Tentukan nilai dari variabel acak yang

SUKU BANYAK
Bentuk umum dari pembagian suku banyak dinyatakan :
Misalkan suku banyak f (x ) dibagi dengan P ( x ) memberikan hasil bagi H ( x )
dan sisa S ( x ). Persamaan umum yang menyatakan hubungan antara f ( x )
dengan P (x ),
H ( x ) dan S (x ) dituliskan :
f ( x ) = P ( x ) . H ( x ) + S (x )
Dengan :
f ( x ) merupakan suku banyak yang dibagimisalnya diketahui berderajat n
P ( x ) merupakan pembagi, misalnya berderajad m ( m  n )
H ( x ) merupakan hasil bagi, berderajat n – m atau derajat suku banyak yang
dibagi
dikurangi dengan derajat pembagi
S ( x ) merupakan sisa, berderajat maksimum m – 1 atau berderajat maksimum
sama dengan derajat pembagi dikurangi satu
Pembagi dengan ( x – k )
Jika pembagi P ( x ) = ( x – k ), maka persamaan pembagian dapat dituliskan
sebagai berikut:
f (x)=(x–k).H(x)+S
, yang berlaku untuk tiap x bilangan real. Oleh karena pembagi P ( x ) = ( x – k )
berderajad satu, maka sisa S maksimum berderajad nol, yaitu suatu konstanta
yang tidak memuat x. Sisa S dapat ditentukan dengan menggunakan teorema
berikut ini.
A. Teorema Sisa
1) F(x) = (x – b)· H(x) + S, maka S = F(b)
2) F(x) = (ax – b)· H(x) + S, maka S =F( b )
a
3) F(x) : [(x – a)(x – b)], maka S(x) =
f (a )  f (b)
af (b)  bf (a )
x
.
a b
a b
Dengan H(x): Hasil pembagian dan S: sisa pembagian
B. Teorema Faktor
(x – b) adalah faktor dari f(x) bila S = f(b) = 0
C. Akar Rasional Persamaan Suku Banyak
Bentuk umum : axn + bxn –1 + cxn –2 + … + d = 0. Akar–akarnya adalah x1, x2, …,
xn.
1) x1 + x2 + …+ xn =  b
a
2) x1 · x2 · …· xn = da (bila berderajat genap)
3) x1 · x2 · …· xn =  da (bila berderajat ganjil)
4) x1 · x2 + x1 · x3 + x2 · x3 + … = c
a
Contoh Soal
1. Sisa pada pembagian suku banyak f( x ) = 3x4 – 2x3 + x – 7 dibagi dengan x – 2
adalah ....
Jawab :
Suku banyak f ( x ) = 3 x4 – 2 x3 + x – 7 dibagi x – 2 , sisanya S = f ( 2 ).
Metode substitusi
f ( 2 ) = 3 ( 2 )4 – 2 ( 2 )3 + 2 – 7
 f ( 2 ) = 48 – 16 + 2 – 7 = 27
Jadi sisa pembagiannya adalah S = f (2) = 27
2. Hasil bagi dan sisa pembagian 3x3 + 5x2 -11x +8 dengan 3x – 1 adalah ....
Jawab :
Dapat diselesaikan dengan 2 metode :
1. Metode substitusi
1
1
1
1
) = 3( )3 + 5( )2 -11( ) +8
3
3
3
3
f(
f(
1
1
1
1
) = 3.
+ 5. - 11. + 8
3
27
9
3
f(
1
) =5
3
1
Jadi sisa pembagiannya S = f ( ) = 5
3
2. Metode bagan / skema
1
3
3
5
1
3
6
-11
2
-9
Dengan f (x) = (x = (x -
8
-3
1
5 = f( )
3
1
).(3x2 + 6x -9) + 5
3
1
).3(x2 + 2x -3) + 5
3
= (3x – 1). (x2 + 2x -3) + 5
Atau dari bagan diatas diperoleh koefisien-koefisien dari H(x), sehingga
3x 3  6 x 2  9
H(x)=
= x3 + 2x2 -3.
3
Jadi, hasil baginya (x3 + 2x2 -3) dan sisa 5
3. Jika f(x) = x 3 + ax 2 - 11x + 30 mempunyai faktor (x + 3), maka nilai a = ....
Jawab :
f(x) = x 3 + ax 2 - 11x + 30 mempunyai
faktor (x + 3), syaratnya f(-3) = 0
f(-3) = (-3) 3 + a(-3) 2 - 11(-3) + 30
0 = -27 + 9a + 33 + 30
-36 = 9a
a = -4
Jadi f(x) = x 3 + ax 2 - 11x + 30 mempunyai
faktor (x + 3) untuk nilai a = -4
4. Akar – akar dari persamaan sukubanyak f(x) = x 3 - 6x 2 + 9x – 2 = 0 adalah ....
Jawab :
Dengan mencoba –coba bilangan faktor 2 kita temukan sisa pembagian 0
untuk x = 2
f(2) = (2) 3 - 6(2) 2 + 9(2) – 2 = 0 atau
2
1
-6 9 -2
2 -8 2
1 -4 1 0
Sehingga dapat dituliskan menjadi
f(x) = x 3 - 6x 2 + 9x – 2 = 0 = ( x – 2 )( x 2 - 4x + 1 ) = 0
Akar – akar irasionalnya ditentukan dari persamaan kuadrat x 2 - 4x + 1 = 0
Denganmenggunakan rumus kuadrat diperoleh x = 2 -
3 atau x = 2 +
3
Jadi, persamaan sukubanyak f(x) = x 3 - 6x 2 + 9x – 2 = 0 mempunyai akar
rasional 2 dan akar – akar irasional 2 -
3 atau 2 + 3 , ditulis himpunan
penyelesaiannya
HP = { 2, 2 -
3 , 2 + 3 }.
LATIHAN SOAL
SOAL PILIHAN GANDA
1. Sisa pembagian suku banyak (x4 – 4x3 + 3x2 – 2x + 1) oleh (x2 – x – 2) adalah
….
a. –6x + 5
b. –6x – 5
c. 6x + 5
d. 6x – 5
e. 6x – 6
2. Salah satu faktor suku banyak P(x) = x3 – 11x2 + 30x – 8 adalah ….
a.
(x + 1)
b. (x – 1)
c. (x – 2)
d. (x – 4)
e. (x – 8)
3. Suku banyak berderajat 3, Jika dibagi (x2 – x – 6) bersisa (5x – 2), Jika dibagi
(x2 – 2x – 3) bersisa (3x + 4). Suku banyak tersebut adalah ….
a. x3 – 2x2 + x + 4
b. x3 – 2x2 – x + 4
c. x3 – 2x2 – x – 4
d. x3 – 2x2 + 4
e. x3 + 2x2 – 4
4. Suku banyak berderajat 3, jika dibagi (x2 + 2x – 3) bersisa (3x – 4), jika di bagi
(x2 – x – 2) bersisa (2x + 3). Suku banyak tersebut adalah….
a. x3 – x2 – 2x – 1
b. x3 + x2 – 2x – 1
c. x3 + x2 + 2x – 1
d. x3 + x2 – 2x – 1
e. x3 + x2 + 2x + 1
5. Diketahui suku banyak f(x) = ax3 + 2x2 + bx + 5, a ≠ 0 dibagi oleh (x + 1) sisanya
4 dan dibagi oleh (2x – 1) sisanya juga 4. Nilai dari a + 2b adalah ….
a. –8
b. –2
c. 2
d. 3
e. 8
6. Diketahui (x – 2) adalah faktor suku banyak f(x) = 2x3 + ax2 + bx – 2. Jika f(x)
dibagi (x + 3), maka sisa pembagiannya adalah – 50. nilai (a + b) = .…
a. 10
b. 4
c. –6
d. –11
e. –13
7. Sisa pembagian suku banyak f(x) oleh (x + 2) adalah 4, jika suku banyak
tersebut dibagi (2x – 1) sisanya 6. Sisa pembagian suku banyak tersebut oleh
2x2 + 3x – 2 adalah ….
A.
4
5
x  5 53
B.
4
5
x  2 52
C. 4x + 12
D. 4x + 4
E. 4x – 4
8. Suku banyak f(x) dibagi (x + 1) sisanya 10 dan jika dibagi (2x – 3) sisanya 5.
Jika suku banyak f(x) dibagi (2x2 – x – 3), sisanya adalah ….
a. –2x + 8
b. –2x + 12
c. –x + 4
d. –5x + 5
e. –5x +15
9. Salah satu akar persamaan suku banyak 𝑥 3 − 7𝑥 − 6 = 0 adalah 3, maka
akar-akar yang lain adalah . . . .
a. 1 dan 2
b. -1 dan 2
c. 1 dan -2
d. -1 dan -2
e. 3 dan -2
10. Nilai a yang memenuhi pernyataan (𝑥 − 2) adalah faktor dari 𝑃(𝑥) = 𝑥 4 +
𝑎𝑥 2 − 𝑎𝑥 + 2 yaitu . . . .
a. -10
b. -9
c. -6
d. 9
e. 10
SOAL ESSAY
1.
Diketahui (x-1) salah satu faktor dari suku banyak f(x) = 3x4 – 5x3 + px2 + 13x
+ 6. Tentukan factor-faktor lain dari suku banyak tersebut.
2.
Diketahui : f(x) = x3 – 4x2 + 5x + a dan
g(x) = x2 + 3x – 2, jika f(x) dan
g(x) dibagi (x+1) bersisa sama. Tentukan nilai a.
3.
Diketahui persamaan 5x4 + kx3 = 2x – 3 mempunyai akar x = 1, tentukan
jumlah ketiga akar yang lain dari persamaan itu.
4.
Tentukan sisa pembagian f(x) = x3 – 1 bila dibagi
(x2 – 5x + 6).
5.
Diketahui suku banyak f(x) dibagi (x2 – x) dan (x2 + x) masing-masing bersisa
(5x + 1) dan (3x + 1). Tentukan sisa pembagiannya jika dibagi (x2 – 1).
IRISAN KERUCUT
A Parabola dan unsur-unsurnya
Parabola adalah tempat kedudukan atau himpunan titik-titik (pada
bidang datar) yang memiliki jarak tetap terhadap suatu titik dan suatu garis
tertentu. Selanjutnya titik itu disebut fokus parabola, sedangkan garis yang
dimaksud adalah garis arah/direktriks. Parabola dapat dilukiskan jika
diketahui garis arah dan titik fokus yang terletak pada suatu garis yang tegak
lurus garis arah.
1. Persamaan Parabola dengan puncak O (0,0)
Jika jarak yang tetap adalah 2p, maka untuk menentukan persamaan
parabola perhatikan sket gambar berikut :
 Persamaan parabola horizontal membuka ke kanan
Panjang FP = Panjang PQ
y
Garis arah
Q
(-p,y)
Dengan rumus jarak dapatlah
ditemukan persamaan sebagai
P(x,y)
O
p
F(p,0)
p
berikut :
x
FP2  PQ2
x  p 2   y  02  x  p 2   y  y 2
x 2  2 px  p 2  y 2  x 2  2 px  p 2
y 2  4 px
Persamaan Parabola yang Puncaknya di (0, 0) dan focus F (p, 0) adalah
y 2  4 px , p = parameter.
Dengan:
Persamaan garis direktriksnya x = - p
Sumbu simetri berimpit dengan sumbu x ( y = 0 )
 Persamaan parabola horizontal membuka ke kiri.
Persamaan Parabola yang Puncaknya di (0, 0) dan focus F (-p, 0)
adalah
y 2  4 px , p = parameter.
Dengan:
Persamaan garis direktriksnya x = p
Sumbu simetri berimpit dengan sumbu x ( y = 0 )
 Persamaan parabola vertical membuka ke atas.
Persamaan Parabola yang Puncaknya di (0, 0) dan focus F (0, p)
adalah
x 2  4 py , p = parameter.
Dengan:
Persamaan garis direktriksnya y = - p
Sumbu simetri berimpit dengan sumbu y ( x = 0 )
 Persamaan parabola vertical membuka ke bawah.
Persamaan Parabola yang Puncaknya di (0, 0) dan focus F (0, - p)
adalah
x 2  4 py
, p = parameter.
Dengan:
Persamaan garis direktriksnya y = p
Sumbu simetri berimpit dengan sumbu y ( x = 0 )
2. Persamaan Parabola dengan Puncak A (a, b)
 Persamaan parabola puncak A (a, b) horizontal membuka ke kanan
y
Garis arah
Q
(a-p, y)
P(x,y)
Sb. simetri
A
(a,b)
p
F(a+p, 0)
p
x
Persamaan Parabola dengan puncak di titik A(a, b) sumbu simetri sejajar
dengan sumbu x dengan focus F(a+p, b)
 y  b 2  4 p( x  a)
dengan:
, p = parameter
Sumbu simetri y = b sejajar sumbu x
Persamaan garis direktriks x = a – p
 Persamaan parabola puncak A (a, b) horizontal membuka ke kiri
Persamaan parabola yang puncaknya di (a, b) dengan focus F (a-p, b)
adalah
 y  b2  4 p( x  a)
dengan :
, p = parameter
Persamaan sumbu simetri y = b sejajar sumbu x
Persamaan garis direktriks x = a + p.
 Persamaan parabola puncak A (a, b) vertical terbuka ke atas
Persamaan parabola yang puncaknya di (a, b) dengan focus F (a, b+p)
adalah
x  a 2  4 p( y  b) , p = parameter
dengan:
Persamaan sumbu simetri x = a sejajar sumbu y
Persamaan garis direktriks y = b - p.
 Persamaan parabola puncak A (a, b) vertical terbuka ke bawah
Persamaan parabola yang puncaknya di (a, b) dengan focus F (a, b-p)
adalah
x  a 2  4 p( y  b)
dengan :
, p = parameter
Persamaan sumbu simetri x = a sejajar sumbu y
Persamaan garis direktriks y = b + p.
B. Ellips dan unsur-unsurnya
Ellips didefinisikan sebagai himpunan titik-titik pada bidang datar yang
jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu besarnya tetap. Selanjutnya dua
titik itu disebut titik fokus ellips.
Gambar ellips :
Keterangan:
C
L
P(x,y)
Titik O adalah pusat ellips
A, B, C, D puncak ellips.
B
A
F2
R
g
O
F1 (c, 0) dan F2 (-c, 0) focus
F1
ellips.
D
AB = sumbu panjang/mayor
g
CD = sumbu pendek/minor
Persamaan ellips
1. Persamaan ellips dengan pusat di O (0,0) adalah :
x
2
a
2

y
2
b
2
1
a. Titik Fokus F1 (c, 0 ) dan F2( -c, 0 ) dengan c 2  a 2  b 2
b. Titik puncak A(-a, 0); B(a, 0); C(0, b) dan D(0, -b).
c. Sumbu panjang (mayor) = 2a dan sumbu pendek (minor) = 2b.
d. Perbandingan jarak dari titik pada ellips ke titik focus dengan jarak
titik ke garis direktris disebut eksentrisitas (e), e 
c
dengan 0 < e <
a
1.
e. Persamaan garis direktrik ellips adalah x  
a2
c
f. Ruas garis yang melalui focus tegak lurus sumbu mayor sepanjang
ellips disebut Latus Rectum (LR). LR 
2b 2
a
2. Persamaan
ellips
dengan
pusat
di
titik
P(x1,
y1)
adalah
( x  x1 ) 2 ( y  y1 ) 2

1
a2
b2
a. Puncak ellips di titik A(x1 + a, y1); B(x1 - a, y1) ; C(x1 , y1 +b) ; D (x1 ,
y1 - b)
b. Koordinat focus di titik F1 (x1 + c, y1); F2 (x1 - c, y1);
c. Persamaan garis direktrik x  x1 
d. Panjang Latus Rectum LR = 2
a2
c
b2
a
3. Persamaan garis singgung pada ellips
x
2
a
2

y
2
b
2
 1 dengan gradient m dan
berpusat di :
a. Titik O (0,0) adalah :
y = mx  b 2  a 2 m 2
b. Titik P (x1,y1) adalah :
y  y1  m( x  x1 )  b 2  a 2 m2
4. Persamaan garis singgung di T (x1,y1) dengan pusat O (0,0) adalah
x1x
a
2

y1y
b
2
1
5. Persamaan garis singgung di P (xp,yp) dengan pusat P (x1,y1) adalah :
( x  x p )( x1  x p )
a2

( y  y p )( y1  y p )
b2
1
C. Hiperbola dan unsur-unsurnya
Hiperbola didefinisikan sebagai himpunan titik-titik (pada bidang
datar) yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap besarnya.
Selanjutnya dua titik itu disebut Titik Fokus Hiperbola. Jadi hiperbola dapat
dilukis jika diketahui dua titik fokus hiperbola dan suatu ruas garis yang
panjangnya kurang dari dari jarak kedua titik fokus itu diketahui.
Unsur-unsur Hiperbola
y
Titik O disebut titik pusat Hiperbola
Titik A dan B disebut titik-titik puncak
T (xi,yi)
hiperbola.
F2
F1
x
F1 dan F2 disebut titik-titik fokus
hiperbola.
AB dan CD disebut sumbu mayor
O
(sumbu panjang) dan sumbu minor
(sumbu pendek).
a
a
1. Persamaan Hiperbola dengan Pusat O (0,0) adalah :
x
2
a
2

y
2
b
2
a. Fokus di F1 (c,0) dan F2 (-c,0)
b. Puncaknya di A (a,0) dan B (-a,0)
c. Persamaan asimtotnya :
y
d. Eksentrisitas numeriknya : e 
e. Persamaan garis arah : x = 
c
a
b
x
a
1
2
a
c
2. Persamaan Hiperbola dengan Pusat pada P (xp,yp) adalah:
( x  xp)
a
2
2

( y  yp)
b
2
2
1
a. Focus di F1(xp + c, yp) dan F2(xp – c, yp).
b. Puncaknya di A (xp + a, yp) dan B (xp – a, yp).
1
b
a
c. Persamaan asimtotnya : y  yp   ( x  xp)
d. Eksentrisitas numeriknya :
e=
c
>1
a
CONTOH SOAL
1. Diketahui persamaan parabola sebagai berikut : y2 + 4y – 4x + 8 = 0.Tentukan
koordinat puncak , koordinat focus, persamaan sumbu simetri, persamaan
direktriks, dan sketsa gambarnya !
Jawab:
y2 + 4y – 4x + 8 = 0
 y2 + 4y = 4x - 8
 (y + 2)2 – 4 = 4x - 8
 (y + 2)2 = 4x - 4
 (y + 2)2 = 4(x – 1)  (y - )2 = 4p(x - )
Berarti :  = -2;  = 1; p = 1
Jadi, koordinat puncaknya (1, -2), koordinat fokusnya ( + p, ) = (2, -2),
persamaan sumbu simetrinya y = -2, dan persamaan garis direktriksnya : x =
-px=1–1x=0
Grafiknya :
Y
1
2
X
O
-1
y = -2
-2
F
2. Tentukan persamaan hiperbola yang fokus (4, 0) dan titik-titik ujung (2,
0).
Jawab:
Karena fokus yang diberikan terletak pada sumbu-x maka bentuk baku
dari persamaan hiperbola yang dicari seperti pada teorema 6.1.
Dari titik fokus yang diberikan maka diperoleh c = 4, titik ujung diperoleh a
= 2 dan b2 = c2 – a2 = 16 – 4 = 12.
Jadi persamaan yang dicari adalah
y2
x2
–
=1
4
12

3x2 – y2
= 12
3. Sebuah hiperbola mempunyai persamaan
9x2 – 4y2 – 36x – 8y + 68 = 0
Tentukan pusat, titik ujung, titik fokus hiperbola tersebut.
Jawab:
Kita ubah bentuk persamaan di atas ke dalam bentuk baku.
9x2 – 4y2 – 36x – 8y + 68 = 0

9x2 – 36x – 4y2 – 8y = –68

9(x2 – 4x + 4) – 4(y2 + 2y + 1) = –68 + 36 – 4

9(x – 2)2 – 4(y + 1)2 = –36

4(y + 1) 2 – 9(x – 2)2 = 36

( y  1) 2 ( x  2) 2
–
=1
9
4
Dari persamaan terakhir diperoleh informasi h = 2, k = –1, a2 = 9, dan b2 =
4. Dengan demikian c2 = a2 + b2 = 9 + 4 = 13.
Dapat disimpulkan bahwa hiperbola yang terjadi berpusat di (2, –1), titiktitik ujungnya (2, –1 + 3) = (2, 2) dan (2, –1 – 3) = (2, –4), titik fokusnya
adalah (2, –1 + 13 ) dan (2, –1 – 13 ).
4. Tentukan : pusat, focus, sumbu simetri, sumbu panjang, sumbu pendek,
direktriks, dan eksentrisitas dari persamaan elips berikut ini :
a) 9x2 + 25y2 = 900
b) x2 + 4y2 – 4x + 24y + 4 = 0
Jawab:
a) 9x2 + 25y2 = 900
x2
y2

1
100 36
a = 10, b = 6, c = 8
pusat O(0,0)
Fokus (8, 0) dan (-8, 0)
Sumbu simetri : sumbu X dan sumbu Y
Sumbu panjang = 2a = 20
Sumbu pendek = 2b = 12
a2
100
1
Direktriks : x = 
=
=  12
2
8
c
Eksentrisitas : e =
c 8 4


a 10 5
b) x2 + 4y2 – 4x + 24y + 4 = 0
(x – 2)2 – 4 + 4(y + 3)2 – 36 = -4
(x – 2)2 + 4(y + 3)2 = 36
( x  2) 2 ( y  3) 2

1
36
9
pusat (2, -3)
a = 6, b = 3, c =
a 2  b 2  39  9  27  3 3
Fokus (3 3  2, -3)
Sumbu simetri : x = 2 dan y = -3
Sumbu panjang = 2a = 12
Sumbu pendek = 2b = 6
Direktriks : x = 
36
a2
 = 
 2  4 3  2
c
3 3
Eksentrisitas : e =
c 3 3 1


3
a
6
2
LATIHAN SOAL
SOAL PILIHAN GANDA
1. Koordinat titik focus parabola y2 = -12x adalah ….
a. (-12, 0)
b. (-4, 0)
c. (-3, 0)
d. (0, -3)
e. (0, -4)
2. Koordinat tititk puncak parabola y2 + 2x – 6y + 11 = 0 adalah ….
a. (-1, 3)
b. (1, -3)
c. (2, -6)
d. (2, -3)
e. (-2, 6)
3. Persamaan parabola yang berpuncak di titik (4, -2) , mempunyai sumbu
simetri garis x = 4 dan panjang lactus rectum 8 adalah ….
a. (y + 2)2 = 8(x – 4 )
b. (y - 2)2 = 8(x – 4 )
c. (y + 1)2 = 8(x + 4 )
d. (y + 2)2 = - 8(x + 2 )
e. (y + 2)2 = - 8(x – 2 )
4. Persamaan garis singgung parabola (y - 3)2 = 8(x + 5 ) yang tegak lurus
dengan garis x – 2y – 4 = 0 adalah ….
a. 2x + y – 4 = 0
b. 2x + y + 2 = 0
c. 2x + y + 8 = 0
d. 2x - y – 2 = 0
e. 2x - 8y – 5 = 0
5. Panjang sumbu mayor dari persamaan elips 20x2 + 36y2 = 720 adalah .…
a. 2 5
b. 6
c. 12
d. 20
e. 36
6. Koordinat titik focus dari persamaan elips 9x2 + 25y2 + 18x – 100y = 116
adalah ….
a. (5, 2) dan (-3, 2)
b. (-3, -2) dan (1, 3)
c. (3, 2) dan (5, 2)
d. (-1, 6) dan (5, 3)
e. (5, 2) dan (-3, 5)
7. Persamaan elips dengan pusat O (0, 0).Puncak (10, 0) dan (-10, 0) serta salah
satu fokusnya (-6, 0) adalah ….
a. 10x2 + 6y2 = 60
b. 36x2 + 16y2 = 400
c. 16x2 + 9y2 = 400
d. 9x2 + 16y2 = 144
e. 9x2 + 25y2 = 225
8. Persamaan garis singgung elips 5x2 + 20y2 =100 pada titik (4, 1) adalah ….
a. x - y + 5 = 0
b. x + y + 5 = 0
c. x + y = 5
d. x + y = -5
e. -x - y = 5
9. Koordinat titik puncak hiperbola x2 - 4y2 - 2x + 24y - 39 = 0 adalah ….
a. (1, 2) dan (-1, 2)
b. (3, 2) dan (-1, 2)
c. (1, 3) dan (-1, 3)
d. (1, 0) dan (1, 4)
e. (1, -2) dan (1, -4)
10. Persamaan garis singgung hiperbola 4x2 - y2 - 40x - 4y + 48 = 0 di titik (9, 2)
adalah ….
a. 4x - y + 21 = 0
b. 4x - y - 34 = 0
c. 4x - y - 28 = 0
d. 9x - 2y - 34 = 0
e. 9x - 2y + 21 = 0
SOAL ESSAY
1. Tentukan persamaan parabola yang berpuncak di O(0,0) dengan keterangan
sebagai berikut :
a. titik fokus di F(-3, 0)
b. titik fokus di F(0, 3)
2. Diketahui parabola dengan persamaan (y + 2)2 = 4(x – 1).
Tentukan: a. koordinat titik puncak
b. koordinat titik fokus
c. peramaan direktriks
d. persamaan sumbu simetri
3. Tentukan persamaan parabola jika titik puncak A(2, 4) dan titik fokus di F(8,
4) !
4. Diketahui elips dengan persamaan
x2 y2

 1.
16 25
Tentukan :
a) Koordinat titik puncak
d) Persamaan direktriks
b) Koordinat titik fokus
e) Nilai eksentrisitas
c) Panjang sumbu mayor dan sumbu minor
5. Diketahui hiperbola :
( x  2) 2 ( y  1) 2

1
16
9
a) Titik pusat
e) Titik fokus
b) Titik puncak
f) Eksentrisitas
c) Persamaan sumbu utama dan sekawan
g) Persamaan direktriks
d) Persamaan asymtot
IRISAN DUA LINGKARAN
A. Kuasa Lingkaran
1. Kuasa Titik terhadap Lingkaran
Jika diketahui sebuah titik P dan lingkaran L yang berpusat di M dan
sembarang garis yang melalui P dan memotong lingkaran di A dan B maka
yang dimaksud dengan kuasa titik P terhadap lingkaran L adalah perkalian
panjang PA dengan panjang PB.
C
M
P
A
Gambar 1
B
Perhatikan gambar 1 Menurut definisi maka kuasa titik P ditulis K(P) atau KP
adalah
KP = PAPB
(1)
Misalkan C adalah titik singgung garis yang melalui P. Perhatikan segitiga
PBC dan segitiga PCA. Terlihat bahwa :
dan
 BPC =  CPA
(2)
 PAC =  PCB = ½  AMC
(3)
Oleh karena dua segitiga PAC dan PCB mempunyai dua pasang sudut yang
berukuran sama, maka kedua segitiga tersebut adalah sebangun. Akibatnya
terdapat hubungan perbandingan:
PA
PC
=
PC
PB
atau
PAPB = PC2
Jika (4) disubstitusikan ke (1) maka diperoleh
(4)
KP = PC2
(5)
Perhatikan bahwa PC merupakan panjang garis singgung dari titik P ke titik
singgung di lingkaran. Jadi kuasa titik P terhadap lingkaran L sebenarnya
adalah kuadrat panjang garis singgung lingkaran dari titik P ke titik
singgungnya.
Selanjutnya perhatikan bahwa segitiga PCM adalah siku-siku di C, karena PC
adalah garis singgung. Menurut dalil Pythagoras terdapat hubungan
PM2 = PC2 + CM2 atau PC2 = PM2 – CM2
(6)
Apabila koordinat titik P adalah (x1, y1) dan lingkaran L mempunyai
persamaan yang berbentuk (x – h)2 + (y – k)2 = r2, maka
PM2 = (x1 – h)2 + (y1 – k)2 dan CM2 = r2
(7)
sebab CM merupakan jari-jari lingkaran.
Jika persamaan (7) disubstitusikan ke (6) dan (5) diperoleh kuasa titik P
terhadap lingkaran L adalah
KP = (x1 – h)2 + (y – k)2 – r2
(8).
Jika persamaan lingkaran L berbentuk umum x2 + y2 + ax + by + c = 0, maka
kuasa titik P(x1, y1) terhadap lingkaran L adalah
KP = x12 + y12 + ax1 + by1 + c
(9)
2. Garis Kuasa
Tempat kedudukan titik-titik yang mempunyai kuasa sama terhadap
dua lingkaran berupa garis lurus dan disebut garis kuasa.
Jika diberikan dua lingkaran L1 dan L2 maka garis kuasa dapat dicari.
Misalkan kita akan menentukan persamaan garis kuasa lingkaran L1  x2 + y2
+ a1x + b1y + c1 dan lingkaran L2  x2 + y2 + a2x + b2y + c2 dan misalkan P(xP,
yP) adalah titik yang mempunyai kuasa sama terhadap L1 dan L2.
Menurut (9) maka kuasa titik P terhadap lingkaran L1 adalah
KP = xP2 + yP2 + a1xP + b1yP + c1
dan kuasa titik P terhadap lingkaran L1 adalah
KP = xP2 + yP2 + a2xP + b2yP + c2
Kuasa titik P terhadap kedua lingkaran adalah sama sehingga:
xP2 + yP2 + a1xP + b1yP + c1 = xP2 + yP2 + a2xP + b2yP + c2

(a1 – a2)xP + (b1 – b2)yP + (c1 – c2) = 0
Jika titik P dijalankan maka diperoleh tempat kedudukan titik-titik yang
mempunyai kuasa sama terhadap lingkaran L1 dan L2 yaitu
(a1 – a2)x + (b1 – b2)y + (c1 – c2) = 0
(10)
Secara simbolis persamaan garis kuasa lingkaran L1 = 0 dan L2 = 0 dituliskan
sebagai :
L1 – L2 = 0
(11)
3. Titik Kuasa
Misalkan L1, L2, L3 adalah tiga lingkaran yang pusat-pusatnya tidak berada
pada satu garis lurus (konsentris). Ketiga lingkaran tersebut mempunyai tiga
garis kuasa yang saling berpotongan di satu titik. Titik potong ketiga garis ini
disebut titik kuasa.
Jika ketiga lingkaran adalah konsentris maka garis-garis kuasanya sejajar,
dan ini berarti titik kuasa ketiga lingkaran berada di titik tak hingga.
4. Keluarga Lingkaran
Jika sebuah persamaan linier memuat satu konstanta sembarang, atau
parameter, maka persamaan itu menyatakan sebuah himpunan semua garis
pada bidang. Situasi yang sama juga ada untuk lingkaran. Persamaan
lingkaran yang memuat parameter disebut keluarga lingkaran.
Misalkan persamaan
(x – 2)2 + (y – 3)2 = r2
akan menyatakan keluarga lingkaran yang berpusat di (2, 3) (lihat gambar
2).
Y
(2, 3)
O
Gambar 2 X
Dengan memberikan nilai tertentu untuk r maka akan menunjuk pada lingkaran
tertentu secara unik.
Persamaan dalam bentuk
(x – h)2 + (y  h)2 = h2
akan menyatakan keluarga lingkaran yang meyinggung kedua sumbu koordinat
(perhatikan gambar 3).
Gambar 3
Juga sangat memungkinkan mempunyai keluarga lingkaran yang mempunyai
dua parameter. Sebagai contoh, persamaan
(x – h)2 + (y – 2h)2 = r2
menyatakan keluarga lingkaran yang mempunyai pusat pada garis y = 2x,
tetapi dengan jari-jari sebagai variabel.
B. Berkas Lingkaran
Pandang dua lingkaran L1 dan L2 yang berpotongan (baik real maupun
imajiner) dengan persamaan sebagai berikut:
L1  x2 + y2 + a1x + b1y + c1 = 0 dan
L2  x2 + y2 + a2x + b2y + c2 = 0;
Pandang pula persamaan yang berbentuk:
L1 + kL2  x2 + y2 + a1x + b1y + c1 + k(x2 + y2 + a2x + b2y + c2) = 0
(1)
C1 + C2 = 0
C2 = 0
C1 = 0
C1 + kC2 = 0
Untuk sembarang nilai k  –1 maka persamaan L1 + kL2 = 0 menyatakan
lingkaran yang melalui titik potong kedua lingkaran L1 dan L2. Ini mudah
dipahami bahwa (1) adalah suatu lingkaran dengan menyusun kembali
persamaan (1) dalam bentuk:
x2 + y2 +
b b
c c
a1  a 2
x+ 1 2 y+ 1 2 =0
1 k
1 k
1 k
(2)
yang mana menurut seksi 4.2 persamaan di atas merupakan sebuah lingkaran.
Koordinat titik potong kedua lingkaran L1 dan L2 juga memenuhi lingkaran
dengan persamaan L1 + kL2 = 0, sebab titik potong itu memenuhi persamaan L1
dan L2.
Sedangkan untuk k = –1, maka L1 – L2 = 0 merupakan garis kuasa kedua
lingkaran yang juga dapat dianggap sebagai lingkaran dengan pusat pada garis
hubung titik pusat kedua lingkaran dan terletak di tak hingga, sehingga
busurnya berupa garis lurus.
Jika diberikan semua nilai parameter k yang mungkin maka himpunan semua
lingkaran yang berbentuk L1 + kL2 = 0 disebut berkas lingkaran dengan L1 dan
L2 sebagai lingkaran dasar/basis.
Sifat istimewa yang dimiliki anggota berkas lingkaran adalah bahwa semua
anggota berkas lingkaran mempunyai sebuah garis kuasa berserikat dan
pusatnya adalah berada pada garis lurus yang menghubungkan kedua titik pusat
lingkaran dasarnya.
CONTOH SOAL
1. Tentukan titik pada sumbu-x yang mempunyai kuasa sama terhadap
lingkaran L1  (x – 1)2 + (y – 4)2 = 16 dan L2 = x2 + y2 + 2x – 6y – 15 = 0, dan
tentukan kuasa titik tersebut terhadap kedua lingkaran.
Jawab:
Persamaan garis kuasa kedua lingkaran adalah L1 – L2 = 0. Jadi persamaan
garis kuasanya adalah :
(x – 1)2 + (y – 4)2 –16 – (x2 + y2 + 2x – 6y – 15) = 0

–4x – 2y + 16 = 0

2x + y – 8 = 0
Semua titik yang berada pada garis ini mempunyai kuasa sama terhadap
kedua lingkaran L1 dan L2 di atas. Sedangkan titik yang ditanyakan adalah
berada pada sumbu-x, yaitu titik potong sumbu-x dengan garis kuasa. Jadi
ordinat titik yang dicari adalah y = 0. Substitusi ke garis kuasa diperoleh
absis titik yang dicari yaitu
2x + 0 – 8 = 0, atau x = 4.
Jadi koordinat titik yang dicari adalah P(–4, 0) dan kuasa titik P terhadap
kedua lingkaran adalah
KP = (4 – 1)2 + (0 – 4)2 – 16 = 9
2. Tentukan titik kuasa lingkaran L1  x2 + y2 + 3x + 5y – 7 = 0; L2  x2 + y2 – 2x +
4y – 6 = 0; dan L3  x2 + y2 + 4x – 2y – 2 = 0.
Jawab:
Garis kuasa lingkaran L1 dan L2 adalah L1 – L2 = 0 yaitu
5x + y – 1 = 0
(1)
Garis kuasa lingkaran L1 dan L3 adalah L1 – L3 = 0 yaitu
x – 7y + 5 = 0
(2)
Dari persamaan simultan (1) dan (2) menghasilkan penyelesaian x = 1/18
dan y = 13/18. Dengan demikian koordinat titik kuasa ketiga lingkaran
tersebut adalah (1/18, 13/18).
3. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik potong lingkaran
L1  x2 + y2 + 4x – 6y – 96 = 0 dan L2  x2 + y2 – 18x – 8y + 48 = 0,
dan melalui titik asal.
Jawab:
Lingkaran yang dicari merupakan salah satu anggota berkas lingkaran
dengan basis L1 dan L2, yaitu
(x2 + y2 + 4x – 6y – 96) + k(x2 + y2 – 18x – 8y + 48) = 0.
Karena lingkaran juga melalui titik asal O(0, 0) maka substitusikan x = 0
dan y = 0 pada persamaan di atas diperoleh
–96 + 48k = 0, atau k = 2
Substitusikan nilai k pada berkas lingkaran diperoleh persamaan lingkaran
yang dicari yaitu :
3x2 + 3y2 – 32x – 22y = 0
LATIHAN SOAL
SOAL PILIHAN GANDA
1. Diketahui tiga buah persamaan lingkaran berikut.
L1 = x2 + y2 + x + y – 14 = 0
L2 = x2 + y2 = 13
L1 = x2 + y2 + 3x - 2y – 26 = 0
Koordinat-koordinat titik kuasa lingkaran-lingkaran tersebut adalah ….
A. (3, -2)
B. (2, 3)
C. (-2, -3)
D. (1, -2)
E. (-2, 1)
2. Diketahui persamaan lingkaran berikut.
L1  x2 + y2 + 4x – 6y – 48 = 0
L2  x2 + y2 – 18x – 8y + 48 = 0
Persamaan lingkaran yang melalui titik potong kedua lingkaran tersebut adalah ….
A. 2x2 + 2y2 – 14x – 14y = 0
B. 3x2 + 3y2 – 32x – 22y = 0
C. 2x2 + 2y2 – 32x – 22y = 0
D. x2 + y2 – 32x – 22y = 0
E. 3x2 + 3y2 – 32x – 12y = 0
3. Letak kuasa titik (3, 2) kepada lingkaran x2+y2+2x-6y+1=0 adalah ….
A. k = ±2√2
B. k = ±√5
C. k = ±3
D. k = ±8
E. k = ±3√3
4. garis kuasa kedua lingkaran dengan persamaan x2+y2=25 dan x2+y2+6x-8y+11=0
adalah ….
A. 3x – 4y – 7 = 0
B. 3x – 4y – 9 = 0
C. 5x – 4y – 7 = 0
D. 4x – 3y – 7 = 0
E. 3x – 3y – 7 = 0
5. persamaan berkas yang melalui titik potong
L1 = x2 + y2 – 6x – 8y – 11 = 0
L2 = x2 + y2 - 4x – 6y – 22 = 0
Lingkaran ini melalui titik pangkal O(0,0) adalah ….
A. x2 + y2 – 8x – 10y = 0
B. 2x2 + 2y2 – 8x – 10y = 0
C. 3x2 + 3y2 – 8x – 10y = 0
D. 3x2 + 3y2 – 4x – 5y = 0
E. 2x2 + 2y2 – 4x – 5y = 0
6. Persamaan lingkaran yang melalui titik-titik potong lingkaran x2 + y2 – 6x – 10y – 15 = 0
dan x2 + y2 + 2x + 4y – 17 = 0 dan yang titik pusatnya terletak pada garis 5x – 3y + 1 = 0
adalah ….
A. x2 + y2 – 14x + 24y – 13 = 0
B. x2 + y2 – 14x + 4y – 13 = 0
C. x2 + y2 – 14x + 14y – 13 = 0
D. x2 + y2 – 4x + 24y – 18 = 0
E. x2 + y2 – 24x + 24y – 16 = 0
7. Koordinat-koordinat dari titik kuasa lingkaran-lingkaran x2 + y2 + x + y – 14 = 0, x2 + y2
= 13, dan x2 + y2 + 3x - 2y – 26 = 0 adalah ….
A. (3, -2)
B. (2, 3)
C. (1, 3)
D. (-2, 3)
E. (-3, -2)
8. Diketahui lingkaran x2 + y2 – 2x + 4y = p membagi dua sama besar lingkaran x2 + (y –
1)2 = 4. Nilai p = ….
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
E. 11
9. Kuasa titik T(1, 3) terhadap lingkaran x2 + y2 – 2x – 4y – 20 = 0 adalah ….
A. 12
B. 24
C. -24
D. -12
E. -6
10. Kuasa titik T(1, 3) terhadap lingkaran 2x2 + 2y2 – x = 0 adalah ….
A. 4,5
B. 5,5
C. 6,5
D. 8,5
E. 9,5
SOAL ESSAY
1. Tentukan persamaan keluarga lingkaran yang berpusat pada garis x – y – 5 = 0
dan
(a) melalui titik asal.
(b) menyinggung sumbu-y.
2. Tentukan persamaan keluarga lingkaran yang melalui titik (2, 3) dan titik
(–4, 5).
3. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui perpotongan lingkaran
x2 + y2 + 10x + 12y + 45 = 0,
dan melalui titik asal.
x2 + y2 + 6x – 2y – 15 = 0,
4. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui perpotongan lingkaran
x2 + y2 – 6x + 2y = 0,
x2 + y2 + 6x – 4y – 12 = 0,
dan melalui titik (5, 3).
5. Tentukan persamaan garis kuasa lingkaran L1  x2 + y2 – 2x – 4y – 4 = 0 dan lingkaran L2
 x2 + y2 + 6x + 10y – 15 = 0. Buktikan bahwa garis kuasa itu tegak lurus dengan garis
hubung pusat-pusat lingkaran basis. Buktikan pula bahwa semua pusat singkaran
anggota berkas adalah terletak pada satu garis lurus, yaitu garis hubung kedua pusat
lingkaran dasar.
STATISTIKA
A. Pengambilan Sampel (Sampling)
Penentuan sampel merupakan langkah penting dalam penelitian kuantitatif, konsep
dasar dari penentuan sampel adalah bahwa agregasi dari orang, rumah tangga atau
organisasi yang sangat besar dapat dikaji secara efektif dan efisien serta akurat melalui
pengkajian yang terinci dan hati-hati pada sebagian agregasi yang terpilih. Agregasi
(Keseluruhan) disebut populasi atau universe yang terdiri dari unit total informasi yang
ingin diketahui. Dari populasi yang ingin dikaji kemudian ditentukan sampelnya, melalui
prosedur sampling yang sesuai dengan karakteristik populasinya.
Penelitian bidang sosial dan Pendidikan banyak dilakukan dengan menggunakan
sampel (Sampling Methods), hal ini tidak hanya karena alasan biaya dan waktu, tapi juga
untuk menghindari kekeliruan akibat pengumpulan, pemrosesan dan penganalisaan data
dari agregasi yang sangat besar. Dengan penarikan sampel maka estimasi dapat dilakukan
serta hipotesis dapat diuji yang hasilnya dapat berlaku terhadap populasi darimana sampel
itu diambil. Pengkajian terhadap sampel pada dasarnya dimaksudkan untuk menemukan
generalisasi atas populasi atau karakteristik populasi (Parameter), sehingga dapat
dilakukan penyimpulan (inferensi) tentang universe, oleh karena itu penarikan sampel
jangan sampai bias dan harus menggambarkan seluruh unsur dalam populasi secara
proporsional, hal ini bisa dilakukan dengan cara memberikan kesempatan yang sama pada
seluruh elmen dalam populasi.
Adapun langkah-langkah dalam penentuan sampel adalah :
a. Mendefinisikan populasi yang akan dijadikan obyek penelitian
b. Menentukan prosedur sampling
c. Menentukan besarnya sampel
pendefinisian populasi merupakan langkah pertama yang sangat penting, dari sini dapat
tergambar bagaimana keadaan populasi, sub-sub unit populasi, karakteristik umum
populasi serta keluasan dari populasi tersebut. Dalam hubungan ini perlu dibedakan antara
populasi target (Target/actual population) dan populasi terjangkau (Accessible population),
populasi target adalah populasi yang ingin digeneralisasi oleh peneliti, sedangkan populasi
terjangkau adalah populasi yang dapat digeneralisasi oleh peneliti, target populasi
merupakan pilihan ideal dan populasi terjangkau merupakan pilihan yang realistis.
Sesudah diperoleh gambaran tersebut kemudian ditentukan prosedur apa yang akan
diambil dalam penentuan sampel, sesudah langkah ini baru kemudian ditentukan besarnya
sampel yang akan dijadikan obyek penelitian. Sebagai Contoh akan dikemukakan berikut
ini:
Masalah penelitian yang akan dikaji : Akibat pemanfaatan media elektronik
terhadap prestasi belajar Siswa Sekolah Dasar di Kabupaten Sleman.
Populasi Target : Seluruh Siswa Sekolah Dasar di Kabupaten Sleman
Populasi Terjangkau : Seluruh Siswa Sekolah Dasar di Kecamatan Sleman Kabupaten
Sleman
Kerangka Sampel
: Daftar Nama siswa yang tercatat pada Dinas Pendidikan
Kecamatan Sleman
Sampel : Lima belas persen Siswa Sekolah Dasar di Kecamatan Sleman Kabupaten
Sleman
Masalah penelitian yang akan dikaji : Hubungan antara Motivasi Berprestasi dengan
Kinerja Guru di Kabupaten Sleman.
Populasi Target : Seluruh Guru di Kabupaten Sleman
Populasi Terjangkau : Seluruh Guru SMU di Kabupaten Sleman
Kerangka Sampel :
Daftar Guru SMU yang tercatat pada Dinas Pendidikan
Kabupaten Sleman
Sampel : Dua puluh persen Guru SMU di Kabupaten Sleman
1. Simple Random Sampling
Pengambilan sampel acak sederhana adalah cara pengambilan sampel dimana
setiap unsur yang membentuk populasi diberi kesempatan yang sama untuk terpilih
menjadi sampel, cara ini akan sangat mudah apabila telah terdapat daptar lengkap
unsur-unsur populasi. Prosedur yang cukup akurat untuk pengambilan sampel secara
acak adalah dengan menggunakan tabel angka acak (Table of random numbers),
disamping itu dapat pula dilakukan dengan cara mengundi.
2. Pengambilan Sampel secara Sistimatis
Systematic Sampling merupakan Alternatif lain pengambilan sampel yang sangat
bermanfaat untuk pengambilan sampel dari populasi yang sangat besar. Pengambilan
sampel secara sistematis adalah suatu metode dimana hanya unsur pertama dari
sampel yang dipilih secara acak, sedang unsur-unsur selanjutnya dipilih secara
sistematis menurut suatu pola tertentu. Sebagai contoh Kepala Dinas Pendidikan ingin
mengetahui bagaimana Motivasi Kerja Kepala Sekolah di Kabupaten Sleman yang
berjumlah 1000 orang dan akan mengambil sempel 100 orang Kepala sekolah,
kemudian Nama-nama Kepala Sekolah disusun secara alpabetis, lalu dipilih sampel per
sepuluh Kepala Sekolah, untuk itu disusun nomor dari 1 sampai 10, lalu diundi untuk
memilih satu angka, jika angka lima yang keluar, maka sampelnya adalah nomor 5, 15,
25, 35, dan seterusnya sampai diperoleh jumlah sampel yang dikehendaki.
3. Pengambilan Sampel berstrata (Stratified Sampling)
Pengambilan sampel berstrata merupakan teknik pengambilan sampel dimana
populasi dikelompokan dalam strata tertentu, kemudian diambil sampel secara random
dengan proporsi yang seimbang sesuai dengan posisinya dalam populasi. Sebagai
contoh : seorang Kepala Sekolah ingin mengetahui tanggapan Siswa tentang
pelaksanaan program Keterampilan. Jumlah Siswa sebanyak 2000 orang dengan
komposisi kelas 3 sebanyak 600 siswa, kelas 2 sebanyak 400 siswa dan kelas 1
sebanyak 1000 siswa, besarnya sampel yang akan diambil adalah 200 orang, jika
stratanya berdasarkan Kelas maka langkah yang harus dilakukan adalah :
a. Tetapkan proporsi strata dari populasi hasilnya kelas 3 sebesar 30%, Kelas 2
sebesar 20% dan kelas 1 sebesar 50%.
b. Hitung besarnya sampel untuk masing-masing strata, hasilnya kelas 3 sebanyak 60
siswa, kelas 2 sebanyak 40 siswa dan kelas 1 sebanyak 100 siswa
c. Kemudian pilih anggota sampel untuk masing-masing strata secara acak (random
sample).
4. Pengambilan sampel Kelompok (Cluster Sampling)
Cluster Sampling adalah teknik pengambilan sampel dimana pemilihannya
mengacu pada kelompok bukan pada individu. Cara seperti ini baik sekali untuk
dilakukan apabila tidak terdapat atau sulit menentukan/menemukan kerangka sampel,
meski dapat juga dilakukan pada populasi yang kerangka sampelnya sudah ada.
Sebagai contoh : Kepala Dinas Pendidikan Kabupaten Sleman ingin mengetahui
bagaimana Sikap Guru SLTP terhadap Kebijakan Manajemen Berbasis Sekolah (MBS),
besarnya sampel adalah 300 orang, kemudian ditentukan Clusternya, misalnya sekolah,
Jumlah SLTP sebanyak 66 Sekolah dengan rata-rata jumlah Guru 50 orang, maka jumlah
cluster yang diambil adalah 300 : 50 = 6, kemudian dipilih secara acak enam Sekolah
dan dari enam sekolah ini dipilih secara acak 50 orang Guru sebagai anggota sampel.
Pengambilan sampel dengan cara yang sudah disebutkan di atas umumnya
dilakukan pada populasi yang bersifat terbatas (Finit), sementara itu untuk Populasi
yang jumlah dan identitas anggota populasinya tidak diketahui (Infinit) pengambilan
sampel biasanya dilakukan secara tidak acak (Non random Sampling). Adapun yang
termasuk pada cara ini adalah :
1. Quota Sampling : yaitu penarikan sampel yang hanya menekankan pada jumlah
sampel yang harus dipenuhi.
2. Purposive Sampling : pengambilan sampel hanya pada individu yang didasarkan
pada pertimbangan dan karakteristik tertentu.
3. Accidental Sampling : pengambilan sampel dengan jalan mengambil individu
siapa saja yang dapat dijangkau atau ditemui.
B. Pengujian Hipotesis
Hipotesis statistik merupakan pernyataan sementara tentang satu populasi atau
lebih. Dalam statistika, pengujian hipotesis merupakan bagian terpenting untuk mengambil
keputusan. Dengan melakukan pengujian hipotesis seorang peneliti akan dapat menjawab
pertanyaan-pertanyaan yang diajukan dengan menyatakan penolakan atau penerimaan
terhadap hipotesis. Kebenaran hipotesis secara pasti tidak pernah diketahui kecuali jika
dilakukan pengamatan terhadap seluruh anggota populasi. Untuk melakukan hal ini
sangatlah tidak efisien apalagi bila ukuran populasinya sangat besar.
Dalam pengujian hipotesis ada dua jenis tipe kesalahan yaitu kesalahan jenis I dan
kesalahan jenis kedua. Kesalahan jenis I adalah kesalahan yang terjadi akibat menolak H 0
padahal H0 benar, sedangkan kesalahan jenis II adalah kesalahan yang terjadi akibat
menerima H0 padahal H1 benar. Secara ringkas tabel dari dua jenis tipe kesalahan tersebut
adalah :
Keputusan
Galat jenis I
Ho benar
Ho salah
Terima Ho
Keputusan benar
Galat jenis II
Tolak Ho
Galat jenis I
Keputusan benar
= P (menolak Ho  Ho benar)
=
= taraf nyata
Galat jenis II = P (menerima Ho  Ho salah)
=
Sifat-sifat penting dari  dan  adalah :
 dan  saling berhubungan. Menurunnya probabilitas yang satu akan meningkatkan
1.
probabilitas yang lain.
2.
Ukuran wilayah kritis, yang selalu berarti peluang melakukan galat jenis I, selalu
dapat diperkecil dengan mengubah nilai kritisnya.
3.
Peningkatan ukuran sampel (n) akan memperkecil  dan  secara bersamaan.
4.
Bila Ho salah, nilai  akan semakin besar bila parameternya dekat dengan nilai yang
dihipotesiskan. Semakin besar jarak antara nilai yang sesungguhnya dengan nilai yang
dihipotesiskan, maka akan semakin kecil nilai .
Suatu uji hipotesis statistik yang alternatifnya bersifat satu-arah dinyatakan sebagai :
Ho :  = o
H1 :  > o
atau
Ho :  = o
H1 :  < o
disebut uji satu arah.
Sedangkan uji hipotesis statistik yang alternatifnya bersifat dua-arah seperti
Ho :  = o
H1 :   o
disebut uji dua arah.
Ho selalu dituliskan dengan tanda kesamaan, sehingga menspesifikasi suatu nilai tunggal.
Dengan cara ini peluang melakukan galat jenis I dapat dikendalikan.
Langkah-langkah pengujian hipotesis :
1.
Nyatakan hipotesis nol (Ho), yaitu Ho : θ = θo
2.
Pilih hipotesis alternatif H1 yang sesuai.
3.
Tentukan taraf nyatanya ().
4.
Pilih statistik uji yang sesuai dan tentukan wilayah kritisnya.
5.
Hitung nilai statistik uji berdasarkan data sampel.
6.
Ambil keputusan :
a. Tolak Ho bila nilai statistik uji terletak dalam wilayah kritis,
b. Terima Ho bila nilai statistik uji jatuh di luar wilyah kritis.
C. Variabel Acak
Pengertian variable acak dalam suatu eksperimen yaitu suatu variabel yang dapat
bernilai numeric yang didefinisikan dalam suatu ruang sampel. Variabel tersebut
disebut diskrit jika variabel itu hanya dapat memiliki nilai tertentu dan disebut kontinu
jika variabel itu dapat memiliki nilai-nilai pada suatu interval tertentu.
D. Distribusi Binomial
Perumusan mengenai distribusi binomial (disebut juga; distribusi kemungkinan
Bernoulli) ini diketemukan oleh seseorang tahu matematika bangsa Swiss yang bernama
Jacob Bernoulli. Perumusan yang dikemukakan disebut; fungsi kepadatan kemungkinan
binomial (binomial probablilty density function).
Bentuk perumusan adalah sebagai berikut :
Pr(r/n,P) = aCrPrQn-r
Dalam perumusan diatas dapat dilihat bahwa n merupakan banyaknya
suatu
percobaan dilakukan atau diulang. Ini menunjukkan bahwa suatu percobaan dapat
dilakukan lebih dari sekali. Proses pengulangan tersebut disebut proses Bernoulli dan
memiliki sifat-sifat sebagai berikut :
1. Hanya terdapat dua buah hasil yang mungkin untuk setiap percobaan;
2. Data yang dikumpulkan di dalam percobaan merupakan hasil perhitungan dan sebaran
kemungkinan Bernouli itu merupakan sebuah distribusi diskrit;
3. Kemungkinan suatu hasil (sukses) (P) tetap sama untuk setiap percobaan, demikian
juga dengan kemungkinan suatu kegagalan (Q atau 1-P);
4. Percobaan-percobaan yang dilakukan adalah independen (bebas) satu sama lain,
sehingga tiada suatu pola tertentu mengenai hasil-hasilnya.
Contoh Soal
1. Suatu jenis vaksin influenza yang beredar di pasaran diketahui hanya 25% efektif
setelah periode dua tahun. Untuk menentukan apakah suatu vaksin baru lebih unggul
dalam memberikan perlindungan terhadap virus yang sama untuk periode yang lebih
lama, dilakukan penelitian. 20 orang diambil secara acak dan diinokulasi dengan vaksin
baru tersebut. Bila 9 atau lebih di antara yang menerima vaksin baru terbebas dari
virus tersebut selama periode 2 tahun, maka vaksin baru dinilai lebih unggul.
a. Hitung peluang melakukan galat jenis I.
b. Jika Ho salah, dan yang benar H1 : p = ½, maka hitung peluang melakukan galat jenis
II.
c. Jika Ho salah, dan yang benar H1 : p = 0,7, maka hitung peluang melakukan galat
jenis II.
d. Misalkan kriteria pengujiannya diubah menjadi : jika 8 atau lebih berhasil
melampaui periode 2 tahun dengan baik, maka vaksin baru dinilai lebih unggul.
Tentukan peluang melakukan galat jenis I dan II (dengan H1 : p = ½).
e. Misalkan ukuran sampel diperbesar menjadi 100 orang, dan kriteria pengujiannya :
jika 37 orang berhasil melampaui periode 2 tahun tersebut, maka vaksin baru
dinilai lebih unggul. Tentukan peluang melakukan galat jenis I dan II (dengan H1: p
= ½).
Jawab :
a.
 = P (galat jenis I)
= P (x  9 bila p = ¼ )
20
=

8
b(x; 20, ¼) = 1 -
x 9

b(x; 20, ¼) = 1 – 0,9591
x 0
= 0,0409
b.
 = P (galat jenis II)
= P (x < 9 bila p = ½ )
8
=

b(x; 20, ½ ) = 0,2517
x 0
8
c.
 = P (x < 9 bila p = 0,7 ) =

b(x; 20, 0,7 ) = 0,0051
x 0
d.
 = P (x  8 bila p = ¼ )
20
=

7
b(x; 20, ¼) = 1 -
x 8

b(x; 20, ¼) = 1 – 0,8982
x 0
= 0,1018
7
 = P (x < 8 bila p = ½ ) =

x 0
e.
Digunakan hampiran normal :
Bila Ho benar
b(x; 20, ¼) = 0,1316

= n p = 100 ( ¼ ) = 25
2
= n p q = 100 ( ¼ ) ( ¾ ) = 300/16

= P (galat jenis I)
= P (x > 36,5 bila p = ¼ ) = P (z > 2,66) = 0,0039
Bila H1 benar

= n p = 100 ( ½ ) = 50
2
= n p q = 100 (½) (½) = 25

= P (galat jenis II)
= P (x < 36,5 bila p = ½ ) = P (z < -2,7) = 0,0035
2. Dimisalkan N = 8; P = 0,8 Q = 1-P. Hitunglah kemungkinan untuk r = 3 dengan
perumusan Binomial!
Jawab :
Nilai kemungkinannya dihitung sebagai berikut :
Pr (r = 3/n = 8, P = 0,8) = 8C3. (0,8)3. (0,2)8-3
8C3 
8!
8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x1
8 x 7 x 6 336



 56
3!(8  3)! (3 x 2 x1) x (5 x 4 x 3 x 2 x1) 3 x 2 x1
6
Pr(r = 3/n=, 8, P = 0,8) = 56 x 0.512 x 0.00032 = 0.00917504 = 0.0092
Atau bila dinyatakan dalam persen = 0,92%
Latihan Soal
SOAL PILIHAN GANDA
1. Seorang guru Matematika akan meneliti hasil ulangan matematika untuk materi
statistika kelas XII SMA Negeri 96 Yogyakarta yang terdiri dari 4 kelas. Penelitian
dilakukan di kelas XII-1 dan XII-3. Populasi dari kejadian tersebut adalah ….
a. Seluruh siswa SMA 96 Yogyakarta
b. Seluruh siswa kelas XII
c. Siswa kelas XII-1
d. Siswa kelas XII-2
e. Siswa kelas XII-3
2. Untuk mengetahui daya beli masyarakat, Biro Pusat Statistik (BPS) melakukan survei ke
beberapa penduduk di Indonesia. Sampel dari kejadian tersebut adalah ….
a. Seluruh masyarakat Indonesia
b. Seluruh penduduk yang disurvei
c. Daya beli masyarakat
d. Biro Pusat Statistik
e. Penduduk yang tidak disurvei
3. Seorang Camat Wilayah A ingin mengetahui jenis penyakit binatang sapi di wilayahnya.
Untuk keperluan itu, diteliti maisng-masing 20 ekor sapi pada beberapa kelurahan di
wilayah A. Populasi kejadian tersebut adalah ….
a. 20 ekor sapi
b. seluruh sapi di wilayah A
c. sapi di beberapa kelurahan
d. petugas kecamatan
e. Camat Wilayah A
4. Dalam penelitian terhadap kemampuan Matematika siswa SMA se DIY, maka setiap
Kodya mengirimkan 3 sekolah secara acak untuk diberikan tes diagnostik. Sampel
dalam penelitian tersebut adalah ….
a. Seluruh siswa SMA di DIY
b. Seluruh siswa SMA di setiap Kodya
c. Seluruh siswa SMA yang mendapat tes
d. Seluruh siswa SMA yang tidak mendapat tes
e. Seluruh siswa SMA yang mendapat tes di sekolah satu Kodya
5. Variabel acak X merupakan variabel acak diskrit jika X menyatakan ….
A. Tinggi badan manusia
B. Tahan hidup bola lampu
C. Banyaknya sisi belakang (B) yang muncul pada lambung 2 mata uang logam
bersama-sama 1 kali
D. Jarak yang ditempuh oleh pejalan kaki dalam 1 jam
E. Kecepatan sebuah mobil
6. Variabel acak Y merupakan variabel acak diskrit jika Y menyatakan ….
A. Banyaknya sisi M yang muncul pada lambungan 3 mata uang logam bersama-sama
satu kali
B. Selisih banyaknya mata dadu yang muncul pada lambungan 2 dadu bersama-sama 1
kali
C. Tinggi tempat dari permukaan laut
D. Jarak yang ditempuh oleh pejalan kaki dalam 1 jam
E. Banyaknya jawaban yang benar dari 10 soal yang diberikan kepada para siswa
7. Dalam suatu penelitian tentang warna ditemukan bahwa 20 % dari responden memilih
warna hijau dari berbagai warna yang ditawarkan. Jika responden diambil 20 orang
secara acak, maka probabilitas bahwa 10 orang memilih warna hijau adalah ….
A. 0,001
B. 0,002
C. 0,003
D. 0,004
E. 0,005
8. Akan diperiksa 3 sampel hasil suatu produksi. Jika probabiliras hasil produksi itu rusak
adalah ¼ , maka probalitas bahwa paling sedikit 2 dari 3 sampel itu adalah sampel yang
rusak adalah ….
A.
B.
C.
D.
E.
𝟗
𝟔𝟒
𝟑
𝟑𝟐
𝟏𝟎
𝟔𝟒
𝟔
𝟔𝟒
𝟕
𝟔𝟒
9. Dari SMA “ABC”, diketahui 10 % siswanya memakai kacamata. Diambil sampel sebesar
30 secara random. Harapan banyaknya siswa terambil sebagai sampel berkacamata
adalah ….
A. 3
B. 6
C. 9
D. 10
E. 12
10. Probabilitas suatu komponen radio bertahan pada suatu tes adalah ¾ . Diambil 4
komponen untuk dites. Probabilitas bahwa tepat 2 komponen dapat bertahan adalah ….
A.
B.
C.
𝟗
𝟏𝟐𝟖
𝟐𝟕
𝟏𝟐𝟖
𝟗
𝟔𝟒
D.
𝟐𝟕
E.
𝟓𝟒
𝟔𝟒
𝟔𝟒
SOAL ESSAY
1. Sebuah mata uang logam dilambungkan 3 kali. Tentukan nilai dari variabel acak yang
menyatakan banyaknya sisi muka yang muncul dikurangi banyaknya sisi belakang yang
muncul.
2. Dua buah kotak masing-masing berisi 5 kartu dituliskan angka 1, 2, 3, 4, 5. Dari kotak I
dan II masing-masing diambil sebuah kartu secara random. Tentukan nilai dari variabel
random yang menyatakan jumlah kedua angka pada kartu yang diambil.
3. Pada label kawat baja tertulis :
Diameter (2 ± 0,0005) mm
Tentukan nilai dari variabel acak yang menunjukkan diameter kawat baja yang
diproduksi pabrik tersebut.
4. Probabilitas seorang pasien sembuh dari penyakit langka adalah 0,4. Limabelas orang
telah diketahui terjangkit penyakit tersebut. Berapakah probabilitasnya.
a. Paling sedikit 10 orang dapat bertahan dan sembuh
b. Antara 3 sampai dengan 8 orang dapat sembuh
c. Tepat 5 orang yang dapat sembuh
5. Dari suatu klinik bersalin terjadi 10 kelahiran tiap minggu. Tentukan probabilitas
lahirnya 3 orang anak laki-laki dalam seminggu.
LIMIT FUNGSI
A. Limit fungsi trigonometri
sin ax
ax
a
 lim

x0 bx
x0 sin bx
b
1. lim
tan ax
ax
a
 lim

x0 bx
x0 tan bx
b
2. lim
Catatan
Identitas trigonometri yang biasa digunakan
a. 1 – cos A = 2 sin 2 ( 12 A)
b.
1
= csc x
sin x
c.
1
= secan x
cos x
d. cos A – cos B = – 2 sin 12 (A + B)  sin 12 (A – B)
e. cos A sin B = ½{sin(A + B) – sin(A – B)}
B. Limit Mendekati Tak Berhingga
1.
lim
ax n  bx n 1  ...
x   cx m  dx m 1  ...
a. p =
= p , dimana:
a
, jika m = n
c
b. p = 0, jika n < m
c. p = , jika n > m
2.
lim
x 


ax  b  cx  d = q, dimana:
a. q = , bila a > c
b. q = 0, bila a = c
c. q = –, bila a < c
3. lim
x 

 ax  bx  c 
ax 2  qx  r 
2
Contoh Soal
 x2
 ....
1. lim
x 0 1  cos x
Jawab :
 x2
2 x
 lim
 2(1)  2
x 0 1  cos x
x 0 sin x
lim
2. lim 1  cos x  ....
x 0
2 x sin 3x
Jawab :
lim
x 0
3. lim
x 
1  cos x
1  cos x
sin x 1
 lim
 lim

2
x

0
x

0
2 x sin 3x
6x
12 x 12


( x  p)( x  q  x  ....
Jawab:
lim

lim
x
x 
x 
lim
x 
( x  p)( x  q)  x
2
 (p  q) x  pq  x 2
(p  q)
2 1

pq
2


sin  x  
2

4. lim
 ....

x

x
2

2
4
Jawab :


bq
2 a


sin  x  
2 0

lim


0
x

x
2

2
4
Dalil L’Hospital


cos x  
1
2

lim

2 
1

1/ 2

x
2
1
2 1x
  .

2 2
2
 1
 1
sin 1   cos1  
 x
 x   ....
5. lim
x 1
( x  1)
Jawab:
 1
 1
sin 1   cos1  
 x
 x
lim
x 1
( x  1)
1
 1
 1 
 2 sin 1   cos 1   
2
 x
 x 
lim 
x 1
( x  1)
1
 1
sin 21  
2
 x
lim
x 1
( x  1)
1
 x 1
sin 2

2
x 

lim
x 1
( x  1)
1
1
sin 2x  1 
2
x
lim
x 1
( x  1)
lim
x 1
1
1
. 2. 1
2
1
LATIHAN SOAL
SOAL PILIHAN GANDA
1. Nilai lim  1  cos 2 x  = ….
x0 1  cos 4 x 
a.  12
b.  14
c. 0
d.
1
16
e.
1
4
2. Nilai lim
x0
cos 4 x  1
= ….
x tan 2 x
A. 4
B. 2
C. – 1
D. – 2
E. – 4
3. Nilai lim
x 
A. 0
B.
1
2
C. 1
D. 2
E. 4
5 x  4  3x  9 )
= ….
4x
4. Nilai lim
x 


x(4 x  5)  2 x  1 = ….
A. 0
B.
1
4
C.
1
2
D.
9
4
E. 
5. lim
1
𝑥
1
𝑥
sin(1− ) cos(1− )
𝑥−1
𝑥→1
=....
a. -∞
b. -1
c. 0
d. 1
e. ∞
6. lim √(𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) − 𝑥 = . . . .
𝑥→∞
a.
𝑎+𝑏
b.
2𝑎+𝑏
c.
𝑎+2𝑏
d.
2𝑎−𝑏
e.
𝑎−𝑏
2
2
2
2
2
cos 2𝑥
7. lim sin 𝑥−cos 𝑥 = . . . .
𝑥→𝜋
a. √2
b. 1
c. 0
d. -1
e. −√2
8. lim
sin 𝑎𝑥
𝑥→0 cos 𝑏𝑥
a. –
=....
𝑏
𝑎
𝑎
b. − 𝑏
c. 0
d.
𝑎
e.
𝑏
𝑏
𝑎
sin 2𝑥
9. lim 3−√2𝑥+9 = . . . .
𝑥→0
a. -12
b. -9
c. -6
d. -3
e. 0
1−cos 𝑥
10. lim 𝑥 sin 2𝑥 = . . . .
𝑥→0
1
a. − 4
1
b. − 2
c. 0
d.
1
e.
1
2
4
SOAL ESSAY
1. Hitunglah limit berikut.
a.
b.
lim
1  cos 4 x
x 0
x2
 1  cos 2 x 
lim 

x  0 2 x sin 2 x 
2. Hitunglah limit berikut.
a. lim
x 
 x(4x  5) 
4x 2  3

2x 2  2x  3  2x 2  2x  3
2
b. lim
x 
x tan 3x
.
x  sin 2 6 x
3. Tentukan nilai lim
4. Tentukan nilai lim ( x  a)( x  b)  x
x 
5. Hitunglah limit berikut.
x
a. lim
x 

1 x  1 x
b. lim 3x  2  9 x 2  2 x  5
x 

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI
A. TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI
Dengan menggunakan definisi turunan kita bias menentukan turunan dari :
1. f(x) = sin x, yaitu :
f(x) = sin x
f(x + h) = sin (x + h)
f’(x) = lim
h o
f ( x  h)  f ( x )
h
sin( x  h)  sin( x)
h 0
h
= lim
1
1
2 cos (2 x  h) sin h
2
2
= lim
h 0
h
1
= lim 2 cos (2 x  h) lim
h 0
h 0
2
= 2 cos
sin
1
h
2
h
1
1
(2 x).
2
2
= cos x
2. f(x) = cos x, yaitu :
f(x) = cos x
f(x + h) = cos ( x + h )
f’(x) = lim
h o
= lim
h 0
f ( x  h)  f ( x )
h
cos( x  h)  cos( x)
h
 2 sin
= lim
h 0
1
1
(2 x  h) sin h
2
2
h
= lim (2 sin
h 0
= - 2 sin
1
(2 x  h) lim
h 0
2
sin
1
h
2 )
h
1
1
(2 x).
2
2
= - sin x
Jadi diperoleh rumus turunan fungsi trigonometri :
1. a. f(x) = sin x → f’ (x) = cos x
a. f(x) = cos x → f’ (x) = - sin x
2. a. f(x) = sin (ax + b) → f’(x) = a cos (ax + b )
b. f(x) = cos (ax + b) → f’(x) = - a sin (ax + b )
dan jika u suatu fungsi maka:
3. a. f(x) = sin u → f’(x) = u’ cos u
b. f(x) = cos u → f’(x) = - u’ sin u
B. DALIL RANTAI UNTUK MENENTUKAN TURUNAN
Apabila y = f(g(x)) maka y’ = f’ (g(x)). g’(x)
Dari rumus y = f(g(x)) → y’ = f’ (g(x)). g’(x)
Jika g(x) = u→ g’ (x) =
du
dy
dan f(g(x)) = f(u) → y = f(u) →
= f’(u) = f’(g(x))
dx
du
Maka f’(x) = f’ (g(x)). g’(x) dapat dinyatakan ke notasi Leibniz menjadi
dy dy du

.
dx du dx
Dan bentuk tersebut dapat dikembangkan jika y = f ( u(v)) maka:
dy dy du dv

. .
dx du dv dx
CONTOH SOAL
1. Tentuka turunan dari:
b. f(x) = 3 sin x + 2 cos x
c. f(x) = sin (5x – 2)
d. f(x) = tan x
Jawab:
a. f(x) = 3 sin x + 2 cos x
f’(x) = 3 cos x - 2 sin x
b. f(x) = sin (5x – 2)
f’ (x) = 5 cos (5x – 2 )
c. f(x) = tan x =
sin x
cos x
missal : u = sin x → u’ = cos x
v = cos x → v’ = - sin x
f’ (x) =
u ' v  uv'
v2
=
cos x. cos x  sin x.( sin x)
cos 2 x
=
cos 2 x  sin 2 x
cos 2 x
=
1
cos 2 x
= sec2 x
2. Dengan notasi Leibniz tentukam yurunan dari :
4
a. y = (x2 – 3x) 3
b. y = cos5 (

3
 2x )
Jawab:
4
a. y = (x2 – 3x) 3
missal : u = x2 – 3x →
du
= 2x – 3
dx
1
3
y=u4
→
dy 4 3
 u
du 3
1
4
= ( x 2  3x) 3
3
Sehingga :
1
dy dy du 4 2

. = ( x  3 x ) 3 .(2x – 3)
dx du dx 3

8

=   4  x 2  3x
x

b. y = cos5 (
Misal: v =

3  2x

3
y = u5 →
1
3
)
 2x →
u = cos v →

dv
= -2
dx
du

= - sin v = - sin (  2 x )
dv
3
dy
= 5u4 = 5(cos v)4
du
Sehingga :
dy dy du dv

= 5(cos v)4 . - sin (  2 x ) . -2

.
dx du dv dx
3
= 10 (cos v)4 sin (
= 10 (cos(

3

3
 2x )
 2 x ) )4 sin (

3
 2x )
LATIHAN SOAL
PILIHAN GANDA
1. Turunan pertama dari y = 14 sin 4 x adalah y’ =….
A. –cos 4x
1 cos 4 x
B.  16
C.
1 cos 4 x
2
D. cos 4x
E.
1 cos 4 x
16
2. Turunan pertama fungsi f(x) = sin2(8x – 2) adalah f’(x) = ….
A. 2 sin (8x – 2)
B. 8 sin (8x – 2)
C. 2 sin (16x – 4)
D. 8 sin (16x – 4)
E. 16 sin (16x – 4)
3. Turunan pertama dari f(x) = sin2(2x – 3) adalah f’(x) = …
A. 2cos(4x – 6)
B. 2 sin(4x – 6)
C. –2cos(4x – 6)
D. –2 sin(4x – 6)
E. 4 sin(2x – 3)
4. Turunan pertama dari f(x) = 3 sin 2 3x adalah f’(x) = …
A.
2
3

cos
B. 2 cos
C.

1
3
1
3
1

2 cos 3
3
3x
3x
3x sin 3x
D. –2 cot 3x · 3 sin 2 3x
E. 2 cot 3x · 3 sin 2 3x
5. Turunan pertama dari f(x) = (3x2 – 5) cos x adalah f’(x) = …
A. 3x sin x + (3x2 – 5) cos x
B. 3x cos x + (3x2 – 5) sin x
C. –6x sin x – (3x2 – 5) cos x
D. 6x cos x + (3x2 – 5) sin x
E. 6x cos x – (3x2 – 5) sin x
6. Turunan pertama f(x) = cos3x adalah …
A. f'(x) = – 23 cos x sin 2x
B. f'(x) =
3
2
cos x sin 2x
C. f'(x) = –3 sin x cos x
D. f'(x) = 3 sin x cos x
E. f'(x) = –3 cos2x
7. Diketahui f(x) = (1 + sin x)2 (1 + cos x)4 dan f’(x) adalah turunan pertama f(x).
nilai f’( 2 ) = …
A. –20
B. –16
C. –12
D. –8
E. –4
8. Jika f ( x ) 
A.
1
4
B. 1
C.
3
4
D. 1
E. 2
1
3
sin x  cos x
1 
, maka f '     ….
sin x
3 
9. Turunan pertama dari fungsi f ( x ) 
A.
1  sin x
sin 2 x
B.
sin x  1
cos x  1
C.
2
cos x  1
D.
2
sin x  1
E.
1
cos x  1
1  cos x
adala f’ (x) = …
sin x
10. Turunan pertama dari y = cos4 x adalah,…
A.
1
cos 3 x
4
3
B.  4 cos sin x
1
C.  cos 3 x
4
3
D. 4 cos sin x
3
E.  4 cos x
SOAL ESSAY
Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut.
1. 𝑓(𝑥) = −10𝑥 + 3 cos 𝑥
2. 𝑓(𝑥) = 5 sin 𝑥
cot 𝑥
3. 𝑓(𝑥) = 1+cot 𝑥
4. 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 sin 𝑥
tan 𝑞
5. 𝑝 = 1+tan 𝑞
APLIKASI TURUNAN FUNGSI
A. Aplikasi turunan suatu fungsi
Turunan suatu fungsi dapat digunakan dalam penafsiran geometris dari suatu fungsi,
diantaranya:
1) Gradien garis singgung kurva f(x) di titik x = a , yaitu m = f’(a)
Rumus persamaan garis singgung kurva yang melalui titik (a, b) dan bergradien m
adalah:
y – b = m(x – a)
2) Fungsi f(x) naik, jika f’(x) > 0, dan turun, jika f’(x) < 0
3) Fungsi f(x) stasioner jika f’(x) = 0
Nilai stasioner f(x) maksimum jika f’’(x) < 0, dan minimum jika f’’(x) > 0
CONTOH SOAL
1. Pada selang -1 ≤ x ≤ 2, fungsi y = x3 – 3x2 + 3 mempunyai nilai maksimum …
Jawab:
–1≤x≤2
y = x3 – 3x2 + 3
y’ = 3x2 – 6x
0 = 3x (x – 2) → x = 0 atau x = 2
o x = - 1 → y = (-1)3 – 3 (-1)2 + 3 = - 1
o x = 0 → y = (0)3 – 3(0)2 + 3 = 3
o x = 2 → y = (2)3 – 3(0)2 + = - 1
nilai maksimum = 3
2. Jarak terpendek titik (4, 2) ke titik pada parabola y2- = 8x adalah …
Jawab:
Jarak terpendek titik (4, 2) ke titik pada parabola y2 = 8x
d  ( x 1  x 2 ) 2  ( y1  y 2 ) 2
2
 y2

d    4   ( y  2) 2
 8

 y2
 2 y 
2  4    2( y  2)
8
 8 
d'  
0
2
2
y

2   4   ( y  2) 2
 8

y3 = 64 → y = 4
2
 42

d    4   (4  2) 2  2 2
 8

3. Jarak yang ditempuh sebuah mobil dalam waktu t diberikan oleh fungsi
S(t) =
1 3
t  3t 2  5t. kecepatan tertinggi mobil itu di capai pada waktu t = …
3
Jawab:
1
s( t )   t 3  3t 2  5t
3
v( t ) 
ds
  t 2  6t  5
dt
v(t) = - 2t + 6
0 = - 2t + 6  t = 3
4. Sebuah pintu berbetuk seperti gambar.
Keliling pintu sama dengan p.
Agar luas pintu maksimum, maka x sama dengan …
Jawab:
keliling = p
x x
y
2x
1
2 x  2 y  x  p
2
2x + 2y + πx = p
2y = p – 2x – πx
x
x
y
2x
1
L  (2x ).y  x 2
2
1
L  (p  2x  x ) x  x 2
2
1
L  px  2x 2  x 2
2
Agar luas maksimum  L (x) = 0
L (x) = p – 4x – πx
0 = p – (4 + π)x
x
p
4
5. Seekor semut merayap pada bidang xoy. Pada saat t ia berada di titik (x(t),y(t) dengan
x(t) dan y(t)=t2-4t + 5. Semut itu akan berjarak minimum ke sumbu x pada saat jarak
semut itu dari sumbu y sama dengan…
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
E. 6
Jawab: C
x(t) = t2  t  x
y(t) = t2 – 4t + 5
semut merayap xoy
y
 x
2
4 x 5
y  x4 x 5
Jarak minimum bila y’ = 0
y'  1 
2
x
0  1
2
x
2
1 
x
x  2 atau x = 4
x = 4  y  4  4 4  5 1
jarak minimum semut ke sumbu x pada saat semut di titik dengan x = 4
LATIHAN SOAL
SOAL PILIHAN GANDA
1. Garis singgung kurva y = (x2 + 2)2 yang melalui titik (1, 9) memotong sumbu Y di titik …
A. (0, 8)
B. (0, 4)
C. (0, –3)
D. (0, –12)
E. (0, –21)
2. Diketahui h adalah garis singgung kurva y = x3 – 4x2 + 2x – 3 pada titik (1, – 4). Titik
potong garis h dengan sumbu X adalah …
A. (–3, 0)
B. (–2, 0)
C. (–1, 0)
D. (– 12 , 0)
E. (– 13 , 0)
3. Jarak yang ditempuh sebuah mobil dalam waktu t diberikan oleh fungsi
s(t) = 14 t 4  32 t 3  6t 2  5t . Kecepatan maksimum mobil tersebut akan tercapai pada saat t
= … detik
A. 6
B. 4
C. 3
D. 2
E. 1
4. Sebuah segitiga dibatasi oleh garis x + 2y = 4, sumbu X dan sumbu Y. Dari sebuah titik
pada garis itu dibuat garis–garis tegak lurus pada sumbu X dan sumbu Y sehingga
membentuk sebuah persegi panjang seperti pada gambar berikut. Luas maksimum
daerah persegi panjang yang diarsir adalah ... satuan luas
A.
1
4
B.
1
2
Y
(x,y
)
C. 1
D. 2
E. 3
X
0
X + 2y = 4
5. Suatu perusahaan memproduksi x unit barang, dengan biaya (4x2 – 8x + 24) dalam ribu
rupiah untuk tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp40.000,00
tiap unit, maka keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah …
A. Rp16.000,00
B. Rp32.000,00
C. Rp48.000,00
D. Rp52.000,00
E. Rp64.000,00
6. Suatu perusahaan menghsilkan x produk dengan biaya sebesar (9000 + 1000x + 10x 2)
rupiah. Jika semua hasil produk perusahaan tersebut habis dijual dengan harga
Rp5.000,00 untuk satu produknya, maka laba maksimum yang dapat diperoleh
perusahaan tersebut adalah …
A. Rp149.000,00
B. Rp249.000,00
C. Rp391.000,00
D. Rp609.000,00
E. Rp757.000,00
7. Selembar karton berbentuk persegi panjang dengan lebar 5 dm dan panjang 8 dm akan
dibuat kotak tanpa tutup. Pada keempat pojok karton dipotong persegi yang sisinya x
dm. ukuran kotak tersebut (panjang, lebar, tinggi) agar volum maksimum berturut–
turut adalah …
A. 10 dm, 7 dm, 1 dm
B. 8 dm, 5 dm, 1 dm
C. 7 dm, 4 dm, 2 dm
D. 7 dm, 4 dm, 1 dm
E. 6 dm, 3 dm, 1 dm
8. Santo ingin membuat sebuah tabung tertutup dari selembar karton dengan volum 16
dm3. Agar luas permukaan tabung minimal, maka jari–jari lingkaran alasnya adalah …
A.
B.
C.
3 4
dm
2
dm

3

4
3

dm
D. 2 3  dm
E. 4 3  dm
9. Koordinat titik maksimum dan minimum dari grafik y = x3 + 3x2 + 4 berturut–turut
adalah …
A. (–2,4) dan (0,3)
B. (0,3) dan (–2,4)
C. (–2,6) dan (0,5)
D. (0,4) dan (–2,8)
E. (–2,8) dan (0,4)
10. Nilai maksimum dari fungsi f(x) =
1
3
x 3  32 x 2  2 x  9 pada interval 0  x  3 adalah …
A. 9 23
B. 9 56
C. 10
D. 10 12
E. 10 23
SOAL ESSAY
1. Tentukan gradien garis singgung pada kurva:
a. y = x2 – 6x di titik (-1,7)
 1
b. y = sin 2x di titik ( ,
2)
2 2
2. Suatu garis singgung pada kurva y = 3 + 2x – x2 sejajar dengan garis 4x + y = 3,
tentukan :
a. Titik singgung
b. persamaan garis singgung
3. Tentukan pada interval mana fungsi berikut merupakan fungsi naik atau fungsi turun.
a. f(x) = x2 – 6x
b. f(x) =
1 3
x + 4x2 – 20x + 2
3
c. f(x) = (x2 -1) (x+1)
4. Tunjukkan bahwa fungsi f(x) = x3 – 6x2 + 12x + 6 tidak pernah turun.
5. Tentukan nilai stasioner dan jenisnya pada fungsi berikut :
a. f(x) = x2 – 6x
b. f(x) = 2x3 – 9x2 + 12x
c. f(x) =
1 4 1 2
x  x
4
2
d. f(x) = x4 – 8x2 -9
( x  1) 2
e. f(x) =
x4