 × 2+ 3 2+ 3 (2 + 3 ) 2 = 4−3 = 4+4 3 +3 =7+4 3 Jadi, 2+ 3 2- 3 = 7 + 4 3. 9 d. Dengan menggunakan bentuk sekawan dari penyebutnya, diperoleh: 16 5+ 3 16 = = 5+ 3 16 =8 ( 5− 3 5− 3 5−3 ( 5− 3 × 5− 3 ) ) =8 5 −8 3 Jadi, 16 = 8 5 − 8 3. 5+ 3 Contoh Soal 7 Sederhanakan bentuk berikut! a. 8 − 2 15 b. 7+4 3 c. 3+ 5 d. 14 + 5 3 Pembahasan: a. Dengan menggunakan sifat 8 − 2 15 = ( 5 + 3) − 2 (a + b) ± 2 ab = a ± b , diperoleh: 5.3 = 5− 3 Jadi, b. 8 − 2 15 = 5 − 3. Dengan sedikit memodifikasi bentuk pada soal dan menggunakan sifat (a + b) ± 2 ab = a ± b , diperoleh: 7+ 4 3 = 7+2×2 3 = 7+2 4 3 = 7 + 2 12 = ( 4 + 3) + 2 4×3 = 4+ 3 = 2+ 3 10 = 7+2 4 3 = 7 + 2 12 ( 4 + 3) + 2 = 4×3 = 4+ 3 = 2+ 3 Jadi, c. 7 + 4 3 = 2 + 3. Dengan sedikit memodifikasi bentuk pada soal dan menggunakan sifat (a + b) ± 2 ab = a ± b , diperoleh: 3+ 5 2 × 1 2 3+ 5 = 6+2 5 = 2 (5 +1) + 2 5.1 = 2 5+ 1 = 2 5 +1 = Jadi, d. 2 3+ 5 = 5 +1 2 . Dengan sedikit memodifikasi bentuk pada soal dan menggunakan sifat (a + b) ± 2 ab = a ± b , diperoleh: 14 + 5 3 = 14 + 25 3 = 14 + 75 × = = = = 2 2 28 + 2 75 2 ( 25 + 3) + 2 25 × 3 2 25 + 3 2 5+ 3 2 Jadi, 14 + 5 3 = 5+ 3 2 . 11