kv v u + vv

KS091206
KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Vektor di Ruang ‘N’
TIM KALIN
TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
Setelah menyelesaikan
mahasiswa diharapkan :
pertemuan
ini
– Dapat
mengetahui
definisi
dan
dapat
menghitung perkalian vektor di ruang neucledian
RUANG N EUCLEDIAN
Surabaya, 3 September 2012
2
KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 2
Ruang-n Euclidean
(Euclidean n-space)
RUANG N EUCLEDIAN
3
Review: Bab 3 membahas Ruang-2 dan Ruang-3
Ruang-n : himpunan yang beranggotakan vektorvektor dengan n komponen
{ … , v = (v1, v2, v3, v4, …, vn), ….. }
•
Atribut: arah dan “panjang” / norma ||v||
•
Aritmatika vektor-vektor di Ruang-n:
1. Penambahan vektor
2. Perkalian vektor dengan skalar
3. Perkalian vektor dengan vektor
RUANG N EUCLEDIAN
4
Norma sebuah vektor:
Norma Euclidean (Euclidean norm) di Ruang-n :
u = (u1, u2, u3, … , un)
||u|| = √ u12 + u22 + u32 + … + un2
d(u,v) = ||u-v| |= √ (u1-v1)2 + (u2-v2)2 + (u3-v3)2 + … + (un-vn)2
RUANG N EUCLEDIAN
5
Example:
If u = (1, 3, -2, 7) and v = (0, 7, 2, 2) then in the Euclidean space R4.
(1) + (3) + ( −2) + (7)=
2
||u|| =
And
d(u,v) =
RUANG N EUCLEDIAN
2
2
2
(1−0)2 +(3−7)2 +(−2−2)2 +(7=−2)2
6
=
63 3 7
58
Penambahan vektor: di Ruang-n
u = (u1, u2 , u3, …, un); v = (v1, v2 , v3, …, vn)
w = (w1, w2 , w3, …, wn) = u + v
w = (u1, u2 , u3, …, un) + (v1, v2 , v3, …, vn)
w = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3, …, un + vn)
w1 = u1 + v1
w2 = u2 + v2
………..
w2 = un + vn
RUANG N EUCLEDIAN
7
Negasi suatu vektor:
u = (u1, u2 , u3, …, un)
– u = (– u1, – u2 , – u3, …, – un)
Selisih dua vektor:
w = u – v = u + (– v)
= (u1 – v1, u2 – v2, u3 – v3, …, un – vn)
Vektor nol: 0 = (01, 02 , 03, …, 0n)
RUANG N EUCLEDIAN
8
Perkalian skalar dengan vektor:
w = kv = (kv1, kv2 , kv3 , …, kvn)
(w1, w2 , w3,…, wn) = (kv1, kv2 , kv3 , …, kvn)
w1= kv1
w2 = kv2
…..…
wn = kvn
RUANG N EUCLEDIAN
9
Perkalian titik: (perkalian Euclidean)
u . v = skalar
u . v = u1v1 + u2v2 + u3v3 + … + unvn
u . v = 0 jika u dan v ortogonal
Catatan: perkalian silang hanya di Ruang-3
RUANG N EUCLEDIAN
10
Example:
The Euclidean inner product of the vectors
u = (-1, 3, 5, 7) and v = (5, -4, 7, 0) in R4 is
u.v = (-1)(5)+(3)(-4)+(5)(7)+(7)(0) = 18
RUANG N EUCLEDIAN
11
Aritmatika vektor di Ruang-n:
Teorema 4.1.1.: u, v, w vektor-vektor di Ruang-n
k, l adalah skalar (bilangan real)
RUANG N EUCLEDIAN
•
u+v=v+u
•
(u + v) + w = u + (v + w)
•
u+0=0+u=u
•
u + (-u) = (-u) + u = 0
•
k(lu) = (kl)u
•
k(u + v) = ku + kv
•
(k + l) u = ku + lu
•
1u = u
12
Teorema 4.1.2:
Vektor-vektor u, v, w di Ruang-n; k adalah skalar
• u.v=v.u
• u . (v + w) = u .v + u .w
• k(u . v) = (ku) . v = u . (kv)
• v .v > 0
v.v=0
RUANG N EUCLEDIAN
jika v ≠ 0
jika dan hanya jika v = 0
13
Example 2 Theorem 4.1.2 allows us to perform computation
with Euclidean inner products in much the same way that we
perform them with ordinary arithmetic products. For Exmple,
(3u + 2v).(4u + v) = (3u).(4u + v) + (2v).(4u + v)
= (3u).(4u) + (3u).v + (2v).(4u) + (2v).(v)
= 12(u.u) + 3(u.v) + 8(v.u) + 2(v.v)
= 12(u.u) + 11(u.v) + 2(v.v)
The reader should determine which parts of Theorm 4.1.2 were
used in each step
RUANG N EUCLEDIAN
14
Teorema 4.1.3 - 4.1.5:
| u . v | ≤ || u || || v ||
|| u || ≥ 0
|| u || = 0 jika dan hanya jika u = 0
|| ku || = | k | || u ||
|| u + v || ≤ || u || + || v ||
d(u, v) ≥ 0
d(u, v) = 0 jika dan hanya jika u = v
d(u, v) = d(v, u)
d(u, v) ≤ d(u, w) + d(w, v)
RUANG N EUCLEDIAN
15
Pembuktian Bahwa ||u + v || ≤ || u || || v ||
kv
v
u+v
v
u
(b)
(a)
||u+v|| ≤ ||u|| +
||v||
||kv|| = ||k||||v||
RUANG N EUCLEDIAN
16
Teorema 4.1.6 – 4.1.7:
u . v = ¼ || u + v || 2 – ¼ || u – v || 2
Teorema Pythagoras
|| u + v || 2 = || u || 2 + || v || 2
v
u+v
u
RUANG N EUCLEDIAN
17
Example : In the Euclidean space R4 the vectors
u = (-2, 3, 1, 4) and v = (1, 2, 0, -1)
are orthogonal, since
u.v = (-2)(1) + (3)(2) + (1)(0) + (4)(-1) = 0
RUANG N EUCLEDIAN
18
Perkalian Titik
(dot product) dikerjakan dengan
perkalian matriks
u = (u1, u2 , u3, …, un); v = (v1, v2 , v3, …, vn)
u . v = u1v1 + u2v2 + u3v3 + … + unvn
Kalau vektor u dan vektor v masing-masing ditulis dalam notasi matriks
baris, maka
u . v = (u1 u2 u3 … un)
v1
v2
v3
vn
RUANG N EUCLEDIAN
19
u . v = (u) (v)T
RUANG N EUCLEDIAN
20
u = (u1, u2 , u3, …, un); v = (v1, v2 , v3, …, vn)
u . v = u1v1 + u2v2 + u3v3 + … + unvn
Kalau vektor u dan vektor v masing-masing ditulis dalam notasi matriks
kolom, maka
u . v = (u1 u2 u3 … un)
v1
= v.u
v2
u . v = (u)T (v)
v3
v . u = (v)T (u)
u . v = (v)T (u)
vn
RUANG N EUCLEDIAN
21
Matriks A (n x n), u dan v masing-masing vektor kolom
Au . v = u . (ATv) ?
(Au) . v = v . (Au)
perkalian titik bersifat komutatif (T.4.1.2)
= vT(Au) v vektor kolom
= (vTA)u perkalian matriks asosiatif (T.1.4.1)
= (ATv)T u
(MN)T = NTMT & (MT)T = M (T.1.4.9)
ATv merupakan vektor kolom; maka (ATv)T vektor baris
= u . (ATv)
Jadi
RUANG N EUCLEDIAN
persamaan (7)
Au . v = u . (ATv) terbukti
22
Diketahui matriks A (n x n), u dan v masing-masing vektor kolom
u . Av = ATu . v
u . (Av) = (Av) . u
?
perkalian titik bersifat komutatif
= v . (ATu) baru dibuktikan
di slide sebelum ini: Au . v = u . (ATv)
= (ATu) . v perkalian titik komutatif
Jadi: u . Av = ATu . v terbukti
RUANG N EUCLEDIAN
23
RUANG N EUCLEDIAN
24
RUANG N EUCLEDIAN
25
RUANG N EUCLEDIAN
26
Contoh:
• Hitunglah eucledian norm dari vektor berikut :
–
–
–
–
(-2,5)
(1,-2,2)
(3,4,0,-12)
(-2,1,1,-3,4)
• Hitunglah eucledian inner product u.v
– u = (1,-2) , v = (2,1)
– u = (0,-2,1,1), v = (-3,2,4,4)
– u = (2,-2,2), v = (0,4,-2)
RUANG N EUCLEDIAN
Surabaya, 3 September 2012
27
KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 27
Let’s Try !
1. Carilah semua skalar k sehingga ||kv||=3, di mana v = (-1, 2, 0, 3).
2. Carilah jarak euclidis di antara u dan v bila u=(6,0,1,3,0) dan
v=(-1,4,2,8,3)
3. u=(3,0,1,2), v=(-1,2,7,-3), dan w=(2,0,1,1). Carilah:
a. ||-2u|| + 2||u||
b.
c.
4. u1=(-1,3,2,0), u2=(2,0,4,-1), u3=(7,1,1,4), dan u4=(6,3,1,2). Carilah skalar
c1,c2,c3, dan c4 sehingga c1u1+c2u2+c3u3+c4u4=(0,5,6,-3)
5. Buktikanlah identitas berikut:
||u+v||2 + ||u-v||2 = 2||u||2 + 2||v||2.
Tafsirkanlah hasil ini secara geometris pada R2.
6. Buktikanlah identitas berikut:
u.v = ¼||u+v||2 - ¼||u-v||2
RUANG N EUCLEDIAN
Surabaya, 3 September 2012
28
KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 28