BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Sistem dinamik

BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Sistem dinamik muncul sebagai suatu model matematika yang
menggambarkan perubahan suatu keadaan yang bergantung terhadap waktu.
Contoh sistem dinamik adalah model matematika yang menggambarkan
pergerakan (perubahan posisi) suatu massa pada sistem pegas-massa yang
dinyatakan dalam bentuk
𝑓 = 𝐴𝑥 + 𝐾𝑥
dengan 𝐴 dan 𝐾 adalah matriks bujur sangkar berukuran 2x2 yang elemenelemennya ditentukan oleh posisi benda dari keadaan setimbang, serta model yang
menggambarkan banyaknya predator dan prey pada sistem predator-prey yang
dinyatakan dalam bentuk
𝑥 = 𝐴 − 𝐵𝑦 𝑥
𝑦 = 𝐶𝑥 − 𝐷 𝑦
dengan 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 > 0 ∈ ℝ (Hirsch, 1974 : 248).
Pada sistem sederhana seperti pegas massa, dapat diketahui bahwa posisi
massa pada waktu yang akan datang berada pada keadaan setimbang. Sistem
seperti ini kemudian disebut sebagai sistem yang stabil. Suatu sistem dikatakan
stabil jika pada waktu-waktu berikutnya keadaan sistem akan kembali pada
keadaan setimbang. Namun pada sistem yang lebih rumit (misal pada sistem
1
2
predator-prey), kestabilan sistem tidak dapat dilihat secara langsung. Oleh karena
itulah model matematika dalam bentuk sistem dinamik memegang peranan
penting.
Diberikan suatu sistem dinamik
𝑥 = 𝑓 𝑥, 𝜇
dengan
𝜇 ∈ ℝ𝑛 .
(1.1)
Posisi setimbang dapat diperoleh ketika sistem (1.1) tidak
mengalami perubahan. Posisi setimbang ini kemudian disebut sebagai titik
kesetimbangan (titik ekuilibrium). Kestabilan Sistem (1.1) dapat ditentukan
dengan menggunakan matriks Jacobian. Matriks Jacobian pada prinsipnya adalah
matriks yang entri-entrinya adalah hasil turunan parsial pertama atas fungsi 𝑓
terhadap variabel 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , … , 𝑥𝑛 yang dieksekusi pada titik ekuilibriumnya.
Sebuah teorema didalam Kuznetsov (1998) menyebutkan bahwa jika
semua nilai eigen dari matriks Jacobian mempunyai bagian real negatif maka
sistem dikatakan stabil pada titik ekuilibrium yang terkait dengan matriks
Jacobiannya. Jika ada nilai eigen yang mempunyai bagian real positif
maka
sistem dikatakan tidak stabil pada titik ekuilibrium yang terkait pada matriks
Jacobiannya. Teorema tersebut tentu saja memunculkan pertanyaan “Apakah yang
akan terjadi jika nilai eigen nol pada bagian realnya?” Apakah sistem tetap stabil
atau berubah menjadi tidak stabil?
Sebuah definisi pada Wiggins (1996) menyatakan bahwa titik ekuilibrium
pada Sistem (1.1) dikatakan mengalami bifurkasi apabila keadaan saat 𝜇
mendekati nol dan 𝑥 mendekati nol tidak sama dengan keadaan pada persekitaran
pada 𝑥 = 0 di 𝜇 = 0.
3
Keadaan pada saat 𝑥 = 0 di 𝜇 = 0 merupakan kondisi nilai eigen nol pada
matriks Jacobiannya yang rentan terhadap gangguan pada sistem, sehingga Sistem
(1.1) mengalami bifurkasi pada saat 𝑥 = 0 di 𝜇 = 0. Sedikit saja sistem
terganggu, maka nilai eigen dapat berpindah ke daerah positif yang artinya titik
ekuilibriumnya tidak stabil, atau nilai eigen dapat berpindah ke daerah negatif
yang artinya titik ekuilibriumnya akan stabil.
Ada beberapa jenis bifurkasi, diantaranya adalah bifurkasi pitchfork,
bifurkasi transkitikal, dan bifurkasi saddle-node. Bifurkasi pitchfork ditandai
dengan bertambahnya dua titik ekuilibrium ketika nilai parameter berubah dan
keadaan titik ekuilibriumnya mengalami perubahan kestabilan. Bifurkasi
transkitikal ditandai dengan berkurangnya titik ekuilibrium ketika nilai parameter
berubah dan keadaan titik ekuilibriumnya mengalami perubahan kestabilan .
Bifurkasi saddle-node ditandai dengan bertambahnya dua titik ekuilibrium ketika
ada gangguan dan keadaan titik ekuilibriumnya tidak mengalami perubahan
kestabilan. Bifurkasi saddle-node dapat diaplikasikan dalam sistem lainnya seperti
pada Hysteresis dan pada Catastrophe theory serta pertambahan titik ekuilibrium
tanpa mengubah sifat kestabilan sistem tersebut hingga menarik untuk dipelajari
lebih lanjut.
4
B. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah yang telah diuraikan diatas, maka
diperoleh rumusan masalah yaitu :
1.
Kapankah perubahan parameter mempengaruhi keadaan sistem dinamik
yang menyebabkan bifurkasi saddle-node?
2.
Apakah pengaruh perubahan parameter terhadap keadaan sistem dinamik
yang menyebabkan bifurkasi saddle-node?
3.
Bagaimana bentuk sistem yang mengalami bifurkasi saddle-node?
C. Tujuan Penulisan
Tujuan penulisan ini adalah untuk mengetahui saat kapankah perubahan
parameter mempengaruhi keadaan sistem dinamik yang menyebabkan bifurkasi
saddle-node, mengetahui apakah pengaruh perubahan parameter terhadap
keadaan sistem dinamik yang menyebabkan bifurkasi saddle-node, serta
mengetahui bagaimana bentuk sistem yang mengalami bifurkasi saddle-node.
D. Manfaat Penulisan
Manfaat penulisan tugas akhir dibawah ini diantaranya adalah mampu memahami
perluasan persamaan diferensial serta menambah dan memperkaya pengetahuan
tentang persamaan diferensial.