RUANG BERDIMENSI n EUCLIDIS

.
RUANG BERDIMENSI n EUCLIDIS
Mata Kuliah: Aljabar Linier
Dosen Pengampu: Darmadi, S. Si, M. Pd
Disusun oleh:
Kelompok 1, Pendidikan Matematika VA
1.Abdul Fajar Sidiq
2.Lilies Purwanti
3.Ristinawati
(08411.050)
(08411.176)
(08411.242)
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS PENDIDIKAN DAN ILMU
PENGETAHUAN ALAM
IKIP PGRI MADIUN
2010
1
KATA PENGANTAR
Dengan mengucapkan puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah
memberikan taufik dan hidayahNya kepada kami sehingga kami dapat menyusun
makalah ini.
Tentunya didalam menyusun makalah ini masih banyak terdapat
kekuranganya hal ini disebabkan oleh terbatasnya kemampuan dan referensi yang
kami peroleh.
Tak lupa pula kami ucapkan terima kasih kepada :
1. Darmadi, S. Si, M. Pd selaku dosen pembimbing
2. Teman-teman yang telah membantu kelancaran dalam pembuatan
makalah ini
Kami menyadari bahwa makalah ini sangat jauh dari kesempurnaan, oleh
sebab itu segala kritik dan saran dari teman-teman semua sangat membantu kami.
Dan semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi kami dan kita semua.
Madiun, 4 November 2010
Penyusun
2
BAB I
PENDAHULUAN
Pada saat pertama kali ilmu vektor dikembangkan sekitar abad ke-17,
hanya dikenal vektor-vektor di R2 dan R 3 saja, tetapi dalam perkembangannya
yakni menjelang akhir abad ke-19, tenyata didapatkan permasalahan yang lebih
kompleks sehingga dikembangkan vektor-vektor di ruang berdimensi 4, 5 atau
secara umum merupakan vektor-vektor di R n. Pada
saat itu dikenal bahwa
kuadrupel bilangan (a1, a2, a3, a4) dapat ditinjau sebagai titik pada ruang
berdimensi 4, kuintupel (a1, a2, a3, a4, a5) sebagai titik di ruang berdimensi 5, dan
seterusnya. Secara geometris memang kita hanya dapat menggambarkan vektorvektor di R3. Untuk vektor-vektor di R4 dan seterunya belum bisa digambarkan
secara geometris, tetapi dasar yang digunakan seperti operasi-operasi vektor
masih sama seperti operasi-operasi pada vektor-vektor di R2 dan R3 . Orang yang
pertama kali mempelajari di R n adalah euclidis sehingga vektor-vektor yang
berada di R n dikenal sebagai vektor Euclidis, sedangkan ruang vektornya disebut
ruang-n Euclidis.
3
BAB II
PEMBAHASAN
(Ruang-n Euclidis)
II. 1. Definisi
Jika n adalah sebuah bilangan bukat positif, maka tupel-n-terorde
(ordered-n-tuple) adalah sebuah urutan n bilangan real (a1, a2, a3, . . . , an).
Himpunan semua tupel-n-terorde dinamakan ruang-n dan dinyatakan Rn.
Ruang vektor Rn dinamakan ruang berdimensi n Euclidis ( Euclidis nspace)
II. 2. Operasi-operasi Baku pada Rn
Misalkan u = (u1, u2, . . . , un) dan v = (v1 , v2, . . . , vn) pada R n, maka:
1. u dan v dikatakan sama jika u1 = v1 , u2 = v2, . . . , un = vn.
2. Penjumlahan u dan v didefinisikan oleh:
u + v = (u1 + v1, u2 + v2 , . . . , un + vn)
3. Perkalian skalar yakni perkalian u dengan sembarang skalar k
didefinisikan oleh:
ku = (ku1, ku2, . . . , kun)
Contoh:
Misalkan u = ( 1, -2, 3, 5 ) dan v = ( 2, -1, 1, -4 ), vektor-vektor di R 4 yang
memenuhi persamaan u + 2v = w. Tentukan vektor w!
Jawab:
w = ( 1, -2, 3, 5 ) + 2( 2, -1, 1, -4 ) = ( 5, -4, 5, -3)
Sifat-sifat operasi vektor pada ruang berdimensi n
Jika u = (u1, u2, . . . , un), v = (v1, v2, . . . , vn), dan w = (w1, w2, . . . , wn)
adalah vektor-vektor pada Rn, k dan l adalah skalar, maka:
a. u + v = v + u
b. u + (v + w) = (u + v) + w
c. u + 0 = 0 + u = u
d. u + (-u) = 0, yaitu u – u = 0
4
e. k(lu) = (kl)u
f. k(u + v) = ku + kv
g. (k + l)u = ku + lu
h. 1u = u
Bukti: (sifat b)
u + (v + w) = (u1, u2, . . . , un) + [(v1 , v2, . . . , vn) + (w1, w2, . . . , wn)]
= (u1, u2, . . . , un) + [(v1 + w1, v2 + w2 , . . . , vn + wn)]
= (u1 + [v1 + w1], u1 + [v1 + w1], . . . , un + [vn + wn])
= ([u1 + v1] + w1 ,[ u1 + v1]+ w1 , . . . , [un + vn] + wn)
= (u1 + v1, u2 + v2, . . . , un + vn) + (w1 , w2 , . . . , wn)
= (u + v) + w
II. 3. Hasil Kali Euclidis (euclidis Inner Product)
Jika u = (u1, u2, . . . , un), v = (v1, v2, . . . , vn), dan w = (w1, w2, . . . , wn)
adalah sembarang vektor pada Rn, maka hasil kali dalam Euclidis u  v
didefinisikan sebagai:
u  v = u1v1 + u2v2 +. . . + unvn
Contoh:
Misalkan u = ( 1, 2, 3, 4, 5) dan v = (-2, 1, 3, 5, -4) vektor-vektor di R5.
Tentukan u  v !
Jawab:
u  v = (1)(-2) + (2)(1) + (3)(3) + (4)(5) + (5)(-4) = 9
Sifat-sifat hasil kali dalam Euclidis
a. u  v = v  u
b. (u + v) w = u  w + v  w
c. (ku)  v = k (u  v)
d. v  v  0, v  v = 0  v = 0
Bukti: (sifat a)
Misalkan u = (u1, u2, . . . , un) dan v = (v1 , v2, . . . , vn), maka:
u  v = u1v1 + u2v2 +. . . + unvn
= v1u1 + v2u2 +. . . + vnu n
= v u
5
Contoh:
(u + 3v)  (2u + v) = u  (2u + v) + (3v)  (2u + v)
(bagian b)
v
(bagian b)
= 2 (u  u) + u  v + 6(v  u) + 3(v  v)
(bagian c)
= 2 (u  u) + 7(u  v) + 3(v  v)
(bagian a)
= u  2u + u  v + (3v)  (2u) + (3v)
II. 4. Panjang dan Jarak pada R n
Panjang atau norma (Euclidean Norm atau Euclidean Length) dari
vektor u = (u1, u2, . . . , un) pada Rn:
u  (u  u)
1
2
 u12  u 22  ...  u n2
Sifat-sifat panjang pada Rn:
Jika u dan v adalah vektor-vektor pada R n dan k adalah suatu skalar
sembarang maka:
a) u  0
b) u  0 jika dan hanya jika u = 0
c) ku  k  u
d) u  v  u  v
Bukti (c), Jika u = ( u1 , u 2 , u 3 ......... u n ), maka ku = (ku1, ku2, ku3.......kun)
Sehingga,
ku 
ku1 2  ku2 2  ........  kun 2
 k u1  u 2  .....  u n
2
2
2
= k u
Jarak antara dua titik u = (u1, u2 , . . . , un) dan v = (v1, v2, . . . , vn) pada
Rn:
d (u, v)  u  v  (u1  v1 ) 2  (u 2  v2 ) 2  ...  (u n  vn ) 2
Sifat-sifat Jarak pada Rn
Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor pada Rn dan k adalah suatu skalar
sembarang, maka:
6
a) d(u,v)  0
b) d(u,v) = 0 jika dan hanya jika u = v
c) d(u,v) = d(v,u)
d) d(u,v)  d(u,w) + d(w,v)
Contoh:
Misalkan u = ( 1, -1, -3, 3, 0) dan v = (-2, 1, 1, 3, -3) vektor-vektor di R5,
maka:
u  (1) 2  (1) 2  (3) 2  (3) 2  (0) 2  20  2 5
Dan
d (u, v)  (1  (2)) 2  (1  1) 2  (3  1) 2 (3  3) 2  (0  (3)) 2  38
II. 5. Ortogonalitas (Ketegaklurusan)
Jika u dan v adalah vektor-vektor ortogonal pada R n dengan hasil kali
dalam Euclidean, maka
uv
2
 u  v
2
2
Bukti :
uv
2
 u  v   u  v   u  2(u  v)  v
2
2
 u  v
2
2
II. 6. Notasi Alternatif untuk Vektor pada Rn
Penulisan suatu vektor u = (u 1, u2,..............u n) pada Rn dalam notasi
matriks sebagai suatu matriks baris atau suatu matriks kolom seringkali berguna :
u1 
u 
u   2
: 
 
u n 
atau
u = u1 , u 2 ,......u n 
Untuk vektor-vektor dengan notasi matriks kolom, kita memiliki rumus berikut
untuk menghitung hasil kali euclidiean:
u  v  vT u
7
Jika A adalah suatu matriks n x n, maka rumus –rumus yang dihasilkan :
Au  v  u  AT v
u  Av  AT u  v
Contoh :
Misalkan bahwa
1
A  2
1
3
1 
1 
2
4
0
1 
u =  2 
 4
2
v = 0 
5 
Maka
1
Au =  2
1
1
A v=  2
3
T
2
4
0
2
4
1
3
1 
1 
1  1 
 2 = 10
   
 4 5 
1
0 
1 
 2  7 
0  =  4 
   
5  1 
Dan kita memperoleh
Au  v  7(-2) + 10(0) +5(5) = 11
u  AT v  (-1)(-7) + 2(4) + 4 (-1) = 11
Secara khusus, suatu sistem linear Ax = b dapat dinyatakan dalam bentuk hasil
kali titik sebagai
Sistem
3x1 – 4x2 + x3 = 1
2x1 – 7x2 – 4x3 = 5
x1 + 5x2 - 8x3 = 0
Bentuk Hasil kali titik
3,4,1  x1 , x 2 , x3   1 

  
2,7,4  x1 , x 2 , x3  = 5 
1,5,8  x1, x 2 , x3   0 


8
PERTANYAAN DAN PEMBAHASAN
1. Mengapa v . v ≥ 0 ?
Penyelesaian :
v . v ≥ 0 karena berapapun nilai v (positif atau negatif) jika dikalikan
hasilnya selalu positif.
Positif x positif = positif
Negatif x negatif = positif
Oleh karena itu v . v ≥ 0
2. Mengapa u . v = vT . u ?
Penyelesaian :
Karena vektor bisa dituliskan dalam bentuk matriks, baik matriks baris
maupun matriks kolom. Sedangkan dalam perkalian matriks harus
memenuhi syarat Baris x Kolom.
Bukti:
Jika vektor u = u1, u2 , ..., u n dan v = v1, v2, ..., vn maka bisa ditulis dalam
notasi matriks kolom:
u1 
v1 
u 
v 
2
2

u
dan v   
: 
: 
 
 
u n 
v n 
Maka:
u1 
u 
2
T
v u  u1 , u 2 ,..., u n    = u1v1  u 2 v2  ...  u n vn   u , v  u . v
: 
 
u n 
jadi, u . v = vT . u
9
BAB III
PENUTUP
Jika n adalah sebuah bilangan bukat positif, maka tupel-n-terorde (ordered-ntuple) adalah sebuah urutan n bilangan real (a1, a2, a3, . . . , an). Himpunan semua
tupel-n-terorde dinamakan ruang-n dan dinyatakan Rn. Ruang vektor Rn
dinamakan ruang berdimensi n Euclidis ( Euclidis n-space). Vektor –vektor yang
berada pada R n  vektor Euclidis, dan ruang vektor yang berada di R n  ruang n
Euclidis.
10
DAFTAR PUSTAKA
Anton,Howard.1993.Aljabar Linear Elementer Edisi ke Lima.Jakarta:erlangga.
Anton,Howard.2002.Aljabar Linear Elementer Jilid 1 Edisi ke
Delapan.Jakarta:erlangga.
Purwanto,Heri.2005.Aljabar Linear.Jakarta:PT Ercontara Rajawali
11