4. Pengantar Metode Statistik [Compatibility Mode]

BAB 3
Pengantar Metode Statistik
Ensambel Statistik
Distribusi Binomial
Nilai Rata-rata Sistem Spin
Distribusi Probabilitas Kontinu
Riview Bab 2 :
Konsep probabilitas sangat penting digunakan untuk
memahami sistem makroskopik
Penggunaan Konsep Probabilitas:
1.
2.
3.
4.
5.
Permainan (Game)
Bisnis Asuransi
BMG (Prakiraan Cuaca)
Biologi (Genetika)
Dll.
Penggunaan Konsep Probabilitas dalam Bidang Fisika:
•
•
•
•
Peluruhan Radioaktif
Sinar kosmik yang sampai ke permukaan bumi
Emisi acak elektron dari filamen panas
Deskripsi atom & molekul dalam kuantum
Ensambel Statistik
Tinjau sebuah sistem A dimana dapat dilakukan suatu eksperimen
Apakah kita dapat mengetahui secara pasti hasil yang akan kita peroleh
jika eksperimennya dilakukan tunggal?
Tidak, mengapa?
Karena informasi yang diperoleh dari sistem tidak cukup untuk membuat
suatu prediksi hasil eksperimen.
Lalu, bagaimana supaya kita dapat memprediksi hasil eksperimen
tersebut?
Perlu banyak informasi tentang sistem.
Caranya, eksperimen yang sama dilakukan berulang-ulang sebanyak
mungkin.
Sehingga kita dapat memprediksi hasil eksperimen melalui Konsep
Probabilitas
Bagaimana cara menggunakan Konsep Probabilitas tersebut?
• Tinjau sebuah ensambel yang terdiri dari N buah (sangat besar) sistem
identik dengan sistem A
• Identik juga termasuk perlakuan yang sama untuk tiap sistem seperti pada
sistem A
Misalkan hasil eksperimen tertentu disimbolkan dengan r dan
diantara N sistem dalam ensambel, Nr buah sistem yang
memiliki hasil eksperimen tertentu yang sama.
Maka probabilitas munculnya hasil eksperimen r ditulis:
Nr
Pr =
N
Kesimpulan:
Probabilitas munculnya hasil sebuah eksperimen pada
sebuah sistem dapat ditentukan dengan mengulang
eksperimen yang sama sebanyak mungkin
Distribusi Binomial
Tinjau sistem ideal berupa N buah partikel spin ½ ditempatkan
dalam medan magnet B
Apa yang terjadi?
Maka tiap momen magnetiknya dapat dapat paralel (up) atau
anti paralel (down) dengan arah B
Tinjau satu spin saja, probabilitas keadaaan up : p
probabilitas keadaaan down : q
Maka p + q = 1
Ketika B = 0, p = q = ½
B ≠ 0, p > q
Pertanyaan:
Bila n : jumlah momen magnetik yang paralel dan
n’ : jumlah momen magnetik yang anti paralel
dan n + n’ = N, maka
untuk setiap nilai n yang mungkin, berapa probabilitas P(n)
yaitu n dari N momen magnetik total yang up?
Jawab
p : probabilitas sebuah momen magnetik arah up
q : probabilitas sebuah momen magnetik arah down
Maka
Probabilitas munculnya satu keadaan/konfigurasi dimana n
momen magnetik up dan n’ momen magnetik down adalah
p.p …… p . q.q …… q = pn qn’
►
►
Tetapi, keadaan untuk n momen magnetik yang up dapat
Tetapi,
bervariasi
maka dikenalkan:
dikenalkan:
yaitu jumlah keadaan yang berbeda dari N momen
N magnetik dimana n momen magnetik berarah up (n’
Cn
momen magnetik down) dimana
N!
C =
n!(N − n)!
N
n
►
Sehingga P(n) :
P(n) = C p q
N
n
n
N −n
N!
=
p n q N−n
n!(N − n)!
Nilai Rata-rata
α
N1u1 + N 2 u 2 + ....... + N α u α
u=
=
N
Nr
Karena
= Pr
N
∑N u
r
r =1
N
r
α
= ∑ Pr u r
r =1
Jika f(u) adalah fungsi dari u maka rata - rata f atau f(u) :
α
f(u) = ∑ Pr f(u r )
r =1
Nilai Rata-rata
Jika f(u) dan g(u) fungsi dari u, maka
N
N
N
i =1
i =1
i =1
f(u) + g(u) = ∑ pi [f(ui ) + g(ui )] = ∑ pi f(ui ) +∑ pi g(ui )
= f(u) + g(u)
Jika c konstanta, maka
N
N
i =1
i =1
cf(u) = ∑ p i [cf(u i )] = c∑ p i f(u i )
= cf(u)
Jika ∆u adalah simpangan dari rata-rata ū, maka
∆u = u − u
Rata-rata simpangan:
(
)
N
N
N
i =1
i =1
i =1
∆u = u − u = ∑ p i u i − ∑ p i u = u − u ∑ p i
= u−u =0
Rata-rata kuadrat simpangan/dispersi/varians:
(∆u )
2
α
α
= ∑ Pr (∆u ) = ∑ Pr (u r − u ) ≥ 0
2
r =1
2
r =1
(
)
Karena (∆u ) = (u − u ) = u − 2uu + u = u − 2uu + u
2
2
= u2 − u2 ≥ 0
2
2
2
2
Standar Deviasi:
∆u =
(∆u )
2
Latihan
Buku Reif no 2.9 dan 2.13
Nilai Rata-rata Sistem Spin
Tinjau sebuah sistem ideal yang terdiri N spin ½
Berapakan nilai rata-rata momen magnetik totalnya (M)
Momen magnetik total adalah penjumlahan momen magnetik dari
semua spin:
i=N
M = µ 1 + µ 2 + µ 3 + µ 4 + ......... + µ N = ∑ µ i
i =1
Rata-rata momen magnetik:
i=N
i= N
i =1
i =1
M = ∑ µi = ∑ µi
Karena probabilitas tiap momen magnetik berarah up atau down sama,
maka rata-rata momen magnetik tiap spin sama juga, sehingga
M = Nµ
Standar Deviasi Sistem Spin
►
Kita cari dispersi/varians dari sistem spin tersebut:
i= N
i=N
i =1
i =1
(∆M )2
∆M = M − M = ∑ (µ i − µ ) = ∑ ∆µ i
 i=N
  i= N
(∆M ) = (∆M )(∆M ) =  ∑ ∆µ i  ⋅  ∑ ∆µ i  = (∆µ1 + ∆µ 2 + ∆µ 3 + .K) ⋅ (∆µ1 + ∆µ 2 + ∆µ 3 + K)
 i =1
  i =1

2
(∆M )2 = {(∆µ o )2 + (∆µ 2 )2 + (∆µ 3 )2 + K + (∆µ N )2 }+ {(∆µ1∆µ 2 ) + (∆µ1∆µ 3 ) + (∆µ1∆µ 4 ) + K + (∆µ1∆µ N )}+
{(∆µ 2∆µ1 ) + (∆µ 2∆µ 3 ) + (∆µ 2∆µ 4 ) + K + (∆µ 2∆µ N )}+ K + (∆µ N ∆µ N )
(∆M )
2
(∆M )
2
i= N
= ∑ (∆µ i ) + ∑∑ (∆µ i )(∆µ j ),
2
i =1
i= N
N
N
i ≠ j sehingga
dengan
i =1 j=1
i=N
i = N j= N
i= N
= ∑ (∆µ i ) + ∑∑ (∆µ i )(∆µ j ) = ∑ (∆µ i ) + ∑∑ (∆µ i )(∆µ j ) = ∑ (∆µ i )
i =1
2
N
N
i =1 j=1
i≠ j
i =1
2
i =1 j=1
i≠ j
i =1
2
Standar Deviasi Sistem Spin
Dispersi/varians dari sistem spin tersebut:
(∆M )
2
i=N
= ∑ (∆µ i )
2
i =1
Karena probabilitas tiap momen magnetik berarah up atau down sama,
maka dispersi/varians tiap spin sama juga, sehingga
(∆M )2 = N(∆µ i )2
Standar deviasinya:
∆M = ∆µ N
Distribusi Probabilitas Kontinu
∑ P(u ) = 1
r
r
a2
∫ P(u ) du = 1
a1
f (u ) = ∑ P(u r ) f (u r )
r
a2
f (u ) = ∫ P (u ) f (u ) du
a1
Rapat Probabilitas P (u) didefinisikan dari sifat bahwa P (u) du menghasilkan
Probabilitas menemukan variabel kontinu u dalam range antara u dan u + du
Tugas 2
Buku Reif no 2.15, 2.16 dan 2.17