Sesi 6.indd

KTSP
&
K-13
FIsika
GETARAN HARMONIS
Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.
1.
Memahami konsep getaran harmonis sederhana pada bandul dan pegas beserta
besaran-besarannya.
2.
Memahami persamaan-persamaan pada getaran harmonis sederhana beserta konsep
energinya.
A.
GETARAN HARMONIS SEDERHANA
Getaran harmonis sederhana (GHS) merupakan gerakan bolak-balik melalui titik
kesetimbangan dengan amplitudo (simpangan maksimum) dan frekuensi yang tetap.
Getaran harmonis sederhana bersifat periodik. Artinya, setiap gerakan yang terjadi akan
berulang secara teratur dalam selang waktu yang sama. Contoh kasus getaran harmonis
sederhana adalah gerak pada bandul sederhana dan pegas. Syarat-syarat suatu benda
dikatakan melakukan getaran harmonis sederhana adalah sebagai berikut.
1.
Gerakannya bolak-balik
2.
Berlangsung secara periodik
3.
Adanya titik kesetimbangan
4.
Gaya atau percepatan yang bekerja pada benda sebanding dengan besar posisi/
simpangan benda
5.
Arah gaya atau percepatan yang bekerja pada benda selalu menuju titik kesetimbangan
1
K
e
l
a
s
XI
B.
PERIODE DAN FREKUENSI
Periode (T) merupakan waktu yang dibutuhkan untuk melakukan satu kali getaran,
sedangkan frekuensi (f ) merupakan banyaknya getaran yang dilakukan oleh benda per
detik. Secara matematis, periode dan frekuensi dirumuskan sebagai berikut.
t
n
n
f =
t
T=
f=
1
T
Keterangan:
T = periode getaran (s);
f = frekuensi getaran (Hz);
n = banyaknya getaran; dan
t = lamanya bergetar (s).
Contoh Soal 1
Sebuah benda bergetar sebanyak 20 kali selama 4 sekon. Tentukanlah periode dan
frekuensi getaran tersebut.
Pembahasan:
Diketahui:
n = 20
t=4s
Ditanya: T =…?
f = …?
Dijawab:
Periode dan frekuensi getaran dapat ditentukan dengan rumus berikut.
T=
t
4 1
=
= = 0,2 s
n 20 5
f=
n 20
=
= 5 Hz
t
4
Jadi, periode dan frekuensi getaran tersebut berturut-turut 0,2 s dan 5 Hz.
2
C.
SISTEM BANDUL SEDERHANA
Sebuah bandul sederhana terdiri atas sebuah beban bermassa m yang digantung di ujung
tali ringan (massanya diabaikan) dengan panjang L. Jika beban ditarik ke satu sisi dan
dilepaskan, maka beban akan berayun melalui titik kesetimbangan menuju sisi yang lain.
Perhatikan gambar berikut.
θ
L
mg cosθ
mg sinθ
mg
Ketika beban berayun, akan selalu ada gaya yang arahnya menuju titik kesetimbangan.
Gaya inilah yang dinamakan dengan gaya pemulih F. Secara matematis, gaya pemulih
pada bandul dapat dituliskan sebagai berikut.
F = –mg sin θ, dengan sin θ =
y
L
y
F = −mg  
L
Keterangan:
F = gaya pemulih (N);
m = massa beban (kg);
g = percepatan gravitasi (m/s2);
y = simpangan tali (m); dan
L = panjang tali (m).
Pada hakikatnya, getaran harmonis sederhana merupakan proyeksi dari gerak melingkar
beraturan (GMB) pada salah satu sumbu utamanya. Oleh karena itu, periode (T) dan
frekuensi (f ) dapat dihitung dengan menyamakan gaya pemulih dengan gaya sentripetal
pada GMB.
FPemulih = Fsentripetal
y
−mg   = −mω2 y
L
2
y
−mg   = −m ( 2πf ) y
L
y
g   = 4 π2 f 2 y
L
3
FPemulih = Fsentripetal
y
−mg   = −mω2 y
L
2
y
−mg   = −m ( 2πf ) y
L
 
y
g   = 4 π2 f 2 y
L
f=
1 g
2π L
Keterangan:
f = frekuensi (Hz);
g = percepatan gravitasi (m/s2); dan
L = panjang tali (m).
Oleh karena frekuensi merupakan kebalikan dari periode, maka diperoleh:
T = 2π
L
g
Dari persamaan di atas, dapat diketahui bahwa periode dan frekuensi bandul tidak
bergantung pada massa dan simpangan bandul, tetapi hanya bergantung pada panjang
tali dan percepatan gravitasi setempat.
D.
SISTEM PEGAS
Pegas merupakan salah satu bahan elastis yang memiliki nilai tetapan gaya (k). Jika beban
pada pegas ditarik, maka beban akan bergerak naik-turun melalui titik kesetimbangan.
4
Besar gaya pemulih pada pegas sebanding dengan jarak benda ke titik setimbang,
sehingga persamaan gaya pemulih dirumuskan sebagai berikut.
F = –kx
Sama seperti halnya bandul, periode (T) dan frekuensi (f ) pada pegas dapat dihitung
dengan menyamakan gaya pemulih dengan gaya sentripetal pada GMB.
FPemulih = Fsentripetal
−k . x = −m.ω2 x
−k = −m. ( 2πf )
2
1 k
2π m
f=
Keterangan:
f = frekuensi (Hz);
k = tetapan gaya pegas (N/m); dan
m = massa beban (kg).
Oleh karena frekuensi merupakan kebalikan dari periode, maka diperoleh:
T = 2π
m
k
Contoh Soal 2
Sebuah balok bermassa 0,25 kg digantung pada sebuah pegas dengan nilai tetapan 250
N/m. Tentukan frekuensi getaran pada sistem pegas tersebut.
Pembahasan:
Diketahui:
m = 0,25 kg
k = 250 N/m
Ditanya: f =…?
Dijawab:
Frekuensi pada pegas dapat ditentukan dengan persamaan berikut.
5
1 k
1 250
=
2π m 2π 0,25
1
=
1.000
2π
1
=
.31, 6
2π
= 5, 03 Hz
f=
Jadi, frekuensi getaran pada sistem pegas tersebut adalah 5,03 Hz.
Contoh Soal 3
Perhatikan gambar berikut.
(A)
B)
Jika kelima pegas tersebut adalah identik (dengan ketetapan pegas k), maka tentukanlah
rasio periode antara susunan gambar A dan B.
Pembahasan:
Diketahui:
Massa benda = M
Ketetapan pegas = k
Ditanya: TA : TB = …?
Dijawab:
Mula-mula, tentukan ketetapan pegas total pada rangkaian A dan B.
Pada gambar A, pegas disusun secara seri sehingga besar ketetapan pegas totalnya adalah
sebagai berikut.
6
1
1 1
= +
k A k1 k2
1 1 1
= +
kA k k
kA =
k
2
Pada gambar B, pegas disusun secara seri dan paralel sehingga besar ketetapan pegas
totalnya adalah sebagai berikut.
Paralel:
kB1 = k1 + k2 = k + k = 2k
Seri:
1
1
1
=
+
kB2 kB1 k3
1
1 1
=
+
kB2 2k k
kB2 =
2k
3
Dengan demikian, diperoleh:
TA
=
TB
2p
M
kA
k
= B2 =
kA
M
2p
kB 2
2k
3 = 4= 2
k
3
3
2
Jadi, rasio periode antara susunan gambar A dan B adalah 2 :
E.
PERSAMAAN GETARAN HARMONIS
a.
Persamaan Simpangan
3.
Simpangan getaran harmonik sederhana dapat dianggap sebagai proyeksi partikel
yang bergerak melingkar beraturan pada diameter lingkaran. Secara umum, persamaan
simpangan gerak harmonis sederhana untuk benda yang menempuh sudut θ dengan
sudut fase awalnya θ0 rad adalah sebagai berikut.
7
y = A sin (θ + θ0)
Jika sudut fase awal θ0 = 0, maka:
y = A sin (ωt)
Oleh karena ω =
2π
= 2π f , maka:
T
y = A sin ( 2π ft )
 2π 
y = A sin 
t
 T 
Keterangan:
y = simpangan getaran (m);
ω = kecepatan sudut (rad/s);
T = periode (s);
f = frekuensi (Hz);
A = amplitudo = simpangan maksimum (m);
t = waktu tempuh (s); dan
θ0 = sudut fase awal.
Contoh Soal 4
Sebuah benda melakukan gerak harmonis dengan amplitudo A dan periode T. Jika benda
1
telah bergerak selama T, maka simpangan benda tersebut adalah ....
8
Pembahasan:
Diketahui:
1
t= T
8
Ditanya: y =…?
Dijawab:
Simpangan benda dapat ditentukan dengan rumus berikut.
 2π 
y = A sin 
t
 T 
1 

T

8
= A sin  2π .

T 




o
= A sin45
1
=
2A
2
8
 2π 
y = A sin 
t
 T 
1 

T

8
= A sin  2π .

T 




o
= A sin45
=
1
2A
2
Jadi, simpangan benda tersebut adalah
b.
1
2 A.
2
Persamaan Kecepatan
Kecepatan benda yang bergerak harmonik sederhana dapat diperoleh dari turunan
pertama persamaan simpangan. Perhatikan penjabaran berikut.
v=
dy d ( A sin ωt )
=
= Aω cos ωt
dt
dt
atau v = ω A2 − y 2 =
k 2
(A − y2 )
m
Adapun untuk kecepatan maksimumnya:
v m = Aω
Keterangan:
y = simpangan (m);
ω = kecepatan sudut (rad/s);
v = kecepatan getaran (m/s);
f = frekuensi (Hz);
A = Amplitudo = simpangan maksimum (m);
t = waktu tempuh (s);
k = ketetapan pegas (N/m); dan
m = massa beban (kg).
Contoh Soal 5
Sebuah benda bergetar harmonis dengan amplitudo A. Tentukanlah simpangan benda
saat kecepatannya sama dengan setengah kecepatan maksimumnya.
9
Pembahasan:
Diketahui:
Amplitudo = A
1
v = vm
2
Ditanya: y = …?
Dijawab:
Saat kecepatannya sama dengan setengah kecepatan maksimumnya, maka:
v = Aω cos ωt
1
v m = Aω cos ωt
2
1
Aω = Aω cos ωt
2
1
cos ωt =
2
1
ωt = arc.cos
2
o
= 60
Masukkan nilai ωt ke persamaan umum simpangan getaran, sehingga diperoleh:
y = A .sin (ωt )
= A.sin60o
1
=
3A
2
Jadi, simpangan benda saat kecepatan benda setengah kecepatan maksimum adalah
1
3 A.
2
c.
Persamaan Percepatan
Percepatan benda yang bergerak harmonis sederhana dapat diperoleh dari turunan
pertama persamaan kecepatan atau turunan kedua persamaan simpangan. Perhatikan
penjabaran berikut.
a=
dv d 2 y d 2 ( Asinωt )
= 2 =
= − Aω 2 sinωt
2
dt dt
dt
Oleh karena nilai maksimum dari simpangan adalah sama dengan amplitudonya (y = A),
10
maka percepatan maksimumnya adalah sebagai berikut.
am = − Aω 2
Keterangan:
y = simpangan (m);
ω = kecepatan sudut (rad/s);
v = kecepatan getaran (m/s);
f = frekuensi (Hz);
A = amplitudo = simpangan maksimum (m);
t = waktu tempuh (s)
a = percepatan getaran (m/s²)
d.
Persamaan Energi Getaran Harmonis Sederhana
1.
Energi Kinetik
Energi kinetik adalah energi yang dimiliki benda yang bergerak harmonis sederhana
karena kecepatannya. Secara matematis, energi kinetik dirumuskan sebagai berikut.
1
EK = m. v 2
2
1
2
= m ( Aω cos ωt )
2
1
= kA2 cos2ωt
2
2.
Energi Potensial
Energi potensial adalah energi yang dimiliki benda yang bergerak harmonis
sederhana karena simpangannya. Secara matematis, energi potensial dirumuskan
sebagai berikut.
1
EP = k y 2
2
1
2
= k ( Asin ωt )
2
1
= kA2 sin2ωt
2
11
3.
Energi Mekanik
Energi mekanik adalah jumlah energi kinetik dan energi potensial. Energi mekanik
suatu benda yang bergerak harmonik sederhana tidak bergantung waktu dan
tempat, karena nilainya selalu tetap (berdasarkan hukum kekekalan energi). Secara
matematis, energi mekanik dirumuskan sebagai berikut.
E M = Ek + E P
1
= kA2 cos2ωt + sin2ωt
2
1
= kA2
2
Keterangan:
k = ketetapan pegas (N/m);
ω = kecepatan sudut (rad/s);
EM = energi mekanik (J);
EK = energi kinetik (J);
EP = energi potensial (J);
A = Amplitudo = simpangan maksimum (m); dan
t = waktu tempuh (s).
Contoh Soal 6
Sebuah benda bermassa 0,4 kg bergerak harmonis dengan amplitudo 6 cm dan frekuensi
50 Hz. Besarnya energi mekanik saat simpangannya 2 cm adalah .... (anggap π2 = 10)
Pembahasan:
Diketahui:
m = 0,4 kg
A = 6 cm = 6 × 10–2 m
f = 50 Hz
y = 2 cm
π2 = 10
Ditanya: EM = …?
Dijawab:
Energi mekanik benda yang bergerak harmonis dapat ditentukan sebagai berikut.
12
1
E M = kA2
2
1
= .mω 2 A2
2
1
= . m.4π 2 f 2 A2
2
1
= .0, 4.4.(10)(50)2 (6 × 10 −2 )2
2
= 72 J
Jadi, besarnya energi mekanik saat simpangannya 2 cm adalah 72 Joule.
Contoh Soal 7
Sebuah benda melakukan getaran harmonis sederhana. Pada saat nilai energi kinetiknya
sama dengan nilai energi potensialnya, maka besarnya simpangan benda saat itu adalah
....
Pembahasan:
Diketahui:
EK = EP
Ditanya: y = ... ?
Dijawab:
Berdasarkan rumus energi mekanik, diperoleh:
E M = EK + E P
E M = 2E P
1 2
1
kA = 2. k . y 2
2
2
1
y 2 = A2
2
A
y=–
2
Jadi, besarnya simpangan benda saat itu adalah y = –
1
A 2.
2
Contoh Soal 8
Benda bermassa 10 gram digetarkan menurut persamaan simpangan y = 5 sin(100t)
dengan y dalam cm dan t dalam sekon. Energi total benda tersebut adalah ....
13
Pembahasan:
Diketahui:
m = 10 g = 10–2 kg
y = 5 sin(100t) → A = 5 cm = 5 × 10–2 m
ω = 100
Ditanya: EM = …?
Dijawab:
Berdasarkan rumus energi mekanik, diperoleh:
1
E M = kA2
2
1
= . m.ω 2 A2
2
2
−2
1
2
= × 10 × (100 ) ( 5 × 10 −2 )
2
= 0,125 J
Jadi,energi total benda tersebut adalah 0,125 J.
4.
Hubungan Energi Kinetik dengan Simpangan dan Kecepatan
Hubungan energi kinetik dengan simpangan dan kecepatan dapat ditentukan
dengan rumus berikut ini.
1
EK = k ( A2 − y 2 )
2
Ek
= tan2θ
EP
v = Aω
y=A
Keterangan:
EK = energi kinetik (J);
EP = energi potensial (J);
EM = energi mekanik (J);
ω = kecepatan sudut (rad/s;
EK
EM
EP
EM
14
Contoh Soal 9
Benda bermassa 3 kg digantung pada seutas tali yang panjangnya 2 meter. Benda bergetar
selaras dengan amplitudo 50 cm dan frekuensi 20 Hz. Pada saat simpangan bandul
amplitudonya, berapakah perbandingan energi kinetik dan energi potensialnya?
Pembahasan:
Diketahui:
m = 3 kg
L = 2 meter
A = 50 cm = 0,5 m
f = 20 Hz
y=
4
A
5
Ditanya:
Ek
= …?
EP
Dijawab:
Mula-mula, tentukan sudut fasenya.
y = Asinθ
4
A = Asinθ
5
4
sinθ =
5
θ = arc sin
4
5
= 53o
Selanjutnya, gunakan cara SUPER untuk menentukan perbandingannya.
Super "Solusi Quipper"
2
Ek
 4  16
= tan2θ = tan2 53o =   =
EP
9
3
Jadi, perbandingan energi kinetik dan energi potensialnya adalah 16 : 9.
15
4
5