TEORI PELUANG

Lusi Agustin
Ria Ammelia Wahyu
Atiqoh Hani R
131810101004
131810101008
131810101044
Tugas Statistika Matematika
TEORI PELUANG
Percobaan acak menjadi percobaan yang hasilnya tidak dapat diprediksi dengan pasti (dalam
probabilitas dasar).
Misalkan Ω himpunan bilangan-bilangan / sub interval garis real /semua hasil yang mungkin dari
percobaan acak, maka Ω sering disebut ruang hasil (pada teori probabilitas), dan disebut ruang
sampel (pada teori statistik).
Diberikan ruang sampel Ω, ukuran adalah fungsi himpunan yang telah ditetapkan secara pasti
mana yang merupakan himpunan bagian dari Ω yang memenuhi syarat tertentu, yang diberikan
dalam definisi berikut:
Definisi 1.1 Diberikan f himpunan subset ruang sampelΩ. f disebut bidang-σ (atau aljabar-σ)
jika dan hanya jika memenuhi syarat berikut:
(i)
Himpunan kosong Ø ϵ f.
(ii)
Jika A ϵ f, maka komplemennya, Ac ϵ f.
(iii) Jika Ai ϵ f, i=1,2,…, makagabungkannya∪Ai ϵ f.
Sebuah pasangan (Ω, f) terdiri dari himpunan Ω dan bidang-σ f merupakan subsets dari Ω
disebut ruang terukur. Anggota f disebut himpunan terukur dalam teori ukuran atau kejadian di
probabilitas dan statistik.
Menggunakan hukum D’Morgan, didapat: (∩Ai)c = ∪Aic.
Untuk sembarang Ω yang diberikan, ada 2 bidang-σ trivial. Pertama adalah himpunan yang
mengandung 2 anggota pasti, Ø danΩ. Ini kemungkinan terkecil bidang-σ pada Ω. Kedua adalah
himpunan semua subset dari Ω, yang disebut power set dan adalah terbesar bidang-σ padaΩ.
Oleh karena itu,bidang-σ di (1.1) adalah σ ({A}). Perhatikan bahwa σ({A,Ac}), σ({A,Ω}), dan
σ({A, ∅})semua sama dengan σ({A}). Tentu saja, jika C itu sendiri adalah bidang-σ, maka σ(C)
= C.
Biarkan C menjadi kumpulan semua interval terbuka terbatas pada R. Lalu
B = σ(C) disebut Borel σ-bidang. Unsur-unsur dari B disebut Borel
set. The Borel bidang-σ Bk pada ruang Euclidk-dimensi Rk dapat didefinisikan secara sama. Hal
ini dapat menunjukkan bahwa semua interval (terbatas atau tak terbatas), set terbuka, dan set
tertutup adalah himpunan Borel.
Misalkan C⊂Rk menjadi set Borel dan dimisalkankan BC={C ∩B: B∈Bk}. maka
(C, BC) adalah ruang terukur dan BC disebut Borel bidang-σ pada C.
Definisi 1.2. misalkan (Ω,f) menjadi ruang yang terukur. Fungsi set ν didefinisikan
pada f disebut ukuran jika dan hanya jika memiliki syarat berikut:
(i) 0 ≤ ν (A) ≤ ∞ untuk setiap A ∈ F.
(ii) ν (∅) = 0.
(iii) Jika Ai ∈ F, i = 1, 2, ..., dan Ai adalah terpisah, yaitu, Ai ∩ Aj = ∅ untuk setiap i ≠
j, makaν
∞
v(⋃∞
𝑖=1 Ai) = ∑𝑖=1 v(Ai)
Tripel (Ω,F,v) disebut ruang terukur. Jikav(Ω) = 1, maka v disebut ukuran probabilitas dan
(Ω,F,P) disebut ruang probabilitas.
Terkadang ukuran bisa menjadi sangat abstrak, walaupun ukuran adalah perpanjangan panjang,
∞A ∈ F, A ≠ ∅
luas atau volume. Contohnya
v(A) = {
(1.2)
0
𝐴= ∅
Jika Ω adalah dihitung dalam arti bahwa ada satu-ke-satu korespondensi antara Ω dan himpunan
semua bilangan bulat, maka kita biasanya dapat mempertimbangkan σ-bidang trivial yang berisi
semua himpunan bagian dari Ω dan ukuran yang memberikan suatu Nilai setiap bagian dari Ω.
Ketika Ω adalah terhitung (misalnya, Ω = R atau [0,1]), Tidak mungkin untuk menentukan
ukuran yang wajar untuk setiap subset dari Ω.
Proposisi 1.1 Misal (Ω,F,v)menjadi ruang terukur.
(i)
Monotonisitas. Jika A ⊂ B, maka v(A) ≤ v(B).
(ii)
Subadditifitas. Untuk barisanA1,A2, …,
∞
v(⋃∞
𝑖=1 Ai)≤∑𝑖=1 v(Ai)
(iii)
Kontinuitas. Jika A1⊂A2⊂A3⊂・・・(or A1⊃A2⊃A3⊃・・・and ν(A1) <∞),
maka v (lim𝑛→∞ An) = lim𝑛→∞ v(An), dimana lim𝑛→∞ An = ⋃∞
𝑖=1 Ai (𝑜𝑟 =
∞
).
⋂𝑖=1 Ai
Ada korespondensi satu-satu diantara himpunan semua ukuran probabilitas pada (R,B) dan
sebuah fungsi pada R. Misal P adalah ukuran probabilitas. Fungsi distribusi kumulatif (c.d.f) dari
P didefinisikan F(x) = P ((−∞, x]) , x ∈ R.
(1.4)
Proposisi 1.2 (i) Misal F(c.d.f.) pada R. Maka
(a) F(−∞) = limx→−∞F(x) = 0;
(b) F(∞) = lim x→−∞F(x) = 1;
(c) F tidak meningkat F(x) ≤ F(y) if x ≤ y;
(d) F is kontinu, limy→x,y>x F(y) = F(x).
(ii) Misalkan fungsi F bernilai real pada memenuhi R (a) - (d) di bagian (i).
Maka F adalah(c.d.f.)dariukuranprobabilitas yang unikpada (R, B).
Proposisi 1.3 (Mengukur Hasil kali teorema) diberikan (Ω𝑖 , 𝐹𝑖 , 𝑉𝑖 )𝑖 = 1 … , 𝑘, menjadi ruang
ukuran dengan langkah-langkah σ- menghitung terbatas , di mana k ≥2 adalah bilangan bulat.
Kemudian terdapat σ- terbatas ukuran yang tunggal pada hasil kali σ-field (𝐹1 × … .× 𝐹𝑘 ), yang
disebut ukuran produk dan dilambangkan dengan 𝑉1 × … .× 𝑉𝑘 , sehingga
𝑉1 × … × 𝑉𝑘 (𝐴1 × … × 𝐴𝑘 ) = 𝑉1 (𝐴1 ) … 𝑉𝑘 (𝐴𝑘 )
Untuk semua 𝐴𝑖 ∈ 𝐹𝑖 , 𝑖 = 1, … 𝑘.
Di 𝑅 2 , ada ukuran yang tunggal, hasil ukuran m × m, dimana m × m ([𝑎1 , 𝑏1 ] × [𝑎2 , 𝑏2 ]) adalah
sama dengan nilai yang diberikan oleh (1,5). langkah ini disebut ukuran Lebesgue pada (𝑅 2 , 𝐵 2).
The Lebesgue mengukur pada (𝑅 3 , 𝐵 3) adalah m × m × m, yang sama dengan volume biasa
untuk subset dari bentuk [𝑎1 , 𝑏1 ] × [𝑎2 , 𝑏2 ] × [𝑎3 , 𝑏3 ]. The Lebesgue mengukur pada (𝑅 𝑘 , 𝐵 𝑘 )
untuk setiap bilangan bulat positif k adalah sama.
Konsep
c.d.f.
dapat
diperpanjang
untuk 𝑅 𝑘 .
Misalkan
P
𝑘
𝑘
Teori 6 1. Probabilitas mengukur pada (𝑅 , 𝐵 ). c.d.f. dari P, didefinisikan oleh :
F(𝑥1 ,..., 𝑥𝑘 ) = P ((−∞,𝑥1 ]×···×(−∞,𝑥𝑘 ]), 𝑥𝑖 ∈R.
probabilitas
(1.6)
ada korespondensi satu-ke-satu antara ukuran probabilitas dan sendi cdf di 𝑅 𝑘 . Beberapa properti
dari c.d.f.
𝐹𝑖 (𝑥) =lim𝑥𝑗→∞,𝑗=1,…𝑖−1,𝑖+1,…𝑘 𝐹(𝑥1 , … 𝑥𝑖 − 1, 𝑥, 𝑥𝑖 + 1, … 𝑥𝑘 )
disebut c.d.f. marjinal i Rupanya, c.d.f’s marjinal yang ditentukan oleh cdf bersama mereka Tapi
c.d.f. bersama tidak dapat ditentukan oleh k marjinal c.d.f’s itu. Ada satu yang istimewa, tapi
yang penting kasus di mana seorang c.d.f bersama F ditentukan oleh k c.d.f. marjinal Melalui
𝐹𝑖 ′𝑠
𝐹(𝑥1 ,..., 𝑥𝑘 ) = 𝐹1 (𝑥1 ) ··· 𝐹𝑘 (𝑥𝑘 ), (𝑥1 ,..., 𝑥𝑘 ) ∈ 𝑅 𝑘 ,
(1.7)
Proposisi 1.3 dapat diperluas untuk kasus yang melibatkan jauh lebih banyak-langkah ruang
yakin (Billingsley, 1986). Secara khusus, jika (𝑅 𝑘 , 𝐵 𝑘 , 𝑃𝑖 ), i = 1,2, ..., adalah ruang probabilitas,
𝑘
𝑘
maka ada P ukuran probabilitas produk pada∏∞
𝑖=1(𝑅 , 𝐵 ) sehingga untuk setiap bilangan bulat
positif 𝑙 𝑑𝑎𝑛 𝐵𝑖 ∈ 𝐵 𝑘 , 𝑖 = 1, … , 𝑙 ,
𝑃(𝐵1 × … × 𝐵𝑙 × 𝑅 𝑘 × 𝑅 𝑘 × … ) = 𝑃1 (𝐵1 ) … 𝑃𝑙 (𝐵𝑙 )
1.1.2 fungsi terukur dan distribusi
Sejak Ω bisa sewenang-wenang, untuk mempertimbangkan fungsi (Mapping) f dari Ω ke Λ
ruang sederhana (sering Λ = 𝑅 𝑘 ). Biarkan B ⊂ Λ. Kemudian gambar invers dari B di bawah f
adalah
𝑓 −1 (𝐵) = {𝑓 ∈ 𝐵} = {𝜔 ∈ Ω ∶ 𝑓(𝜔) ∈ 𝐵}.
Fungsi invers 𝑓 −1 kebutuhan tidak ada untuk 𝑓 −1 (B) didefinisikan untuk memverifikasi sifat
sebagai berikut:
a) 𝑓 −1 (𝐵 𝑐 ) = (𝑓 −1 (𝐵))𝑐 untuk setiap B ⊂ Λ;
b) 𝑓 −1 (∪𝐵𝑖 ) = ∪𝑓 −1 (𝐵𝑖 ) untuk setiap 𝐵𝑖 ⊂ 𝛬, 𝑖 = 1,2, . . ..
Diberikan C subset himpunan dari Λ
𝑓 −1 (C) = {𝑓 −1 (𝐶) ∶ 𝐶 ∈ 𝐶}.
Definisi 1.3. diberikan (Ω, F) dan (Λ, G) menjadi ruang terukur dan f sebuah Fungsi dari Ω
untuk Λ. Fungsi f disebut fungsi terukur dari (Ω, F) ke (Λ, G) jika dan hanya jika 𝑓 −1 (G) ⊂ F.
Jika Λ = R dan G = B (Borel σ-field), maka f dikatakan Borel terukur atau disebut fungsi Borel
pada (Ω, F) (atau sehubungan dengan F). Dalam teori peluang fungsi terukur disebut elemen
acak dan dilambangkan oleh salah satu X, Y, Z, .... Jika X diukur dari (Ω, F) untuk (R, B), maka
disebut sebagai variabel acak; jika X diukur dari (Ω, F) ke (𝑅 𝑘 , 𝐵 𝑘 ,), maka disebut k-vektor
acak. Jika 𝑋1, ..., 𝑋𝑘 adalah variabel acak yang didefinisikan pada ruang peluang umum, maka
vector (𝑋1, ..., 𝑋𝑘 ) adalah k-vektor acak. (Sebagai konvensi notasi, vektor setiap c ∈ 𝑅 𝑘
dinotasikan dengan (𝑐1, ..., 𝑐𝑘 ,), di mana 𝑐𝑖 , adalah komponen i dari c.)
Jika f diukur dari (Ω, F) ke (Λ, G), maka 𝑓 −1 (G) adalah sub-σ-bidang F (verifikasi). Hal ini
disebut σ-bidang yang dihasilkan oleh f dan dinotasikan dengan σ (f).
Secara umum, σ (X) adalah antara sepele σ-bidang {∅, Ω} dan F, dan
berisi lebih subset jika X lebih rumit. Untuk fungsi sederhana IA, kami telah menunjukkan
bahwa σ (IA) hanya empat elemen. Kelas fungsi sederhana diperoleh dengan mengambil
kombinasi linear. indikator himpunan terukur, yaitu,
𝜑(𝜔) = ∑𝑘𝑖=1 𝑎𝑖 𝐼𝐴𝑖 (𝜔)
(1.8)
di mana 𝐴1 , … , 𝐴𝑘 adalah set terukur pada Ω dan 𝑎1 , . . . , 𝑎𝑘 adalah bilangan real. Satu dapat
menunjukkan secara langsung bahwa fungsi tersebut adalah fungsi Borel, Dari Proposisi 1.4.
Misalkan 𝐴1 , … , 𝐴𝑘 menjadi partisi Ω, yaitu, 𝐴𝑖 ′𝑠 yang saling lepas dan 𝐴1 ∪ … . .∪ 𝐴𝑘 = 𝛺.
Maka fungsi sederhana 𝜑 diberikan oleh (1,8) dengan berbeda ai 's persis ciri partisi ini dan σ
(𝜑) = σ ({𝐴1 , … , 𝐴𝑘 }).
Proposisi 1.4. Biarkan (Ω, F) menjadi ruang terukur.
i. 𝑓 adalah Borel jika dan hanya jika 𝑓 −1 (𝑎, ∞) ∈ 𝐹 untuk semua 𝑎 ∈ 𝑅.
ii. Jika 𝑓 dan 𝑔 adalah Borel, maka begitu juga fg dan 𝑎𝑓 + 𝑏𝑔, di mana 𝑎 dan 𝑏 adalah real
nomor; juga, 𝑓 / 𝑔 yaitu Borel disediakan 𝑔 (𝜔) 6 = 0 untuk setiap 𝛺 𝜔 ∈.
iii. Jika 𝑓1 , 𝑓2 , . .. adalah Borel, maka begitu juga supn fn, infn fn, lim supn fn, dan Lim infn fn.
Selain itu, himpunan
𝐴 = {𝜔 ∈ Ω: lim𝑛→∞ 𝑓𝑛 (𝜔)𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑠}
Merupakan kejadian dari fungsi Borel
lim𝑛→∞ 𝑓𝑛 (𝜔) 𝜔 ∈ 𝐴
ℎ(𝜔) = {
𝑓1 (𝜔)
𝜔 𝑏𝑢𝑘𝑎𝑛 ∈ 𝐴
iv. Misalkan f diukur dari (Ω, F) ke (Λ, G) dan g diukur dari (Λ, G) ke (Δ, H). Maka fungsi g◦f
komposit dapat diukur dari (Ω, F) ke (Δ, H).
v. Mari Ω menjadi set Borel dalam R p. Jika f adalah fungsi kontinu dari Ω ke 𝑅 𝑞 , maka f
dapat diukur.
Proposisi 1.4 menunjukkan bahwa ada banyak fungsi Borel. Faktanya, sulit untuk menemukan
fungsi non-Borel. Hasil berikut ini sangat berguna dalam bukti teknis. Biarkan f menjadi non
Fungsi Borel negatif pada (Ω, F). Maka terdapat urutan sederhana fungsi {φ n} memuaskan 0 ≤
φ 1 ≤ φ 2 ≤ ≤ f ··· dan lim n → ∞ φ n = f Biarkan (Ω, F, ν) menjadi ruang ukuran dan f menjadi
fungsi terukur dari (Ω, F) ke (Λ, G). Ukuran disebabkan oleh f, dinotasikan dengan ν◦f -1, adalah
ukuran pada G didefinisikan sebagai
Jika ν = P adalah ukuran probabilitas dan X adalah variabel random atau vektor acak, maka P ◦X
-1 disebut hukum atau distribusi X dan dilambangkan dengan P X. C.d.f. The P X didefinisikan
oleh (1.4) atau (1.6) disebut juga c.d.f. yang atau c.d.f. bersama X dan dilambangkan dengan F
X. Di sisi lain, untuk c.d.f. setiap atau c.d.f. bersama F, terdapat setidaknya satu variabel acak
atau vektor (biasanya ada banyak) didefinisikan pada beberapa ruang probabilitas untuk berikut
ini yang FX = F. adalah beberapa contoh variabel acak dan c.d.