BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Ruang Sampel dan Kejadian
Di dalam suatu kegiatan, seringkali dilakukan berbagai percobaan atau
eksperimen. Hasil eksperimen akan memberikan informasi tentang masalah yang sedang
dihadapi
dalam
kegiatan
tersebut.
Eksperimeneksperimen
tersebut
memiliki
karakteristik:
“Hasil eksperimen tak dapat diduga sebelumnya dengan tingkat keyakinan yang
pasti. Semua hasil yang mungkin dapat diberikan.Eksperimen dapat dilakukan
berulang-ulang dalam kondisi yang sama.”
(Djauhari, 1990: 3)
Definisi 1
“Eksperimen-eksperimen yang memiliki karakteristik tersebut, selanjutnya
disebut eksperimen acak. Kemudian, himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu
eksperimen acak disebut ruang sampel (sample space) dan diberi lambang S.”
(Djauhari, 1990: 3)
Contoh 1:
Misalkan kita melakukan eksperimen, melantunkan sebuah mata uang,
dan setelah jatuh ke tanah, kita amati bagian atasnya. Hasilnya yang mungkin
dari eksperimen ini bisa M (bagian muka), bisa pula B (bagian belakang). Jika
dianggap bahwa eksperimen tersebut dapat dilakukan berulang-ulang pada
8 kondisi yang sama, maka eksperimen tersebut merupakan eksperimen acak.
Ruang sampelnya S = {M,B}.
Definisi 2
“Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel.”
(Walpole, 1986 : 4)
Contoh 2:
Misalkan
|
|0
5
himpunan bagian ruang sampel
0 ,t menyatakan umur (dalam tahun) suatu komponen mesin tertentu dan
A menyatakan kejadian bahwa komponen akan rusak sebelum akhir tahun ke
lima.
Definisi 3
“Koleksi himpunan
yang tertutup terhadap komplemen dan irisan hingga
disebut lapangan.”
(Djauhari, 1990: 16)
Definisi 4
“Koleksi himpunan
yang tertutup terhadap komplemen dan irisan
terbilang disebut lapangan sigma.”
(Djauhari, 1990: 16)
Definisi 5
Misalkan S ruang sampel dari suatu eksperimen acak dan A suatu lapangan
sigma yang terdiri atas himpunan bagian dari S. Peluang adalah fungsi P dari A pada [0,
1] yang bersifat:
9 •
0 untuk setiap A di A
•
1
•
∑
, untuk setiap A1, A2, A3, … di A
bila
dimana
(Djauhari, 1990: 17)
Teorema 1
Bila suatu percobaan dapat menghasilkan N macam hasil yang berkemungkinan
sama, dan bila tepat sebanyak n dari hasil berkaitan dengan kejadian A, maka peluang
kejadian A adalah :
(Walpole, 1986: 17)
Definisi 6
Diketahui S adalah ruang sampel. Fungsi X dari S ke  dinamakan peubah acak.
Jelajah (range) dari X yakni Ax = {x|x = X(c), c di S}dinamakan ruang peubah acak X
atau ruang dari X.
(Djauhari, 1990: 28)
F.k.p. (Fungsi Kepekatan Peluang) dari Peubah Acak Diskrit
Definisi 7
Misalkan A ruang dari peubah acak diskrit X. Jadi A terbilang. Fungsi f dari A
ke dalam
•
•
yang bersifat:
0, untuk setiap x di A
∑
1
10 dinamakan fungsi kepadatan peluang (f. k.p.) dari peubah acak diskrit X. Jika peubah
acak X diskrit dengan f.k.p f(x), maka peluang suatu A diberikan oleh:
•
(Djauhari, 1990: 41)
Definisi 8
Distribusi kumulatif F(x) suatu variabel random X dengan distribusi peluang f(x)
dinyatakan oleh
∑
(Walpole, 1986: 38)
F.k.p. dari Peubah Acak Kontinu
Definisi 9
Misalkan A ruang peubah acak kontinu X. Fungsi f dari A ke dalam
yang
memenuhi:
•
0, untuk setiap
•
1
dinamakan f.k.p. dari peubah acak kontinu X. Jika peubah acak kontinu X memiliki
f.k.p. f(x) maka peluang suatu peristiwa A diberikan oleh :
(Djauhari, 1990: 42)
11 Definisi 10
Distribusi kumulatif F(x) suatu variabel random kontinu X dengan fungsi padat
f(x) diberikan oleh :
(Walpole, 1986: 44)
Definisi 11
Misalkan u(x) suatu fungsi dari X. Besaran :
;
;
∑
, dinamakan ekspektasi matematik atau nilai harapan dari u(x).
(Djauhari, 1990: 66)
Bila dalam pendekatan klasik estimator yang diperoleh hanya berdasarkan pada
informasi sampel, dalam pendekatan Bayes di samping informasi sampel juga
diperlukan informasi tentang parameter.
Definisi 12
“Suatu informasi pada ruang parameter disebut informasi prior. Informasi ini
dipandang sebagai distribusi peluang pada ruang parameter yang disebut distribusi
prior.”
(Soejoeti, 1988: 1.29)
Definisi 13
“Distribusi bersyarat
posterior
jika diberikan observasi sampel X disebut distribusi
dari X dan dinyatakan dengan
| .”
(Soejoeti, 1988)
Dalam menentukan distribusi posterior, khususnya untuk kasus kontinu kadang
diperlukan perhitungan integral yang tidak mudah, yaitu apabila fungsi matematikanya
12 tidak sederhana, salah satu cara mengatasi kesulitan ini adalah dengan menggunakan
distribusi prior sekawan.
Definisi 14
Misalkan F adalah klas dari distribusi peluang dengan fkp f(x; q). Klas P dari
distribusi prior disebut distribusi keluarga sekawan untuk F jika distribusi posterior
berada dalam P untuk semua
, semua prior dalam P dan semua
. Tiga sifat
yang merupakan sifat yang disenangi bagi keluarga prior sekawan adalah :
“Secara matematik dapat ditelusuri, yaitu cukup mudah untuk menentukan
distribusi posterior dari distribusi prior dan fungsi likelihood yang dipunyai,
menghasilkan distribusi posterior yang juga anggota sekawan yang sama,
sehingga tidak sulit menggunakan teorema Bayes berturut-turut, serta mudah
dihitung nilai harapannya. Keluasannya, yaitu keluarga distribusi sekawan
meliputi distribusi dengan parameter-parameter yang berbeda, sehingga
mewakili
berbagai
macam
informasi
prior
yang
berbeda.
Mudah
diinterpretasikan, yaitu keluarga distribusi sekawan dapat dengan mudah
diinterpretasikan oleh orang yang mempunyai informasi prior tersebut.”
(Soejoeti, 1988: 4.7)
Definisi 15
Misalkan X1, X2, X3,…,Xn sampel random dari fungsi probabilitas f(x;q).
Statistik W=h(X1,X2,X3,…,Xn) dikatakan cukup (sufien) untuk
apabila untuk semua
dan semua hasil yang mungkin, fungsi probabilitas X1, X2, X3,…,Xn jika diketahui w
tidak tergantung pada
, baik dalam fungsi itu sendiri atau dalam wilayah fungsi itu.
13 Untuk menentukan statistik cukup biasanya tidak menggunakan definisi 15,
tetapi lebih mudah mengerjakannya dengan kriteria Fisher-Neyman.
(Soejoeti, 1990)
Teorema 2 (Kriteria Fisher-Neyman)
Misalkan X1, X2, X3,…,Xn sampel random dari fungsi probabilitas f(x; ).
statistik W=h(X1,X2,X3,…,Xn) dikatakan cukup untuk
jika dan hanya jika fungsi
probabilitas bersama X1, X2, X3,…,Xn terurai menjadi hasil kali fungsi probabilitas W
dan suatu fungsi lain yang hanya tergantung pada . Yakni W cukup jika dan hanya jika
f(x1,x2,x3,…,xn) =g(w; )h(x1,x2,x3,…,xn).
(Soejoeti, 1990)
Teorema 3
Jika T adalah statistik cukup untuk q dengan fungsi kepadatan peluang g(t; )
maka
|
dengan
( )distribusi prior untuk
.
|
;
,
dan m(t) fungsi probabilitas marginal untuk t.
(Berger, 1980: 93)
Bukti
•
|
.
.
;
.
;
.
.
.
;
.
;
;
|
Definisi 16
Resiko Bayes dari
(terhadap prior ) ditulis r( ; )didefinisikan sebagai
;
|
.
(Berger, 1980: 125)
14 Definisi 17
;
Dalam klas semua estimator bila
estimator Bayes jika
;
;
berhingga, estimator d dikatakan
untuk setiap estimator
yang lain.
(Berger, 1980: 126)
Fungsi-fungsi
pada
distribusi
waktu
hidup
merupakan
suatu
fungsi
yangmenggunakan variabel random. Waktu hidup adalah interval waktu yang diamati
dari suatu individu saat pertama kali masuk ke dalam pengamatan hingga keluar dari
pengamatan. Misalnya interval waktu sampai rusaknya suatu barang produksi, matinya
suatu makhluk hidup, kambuhnya suatu penyakit atau sampai terjangkitnya suatu
penyakit. Variabel random non negatif waktu hidup biasanya dinotasikan dengan huruf
“T”, dan akan membentuk suatu distribusi.
Distribusi dari waktu hidup dapat disajikan oleh tiga fungsi berikut.
•
Fungsi Densitas Peluang/f.d.p. f(t)
Fungsi densitas peluang adalah probabilitas kegagalan suatu individu
pada suatu interval yang kecil (t, t + ∆t) persatuan waktu. Fungsi densitas
peluang (f.d.p) dinyatakan dengan f(t).
lim∆
∆
......(2.1)
∆
Sebagai ilustrasi, dalam sebuah penelitian mengenai lama hidup suatu individu.
Kejadian yang diamati adalah waktu kematian individu tersebut. Dalam kasus ini
lim∆
,
∆
∆
15 Fungsi distribusi kumulatif pada waktu t untuk suatu individu adalah probabilitas
bahwa suatu individu mengalami kegagalan sebelum waktu t atau pada interval
waktu [0,∞].
f x dx
•
......(2.2)
Fungsi Survivor S(t)
Fungsi survivor adalah peluang suatu individu bertahan hidup lebih dari
waktu t dengan t > 0. Fungsi survivor dinyatakan dengan S(t).
1
......(2.3)
Mengacu pada ilustrasi di depan:
S(t) = P[individu hidup lebih lama dari waktu t]
Dalam beberapa hal, khususnya yang mencakup tahan hidup dari komponenkomponen industri, S(t) ditentukan sebagai fungsi reliabilitas. S(t) merupakan
fungsi kontinu menurun secara kontinu dengan S(0) = 1, artinya peluang suatu
individu bertahan hidup lebih lama dari waktu nol adalah 1 dan
lim
∞
0, artinya peluang suatu individu bertahan hidup pada waktu yang
tak terhingga adalah 0.
•
Fungsi Hazard h(t)
Fungsi hazard adalah suatu fungsi yang menunjukkan tingkat kegagalan
atau resiko dalam interval (t, t + ∆t) dan diketahui bahwa individu tersebut telah
bertahan hidup selama waktu t. Fungsi hazard dinyatakan dengan:
lim∆
P
∆
∆
atau
lim∆
P
∆
fungsi hazard dapat pula dinyatakan oleh dua buah fungsi yaitu fungsi survivor
dan fungsi densitas peluang.
16 ......(2.4)
Teorema 4
Jika T variabel random yang menyatakan waktu hidup dimana T ³ 0, dan f(t)
merupakan f.d.p serta S(t) merupakan fungsi survivor, maka :
Bukti :
Dari (2.2) dan (2.3) maka
1
0
Teorema 5
Jika T variabel random yang menyatakan waktu hidup dimana T ≥ 0 dan S(t)
merupakan fungsi survivor dan h(r) menyatakan fungsi hazard maka
Bukti.
Berdasarkan teorema 4 diketahui bahwa
dan persamaan (2.4) adalah
Dengann menggunakan salah satu sifat S(t) bahwa S(0) = 1, maka
17 ln
ln
ln
0
ln
exp
Sehingga
Akibat Teorema 5
Berdasarkan teorema 4 dan teorema 5, f(t) dapat dinyatakan dalam h(t)
. exp
sebagai
Bukti:
.
maka
sehingga terbukti bahwa
. exp
Dari teorema 4 dan teorema 5 serta akibat dari teorema 5 di atas, dapat dilihat
bahwa ketiga fungsi pada
distribusi waktu hidup yaitu f(t), S(t), dan h(t) saling
berhubungan satu dengan yang lainnya.
Dalam uji sampel lengkap, eksperimen akan dihentikan jika semua komponen
yang diuji telah mati atau gagal. Cara seperti ini mempunyai keuntungan yaitu dapat
dihasilkan observasi terurut dari semua komponen yang diuji.
(Lawless, 1982: 231)
Definisi 18
F.k.p untuk waktu kegagalan T berdistribusi Weibull dengan parameter q
dinyatakan sebagai :
| ;
,
0,
0,
0
18 (Sinha, 1979: 136)
Penerapan distribusi Weibull pada analisis uji hidup antara lain dilakukan oleh
Kao (1959) dengan menerapkan distribusi Weibull dalam uji hidup tabung elektron,
kemudian Leiblain dan Zeln (1956) melakukan penelitian penerapan distribusi ini dalam
bidang
rekayasa
(Zanzawi,
1996:7).
Selanjutnya
banyak
peneliti
yang
mengembangkannya antara lain Thomas dan Wilson (1972),(Lawless, 1982:145),
Pandey dan Malik (1989).
Menurut William W. Hines dan Douglas C. Montgomery (1990: 268), sebuah
metode yang paling baik untuk memperoleh sebuah estimator yang tunggal adalah
metode maksimum likelihood. Karena secara konsep prosedur metode maksimum
likelihood sangat sederhana dan metode ini lebih umum
digunakan untuk mengestimasi parameter-parameter distribusi waktu hidup.
Definisi 19
Misalkan x variabel random dengan p.d.f f(x;q), dimana parameter q tidak diketahui.
Misalkan X1, X2, …, Xn menjadi nilai yang diobservasi di dalam suatu sampel random
yang besarnya n. Maka fungsi likelihood sampel tersebut adalah :
L( ) = f(x1; ). f(x2; ). …. f(xn; )
(Hines, 1990: 268)
ˆ merupakan nilai maksimum likelihood estimator atau dengan kata lain maksimum
likelihood adalah nilai
yang memaksimumkan fungsi likelihood. Fungsi likelihood
lebih cocok apabila dikerjakan dengan menggunakan natural logaritma dan dinotasikan
dengan ln L( ).
19 2.2 Java dengan builder NetBeans dan database MySQL.
Java adalah sebuah bahasa pemrograman dengan basik Object Oriented
Programing (OOP) yang sangat efisien dan mempunyai sifat “global”. Hal ini
dikarenakan aplikasi desktop ataupun aplikasi web dapat berjalan sepenuhnya di semua
“Operating System” yang sudah terinstal Java Enviroment. Penulis menggunakan
dukungan bahasa Java dan NetBeans ini seutuhnya legal dan tidak memerlukan ijin
apapun juga. Karena Java dan Netbeans ini bersifat “freeware”. Ini juga menjadi salah
satu alasan kenapa penulis memilih menggunakan bahasa pemrograman Java.
Dalam distribusinya Java dibagi kebanyak jenis dan bagian. Tiga kelompok
besar Java adalah :
•
Java Standart Edition yang di gunakan untuk mendukung aplikasi dengan basic
Java di PC
•
Java Enterprise Edition yang lebih fokus pada aplikasi – aplikasi yang digunakan
server besar
•
Java Micro Edition yang fokusnya kedalam pembuatan program program
berukuran micro yang biasa di gunakan di ponsel – ponsel.
Program Java bisa langsung diunduh secara gratis di http://java.sun.com. Di situ
bisa didapatkan versi dari java yang terbaru. Penulis menggunakan Java Development
Kit versi 6 update ke 21. Lalu di dukung dengan NetBeans versi 6.9.1.
NetBeans adalah sebuah developer kit untuk membuat program berbasi Java.
NetBeans mempunyai tampilan yang cukup rumit untuk sebuah developer kit. Tapi
20 tentunya hal tersebut tidak akan dirasakan lagi apabila pengguna mulai tebiasa dengan
tampilan tersebut.
Penulis akan memulai pembuatan program simulasi dimulai dari user
interfacenya. Setelah user interfacenya tersusun makan penulis akan mulai memasukan
kode-kode dan event-event yang dibutuhkan. Tahap pengembangan aplikasi yang
demikian dinamakan “Bottom Up”.
Berikut adalah tampilan dari NetBeans 6.9.1 padasaat penulisan source code
Java.
Gambar (2.1)
21 Berikut adalah tampilan NetBeans saat pembuatan User Interface.
Gambar (2.2)
Dikedua gambar di atas dapat kita lihat tab project yang berisikan data dan kumpulan
file dari project yang sedang dikerjakan. Di bawahnya terdapat navigator dan inspector
untuk memudahkan kita melihat smua element element yang ada saat membuka suatu
form atau class java. Pada saat penulisan source code, tampilan NetBeans cukup
sederhana, di bagian kanan hanya terdiri dari tempat penulisan source code dan dibawah
nya terdapat kolom output yang memberikan kita laporan setiap kali kita men-debug
program yang sedang dibuat. Pada saat pembuatan User Interface, kolom output tetap
ada, tetapi di atasnya terdapat tempat design User Interface, Palette control dan
Properties. Pada tempat mendisign kita bisa mengatur posisi dan letak tombol sesuai
dengan yang kita inginkan. Sedangkan semua tampilan grafis yang kita butuhkan seperti
22 tombol, text box, panel scroll dan lain – lainnya dapat kita dapatkan dari colom Palette.
Di situ terdapat banyak sekali jenis yang tentunya tidak perlu dibahas penulis disini.
Pada properties, kita bisa mengatur semua tentang object grafis yang kita masukan, dari
nama akses, ukuran, jenis huruf, tampilan, dan sebagainya. Di propeties, kita juga bisa
melihat binding dari object tersebut, event yang ada padaobject tersebut, ataupun bentuk
dari code yang digunakan.
MySQL
adalah
sistem
penyimpanan
database
yang
pengoperasiannya
menggunakan perintah SQL. MySQL adalah database dasar yang menggunakan bahasa
Java dalam pembuatannya. Untuk mengakses database bisa menggunakan banyak
program tambahan yang mendukung untuk mempermudah pengoperasian dan akses
database tanpa perlu melalui perintah di “command promt”. Untuk penulisan skripsi ini,
penulis menggunakan program tambahan phpMyAdmin. Sehingga database MySQL
dioperasikan dan dapat diatur dengan mudah melalui tampilan web yang cukup
sederhana.
23 Berikut adalah contoh tampilan dari phpMyAdmin.
Gambar (2.3)
Dari gambar di atas dapat kita lihat, tampilan dari phpMyAdmin cukup sederhana.
Tombol kecil yang ada di sisi kiri urut dari kiri ke kanan adalah :
•
Home untuk kembali ke halaman muka.
•
Log Out untuk keluar dari phpMyAdmin
•
SQL query window untuk membuka jendela query SQL
•
phpMyAdmin documentation untuk membuka dokumentasi – dokumentasi yang
ada tentang phpMyAdmin
•
SQL documentation untuk membuka dokumentasi tentang database SQL
Di sisi kiri terdapat tab untuk memilih database yang ada. Disusul di sisi bawahnya
terdapat keterangan database yang sedang dibuka dan isi dari tabel yang ada. Di sebelah
kanannya terdapat keterangan posisi window saat ini. Gambar di atas menyatakan posisi
24 pada saat membuka tabel weibull. Di bawahnya terdapat banyak tab, dari kiri ke kanan
adalah :
•
Browse untuk membuka dan membaca isi dari tabel yang dipilih
•
Structure untuk melihat struktur dari tabel yang dipilih
•
SQL untuk membuka window tempat mengimput query – query SQL
•
Search untuk masuk ke mode pencarian
•
Insert untuk membuka halaman input data
•
Export untuk mengekspor data
•
Import untuk mengimpor data database atau file lain
•
Operation untuk membuka halaman pengaturan bagaimana cara kerja sebuah
tabel tersebut
•
Empty untuk mengosongkan tabel yang dipilih
•
Drop untuk menghapus tabel yang dipilih
Walaupun memiliki tampilan yang cukup sederhana tetapi bisa dikatakan bahwa
MySQL dengan phpMyAdmin memiliki kemampuan yang cukup rumit untuk
menangani server server besar. Dan satu yang tidak boleh kita lupakan bahwa MySQL
dan phpMyAdmin adalah jenis program berdistribusi freeware, sama seperti Java dan
NetBeans,
sehingga
menggunakannya.
tidak
membutuhkan
lisensi
ataupun
ijin
khusus
untuk