homomorfisma - WordPress.com

BAB VI
HOMOMORFISMA GRUP
Dalam bagian ini kita akan mempelajari suatu pemetaan
f : G  G ' , yang
menghubungkan suatu struktur grup G ke struktur grup G ' sehingga pemetaan tersebut
akan memberikan informasi tentang struktur grup G ' dari sifat-sifat struktur grup G yang
diketahui atau sebaliknya. Kita mulai dengan definisi homomorfisma.
6.1 STANDAR KOMPETENSI
Setelah mempelajari bab ini diharapkan kita dapat mengenal suatu homomorfisma grup.
6.2 KOMPETENSI DASAR
Setelah mempelajari bab ini diharapkan kita mampu:
a
Memeriksa suatu suatu relasi merupakan suatu homomorfisma
b Menyebutkan bentuk-bentuk homomorfisma
c
Menggunakan sifat-sifat homomorfisma
d Menjelaskan Teorema Utama Homomorfisma dan Teorema Utama pada Grup-grup
Faktor
e
Menjelaskan Teorema Cayley
f
Menjelaskan Teorema-teorema Isomorfisma
6.3 PENGERTIAN HOMOMORFISMA
DEFINISI 6.1 (Homomorfisma)
Misalkan G,  dan G ' , '  dua grup dengan operasi binernya. Suatu pemetaan
f : G  G ' disebut homomorfisma (homomorphism) jika untuk setiap g1 , g 2  G
berlaku
f ( g1  g 2 )  f ( g1 )  ' f ( g 2 ) .
Dapat dikatakan bahwa ”peta dari hasil operasi dua elemen dalam G sama dengan hasil
operasi dari masing-masing petanya dalam G ' ”.
CONTOH 1.
Misalkan G1 dan G2 dua grup dengan operasi pergandaan (komposisi fungsi).
df
Didefinisikan pemetaan f : G1  G2 , dengan g  f ( g )  e dimana e  G2 sebagai
elemen identitas maka f merupakan homomorfisma karena untuk setiap g1 , g 2  G1
df
f ( g1  g 2 )  e  e  e  f ( g1 )  f ( g 2 ) □
Homomorfisma demikian disebut homomorfisma trivial (trivial homomorphism).
CONTOH 2.
Misalkan G grup, suatu pemetaan dari G ke G dengan definisi i : (G, )  (G, ) ,
df
a  i(a)  a maka i merupakan homomorfisma karena untuk setiap a, b  G
df
i(a  b)  a  b  i(a)  i(b) □
CONTOH 3.
df
Didefinisikan pemetaan  : ( , )  ( , ) dengan n   (n)  2n maka  merupakan
homomorfisma, untuk setiap n1 , n2  ,
df
 (n1  n2 )  2(n1  n2 )  2n1  2n2   (n1 )   (n2 ) □
CONTOH 4.
Grup
2
 {0, 1} dengan operasi penjumlahan. Pemetaan
g :
2

2
dengan
df
a  g (a )  1 bukan merupakan homomorfisma
df
df
g ( 1  1 )  g ( 2)  g ( 0)  1 , tetapi g ( 1 )  g ( 1 )  1  1  2  0
Jadi g (1  1)  g (1)  g (1) .□
CONTOH 5.
Misalkan
 :

 , 

dan



, ,
 {r 
r  0}.
dengan x   ( x)  e x , sedemikian hingga
df
 ( x1  x2 )  e x  x  e x  e x   ( x1 )   ( x2 ) .
1
2
1
2
Jadi  merupakan suatu homomorfisma. □
84
Didefinisikan
pemetaan
CONTOH 6.
Misalkan ( M ( ), ) grup dan (  { 0 }, ) grup dengan
M ( )  { Ann A invertibel }  { Ann
Pemetaan
f : M( ) 
 {0} dengan
A  0} .
df
A  f ( A)  A
merupakan homomorfisma
karena
df
sifst
f ( A  B)  AB  A B  f ( A)  f ( B) □
CONTOH 7.

Didefinisikan pemetaan f :
df

df
dengan x  f ( x)  ln x maka
sifat
f ( x  y)  ln( xy)  ln( x)  ln( y)
x, y 
yaitu f merupakan homomorfisma. □
DEFINISI 6.2
Jika f : G  G ' homomorfisma grup, didefinisikan
(i).
Homomorfisma yang injektif disebut monomorfisma
(ii). Homomorfisma yang surjektif disebut epimorfisma
(iii). Monomorfisma yang merupakan epimorfisma disebut isomorfisma.
(iv). Homomorfisma dari G ke G disebut endomorfisma
(v). Isomorfisma dari G ke G disebut auotomorfisma. Auotomorfisma i g : G  G
dengan i g ( x)  gxg 1 disebut automorfisma dalam (Inner Automorphism) G
terhadap g.
CONTOH 8
Perkawanan f : ( , )  (


, ) dengan x  f ( x)  e x merupakan isomorfisma
f pemetaan
Ambil sebarang x1 , x2  ,
x1  x2  e x1  e x2  f ( x1 )  f ( x2 ) , yaitu f pemetaan

f homomorfisma
Ambil sebarang x1 , x2  ,
f ( x1  x2 )  e x1  x2  e x1 e x2  f ( x1 )  f ( x2 ) , yaitu f homomorfisma
85

f injektif ( f11 )
Ambil sebarang x1 , x2  ,
f ( x1 )  f ( x2 )  e x1  e x2  x1  x2 , maka f injektif yaitu f monomorfisma

f surjektif

Untuk setiap y 
terdapat x  ln y sehingga f ( x)  e ln y  y , maka f surjektif atau
f epimorfisma
Jadi f isomorfisma, selanjutnya dikatakan ( , )  (
(


, ) dibaca ” ( ,  ) isomorfik
, ) ”□
CONTOH 9
Dibentuk suatu perkawanan, f :
dimana grup
2
dan grup
4
2
df

4
df
dengan 0  f ( 0)  0 dan 1  f ( 1 )  2
tertutup terhadap operasi penjumlahan. Disini f pemetaan, f
homomorfisma, (tunjukkan!) dan f monomorfisma tetapi f tidak epimorfisma.
Jika
f
( x1, x2 
injektif
2
maka
( x1, x2 
2
)
f ( x1 )  f ( x2 )  x1  x2 .
Kontraposisinya
) x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) . Perhatikan 0  1  f ( 0)  0  2  f (1) yaitu f
injektif atau f monomorfisma tetapi f tidak surjektif karena 1 
4
tidak ada x 
2
sehingga f ( x )  1 . □
6.4 SIFAT-SIFAT HOMOMORFISMA
Beberapa sifat penting diberikan dalam teorema 4 di bawah, akan sangat berguna
untuk pembicaraan teori grup selanjutnya. Kita mulai dengan mendefinisikan bayangan
dan bayangan invers untuk membantu pembuktian teorema tersebut.
DEFINISI 6.3 (Bayangan dan Bayangan Invers)
Misalkan f suatu pemetaan dari himpunan X kedalam himpunan Y dan misalkan A  X
dan B  Y . Didefinisikan bayangan
f ( A) dari A dalam X terhadap f adalah
f ( A)  { f (a) a  A} dan Bayangan invers
f 1 ( B)  {x  X
f ( x)  B}
86
f 1 ( B)
dari B dalam X adalah
TEOREMA 6.4
Misalkan (G,  ) grup dan (G ' , ' ) grup dengan elemen identitas berturut-turut eG dan eG' .
Pemetaan f : G  G ' homomorfisma maka berlaku :
1.
f ( eG )  eG '
2.
f ( g 1 )  ( f ( g ) ) 1 ,  g  G
3. Jika H subgrup G maka f (H ) subgrup G ' .
4. Jika K ' subgrup G ' maka f 1 ( K ) subgrup G.
'
Bukti
1.
f ( eG )  eG '
Dalam grup G elemen identitas eG  eG  eG , sedemikian hingga
f hom
f (eG )  f (eG  eG )  f (eG ) ' f (eG )  G '
elemen eG '  G ' sehingga eG ' ' f (eG )  f (eG ) ' f (eG )  G ' .
Dengan hukum kanselasi kanan f (eG )  eG ' terbukti. ■
2.
f ( g 1 )  ( f ( g ) ) 1 ,  g  G
Untuk setiap g  G terdapat g 1  G sehingga g  g 1  eG , f : G  G '
f hom
1
f ( g  g 1 )  f ( g ) ' f ( g 1 )  f (eG )  eG '
Digandakan dengan f ( g ) 1 ,
( f ( g )) 1 ' f ( g ) ' f ( g 1 )  ( f ( g )) 1 ' eG '
eG ' ' f ( g 1 )  ( f ( g )) 1  f ( g 1 )  ( f ( g )) 1 terbukti. ■
3. Jika H subgrup G maka f (H ) subgrup G ' .
Bayangan f (H ) dari H dalam G terhadap f adalah
f ( H )  { f (a) a  H}
merupakan subgrup G ' , maka harus ditunjukkan :
(i).
Untuk setiap x, y  f ( H ) maka x ' y  f ( H )
(ii). Untuk setiap x  f (H ) maka x 1  f ( H )
Bukti:
f (H )  Ø , karena H  Ø (H subgrup).
87
(i).
Ambil sebarang x, y  f ( H ) maka ada a, b  H sehingga
x  f (a) dan y  f (b)
a, b  H , H subgrup dalam G maka a  b  H , akibatnya f (a  b)  f ( H )
f hom
f (a  b)  f (a) ' f (b)  x ' y  f ( H )
Jadi x, y  f ( H )  x ' y  f ( H ) terbukti.
(ii). Ambil sebarang x  f (H ) maka ada a  H dengan x  f (a)
2
x 1  ( f (a) ) 1  f (a 1 )  f ( H ) dengan a 1  H
Jadi  x  f ( H )  x 1  f ( H ) terbukti.
Jadi f (H ) subgrup G ' terbukti. ■
4. Jika K ' subgrup G ' maka f 1 ( K ) subgrup G.
'
Bayangan invers f 1 ( K ) dari K ' dalam G adalah
'
f
1
( K ' )  { a  G f (a)  K ' }
merupakan subgrup G, maka harus ditunjukkan :
(i).
Untuk setiap x, y  f 1 ( K ) maka x  y  f 1 ( K )
'
'
(ii). Untuk setiap x  f 1 ( K ) maka x 1  f 1 ( K ) .
'
'
Bukti
f 1 ( K )  Ø, karena K '  Ø ( K ' subgrup).
'
(i).
Ambil sebarang x, y  f 1 ( K ) maka f ( x), f ( y)  K
'
'
Karena K ' subgrup dalam G ' maka
f hom
f ( x) ' f ( y)  f ( x  y)  K , yaitu x  y  f 1 ( K ) .
'
'
Jadi  x, y  f 1 ( K )  x  y  f 1 ( K ' ) terbukti.
'
(ii). Ambil sebarang x  f 1 ( K ) maka f ( x)  K
'
'
Karena K ' subgrup maka ( f ( x) ) 1  K .
'
Menurut (1), ( f ( x) ) 1  f ( x 1 )  K , yaitu x 1  f 1 ( K )
'
Jadi  x  f 1 ( K )  x 1  f 1 ( K ' ) terbukti.
'
Jadi f 1 ( K ) subgrup G terbukti. ■
'
88
'