1 Deret Fourier dan Transformasi Fourier

Deret Fourier dan Transformasi
Fourier
Fungsi Periodik
Koefisien Fourier
Deret Fourier Fungsi Genap dan Fungsi
Ganjil
Perluasan Fungsi
Deret Fourier Kompleks
Integral Fourier
Transformasi Fourier
Sifat Transformasi Fourier
Rabu, 30 Agustus 2006
Variabel Kompleks (MA 1223)
XII / 1
Fungsi Periodik # 1
• Fungsi f(t) : fungsi periodik bila ada bilangan
p ? R + , sehingga berlaku f(t+p) = f(t) untuk
setiap t ? D f .
• p terkecil disebut periode dari f
• Jumlah fungsi periodik merupakan fungsi
periodik. Misal f 1(t), f 2(t), f 3(t),…., f n(t) : fungsi
periodik dengan periode p1, p2,…, pn, maka
f(t ) = f 1(t) + f 2(t) + f 3(t) +….+ f n(t) fungsi periodik
dengan periode p = Kelipatan Persekutuan
Terkecil (KPK ) dari p1, p2, …, pn.
Rabu, 30 Agustus 2006
Variabel Kompleks (MA 1223)
XII / 2
Fungsi Periodik # 2
•
•
•
•
Fungsi y = sin x ? p = 2 ?
•
Fungsi y = sin 2x ? p = ?
Fungsi y = sin (nx) ? p = 2 ?/n •
•
Rabu, 30 Agustus 2006
Fungsi y = cos (nx) ? p = 2 ?/n
Fungsi y = tan (x) ? p = ?
Fungsi y = tan (nx) ? p = ?/n
Fungsi y = tan (3x) + sin(5x) ? p =
Variabel Kompleks (MA 1223)
XII / 3
1
Fungsi Periodik # 3
?? t ; ? 2 ? t ? 0
f ( t) ? ?
;0 ? t ? 2
?t
Fungsi f(t) dipandang periodik dengan periode
p = 4.Gambarkan f(t ) pada interval [ -6,6]
-6
-4
2
-2
4
6
Variabel Kompleks (MA 1223)
Rabu, 30 Agustus 2006
XII / 4
Soal Latihan
1.
Apakah fungsi berikut periodik ? Bila y a, tentukan
periodenya.
a)
b)
c)
d)
e)
2.
f(t) = cos 6 t
f(t) = 5 sin ( 2t + ? ) - 2
f(t) = sin 2 t + cos t
f(t) = tan 4t + 2 cos (t + ?/3 ) - 3cot ( ½t - ?)
f(t) = sin 2 t + cos 4 t
Gambarkan grafik dari fungsi berikut yang dipandang
periodik dengan periode diketahui
; 0 ? t ? 3
?1
a )f (t ) ? ?
;p ? 6
?? 1 ; ? 3 ? t ? 0
?2t ? 1 ; 0 ? t ? 2
b ) f ( t) ? ?
; f ( t ? 4 ) ? f ( t)
;? 2 ? t ? 0
?1
Variabel Kompleks (MA 1223)
Rabu, 30 Agustus 2006
XII / 5
Fungsi Kontinu Bagian demi Bagian
Fungsi f(t) disebut fungsi kontinu bagian demi
bagian pada interval [a,b] bila dipenuhi :
• Interval [ a,b ] dapat dibagi menjadi sebanyak
hingga sub interval sehingga f(t) kontinu pada
sub interval tersebut.
• Limit dari f(t) pada setiap ujung dari sub interval
adalah berhingga.
a
c
Rabu, 30 Agustus 2006
b
Variabel Kompleks (MA 1223)
XII / 6
2
Koefisien Fourier # 1
•
•
•
•
Fungsi f(t) didefinisikan pada (0 ,2 L),
periodik dengan periode 2L,
kontinu bagian demi bagian,
Deret Fourier dari f(t) didefinisikan :
f(t) ?
? ?
a0
? nt
? nt ?
? ? ? an cos
? bn sin
?
2
L
L ?
n? 1 ?
a0 ?
1 2L
f ( t)dt
L ?
? Koefisien
?
? Fourier
? dari f ( t )
?
0
1 2L
?n t
an ?
f (t ) cos
dt
L ?
L
0
bn ?
1 2L
? nt
f ( t) sin
dt
L ?
L
0
Variabel Kompleks (MA 1223)
Rabu, 30 Agustus 2006
XII / 7
Koefisien Fourier # 2
? 1 ;0? t? ? / 2
f (t ) ? ?
? 0 ;? / 2? t ? 2?
a0 ?
f( t + 2?) = f(t )
?
1 2?
1 2
1 2?
f ( t) dt ? ? dt ? ?0 dt
? ?
?
??
0
1
an ?
?
?
0
?
?
1 2
dt
? ?
2
=½
0
? ?
?
1
sin n ?
?cos nt dt ? n ? sin nt 0 2 ? n ? 2
0
2
?
1 2
sin nt dt
? ?
bn ?
? f(t) periodik dengan p = 2?
?
?1
n?
?
cos nt 2 ? ? 1 cos n? ? 1
2
0
n?
?
?
0
Deret Fourier dari f(t) = ?
n
1
2
3
4
5
an
bn
1/?
1/?
0
1/?
-1/3? 1/3?
0
0
1/5? 1/5?
Variabel Kompleks (MA 1223)
Rabu, 30 Agustus 2006
XII / 8
Koefisien Fourier # 3
? 1 ;0? t? ? / 2
f ( t) ? ?
? 0 ;? / 2 ? t? 2 ?
f( t + 2?) = f(t )
Deret Fourier dari f(t) dituliskan berikut :
f (t ) ?
?
a0
2
?
? nt
?n t ?
? ? ?? an cos
? b n sin
?
L
L ?
n? 1 ?
? ?
dengan L = ?
? ?
?
1 ? cos n? 2
1 ? ?sin n? 2
? ? ?
cos nt ?
sin nt ?
4 n? 1? n ?
n?
?
?
?
a0 = ½
an ?
bn ?
Rabu, 30 Agustus 2006
Variabel Kompleks (MA 1223)
? ?
sin n ? 2
n?
? ?
1? cos n? 2
n?
XII / 9
3
Koefisien Fourier # 4
•
•
•
•
Fungsi f(t) didefinisikan pada (-L , L),
periodik dengan periode 2L,
kontinu bagian demi bagian,
Deret Fourier dari f(t) didefinisikan :
f(t) ?
? ?
a0
? nt
? nt ?
? ? ? an cos
? bn sin
?
2
L
L ?
n? 1 ?
a0 ?
1 L
f ( t) dt
L ?
an ?
1 L
? nt
f (t )cos
dt
L ?
L
?L
bn ?
?L
1 L
?nt
? f ( t ) sin L dt
L ?L
? Koefisien
?
? Fourier
? dari f ( t )
?
Variabel Kompleks (MA 1223)
Rabu, 30 Agustus 2006
XII / 10
Koefisien Fourier # 5
f (t ) ? t ? 1 ; ? ? ? t ? ?
a0 ?
an ?
??
1 ?
?
??
? f(t) periodik dengan p = 2?
f( t + 2?) = f(t )
1 ?
1 ?
f ( t)dt ?
?t ? 1?dt
? ?
? ?
1 ?
?
1?1 2
? ?
? t ?t?
?
? ?? 2
?? ?
?
=2
?
?
??
?
Integral Parsial :
u = t + 1 ? du = dt dan
dv = cos nt dt ? v = 1/n sin nt
? ?t ? 1?cos n t d t ? n? ???t ? 1?sin nt ? ? ? ?sin nt dt??
?
??
cos nt ?
u = t + 1 ? du = dt dan
? 2
?0
dv = sin nt dt ? v = -1/n cos nt
n ? ??
?
?
1 ?
bn ?
?
??t ? 1?sin nt dt
??
?
?
1
?
?? ?t ? 1? cos nt
? cos nt dt?
n? ?
?? ?
??
?
??
?
1 ?
sin nt ? ?
?? ?? ? 1?cos n? ? ?? ? ? 1?cos n? ? ? n ? ? ?
n? ??
?
?
? 2 cos n?
n
Rabu, 30 Agustus 2006
b
?u dv
a
n
1
2
? uv
b
a
?
b
? v du
a
bn
3
4
5
Variabel Kompleks (MA 1223)
XII / 11
Soal Latihan
1.
Fungsi berikut dipandang periodik dengan periode
2? . Gambar grafik dan perderetkan dalam deret
Fourier
?t
; ?1 2 ? t ? 1 2
?
f(t ) ? ?
3
??1 ? t ; 1 2 ? t ?
2
2. Tentukan deret Fourier dari fungsi periodik dengan
periode p = 2L, sket grafik f(t) dan jumlah partial
deret untuk n = 3, bila :
a) f(t) = 2t, 0 < t < 2 ? , L = ?
b) f(t) = cos ?t ( 0 < t < 1 ) ; L = ½
Rabu, 30 Agustus 2006
Variabel Kompleks (MA 1223)
XII / 12
4
DF Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil # 1
•
•
Fungsi f(t) disebut fungsi genap bila berlaku f(-t) = f(t)
untuk setiap t ? D f dan
Fungsi f(t) disebut fungsi ganjil bila berlaku f(-t) = -f(t)
untuk setiap t ? D f.
Sifat :
• Grafik fungsi genap, y = f(t) simetris terhadap sumbu Y
• Grafik fungsi ganjil, y = f(t) simetris terhadap titik pusat
salib sumbu.
• Hasilkali dua fungsi genap ? fungsi genap
• Hasilkali dua fungsi ganjil ? fungsi genap
• Hasilkali fungsi genap dan fungsi ganjil ? fungsi ganjil.
Variabel Kompleks (MA 1223)
Rabu, 30 Agustus 2006
XII / 13
DF Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil # 2
Y
-a
a
0
a
?f ( t)dt ? 0
f(t) fungsi ganjil ?
a
a
?a
? f (t )d t ? 2 ?f ( t) d t
f(t) fungsi genap ?
?a
sin t ? fungsi ganjil dan cos t ? fungsi genap
Y
-a
a
f(t)
f(t) sin t
f(t) cos t
Genap
Ganjil
Genap
Ganjil
Genap
Ganjil
L
L
?L
?L
? f ( t) sin t dt ? 0 ? ? f ( t) cos t dt
Variabel Kompleks (MA 1223)
Rabu, 30 Agustus 2006
XII / 14
DF Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil # 3
• f(t) fungsi genap terdefinisi pada ( -L,L )
• kontinu bagian demi bagian dan
• periodik dengan periode p = 2L
bn ?
1 L
n? t
f ( t ) sin
dt ? 0
L ?
L
?L
f( t) ?
f(t) ?
a0
2
DF Cosinus
?
n? t
? ? an cos
L
n?1
? ?
a0
?nt
?nt ?
? ? ? a n cos
? b n sin
?
2
L
L ?
n?1 ?
Rabu, 30 Agustus 2006
Variabel Kompleks (MA 1223)
XII / 15
5
DF Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil # 3
• f(t) fungsi ganjil terdefinisi pada ( -L,L )
• kontinu bagian demi bagian dan
• periodik dengan periode p = 2L
a0 ?
1 L
f ( t ) dt ? 0
L ?
an ?
1 L
n? t
f ( t) cos
dt ? 0
L ?
L
?L
DF Sinus
?L
?
f (t ) ?
?
n ?1
f(t) ?
b n sin
a0
n? t
L
? ?
?nt
?nt ?
? ? ? an cos
? b n sin
?
L
L ?
n?1 ?
2
Variabel Kompleks (MA 1223)
Rabu, 30 Agustus 2006
XII / 16
DF Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil # 4
?2
;0 ? t ? 3
f(t + 6) = f(t)
(1). f ( t ) ? ?
? ? 2 ;? 3 ? t ? 0
1 3
n?t
f ( t ) sin
dt
3 ?
3
bn ?
Ganjil
2
?3
n ?t
1 0
n? t
2 sin
d t ? ? ? 2 sin
dt
3?
3
3
3
13
?
?
3
-2
?
?
f (t) ?
n? 1
?
?
?3
0
-3
?
4
n? t
?1 ? cosn? ?sin
n?
3
8
? ?2n ? 1?? sin
n? 1
?2
n? t 3 2
n? t 0
cos
?
cos
n?
3 0 n?
3 ?3
?2
?cos n ? ? 1??
n?
2
n?
?1 ? cos n ? ?
4
?
?1 ? cos n? ?
n?
?2n ? 1?? t
23
n? t
2 sin
dt
3?
3
3
bn ?
0
Variabel Kompleks (MA 1223)
Rabu, 30 Agustus 2006
XII / 17
DF Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil # 5
?t
;0 ? t ? ?
(2 ). f (t ) ? ?
?? t ? 2 ? ; ? ? t ? 2?
f(t + 2 ? ) = f(t )
?
-?
f ( t) ?
?
2?
?
an ?
? 2
?
?
?cos n? ? 1?cos n t
2 ? n2 ?
n? 1
? ?
?4
? ? ?
cos ?2n ? 1?t
2 n ? 1 ?2n ? 1?2 ?
Rabu, 30 Agustus 2006
?
Variabel Kompleks (MA 1223)
2?
f (t ) d t
? ?
0
0
Genap
-2?
1 2?
f ( t) d t
? ?
a0 ?
2?
?
?t dt = ?
0
2?
t cos n t d t
? ?
0
?
2 ?
? ?
?t sin nt ? ?sin nt dt ?
n? ?
0
?
0
?
?
?
2
?
n2 ?
?
cos nt
2
n2 ?
?
0
?cos n? ? 1?
XII / 18
6
Soal Latihan
1.
Selidiki apakah fungsi berikut genap, ganjil atau
tidak keduanya
a)
f(t) = t( 1 - t ) , 0 < t < 1 , p = 1.
b)
? cos t ; 0 ? t ? p
f ( t) ? ?
; f ( t ? 2p ) ? f (t )
; p ? t ? 2p
?0
2. Diketahui f(t) periodik dengan periode 2 ditentukan
oleh f(t) = t ( t + 1 ) untuk -1 < t < 1. Tentukan
deret Fourier f(t).
3. Fungsi f(t) berikut dipandang periodik dengan
periode 2? . Tentukan Deret Fourier.
;? p ? t ? 0
?t
f ( t) ? ?
?? t ; 0 ? t ? p
Variabel Kompleks (MA 1223)
Rabu, 30 Agustus 2006
XII / 19
Perluasan Fungsi # 1
Misal fungsi f(t) terdefinisi pada 0 ? t ? L
f(t ) : fungsi Genap terdefinisi pada
(-L,L)
-L
L
bn = 0
a0 ?
f(t ) ?
a0
2
?
? ?
n? 1
2L
f ( t )dt
L?
an ?
0
a n cos
2L
n? t
f ( t )cos
dt
L?
L
0
n?
t
L
Disebut DF Cosinus dari f(t )
Variabel Kompleks (MA 1223)
Rabu, 30 Agustus 2006
XII / 20
Perluasan Fungsi # 2
Misal fungsi f(t) terdefinisi pada 0 ? t ? L
f(t ) : fungsi Ganjil terdefinisi pada
(-L,L)
-L
L
a0 = 0 dan an = 0
bn ?
f( t ) ?
?
? b n sin
n? 1
n? t
2L
f ( t ) sin
dt
L?
L
0
n?
t
L
Disebut DF Sinus dari f(t)
Rabu, 30 Agustus 2006
Variabel Kompleks (MA 1223)
XII / 21
7
Contoh
Tentukan DF Cosinus dari fungsi f(t) = t ; 0 < t < 2 yang
dipandang periodik dengan periode p = 4
a0 ?
22
2
0
0
u = t ? du = dt dan
dv= cos ( n ? t/2) dt ? v = (2/n? ) sin (n? t/2)
f ( t) dt ? ? t dt = 2
2?
22
n? t
2 ?
n? t 2 2 n ? t ?
t cos
dt ? n? ?t sin 2 ? ?sin 2 dt ?
2?
2
0
??
??
0
0
4
?
?
cos n ? ? 1?
n2 ? 2
?
an ?
?2? 2
n ?t 2?
cos
n? ?? n?
2 0??
?
?
4
n? t
a
n? t
? 1? ?
?cos n? ? 1? cos
f ( t ) ? 0 ? ? a ncos
2 2
2
2
2
n? 1 n ?
n? 1
?
8
?t
8
3? t
8
5?t
8
?2n ? 1?? t
? 1 ? 2 cos
? 0 ? 2 2 cos
? 0 ? 2 2 cos
? ...? 1 ? ?
cos
2
2
2
2 2
2
?
3 ?
5 ?
n ?1 ?2n ? 1? ?
Variabel Kompleks (MA 1223)
Rabu, 30 Agustus 2006
XII / 22
Contoh # 1
Nyatakan f(t) = t , ( 0 < t < 1 ) sebagai deret Fourier
sinus dan gambar grafik perluasan periodik dari f(t)
pada -5 < t < 5 bila f(t) dipandang periodik dengan
periode p = 2
Nilai a0 = an = 0
u = t ? du = dt dan
1
b n ? 2 ? t sin ?npt ? dt dv = sin (n? t) dt ? v = - 1/n?
cos (n? t)
0
?? t
?
1 1
1
? 2 ?
cos n pt
?
cos np t dt ?
? np
0
np ?
?
?
0
?
1
?? t
? 2?
cos np t ?
? np
?
1
?np ?2
?
sin np t ?
?
?
0
Variabel Kompleks (MA 1223)
Rabu, 30 Agustus 2006
XII / 23
Contoh # 2
?? ? 1
? 2 ??
cos np ?
? ? np
??
1
? np ?2
?
sin np ? ?
?
?
?0 ?
?
0??
?
?
?? ? 1
?
?
? 2 ? ??
cos np ? 0 ?? ? ? 0 ? 0 ??
?
?
? ? np
n
1
2
3
4
5
Cos n?
-1
1
-1
1
-1
1
1
1
?1
?
? 2? ?
?
?
? ... ?
2p
3p
4p
?p
?
f ( t) ? 2
?
?
n ?1
Rabu, 30 Agustus 2006
?? 1 ?n ? 1
np
sin n pt
Variabel Kompleks (MA 1223)
XII / 24
8
Contoh # 3
Grafik perluasan dari f(t) = t , ( 0 < t < 1 ) dengan periode p
= 2 pada -5 < t < 5
? Fungsi Ganjil
p=2
1
-5
5
1
t
p=2
Variabel Kompleks (MA 1223)
Rabu, 30 Agustus 2006
XII / 25
Soal Latihan
1.
Fungsi f(t) periodik dengan periode 2? ditentukan
oleh f(t) = ? - t , 0 < t < ? . Tentukan deret Fourier
sinus. Gambar grafik perluasannyapada selang –
3 ? <t<3 ?
Fungsi f(t) periodik dengan periode 2 ditentukan
oleh f(t) = 2 untuk 0 < t < ½ dan f(t ) = 0 untuk ½ <
t < 1. Tentukan deret Fourier Cosinus. Gambarkan
grafik perluasannya pada selang – 3 < t < 3
Fungsi f(t) periodik dengan periode 2 ditentukan
oleh f(t) = ( t - 1 )2, 0 < t < 1. Tentukan deret
Fourier Cosinus . Gambarkan grafik perluasannya
pada selang – 4 < t < 4
2.
3.
Variabel Kompleks (MA 1223)
Rabu, 30 Agustus 2006
XII / 26
DF Kompleks
•
•
•
•
Misal fungsi f(t ) terdefinisi pada (0,T)
Periodik dengan periode p = T
Kontinu bagian demi bagian
DF dari fungsi f(t) dinyatakan :
f( t ) ?
Cn ?
?
? Cn e
2? n i t
T
n???
1 T ? 2? in t
T f ( t ) dt
e
T?
0
Rabu, 30 Agustus 2006
Variabel Kompleks (MA 1223)
XII / 27
9
Contoh DF Kompleks
? 2, 0 ? t ? 1
f ( t) ? ?
; f ?t ? 2 ? ? f (t )
?? 2 , 1 ? t ? 2
Cn ?
1 2 ? ? in t
e
f (t ) dt
2?
1 T ?2 ?i n t
T f ( t ) dt
e
T?
Cn ?
0
0
1
2
0
1
? ?e ? ? i n t dt ? ?e? ? i n t dt
1
1 1 ? in? t 2
?
e ?in ? t ?
e
? in?
0 in ?
1
Variabel Kompleks (MA 1223)
Rabu, 30 Agustus 2006
XII / 28
Contoh DF Kompleks
Cn ?
?e ? in p
1
? inp
?
1
? 1 ?
?
in p
?e ? 2 inp
? e ? in p
?
2? n i t
?
?
?
1 ? 2 in?
e
? 2e ? in? ? 1
in?
?
1 ? in?
2
e
?1
in ?
?
?
?
f( t ) ?
?
? Cn e
T
n???
?
1 ? in ?
2
e
? 1 e in? t
in?
n ? ??
?
f ( t) ?
Variabel Kompleks (MA 1223)
Rabu, 30 Agustus 2006
XII / 29
Integral Fourier # 1
• Misal f(t) terdefinisi pada (- ½ T, ½ T)
• Periodik dengan periode p = T
• Kontinu bagian demi bagian
• Koefisien Fourier Kompleks dari f(t ) dinyatakan:
T
Cn ?
1 2 ? 2? i n t
T f ( t ) dt
e
T ? T?
f (t ) ?
2
f (t ) ?
?
? Cn e
2? n i t
T
n ???
? T2
? 2 ? ni t
? 2? i ny
?1
?
T
T f ( y) dy? e
?T ? e
n ? ?? ? ? T
?
2
??
?
?
Rabu, 30 Agustus 2006
Variabel Kompleks (MA 1223)
XII / 30
10
Integral Fourier # 2
? T2
? 2 ? n it
? 2 ? in y
?1
?
T
e
T f ( y ) dy ? e
?T ?
?
T
n? ? ? ?
??
?
2
?
?
f ( t) ?
2?
? ?x
T
?
?
?
2?n
? n ? x ? xn
T
?
?
?1
?
T
2
? i yxn
?
e
n ??? ? 2? ? T
?
2
?
itx
f ( y) dy? e n ? x
?
??
Bila T ? ? ( ? x ? 0) dan x n ? x, maka :
? it x
?i yx
1 ? ?? ?
f(y) d y? e
dx
? ? e
?
2 ? ? ? ??? ?
?
Disebut Integral Fourier
f (t ) ?
Variabel Kompleks (MA 1223)
Rabu, 30 Agustus 2006
XII / 31
Transformasi Fourier # 1
f (t ) ?
?
F(s) ? fˆ?s ??
?
F(x)
1 ? ?? ?
? ?
2 ? ? ? ??? ?
e
?i yx
? it x
f(y) d y? e
dx
?
?
? i t s f ( t ) dt ? Tranformasi Fourier dari f(t)
?e
??
f ?t ??
1 ?
2?
?e
? Invers Tranformasi Fourier
dari F(s)
its ˆ
f (s ) ds
??
f(t )
? Pasangan Transformasi Fourier
F(s)
Variabel Kompleks (MA 1223)
Rabu, 30 Agustus 2006
XII / 32
Transformasi Fourier # 2
? 0 , t ? 0
f ?t ? ? ? ? at
?? e
, t ? 0
F (s) ?
?
? is t
?e
??
;a>0
?
?
x
0
0
0
? ?i s? a ?t
dt
f ( t ) dt ? ?e? i s t e ? at d t ? ?e? ?i s? a ?t d t ? lim ?e
x? ?
? 1 ? ?i s? a ?t x
? lim
e
x? ? is ? a
0
?
? F(s) = …. ?
?
?
? 1 ? ?i s ? a ? x
? lim
e
?1
x? ? is ? a
? lim
?1 ?
?
1
x? ? is ? a ? e ?i s ? a ?x
?
? 1?
?
1
is ? a
?? 1 , ? 1 ? t ? 1
? ?t? ? ?
2
2
?? 0 , lainnya
Rabu, 30 Agustus 2006
2 sin s 2
?ˆ ?s ??
s
Variabel Kompleks (MA 1223)
XII / 33
11
Soal Latihan
1. Tentukan koefisien Fourier kompleks dari
?1 ? t , ? 1 ? t ? 0
1). f ( t ) ? ?
; f (t ? 2 ) ? f (t )
? 1 ? t ,0 ? t ? 1
?? t , 0 ? t ? 1
2 ). f ( t ) ? ?
; f ( t ? 1) ? f ( t )
0 , lainnya
?
2. Tentukan Transformasi Fourier dari
?? t , 0 ? t ? 1
f (t ) ? ?
t ? 1
? 0,
Rabu, 30 Agustus 2006
Variabel Kompleks (MA 1223)
XII / 34
Sifat Transformasi Fourier
Cara mendapatkan TF dari sebuah fungsi :
• Menggunakan Rumus (Versi MatLab)
• Menggunakan Tabel
• Menggunakan Sifat TF :
– Sifat Shifting dan Stretching
– Sifat Konvolusi
– Turunan
Rabu, 30 Agustus 2006
Variabel Kompleks (MA 1223)
XII / 35
Sifat Shifting dan Stretching # 1
f(t )
F(s)
•
Shifting / Pergeseran
f ?t ? b ?
•
Stretching / Similaritas
f?at ?
•
Shifting dan Stretching
f ?at ? b? ?
Rabu, 30 Agustus 2006
Variabel Kompleks (MA 1223)
?
?
e
? i sb
F( s )
1 ?s?
F? ?
a
?a ?
1 ? i sb/ a ? s ?
e
F? ?
a
?a ?
XII / 36
12
Sifat Shifting dan Stretching # 2
2 sin s 2
?ˆ ?s ??
s
?? 1 , ? 1 ? t ? 1
? ?t? ? ?
2
2
?? 0 , lainnya
? is 3
? 3?
f (t ) ? ? ?? t ? ??
? 2?
?
F(s) ? e
?t?
g ( t) ? ? ?? ??
?2 ?
?
G( s) ? 2 ?ˆ ?2s ?
? t ? 3?
?
h ( t) ? ? ??
?
? 2 ?
2
2 e? 3 i s ?ˆ (2s )
H(s ) ?
?
?ˆ (s)
Variabel Kompleks (MA 1223)
Rabu, 30 Agustus 2006
XII / 37
Konvolusi # 1
Konvolusi dari dua fungsi g(t) dan fungsi f(t) didefinisikan,
?
?g ? f ??t ? ? ? g ?t
? x ? f( x) dx
??
?
?1
1
? ?t ? ? ?? 1 , 2 ? t ? 2
?? 0 , t lainnya
??
??
?
??
t=0
?
??t ?? ?? ?t ? x ?? ?x ?dx
1
2
? ? ?t ? x ?dx
?1
??
?
?? ? ? ? ?t ? ? 1
0 < t < 1 ? ?? ? ?
??
?
? ? ??t? ? ....?
–1 < t < 0 ?
2
t ? 12
? ? ?y?dy
??
t lainnya ?
t ? 12
Rabu, 30 Agustus 2006
t ? 12
??t ? ? ?
??
? ( y) dy ? 1 ? t
t ? 12
??t ? ? 1 ? t
?? ? ? ??t ? ? 0
Variabel Kompleks (MA 1223)
XII / 38
Konvolusi # 2
??
??
??t ? ?
?1 ? t , ? 1 ? t ? 0
?
1 , t ? 0
?
?
? 1? t , 0 ? t ? 1
?? 0 , t lainnya
?
?1 ? t ,
t ? 1
?0 , t lainnya
?? ? ? ??t ? ? ?
Perhitungan rinci dapat dilihat di :
• Ronald N Bracewell, The Fourier Transform and its Applications,
3rd, McGraw-Hill Book Co., Singapore, 2000.
Rabu, 30 Agustus 2006
Variabel Kompleks (MA 1223)
XII / 39
13
Konvolusi # 2
Misal diberikan pasangan transformasi,
f (t) ? F(s),
g (t) ? G (s) dan
h (t) = (g * f) (t)
?
?
?
maka h( t ) ? ?g ? f ??t ? ?
H (s) ? G (s )F(s )
Sifat aljabar dari konvolusi fungsi dan konvolusi
transformasi :
1) f * g = g * f
2) (f * g ) * h = f * (g * h )
3) f * ( g + h ) = ( f * g ) + ( f * h )
4) ( f g ) * ( h k ) ? ( F * G ) ( H * K )
5) ( f + g ) ( h + k ) ? ( F + G ) * ( H + K )
6) f ( g * h ) ? F * ( G H )
Variabel Kompleks (MA 1223)
Rabu, 30 Agustus 2006
XII / 40
Konvolusi # 3
??1 , ? 1 ? t ? 1
? ?t? ? ?
2
2
?? 0 , t lainnya
??
??
?
?
??t? ? ? 1 ?
t, t ? 1
? ? ( t)
? 0 , t lainnya
?
? ?s ? ? 2
sin s 2
s
? ?s ? ? ? (s ) ? (s )
? 4
sin 2 s 2
s 2
Turunan :
• Misal diberikan pasangan transformasi Fourier,
f(t) ? F(s), maka transformasi dari turunan
fungsi, f ‘ (t) adalah
f ‘(t) ? i s F(s) dan
f (n)(t) ? ( i s)n F(s)
Variabel Kompleks (MA 1223)
Rabu, 30 Agustus 2006
XII / 41
Fungsi Delta Diract
• Fungsi delta diract atau fungsi impulse satuan,
dinyatakan :
– ? ?t ? ? 0
untuk t ? 0
dan
?
–
? ?( t) dt ? 1
??
• Pasangan Transformasi :
– ?( t ) ? ? (s ) ? 1
–
? ?t ? t 0 ? ? e ? i s t 0
Rabu, 30 Agustus 2006
Variabel Kompleks (MA 1223)
XII / 42
14
Step Function
?? 0 , t ? 0
f ?t ? ? ? ? at
?? e
, t ? 0
a?0
a
a 2 ? s2
?
?0 , t ? 0
??t ?? ?
?1 , t ? 0
? ? ? (s)
is
a 2 ? s2
?
1
is
Rabu, 30 Agustus 2006
F (s ) ?
?
?
1
is ? a
?
? ( s) ? ?? ?s ??
?1 , t ? 0
??t ? ? ?
?0 , t ? 0
f(t) = 1
?
a ? is
s 2 ? a2
?
a
s2 ? a 2
?
is
s2 ? a 2
1
is
?
?(s ) ? ? ??s? ?
1
is
F(s ) ? 2 ?? ?s ?
Variabel Kompleks (MA 1223)
XII / 43
Soal Latihan
Lihat soal Latihan 6.6
Danang Mursita, Matematika Lanjut Untuk
Perguruan Tinggi, Rekayasa Sains, Bandung, 2005
Rabu, 30 Agustus 2006
Variabel Kompleks (MA 1223)
XII / 44
15