GANDA SKALAR DUA VEKTOR ALJABAR VEKTOR PADA GANDA

GANDA SKALAR DUA VEKTOR
A
Ganda skalar vektor A dengan vektor B
|A|
θ
disimbolisir dengan A . B didefinisikan
sebagai hasil kali panjang vektor A
dengan panjang vektor B dikalikan dengan
B
|B|
cos θ (sudut antara vektor A dan vektor B)
A . B = |A| |B| cos θ
A . B = |A| |B| cos θ
7
= 7 x 8 x cos 65
= 56 x 0.4226 = 23.6666
65o B
8
ANALISIS VEKTOR
Silahkan KLIK KIRI
Hal 1 dari 14
ALJABAR VEKTOR PADA GANDA SKALAR
1. A . B = B . A
Hukum Komutatif
2. A . (B + C) = A . B + A . C
Hukum Distributif
3. m (A . B) = (m A) . B = A . (m B) = (A . B) m
m skalar
4. i . i = j . j = k . k = 1
cos 0o = 1
cos 90o = 0
i.j = j.k = k.i =0
5. A = A1 i + A2 j + A3 k
A . B = A1 B1 + A2 B2 + A3 B3
B = B 1 i + B2 j + B3 k
A . A = A1 A1 + A2 A2 + A3 A3
= A12 + A22 + A32
B . B = B1 B1 + B2 B2 + B 3 B3
= B12 + B22 + B32
6. A ≠ 0 B ≠ 0 dan A
ANALISIS VEKTOR
┴B
maka A . B = 0
Hal 2 dari 14
Hal 1 dari 7
GANDA VEKTOR DUA VEKTOR
|A|
A
Ganda vektor antara vektor A
dengan vektor B ditulis C = A X B
Panjang vektor C = A X B adalah
|C|
C
panjang vektor A dikalikan panjang vektor B
B
θ
dikalikan sin θ (sudut antara vektor A
dan vektor B)
|B|
|C| = |A| |B| sin θ
Arah vektor C tegak lurus bidang yang
dibentuk vektor A dan vektor B
Apabila A = B atau vektor A sejajar dengan vektor B maka A X B = 0
Mengapa demikian ?
ANALISIS VEKTOR
Hal 3 dari 14
ALJABAR VEKTOR PADA GANDA VEKTOR
1. A X B = -B X A
Hukum Komutatif
2. A X (B + C) = A X B + A X C
Hukum Distributif
3. m (A X B) = (m A) X B = A X (m B) = (A X B) m
m skalar
4. i X i = j X j = k X k = 0
sin 0o = 0
i Xj =k
j
k =i
5. A = A1 i+ A2 j + A3 k
B = B1 i+ B2 j + B3 k
k
i
A X B  A1
B1
6. A ≠ 0 B ≠ 0 dan A // B maka
ANALISIS VEKTOR
sin 90o = 1
i =j
j
A2
B2
k
A3
B3
AXB = 0
Hal 4 dari 14
Hal 2 dari 7
GANDA TIGA VEKTOR
Ganda skalar dan ganda vektor tiga buah vektor A, B dan C yang
disajikan dalam bentuk (A . B) C; A . (B X C) dan A X (B X C)
memenuhi sifat-sifat :
|A||B| cos θ |C|
A
1. (A . B) C ≠ A (B . C)
|A|
(A . B) C
θ
B
C |C|
|B|
|B||C| cos φ |A|
A (B . C)
|A|
C
φ
A
|C|
B
|B|
ANALISIS VEKTOR
Hal 5 dari 14
2. A . (B X C) = B . (C X A) = C . (A X B)
B
A
AXB
|A X B|
A
B
A
CXA
B
ANALISIS VEKTOR
Hal 6 dari 14
Hal 3 dari 7
Bukti A . (B X C) = B . (C X A)
A = A1 i + A2 j + A3 k
B = B1 i + B2 j + B3 k
C = C 1 i + C2 j + C 3 k
i
j
B x C  B1 B 2
C1 C 2
k
B3 = (B2 C3 – B3 C2) i + (B3 C1 – B1 C3) j + (B1 C2 – B2 C1) k
C3
A . (B X C) =
(A1 i + A2 j + A3 k) . ((B2 C3 – B3 C2) i + (B3 C1 – B1 C3) j + (B1 C2 – B2 C1) k)
= A1 B2 C3 – A1 B3 C2 + A2 B3 C1 – A2 B1 C3 + A3 B1 C2 – A3 B2 C1
ANALISIS VEKTOR
i
j
C x A  C1 C 2
A1 A 2
Hal 7 dari 14
k
C3 = (C2 A3 – C3 A2) i + (C3 A1 – C1 A3) j + (C1 A2 – C2 A1) k
A3
B . (C x A) =
(B1 i + B2 j + B3 k) . ((C2 A3 – C3 A2) i + (C3 A1 – C1 A3) j + (C1 A2 – C2 A1) k)
= B1 C2 A3 – B1 C3 A2 + B2 C3 A1 – B2 C1 A3 + B3 C1 A2 – B3 C2 A1
= A1 B2 C3 – A1 B3 C2 + A2 B3 C1 – A2 B1 C3 + A3 B1 C2 – A3 B2 C1
= (A1 i + A2 j + A3 k) . ((B2 C3 – B3 C2) i + (B3 C1 – B1 C3) j + (B1 C2 – B2 C1) k)
= A . (B X C)
ANALISIS VEKTOR
Hal 8 dari 14
Hal 4 dari 7
A . (B X C) menyatakan volume (atau
minus volume) paralel epipedum dengan
rusuk-rusuk vektor A , vektor B
dan vektor C
A
Apabila A = A1 i + A2 j + A3 k
B
B = B1 i + B2 j + B3 k
C = C1 i + C2 j + C3 k
maka
A1 A 2
A .( B C )  B1 B 2
C1 C 2
A3
B3
C3
Pergandaan A . (B x C) disebut tripel ganda skalar atau box product
A . (B x C) biasa pula ditulis sebagai A . B x C
ANALISIS VEKTOR
3. A X (B X C) ≠ (A X B) X C
Hal 9 dari 14
A
C
C
A
A
ANALISIS VEKTOR
C
Hal 10 dari 14
Hal 5 dari 7
A
B
4. A x (B x C) = (A . C) B - (A . B) C
C
B
A x (B x C)
C
(A . B) C
-(A . B) C
(A . C) B
(A . C) B - (A . B) C
(A . C) B
ANALISIS VEKTOR
Hal 11 dari 14
(A X B) X C = (A . C) B - (B . C) A
A = A1 i + A2 j + A3 k
B = B1 i + B2 j + B3 k
C = C1 i + C2 j + C 3 k
i
j
A x B  A1 A 2
B1 B 2
k
A 3 = (A2 B3 – A3 B2) i + (A3 B1 – A1 B3) j + (A1 B2 – A2 B1) k
B3
i
( A x B ) x C  A 2B3  A 3B 2
C1
j
A 3B1  A1B3
C2
k
A1B 2  A 2B1
C3
= (A3 B1 – A1 B3) C3 i + (A1 B2 – A2 B1) C1 j + (A2 B3 – A3 B2) C2 k –
(A1 B2 – A2 B1) C2 i - (A2 B3 – A3 B2) C3 j - (A3 B1 – A1 B3) C1 k
ANALISIS VEKTOR
Hal 12 dari 14
Hal 6 dari 7
= (A3 B1 C3 – A1 B3 C3 - A1 B2 C2 + A2 B1 C2) i
+ (A1 B2 C1 – A2 B1 C1 - A2 B3 C3 + A3 B2 C3) j
+ (A2 B3 C2 – A3 B2 C2 - A3 B1 C1 – A1 B3 C1) k
(A . C) B = (A1 C1 + A2 C2 + A3 C3) (B1 i + B2 j + B3 k)
= (A1 C1 B1 + A2 C2 B1 + A3 C3 B1) i + (A1 C1 B2 + A2 C2 B2 + A3 C3 B2) j
+ (A1 C1 B3 + A2 C2 B3 + A3 C3 B3) k
(B . C) A = (B1 C1 + B2 C2 + B3 C3) (A1 i + A2 j + A3 k)
= (B1 C1 A1 + B2 C2 A1 + B3 C3 A1) i + (B1 C1 A2 + B2 C2 A2 + B3 C3 A2) j
+ (B1 C1 A3 + B2 C2 A3 + B3 C3 A3) k
ANALISIS VEKTOR
Hal 13 dari 14
(A . C) B - (B . C) A =
(A1 C1 B1 + A2 C2 B1 + A3 C3 B1) i - (B1 C1 A1 + B2 C2 A1 + B3 C3 A1) i +
(A1 C1 B2 + A2 C2 B2 + A3 C3 B2) j - (B1 C1 A2 + B2 C2 A2 + B3 C3 A2) j +
(A1 C1 B3 + A2 C2 B3 + A3 C3 B3) k - (B1 C1 A3 + B2 C2 A3 + B3 C3 A3) k
= (A3 B1 C3 – A1 B3 C3 - A1 B2 C2 + A2 B1 C2) i
+ (A1 B2 C1 – A2 B1 C1 - A2 B3 C3 + A3 B2 C3) j
+ (A2 B3 C2 – A3 B2 C2 - A3 B1 C1 – A1 B3 C1) k
= AxBxC
A x (B x C) biasa disebut vector triple product
ANALISIS VEKTOR
Hal 14 dari 14
Hal 7 dari 7