pendugaan selang kepercayaan rata-rata

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA
POPULASI DENGAN KONDISI ADANYA PENCILAN
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Oleh :
Petronela Yuni Iswari
NIM: 133114001
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2017
i
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ON THE ESTIMATION OF POPULATION MEAN
CONFIDENCE INTERVAL IN THE PRESENCE OF
OUTLIERS
A Thesis
Presented as a Partial Fulfillment of the Requirements
to Obtain the Degree of Sarjana Sains
Mathematics Study Program
Written by :
Petronela Yuni Iswari
Student Number: 133114001
MATHEMATICS STUDY PROGRAM
DEPARTMENT OF MATHEMATICS
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2017
ii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
HALAMAN PERSEMBAHAN
Skripsi ini dipersembahkan untuk:
Tuhan Yesus Kristus dan Bunda Maria yang senantiasa menyertai, memberikan
berkat-Nya, dan memberi perlindungan sepanjang perjalanan hidup saya.
Kedua orangtua, Bapak Hendricus Bagyo dan Ibu Margaretta Istikomah, S.Pd, serta
kakak Heribertus Henta Nooristyanto, S.T yang selalu mendokan, memberi kasih
sayang, serta menjadi penyemangat dalam hidup saya.
“Aku tahu, bahwa Engkau sanggup melakukan segala sesuatu, dan tidak ada
rencana-Mu yang gagal.” (Ayub 42:2)
“Banyaklah rancangan di hati manusia, tetapi keputusan Tuhanlah yang
terlaksana.” (Amsal 19:21)
v
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRAK
Pencilan adalah nilai ekstrim yang muncul di dalam suatu analisis data. Adanya
pencilan dapat mengakibatkan bias kesimpulan atas hasil analisis. Untuk
mendeteksi pencilan digunakan metode grafis, Boxplot, Uji Grubbs, dan Uji MAD.
Penulisan skripsi ini bertujuan untuk menduga selang kepercayaan rata-rata
populasi dengan kondisi adanya pencilan. Untuk menyimpulkan hasil analisis pada
data yang memuat pencilan digunakan statistik robust (kekar) yang menghasilkan
kesimpulan data tetap akurat meskipun dalam keadaan yang tidak ideal. Statistik
robust yang digunakan adalah penduga median (Fraiman, et al) dan penduga 𝑀
(penduga Huber). Dalam skripsi ini digunakan empat metode selang kepercayaan,
yaitu metode selang kepercayaan dengan penduga rata-rata, median (Kendall and
Stuart), median (Fraiman, et al), dan penduga Huber. Selang kepercayaan robust
dengan simulasi data acak diperoleh dari distribusi Normal, Cauchy, dan ChiSquare dengan ukuran 𝑛 = 10, 50, 100, dan 500 untuk setiap distribusi. Hasil
simulasi menunjukkan bahwa selang kepercayaan robust bagi parameter lokasi
dengan penduga median (Fraiman, et al) dan penduga Huber adalah selang
kepercayaan robust yang insensitif terhadap adanya pencilan. Hal ini disebabkan
karena hasil dari standard error (galat standar) dan lebar selang kepercayaan yang
tetap, meskipun nilai pencilan semakin besar untuk setiap ukuran sampel yang
diberikan.
Kata Kunci: Pencilan, Pendeteksian Pencilan, Statistik Robust, Penduga Robust,
Selang Kepercayaan Robust.
vii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRACT
An outlier is an extreme value which is appeared in data analysis. The presence of
outliers will affect to the bias conclusion of analytical results. Graphical method,
Boxplot, Grubbs Test, and MAD Test can be applied to detect the presence of
outliers. The purpose of this thesis is to estimate the population mean confidence
interval in the presence of outliers. To summarize the results of the analysis on the
data contains the outliers, robust statistics is used so that the result in the conclusion
of the data remains accurate although it is not ideal. Robust statistics for location
parameters which were used are median estimators (Fraiman, et al) and M
estimators (Huber estimators). We apply four confidence interval methods that are
confidence interval method for mean estimators, median estimators (Kendall and
Stuart), median estimators (Fraiman, et al), and Huber estimators. Robust
confidence interval with random data simulation was obtained from Normal,
Cauchy, and Chi-Square distributions of sample sizes 𝑛 = 10, 50, 100, and 500 for
each distributions. From the simulation, robust confidence interval for location
parameters with the median estimators (Fraiman, et al) and Huber estimators were
insensitive robust confidence interval to the presence of outliers while two others
were sensitive. It is due to the value of the standard error and the width of the
confidence interval which remains constant although the value of the outlier
becomes bigger for each sample size.
Keywords: Outlier, Detection of Outlier, Robust Statistics, Robust Estimators,
Robust Confidence Intervals.
viii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ix
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus yang selalu
mencurahkan rahmat dan Roh KudusNya sehingga penulis mampu mengerjakan
dan menyelesaikan skripsi ini dengan baik. Skripsi ini dibuat dengan tujuan
memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan
memperoleh gelar Sarjana Sains (S.Si.) pada Program Studi Matematika, Fakultas
Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
Penulis menyadari bahwa proses penulisan skripsi ini melibatkan banyak
pihak untuk membantu dalam menghadapi berbagai macam tantangan, kesulitan
dan hambatan selama proses penulisan skripsi. Oleh karena itu, pada kesempatan
ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:
1.
Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku dosen pembimbing skripsi
yang telah meluangkan waktu, tenaga, dan pikiran, serta dengan penuh
kesabaran telah memberikan masukan, nasihat dan arahan kepada
penulis.
2.
Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku Dekan
Fakultas Sains dan Teknologi.
3.
Bapak YG. Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D., selaku Kaprodi Matematika.
4.
Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si., selaku Wakaprodi Matematika
dan Dosen Pembimbing Akademik angkatan 2013.
5.
Romo Prof. Dr. Frans Susilo, S.J., Bapak Dr. rer. nat. Herry P.
Suryawan, S.Si., M.Si., Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., Bapak
Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., Bapak YG. Hartono, S.Si.,
M.Sc., Ph.D., Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si., dan Ibu Lusia
Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si., selaku dosen Prodi Matematika yang
telah memberikan banyak pengetahuan dan pengalaman kepada penulis
selama proses perkuliahan.
6.
Perpustakaan
Universitas
Sanata
Dharma
dan
Bapak/Ibu
dosen/karyawan Fakultas Sains dan Teknologi yang telah banyak
membantu selama penulis berkuliah.
x
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL...........................................................................................i
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ........................................ii
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .................................................iii
HALAMAN PENGESAHAN .............................................................................iv
HALAMAN PERSEMBAHAN .........................................................................v
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA .............................................................vi
ABSTRAK ..........................................................................................................vii
ABSTRACK .......................................................................................................viii
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN ...................................................ix
KATA PENGANTAR ........................................................................................x
DAFTAR ISI .......................................................................................................xii
DAFTAR TABEL ...............................................................................................xvi
DAFTAR GAMBAR ..........................................................................................xvii
BAB I PENDAHULUAN ...................................................................................1
A. Latar Belakang....................................................................................1
B. Rumusan Masalah ..............................................................................2
C. Pembatasan Masalah...........................................................................3
D. Tujuan Penulisan ................................................................................3
E. Manfaat Penulisan ..............................................................................4
F. Metode Penulisan ...............................................................................4
G. Sistematika Penulisan .........................................................................4
BAB II PENDUGAAN PARAMETER ..............................................................6
A. Statistika .............................................................................................6
B. Distribusi Probabilitas ........................................................................11
1. Variabel Acak ..............................................................................11
2. Fungsi Probabilitas bagi Variabel Acak .......................................12
3. Fungsi Distribusi Kumulatif .........................................................14
4. Karakteristik Distribusi Probabilitas ............................................14
xii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
C. Distribusi Sampling ............................................................................30
1. Teorema Limit Pusat ....................................................................30
2. Distribusi 𝑡 ....................................................................................32
D. Pendugaan Parameter .........................................................................33
1. Pendugaan (Estimasi) ...................................................................33
2. Macam-macam Pendugaan Parameter..........................................34
E. Konsistensi Penduga ...........................................................................45
F. Metode Kemungkinan Maksimum .....................................................47
G. Pencilan ..............................................................................................51
1. Definisi Pencilan ..........................................................................51
2. Pengaruh Pencilan ........................................................................55
3. Pendeteksian Pencilan ..................................................................56
BAB III SELANG KEPERCAYAAN ROBUST ................................................69
A. Statistik Robust ...................................................................................69
B. Pengujian Robustness .........................................................................70
C. Penduga 𝑀 (Penduga Huber) .............................................................75
D. MAD (Median Absolute Deviation) ...................................................79
E. Selang Kepercayaan Robust bagi Parameter Lokasi ..........................82
BAB IV SELANG KEPERCAYAAN ROBUST DENGAN SIMULASI DATA
ACAK ...................................................................................................85
BAB V PENUTUP ..............................................................................................89
A. Kesimpulan .........................................................................................89
B. Saran ...................................................................................................90
DAFTAR PUSTAKA .........................................................................................92
LAMPIRAN ........................................................................................................94
xiii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR TABEL
Tabel 2.1 Fungsi probabilitas banyaknya laptop yang rusak ............................... 13
Tabel 2.2 Nilai harapan dan galat standar beberapa penduga titik ....................... 38
Tabel 2.3 Banyaknya barang yang terjual dan harga barang................................ 52
Tabel 2.4 Produksi hasil hutan rimba (kayu pertukangan) menurut jenisnya di
provinsi D. I. Yogyakarta ................................................................... 53
Tabel 2.5 Jumlah wisatawan yang masuk melalui pintu Makassar ...................... 56
Tabel 2.6 Durasi (dalam menit) periode aktif dari Geyser Old Faithful ............. 61
Tabel 2.7 Ketebalan lapisan oksida bagi silicon wafers ....................................... 63
Tabel 2.8 Data Boiler ........................................................................................... 66
xiv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1 Fungsi probabilitas Normal ............................................................. 24
Gambar 2.2 Distribusi nilai dugaan ..................................................................... 35
Gambar 2.3 Distribusi sampling untuk penduga titik bias positif ....................... 35
Gambar 2.4 Fungsi probabilitas bagi 𝑈 ............................................................... 42
Gambar 2.5 Letak −𝑧𝛼⁄2 dan 𝑧𝛼⁄2 ...................................................................... 44
Gambar 2.6 Harga barang terhadap banyaknya barang yang terjual ................... 53
Gambar 2.7 Produksi hasil hutan rimba terhadap waktu ..................................... 54
Gambar 2.8 Scatter-plot jumlah wisman dan pengunjung asing ......................... 57
Gambar 2.9 Anatomi dari Boxplot ....................................................................... 60
Gambar 2.10 Boxplot contoh 2.29 ....................................................................... 61
Gambar 2.11 Perbandingan boxplot untuk data ketebalan lapisan oksida .......... 64
Gambar 3.1 Kurva sensitivitas untuk rata-rata .................................................... 72
Gambar 3.2 Kurva sensitivitas untuk median...................................................... 73
Gambar 3.3 Kurva sensitivitas untuk median contoh 3.4 .................................... 74
Gambar 3.4 (a) Fungsi tujuan, 𝜌(𝑥; 𝑡) = (𝑥 − 𝑡)2 ............................................. 76
(b) Fungsi 𝜓, 𝜓(𝑥; 𝑡) = 𝑥 − 𝑡.......................................................... 77
Gambar 3.5 Pendugaan dengan fungsi tujuan mutlak residual. (a) Fungsi tujuan,
𝜌(𝑥; 𝑡) = |𝑥 − 𝑡|; (b) Fungsi 𝜓, 𝜓(𝑥; 𝑡) = sgn(𝑥 − 𝑡) .................. 79
Gambar 3.6 Hasil pendeteksian uji MAD ........................................................... 80
Gambar 3.7 (a) Kurva sensitivitas untuk MAD .................................................. 81
(b) Kurva sensitivitas untuk standar deviasi .................................... 82
xv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB I
PENDAHULUAN
A.
Latar Belakang Masalah
Pendugaan sering muncul di lingkungan sekitar dalam kehidupan sehari-
hari yang tidak dapat dihindari. Permasalahan yang sering terjadi adalah
bagaimana dugaan tersebut dapat mendekati kebenaran. Terdapat dua jenis
pendugaan, yaitu pendugaan titik dan pendugaan selang. Pendugaan titik
adalah penentuan suatu nilai tunggal berdasarkan atas sampel yang dengan baik
menduga parameter sasaran, sedangkan pendugaan selang adalah penentuan
batas-batas selang nilai, yang disebut batas atas (𝜃𝑈 ) dan batas bawah (𝜃𝐿 ).
Batas-batas itu dihitung berdasarkan pengukuran sampel dan hasilnya
mempunyai peluang tertentu yang memuat parameter sasaran (Wackerly, et al,
2008: 391). Peluang tersebut disebut tingkat kepercayaan. Tingkat kepercayaan
itu sering dinyatakan dengan persen (%) dan memuat parameter tertentu (𝜃)
yang disebut koefisien kepercayaan. Selang yang dihasilkan dengan tingkat
kepercayaan tertentu disebut selang kepercayaan. Bentuk selang kepercayaan
yang sering digunakan adalah
𝑷(𝜃̂𝐿 < 𝜃 < 𝜃̂𝑈 ) = 1 − 𝛼,
0 < 𝛼 < 1,
dengan 1 − 𝛼 adalah koefisien kepercayaan dan 𝜃̂𝐿 < 𝜃 < 𝜃̂𝑈 adalah selang
kepercayaan.
Pada umumnya bentuk selang kepercayaan (1 − 𝛼)100% bagi 𝜇 adalah
𝜎
𝜎
𝑥̅ − 𝑧𝛼⁄2 ∙
< 𝜇 < 𝑥̅ + 𝑧𝛼⁄2 ∙
√𝑛
√𝑛
dengan 𝜎 adalah standar deviasi populasi yang diketahui dan 𝑧𝛼⁄2 adalah
kuartil ke (𝛼 ⁄2) dari distribusi Normal standar 𝑍 dengan 𝑛 ≥ 30 menurut
Teorema Limit Pusat.
Suatu pendugaan yang dilakukan tidak tertutup kemungkinan akan
terjadi kesalahan (error). Kondisi tersebut kerap kali dipengaruhi oleh adanya
pencilan (outlier) yang dapat mengganggu proses analisis data, sehingga
pendeteksian pencilan sangat penting untuk dilakukan. Pencilan (outlier)
1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
adalah data yang memiliki perbedaan cukup ekstrim bila dibandingkan dengan
data lainnya (Barnett, 1978: v). Pengaruh pencilan pada proses analisis data,
salah satunya adalah terhadap nilai rata-rata dan standar deviasi. Adanya
pencilan dapat menunjukkan kesalahan pengukuran dalam distribusi data, serta
dapat menyebabkan variansi data menjadi besar, selang data menjadi lebar, dan
rata-rata tidak dapat menunjukkan nilai yang sebenarnya (bias). Oleh karena
itu, akan lebih baik jika pencilan dihapuskan supaya tidak ada kejanggalan
dalam analisis data, tetapi diupayakan terlebih dahulu untuk menyelidiki
penyebab adanya pencilan. Di sisi lain, adakalanya pencilan tidak dapat
dihapuskan begitu saja karena pencilan dapat memberikan suatu informasi
yang tidak dapat diberikan oleh data lainnya.
Skripsi ini akan membahas tentang selang kepercayaan yang robust
(kekar). Sifat robust (kekar) sendiri memiliki kinerja yang baik dalam
menghasilkan pendugaan yang dapat mencapai kebenaran yang memuaskan
dengan selang kepercayaan yang cenderung lebih sempit. Kata “robust”
(kekar) seringkali muncul di dalam proses analisis data yang menginginkan
pencilan tetap ada, namun tidak menyebabkan adanya kejanggalan. Dengan
demikian, akan diperoleh selang kepercayaan baru yang menjadikan selang
kepercayaan dapat tetap kekar untuk digunakan dalam pendugaan rata-rata
populasi. Akan diperkenalkan selang kepercayaan robust bagi parameter lokasi
dengan penduga median dan penduga Huber. Selang kepercayaan robust bagi
parameter lokasi dengan penduga Median dibedakan menjadi dua berdasarkan
galat standar yang diberikan oleh Fraiman, et al (2001) dengan Kendall dan
Stuart (2001).
B.
Rumusan Masalah
Perumusan masalah yang akan dibicarakan pada skripsi ini adalah:
1.
Bagaimana cara mengetahui data yang mengandung pencilan?
2.
Apa pengaruh pencilan dalam pendugaan selang kepercayaan rata-rata
populasi?
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
3.
Bagaimana penduga robust (kekar) dapat membuat selang kepercayaan
menjadi lebih baik dengan adanya pencilan?
4.
Bagaimana perbandingan selang kepercayaan yang robust dengan selang
kepercayaan yang biasa?
C.
Pembatasan Masalah
Penulis akan membatasi penulisan agar menjadi lebih terarah dan tidak
menyimpang dari masalah yang akan dibahas, yaitu:
1.
Data yang digunakan dalam penulisan hanyalah data yang mengandung
pencilan univariat.
2.
Metode yang digunakan dalam pengujian sifat robust yang dimiliki oleh
suatu penduga hanya dengan menggunakan kurva sensitivitas.
3.
Penulis hanya menggunakan dua penduga robust dengan menggunakan
penduga median (Fraiman, et al) dan penduga M (Huber) bagi parameter
lokasi.
4.
Galat standar dan lebar selang yang dihasilkan dari selang kepercayaan
bagi suatu penduga akan dibandingkan dengan galat standar dan lebar
selang yang dihasilkan dari selang kepercayaan bagi penduga lainnya.
D.
Tujuan Penulisan
Tujuan yang ingin dicapai penulis, selain untuk memenuhi syarat skripsi
dalam Program Studi Matematika Universitas Sanata Dharma, juga untuk:
1.
Mengetahui penduga robust dalam menduga parameter lokasi untuk data
yang memuat pencilan.
2.
Mengetahui seberapa robust (kekar) selang kepercayaan yang terbentuk
dari suatu data yang memuat pencilan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
E.
Manfaat Penulisan
Manfaat dari penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut:
1.
Penulis memperoleh pengetahuan baru selama mengerjakan tulisan ini.
2.
Pembaca mendapat gambaran tentang pendugaan selang kepercayaan
bagi rata-rata populasi dengan kondisi adanya pencilan di dalam suatu
data.
3.
Skripsi ini dapat dijadikan referensi bagi penganalisis lain.
F.
Metode Penulisan
Metode penulisan yang digunakan penulis dalam penulisan skripsi ini
adalah metode studi pustaka, yaitu dengan membaca dan mempelajari bukubuku atau jurnal yang berkaitan dengan pendugaan selang kepercayaan ratarata populasi, pencilan, serta sifat robust (kekar) dari selang kepercayaan.
G.
Sistematika Penulisan
Skripsi ini ditulis menggunakan sistematika berikut:
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
B. Rumusan Masalah
C. Batasan Masalah
D. Tujuan Penulisan
E. Manfaat Penulisan
F. Metode Penulisan
G. Sistematika Penulisan
BAB II PENDUGAAN PARAMETER
A. Statistika
B. Distribusi Probabilitas
C. Distribusi Sampling
D. Pendugaan Parameter
E. Konsistensi Penduga
F. Metode Kemungkinan Maksimum
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
G. Pencilan
BAB III SELANG KEPERCAYAAN ROBUST
A. Statistik Robust
B. Pengujian Robustness
C. Penduga M
D. MAD (Median Absolute Deviation)
E. Selang Kepercayaan yang Robust bagi Parameter Lokasi
BAB IV SELANG KEPERCAYAAN ROBUST DENGAN SIMULASI
DATA ACAK
BAB V PENUTUP
A. Kesimpulan
B. Saran
DAFTAR PUSTAKA
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB II
PENDUGAAN PARAMETER
A.
Statistika
Teknik statistik hampir digunakan dalam setiap fase kehidupan banyak
orang di berbagai bidang. Contohnya, para ahli ekonomi yang mengamati
berbagai indeks kesehatan ekonomi selama periode waktu dan menggunakan
informasi tersebut untuk meramalkan kondisi ekonomi di masa depan, serta
pelaksanaan survey yang dirancang untuk mengumpulkan data pada hari
pemilihan dan meramalkan hasil pemilu.
Definisi dari statistika sendiri muncul dari para statistikawan. Stuart dan
Ord (1991) menyatakan: "Statistika adalah cabang dari metode ilmiah yang
berkaitan dengan data yang diperoleh dengan menghitung atau mengukur sifat
dari populasi. Rice (1995) dalam komentarnya mengenai eksperimen dan
aplikasi dalam statistika, menyatakan bahwa statistika pada dasarnya berkaitan
dengan prosedur untuk menganalisis data, terutama data yang memiliki karakter
acak. Freund dan Walpole (1987) menyatakan statistika adalah ilmu yang
mendasarkan kesimpulan pada data yang diamati dan seluruh masalah dalam
membuat keputusan dalam menghadapi ketidakpastian. Mood, Graybill, dan
Boes (1974) mendefinisikan statistika sebagai teknologi dari metode ilmiah dan
menambahkan bahwa statistika berkaitan dengan desain eksperimen dan
penyelidikan, serta statistika inferensi. Dari beberapa definisi tersebut dapat
disimpulkan bahwa statistika adalah sekumpulan metode untuk merencanakan
eksperimen, mengumpulkan data, menganalisis, menafsirkan dan mengambil
kesimpulan berdasarkan data.
Pengambilan sampel dari populasi yang akan diteliti diperlukan untuk
mengambil kesimpulan.
6
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
Definisi 2.1
Populasi adalah kumpulan yang lengkap dari semua elemen (nilai, orang, benda,
hasil, dan lain-lain) yang menjadi pusat perhatian untuk dipelajari dan diteliti.
Lengkap berarti mencakup semua obyek yang akan diambil kesimpulannya.
Banyaknya observasi dalam populasi didefinisikan sebagai ukuran
populasi. Di bidang statistika inferensi, statistik tertarik pada kesimpulan
mengenai populasi bila tidak memungkinkan untuk mengamati seluruh
pengamatan yang membentuk populasi. Misalnya, dalam upaya untuk
menentukan rata-rata hidup dari suatu lampu merk tertentu. Hal ini tidak
mungkin untuk menguji semua lampu. Biaya yang terlalu tinggi juga bisa
menjadi faktor penghalang dalam mengamati seluruh populasi. Oleh karena itu,
pengamatan bergantung pada bagian dari populasi, yang disebut sampel, untuk
membantu memperoleh kesimpulan tentang populasi yang diamati berdasarkan
informasi yang terdapat di dalam sampel .
Definisi 2.2
Sampel adalah himpunan bagian dari populasi yang menjadi perhatian kita.
Jika menginginkan kesimpulan yang valid, maka harus didapatkan sampel
yang mewakili populasi. Oleh karena itu, diperlukan pemilihan sampel secara
acak, yaitu setiap individu dalam populasi mempunyai peluang tertentu untuk
dipilih sebagai anggota sampel. Tujuan utama dalam memilih sampel secara
acak adalah untuk memperoleh informasi tentang parameter populasi yang tidak
diketahui.
Definisi 2.3
Parameter adalah karakteristik dari populasi yang biasa dinyatakan dalam suatu
nilai/konstanta.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
Secara umum, parameter dilambangkan dengan 𝜃. Parameter 𝜃 dapat
berupa rata-rata µ, variansi 𝜎 2 dan proporsi 𝑝. Parameter dibagi menjadi dua
bagian, yaitu parameter lokasi dan parameter skala yang definisi eksaknya akan
dibahas kemudian pada Definisi 2.15 dan Definisi 2.18. Parameter lokasi
dirancang untuk memenuhi analisis dengan banyaknya nilai pada data yang
berada di pusat. Contohnya adalah rata-rata µ dan median. Sedangkan parameter
skala dirancang untuk mengetahui penyebaran data analisis. Contoh dari
parameter skala adalah variansi 𝜎 2 dan standar deviasi 𝜎.
Definisi 2.4
Statistik adalah fungsi dari variabel-variabel acak yang diamati dalam sampel
dan dinyatakan dalam suatu bilangan.
Ada beberapa contoh statistik, yaitu rata-rata sampel 𝑥̅ , standar deviasi sampel
𝑠, dan proporsi sampel 𝑝̂ . Parameter 𝜇, 𝜎 2 dan 𝑝 adalah parameter yang nilainya
sama sekali tidak terpengaruh atau dipengaruhi oleh pengamatan sampel acak.
Statistik yang paling umum digunakan adalah mean (rata-rata), median (nilai
tengah) dan modus.
Definisi 2.5
Misalkan pengamatan di dalam sampel berukuran 𝑛 adalah 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 .
Rata-rata sampel dilambangkan dengan 𝑥̅ yang didefinisikan sebagai
𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖
𝑥̅ =
=
.
𝑛
𝑛
Definisi 2.6
Diberikan pengamatan sampel 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 . Sampel disusun dari data yang
nilainya terkecil hingga data yang nilainya terbesar, maka nilai tengah (median)
sampel adalah:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
𝑥(𝑛+1)/2
𝑥̃ = {1
(𝑥 + 𝑥𝑛+1 )
2 𝑛/2
2
, jika 𝑛 bilangan ganjil,
, jika 𝑛 bilangan genap,
dengan 𝑥(𝑛+1)/2 adalah pengamatan ke- (𝑛 + 1)/2 dari variabel acak 𝑋.
Definisi 2.7
Modus sampel adalah nilai dari sampel yang paling sering muncul atau memiliki
frekuensi yang paling besar.
Ukuran variasi yang lebih umum digunakan dalam statistika adalah variansi
yang merupakan fungsi deviasi (atau jarak) ukuran sampel dari rata-ratanya.
Definisi 2.8
Variansi dari sampel berukuran 𝑛, diberikan sebagai berikut
∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2
𝑠 =
.
𝑛−1
2
Variansi populasi yang sesuai, dilambangkan dengan 𝜎 2 .
Definisi 2.9
Standar deviasi dari sampel berukuran 𝑛 adalah akar kuadrat positif dari variansi
yang diberikan sebagai berikut
𝑠 = √𝑠 2 .
Standar deviasi populasi yang sesuai, dilambangkan dengan 𝜎 = √𝜎 2 .
Contoh 2.1
Dari hasil penelitian mengenai nilai ujian matematika dari 50 mahasiswa
diperoleh data sebagai berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
42
74
68
54
78 57
83
71
41
89
64
50
76 100 90 74
59
89
98
23
84
64
90
95
33 45
71
87
66
67
57
78
62
38
79 65
87
67
42
74
71
50
34
57
90 69
59
23
74
34
Carilah rata-rata, median, modus, variansi serta standar deviasi dari sampel
penelitian tersebut.
Solusi:

Rata-rata Sampel
∑50
3292
𝑖=1 𝑥𝑖
𝑥̅ =
=
= 65.8.
50
50

Median Sampel
Data penelitian yang sudah urut adalah sebagai berikut:
23
23 33 33 34
38
41
42
42
45
50
50 54 57 57
57
59
59
62
64
64
65 66 67 67
68
69
71
71
71
74
74 74 74 76
78
78
79
83
84
87
87 89 89 90
90
90
95
98 100
sehingga diperoleh,
𝑥̃ =

1
1
(𝑥25 + 𝑥26 ) = (67 + 68) = 67.5.
2
2
Modus Sampel
Nilai yang sering muncul dalam pengamatan sampel adalah 74, yaitu sebanyak
empat kali. Oleh karena itu, modus sampel dari pengamatan adalah 74.
 Variansi Sampel
2
∑50
19080.04
𝑖=1(𝑥𝑖 − 65.8)
𝑠 =
=
= 389.3886.
49
49
2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
 Standar Deviasi Sampel
𝑠 = √389.3886 = 19.73.
B.
Distribusi Probabilitas
1.
Variabel Acak
Definisi 2.10
Variabel acak adalah fungsi bernilai bilangan real yang domainnya adalah
ruang sampel.
Variabel acak dinotasikan dengan huruf kapital dan nilainya
dinotasikan dengan huruf kecil. Misalkan 𝑋 menyatakan variabel acak,
maka nilai dari 𝑋 adalah 𝑥.
Definisi 2.11
Variabel acak 𝑋 dikatakan variabel acak diskrit jika himpunan dari
kemungkinan hasilnya adalah terbilang. Jika hal ini tidak terpenuhi, maka
variabel acak 𝑋 disebut variabel acak kontinu.
Contoh 2.2
Para statistikawan menggunakan perencanaan pengambilan sampel untuk
menerima atau menolak sekumpulan barang. Misalnya, salah satu rencana
pengambilan sampel yaitu sampel diambil secara acak sebanyak 10 dari
100 barang. Dari 100 barang tersebut terdapat 12 barang yang rusak.
Misalkan 𝑋 adalah variabel acak yang didefinisikan sebagai banyaknya
barang yang ditemukan rusak dalam sampel dari 10 barang. Dalam hal ini,
variabel acak bernilai 0,1,2, . . . ,9,10.
Contoh 2.3
Pusat survey melakukan percobaan dengan mengirimkan surat pada para
responden dan melihat proporsi responden dalam merespon surat tersebut.
Misalkan 𝑋 adalah variabel acak yang didefinisikan sebagai proporsi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
responden.
𝑋
akan
memuat
semua
nilai
𝑥
dalam
selang
0 ≤ 𝑥 ≤ 1.
2.
Fungsi Probabilitas bagi Variabel Acak
Fungsi probabilitas dibagi menjadi dua macam, yaitu fungsi
probabilitas diskrit dan kontinu.
a.
Fungsi Probabilitas Diskrit
Definisi 2.12
Himpunan pasangan terurut (𝑥, 𝑝(𝑥)) adalah suatu fungsi
probabilitas, atau distribusi probabilitas dari suatu variabel acak
diskrit 𝑋, jika
1. 0 ≤ 𝑝(𝑥) ≤ 1 untuk setiap 𝑥,
2. ∑𝑥 𝑝(𝑥) = 1,
3. 𝑃(𝑋 = 𝑥) = 𝑝(𝑥).
Contoh 2.4
Pengiriman 20 laptop ke toko pengecer berisi 3 yang rusak. Apabila
ada sekolah yang membeli laptop secara acak sebanyak 2 laptop,
temukanlah distribusi probabilitas untuk banyaknya laptop yang
rusak.
Solusi:
Misalkan 𝑋 adalah variabel acak yang nilainya 𝑥, yaitu kemungkinan
banyaknya laptop rusak yang dibeli oleh sekolah. Kemudian 𝑥 hanya
dapat berisi nilai 0,1, dan 2, sehingga diperoleh
𝑝(0) = 𝑃(𝑋 = 0) =
𝑝(1) = 𝑃(𝑋 = 1) =
𝑝(2) = 𝑃(𝑋 = 2) =
(30)(17
)
2
(20
)
2
(31)(17
)
1
(20
)
2
(32)(17
)
0
(20
)
2
=
136
,
190
=
51
,
190
=
3
.
190
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
Tabel 2.1. Fungsi probabilitas banyaknya laptop yang rusak
b.
𝑥
0
1
2
𝑝(𝑥)
136
190
51
190
3
190
Fungsi Probabilitas Kontinu
Definisi 2.13
Fungsi 𝑓(𝑥) adalah fungsi probabilitas untuk variabel acak kontinu
𝑋, jika
1.
𝑓(𝑥) ≥ 0, untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑅,
2.
∫−∞ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1,
3.
𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏) = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥.
∞
𝑏
Contoh 2.5
Misalkan suhu dalam ℃ yang diuji dalam pengontrolan laboratorium
adalah suatu variabel acak kontinu 𝑋 yang mempunyai fungsi
probabilitas
𝑥2
𝑓(𝑥) = { 3 , 𝑑𝑎𝑛 − 1 < 𝑥 < 2,
0 ,
lainnya.
a) Periksalah bahwa 𝑓(𝑥) adalah fungsi probabilitas.
b) Temukan 𝑃(0 < 𝑋 ≤ 1).
Solusi:
a) Dengan jelas, 𝑓(𝑥) ≥ 0.
Untuk memeriksa syarat kedua dalam Definisi 2.13, diperoleh
2 𝑥2
∞
∫−∞ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫−1
b)
1 𝑥2
𝑃(0 < 𝑋 ≤ 1) = ∫0
3
𝑑𝑥 =
3
𝑑𝑥 =
𝑥3 1
|
9 0
𝑥3
| 2
9 −1
1
= 9.
= 1.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
3.
Fungsi Distribusi Kumulatif
Definisi 2.14
Fungsi distribusi kumulatif 𝐹(𝑥) dari variabel acak 𝑋 dengan fungsi
probabilitas 𝑝(𝑥) adalah
∑ 𝑝(𝑡) ,
∀𝑡≤𝑥
𝑥
𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) =
{
4.
𝑑𝑎𝑛jika 𝑋 diskrit
∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 ,
𝑑𝑎𝑛jika 𝑋 kontinu
−∞
Karakteristik Distribusi Probabilitas
Distribusi probabilitas suatu variabel acak dicirikan dengan
parameter lokasi dan parameter skala.
Definisi 2.15
Misalkan 𝑓(𝑥; 𝜃, 𝜆) adalah sembarang fungsi probabilitas suatu variabel
acak 𝑋. Parameter 𝜃 adalah parameter lokasi jika fungsi probabilitas dapat
ditulis sebagai fungsi dari 𝑥 − 𝜃; yaitu 𝑓(𝑥; 𝜃, 𝜆) = ℎ(𝑥 − 𝜃; 𝜆) untuk
setiap fungsi ℎ(∗; 𝜆) yang tidak bergantung pada 𝜃.
Contoh 2.6
Diberikan fungsi probabilitas sebagai berikut
𝑓(𝑥; 𝜇, 𝜎) =
1
𝜎√2𝜋
2
𝑒 −(1/2) [(𝑥−𝜇)/𝜎] .
Misalkan 𝑦 = 𝑥 − 𝜇, maka fungsi 𝑓(𝑥; 𝜇, 𝜎) dapat ditulis sebagai
ℎ(𝑦; 𝜎) =
1
𝜎√2𝜋
2
𝑒 −(1/2) [𝑦/𝜎] .
Dengan demikian, 𝜇 adalah parameter lokasi.
Contoh 2.7
Jika 𝑋~𝑁(0, 𝜃), maka 𝑋 − 𝜃~𝑁(−𝜃, 𝜃) mempunyai distribusi yang tidak
bebas dari 𝜃. Dengan demikian, 𝜃 adalah bukan parameter lokasi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
Definisi 2.16
Misalkan 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 adalah variabel acak dari suatu distribusi dengan
fungsi probabilitas 𝑓(𝑥; 𝜇); 𝜇 ∈ Ω, Ω adalah ruang parameter. Penduga
𝑡(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) didefinisikan sebagai ekuivarian lokasi jika dan hanya jika
𝑡(𝑥1 + 𝑐, … , 𝑥𝑛 + 𝑐) = 𝑡(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) + 𝑐,
untuk semua nilai 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 dan sebuah konstanta 𝑐.
Dengan kata lain, penambahan konstanta 𝑐 pada variabel acak akan
menambah nilai dugaan sebesar 𝑐.
Definisi 2.17
Misalkan 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 adalah variabel acak dari suatu distribusi dengan
fungsi probabilitas 𝑓(𝑥; 𝜇); 𝜇 ∈ Ω, Ω adalah ruang parameter. Penduga
𝑡(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) didefinisikan sebagai invarian lokasi jika dan hanya jika
𝑡(𝑥1 + 𝑐, … , 𝑥𝑛 + 𝑐) = 𝑡(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ),
untuk semua nilai 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 dan sebuah konstanta 𝑐.
Dengan kata lain, penambahan konstanta 𝑐 pada variabel acak tidak akan
mengubah nilai penduga.
Contoh 2.8
Apakah 𝑥̅ adalah penduga invarian atau ekuivarian lokasi?
Solusi:
Misalkan 𝑡(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) = 𝑥̅ .
Kemudian,
∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖 + 𝑐)
𝑛
∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 + 𝑛𝑐
=
𝑛
𝑡(𝑥1 + 𝑐, … , 𝑥𝑛 + 𝑐) =
= 𝑥̅ + 𝑐
= 𝑡(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) + 𝑐.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
Oleh karena penambahan konstanta 𝑐 pada variabel acak akan menambah
nilai dugaan 𝑥̅ sebesar 𝑐, maka 𝑥̅ adalah penduga ekuivarian lokasi dan
tidak invarian.
Contoh 2.9
Apakah 𝑠 2 adalah penduga invarian atau ekuivarian lokasi?
Solusi:
2
𝑛
Misalkan 𝑡(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) = 𝑠 2 =
∑𝑖=1 𝑥𝑖
∑𝑛
))
𝑖=1(𝑥𝑖 −(
𝑛
.
𝑛−1
Kemudian,
∑𝑛𝑖=1 (𝑥𝑖
𝑡(𝑥1 + 𝑐, … , 𝑥𝑛 + 𝑐) =
∑𝑛 𝑥 + 𝑐
+ 𝑐 − ( 𝑖=1 𝑛𝑖
))
𝑛−1
∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖 + 𝑐 − (𝑥̅ + 𝑐))
=
𝑛−1
=
2
2
∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2
𝑛−1
2
∑𝑛𝑖=1 (𝑥𝑖
=
∑𝑛 𝑥𝑖
− ( 𝑖=1
𝑛 ))
𝑛−1
= 𝑠2
= 𝑡(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ).
Oleh karena penambahan konstanta 𝑐 pada variabel acak tidak
mengalami perubahan nilai dugaan 𝑠 2 , maka 𝑠 2 adalah penduga invarian
lokasi dan tidak ekuivarian.
Definisi 2.18
Misalkan 𝑓(𝑥; 𝜃) adalah sembarang fungsi probabilitas suatu variabel
acak 𝑋. Keluarga fungsi probabilitas 𝑓(𝑥/𝜃)⁄𝜃 , untuk 𝜃 > 0, parameter
𝜃 adalah parameter skala bagi 𝑓(𝑥) jika dan hanya jika distribusi dari 𝑥⁄𝜃
tidak bergantung pada 𝜃.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
Contoh 2.10
Diberikan fungsi probabilitas sebagai berikut
𝑓(𝑥) =
1 −(𝑥/𝜃)
𝑒
.
𝜃
Misalkan 𝑦 = 𝑥/𝜃, maka keluarga fungsi probabilitas 𝑓(𝑥/𝜃)⁄𝜃 dapat
ditulis sebagai
𝑓(𝑦) 1 −(𝑦)
= 𝑒
𝜃
𝜃
𝑓(𝑦) = 𝑒 −(𝑦) ,
untuk 𝑦 > 0
Dengan demikian, 𝜃 adalah parameter skala.
Definisi 2.19
Misalkan 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 adalah variabel acak dari suatu distribusi dengan
fungsi probabilitas 𝑓(𝑥; 𝜇); 𝜇 ∈ Ω, Ω adalah ruang parameter. Penduga
𝑡(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) didefinisikan sebagai ekuivarian skala jika dan hanya jika
𝑡(𝑐𝑥1 , … , 𝑐𝑥𝑛 ) = 𝑐𝑡(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ),
untuk semua nilai 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 dan sebuah konstanta 𝑐 > 0.
Definisi 2.20
Misalkan 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 adalah variabel acak dari suatu distribusi dengan
fungsi probabilitas 𝑓(𝑥; 𝜇); 𝜇 ∈ Ω, Ω adalah ruang parameter. Penduga
𝑡(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) didefinisikan sebagai invarian skala jika dan hanya jika
𝑡(𝑐𝑥1 , … , 𝑐𝑥𝑛 ) = 𝑡(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ),
untuk semua nilai 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 dan sebuah konstanta 𝑐 > 0.
Dengan kata lain, penduga bersifat invarian terhadap skala jika nilainya
tidak mengalami perubahan dengan adanya perkalian dengan 𝑐.
Contoh 2.11
Apakah 𝑥̅ adalah penduga invarian atau ekuivarian terhadap skala?
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
Solusi:
Misalkan 𝑡(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) = 𝑥̅ .
Kemudian,
∑𝑛𝑖=1 𝑐𝑥𝑖
𝑛
𝑐 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖
=
𝑛
𝑡(𝑐𝑥1 , … , 𝑐𝑥𝑛 ) =
= 𝑐𝑥̅
= 𝑐𝑡(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ).
Oleh karena penambahan konstanta 𝑐 pada variabel acak akan mengubah
nilai dugaan 𝑥̅ , maka 𝑥̅ adalah penduga ekuivarian terhadap skala dan tidak
invarian.
a.
Nilai Harapan atau Rata-rata dari Variabel Acak
Definisi 2.21
Misalkan 𝑋 adalah variabel acak dengan fungsi probabilitas 𝑝(𝑥). Nilai
harapan atau rata-rata dari 𝑋 adalah
∑ 𝑥𝑝(𝑥) ,
𝑑𝑎𝑛jika 𝑋 diskrit
𝑥
∞
𝜇 = 𝐸(𝑋) =
∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ,
{ −∞
𝑑𝑎𝑛jika 𝑋 kontinu
Teorema 2.1
Diberikan 𝑎, 𝑏 suatu konstanta, 𝐸(𝑎𝑋 + 𝑏) = 𝑎𝐸(𝑋) + 𝑏.
Bukti:
Berdasarkan Definisi 2.21, diperoleh:
untuk variabel acak diskrit,
𝐸(𝑎𝑋 + 𝑏) = ∑(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑝(𝑥)
𝑥
= ∑(𝑎𝑥 𝑝(𝑥) + 𝑏 𝑝(𝑥))
𝑥
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
= 𝑎 ∑ 𝑥 𝑝(𝑥) + 𝑏 ∑ 𝑝(𝑥)
𝑥
𝑥
= 𝑎𝐸(𝑋) + 𝑏.
Untuk variabel acak kontinu,
∞
𝐸(𝑎𝑋 + 𝑏) = ∫ (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑓(𝑥)𝑑𝑥
−∞
∞
∞
= 𝑎 ∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑏 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
−∞
−∞
= 𝑎𝐸(𝑋) + 𝑏.
∎
Lemma 2.1
Diberikan 𝑎 = 0, maka 𝐸(𝑏) = 𝑏.
Bukti:
Untuk variabel acak diskrit,
𝐸(𝑏) = ∑𝑥 𝑏𝑝(𝑥) = 𝑏 ∑𝑥 𝑝(𝑥) = 𝑏(1) = 𝑏 .
Untuk variabel acak kontinu,
𝑥𝐸(𝑏) = ∫ 𝑏𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑏 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑏.
∎
Lemma 2.2
Diberikan 𝑏 = 0, maka 𝐸(𝑎𝑋) = 𝑎𝐸(𝑋).
Bukti:
Untuk variabel acak diskrit,
𝐸(𝑎𝑋) = ∑𝑥 𝑎𝑥𝑝(𝑥) = 𝑎 ∑𝑥 𝑥𝑝(𝑥) = 𝑎𝐸(𝑋).
Untuk variabel acak kontinu,
𝐸(𝑎𝑋) = ∫ 𝑎𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑎 ∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑎𝐸(𝑋).
∎
Teorema 2.2
Misalkan 𝑋 adalah variabel acak dengan fungsi probabilitas 𝑝(𝑥) dan
𝑔1 (𝑋), 𝑔2 (𝑋), … , 𝑔𝑘 (𝑋) adalah 𝑘 buah fungsi dari 𝑋; maka
𝐸[𝑔1 (𝑋) + 𝑔2 (𝑋) + ⋯ + 𝑔𝑘 (𝑋)]
= 𝐸[𝑔1 (𝑋)] + 𝐸[𝑔2 (𝑋)] + ⋯ + 𝐸[𝑔𝑘 (𝑋)].
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
Bukti:
Akan dibuktikan dengan 𝑘 = 2, tetapi langkah tetap sama untuk setiap 𝑘.
Menurut Definisi 2.21, diperoleh:
untuk 𝑋 diskrit,
𝐸[𝑔1 (𝑋) + 𝑔2 (𝑋)] = ∑[𝑔1 (𝑥) + 𝑔2 (𝑥)]𝑝(𝑥)
𝑥
= ∑ 𝑔1 (𝑥)𝑝(𝑥) + ∑ 𝑔2 (𝑥)𝑝(𝑥)
𝑥
𝑥
= 𝐸[𝑔1 (𝑋)] + 𝐸[𝑔2 (𝑋)].
Untuk 𝑋 kontinu,
∞
𝐸[𝑔1 (𝑋) + 𝑔2 (𝑋)] = ∫ [𝑔1 (𝑥) + 𝑔2 (𝑥)]𝑝(𝑥)𝑑𝑥
−∞
∞
∞
= ∫ 𝑔1 (𝑥)𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑔2 (𝑥)𝑓(𝑥)𝑑𝑥
−∞
−∞
= 𝐸[𝑔1 (𝑥)] + 𝐸[𝑔2 (𝑥)].
b.
∎
Variansi dari Variabel Acak
Definisi 2.22
Jika 𝑋 adalah variabel acak dengan rata-rata 𝐸(𝑋) = 𝜇, maka variansi dari
𝑋 didefinisikan sebagai nilai harapan dari (𝑋 − 𝜇)2 , yaitu
𝜎 2 = 𝑉(𝑋) = 𝐸[(𝑋 − 𝜇)2 ]
∑(𝑥 − 𝜇)2 𝑝(𝑥) , 𝑑𝑎𝑛jika 𝑋 diskrit,
𝑥
∞
=
{
∫ (𝑥 − 𝜇)2 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 , jika 𝑋 kontinu.
−∞
Standar deviasi dari 𝑋 adalah akar dari 𝑉(𝑋).
Contoh 2.12
Diberikan 7 komponen sebagai sampel yang terdiri atas 4 komponen tidak
rusak dan 3 komponen rusak. Penguji mengambil sampel secara acak
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
sebanyak 3 komponen. Temukan nilai harapan dan variansi dari
banyaknya komponen rusak di dalam pengambilan sampel tersebut.
Solusi:
Misalkan 𝑋 adalah variabel acak yang menunjukkan banyaknya komponen
rusak di dalam sampel. Fungsi probabilitas dari 𝑋 adalah
𝑝(𝑥) =
3
4
(𝑥
)(3−𝑥
)
(73)
,
𝑥 = 0,1,2,3.
Diperoleh:
𝑝(0) =
𝑝(1) =
𝑝(2) =
𝑝(3) =
(30)(43)
(73)
(31)(42)
(73)
(32)(41)
(73)
(33)(40)
(73)
4
= 35,
18
= 35,
12
= 35,
1
= 35.
Oleh karena itu,
4
18
12
1
𝜇 = 𝐸(𝑋) = (0) (35) + (1) (35) + (2) (35) + (3) (35) = 1.3.
3
2
𝜎 = 𝑉(𝑋) = ∑(𝑥 − 1.3)2 𝑝(𝑥)
𝑥=0
= (0 − 1.3)2 (
4
1
) + ⋯ + (3 − 1.3)2 ( )
35
35
= 0.49.
Contoh 2.13
Diberikan variabel acak 𝑋 yang mempunyai fungsi kontinu sebagai
berikut:
𝑓(𝑥) = {
(3⁄8)𝑥 2 , 0 ≤ 𝑑𝑎𝑛𝑥 ≤ 2
0
,
𝑑𝑎𝑛lainnya
Temukanlah nilai harapan dan variansi bagi 𝑋.
Solusi:
Menurut definisi nilai harapan dan variansi, diperoleh:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
2
3
3
1
2
𝜇 = 𝐸(𝑋) = ∫0 𝑥 (8) 𝑥 2 𝑑𝑥 = (8) (4) 𝑥 4 ] = 1.5.
0
2
3
𝜎 2 = 𝑉(𝑋) = ∫0 (𝑥 − 1.5)2 (8) 𝑥 2 𝑑𝑥
3 2
= ( ) ∫ (𝑥 2 − 3𝑥 + 2.25)𝑥 2 𝑑𝑥
8 0
3 2
= ( ) ∫ (𝑥 4 − 3𝑥 3 + 2.25𝑥 2 )𝑑𝑥
8 0
3
1
3
2.25 3
= ( ) (( ) 𝑥 5 − ( ) 𝑥 4 + (
) 𝑥 )]
8
5
4
3
2
0
3 5
9 4
6.75 3 2
=( 𝑥 − 𝑥 +(
) 𝑥 )] = 0.15.
40
32
24
0
Teorema 2.3
Misalkan 𝑋 adalah variabel acak diskrit dengan fungsi probabilitas 𝑝(𝑥)
dan rata-rata 𝐸(𝑋) = 𝜇; maka
𝑉(𝑋) = 𝜎 2 = 𝐸[(𝑋 − 𝜇)2 ] = 𝐸(𝑋 2 ) − [𝐸(𝑋)]2.
Bukti:
𝑉(𝑋) = 𝜎 2 = 𝐸[(𝑋 − 𝜇)2 ]
= 𝐸(𝑋 2 − 2𝜇𝑋 + 𝜇 2 )
= 𝐸(𝑋 2 ) − 2𝜇𝐸(𝑋) + 𝐸(𝜇 2 )
= 𝐸(𝑋 2 ) − 2𝜇 2 + 𝜇 2
= 𝐸(𝑋 2 ) − 𝜇 2
= 𝐸(𝑋 2 ) − [𝐸(𝑋)]2 .
∎
Contoh 2.14. Distribusi Normal
Distribusi probabilitas kontinu yang paling banyak digunakan adalah
distribusi Normal.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
Definisi 2.23
Variabel acak 𝑋 dikatakan berdistribusi Normal jika dan hanya jika untuk
𝜎 > 0 dan −∞ < 𝜇 < ∞, fungsi probabilitas dari 𝑋 adalah
1
2 /(2𝜎 2 )
𝑓(𝑥) = 𝜎√2𝜋 𝑒 −(𝑥−𝜇)
,
−∞ < 𝑥 < ∞.
Teorema 2.4
Jika 𝑋 adalah variabel acak berdistribusi Normal dengan parameter 𝜇 dan
𝜎, maka
𝐸(𝑋) = 𝜇 dan 𝑉(𝑋) = 𝜎 2 .
Bukti:
Rata-rata dari distribusi Normal diberikan dengan
∞
𝐸(𝑋 − 𝜇) = ∫
𝑥−𝜇
−∞ √2𝜋𝜎
1 𝑥−𝜇 2
)
𝜎
𝑑𝑥.
𝑒 −2(
Misalkan 𝑧 = (𝑥 − 𝜇)⁄𝜎 dan 𝑑𝑥 = 𝜎 𝑑𝑧, maka
𝐸(𝑋 − 𝜇) =
∞
𝜎
√2𝜋
∫ 𝑧𝑒
−
𝑧2
2
𝑑𝑧 = 0
−∞
karena fungsi dari 𝑧 adalah fungsi ganjil. Dengan menggunakan Teorema
2.1, diperoleh:
𝐸(𝑋 − 𝜇) = 0
𝐸(𝑋) − 𝜇 = 0
𝐸(𝑋) = 𝜇.
Variansi dari distribusi Normal diberikan dengan
∞
𝐸[(𝑋 − 𝜇)2 ] = ∫
−∞
(𝑥 − 𝜇)2
𝜎√2𝜋
𝑒
1 𝑥−𝜇 2
− (
)
2 𝜎
𝑑𝑥.
Misalkan 𝑧 = (𝑥 − 𝜇)⁄𝜎 dan 𝑑𝑥 = 𝜎 𝑑𝑧, maka
𝐸[(𝑋 − 𝜇)2 ] =
𝑧2
𝜎2
√2𝜋
∞
𝑧2
∫ 𝑧 2 𝑒 − 2 𝑑𝑧.
−∞
𝑧2
Misalkan 𝑢 = 𝑧 dan 𝑑𝑣 = 𝑧𝑒 − 2 𝑑𝑧, maka 𝑑𝑢 = 𝑑𝑧 dan 𝑣 = −𝑒 − 2 ,
sehingga diperoleh:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
𝐸[(𝑋 − 𝜇)
2]
=
𝜎2
√2𝜋
(−𝑧𝑒
−
𝑧2
2|
∞
∞
𝑧2
+ ∫ 𝑒 − 2 𝑑𝑧)
−∞
−∞
= 𝜎 2 (0 + 1) = 𝜎 2 . ∎
Teorema 2.4 menunjukkan bahwa parameter 𝜇 berada pada pusat distribusi
dan 𝜎 mengukur penyebarannya. Grafik fungsi probabilitas Normal
ditunjukkan pada gambar berikut.
Gambar 2.1. Fungsi probabilitas Normal
Variabel acak Normal 𝑋 dapat diubah ke variabel acak Normal standar 𝑍
dengan menggunakan hubungan
𝑍=
𝑋−𝜇
.
𝜎
Kemudian melalui Tabel distribusi Normal Standar (Tabel 𝑍), dapat
digunakan untuk menghitung probabilitas. Nilai rata-rata 𝑍 harus 0 dan
standar deviasinya harus 1.
Contoh 2.15
Skor prestasi untuk ujian masuk perguruan tinggi memiliki rata-rata 75
dan standar deviasi 10. Hitunglah 𝑃(80 < 𝑋 < 90).
Solusi:
Ingat bahwa
𝑍=
𝑋−𝜇
𝜎
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
Dengan demikian,
80 − 75 𝑋 − 𝜇 90 − 75
𝑃(80 < 𝑋 < 90) = 𝑃 (
<
<
)
10
𝜎
10
= 𝑃(0.5 < 𝑍 < 1.5)
= 𝑃(𝑍 > 0.5) − 𝑃(𝑍 > 1.5)
= 0.3085 − 0.0668
= 0.2417
Hasil tersebut dapat diperoleh dengan menggunakan Tabel 𝑍 (terlampir).
Contoh 2.16
Misalkan 𝑍 adalah variabel acak Normal dengan rata-rata 0 dan standar
deviasi 1.
a)
Temukan 𝑃(𝑍 > 2).
b)
Temukan 𝑃(−2 ≤ 𝑍 ≤ 2).
Solusi:
a)
Karena 𝜇 = 0 dan 𝜎 = 1, maka dengan menggunakan Tabel
distribusi Normal, diperoleh 𝑃(𝑍 > 2) = 0.0228.
b)
Karena fungsi probabilitas Normal simetri pada rata-rata
𝜇 = 0, maka dengan menggunakan Tabel 𝑍 (terlampir), diperoleh
𝑃(−2 ≤ 𝑍 ≤ 2) = 1 − 2(𝑃(𝑍 > 2))
= 1 − 2(0.0228) = 0.9544.
Contoh 2.17. Distribusi Chi-Square
Variabel acak kontinu 𝑋 berdistribusi chi-square dengan derajat bebas 𝑣,
jika fungsi probabilitasnya diberikan dengan
1
𝑣
𝑥2
𝑣
2
2 Γ(𝑣⁄2)
𝑓(𝑥; 𝑣) = {
0
−1 −
𝑒
𝑥
2,
𝑑𝑎𝑛𝑥 > 0,
,
𝑑𝑎𝑛lainnya,
dengan 𝑣 adalah bilangan bulat positif dan Γ(𝑣⁄2) adalah fungsi
Gamma.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
Teorema 2.5
Jika 𝑋 adalah variabel acak berdistribusi chi-square dengan derajat bebas
𝑣, maka nilai harapan (rata-rata) dan variansinya adalah
𝜇 = 𝐸(𝑋) = 𝑣 dan 𝜎 2 = 𝑉(𝑋) = 2𝑣.
Bukti:
Misalkan 𝑐 =
1
𝑣
22 Γ(𝑣⁄2)
.
∞
𝑣
𝑥
−1 −
𝐸(𝑋) = ∫ 𝑥𝑐𝑥 2 𝑒 2 𝑑𝑥
0
∞
𝑣
𝑥
= 𝑐 ∫ 𝑥 2 𝑒 −2 𝑑𝑥
0
∞
𝑣
𝑥 ∞
𝑥
𝑣 𝑣
= 𝑐 {[−2𝑥 2 𝑒 −2 ] + ∫ 2 𝑥 2−1 𝑒 −2 𝑑𝑥}
2
0
0
∞
𝑣
𝑥
= 𝑐 {(0 − 0) + 𝑣 ∫ 𝑥 2−1 𝑒 −2 𝑑𝑥}
0
∞
𝑣
𝑥
= 𝑣 ∫ 𝑐𝑥 2−1 𝑒 −2 𝑑𝑥
0
= 𝑣.
(berdasarkan Definisi 2.13 (2))
Berdasarkan Teorema 2.3,
𝑉(𝑋) = 𝐸[(𝑋 − 𝜇)2 ] = 𝐸(𝑋 2 ) − [𝐸(𝑋)]2 .
∞
𝐸(𝑋
2)
= ∫ 𝑥 2 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
−∞
∞
𝑣
𝑥
= ∫ 𝑥 2 𝑐𝑥 2−1 𝑒 −2 𝑑𝑥
0
∞
𝑣
𝑥
= 𝑐 ∫ 𝑥 2+1 𝑒 −2 𝑑𝑥
0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
∞
𝑣
𝑥 ∞
𝑣
𝑥
𝑣
= 𝑐 {−2𝑥 2+1 𝑒 −2 ] + ∫ 2 ( + 1) 𝑥 2 𝑒 −2 𝑑𝑥}
2
0
0
∞
𝑣
𝑥
= 𝑐 {(0 − 0) + (𝑣 + 2) ∫ 𝑥 2 𝑒 −2 𝑑𝑥}
0
∞
𝑣
𝑥
= 𝑐(𝑣 + 2) {∫ 𝑥 2 𝑒 −2 𝑑𝑥 }
0
= 𝑐(𝑣 +
𝑣
𝑥 ∞
2) {[−2𝑥 2 𝑒 −2 ]
0
∞
𝑥
𝑣 𝑣
+ ∫ 2 𝑥 2−1 𝑒 −2 𝑑𝑥}
2
0
∞
𝑣
𝑥
= 𝑐(𝑣 + 2) {(0 − 0) + 𝑣 ∫ 𝑥 2−1 𝑒 −2 𝑑𝑥}
0
∞
𝑣
𝑥
= 𝑣(𝑣 + 2) {∫ 𝑐𝑥 2−1 𝑒 −2 𝑑𝑥}
0
∞
= 𝑣(𝑣 + 2){∫0 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥 } = 𝑣(𝑣 + 2),
(berdasarkan Definisi 2.13 (2))
[𝐸(𝑋)]2 = 𝑣 2
𝑉(𝑋) = 𝐸(𝑋 2 ) − [𝐸(𝑋)]2 = 𝑣(𝑣 + 2) − 𝑣 2 = 𝑣(𝑣 + 2 − 𝑣) = 2𝑣.
c.
Momen dan Fungsi Pembangkit Momen (FPM)
Definisi 2.24
Momen ke-𝑘 dari variabel acak 𝑋 didefinisikan sebagai 𝐸(𝑋 𝑘 ) dan
dinotasikan dengan 𝜇′𝑘 dengan 𝑘 = 1,2,3, … .
∎
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
Definisi 2.25
Fungsi pembangkit momen dari variabel acak 𝑋 diberikan dengan 𝐸(𝑒 𝑡𝑋 )
dan dinotasikan dengan 𝑀𝑋 (𝑡), 𝑡 ∈ ℝ. Oleh karena itu,
∑ 𝑒 𝑡𝑥 𝑝(𝑥)
, jika 𝑑𝑎𝑛𝑋 diskrit,
𝑥
∞
𝑀𝑋 (𝑡) = 𝐸(𝑒 𝑡𝑋 ) =
∫ 𝑒 𝑡𝑥 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 , jika 𝑑𝑎𝑛𝑋 kontinu.
{ −∞
Contoh 2.18
Temukanlah FPM dari Contoh 2.12 dan Contoh 2.13.
Solusi:
Untuk Contoh 2.12, diperoleh:
𝑡𝑋
𝑡𝑥
𝑀𝑋 (𝑡) = 𝐸(𝑒 ) = ∑ 𝑒 𝑝(𝑥)
𝑥
= 𝑒 0𝑡 𝑝(0) + 𝑒 𝑡 𝑝(1) + 𝑒 2𝑡 𝑝(2) + 𝑒 3𝑡 𝑝(3)
=
4 18 𝑡 12 2𝑡
1
+
𝑒 +
𝑒 + 𝑒 3𝑡 .
35 35
35
35
=
1
(4 + 18𝑒 𝑡 + 12𝑒 2𝑡 + 𝑒 3𝑡 ); 𝑡 ∈ ℝ.
35
Untuk Contoh 2.13, diperoleh:
∞
𝑀𝑋 (𝑡) = 𝐸(𝑒
𝑡𝑋 )
= ∫ 𝑒 𝑡𝑥 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
−∞
=
3 2 2 𝑡𝑥
∫ 𝑥 𝑒 𝑑𝑥
8 0
Dengan menggunakan integral parsial, diperoleh hasil sebagai berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
2
3 𝑥 2 𝑒 𝑡𝑥
2 2
𝑀𝑋 (𝑡) = {[
] − ∫ 𝑥𝑒 𝑡𝑥 𝑑𝑥}
8
𝑡 0 𝑡 0
=
3 4𝑒 2𝑡
2 2
[(
) − ∫ 𝑥𝑒 𝑡𝑥 𝑑𝑥 ]
8
𝑡
𝑡 0
Dengan menggunakan kembali integral parsial, diperoleh:
2
3 4𝑒 2𝑡
2 𝑥𝑒 𝑡𝑥
1 2 𝑡𝑥
𝑀𝑋 (𝑡) = [(
)− (
] − ∫ 𝑒 𝑑𝑥)]
8
𝑡
𝑡
𝑡 0 𝑡 0
2
3 4𝑒 2𝑡
2 2𝑒 2𝑡 1 𝑒 𝑡𝑥
= [(
)− (
− [ ] )]
8
𝑡
𝑡
𝑡
𝑡 𝑡 0
=
3 4𝑒 2𝑡
2 2𝑒 2𝑡 1 𝑒 2𝑡 1
[(
)− (
− (
− ))]
8
𝑡
𝑡
𝑡
𝑡 𝑡
𝑡
=
3 4𝑒 2𝑡
2 2𝑒 2𝑡 𝑒 2𝑡 1
[(
)− (
− 2 + 2 )]
8
𝑡
𝑡
𝑡
𝑡
𝑡
=
3 4𝑒 2𝑡 4𝑒 2𝑡 2𝑒 2𝑡 + 2
[
− 2 +
]
8 𝑡
𝑡
𝑡3
3 2
2𝑒 2𝑡 𝑒 2𝑡 + 1
2𝑡
= [ (2𝑒 −
+
)]
8 𝑡
𝑡
𝑡2
=
3
2𝑒 2𝑡 𝑒 2𝑡 + 1
(2𝑒 2𝑡 −
+
).
4𝑡
𝑡
𝑡2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
C.
Distribusi Sampling
Kesimpulan pada statistika pada dasarnya berkaitan dengan generalisasi
dan dugaan yang diperoleh dari sampel. Oleh karena itu, sampel yang diamati
harus memiliki distribusi probabilitas.
Definisi 2.26
Distribusi probabilitas dari statistik disebut sebagai distribusi sampling.
Distribusi sampling dari statistik bergantung pada distribusi populasi, ukuran
sampel, dan metode pemilihan sampel. Distribusi probabilitas dari 𝑥̅ disebut
distribusi sampling dari rata-rata.
Distribusi sampling dari 𝑥̅ dan 𝑠 2 dapat digunakan untuk membuat kesimpulan
pada parameter 𝜇 dan 𝜎 2 .
1.
Teorema Limit Pusat
Jika dilakukan penarikan sampel dari populasi dengan distribusi
yang tidak diketahui, maka distribusi sampling dari 𝑥̅ akan tetap mendekati
2
Normal dengan rata-rata 𝜇 dan variansi 𝜎 ⁄𝑛, asalkan ukuran sampelnya
besar. Hal ini adalah akibat langsung dari Teorema Limit Pusat (TLP).
Teorema 2.6 (TLP)
Misalkan 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 merupakan variabel acak saling bebas dan
terdistribusi dengan 𝐸(𝑥𝑖 ) = 𝜇 dan 𝑉(𝑥𝑖 ) = 𝜎 2 < ∞. Variabel acak 𝑈𝑛
didefinisikan sebagai
𝑥̅ −𝜇
1
dengan 𝑥̅ = 𝑛 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 .
𝑈𝑛 = (𝜎/ 𝑛)
√
Fungsi distribusi dari 𝑈𝑛 konvergen ke fungsi distribusi Normal standar
untuk 𝑛 → ∞, yaitu
𝑢
lim 𝑃(𝑈𝑛 ≤ 𝑢) = ∫
𝑛→∞
1
−∞ √2𝜋
𝑒 −𝑡
2 ⁄2
𝑑𝑡,
∀𝑢 .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
Teorema 2.7
Misalkan 𝑋 dan 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 adalah variabel acak dengan FPM 𝑚(𝑡) dan
𝑚1 (𝑡), 𝑚2 (𝑡), 𝑚3 (𝑡), …, dan seterusnya.
Jika
lim 𝑚𝑛 (𝑡) = 𝑚(𝑡),
∀𝑡 ∈ ℝ,
𝑛→∞
maka fungsi distribusi dari 𝑋𝑛 konvergen ke fungsi distribusi dari 𝑋 untuk
𝑛 → ∞.
Bukti:
Bukti terdapat pada buku Williams, David. (1991). Probability with
Martingales. New York: Cambridge University Press. Halaman: 185.
Bukti Teorema Limit Pusat
Diketahui:
∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖
−𝜇
𝑥̅ − 𝜇
𝑈𝑛 = √𝑛 (
) = √𝑛 ( 𝑛
)
𝜎
𝜎
∑𝑛
𝑖=1 𝑋𝑖 −𝑛𝜇
= √𝑛 (
dengan 𝑧𝑖 =
𝑛𝜎
𝑋𝑖 −𝜇
𝜎
)=
𝑛
√𝑛 ∑𝑖=1 𝑋𝑖 −𝑛𝜇
(
)
𝑛
𝜎
=
1
√𝑛
(∑𝑛𝑖=1 𝑧𝑖 ),
.
Karena variabel acak 𝑥𝑖 saling bebas dan berdistribusi secara identik, maka
𝑧𝑖 dengan 𝑖 = 1,2, . . . , 𝑛 juga saling bebas dan berdistribusi secara identik
dengan 𝐸(𝑧𝑖 ) = 0 dan 𝑉(𝑧𝑖 ) = 1.
Karena fpm dari banyaknya variabel acak saling bebas masing-masing
adalah hasil kali dari masing-masing fpm, maka
𝑚∑ 𝑍𝑖 (𝑡) = 𝑚𝑍1 (𝑡) × 𝑚𝑍2 (𝑡) … × 𝑚𝑍𝑛 (𝑡) = [𝑚𝑍1 (𝑡)]
𝑛
dan
𝑡
𝑡
√
√
𝑛
𝑚𝑈𝑛 (𝑡) = 𝑚∑ 𝑍𝑖 ( 𝑛) = [𝑚𝑍1 ( 𝑛)] .
Dengan menggunakan Teorema Deret Taylor di sekitar 0 dan dengan suku
sisa bentuk Lagrange,
𝑡2
𝑚𝑍1 (𝑡) = 𝑚𝑍1 (0) + 𝑚′𝑍1 (0)𝑡 + 𝑚′′𝑍1 (𝜉) 2 ,
dengan 0 < 𝜉 < 𝑡,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
sehingga
𝑛
𝑚′′𝑍1 (𝜉𝑛 ) 𝑡 2
(𝑡)
𝑚𝑈𝑛
= [1 +
( ) ]
2
√𝑛
= [1 +
𝑚′′𝑍1 (𝜉𝑛 )𝑡 2
2𝑛
𝑛
] , dengan 0 < 𝜉𝑛 <
𝑡
.
√𝑛
Perhatikan bahwa karena 𝑛 → ∞, 𝜉𝑛 → 0 dan
𝑚′′𝑍1 (𝜉𝑛 )(𝑡 2 ⁄2) → 𝑚′′𝑍1 (0)(𝑡 2 ⁄2) = 𝐸(𝑍12 )(𝑡 2 ⁄2) = (𝑡 2 ⁄2)
dengan
𝐸(𝑍12 ) = 𝑉(𝑍1 ) = 1.
Perlu diingat bahwa jika lim 𝑏𝑛 = 𝑏, maka lim (1 +
𝑛→∞
𝑛→∞
𝑏𝑛 𝑛
𝑛
) = 𝑒𝑏.
Akhirnya diperoleh,
lim 𝑚𝑈𝑛 (𝑡) = lim [1 +
𝑛→∞
𝑚′′𝑍1 (𝜉𝑛 )(𝑡 2 ⁄2)
𝑛→∞
𝑛
𝑛
] = 𝑒 (𝑡
2 ⁄2)
,
fpm untuk variabel acak Normal standar. Dengan menerapkan Teorema
2.7, dapat disimpulkan bahwa 𝑈𝑛 memiliki fungsi distribusi yang
konvergen ke fungsi distribusi dari variabel acak Normal standar. ∎
Distribusi 𝑡
2.
Definisi 2.27
𝑥̅ −𝜇
(𝑛−1)𝑠2
√
𝜎2
Misalkan 𝑍 = 𝜎/
adalah variabel acak Normal standar dan 𝑊 =
𝑛
berdistribusi 𝜒 2 dengan derajat bebas 𝑣. Jika 𝑍 dan 𝑊 saling bebas, maka
𝑇=
𝑍
√𝑊/𝑣
berdistribusi 𝑡 dengan derajat bebas 𝑣.
Lemma 2.3
Misalkan 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 sebagai variabel acak saling bebas berdistribusi
Normal dengan rata-rata 𝜇 dan standar deviasi 𝜎; maka variabel acak 𝑇 =
𝑥̅ −𝜇
𝑠/√𝑛
berdistribusi 𝑡 dengan derajat bebas 𝑣 = 𝑛 − 1.
Bukti:
Berdasarkan Definisi 2.27,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
𝑇=
𝑍
=
√𝑊/𝑣
=
=
(𝑥̅ − 𝜇)⁄(𝜎/√𝑛)
√[(𝑛 − 1)𝑠 2 /𝜎 2 ]⁄(𝑛 − 1)
√𝑛(𝑥̅ − 𝜇)⁄𝜎
√𝑠 2 /𝜎 2
√𝑛(𝑥̅ − 𝜇)⁄𝜎 √𝑛(𝑥̅ − 𝜇)
=
𝑠/𝜎
𝑠
berdistribusi 𝑡 dengan derajat bebas 𝑣 = (𝑛 − 1).
∎
Contoh 2.19
Temukan 𝑃(−𝑡0.025 < 𝑇 < 𝑡0.025 ).
Solusi:
Dari tabel distribusi 𝑡 (terlampir) diperoleh,
𝑃(−𝑡0.025 < 𝑇 < 𝑡0.025 ) = 1 − 0.05 − 0.025 = 0.925.
D.
Pendugaan Parameter
Pendugaan adalah pokok bahasan dalam statistika yang berhubungan
dengan pendugaan nilai-nilai parameter berdasarkan data yang diukur/data
empiris yang berasal dari sampel acak. Tujuan dari percobaan atau penelitian
statistik adalah untuk menduga satu atau lebih parameter yang relvan. Pendugaan
parameter adalah suatu proses untuk membuat kesimpulan tentang parameter
populasi berdasarkan sampel acak.
1.
Pendugaan (Estimasi)
Di dalam statistika, pendugaan-pendugaan dilakukan untuk
menyimpulkan karakteristik dari populasi (parameter).
Definisi 2.28 (Wackerly, et al., 2008: 391)
Penduga adalah suatu aturan, yang dinyatakan dalam bentuk rumus, yang
memberitahukan bagaimana cara menghitung nilai suatu dugaan
berdasarkan pengukuran yang termuat di dalam sampel.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
Penduga dari parameter 𝜃 adalah statistik 𝜃̂. Contoh dari parameter
𝜃 dapat berupa rata-rata µ, standar deviasi 𝜎, dan proporsi 𝑝 yang diduga
dengan rata-rata 𝑥̅ , standar deviasi 𝑠, dan proporsi 𝑝̂ .
2.
Macam-Macam Pendugaan Parameter
Nilai parameter dapat diduga dengan dua cara, yakni: penduga titik
dan penduga selang.
2.1.
Penduga Titik
Definisi 2.29
Penduga titik adalah penentuan suatu nilai tunggal berdasarkan atas
sampel yang dengan baik menduga parameter yang sebenarnya.
Bias dan Rata-rata Galat Kuadrat dari Penduga Titik
Dalam pemilihan sampel, hal yang sering dilakukan adalah
memilih anggota yang paling cocok dari populasi. Cara tersebut
dapat menyebabkan kesimpulan yang keliru mengenai populasi dan
dapat dikatakan sebagai bias. Oleh karena itu, diperlukan pemilihan
sampel secara acak.
Misalkan seorang pria menembak satu tembakan pada suatu
sasaran dan mengenai sasaran tersebut. Apakah dapat disimpulkan
bahwa pria tersebut adalah penembak jitu? Apakah ingin
disimpulkan dugaan sementara pada tembakan kedua? Jelas, tidak
bisa disimpulkan bahwa pria tersebut adalah seorang ahli menembak
berdasarkan bukti yang sedikit. Di sisi lain, jika 100 tembakan
berturut-turut dapat menembak tepat sasaran, mungkin dapat
diperoleh keyakinan bahwa orang tersebut adalah seorang penembak
jitu dan berkeyakinan besar untuk menembak tepat sasaran. Dapat
dikatakan bahwa hal itu adalah distribusi dari pendugaan yang tepat
mengenai parameter sasaran, seperti yang ditunjukkan pada Gambar
2.2. Dengan kata lain, rata-rata atau nilai yang diharapkan dari
distribusi nilai dugaan akan sama dengan parameter nilai dugaan,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
yaitu 𝐸(𝜃̂) = 𝜃. Penduga titik yang memenuhi sifat ini dikatakan
sebagai penduga tak bias. Distribusi sampling untuk suatu penduga
titik bias positif adalah 𝐸(𝜃̂) > 𝜃, ditunjukkan pada Gambar 2.3.
𝜃
𝜃̂
Gambar 2.2. Distribusi Nilai Dugaan
Gambar 2.3. Distribusi Sampling untuk Penduga Titik Bias Positif
Definisi 2.30
Misalkan 𝜃̂ adalah penduga titik dari parameter 𝜃, maka 𝜃̂ adalah
penduga tak bias bagi 𝜃 jika 𝐸(𝜃̂) = 𝜃. Jika 𝐸(𝜃̂ ) ≠ 𝜃, maka 𝜃̂
dikatakan penduga yang bias bagi 𝜃.
Definisi 2.31
Bias dari penduga titik 𝜃̂ didefinisikan sebagai 𝐵(𝜃̂ ) = 𝐸(𝜃̂) − 𝜃.
Contoh 2.20
Misalkan 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 adalah sampel acak dengan 𝐸(𝑥𝑖 ) = 𝜇 dan
1
2
𝑉(𝑥𝑖 ) = 𝜎 2 . Tunjukkan bahwa 𝑠 ′ = 𝑛 ∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 adalah
1
penduga bias bagi 𝜎 2 dan bahwa 𝑠 2 = 𝑛−1 ∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 adalah
penduga tak bias bagi 𝜎 2 .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
Solusi:
𝑛
𝑛
∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 = ∑(𝑥𝑖2 − 2𝑥̅ 𝑥𝑖 + 𝑥̅ 2 )
𝑖=1
𝑖=1
𝑛
=
𝑛
∑ 𝑥𝑖2
𝑖=1
𝑛
− 2𝑥̅ ∑ 𝑥𝑖 + ∑ 𝑥̅ 2
𝑖=1
𝑖=1
𝑛
= ∑ 𝑥𝑖2 − 2𝑥̅ 𝑛 𝑥̅ + 𝑛𝑥̅ 2
𝑖=1
𝑛
=
𝑛
∑ 𝑥𝑖2
𝑖=1
− 2𝑛𝑥̅ 2 + 𝑛𝑥̅ 2 = ∑ 𝑥𝑖2 − 𝑛𝑥̅ 2
𝑖=1
sehingga,
𝑛
)2
𝐸 [∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ ] =
𝑖=1
𝑛
𝑛
𝐸 [∑ 𝑥𝑖2
𝑖=1
− 𝑛𝑥̅ ] = 𝐸 [∑ 𝑥𝑖2 ] − n𝐸[𝑥̅ 2 ]
2
𝑖=1
𝑛
= ∑ 𝐸[𝑥𝑖2 ] − n𝐸[𝑥̅ 2 ]
𝑖=1
Karena
𝐸[𝑋𝑖2 ]
sama untuk ∀𝑖 = 1,2, … , 𝑛 dan
𝑉(𝑋) = 𝐸[𝑋 2 ] − (𝐸[𝑋])2 = 𝐸[𝑋 2 ] − 𝜇 2,
maka
𝐸[𝑋 2 ] = 𝑉(𝑋) + 𝜇 2
dan
𝑛
𝑛
𝐸 [∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ ] = ∑ 𝐸[𝑥𝑖2 ] − n𝐸[𝑥̅ 2 ]
)2
𝑖=1
𝑖=1
𝑛
= ∑[𝑉(𝑥𝑖 ) + 𝜇 2 ] − 𝑛[𝑉(𝑥̅ ) + 𝜇 2 ]
𝑖=1
𝑛
𝜎2
= ∑(𝜎 2 + 𝜇 2 ) − 𝑛 ( + 𝜇 2 )
𝑛
𝑖=1
= 𝑛(𝜎 2 + 𝜇 2 ) − 𝑛 (
𝜎2
+ 𝜇2)
𝑛
= 𝑛𝜎 2 + 𝑛𝜇 2 − 𝜎 2 − 𝑛𝜇 2
= (𝑛 − 1)𝜎 2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
Oleh karena itu,
1
1
2
𝐸(𝑠 ′ ) = 𝑛 𝐸[∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 ] = 𝑛 [(𝑛 − 1)𝜎 2 ] =
𝑛
𝑛−1
Dengan demikian, 𝑠 ′
2
𝑛−1
𝑛
𝜎 2 , maka
2
𝐸(𝑠 ′ ) = 𝜎 2 .
adalah penduga bias bagi 𝜎 2 karena
2
𝐸(𝑠 ′ ) ≠ 𝜎 2 .
Akan tetapi,
𝑛
𝐸(𝑠
2)
1
=
𝐸 [∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 ]
𝑛−1
𝑖=1
1
[(𝑛 − 1)𝜎 2 ]
𝑛−1
𝑛−1 2
=
𝜎 = 𝜎2,
𝑛−1
=
sehingga 𝑠 2 adalah penduga tak bias bagi 𝜎 2 karena 𝐸(𝑠 2 ) = 𝜎 2 .
Definisi 2.32
Rata-rata kuadrat galat (Mean Square Error) dari penduga titik 𝜃̂
adalah
2
𝑀𝑆𝐸(𝜃̂) = 𝐸 [(𝜃̂ − 𝜃) ].
𝑀𝑆𝐸(𝜃̂) adalah fungsi dari variansi dan biasnya.
Definisi 2.33
2
Variansi penduga titik 𝜃̂ adalah 𝑉(𝜃̂) = 𝐸 [(𝜃̂ − 𝐸(𝜃̂ )) ].
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
Teorema 2.8
Jika 𝐵(𝜃̂) menunjukkan bias dari penduga titik 𝜃̂, maka
2
𝑀𝑆𝐸(𝜃̂) = 𝑉(𝜃̂ ) + [𝐵(𝜃̂ )] .
Bukti:
Petunjuk:
(𝜃̂ − 𝜃) = [𝜃̂ − 𝐸(𝜃̂)] + [𝐸(𝜃̂) − 𝜃] = [𝜃̂ − 𝐸(𝜃̂)] + 𝐵(𝜃̂).
Dengan menggunakan petunjuk di atas, diperoleh:
2
𝑀𝑆𝐸(𝜃̂) = 𝐸 [(𝜃̂ − 𝜃) ]
= 𝐸 [((𝜃̂ − 𝐸(𝜃̂)) + 𝐵(𝜃̂ )) ∙ ((𝜃̂ − 𝐸(𝜃̂)) + 𝐵(𝜃̂))]
2
2
= 𝐸 [(𝜃̂ − 𝐸(𝜃̂)) + 2 (𝜃̂ − 𝐸(𝜃̂)) 𝐵(𝜃̂) + (𝐵(𝜃̂)) ]
2
2
= 𝐸 [(𝜃̂ − 𝐸(𝜃̂)) ] + 2𝐵(𝜃̂)𝐸[𝜃̂ − 𝐸(𝜃̂)] + [𝐵(𝜃̂)]
= 𝑉(𝜃̂) + 2𝐵(𝜃̂)(𝐸[𝜃̂] − 𝐸[𝐸(𝜃̂)]) + [𝐵(𝜃̂)]
2
2
= 𝑉(𝜃̂) + 2𝐵(𝜃̂)[𝐸(𝜃̂) − 𝐸(𝜃̂)] + [𝐵(𝜃̂)]
2
= 𝑉(𝜃̂) + [𝐵(𝜃̂)] .
∎
Tabel 2.2. Nilai Harapan dan galat standar Beberapa Penduga Titik
Penduga
Parameter
Ukuran
Galat standar
Titik
Sasaran
̂
𝐸(𝜃 )
Sampel
𝜎𝜃
̂
𝜃
𝜃
𝜇
𝑛
𝑋̅
𝑝
𝑛
𝑝̂ =
𝜇1 − 𝜇2
𝑛1 dan 𝑛2
𝑋̅1 − 𝑋̅2
𝜇1 − 𝜇2
𝑝1 − 𝑝2
𝑛1 dan 𝑛2
𝑝̂1 − 𝑝̂2
𝑝̂1 − 𝑝̂2
𝜇
𝑋
𝑛
𝑝
𝜎
√𝑛
𝑝𝑞
√
𝑛
𝜎2 𝜎2
√ 1 + 2
𝑛1 𝑛2
𝑝1 𝑞1 𝑝2 𝑞2
+
√
𝑛1
𝑛2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
2.2.
Penduga Selang Kepercayaan
Definisi 2.33
Penduga selang adalah suatu penentuan selang nilai yang dihitung
berdasarkan pengukuran sampel dan mempunyai peluang tertentu,
akan memuat parameter yang sebenarnya.
Idealnya, selang yang dihasilkan akan memiliki dua sifat:
Pertama, akan memuat parameter sasaran 𝜃; kedua, menghasilkan
selang yang relatif sempit. Salah satu atau kedua batas dari selang
menjadi fungsi dari pengukuran sampel, yang akan bervariasi secara
acak dari sampel yang satu ke sampel lainnya.
Penduga selang biasa disebut “Selang Kepercayaan”. Probabilitas bahwa selang kepercayaan akan memuat parameter sasaran
𝜃 disebut “Koefisien Kepercayaan”. Jika diketahui bahwa koefisien
kepercayaan memiliki nilai yang tinggi, maka dapat dipercaya
bahwa setiap selang kepercayaan yang dibentuk dengan menggunakan hasil dari sampel akan memuat parameter sasaran 𝜃.
Misalkan 𝜃̂𝐿 dan 𝜃̂𝑈 adalah batas bawah dan atas untuk parameter 𝜃.
Jika
𝑃(𝜃̂𝐿 ≤ 𝜃 ≤ 𝜃̂𝑈 ) = 1 − 𝛼,
untuk 0 < 𝛼 < 1, maka probabilitas (1 − 𝛼) adalah koefisien
kepercayaan. Selang 𝜃̂𝐿 ≤ 𝜃 ≤ 𝜃̂𝑈 dihitung dari sampel yang
diseleksi, ini adalah selang kepercayaan 100(1 − 𝛼)%, dan titik
akhir 𝜃̂𝐿 dan 𝜃̂𝑈 sebagai titik batas terbesar dan terkecil dari selang
kepercayaan. Jadi, sebagai contohnya, ketika 𝛼 = 0.05, berarti
diperoleh selang kepercayaan 95%, dan ketika 𝛼 = 0.01, diperoleh
selang kepercayaan 99%. Semakin lebar selang kepercayaan, maka
selang kepercayaan tersebut memuat parameter yang tidak diketahui.
Akan tetapi, lebih baik jika menghasilkan selang yang relatif pendek
dengan tingkat kepercayaan yang tinggi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
Selang acak yang dihasilkan didefinisikan dengan [𝜃̂𝐿 , 𝜃̂𝑈 ] yang
disebut sebagai “Selang Kepercayaan Dua Sisi”.
Definisi 2.34
Selang kepercayaan satu sisi yang dinyatakan dengan
𝑃(𝜃̂𝐿 ≤ 𝜃) = 1 − 𝛼
akan menghasilkan selang kepercayaan satu sisi bawah, yaitu
[𝜃̂𝐿 , ∞), dan
𝑃(𝜃 ≤ 𝜃̂𝑈 ) = 1 − 𝛼
akan menghasilkan selang kepercayaan satu sisi atas, yaitu
(−∞, 𝜃̂𝑈 ].
Salah satu metode yang sangat berguna untuk mencari selang
kepercayaan adalah Metode Pivot. Metode ini tergantung pada suatu
nilai yang disebut besaran Pivot. Besaran ini memiliki dua karakteristik, yaitu:
i. Merupakan fungsi dari pengukuran sampel dan parameter 𝜃 yang
tidak diketahui.
ii. Distribusi probabilitas dari besaran ini tidak tergantung pada
parameter 𝜃.
Jika distribusi probabilitas dari besaran Pivot diketahui, maka
besaran tersebut dapat digunakan untuk membentuk nilai dugaan
selang yang diinginkan.
Contoh 2.21
Diberikan pengamatan tunggal 𝑋 dari distribusi eksponensial dengan
rata-rata 𝜃. Gunakan 𝑋 untuk membentuk selang kepercayaan bagi
𝜃 dengan koefisien kepercayaan 0.90.
Solusi:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
Fungsi densitas probabilitas bagi 𝑋 diberikan dengan
1
𝑥
( ) 𝑒 − ⁄𝜃 ,
𝑓(𝑥) = { 𝜃
0
,
𝑑𝑎𝑛𝑥 ≥ 0
danlainnya
𝑋
Dengan menggunakan Metode Pivot, akan diperiksa apakah 𝑈 = 𝜃
memenuhi syarat sebagai besaran Pivot?
𝑋
1) 𝑈 = 𝜃 adalah fungsi dari 𝑋 (ukuran sampel) dan 𝜃 tidak
diketahui.
𝑋
2) 𝑈 = 𝜃
𝑓𝑢 (𝑢) = ⋯ ?
Untuk 𝑥 < 0, 𝐹(𝑥) = 0.
Untuk 𝑥 ≥ 0,
0
𝑥
1
1
𝑡
𝑡
𝑥
𝐹(𝑥) = ∫ 0 𝑑𝑡 + ∫ ( ) 𝑒 − ⁄𝜃 𝑑𝑡 = (−𝜃)𝑒 − ⁄𝜃 ]
0
𝜃
−∞
0 𝜃
= −𝑒 −
𝑥⁄
𝜃
0
,
𝐹(𝑥) = { −𝑥⁄
−𝑒 𝜃 + 1,
+ 1.
𝑑𝑎𝑛𝑥 < 0
𝑑𝑎𝑛𝑥 ≥ 0
𝑋
𝐹𝑢 (𝑢) = 𝑃(𝑈 ≤ 𝑢) = 𝑃 ( ≤ 𝑢)
𝜃
= 𝑃(𝑋 ≤ 𝑢𝜃) = 𝐹(𝑢𝜃) = −𝑒 −
= −𝑒 −𝑢 + 1.
0
,
−𝑢
−𝑒 + 1,
𝑑𝑎𝑛𝑢 < 0
𝑑𝑎𝑛𝑢 ≥ 0
0
𝑒 −𝑢
𝑑𝑎𝑛𝑢 < 0
𝑑𝑎𝑛𝑢 ≥ 0
𝐹𝑢 (𝑢) = {
𝑓𝑢 (𝑢) = {
,
,
 𝑓𝑢 (𝑢) tidak bergantung pada 𝜃.
𝑢𝜃⁄
𝜃
+1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42

Kedua syarat besaran Pivot terpenuhi
f(u)
0.05
0.05
0.90
a
b
u
Gambar 2.4. Fungsi probabilitas bagi 𝑈
Selanjutnya akan dicari selang kepercayaan bagi 𝜃
𝑎
∗ 𝑃(𝑈 < 𝑎) = ∫0 𝑒 −𝑢 𝑑𝑢 = 0.05
−𝑒 −𝑢 ]
𝑎 = 0.05
0
1−𝑒 −𝑎 = 0.05
𝑒 −𝑎 = 0.95
ln(𝑒 −𝑎 ) = ln(0.95)
−𝑎 = −0.051
𝑎 = 0.051
∞
*𝑃(𝑈 > 𝑏) = ∫𝑏 𝑒 −𝑢 𝑑𝑢 = 0.05
−𝑒 −𝑢 ]
∞ = 0.05
𝑏
𝑒 −𝑏 = 0.05
ln(𝑒 −𝑏 ) = ln(0.05)
−𝑏 = −2.996
𝑏 = 2.996
sehingga,
𝑋
0.9 = 𝑃(0.051 ≤ 𝑈 ≤ 2.996) = 𝑃 (0.051 ≤ 𝜃 ≤ 2.996).
Karena akan dicari penduga selang bagi 𝜃, maka diperoleh:
𝑋
0.051 1 2.996
≤ 2.996) = 𝑃 (
≤ ≤
)
𝜃
𝑋
𝜃
𝑋
𝑋
𝑋
𝑋
𝑋
0.9 = 𝑃 (
≥𝜃≥
) = 𝑃(
≤𝜃≤
)
0.051
2.996
2.996
0.051
0.9 = 𝑃 (0.051 ≤
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
Dengan demikian, diperoleh batas bawah dan batas atas untuk selang
𝑋
𝑋
kepercayaan 𝜃 adalah 2.996 dan 0.051.
2.3.
Selang Kepercayaan Sampel Besar
Untuk sampel besar, semua penduga titik akan mendekati
distribusi sampling Normal dengan galat standar yang telah
ditunjukkan pada Tabel 2.2.
Jika parameter sasaran 𝜃 adalah 𝜇, 𝑝, 𝜇1 − 𝜇2 , atau
𝑝1 − 𝑝2 , maka untuk sampel besar,
𝑍=
𝜃̂ − 𝜃
𝜎𝜃̂
akan mendekati distribusi Normal standar. Akibatnya, 𝑍 adalah
suatu besaran Pivot dan Metode Pivot dapat digunakan untuk
menghasilkan selang kepercayaan untuk parameter sasaran 𝜃.
Contoh 2.22
Misalkan 𝜃̂ adalah statistik berdistribusi Normal dengan rata-rata 𝜃
dan galat standar 𝜎𝜃 . Temukan selang kepercayaan bagi 𝜃 yang
memiliki koefisien kepercayaan (1 − 𝛼).
Solusi:
Nilai 𝑍 =
̂ −𝜃
𝜃
𝜎𝜃
̂
berdistribusi Normal. Sekarang, pilih dua nilai di
dalam selang, yaitu 𝑧𝛼⁄2 dan −𝑧𝛼⁄2 , sehingga
𝑃(−𝑧𝛼⁄2 ≤ 𝑍 ≤ 𝑧𝛼⁄2 ) = 1 − 𝛼.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
α/2
1-α
−𝑧𝛼 ⁄2
0
α/2
𝑧𝛼 ⁄2
Gambar 2.5. Letak −𝑧𝛼⁄2 dan 𝑧𝛼⁄2
Dengan mensubstitusi nilai 𝑍 =
𝑃 (−𝑧𝛼⁄2 ≤
̂ −𝜃
𝜃
̂ −𝜃
𝜃
𝜎𝜃
̂
𝜎𝜃
̂
, diperoleh
≤ 𝑧𝛼⁄2 ) = 1 − 𝛼.
Pada ketidaksamaan tersebut, kalikan semuanya dengan 𝜎𝜃̂ ,
diperoleh
𝑃(−𝑧𝛼⁄2 𝜎𝜃̂ ≤ 𝜃̂ − 𝜃 ≤ 𝑧𝛼⁄2 𝜎𝜃̂ ) = 1 − 𝛼
𝑃(−𝜃̂ − 𝑧𝛼⁄2 𝜎𝜃̂ ≤ −𝜃 ≤ −𝜃̂ + 𝑧𝛼⁄2 𝜎𝜃̂ ) = 1 − 𝛼
𝑃(𝜃̂ − 𝑧𝛼⁄2 𝜎𝜃̂ ≤ 𝜃 ≤ 𝜃̂ + 𝑧𝛼⁄2 𝜎𝜃̂ ) = 1 − 𝛼
Dengan demikian, titik akhir untuk 100(1 − 𝛼)% selang kepercayaan bagi 𝜃 diberikan dengan
𝜃̂𝐿 = 𝜃̂ − 𝑧𝛼⁄2 𝜎𝜃̂ dan 𝜃̂𝑈 = 𝜃̂ + 𝑧𝛼⁄2 𝜎𝜃̂ .
∎
Dengan cara yang sama, dapat ditentukan pula 100(1 − 𝛼)% batas
kepercayaan satu sisi, yaitu
100(1 − 𝛼)% batas bawah bagi 𝜃 = 𝜃̂ − 𝑧𝛼 𝜎𝜃̂ .
100(1 − 𝛼)% batas atas bagi 𝜃 = 𝜃̂ + 𝑧𝛼 𝜎𝜃̂ .
Contoh 2.23
Suatu supermarket mencatat waktu belanja 64 sampel acak dari
konsumen yang datang. Rata-rata dan variansi dari ke-64 konsumen
tersebut adalah 33 dan 256 menit. Tentukan penduga waktu rata-
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
rata setiap konsumen (µ) dengan koefisien kepercayaan dari 1 −
𝛼 = 0.9.
Solusi:
Diketahui: 𝑛 = 64, 𝑥̅ = 33 dan 𝑠 2 = 256.
Variansi dari populasi tidak diketahui, maka digunakan s2 untuk
menduga 𝜎 2 . Batas selang kepercayaan adalah
𝜃̂ ± 𝑧𝛼⁄2 𝜎𝜃̂
akan menjadi
𝑥̅ ± 𝑧𝛼⁄2 (
Dengan
menggunakan
𝜎
𝑠
) ≈ 𝑥̅ ± 𝑧𝛼⁄2 ( )
√𝑛
√𝑛
Tabel
Z
(terlampir),
diperoleh
𝑧𝛼⁄2 = 𝑧0.05 = 1.645; oleh karena itu, batas kepercayaannya adalah
𝑠
𝑥̅ − 𝑧𝛼⁄2 ( 𝑛) = 33 − 1.645 (
√
𝑠
𝑥̅ + 𝑧𝛼⁄2 ( 𝑛) = 33 + 1.645 (
√
16
) = 29.71l,
√64
16
) = 36.29.
√64
Dengan demikian, selang kepercayaan bagi 𝜇 adalah (29.71,36.29).
Dalam pengambilan sampel berulang, sekitar 90% dari semua
selang yang berbentuk 𝑥̅ ± 1,645 (𝑠/√𝑛) akan memuat 𝜇, yaitu
rata-rata sebenarnya dari waktu belanja setiap pelanggan.
E.
Konsistensi Penduga
Definisi 2.36
Penduga 𝜃̂𝑛 dikatakan sebagai penduga konsisten bagi 𝜃 jika ∀𝜀 > 0,
lim 𝑃(|𝜃̂𝑛 − 𝜃| ≤ 𝜀) = 1,
𝑛→∞
atau
lim 𝑃(|𝜃̂𝑛 − 𝜃| > 𝜀) = 0.
𝑛→∞
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
Teorema 2.9
Suatu penduga tak bias 𝜃̂𝑛 bagi 𝜃 adalah penduga konsisten bagi 𝜃 jika
lim 𝑉(𝜃̂𝑛 ) = 0.
𝑛→∞
Bukti:
Jika 𝑋 adalah sembarang variabel acak dengan 𝐸(𝑋) = 𝜇 dan 𝑉(𝑋) = 𝜎 2 < ∞
dan ∀𝑘 > 0, dapat digunakan Teorema Tchebysheff yang menyatakan bahwa
𝑃(|𝑋 − 𝜇| > 𝑘𝜎) ≤
1
.
𝑘2
Bukti Teorema Tchebysheff terdapat pada buku Wackerly, et al. (2008).
Mathematical Statistics with Applications. Seventh Edition. Duxbury: Thomson
Brooks/Cole. Halaman: 208.
Karena 𝜃̂𝑛 adalah penduga tak bias bagi 𝜃, itu menunjukkan bahwa
𝐸(𝜃̂𝑛 ) = 𝜃.
Misalkan 𝜎𝜃̂𝑛 = √𝑉(𝜃̂𝑛 ) menotasikan galat standar bagi 𝜃̂𝑛 .
Dengan menerapkan Teorema Tchebysheff untuk variabel acak 𝜃̂𝑛 , diperoleh:
𝑃(|𝜃̂𝑛 − 𝜃| > 𝑘𝜎𝜃̂𝑛 ) ≤
Misalkan 𝑛 adalah ukuran sampel,
𝜀
𝑘=
, ∀𝜀 > 0,
𝜎𝜃̂𝑛
1
.
𝑘2
𝑘 > 0.
Penerapan Teorema Tchebysheff untuk pemilihan nilai 𝑘 tersebut menunjukkan
bahwa
𝑉(𝜃̂𝑛 )
𝜀
1
𝑃(|𝜃̂𝑛 − 𝜃| > 𝜀) = 𝑃 (|𝜃̂𝑛 − 𝜃| > [ ] 𝜎𝜃̂𝑛 ) ≤
=
.
2
𝜎𝜃̂𝑛
𝜀2
(𝜀 ⁄𝜎𝜃̂𝑛 )
Dengan demikian,
0 ≤ 𝑃(|𝜃̂𝑛 − 𝜃| > 𝜀) ≤
𝑉(𝜃̂𝑛 )
.
𝜀2
Bila lim 𝑉(𝜃̂𝑛 ) = 0, maka untuk 𝑛 → ∞,
𝑛→∞
𝑉(𝜃̂𝑛 )
= 0.
𝑛→∞ 𝜀 2
lim 0 ≤ lim 𝑃(|𝜃̂𝑛 − 𝜃| > 𝜀) ≤ lim
𝑛→∞
𝑛→∞
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
Dengan demikian, 𝜃̂𝑛 adalah penduga konsisten bagi 𝜃. ∎
Contoh 2.24
Misalkan 𝑋𝑖 adalah variabel acak berdistribusi Normal dengan 𝑖 = 1,2, . . 𝑛, ratarata 𝜇 dan variansi 𝜎 2 . Tunjukkan bahwa 𝑋̅ adalah penduga konsisten bagi 𝜇.
Solusi:
Akan diperiksa terlebih dahulu apakah 𝑋̅ merupakan penduga tak bias bagi 𝜇.
1
1
1
𝐸(𝑋̅) = 𝐸 ( ∑ 𝑋𝑖 ) = [𝐸(𝑋1 ) + 𝐸(𝑋2 ) + ⋯ + 𝐸(𝑋𝑛 )] = ∙ 𝑛𝜇 = 𝜇.
𝑛
𝑛
𝑛
Terbukti bahwa 𝑋̅ adalah penduga tak bias bagi 𝜇.
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa 𝑋̅ adalah penduga konsisten bagi 𝜇.
1
1
𝑉(𝑋̅) = 𝑉 ( ∑ 𝑋𝑖 ) = 2 [𝑉(𝑋1 ) + 𝑉(𝑋2 ) + ⋯ + 𝑉(𝑋𝑛 )]
𝑛
𝑛
=
1
𝜎2
2
∙
𝑛𝜎
=
.
𝑛2
𝑛
𝜎2
= 0.
𝑛→∞
𝑛→∞ 𝑛
Jadi, terbukti bahwa 𝑋̅ adalah penduga konsisten bagi 𝜇. ∎
lim 𝑉(𝑋̅) = lim
F.
Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Estimation
Method/MLE)
Salah satu metode dalam pendugaan parameter adalah metode Pendugaan
Kemungkinan Maksimum (MLE). Sebagai contoh, misalkan terdapat sebuah
kotak yang berisi tiga bola. Diketahui bahwa setiap bola berwarna merah atau
putih, tetapi tidak diketahui banyaknya bola untuk setiap warna. Dipilih sampel
secara acak dua bola tanpa pengembalian. Jika sampel acak menghasilkan dua
bola merah, maka disimpulkan bahwa banyaknya bola merah pada kotak haruslah
dua atau tiga. Jika terdapat dua bola merah dan satu bola putih pada kotak, maka
peluang terpilihnya dua bola merah secara acak adalah
(22)(10)
(32)
1
= .
3
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
Di sisi lain ketika ketiga bola berwarna merah, maka peluang terpilihnya
tiga bola merah secara acak adalah
(32)
(32)
= 1.
Oleh karena itu, dipilih tiga bola merah sebagai penduga dari banyaknya
bola merah di dalam kotak karena nilai dugaan ini merupakan penduga yang
memaksimumkan probabilitas dari sampel yang diamati. Hal ini jika
dibandingkan dengan dua bola merah, tiga bola merah mempunyai probabilitas
1
yang lebih besar, yaitu 1 > 3. Tentu saja kemungkinan terdapat dua bola merah
pada kotak juga benar, tetapi hasil yang diamati memberikan kepercayaan yang
lebih untuk tiga bola merah di dalam kotak.
Contoh tersebut mengilustrasikan sebuah metode untuk menemukan sebuah
penduga yang dapat diaplikasikan pada berbagai situasi. Secara teknis, metode ini
disebut Metode Kemungkinan Maksimum. Metode tersebut diperkenalkan
pertama kali oleh R. A. Fisher (1912) yang menghasilkan penduga yang sangat
baik bagi parameter 𝜃 untuk sampel berukuran besar.
Definisi 2.37
Diberikan pengamatan saling bebas 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 yang merupakan variabel acak
kontinu berukuran 𝑛 dengan fungsi probabilitas 𝑓(𝑥|𝜃) dan 𝜃 adalah parameter
yang tidak diketahui. Misalkan fungsi kemungkinan tergantung pada 𝑘 buah
parameter, yaitu 𝜃1 , 𝜃2 , … , 𝜃𝑘 , maka tujuan dari metode kemungkinan maksimum
adalah untuk menentukan penduga dari 𝜃 yang memaksimumkan fungsi
likelihood
𝑛
𝐿(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 |𝜃1 , 𝜃2 , … , 𝜃𝑘 ) = 𝑓(𝑥|𝜃) = ∏ 𝑓(𝑥𝑖 ; 𝜃).
𝑖=1
Terkadang sulit untuk mencari turunan fungsi likelihood, maka yang
dilakukan adalah menentukan nilai maksimum dari fungsi log-likelihood. Fungsi
log-likelihood dapat ditulis dalam bentuk:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
𝑙 = ln 𝐿(𝜃).
Nilai parameter 𝜃 dapat diperoleh dengan memaksimumkan fungsi loglikelihood. Hal tersebut dilakukan dengan mencari turunan parsial pertama dari
fungsi log-likelihood-nya terhadap setiap parameternya. Sehingga, MLE 𝜃̂
merupakan penyelesaian dari persamaan berikut:
𝜕𝑙
= 0.
𝜕𝜃
Misalkan terdapat 𝑘 buah parameter yang tidak diketahui, maka pendugaan
parameter 𝜃𝑖 dengan Metode Kemungkinan Maksimum adalah
𝜕𝑙
= 0,
𝜕𝜃𝑖
dengan 𝑙 = ln(𝜃1 , 𝜃2 , … , 𝜃𝑘 ), 𝑖 = 1,2, … , 𝑘.
Contoh 2.25
Misalkan 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 adalah sampel acak berdistribusi Normal dengan rata-rata
𝜇 dan variansi 𝜎 2 . Temukanlah 𝜇̂ dan 𝜎̂ 2 dengan menggunakan Metode
Kemungkinan Maksimum.
Solusi:
Karena 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 adalah sampel acak kontinu berdistribusi Normal dengan
rata-rata 𝜇 dan variansi 𝜎 2 , maka fungsi probabilitasnya didefinisikan sebagai
𝑓(𝑥) =
1
𝜎√2𝜋
exp [(−
1
) (𝑥 − 𝜇)2 ] ,
2𝜎 2
− ∞ < 𝑥 < ∞.
Berdasarkan Definisi MLE, diperoleh
𝐿(𝜇, 𝜎 2 ) = 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 |𝜇, 𝜎 2 )
= 𝑓(𝑥1 |𝜇, 𝜎 2 ) × 𝑓(𝑥2 |𝜇, 𝜎 2 ) × … × 𝑓(𝑥𝑛 |𝜇, 𝜎 2 )
=[
1
𝜎√2𝜋
exp (
−(𝑥1 − 𝜇)2
1
−(𝑥𝑛 − 𝜇)2
)]
×
…
×
[
exp
(
)]
2𝜎 2
2𝜎 2
𝜎√2𝜋
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
𝑛
𝑛
1 2
1
=(
) exp [− 2 ∑(𝑥𝑖 − 𝜇)2 ].
2
2𝜋𝜎
2𝜎
𝑖=1
Fungsi log-likelihood dari persamaan di atas adalah
𝑛
𝑛
1 2
1
ln[𝐿(𝜇, 𝜎 2 )] = ln {(
) exp [− 2 ∑(𝑥𝑖 − 𝜇)2 ]}
2
2𝜋𝜎
2𝜎
𝑖=1
𝑛
𝑛
1
1
= [ln (
)] − 2 ∑(𝑥𝑖 − 𝜇)2
2
2
2𝜋𝜎
2𝜎
𝑖=1
𝑛
𝑛
𝑛
1
= − ln(𝜎 2 ) − ln(2𝜋) − 2 ∑(𝑥𝑖 − 𝜇)2
2
2
2𝜎
𝑖=1
Penduga kemungkinan maksimum dari 𝜇 dan 𝜎 2 adalah penduga yang
memaksimumkan ln[𝐿(𝜇, 𝜎 2 )] dengan mencari nilai turunan parsial terhadap 𝜇
dan 𝜎 2 , maka diperoleh
𝑛
1
𝜕 ln[𝐿(𝜇, 𝜎 2 )]
= 2 ∑(𝑥𝑖 − 𝜇)
𝜎
𝜕𝜇
𝑖=1
𝑛
𝑛
1
𝜕 ln[𝐿(𝜇, 𝜎 2 )]
= − 2 + 4 ∑(𝑥𝑖 − 𝜇)2
2
2𝜎
2𝜎
𝜕𝜎
𝑖=1
Jika turunan parsial terhadap 𝜇 dan 𝜎 2 disamakan dengan nol, maka diperoleh:
𝑛
1
∑(𝑥𝑖 − 𝜇) = 0
𝜎2
𝑖=1
𝑛
∑(𝑥𝑖 − 𝜇) = 0
𝑖=1
𝑛
∑ 𝑥𝑖 − 𝑛𝜇 = 0
𝑖=1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
𝜇 =
∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖
= 𝑥̅
𝑛
𝑛
𝑛
1
− 2 + 4 ∑(𝑥𝑖 − 𝜇)2 = 0
2𝜎
2𝜎
𝑖=1
𝑛
𝑛
1
∑(𝑥𝑖 − 𝜇)2 = 2
4
2𝜎
2𝜎
𝑖=1
𝑛
1
∑(𝑥𝑖 − 𝜇)2 = 𝑛
𝜎2
𝑖=1
𝑛
𝜎
1
= ∑(𝑥𝑖 − 𝜇)2 .
𝑛
2
𝑖=1
Dengan substitusi 𝜇 = 𝑥̅ ke persamaan, diperoleh
1
𝜎 2 = ∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 .
𝑛
Jadi, penduga kemungkinan maksimum untuk 𝜇 dan 𝜎 2 adalah
1
𝜇 = 𝑥̅ dan 𝜎 2 = 𝑛 ∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 .
G.
Pencilan
1.
Definisi Pencilan
Pencilan seringkali ada di dalam proses pengolahan data. Banyak
peneliti menganggap bahwa pencilan akan menjadikan pendugaan terjadi
kesalahan (error), sehingga diperlukan pendeteksian pencilan.
Definisi yang tepat dari pencilan sering tergantung pada asumsi data
dan metode deteksi yang diterapkan. Namun, beberapa definisi dianggap
cukup untuk berbagai jenis data dan metode. Hawkins (1980)
mendefinisikan pencilan sebagai satu atau lebih pengamatan yang nilainya
menyimpang jauh dari pengamatan lain yang menimbulkan kecurigaan
bahwa pengamatan dihasilkan oleh mekanisme yang berbeda. Barnet dan
Lewis (1994) mendefinisikan pencilan sebagai suatu pengamatan yang
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
menyimpang dengan sangat mencolok dari anggota sampel lainnya.
Johnson (1992) mendefinisikan pencilan sebagai pengamatan dalam
kumpulan data yang tampaknya tidak konsisten dengan kumpulan data
lainnya. Ferguson (1961), pencilan adalah data yang menyimpang dari
sekumpulan data yang lain. R. K. Sembiring (1950) mendefinisikan
pencilan dalam konteks analisis regresi, yaitu pengamatan yang jauh dari
pusat data yang mungkin berpengaruh besar terhadap koefisien regresi.
Dilihat dari beberapa definisi tersebut, dapat disimpulkan bahwa
pencilan adalah pengamatan yang nilainya menyimpang jauh dari
kumpulan data/pengamatan lainnya.
Contoh 2.26
Sebuah toko mempunyai rincian banyaknya barang yang terjual beserta
harganya yang disajikan dalam Tabel 2.3. Dengan 𝑋 = banyaknya buku
yang terjual dan 𝑌 = harga barang (dalam ribuan).
Tabel 2.3. Banyaknya barang yang terjual dan harga barang
Pengamatan
1
2
3
4
5
6
7
X
19
17
14
11
18
35
9
Y
792
807
812
829
835
850
855
Dengan menggambar grafik nilai Y terhadap nilai X, akan terlihat apakah
data tersebut memuat pencilan atau tidak, sehingga diperoleh:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
860
Y
840
820
800
780
0
10
20
30
40
X
Gambar 2.6. Harga Barang terhadap Banyaknya Barang yang Terjual
Berdasarkan Gambar 2.6 terlihat bahwa pengamatan ke-6 jauh di
atas pengamatan yang lain pada umumnya. Hal ini diperkuat dengan letak
titik pada grafik yang mencolok pada data pengamatan ke-6, sehingga data
tersebut bila dibandingkan dengan data lainnya memiliki perbedaan yang
sangat signifikan dan dapat diduga sebagai pencilan.
Contoh 2.27
Pada penelitian Badan Pusat Statistik (BPS) Provinsi D. I. Yogyakarta
telah diperoleh data produksi hasil hutan rimba menurut jenisnya pada
tahun 2001-2015 yang disajikan dalam tabel berikut:
Tabel 2.4. Produksi Hasil Hutan Rimba (Kayu Pertukangan)
Menurut Jenisnya di Provinsi D. I. Yogyakarta
Produksi
No
Tahun
Hasil Hutan
Produksi
No
Tahun
(m3)
Hasil Hutan
(m3)
1
2001
600.95
9
2009
1120.62
2
2002
52.78
10
2010
174.66
3
2003
36.36
11
2011
35.59
4
2004
20.16
12
2012
63.72
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
Produksi
No
Tahun
Hasil Hutan
Produksi
No
Tahun
(m3)
Hasil Hutan
(m3)
5
2005
54.89
13
2013
195.65
6
2006
17.76
14
2014
266.66
7
2007
5.10
15
2015
14.50
8
2008
1120.62
Sumber: BPS Provinsi D. I. Yogyakarta
www.yogyakarta.bps.go.id/linkTabelStatis/view/id/49
Dengan menggambar grafik produksi hasil hutan rimba terhadap
waktu, akan terlihat apakah data tersebut mengandung data pencilan atau
Produksi Hasil Hutan
(m3)
tidak, sehingga diperoleh
1200
1000
800
600
400
200
0
2001
2003
2005
2007
2009
2011
2013
2015
Tahun
Gambar 2.7. Produksi Hasil Hutan Rimba Terhadap Waktu
Berdasarkan Gambar 2.7 terlihat bahwa data tahun 2001, 2008 dan 2009
jauh di atas data yang lain pada umumnya. Hal ini diperkuat dengan letak
titik pada grafik yang mencolok pada data tahun 2001, 2008 dan 2009,
sehingga data tersebut bila dibandingkan dengan data lainnya memiliki
perbedaan yang sangat signifikan dan dapat diduga sebagai pencilan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
2.
Pengaruh Pencilan
Data pengamatan yang mengandung pencilan akan mengganggu
proses analisis data. Keberadaan pencilan dapat berpengaruh pada proses
perhitungan statistik yang akan berdampak pada hasil kesimpulan.
Melalui data pengamatan, diperoleh informasi-informasi penting
yang dapat membantu proses perhitungan. Informasi tersebut dapat berupa
rata-rata. Pada contoh 2.26 diperoleh rata-rata dari keseluruhan
pengamatan sebesar 825.7143. Di sisi lain, jika pengamatan yang
merupakan pencilan (pengamatan ke-6) tidak diikutsertakan dalam proses
perhitungan rata-rata, maka diperoleh rata-rata sebesar 821.667. Pada
contoh berikutnya (contoh 2.27) akan dicari pula rata-rata data. Diperoleh
rata-rata dari keseluruhan pengamatan sebesar 252.0013. Apabila
pengamatan yang merupakan pencilan (pengamatan tahun 2001, 2008, dan
2009) tidak diikutsertakan dalam perhitungan, maka diperoleh rata-rata
sebesar 78.1525. Hal ini terlihat bahwa dari kedua contoh tersebut
menunjukkan adanya perbedaan antara rata-rata keseluruhan pengamatan
dalam data dengan rata-rata data yang dihitung tanpa mengikutsertakan
pencilan. Jadi, keberadaan pencilan dapat memberikan perbedaan pada
perhitungan/hasil
analisis
data.
Perbedaan
yang
terjadi
akibat
meningkatnya pendugaan variansi (pengukuran semakin meluas), selang
data menjadi lebar dan rata-rata yang dihitung tidak dapat menunjukkan
nilai yang sebenarnya (bias).
Seringkali pencilan dihilangkan/dihapuskan untuk meningkatkan
akurasi dari pendugaan. Akan tetapi dalam praktiknya, hal tersebut tidak
dianjurkan karena terkadang pencilan dapat memiliki informasi yang
sangat berguna. Kehadiran data pencilan dapat menunjukkan individu atau
kelompok yang memiliki perilaku/nilai sangat berbeda dari situasi standar
dibanding dengan kumpulan pengamatan yang lain pada data.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
3.
Pendeteksian Pencilan
3.1.
Metode Grafis
Pencilan dapat dilihat berdasarkan grafis (gambar). Dengan
memplot data penelitian ke-i (i=1,2,…,n) dengan n adalah
banyaknya data penelitian, dapat diketahui data tersebut memuat
pencilan atau tidak. Apabila terdapat satu atau beberapa data yang
terletak jauh dari pola grafis pada kumpulan data keseluruhan, maka
hal ini dapat diidentifikasi bahwa data mengandung pencilan.
Metode ini mempunyai keuntungan, yaitu sangat mudah dipahami
karena tidak perlu menggunakan perhitungan rumit untuk mencari
pencilan, serta tampilannya yang menarik karena menampilkan data
secara grafis. Di sisi lain, terdapat pula kelemahan melalui metode
ini, yaitu keputusan bahwa suatu data disebut pencilan sangat
bergantung pada subyektivitas peneliti. Hal ini dikarenakan hanya
mengandalkan visualisasi grafis dan untuk itu dibutuhkan seseorang
yang ahli dan berpengalaman dalam menginterpretasikan grafis
tersebut.
Untuk lebih jelasnya, akan diperlihatkan identifikasi data
pencilan yang terdapat pada contoh berikut.
Contoh 2.28
Dalam suatu
penelitian diketahui data jumlah wisatawan
mancanegara dan pengunjung asing yang masuk melalui
pintu
Makassar pada tahun 2007 yang disajikan dalam tabel berikut.
Tabel 2.5. Jumlah wisatawan yang masuk melalui pintu Makassar
No
Bulan
X
No
Bulan
X
1
Januari ‘07
187
11
November
383
2
Februari
989
12
Desember
246
3
Maret
741
13
Januari ‘08
228
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
No
Bulan
X
No
Bulan
X
4
April
78
14
Februari
79
5
Mei
154
15
Maret
94
6
Juni
36
16
April
78
7
Juli
178
17
Mei
67
8
Agustus
99
18
Juni
112
9
September
323
19
Juli
430
10
Oktober
88
Keterangan: X adalah jumlah wisman dan pengunjung asing
Sumber: Ditjen Imigrasi, BPS dan Angkasa Pura I dan II
Diolah kembali oleh Pusat Pengelolaan Data dan Sistem Jaringan
www.budpar.go.id
Dengan menguji data menggunakan metode grafis akan
terlihat apakah data tersebut mengandung data pencilan atau tidak,
Wisman & Pengunjung Asing
sehingga diperoleh:
1200
1000
800
600
400
200
0
0
5
10
15
20
Bulan
Gambar 2.8. Scatter-plot Jumlah Wisman dan Pengunjung Asing
Berdasarkan Gambar 2.8 terlihat bahwa pengamatan bulan Februari
dan Maret 2007 jauh di atas pengamatan yang lain pada umumnya,
sehingga dapat diprediksi sebagai pencilan. Bila dibandingkan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
dengan pengamatan bulan Februari dan Maret 2008, terlihat
pengamatan bulan Februari dan Maret 2007 memiliki perbedaan
yang sangat signifikan. Hal ini dapat diduga sebagai pencilan.
3.2.
Diagram Kotak Garis (Boxplot)
John Tukey (1977) memperkenalkan beberapa metode untuk
penyelidikan analisis data, salah satunya adalah metode Boxplot.
Sebuah Boxplot adalah grafik yang menyajikan median (𝑄2 ), kuartil
pertama (𝑄1) dan kuartil ketiga (𝑄3 ), serta setiap pencilan yang
termuat di dalam sampel. Melalui Boxplot dapat menunjukkan
ada/tidaknya nilai ekstrim dari data pengamatan.
Perhatikan bahwa 75% dari data adalah kurang dari kuartil
ketiga dan 25% adalah kurang dari kuartil pertama, hal berikut
bahwa 50%, atau setengah data berada di antara kuartil pertama dan
ketiga. Oleh karena itu, selang interkuartil (𝐼𝑄𝑅) adalah perbedaan
antara kuartil pertama dan kuartil ketiga. Jika 𝐼𝑄𝑅 = 𝑄3 − 𝑄1 akan
mewakili selang interkuartil, maka untuk menggambar Boxplot,
untuk setiap titik yang lebih dari 1.5 IQR di atas kuartil ketiga, atau
lebih dari 1.5 IQR di bawah kuartil pertama, dianggap pencilan.
Kerangka Boxplot terdiri dari: sebuah kotak memanjang dari
kiri ke kanan, sisi bawah kotak adalah 𝑄1 dan sisi atas adalah 𝑄3 ;
sebuah garis horizontal yang ditarik dari median; serta whiskers yang
memanjang dari atas dan bawah kotak, yaitu dari 𝑄1 dan 𝑄3 .
Biasanya, whiskers secara signifikan lebih panjang dibandingkan
kotak. Whiskers yang pendek dapat diidentifikasi sebagai distribusi
seragam dengan titik-titik perhentian yang ekstrim.
Terdapat dua tipe pencilan yang terkenal, yaitu: pencilan
ringan (mild outliers) dan pencilan ekstrim (extreme outliers). Suatu
pengamatan 𝑥 disebut sebagai pencilan ekstrim, jika berada di luar
selang (𝑄1 − 3 × 𝐼𝑄𝑅, 𝑄3 + 3 × 𝐼𝑄𝑅). Perhatikan bahwa pusat dari
selang adalah (𝑄1 + 𝑄3 )⁄2 dan jangkauannya adalah 3.5 × 𝐼𝑄𝑅.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
Suatu pengamatan 𝑥 disebut sebagai pencilan ringan jika berada di
luar selang (𝑄1 − 1.5 × 𝐼𝑄𝑅, 𝑄3 + 1.5 × 𝐼𝑄𝑅). Angka 1.5 dan 3
dipilih dari perbandingan dengan distribusi Normal.
Untuk sampel besar dari populasi berdistribusi Normal,
kuartil harus dekat dengan 𝜇 ± 0.67𝜎. Dengan demikian, selang
bagian dalam harus dekat dengan 𝜇 ± 2.67𝜎 dan selang bagian luar
dekat dengan 𝜇 ± 4.67𝜎. Dapat disimpulkan bahwa, jika populasi
berdistribusi Normal, hanya sekitar 0.8% data akan ditemukan di
luar selang bagian dalam. Pencilan-pencilan diduga sebagai bukti
dari kumpulan data yang terkontaminasi, dapat menjadi bukti bahwa
populasi memiliki distribusi tidak Normal, atau diduga muncul
dalam sampel dari populasi berdistribusi Normal.
Untuk ukuran sampel yang kecil, diharapkan data ekstrim
yang lebih sedikit. Jika yang diambil hanyalah sampel kecil, maka
lebih cenderung untuk mendapatkan 𝐼𝑄𝑅 yang tidak dapat mewakili
yang kecil, sehingga menghasilkan selang yang sempit. Ketika ini
terjadi, kemungkinan besar bahwa data akan ditandai sebagai
pencilan, kecuali untuk 𝑁 kecil dan distribusi tunggal, perhitungan
probabilitas yang tepat adalah mustahil.
Di bawah ini diperlihatkan anatomi dari Boxplot beserta cara
penentuan batas-batasnya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
𝑥
Data titik terbesar dari
1.5 IQR di atas 𝑄3
𝑄3
𝑄2
Pencilan
𝑄1
Data titik terbesar dari
1.5 IQR di bawah 𝑄1
𝑥
𝑥
Gambar 2.9. Anatomi dari Boxplot
Langkah-langkah pembuatan Boxplot:
1)
Hitunglah median, kuartil pertama dan ketiga dari sampel.
Tunjukkan ini dengan garis horisontal. Gambar garis vertikal
untuk menyelesaikan kotak.
2)
Cari nilai sampel terbesar yang tidak lebih dari 1.5 IQR
di atas kuartil ketiga, dan nilai sampel terkecil yang tidak lebih
dari 1.5 IQR di bawah kuartil pertama. Perpanjang garis
vertikal (whiskers) dari garis-garis kuartil menuju ke titik nilai
tersebut.
3)
Nilai yang lebih dari 1.5 IQR di atas kuartil ketiga, atau lebih
dari 1.5 IQR di bawah kuartil pertama, tetapkan itu sebagai
pencilan. Gambarlah setiap pencilan secara satu per satu.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
Contoh 2.29
Tabel 2.6. Durasi (dalam menit) periode aktif dari Geyser Old
Faithful
42
45
49
50 51 51
51 51 53 53
55
55
56
56 57 58
60 66 67 67
68
69
70
71 72 73
73 74 75 75
75
75
76
76 76 76
76 79 79 80
80
80
80
81 82 82
82 83 83 84
84
84
85
86 86 86
88 90 91 93
Berikut adalah gambar Boxplot yang diperoleh berdasarkan data
Gambar 2.10. Boxplot Contoh 2.29
Gambar 2.10 menyajikan Boxplot untuk data yang disajikan
pada Tabel 2.6. Catatan pertama bahwa tidak ada pencilan dalam
data tersebut. Dengan membandingkan empat bagian Boxplot,
dapat dikatakan bahwa nilai-nilai sampel relatif dekat antara
median dan kuartil ketiga, serta lebih jauh antara median dan
kuartil pertama. Whiskers bawah adalah sedikit lebih jauh dari
yang atas, ini menunjukkan bahwa data memiliki bagian yang
sedikit lebih panjang dan lebih rendah dari bagian atas. Oleh
karena jarak antara median dan kuartil pertama lebih jauh dari
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
jarak antara median dan kuartil ketiga, maka seperempat data
yang rendah menghasilkan whiskers yang lebih panjang
dibandingkan dengan seperempat yang paling atas. Boxplot ini
menunjukkan bahwa data tidak simetris ke kiri.
Contoh 2.30
Tabel 2.7 memberikan informasi tentang ukuran ketebalan dalam
̇ , dari lapisan oksida untuk 24 wafers (Navidi, 2011:
angstrom (𝐴)
36). Sembilan kali pengukuran dilakukan pada setiap wafer.
Wafers tersebut diproduksi di dalam dua pengukuran secara
terpisah dengan 12 wafers berada di dalam setiap pengukuran.
Kedua belas wafers di dalam setiap pengukuran terdiri dari
beberapa jenis yang berbeda dan diproses dalam beberapa lokasi
tungku yang berbeda. Tujuan dalam mengumpulkan data adalah
untuk menentukan apakah ketebalan lapisan oksida salah satunya
dipengaruhi oleh jenis wafer atau lokasi tungku. Oleh karena itu,
hal yang menjadi sorotan dalam percobaan ini adalah jenis wafer
dan lokasi tungku sebagai faktor-faktornya, dan ketebalan lapisan
oksida sebagai hasilnya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
63
Tabel 2.7. Ketebalan Lapisan Oksida Bagi Silicon Wafers
Wafer
Penilaian 1
Ketebalan
1
90.0
92.2
94.9
92.7
91.6
88.2
92.0
98.2
96.0
2
91.8
94.5
93.9
77.3
92
89.9
87.9
92.8
93.3
3
90.3
91.1
93.3
93.5
87.2
88.1
90.1
91.9
94.5
4
92.6
90.3
92.8
91.6
92.7
91.7
89.3
95.5
93.6
5
91.1
89.8
91.5
91.5
90.6
93.1
88.9
92.5
92.4
6
76.1
90.2
96.8
84.6
93.3
95.7
90.9 100.3
95.2
7
92.4
91.7
91.6
91.1
88.0
92.4
88.7
92.9
92.6
8
91.3
90.1
95.4
89.6
90.7
95.8
91.7
97.9
95.7
9
96.7
93.7
93.9
87.9
90.4
92.0
90.5
95.2
94.3
10
92.0
94.6
93.7
94
89.3
90.1
91.3
92.7
94.5
11
94.1
91.5
95.3
92.8
93.4
92.2
89.4
94.5
95.4
12
91.7
97.4
95.1
96.7
77.5
91.4
90.5
95.2
93.1
Wafer
Penilaian 2
Ketebalan
1
93.0
89.9
93.6
89
93.6
90.9
89.8
92.4
93.0
2
91.4
90.6
92.2
91.9
92.4
87.6
88.9
90.9
92.8
3
91.9
91.8
92.8
96.4
93.8
86.5
92.7
90.9
92.8
4
90.6
91.3
94.9
88.3
87.9
92.2
90.7
91.3
93.6
5
93.1
91.8
94.6
88.9
90.0
97.9
92.1
91.6
98.4
6
90.8
91.5
91.5
91.5
94.0
91.0
92.1
91.8
94.0
7
88.0
91.8
90.5
90.4
90.3
91.5
89.4
93.2
93.9
8
88.3
96.0
92.8
93.7
89.6
89.6
90.2
95.3
93.0
9
94.2
92.2
95.8
92.5
91.0
91.4
92.8
93.6
91.0
10
101.5 103.1 103.2 103.5 96.1 102.5
102
106.7 105.4
11
92.8
90.8
92.2
91.7
89.0
88.5
87.5
93.8
91.4
12
92.1
93.4
94.0
94.7
90.8
92.1
91.2
92.3
91.1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64
Solusi:
Langkah pertama dalam analisis ini adalah membuat sebuah
Boxplot untuk data di masing-masing penilaian untuk membantu
menentukan apakah ditemukan pencilan dan apakah salah satu
pengamatan harus dihapus?
Hasil Boxplot disajikan pada Gambar 2.11.
Gambar 2.11. Perbandingan Boxplot untuk Data Ketebalan Lapisan
Oksida
Boxplot menunjukkan bahwa ada beberapa pencilan
dalam setiap pengukuran. Perhatikan bahwa selain dari pencilan
ini, tidak ada perbedaan yang mencolok antara sampel, dan
karena itu tidak ada bukti perbedaan secara sistematis
antarpengukuran.
Langkah
berikutnya
adalah
memeriksa
pencilan, jika ada, harus dihapus. Dengan memeriksa data
tersebut, dapat dilihat bahwa sembilan pengukuran terbesar
berada di dalam pengukuran 2 yang terjadi pada wafer ke-10. Hal
itu
kemudian
ditetapkan
bahwa
wafer
tersebut
telah
terkontaminasi dengan residual film, yang menyebabkan
pengukuran ketebalan besar. Oleh karena itu, akan sesuai untuk
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
65
menghapus pengukuran ini. Dalam pengukuran 1, telah
ditemukan tiga pengukuran terkecil yang disebabkan oleh
rusaknya alat pengukuran ketebalan, dan karena itu tepat dihapus.
Akan tetapi, tidak adanya alasan yang kuat untuk dua pencilan
yang tersisa dalam pengukuran 1, sehingga dapat dimasukkan
dalam analisis.
3.3.
Uji Grubbs
Uji ini digunakan untuk mendeteksi pencilan pada suatu
waktu dalam kumpulan data univariat. Hal ini didasarkan pada
asumsi Normalitas. Artinya bahwa sebelum menerapkan uji
Grubbs, data harus cukup dekat dengan distribusi Normal. Jika
sampel diselidiki berdistribusi lainnya, maka uji ini memberikan
hasil yang tidak sebenarnya.
Uji ini didasarkan pada perbedaan rata-rata sampel dan
data yang paling ekstrim dengan mempertimbangkan standar
deviasi (Grubbs, 1950, 1969; DIN 32645; DIN 38402).
Definisi 2.38
Statistik uji Grubbs diberikan dengan
maks|𝑋𝑖 − 𝑋̅|
𝑠
dengan 𝑋𝑖 adalah pengamatan ke-𝑖, 𝑋̅ dan 𝑠 adalah rata-rata dan
𝐺=
standar deviasi sampel. (Dan, E. D., and Ijeoma, O. A., 2013: 11)
Langkah-langkah Pengujian Hipotesis
1) H0 : Pengamatan ke-𝑖 bukan pencilan
2) H1 : Pengamatan ke-𝑖 merupakan pencilan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
66
3) Asumsi: Data Pengamatan Berdistribusi Normal
Statistik Uji:
𝐺=
maks|𝑋𝑖 − 𝑋̅|
, 𝑖 = 1. . , 𝑛
𝑠
4) Wilayah Kritis:
H0 ditolak jika 𝐺 >
(𝑛−1)
√𝑛
𝑡2 ⁄
(𝛼 𝑛,𝑛−2)
√𝑛−2+𝑡
,
2
(𝛼⁄𝑛,𝑛−2)
dengan 𝑛 adalah ukuran sampel, 𝑡(𝛼⁄𝑛,𝑛−2) adalah nilai kritis dari
distribusi 𝑡 dengan derajat bebas (𝑛 − 2) dan tingkat signifikansi
dari (𝛼 ⁄𝑛).
5)
Perhitungan
6)
Kesimpulan
Contoh 2.31
Diketahui data penelitian sebagai berikut
Tabel 2.8. Data Boiler
1200
2566
3120
3728
4206
6500
1206
2635
3137
3748
4268
6565
1515
2680
3163
3775
4526
6928
1965
2735
3211
4006
5651
7606
2048
2974
3698
4065
6454
14791
2000
2972
3590
4023
6387
10825
Temukanlah pencilan di dalam data Boiler tersebut.
Solusi:
Dengan menggunakan Program R (lampiran 1), diperoleh data ke30 dan 36, yaitu 14791 dan 10825 terdeteksi sebagai pencilan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
67
3.4.
Uji MAD (Median Absolute Deviation)
Pengujian ini dilakukan untuk mendeteksi adanya pencilan
dalam suatu kumpulan data yang diteliti.
Definisi 2.39 (Huber, 1981)
MAD didefinisikan sebagai berikut:
MAD = 𝑏𝑥̃𝑖 (|𝑥𝑖 − 𝑥̃𝑗 (𝑥𝑗 )|)
dengan 𝑥̃𝑗 (𝑥𝑗 ) adalah median dari 𝑛 pengamatan, 𝑥𝑖 adalah
pengamatan terurut, 𝑥̃𝑖 (|𝑥𝑖 − 𝑥̃𝑗 (𝑥𝑗 )|) adalah median dari 𝑛 nilai
mutlak dari (𝑥𝑖 − 𝑥̃𝑗 (𝑥𝑗 )). (Rousseeuw dan Croux, 1993)
Nilai 𝑏 adalah sebuah konstanta yang terkait dengan asumsi
Normalitas atau ketidaknormalan yang disebabkan oleh pencilan.
Nilai 𝑏 dapat diperoleh dari 𝑏 = 1/𝑄(0.75), dengan 𝑄(0.75) adalah
kuartil 0.75 dari distribusi yang diasumsikan. Dalam kasus
Normalitas, nilai 𝑏 = 1/𝑄(0.75) = 1.4826 (Huber, 1981).
Dalam pengujian menggunakan MAD harus ditentukan
terlebih dahulu kriteria penolakan suatu nilai. Miller (1991)
mengusulkan beberapa nilai, yaitu 3 (sangat konservatif), 2.5
(cukup konservatif) atau 2 (kurang konservatif).
Misalkan dipilih batas tepi dengan nilai 3, maka kriteria
keputusan menjadi:
𝑥̃ − 3 × MAD < 𝑥𝑖 < 𝑥̃ + 3 × MAD
atau
𝑥𝑖 −𝑥̃
MAD
> | ± 3|,
dengan 𝑥̃ adalah median dari data pengamatan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
68
Langkah-langkah Pengujian Hipotesis
1)
H0 : Pengamatan ke-𝑖 bukan pencilan
2)
H1 : Pengamatan ke-𝑖 merupakan pencilan
3)
Asumsi: Data Pengamatan Berdistribusi Normal
Statistik Uji:
𝑥𝑖 − 𝑥̃
,
MAD
dengan 𝑥̃ adalah median dari data pengamatan
4)
Wilayah Kritis:
H0 ditolak jika
𝑥𝑖 ∉ (𝑥̃ − 3 × MAD, 𝑥̃ + 3 × MAD)
atau
𝑥𝑖 − 𝑥̃
< | ± 3|
MAD
5)
Perhitungan
6)
Kesimpulan
Uji ini akan diaplikasikan pada contoh 3.8 dalam bab 3.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB III
SELANG KEPERCAYAAN ROBUST
A.
Statistika Robust
Bidang statistika robust menjadi penting dalam beberapa dekade terakhir.
Banyak peneliti menggunakan metode statistik 𝑟𝑜𝑏𝑢𝑠𝑡 yang klasik dan
pengembangan teori komprehensif dari kekekaran (𝑟𝑜𝑏𝑢𝑠𝑡𝑛𝑒𝑠𝑠), karena ada
keuntungan dari statistik 𝑟𝑜𝑏𝑢𝑠𝑡.
Dengan digunakannya metode robust, hasil yang diharapkan meskipun
dalam kondisi yang tidak ideal (seperti variansi data terlalu besar dan terdapat
pencilan) akan tetap akurat. Banyak ahli statistik mengatakan bahwa analisis data
statistik harus selalu mempertimbangkan aspek "𝑟𝑜𝑏𝑢𝑠𝑡". Apa yang dimaksud
" 𝑟𝑜𝑏𝑢𝑠𝑡"?
Menurut Kamus Oxford, kata robust dapat didefinisikan sebagai berikut.
(a)
(of an object) study in construction.
‘a robust metal cabinet’
(b)
(of a system, organization, etc.) able to withstand or overcome adverse
conditions.
‘the country's political system has continued to be robust in spite of its economic
problems’
(c)
Uncompromising and forceful.
‘he took quite a robust view of my case’
Berdasarkan ketiga definisi tersebut, dapat disimpulkan bahwa robust
adalah kata sifat yang berarti kekar, kuat, atau kokoh. Diharapkan dengan statistik
robust inilah suatu data dapat tetap kekar walaupun ada faktor-faktor pengganggu
yang terdapat di dalam suatu data, misalnya pengamatan pencilan.
Asumsi Normalitas, saling bebas, dan linearitas sering tidak terpenuhi
dalam analisis data. Penduga dan uji statistik yang didasarkan pada asumsi-asumsi
tersebut akan memberikan hasil yang bias, tergantung pada "besarnya" penyimpangan dan "sensitivitas" dari prosedur yang ada. Untuk mendapatkan hasil
69
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
70
yang dapat diandalkan, teori statistik diperlukan untuk jenis penyimpangan model
parametrik. Statistik nonparametrik membolehkan berbagai variasi distribusi
probabilitas, sehingga asumsi distribusi Normal tidak lagi relevan. Namun, ada
juga asumsi yang harus dipenuhi dalam statistik nonparametrik, seperti simetri
dan kontinuitas mutlak. Penyimpangan dari prasyarat ini menyebabkan hasil yang
bias dan terdistorsi. Sifat robust di dalam statistika umumnya menunjukkan
ketidaksensitivan pada penyimpangan di sekitar suatu model probabilistik yang
mendasari (Hoaglin, et al: 2). Statistik robust dapat dilihat sebagai pendekatan
terhadap teori pendugaan model parametrik.
Statistik yang robust adalah cara tepat untuk meringkas hasil, ketika
diduga ada sebagian kecil dalam data yang merupakan pencilan. Sebagian besar
penduga parameter lokasi (misalnya, rata-rata) dan parameter skala (misalnya,
standar deviasi) tergantung pada asumsi implisit, misalnya data merupakan
sampel acak berdistribusi Normal. Tetapi, diketahui bahwa data analitik seringkali
bermula dari suatu model. Distribusi dari suatu data seringkali berbentuk sangat
miring dan terkadang memuat pencilan.
B.
Pengujian Robustness
Kurva Sensitivitas
Kurva sensitivitas menunjukkan pengaruh nilai tambahan pada suatu
pengamatan terhadap penduga. Misalkan ada sebuah penduga yang didefinisikan
untuk sampel yang berukuran sembarang 𝑛. Untuk sampel yang berukuran 𝑛 − 1
dengan variabel acak 𝑥1 , … , 𝑥𝑛−1 akan menduga 𝑇𝑛−1 (𝑥1 , … , 𝑥𝑛−1 ). Perubahan
nilai dugaan terjadi ketika adanya suatu nilai yang sama dengan 𝑥 dari sebuah
pengamatan ke-𝑛, yaitu 𝑇𝑛 (𝑥1 , … , 𝑥𝑛−1 , 𝑥) − 𝑇𝑛−1 (𝑥1 , … , 𝑥𝑛−1 ). Kita dapat
membuat perbandingan ukuran sampel dengan mempertimbangkan perubahan
secara proporsional dalam ukuran sampel. Kita bagi perubahan nilai dugaan
dengan 1/𝑛 atau ekuivalen dengan mengalikannya dengan 𝑛. Hasilnya berupa
kurva sensitivitas.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
71
Definisi 3.1
Kurva sensitivitas dari penduga 𝑇𝑛 , didefinisikan untuk 𝑛 = 2,3, …, pada sampel
𝑥1 , … , 𝑥𝑛−1 adalah
𝑆𝐶(𝑥; 𝑥1 , … , 𝑥𝑛−1 , 𝑇𝑛 ) = 𝑛{𝑇𝑛 (𝑥1 , … , 𝑥𝑛−1 , 𝑥) − 𝑇𝑛−1 (𝑥1 , … , 𝑥𝑛−1 )}.
Kurva sensitivitas dianggap sebagai fungsi dari penambahan pengamatan
𝑥, tetapi bergantung pada sampel dan bentuk dari penduga. Notasi untuk kurva
sensitivitas adalah 𝑆𝐶(𝑥).
Contoh 3.1
Diberikan pengamatan sampel 𝑥1 , … , 𝑥𝑛−1. Pengamatan sampel dengan
penambahan 𝑥, yaitu 𝑥1 , … , 𝑥𝑛−1 , 𝑥. Tentukanlah kurva sensitivitas dari penduga
rata-rata sampel.
Solusi:
Penduga 𝑇𝑛 = 𝑥̅ =
∑𝑛
𝑖=1 𝑥𝑖
𝑛
𝒊
𝒙𝒊
1
𝑥1
2
𝑥2
⋮
⋮
𝑛−1
𝑥𝑛−1
𝑛
𝑥𝑛
.
𝑆𝐶(𝑥) = 𝑛{𝑇𝑛 (𝑥1 , … , 𝑥𝑛−1 , 𝑥) − 𝑇𝑛−1 (𝑥1 , … , 𝑥𝑛−1 )}
∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 ∑𝑛−1
𝑖=1 𝑥𝑖
= 𝑛(
−
)
𝑛
𝑛−1
𝑛
𝑛−1
𝑖=1
𝑖=1
𝑛
= (∑ 𝑥𝑖 −
∑ 𝑥𝑖 )
𝑛−1
Nilai
tambahan
Contoh 3.2
Diberikan data pengamatan sampel berukuran 𝑛 − 1 sebagai berikut.
𝒊
1
2
3
4
5
6
7
8
9
𝒙𝒊
5
6
7
8
9
10
11
12
13
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
72
Tentukanlah kurva sensitivitas dari penduga rata-rata sampel tersebut dengan nilai
tambahan yang berbeda-beda, yaitu 90, 150, 225, 450.
Solusi:
Dengan menggunakan rumus yang telah diperoleh pada Contoh 3.1,

untuk 𝑥𝑛 = 90
* untuk 𝑥𝑛 = 150
𝑛
𝑛−1
𝑖=1
𝑖=1
𝑛
𝑆𝐶(𝑥) = ∑ 𝑥𝑖 −
∑ 𝑥𝑖
𝑛−1
𝑛−1
𝑖=1
𝑖=1
𝑛
𝑆𝐶(𝑥) = ∑ 𝑥𝑖 −
∑ 𝑥𝑖
𝑛−1
= 171 − 90 = 81

𝑛
= 231 − 90 = 141
untuk 𝑥𝑛 = 225
* untuk 𝑥𝑛 = 450
𝑛
𝑛−1
𝑖=1
𝑖=1
𝑛
𝑆𝐶(𝑥) = ∑ 𝑥𝑖 −
∑ 𝑥𝑖
𝑛−1
𝑛
𝑛−1
𝑖=1
𝑖=1
𝑛
𝑆𝐶(𝑥) = ∑ 𝑥𝑖 −
∑ 𝑥𝑖
𝑛−1
= 306 − 90
= 531 − 90
= 216
= 441
450
SC (x)
350
250
150
50
0
100
200
300
400
Xn
Gambar 3.1. Kurva Sensitivitas untuk Rata-rata
Dari Gambar 3.1 terlihat bahwa semakin besar nilai tambahan pada data
pengamatan, semakin besar pula nilai dari sensitivitas kurva untuk rata-rata.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
73
Contoh 3.3
Misalkan 𝑛 = 2𝑚 + 1 adalah bilangan ganjil dan penduganya adalah median.
Misalkan 𝑥(1) < ⋯ < 𝑥(𝑛−1) adalah statistik terurut bagi sampel 𝑥1 , … , 𝑥𝑛−1.
Kemudian
𝑇𝑛−1 (𝑥1 , … , 𝑥𝑛−1 ) =
1
[𝑥
+ 𝑥(𝑚+1) ],
2 (𝑚)
dan
1
𝑛
𝑛 {𝑥(𝑚) − [𝑥(𝑚) + 𝑥(𝑚+1) ]} = [𝑥(𝑚) − 𝑥(𝑚+1) ] jika 𝑥 < 𝑥(𝑚) ,
2
2
1
𝑆𝐶(𝑥) =
𝑛 {𝑥 − [𝑥(𝑚) + 𝑥(𝑚+1) ]}
jika 𝑥(𝑚) ≤ 𝑥 ≤ 𝑥(𝑚+1) ,
2
1
𝑛
𝑛
−
+ 𝑥(𝑚+1) ]} = [𝑥(𝑚+1) − 𝑥(𝑚) ] jika 𝑥 > 𝑥(𝑚+1) .
{ {𝑥(𝑚+1) 2 [𝑥(𝑚)
2
SC (x)
Xn
Gambar 3.2. Kurva Sensitivitas untuk Median Contoh 3.3
Contoh 3.4
Diberikan data pengamatan statistik terurut pada sampel berukuran 𝑛 − 1 sebagai
berikut.
𝒊
1
2
3
4
5
6
7
8
𝒙𝒊
5
6
7
8
9
10
11
12
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
74
Tentukanlah kurva sensitivitas dari penduga median sampel tersebut dengan nilai
tambahan yang sama seperti nilai tambahan pada Contoh 3.2, yaitu 90, 150, 225,
450.
Solusi:
Karena 𝑛 = 9 adalah bilangan ganjil, maka 𝑚 = 4.
Dengan menggunakan rumus pada Contoh 3.3,

untuk 𝑥 = 90
* untuk 𝑥 = 150
𝑛
𝑆𝐶(𝑥) = [𝑥(𝑚+1) − 𝑥(𝑚) ]
2

𝑆𝐶(𝑥)
2
= 4.5(9 − 8)
= 4.5(9 − 8)
= 4.5
= 4.5
untuk 𝑥 = 225
* untuk 𝑥 = 450
𝑛
𝑆𝐶(𝑥)
= [𝑥(𝑚+1) − 𝑥(𝑚) ]
𝑆𝐶(𝑥)
𝑛
= [𝑥(𝑚+1) − 𝑥(𝑚) ]
2
𝑛
= [𝑥(𝑚+1) − 𝑥(𝑚) ]
2
= 4.5(9 − 8)
= 4.5(9 − 8)
= 4.5
= 4.5
5
SC (x)
4
3
2
1
0
0
100
200
300
400
Xn
Gambar 3.3. Kurva Sensitivitas untuk Median Contoh 3.4
Dari gambar 3.3 terlihat bahwa semakin besar nilai tambahan pada data
pengamatan, maka nilai dari kurva sensitivitas untuk median adalah suatu nilai
yang konstan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
75
C.
Penduga 𝑴 (Penduga Huber)
Salah satu teori untuk mempelajari sifat 𝑟𝑜𝑏𝑢𝑠𝑡 dari penduga lokasi yang
sangat sederhana adalah dengan menerapkan penduga 𝑀. Penduga 𝑀 diperkenalkan oleh Huber (1964, 1967), yang meminimalkan fungsi deviasi
pengamatan dari nilai dugaan. Dengan cara ini, penduga 𝑀 meliputi rata-rata dan
median sebagai kasus khusus. Di samping itu, secara umum penduga 𝑀
merupakan penduga kemungkinan maksimum (maximum-likelihood) dari
parameter lokasi di dalam distribusi tertentu. Dengan demikian, pemilihan
penduga 𝑀 yang sesuai akan memiliki efisiensi robust yang baik di dalam sampel
berukuran besar.
Penduga 𝑀 meminimalkan fungsi tujuan yang bersifat lebih umum
daripada yang sudah dikenal, yaitu jumlah kuadrat residual terkait dengan ratarata sampel. Penduga 𝑀 menerapkan fungsi 𝜌(𝑥; 𝑡) dan membentuk fungsi tujuan
dengan menjumlahkan untuk seluruh sampel: ∑𝑛𝑖=1 𝜌(𝑥𝑖 ; 𝑡). Seringkali 𝜌(𝑥; 𝑡)
hanya tergantung pada 𝑥 dan 𝑡 melalui 𝑥 − 𝑡, sehingga dapat ditulis 𝜌(𝑥 − 𝑡).
Sifat 𝜌 menentukan sifat-sifat penduga 𝑀.
Definisi 3.2
Penduga 𝑀, 𝑇𝑛 (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) sebagai fungsi 𝜌 dan sampel 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 adalah nilai 𝑡
yang meminimalkan fungsi tujuan ∑𝑛𝑖=1 𝜌(𝑥𝑖 ; 𝑡).
Jika diketahui turunan dari 𝜌 terhadap 𝑡, maka sebuah fungsi yang
dilambangkan dengan 𝜓 dapat digunakan untuk menentukan 𝑇𝑛 dengan mencari
nilai 𝑡 yang memenuhi:
∑𝑛𝑖=1 𝜓(𝑥𝑖 ; 𝑡) = 0.
(Hoaglin, et al: 341)
Contoh 3.5. Rata-rata Sampel
Misalkan 𝑇𝑛 = 𝑥̅ dari sampel acak 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 sebagai fungsi 𝜌, yaitu kuadrat
residual yang diberikan dengan:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
76
𝜌(𝑥; 𝑡) = (𝑥 − 𝑡)2 .
Carilah nilai 𝑡.
Solusi:
Akan dicari terlebih dahulu turunan dari 𝜌(𝑥; 𝑡) terhadap 𝑡, yaitu:
𝜌′ (𝑥; 𝑡) =
𝑑𝜌(𝑥; 𝑡)
= −2(𝑥 − 𝑡)
𝑑𝑡
Selanjutnya mencari nilai 𝑡 yang memenuhi:
𝑛
∑
𝜓(𝑥𝑖 ; 𝑡) = 0
𝑖=1
𝑛
∑(𝑥𝑖 − 𝑡) = 0
𝑖=1
𝑛
∑ 𝑥𝑖 − 𝑛𝑡 = 0
𝑖=1
∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖
𝑡=
= 𝑥̅ .
𝑛
Karena 𝑡 = ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 ⁄𝑛 menyelesaikan persamaan tersebut, maka 𝑇𝑛 benar sebagai
penduga rata-rata sampel. Gambar 3.4 menunjukkan fungsi 𝜌 dan 𝜓 untuk ratarata sampel.
(a)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
77
(b)
Gambar 3.4. Penduga dengan fungsi tujuan kuadrat residual.
(a) Fungsi Tujuan, 𝜌(𝑥; 𝑡) = (𝑥 − 𝑡)2 ; (b) Fungsi 𝜓, 𝜓(𝑥; 𝑡) = 𝑥 − 𝑡.
Rata-rata memiliki 𝜓(𝑥𝑖 ; 𝑇𝑛 ) = 𝑥𝑖 − 𝑇𝑛 yang sensitif terhadap semua
pengamatan dan secara khusus saat dipengaruhi oleh adanya pencilan. Fungsi 𝜓
tak terbatas di kedua arah seperti yang digambarkan pada Gambar 3.4 (b). Dari
grafik tersebut dapat dibaca bahwa adanya pencilan yang sangat kecil atau sangat
besar akan berpengaruh terhadap rata-rata (sensitif).
Contoh 3.6. Median Sampel
Misalkan 𝑇𝑛 sebagai penduga median dari sampel acak 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 . Fungsi 𝜌 adalah
nilai mutlak residual yang diberikan dengan:
𝜌(𝑥; 𝑡) = |𝑥 − 𝑡|.
Akan ditunjukkan bahwa penyelesaian dari ∑𝑛𝑖=1 𝜓(𝑥𝑖 ; 𝑡) = 0 adalah median.
Sebelum menyelesaikan persamaan tersebut, terlebih dahulu akan didefinisikan
fungsi signum.
Definisi 3.3
Misalkan diberikan nilai mutlak 𝑥 yang dinotasikan dengan |𝑥|. Turunan dari nilai
mutlak 𝑥 adalah sebuah fungsi signum yang didefinisikan dengan:
+1
sgn(𝑥) = { 0
−1
,𝑥 > 0
,𝑥 = 0
, 𝑥 < 0.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
78
Contoh 3.7
Temukan turunan 𝑓′(𝑥) dari 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 1|.
Solusi:
Misalkan 𝑢 = 𝑥 − 1, diperoleh turunan dari 𝑓(𝑥) adalah sebagai berikut:
+1
sgn(𝑢) = { 0
−1
,𝑥 > 1
,𝑥 = 1
, 𝑥 < 1.
Selanjutnya akan dicari solusi untuk Contoh 3.6. Turunan dari 𝜌(𝑥; 𝑡) = |𝑥 − 𝑡|
adalah sebagai berikut:
𝜓(𝑥; 𝑡) = sgn(𝑥 − 𝑡),
dengan 𝑢 = 𝑥 − 𝑡,
+1
sgn(𝑢) = { 0
−1
,𝑥 > 𝑡
,𝑥 = 𝑡
, 𝑥 < 𝑡.
Rumus
𝑛
∑
𝑖=1
𝑛
𝜓(𝑥𝑖 ; 𝑡) = ∑
sgn(𝑥𝑖 − 𝑡)
𝑖=1
menghitung setiap pengamatan yang lebih dari 𝑡 akan bernilai +1 dan setiap
pengamatan yang kurang dari 𝑡 akan bernilai −1, sehingga 𝑡 = median yang
menghasilkan jumlahan nol. Gambar 3.5 menunjukan 𝜌 dan 𝜓 sebagai fungsi
tujuan mutlak residual.
(a)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
79
(b)
Gambar 3.5. Pendugaan dengan fungsi tujuan mutlak residual.
(a) Fungsi Tujuan, 𝜌(𝑥; 𝑡) = |𝑥 − 𝑡|; (b) Fungsi 𝜓, 𝜓(𝑥; 𝑡) = sgn(𝑥 − 𝑡).
Pemilihan fungsi tujuan untuk pendugaan 𝑀 menggeneralisasikan
pendugaan kuadrat terkecil. Namun demikian, fungsi 𝜓 bekerja lebih baik
daripada fungsi 𝜌. Median adalah solusi dari ∑𝑛𝑖=1 sgn(𝑥𝑖 − 𝑇𝑛 ) = 0. Median
insensitif terhadap pencilan tetapi sensitif terhadap nilai dari satu atau dua
pengamatan yang berada di tengah. Fungsi 𝜓 terbatas tetapi memiliki sebuah
loncatan pada 0 seperti yang digambarkan pada Gambar 3.5 (b). Dari grafik
tersebut dapat dibaca bahwa adanya pencilan yang sangat kecil atau sangat besar
tidak berpengaruh terhadap median (insensitif).
D.
MAD (Median Absolute Deviation)
MAD ditemukan dan dipopulerkan oleh Hampel (1974) sebagai salah satu
penduga skala yang robust, yaitu menduga standar deviasi dari sampel. Dapat
dikatakan bahwa MAD sebagai penduga skala yang insensitif terhadap adanya
pencilan. Huber (1981) mendeskripsikan MAD sebagai "penduga skala tunggal
yang paling berguna".
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
80
Contoh 3.8
Diketahui data sebagai berikut:
4.5
4.9
5.6 4.2 6.2 5.2 9.9
Temukanlah nilai MAD dari data tersebut.
Solusi:
Langkah awal adalah melakukan pendeteksian pencilan pada data.
Dengan menggunakan pendeteksian uji MAD melalui program R (lampiran 2),
diperoleh:
Gambar 3.6. Hasil Pendeteksian Uji MAD
Melalui Gambar 3.6 dapat terlihat bahwa data memuat pencilan pada 𝑥 = 9.9.
Langkah selanjutnya adalah menghitung nilai MAD yang memerlukan tahaptahap sebagai berikut.
(a)
Urutkan setiap pengamatan dalam data dari yang terkecil sampai yang
terbesar, sehingga diperoleh
4.2 4.5
(b)
4.9
5.2
5.6
6.2
9.9
Carilah median dari data pengamatan terurut tersebut.
Karena 𝑛 = 7 (ganjil), maka diperoleh 𝑥̃ = 𝑥(𝑛+1)/2 = 𝑥4 = 5.2.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
81
(c)
Setiap pengamatan terurut dikurangi dengan median yang menghasilkan
nilai-nilai mutlak, yaitu
1.0
(d)
0.7
0.0
0.4
1.0
4.7
Urutkan hasil yang diperoleh pada (c), sehingga diperoleh
0.0
(e)
0.3
0.3
0.4
0.7
1.0
1.0
4.7
Temukan median dari data terurut pada (d).
Karena 𝑛 = 7 (ganjil), maka diperoleh 𝑥̃ = 𝑥(𝑛+1)/2 = 𝑥4 = 0.7.
(f)
Temukan MAD dengan cara mengalikan median pada (e) dengan 𝑏 =
1.4826, sehingga diperoleh:
MAD = 1.4826 × 0.7 = 1.03782. ∎
Untuk menguji kerobustan dari penduga MAD akan ditunjukkan dengan
kurva sensitivitas yang akan dibandingkan dengan standar deviasi (𝑠). Melalui
data pada Contoh 3.8 dan dengan diberikan penambahan nilai ekstrim yang
berbeda-beda, yaitu 9.9, 50, 75, 105 akan diperoleh kurva sensitivitas sebagai
berikut:
(a)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
82
(b)
Gambar 3.7. (a) Kurva Sensitivitas untuk MAD; (b) Kurva
Sensitivitas untuk Standar Deviasi.
Dari grafik tersebut dapat dibaca bahwa adanya pencilan yang sangat kecil
atau sangat besar tidak berpengaruh terhadap MAD (insensitif), tetapi
berpengaruh pada standar deviasi (sensitif).
E.
Selang Kepercayaan Robust bagi Parameter Lokasi
Selang kepercayaan robust berdasarkan penduga yang robust dapat
terbentuk ketika distribusi yang mendasari bukan dari distribusi simetris.
Kepercayaan robust diperkenalkan oleh Huber (1968). Fraiman, et al (2001)
mengkonstruksikan selang kepercayaan robust berdasarkan optimal robust pada
penduga 𝑀 bagi parameter lokasi. Selang kepercayaan robust bagi parameter
lokasi dengan penduga median diperkenalkan oleh Staudte dan Sheater (1990).
Seperti yang telah dibahas pada Bab II subbab 2.2 tentang penduga selang
kepercayaan, maka cara paling umum untuk menemukan selang kepercayaan
100 (1 − 𝛼)% bagi pusat distribusi simetris adalah
𝑥̅ ± 𝑡1−𝛼⁄2;𝑛−1 (𝑠/√𝑛),
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
83
dengan 𝑡 adalah titik 100 (1 − 𝛼/2)% dari distribusi 𝑡 pada derajat bebas
𝑛 − 1. Selang tersebut adalah selang kepercayaan bagi penduga lokasi dan skala
yang lebih efisien untuk distribusi Normal.
Apa yang terjadi jika data tidak berdistribusi Normal, tetapi dari distribusi
yang miring? Karena kedua 𝑥̅ dan 𝑠 mempunyai efisiensi yang rendah, maka
kemungkinan selang akan bervariasi dari sampel yang satu dengan yang lainnya.
Nilai dari rata-rata dan variansi sampel mungkin cukup besar dan cenderung
memberikan selang yang relatif lebar. Oleh karena itu, digunakan cara alternatif
untuk menemukan selang kepercayaan yang 𝑟𝑜𝑏𝑢𝑠𝑡. Berikut diperkenalkan dua
selang kepercayaan robust bagi parameter lokasi, yaitu selang kepercayaan robust
dengan penduga median dan penduga Huber.
Definisi 3.4
Selang kepercayaan robust bagi parameter lokasi dengan penduga median
diberikan dengan
𝑥̃ ± 𝑡1−𝛼⁄2;𝑛−1 𝑆𝐸(𝑥̃),
dengan 𝑥̃ adalah median sampel dan 𝑆𝐸(𝑥̃) adalah galat standar bagi median.
Galat standar bagi median yang diberikan oleh Fraiman et al (2001) adalah
sebagai berikut:
𝑆𝐸(𝑥̃) =
𝑠∗
√𝑛
,
dengan 𝑠 ∗ = (𝑥𝑎 − 𝑥𝑏 )⁄3.4641. Nilai 𝑎 dan 𝑏 dapat diperoleh dengan:
𝑛
𝑎=2+
√3𝑛
2
𝑛
dan 𝑏 = 2 −
√3𝑛
.
2
Galat standar bagi median yang diberikan oleh Kendall dan Stuart (2001)
adalah sebagai berikut:
𝜋
𝑠
𝑆𝐸(𝑥̃) = √ × 𝑆𝐸(𝑥̅ ) = 1.2533 × ,
2
√𝑛
dengan 𝑆𝐸(𝑥̅ ) adalah galat standar bagi rata-rata dan 𝑠 adalah standar deviasi
sampel.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
84
Definisi 3.5
Selang kepercayaan robust berdasarkan penduga Huber diberikan dengan
𝐻𝑢𝑏𝑒𝑟 ± 𝑡1−𝛼⁄2;𝑛−1 (𝑠𝐻𝑢𝑏𝑒𝑟 ),
dengan Huber adalah penduga 𝑀 bagi lokasi dan 𝑠𝐻𝑢𝑏𝑒𝑟 adalah galat standar bagi
penduga Huber yang diberikan dengan
𝑠𝐻𝑢𝑏𝑒𝑟 =
𝑀𝐴𝐷(𝑥)
1.486
(Cetin, Meral., Aktas, Serpil., 2008: 254)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB IV
SELANG KEPERCAYAAN ROBUST
DENGAN SIMULASI DATA ACAK
Kinerja selang kepercayaan yang robust dari parameter lokasi diilustrasikan
dengan menggunakan pengkodean program R. Empat jenis selang kepercayaan
yang akan disimulasikan adalah selang kepercayaan bagi parameter lokasi dengan
penduga titik berupa rata-rata sampel, median dengan galat standar dari Fraiman,
et al (2001), median dengan galat standar dari Kendall dan Stuart (2001), dan Huber
(pendugaan 𝑀). Selang kepercayaan menggunakan tingkat kepercayaan sebesar
95% untuk setiap penduga. Sampel acak dihasilkan dari distribusi Normal, Cauchy,
dan Chi-Square untuk ukuran sampel 𝑛 = 10, 50, 100, dan 500, sebagaimana
diketahui bahwa distribusi Cauchy dan Chi-Square adalah dua contoh distribusi
yang miring ke kanan (tidak simetris). Untuk melihat pengaruh pencilan pada suatu
penduga dan juga pada selang kepercayaan, digunakan simulasi data yang
diimplementasikan memuat nilai tambahan sebagai pencilan. Pencilan ini
digunakan untuk ukuran sampel yang sama.
Hasil simulasi data acak yang diperoleh dengan menggunakan program R
dilampirkan pada lampiran 5 sampai dengan lampiran 7. List code pemrograman
yang terlampir hanya data dari distribusi Normal berukuran 𝑛 = 10 (lampiran 3)
dan yang lainnya diperoleh secara analog. Diberikan pula plot yang
menggambarkan setiap nilai tambahan yang diberikan terhadap galat standar dari
masing-masing penduga. Batas bawah dan batas atas selang kepercayaan
ditunjukkan pada Tabel 4.1 sampai Tabel 4.12 (lampiran 5 sampai dengan lampiran
7) berkenaan dengan ukuran sampel dan pencilan. Gambar 4.1 sampai Gambar 4.12
(lampiran 5 sampai dengan lampiran 7) menunjukkan galat standar dari masingmasing penduga lokasi terhadap setiap nilai tambahan yang diberikan.
Berdasarkan hasil pembangkitan data dengan simulasi pada Tabel 4.1 sampai
dengan Tabel 4.12 (lampiran 5 sampai dengan lampiran 7) dapat dihasilkan
beberapa temuan berikut:
85
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
86
Distribusi
𝑛
Tabel 4.13. Hasil Simulasi Data Acak
Metode
Temuan
10
50
100
Semakin besar nilai pencilan, semakin
1
selang kepercayaan (selang bersifat
sensitif terhadap pencilan)
10
Galat
50
kepercayaan tidak mengalami perubah2
100
dan
lebar
selang
an meskipun nilai pencilan semakin
hadap pencilan)
10
50
standar
besar (selang bersifat insensitif ter-
500
Lampiran
Semakin besar nilai pencilan, semakin
3
selang kepercayaan (selang bersifat
sensitif terhadap pencilan)
10
Galat
50
kepercayaan tidak mengalami perubah4
standar
dan
lebar
selang
an meskipun nilai pencilan semakin
besar (selang bersifat insensitif ter-
500
hadap pencilan)
10
Semakin besar nilai pencilan, semakin
50
100
1
besar galat standar dan semakin lebar
selang kepercayaan (selang bersifat
500
sensitif terhadap pencilan)
10
Galat
50
kepercayaan tidak mengalami perubah-
100
Lampiran
2
standar
dan
lebar
selang
an meskipun nilai pencilan semakin
besar (selang bersifat insensitif ter-
500
5
besar galat standar dan semakin lebar
500
100
Cauchy
besar galat standar dan semakin lebar
500
100
Normal
Ket
hadap pencilan)
6
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
87
Distribusi
𝑛
Metode
10
50
100
Cauchy
Semakin besar nilai pencilan, semakin
3
besar galat standar dan semakin lebar
selang kepercayaan (selang bersifat
sensitif terhadap pencilan)
10
Galat
50
kepercayaan tidak mengalami perubah-
Lampiran
4
100
dan
lebar
selang
an meskipun nilai pencilan semakin
Semakin besar nilai pencilan, semakin
1
besar galat standar dan semakin lebar
selang kepercayaan (selang bersifat
500
sensitif terhadap pencilan)
10
Galat
50
kepercayaan tidak mengalami perubah-
100
2
dan
lebar
selang
an meskipun nilai pencilan semakin
hadap pencilan)
10
100
standar
besar (selang bersifat insensitif ter-
500
50
Lampiran
Semakin besar nilai pencilan, semakin
3
besar galat standar dan semakin lebar
selang kepercayaan (selang bersifat
500
sensitif terhadap pencilan)
10
Galat
50
kepercayaan tidak mengalami perubah-
100
500
6
hadap pencilan)
10
50
standar
besar (selang bersifat insensitif ter-
500
Square
Ket
500
100
Chi-
Temuan
4
standar
dan
lebar
selang
an meskipun nilai pencilan semakin
besar (selang bersifat insensitif terhadap pencilan)
7
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
88
Keterangan:
Metode selang kepercayaan (SK) yang digunakan, yaitu
1. SK dengan penduga µ menurut Definisi 2.33
2. SK robust dengan penduga median (Fraiman, et al) menurut Definisi 3.4
3. SK robust dengan penduga median (Kendall dan Stuart) menurut Definisi
3.4
4. SK robust dengan penduga Huber menurut Definisi 3.5
Dari temuan yang diperoleh pada Tabel 4.13 di atas dapat disimpulkan bahwa
statistik untuk setiap ukuran sampel rata-rata dan median (Kendall dan Stuart, 2001)
sangat sensitif terhadap kehadiran pencilan, yang ditunjukkan dengan semakin
besarnya galat standar dan semakin lebarnya selang kepercayaan. Sebaliknya, hal
ini tidak terjadi pada penduga robust median (Fraiman, et al) dan penduga Huber.
Kedua penduga menghasilkan galat standar dan lebar selang kepercayaan yang
tetap, meskipun nilai pencilan semakin besar (penduga tidak sensitif terhadap
pencilan). Penduga robust median (Fraiman, et al) adalah penduga robust yang
lebih baik dari penduga Huber, karena memiliki galat standar yang lebih kecil dan
lebar selang kepercayaan yang relatif lebih sempit.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
A. Kesimpulan
Hasil simulasi data acak dari distribusi Normal, Cauchy, dan Chi-Square
dengan ukuran sampel 𝑛 = 10, 50, 100, 500 untuk setiap distribusi, menemukan
bahwa selang kepercayaan bagi parameter lokasi dengan penduga rata-rata dan
median yang menggunakan galat standar dari Kendall dan Stuart (2001) sangat
sensitif terhadap pencilan. Hal ini terlihat dari semakin besar nilai pencilan,
semakin besar galat standar dan semakin lebar selang kepercayaan untuk setiap
ukuran sampel. Sebaliknya hal ini tidak terjadi pada selang kepercayaan robust bagi
parameter lokasi dengan penduga median yang menggunakan galat standar dari
Fraiman, et al (2001) dan penduga Huber. Kedua penduga menghasilkan galat
standar dan lebar selang kepercayaan yang tetap, meskipun nilai pencilan semakin
besar (penduga tidak sensitif terhadap pencilan). Akan tetapi dari antara penduga
median dengan menggunakan galat standar dari Fraiman, et al (2001) dan penduga
Huber, penduga robust yang paling baik adalah penduga median dengan
menggunakan galat standar dari Fraiman, et al. Hal ini dikarenakan penduga
median tersebut menghasilkan galat standar yang kecil dan membentuk selang
kepercayaan yang relatif lebih sempit.
B. Saran
Penulis sadar bahwa dalam penulisan skripsi ini masih banyak kekurangan.
Oleh sebab itu, penulis mengharapkan kelak ada yang melanjutkan penelitian ini.
Tulisan ini hanya membahas penyelesaian selang kepercayaan robust bagi
parameter lokasi dengan penduga median yang menggunakan galat standar dari
Fraiman, et al (2001), penduga median yang menggunakan galat standar dari
Kendall dan Stuart (2001), dan penduga Huber. Penulis berharap di waktu yang
akan datang, ada yang melanjutkan penulisan ini dengan metode yang lain dan lebih
baik. Misalnya, selang kepercayaan robust bagi parameter skala dengan suatu
penduga yang robust.
89
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR PUSTAKA
Acuna, Edgar., and Rodriguez, Caroline. On Detection of Outliers and Their Effect
in Supervised Classification. Mayaguez: Department of Mathematics.
(https://www.researchgate.net/publication/228965221_On_Detection_Of_Out
liers_And_Their_Effect_In_Supervised_Classification)
Analytical Methods Commitee. (2001). Robust Statistics: A Method of Coping
with Outliers. AMC Technical Brief, 6.
Barnett, Vic., and Lewis, T. (1978). Outliers In Statistical Data. First Edition.
Chichester: John Wiley dan Sons.
Ben-Gal, Irad. (2005). Outlier Detection. Israel: Kluwer Academic Publisher.
Cetin, Meral., and Aktas, Serpil. (2008). Confidence Interval Based on Robust
Estimators. Digital Commons, 7 (1): 253-258.
Dan, E. D., and Ijeoma, O. A. (2013). Statistical Analysis/Methods of Detecting
Outliers in A Univariate Data in A Regression Analysis Model. International
Journal of Education and Research, 1 (5): 1-24.
Dawson, Robert. (2011). How Significant Is A Boxplot Outlier?. Journal of
Statistics Education, 19 (2): 1-13.
Fraiman, R., et al. (2001). Optimal Robust M-estimates of Location. Annals of
Statistics, 29 (1): 194-223.
Harding, Bradley., et al. Standard Errors: A Review and Evaluation of Standard
Error Estimators Using Monte Carlo Simulations. The Quantitative Methods
for Psychology, 10 (2): 107-123.
90
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
91
Hoaglin, D. C., et al. (1983). Understanding Robust and Exploratory Data
Analysis. New York: John Wiley dan Sons.
Location & Scale Parameter.ppt
(https://www.google.co.id/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&
cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwiQoOug95rVAhWCEbwKHZHzAEcQFggr
MAE&url=http%3A%2F%2Fusers.metu.edu.tr%2Foilk%2F6.LOCATION%
2520%26%2520SCALE%2520PARAMETERS%2520%2520552.ppt&usg=AFQjCNGEkRudSE8PgQvBOeLpbcXKCl62Qw)
Leys, C., et al. (2013). Detecting Outliers: Do Not Use Standard Deviation Around
The Mean, Use Absolute Deviation Around The Median. Journal of
Experimental Social Psychology, 3.
Navidi, William. (2011). Statistics for Engineers and Scientists. Third Edition. New
York: The McGraw-Hill Companies.
Paludi, Salman. (2009). Identifikasi dan Pengaruh Keberadaan Data Pencilan
(Outlier). Majalah Ilmiah Panorama Nusantara, VI: 56-62.
Rousseeuw, P. J., and Croux, Christophe. (1993). Alternatives to the Median
Absolute Deviation. Journal of the American Statistical Association, 88 (424):
1273-1283.
Staudte, R. G., and Sheater, S. J. (1990). Robust Estimation and Testing. New York:
John Wiley dan Sons.
Wackerly, D. D., et al. (2008). Mathematical Statistics With Applications. Seventh
Edition. Duxubury: Thompson Brooks/Cole.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
92
Walpole , R. E., et al. (2012). Probability dan Statistics for Engineers dan
Scientists. Ninth Edition. New York: Prentice Hall.
William, David. (1991). Probability with Martingales. New York: Cambridge
University Press.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
93
LAMPIRAN
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Berikut ini merupakan list code pada program statistika R versi 3.3.3.
Lampiran 1
Contoh 2.31. Uji Grubbs
> x=scan(file.choose(),skip=0)
Read 36 items
>x
[1] 1200 2566 3120 3728 4206 6500 1206 2635 3137 3748 4268 6565
[13] 1515 2680 3163 3775 4526 6928 1965 2735 3211 4006 5651 7606
[25] 2048 2974 3698 4065 6454 14791 2000 2972 3590 4023 6387 10825
#Uji Normalitas Data
> shapiro.test(x)
Shapiro-Wilk normality test
data: x
W = 0.80159, p-value = 1.752e-05
#Pengujian dengan 𝜶 = 𝟎. 𝟎𝟓
> library(outliers)
> library(ggplot2)
> grubbs.flag=function(x) {
+ outliers=NULL
+ test=x
94
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
95
+ grubbs.result <- grubbs.test(test)
+ pv <- grubbs.result$p.value
+ while(pv < 0.05) {
+ outliers <- c(outliers,as.numeric(strsplit(grubbs.result$alternative," ")[[1]][3]))
+ test <- x[!x %in% outliers]
+ grubbs.result <- grubbs.test(test)
+ pv <- grubbs.result$p.value
+}
+ return(data.frame(X=x,Outlier=(x %in% outliers)))
+}
> grubbs.flag(x)
X
Outlier
1 1200 FALSE
2 2566 FALSE
3 3120 FALSE
4 3728 FALSE
5 4206 FALSE
6 6500 FALSE
7 1206 FALSE
8 2635 FALSE
9 3137 FALSE
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
96
10 3748 FALSE
11 4268 FALSE
12 6565 FALSE
13 1515 FALSE
14 2680 FALSE
15 3163 FALSE
16 3775 FALSE
17 4526 FALSE
18 6928 FALSE
19 1965 FALSE
20 2735 FALSE
21 3211 FALSE
22 4006 FALSE
23 5651 FALSE
24 7606 FALSE
25 2048 FALSE
26 2974 FALSE
27 3698 FALSE
28 4065 FALSE
29 6454 FALSE
30 14791
TRUE
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
97
31 2000 FALSE
32 2972 FALSE
33 3590 FALSE
34 4023 FALSE
35 6387 FALSE
36 10825
TRUE
#Plot Pencilan
> ggplot(grubbs.flag(x),aes(x=X,color=Outlier,fill=Outlier))+
+ geom_histogram(binwidth=diff(range(x))/30)+
+ theme_bw()
Lampiran 2
Contoh 3.8. Uji MAD
> x=c(4.5,4.9,5.6,4.2,6.2,5.2,9.9)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
98
> center=median(x, na.rm = F)
> center
[1] 5.2
> MAD=mad(x, center, constant = 1.4826, na.rm = FALSE)
> MAD
[1] 1.03782
> require(BHH2)
> dotchart(x)
> mean.x=mean(x)
> sd.x=sd(x)
> lines(rep(mean.x,2),c(0.2, 0.25)) #Vertical line at mean
> lines(rep(mean.x + 2*sd.x, 2), c(0.2, 0.25)) #Vertical line at mean + 2 SD
> text(mean.x , 0.3, expression(bar(x)))
> text(mean.x + 2*sd.x, 0.3, expression(paste(bar(x), " + 2s")))
Lampiran 3
Simulasi BAB IV
#Membangkitkan Data dari distribusi Normal Berukuran n-1=9
> a=rnorm(9,10,2)
>a
[1] 8.750761 11.132768 10.929959 13.235969 6.478947 7.073720 8.932900
[8] 10.150914 8.525724
#Cari Nilai Maksimum Untuk Menentukan Penambahan Nilai Ekstrim
> max(a)
[1] 13.23597
#Nilai tambahan informasi
> x=c(20,30,50,90,100)
#Mencari Nilai t
> n=10
> alpha=0.1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
99
> t=qt(1-(alpha/2),df=n-1)
>t
[1] 1.833113
#Pembentukan Data Setelah Diberi Nilai Tambahan
> ax1=c(a,x[1])
> ax2=c(a,x[2])
> ax3=c(a,x[3])
> ax4=c(a,x[4])
> ax5=c(a,x[5])
#Cek Pencilan dengan Metode Boxplot
> par(mfrow=c(2,3))
> boxplot(ax1)
> boxplot(ax2)
> boxplot(ax3)
> boxplot(ax4)
> boxplot(ax5)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
100
#Mencari Galat standar
#Galat standar bagi 𝝁
> SExbar.ax1=sd(ax1)/sqrt(n)
> SExbar.ax1
[1] 1.228187
> SExbar.ax2=sd(ax2)/sqrt(n)
> SExbar.ax2
[1] 2.14822
> SExbar.ax3=sd(ax3)/sqrt(n)
> SExbar.ax3
[1] 4.102154
> SExbar.ax4=sd(ax4)/sqrt(n)
> SExbar.ax4
[1] 8.077951
> SExbar.ax5=sd(ax5)/sqrt(n)
> SExbar.ax5
[1] 9.075225
#Galat standar bagi Median menurut Fraiman et al
> o=(n/2)+(sqrt(3*n)/2)
> p=(n/2)-(sqrt(3*n)/2)
> SEmedian.Fraiman.ax1=abs((ax1[o]-ax1[p])/(3.4641*sqrt(n)))
> SEmedian.Fraiman.ax1
[1] 0.2008196
> SEmedian.Fraiman.ax2=abs((ax2[o]-ax2[p])/(3.4641*sqrt(n)))
> SEmedian.Fraiman.ax2
[1] 0.2008196
> SEmedian.Fraiman.ax3=abs((ax3[o]-ax3[p])/(3.4641*sqrt(n)))
> SEmedian.Fraiman.ax3
[1] 0.2008196
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
101
> SEmedian.Fraiman.ax4=abs((ax4[o]-ax4[p])/(3.4641*sqrt(n)))
> SEmedian.Fraiman.ax4
[1] 0.2008196
> SEmedian.Fraiman.ax5=abs((ax5[o]-ax5[p])/(3.4641*sqrt(n)))
> SEmedian.Fraiman.ax5
[1] 0.2008196
#Galat standar bagi Median menurut Kendall and Stuart
> SEmedian.Kendall.ax1=sqrt(pi/2)*SExbar.ax1
> SEmedian.Kendall.ax1
[1] 1.539304
> SEmedian.Kendall.ax2=sqrt(pi/2)*SExbar.ax2
> SEmedian.Kendall.ax2
[1] 2.692395
> SEmedian.Kendall.ax3=sqrt(pi/2)*SExbar.ax3
> SEmedian.Kendall.ax3
[1] 5.141287
> SEmedian.Kendall.ax4=sqrt(pi/2)*SExbar.ax4
> SEmedian.Kendall.ax4
[1] 10.12421
> SEmedian.Kendall.ax5=sqrt(pi/2)*SExbar.ax5
> SEmedian.Kendall.ax5
[1] 11.37411
#Galat standar bagi Huber
> SEhuber.ax1=mad(ax1)/1.486
> SEhuber.ax1
[1] 1.486048
> SEhuber.ax2=mad(ax2)/1.486
> SEhuber.ax2
[1] 1.486048
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
102
> SEhuber.ax3=mad(ax3)/1.486
> SEhuber.ax3
[1] 1.486048
> SEhuber.ax4=mad(ax4)/1.486
> SEhuber.ax4
[1] 1.486048
> SEhuber.ax5=mad(ax5)/1.486
> SEhuber.ax5
[1] 1.486048
#Mencari Nilai Median
> median.ax1=median(ax1)
> median.ax1
[1] 9.541907
> median.ax2=median(ax2)
> median.ax2
[1] 9.541907
> median.ax3=median(ax3)
> median.ax3
[1] 9.541907
> median.ax4=median(ax4)
> median.ax4
[1] 9.541907
> median.ax5=median(ax5)
> median.ax5
[1] 9.541907
#Mencari Nilai Penduga Huber
> require(MASS)
> huber.ax1=huber(ax1)
> huber.ax1
$mu
[1] 9.829877
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
103
$s
[1] 2.208268
> huber.ax2=huber(ax2)
> huber.ax2
$mu
[1] 9.829877
$s
[1] 2.208268
> huber.ax3=huber(ax3)
> huber.ax3
$mu
[1] 9.829877
$s
[1] 2.208268
> huber.ax4=huber(ax4)
> huber.ax4
$mu
[1] 9.829877
$s
[1] 2.208268
> huber.ax5=huber(ax5)
> huber.ax5
$mu
[1] 9.829877
$s
[1] 2.208268
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
104
#Pembentukan Selang Kepercayaan
#Selang Kepercayaan untuk data ax1
#Selang Kepercayaan Biasa
> t.test(ax1)
One Sample t-test
data: ax1
t = 8.5664, df = 9, p-value = 1.276e-05
alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
95 percent confidence interval:
7.742815 13.299517
sample estimates:
mean of x
10.52117
#Selang Kepercayaan Robust bagi parameter lokasi dengan penduga Median
(SE Fraiman et al)
> left.Fraiman.ax1=median.ax1-(t*SEmedian.Fraiman.ax1)
> left.Fraiman.ax1
[1] 9.173782
> right.Fraiman.ax1=median.ax1+(t*SEmedian.Fraiman.ax1)
> right.Fraiman.ax1
[1] 9.910032
#Selang Kepercayaan Robust bagi parameter lokasi dengan penduga Median
(SE Kendall and Stuart)
> right.Kendall.ax1=median.ax1+(t*SEmedian.Kendall.ax1)
> right.Kendall.ax1
[1] 12.36362
> left.Kendall.ax1=median.ax1-(t*SEmedian.Kendall.ax1)
> left.Kendall.ax1
[1] 6.720189
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
105
#Selang Kepercayaan Robust bagi parameter lokasi dengan penduga Huber
> left.huber.ax1=huber.ax1$mu-(t*SEhuber.ax1)
> left.huber.ax1
[1] 7.105782
> right.huber.ax1=huber.ax1$mu+(t*SEhuber.ax1)
> right.huber.ax1
[1] 12.55397
#Selang Kepercayaan untuk data ax2
#Selang Kepercayaan Biasa
> t.test(ax2)
One Sample t-test
data: ax2
t = 5.3631, df = 9, p-value = 0.0004544
alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
95 percent confidence interval:
6.661554 16.380778
sample estimates:
mean of x
11.52117
#Selang Kepercayaan Robust bagi parameter lokasi dengan penduga median
(SE Fraiman et al)
> right.Fraiman.ax2=median.ax2+(t*SEmedian.Fraiman.ax2)
> right.Fraiman.ax2
[1] 9.910032
> left.Fraiman.ax2=median.ax2-(t*SEmedian.Fraiman.ax2)
> left.Fraiman.ax2
[1] 9.173782
#Selang Kepercayaan Robust bagi parameter lokasi dengan penduga median
(SE Kendall and Stuart)
> left.Kendall.ax2=median.ax2-(t*SEmedian.Kendall.ax2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
106
> left.Kendall.ax2
[1] 4.606443
> right.Kendall.ax2=median.ax2+(t*SEmedian.Kendall.ax2)
> right.Kendall.ax2
[1] 14.47737
#Selang Kepercayaan Robust bagi parameter lokasi dengan penduga Huber
> left.huber.ax2=huber.ax2$mu-(t*SEhuber.ax2)
> left.huber.ax2
[1] 7.105782
> right.huber.ax2=huber.ax2$mu+(t*SEhuber.ax2)
> right.huber.ax2
[1] 12.55397
#Selang Kepercayaan untuk data ax3
#Selang Kepercayaan Biasa
> t.test(ax3)
One Sample t-test
data: ax3
t = 3.2961, df = 9, p-value = 0.009287
alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
95 percent confidence interval:
4.24145 22.80088
sample estimates:
mean of x
13.52117
#Selang Kepercayaan Robust bagi parameter lokasi dengan penduga median
(SE Fraiman et al)
> left.Fraiman.ax3=median.ax3-(t*SEmedian.Fraiman.ax3)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
107
> left.Fraiman.ax3
[1] 9.173782
> right.Fraiman.ax3=median.ax3+(t*SEmedian.Fraiman.ax3)
> right.Fraiman.ax3
[1] 9.910032
#Selang Kepercayaan Robust bagi parameter lokasi dengan penduga median
(SE Kendall and Stuart)
> right.Kendall.ax3=median.ax3+(t*SEmedian.Kendall.ax3)
> right.Kendall.ax3
[1] 18.96647
> left.Kendall.ax3=median.ax3-(t*SEmedian.Kendall.ax3)
> left.Kendall.ax3
[1] 0.1173469
#Selang Kepercayaan Robust bagi parameter lokasi dengan penduga Huber
> left.huber.ax3=huber.ax3$mu-(t*SEhuber.ax3)
> left.huber.ax3
[1] 7.105782
> right.huber.ax3=huber.ax3$mu+(t*SEhuber.ax3)
> right.huber.ax3
[1] 12.55397
#Selang Kepercayaan untuk data ax4
#Selang Kepercayaan Biasa
> t.test(ax4)
One Sample t-test
data: ax4
t = 2.169, df = 9, p-value = 0.05821
alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
95 percent confidence interval:
-0.752429 35.794761
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
108
sample estimates:
mean of x
17.52117
#Selang Kepercayaan Robust bagi parameter lokasi dengan penduga median
(SE Fraiman et al)
> right.Fraiman.ax4=median.ax4+(t*SEmedian.Fraiman.ax4)
> right.Fraiman.ax4
[1] 9.910032
> left.Fraiman.ax4=median.ax4-(t*SEmedian.Fraiman.ax4)
> left.Fraiman.ax4
[1] 9.173782
#Selang Kepercayaan Robust bagi parameter lokasi dengan penduga median
(SE Kendall and Stuart)
> left.Kendall.ax4=median.ax4-(t*SEmedian.Kendall.ax4)
> left.Kendall.ax4
[1] -9.016914
> right.Kendall.ax4=median.ax4+(t*SEmedian.Kendall.ax4)
> right.Kendall.ax4
[1] 28.10073
#Selang Kepercayaan Robust bagi parameter lokasi dengan penduga Huber
> left.huber.ax4=huber.ax4$mu-(t*SEhuber.ax4)
> left.huber.ax4
[1] 7.105782
> right.huber.ax4=huber.ax4$mu+(t*SEhuber.ax4)
> right.huber.ax4
[1] 12.55397
#Selang Kepercayaan untuk data ax5
#Selang Kepercayaan Biasa
> t.test(ax5)
One Sample t-test
data: ax5
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
109
t = 2.0408, df = 9, p-value = 0.07167
alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
95 percent confidence interval:
-2.008418 39.050751
sample estimates:
mean of x
18.52117
#Selang Kepercayaan Robust bagi parameter lokasi dengan penduga median
(SE Fraiman et al)
> left.Fraiman.ax5=median.ax5-(t*SEmedian.Fraiman.ax5)
> left.Fraiman.ax5
[1] 9.173782
> right.Fraiman.ax5=median.ax5+(t*SEmedian.Fraiman.ax5)
> right.Fraiman.ax5
[1] 9.910032
#Selang Kepercayaan Robust bagi parameter lokasi dengan penduga median
(SE Kendall and Stuart)
> right.Kendall.ax5=median.ax5+(t*SEmedian.Kendall.ax5)
> right.Kendall.ax5
[1] 30.39193
> left.Kendall.ax5=median.ax5-(t*SEmedian.Kendall.ax5)
> left.Kendall.ax5
[1] -11.30812
#Selang Kepercayaan Robust bagi parameter lokasi dengan penduga Huber
> left.huber.ax5=huber.ax5$mu-(t*SEhuber.ax5)
> left.huber.ax5
[1] 7.105782
> right.huber.ax5=huber.ax5$mu+(t*SEhuber.ax5)
> right.huber.ax5
[1] 12.55397
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
110
Lampiran 4
Plot simulasi data acak dari Distribusi Normal (n=10, µ=10, σ=2) antara nilai
tambahan (x) terhadap Galat standar (SE)
> x=c(20,30,50,90,100) #nilai tambahan
> SExbar=c(1.228187,2.14822,4.102154,8.077951,9.075225)
> SEmedian.Fraiman=c(0.2008196,0.2008196,0.2008196,0.2008196,0.2008196)
> SEmedian.Kendall=c(1.539304,2.692395,5.141287,10.12421,11.37411)
> SEhuber=c(1.486048,1.486048,1.486048,1.486048,1.486048)
> plot(x, SExbar, type="o", col="blue", pch="o", lty=1, ylim=c(0,15),
ylab="Galat standar")
> points(x,SEmedian.Fraiman, col="red", pch="*")
> lines(x, SEmedian.Fraiman, col="red", lty=2)
> points(x, SEmedian.Kendall, col="brown", pch="+")
> lines(x, SEmedian.Kendall, col="brown", lty=3)
> points(x, SEhuber, col="black", pch="^")
> lines(x, SEhuber, col="black", lty=4)
>
legend(21,14,legend=c("SExbar","SEmedian.Fraiman","SEmedian.Kendall","SEh
uber"), col=c("blue","red","brown","black"),pch=c("o","*","+","^"),lty=c(1,2,3,4),
ncol=1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
111
Lampiran 5 Hasil Simulasi Data Acak dari Distribusi Normal
Tabel 4.1. Pembangkitan Data dari Distribusi Normal (n=10, µ=10, σ=2)
Metode
Nilai
SK
Tambahan
1
2
3
4
20
30
50
90
100
20
30
50
90
100
20
30
50
90
100
20
30
50
90
100
Selang Kepercayaan 95%
Nilai
Penduga
Galat
standar
10.52117
11.52117
13.52117
17.52117
18.52117
9.541907
9.541907
9.541907
9.541907
1.228187
2.14822
4.102154
8.077951
9.075225
0.2008196
0.2008196
0.2008196
0.2008196
9.541907
9.541907
9.541907
9.541907
9.541907
9.541907
9.829877
9.829877
9.829877
9.829877
0.2008196
1.539304
2.692395
5.141287
10.12421
11.37411
1.486048
1.486048
1.486048
1.486048
6.720189
4.606443
0.1173469
-9.016914
-11.30812
7.105782
7.105782
7.105782
7.105782
9.910032
12.36362
14.47737
18.96647
28.10073
30.39193
12.55397
12.55397
12.55397
12.55397
9.829877
1.486048
7.105782
12.55397
Batas Bawah
Batas Atas
7.742815
6.661554
4.24145
-0.752429
-2.008418
9.173782
9.173782
9.173782
9.173782
9.173782
13.299517
16.380778
22.80088
35.794761
39.050751
9.910032
9.910032
9.910032
9.910032
Lebar
Selang
5.556702
9.719224
18.55943
36.54719
41.059169
0.73625
0.73625
0.73625
0.73625
0.73625
5.643431
9.870927
18.8491231
37.117644
41.70005
5.448188
5.448188
5.448188
5.448188
5.448188
Gambar 4.1. Galat standar dari Distribusi Normal (n=10, µ=10, σ=2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
112
Tabel 4.2. Pembangkitan Data dari Distribusi Normal (n=50, µ=10, σ=2)
Metode
Nilai
SK
Tambahan
1
2
3
4
100
180
200
300
350
100
180
200
300
350
100
180
200
300
350
100
180
200
300
350
Selang Kepercayaan 95%
Nilai
Penduga
Galat
standar
11.25921
12.85921
13.25921
15.25921
16.25921
9.399257
9.399257
9.399257
9.399257
1.829071
3.420646
3.819639
5.816682
6.815854
0.149233
0.149233
0.149233
0.149233
9.399257
9.399257
9.399257
9.399257
9.399257
9.399257
9.413415
9.413415
9.413415
9.413415
0.149233
2.2924
4.287143
4.787208
7.29013
8.542406
1.122698
1.122698
1.122698
1.122698
5.555931
2.211642
1.373259
-2.823017
-4.922522
7.531155
7.531155
7.531155
7.531155
9.649453
13.24258
16.58687
17.42525
21.62153
23.72104
11.29568
11.29568
11.29568
11.29568
9.413415
1.122698
7.531155
11.29568
Batas Bawah
Batas Atas
7.583554
5.985164
5.583356
3.570149
2.562238
9.14906
9.14906
9.14906
9.14906
9.14906
14.934864
19.733254
20.935062
26.94827
29.95618
9.649453
9.649453
9.649453
9.649453
Lebar
Selang
7.35131
13.74809
15.351706
23.378121
27.393942
0.500393
0.500393
0.500393
0.500393
0.500393
7.686649
14.375228
16.051991
24.444547
28.643562
3.764525
3.764525
3.764525
3.764525
3.764525
Gambar 4.2. Galat standar dari Distribusi Normal (n=50, µ=10, σ=2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
113
Tabel 4.3. Pembangkitan Data dari Distribusi Normal (n=100, µ=10, σ=2)
Metode
Nilai
SK
Tambahan
1
2
3
4
150
180
200
300
350
150
180
200
300
350
150
180
200
300
350
150
180
200
300
350
Nilai
Penduga
Galat
standar
11.574
11.874
12.074
13.074
13.574
10.08675
10.08675
10.08675
10.08675
1.40904
1.707144
1.90621
2.903467
3.4027
0.01746087
0.01746087
0.01746087
0.01746087
10.08675
10.08675
10.08675
10.08675
10.08675
10.08675
10.17211
10.17211
10.17211
10.17211
0.01746087
1.76597
2.139588
2.38908
3.638957
4.264652
1.099026
1.099026
1.099026
1.099026
10.17211
1.099026
Selang Kepercayaan 95%
Batas Bawah
Batas Atas
8.778154
8.486652
8.291661
7.312887
6.822301
10.05776
10.05776
10.05776
10.05776
10.05776
14.369837
15.26134
15.85633
18.835105
20.32569
10.11575
10.11575
10.11575
10.11575
7.154553
6.534202
6.119947
4.044663
3.005765
8.347296
8.347296
8.347296
8.347296
10.11575
13.01896
13.63931
14.05356
16.12885
17.16774
11.99692
11.99692
11.99692
11.99692
8.347296
11.99692
Lebar
Selang
5.591683
6.774688
7.564669
11.522218
13.503389
0.05799
0.05799
0.05799
0.05799
0.05799
5.864407
7.105108
7.933613
12.084187
14.161975
3.649624
3.649624
3.649624
3.649624
3.649624
Gambar 4.3. Galat standar dari Distribusi Normal (n=100, µ=10, σ=2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
114
Tabel 4.4. Pembangkitan Data dari Distribusi Normal (n=500, µ=10, σ=2)
Metode
Nilai
SK
Tambahan
1
2
3
4
680
750
800
1000
1050
680
750
800
1000
1050
680
750
800
1000
1050
680
750
800
1000
1050
Nilai
Penduga
Galat
standar
11.27603
11.41603
11.51603
11.91603
12.01603
9.889217
9.889217
9.889217
9.889217
1.343203
1.482913
1.582737
1.982211
2.082111
0.106006
0.106006
0.106006
0.106006
9.889217
9.889217
9.889217
9.889217
9.889217
9.889217
9.951158
9.951158
9.951158
9.951158
0.106006
1.683456
1.858556
1.983667
2.484333
2.609539
1.447588
1.447588
1.447588
1.447588
9.951158
1.447588
Selang Kepercayaan 95%
Batas Bawah
Batas Atas
8.637003
8.502511
8.406384
8.021527
7.92525
9.714528
9.714528
9.714528
9.714528
9.714528
13.915065
14.329557
14.625684
15.810542
16.10682
10.06391
10.06391
10.06391
10.06391
7.115028
6.826478
6.620307
5.795253
5.588924
7.565659
7.565659
7.565659
7.565659
10.06391
12.66341
12.95196
13.15813
13.98318
14.18951
12.33666
12.33666
12.33666
12.33666
7.565659
12.33666
Lebar
Selang
5.278062
5.827046
6.2193
7.789015
8.18157
0.349382
0.349382
0.349382
0.349382
0.349382
5.548382
6.125482
6.537823
8.187927
8.600586
4.771001
4.771001
4.771001
4.771001
4.771001
Gambar 4.4. Galat standar dari Distribusi Normal (n=500, µ=10, σ=2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
115
Lampiran 6 Hasil Simulasi Data Acak dari Distribusi Cauchy
Tabel 4.5. Pembangkitan Data dari Distribusi Cauchy (n=10, µ=10, σ=2)
Metode
Nilai
SK
Tambahan
1
2
3
4
20
30
50
90
100
20
30
50
90
100
20
30
50
90
100
20
30
50
90
100
Nilai
Penduga
Galat
standar
7.993803
2.129139
4.129139
8.129139
9.129139
8.61436
8.61436
8.61436
8.61436
Selang Kepercayaan 95%
Batas Bawah
Batas Atas
1.960875
2.740999
4.566088
8.457029
9.444013
0.1966047
0.1966047
0.1966047
0.1966047
3.557995
-5.877356
-8.034837
-12.81115
-14.03798
8.253962
8.253962
8.253962
8.253962
12.42961
10.135635
16.293116
29.06942
32.29626
8.974759
8.974759
8.974759
8.974759
8.61436
8.61436
8.61436
8.61436
8.61436
8.61436
7.524453
7.524453
7.524453
7.524453
0.1966047
2.457592
3.435333
5.722743
10.59931
11.83632
3.150254
3.150254
3.150254
3.150254
8.253962
4.109316
2.317007
-1.876074
-10.81538
-13.08294
1.749682
1.749682
1.749682
1.749682
8.974759
13.1194
14.91171
19.10479
28.0441
30.31166
13.29922
13.29922
13.29922
13.29922
7.524453
3.150254
1.749682
13.29922
Lebar
Selang
8.871615
16.012991
24.327953
41.88057
46.33424
0.720797
0.720797
0.720797
0.720797
0.720797
9.010084
12.594703
20.980864
38.85948
43.3946
11.549538
11.549538
11.549538
11.549538
11.549538
Gambar 4.5. Galat standar dari Distribusi Cauchy (n=10, µ=10, σ=2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
116
Tabel 4.6. Pembangkitan Data dari Distribusi Cauchy (n=50, µ=10, σ=2)
Metode
Nilai
SK
Tambahan
1
2
3
4
100
180
200
300
350
100
180
200
300
350
100
180
200
300
350
100
180
200
300
350
Selang Kepercayaan 95%
Nilai
Penduga
Galat
standar
10.2516
2.129139
10.6516
12.6516
13.6516
9.816656
9.816656
9.816656
9.816656
3.857795
4.838202
5.132212
6.767319
7.650171
0.01654206
0.01654206
0.01654206
0.01654206
0.528874
-5.877356
0.3380385
-0.947833
-1.72199
9.788922
9.788922
9.788922
9.788922
9.816656
9.816656
9.816656
9.816656
9.816656
9.816656
9.412648
9.412648
9.412648
9.412648
0.01654206
4.835029
6.063786
6.432273
8.481577
9.588067
2.157443
2.157443
2.157443
2.157443
9.788922
-0.349591
2.317007
-0.9673783
-4.40314
-6.258227
5.795584
5.795584
5.795584
5.795584
9.412648
2.157443
5.795584
Batas Bawah
Batas Atas
Lebar
Selang
19.44546
19.974334
10.135635 16.012991
20.9651696 20.6271311
26.251041 27.198874
30.74719
29.0252
0.055467
9.844389
0.055467
9.844389
0.055467
9.844389
0.055467
9.844389
0.055467
9.844389
20.332491
19.9829
12.594703
14.91171
20.60069 21.5680683
28.43959
24.03645
32.149767
25.89154
7.234126
13.02971
7.234126
13.02971
7.234126
13.02971
7.234126
13.02971
7.234126
13.02971
Gambar 4.6. Galat standar dari Distribusi Cauchy (n=50, µ=10, σ=2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
117
Tabel 4.7. Pembangkitan Data dari Distribusi Cauchy (n=100, µ=10, σ=2)
Metode
Nilai
SK
Tambahan
1
2
3
4
150
180
200
300
350
150
180
200
300
350
150
180
200
300
350
150
180
200
300
350
Nilai
Penduga
Galat
standar
5.952787
6.252787
6.452787
7.452787
7.952787
9.563134
9.563134
9.563134
9.563134
Selang Kepercayaan 95%
Batas Bawah
Batas Atas
7.324704
7.390149
7.440183
7.763141
7.966893
0.2885671
0.2885671
0.2885671
0.2885671
-8.581015
-8.410872
-8.310149
-7.950969
-7.855257
9.084
9.084
9.084
9.084
20.48659
20.916447
21.215724
22.856544
23.760831
10.04227
10.04227
10.04227
10.04227
9.563134
9.563134
9.563134
9.563134
9.563134
9.563134
9.541773
9.541773
9.541773
9.541773
0.2885671
9.180156
9.262179
9.324886
9.729655
9.98502
2.08141
2.08141
2.08141
2.08141
9.084
-5.679515
-5.815705
-5.919824
-6.591898
-7.015904
6.085818
6.085818
6.085818
6.085818
10.04227
24.80578
24.94197
25.04609
25.71817
26.14217
12.99773
12.99773
12.99773
12.99773
9.541773
2.08141
6.085818
12.99773
Lebar
Selang
29.067605
29.327319
29.525873
30.807513
31.616088
0.95827
0.95827
0.95827
0.95827
0.95827
30.485295
30.757675
30.965914
32.310068
33.158074
6.911912
6.911912
6.911912
6.911912
6.911912
Gambar 4.7. Galat standar dari Distribusi Cauchy (n=100, µ=10, σ=2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
118
Tabel 4.8. Pembangkitan Data dari Distribusi Cauchy (n=500, µ=10, σ=2)
Metode
Nilai
SK
Tambahan
1
2
3
4
680
750
800
1000
1050
680
750
800
1000
1050
680
750
800
1000
1050
680
750
800
1000
1050
Nilai
Penduga
Galat
standar
9.065528
9.205528
9.305528
9.705528
9.805528
10.00257
10.00257
10.00257
10.00257
Selang Kepercayaan 95%
Batas Bawah
Batas Atas
1.922967
2.023334
2.097806
2.414216
2.497068
0.09471295
0.09471295
0.09471295
0.09471295
5.287417
5.230225
5.183906
4.962247
4.899465
9.846494
9.846494
9.846494
9.846494
12.843639
13.180832
13.42715
14.448809
14.711592
10.15865
10.15865
10.15865
10.15865
10.00257
10.00257
10.00257
10.00257
10.00257
10.00257
10.04852
10.04852
10.04852
10.04852
0.09471295
2.410082
2.535873
2.62921
3.025771
3.129611
1.897944
1.897944
1.897944
1.897944
9.846494
6.030966
5.823674
5.669862
5.016365
4.845246
6.920869
6.920869
6.920869
6.920869
10.15865
13.97418
14.18147
14.33528
14.98878
15.1599
13.17616
13.17616
13.17616
13.17616
10.04852
1.897944
6.920869
13.17616
Lebar
Selang
7.556222
7.950607
8.243244
9.486562
9.812127
0.312156
0.312156
0.312156
0.312156
0.312156
7.943214
8.357796
8.665418
9.972415
10.314654
6.255291
6.255291
6.255291
6.255291
6.255291
Gambar 4.8. Galat standar dari Distribusi Cauchy (n=500, µ=10, σ=2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
119
Lampiran 7 Hasil Simulasi Data Acak dari Distribusi Chi-Square
Tabel 4.9. Pembangkitan Data dari Distribusi Chi-Square (n=10, µ=10, σ=2)
Metode
Nilai
SK
Tambahan
1
2
3
4
20
30
50
90
100
20
30
50
90
100
20
30
50
90
100
20
30
50
90
100
Selang Kepercayaan 95%
Nilai
Penduga
Galat
standar
10.52117
11.52117
13.52117
17.52117
18.52117
5.74352
5.74352
5.74352
5.74352
2.013593
2.779988
4.590847
8.471775
9.457523
0.9744533
0.9744533
0.9744533
0.9744533
5.74352
5.74352
5.74352
5.74352
5.74352
5.74352
6.493084
6.493084
6.493084
6.493084
0.9744533
2.523665
3.484198
5.753774
10.6178
11.85325
2.482404
2.482404
2.482404
2.482404
6.720189
4.606443
0.1173469
-9.016914
-11.30812
7.105782
7.105782
7.105782
7.105782
9.910032
12.36362
14.47737
18.96647
28.10073
30.39193
12.55397
12.55397
12.55397
12.55397
6.493084
2.482404
7.105782
12.55397
Batas Bawah
Batas Atas
7.742815
6.661554
4.24145
-0.752429
-2.008418
9.173782
9.173782
9.173782
9.173782
9.173782
13.299517
16.380778
22.80088
35.794761
39.050751
9.910032
9.910032
9.910032
9.910032
Lebar
Selang
5.556702
9.719224
18.55943
36.54719
41.059169
0.73625
0.73625
0.73625
0.73625
0.73625
5.643431
9.870927
18.8491231
37.117644
41.70005
5.448188
5.448188
5.448188
5.448188
5.448188
Gambar 4.9. Galat standar dari Distribusi Chi-Square (n=10, µ=10, σ=2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
120
Tabel 4.10. Pembangkitan Data dari Distribusi Chi-Square (n=50, µ=10, σ=2)
Metode
Nilai
SK
Tambahan
1
2
3
4
100
180
200
300
350
100
180
200
300
350
100
180
200
300
350
100
180
200
300
350
Nilai
Penduga
Galat
standar
49.21651
50.81651
51.21651
53.21651
Selang Kepercayaan 95%
Batas Bawah
Batas Atas
54.21651
46.30712
46.30712
46.30712
46.30712
1.793433
3.01544
3.370756
5.244767
6.211311
1.01155
1.01155
1.01155
1.01155
45.61247
44.75676
44.44272
42.67676
41.73441
44.6112
44.6112
44.6112
44.6112
52.82055
56.87626
57.9903
63.75626
66.69861
48.00303
48.00303
48.00303
48.00303
46.30712
46.30712
46.30712
46.30712
46.30712
46.30712
48.26307
48.26307
48.26307
48.26307
1.01155
2.247736
3.779293
4.224616
6.573341
7.784724
7.6356
7.6356
7.6356
7.6356
44.6112
42.53867
39.97094
39.22433
35.28658
33.25563
35.4616
35.4616
35.4616
35.4616
48.00303
50.07556
52.64329
53.3899
57.32766
59.3586
61.06454
61.06454
61.06454
61.06454
48.26307
7.6356
35.4616
61.06454
Lebar
Selang
7.20808
12.1195
13.54758
21.0795
24.9642
3.39183
3.39183
3.39183
3.39183
3.39183
7.53689
12.67235
14.16557
22.04108
26.10297
25.60294
25.60294
25.60294
25.60294
25.60294
Gambar 4.10. Galat standar dari Distribusi Chi-Square (n=50, µ=10, σ=2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
121
Tabel 4.11. Pembangkitan Data dari Distribusi Chi-Square (n=100, µ=10, σ=2)
Metode
Nilai
SK
Tambahan
1
2
3
4
150
180
200
300
350
150
180
200
300
350
150
180
200
300
350
150
180
200
300
350
Nilai
Penduga
Galat
standar
99.9281
100.2281
100.4281
101.4281
101.9281
98.95515
98.95515
98.95515
98.95515
1.309796
1.45225
1.57205
2.341558
2.781847
0.3659062
0.3659062
0.3659062
0.3659062
98.95515
98.95515
98.95515
98.95515
98.95515
98.95515
99.41169
99.41169
99.41169
99.41169
0.3659062
1.641586
1.820126
1.970273
2.934708
3.486528
8.412008
8.412008
8.412008
8.412008
99.41169
8.412008
Selang Kepercayaan 95%
Batas Bawah
Batas Atas
97.32918
97.34652
97.30881
96.78194
96.40831
98.34761
98.34761
98.34761
98.34761
98.34761
102.52702
103.10968
103.54739
106.07426
107.44789
99.5627
99.5627
99.5627
99.5627
96.22948
95.93303
95.68373
94.08239
93.16615
85.44447
85.44447
85.44447
85.44447
99.5627
101.6808
101.9773
102.2266
103.8279
104.7442
113.3789
113.3789
113.3789
113.3789
85.44447
113.3789
Lebar
Selang
5.19784
5.76316
6.23858
9.29232
11.03958
1.21509
1.21509
1.21509
1.21509
1.21509
5.45132
6.04427
6.54287
9.74551
11.57805
27.93443
27.93443
27.93443
27.93443
27.93443
Gambar 4.11. Galat standar dari Distribusi Chi-Square (n=100, µ=10, σ=2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
122
Tabel 4.12. Pembangkitan Data dari Distribusi Chi-Square (n=500, µ=10, σ=2)
Metode
Nilai
SK
Tambahan
1
2
3
4
680
750
800
1000
1050
680
750
800
1000
1050
680
750
800
1000
1050
680
750
800
1000
1050
Nilai
Penduga
Galat
standar
498.5649
498.7049
498.8049
499.2049
499.3049
498.5799
498.5799
498.5799
498.5799
1.4622
1.503142
1.539531
1.735809
1.795481
0.1323977
0.1323977
0.1323977
0.1323977
498.5799
498.5799
498.5799
498.5799
498.5799
498.5799
498.32
498.32
498.32
498.32
0.1323977
1.832596
1.883909
1.929516
2.175514
2.250302
22.00634
22.00634
22.00634
22.00634
498.32
22.00634
Selang Kepercayaan 95%
Batas Bawah
Batas Atas
495.692
495.7516
495.7801
495.7945
495.7772
498.3617
498.3617
498.3617
498.3617
498.3617
501.4377
501.6581
501.8296
502.6152
502.8325
498.7981
498.7981
498.7981
498.7981
495.5599
495.4754
495.4002
494.9948
494.8716
462.0554
462.0554
462.0554
462.0554
498.7981
501.5999
501.6844
501.7596
502.165
502.2882
534.5845
534.5845
534.5845
534.5845
462.0554
534.5845
Lebar
Selang
5.7457
5.9065
6.0495
6.8207
7.0553
0.4364
0.4364
0.4364
0.4364
0.4364
6.04
6.209
6.3594
7.1702
7.4166
72.5291
72.5291
72.5291
72.5291
72.5291
Gambar 4.12. Galat standar dari Distribusi Chi-Square (n=500, µ=10, σ=2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
123
TABEL 𝒁
z
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
-3.8
0.0001
0.0001
0.0001
0.0001
0.0001
0.0001
0.0001
0.0001
0.0001
0.0001
-3.7
0.0001
0.0001
0.0001
0.0001
0.0001
0.0001
0.0001
0.0001
0.0001
0.0001
-3.6
0.0002
0.0002
0.0001
0.0001
0.0001
0.0001
0.0001
0.0001
0.0001
0.0001
-3.5
0.0002
0.0002
0.0002
0.0002
0.0002
0.0002
0.0002
0.0002
0.0002
0.0002
-3.4
0.0003
0.0003
0.0003
0.0003
0.0003
0.0003
0.0003
0.0003
0.0003
0.0002
-3.3
0.0005
0.0005
0.0005
0.0004
0.0004
0.0004
0.0004
0.0004
0.0004
0.0003
-3.2
0.0007
0.0007
0.0006
0.0006
0.0006
0.0006
0.0006
0.0005
0.0005
0.0005
-3.1
0.001
0.0009
0.0009
0.0009
0.0008
0.0008
0.0008
0.0008
0.0007
0.0007
-3
0.0013
0.0013
0.0013
0.0012
0.0012
0.0011
0.0011
0.0011
0.001
0.001
-2.9
0.0019
0.0018
0.0018
0.0017
0.0016
0.0016
0.0015
0.0015
0.0014
0.0014
-2.8
0.0026
0.0025
0.0024
0.0023
0.0023
0.0022
0.0021
0.0021
0.002
0.0019
-2.7
0.0035
0.0034
0.0033
0.0032
0.0031
0.003
0.0029
0.0028
0.0027
0.0026
-2.6
0.0047
0.0045
0.0044
0.0043
0.0041
0.004
0.0039
0.0038
0.0037
0.0036
-2.5
0.0062
0.006
0.0059
0.0057
0.0055
0.0054
0.0052
0.0051
0.0049
0.0048
-2.4
0.0082
0.008
0.0078
0.0075
0.0073
0.0071
0.0069
0.0068
0.0066
0.0064
-2.3
0.0107
0.0104
0.0102
0.0099
0.0096
0.0094
0.0091
0.0089
0.0087
0.0084
-2.2
0.0139
0.0136
0.0132
0.0129
0.0125
0.0122
0.0119
0.0116
0.0113
0.011
-2.1
0.0179
0.0174
0.017
0.0166
0.0162
0.0158
0.0154
0.015
0.0146
0.0143
-2
0.0228
0.0222
0.0217
0.0212
0.0207
0.0202
0.0197
0.0192
0.0188
0.0183
-1.9
0.0287
0.0281
0.0274
0.0268
0.0262
0.0256
0.025
0.0244
0.0239
0.0233
-1.8
0.0359
0.0351
0.0344
0.0336
0.0329
0.0322
0.0314
0.0307
0.0301
0.0294
-1.7
0.0446
0.0436
0.0427
0.0418
0.0409
0.0401
0.0392
0.0384
0.0375
0.0367
-1.6
0.0548
0.0537
0.0526
0.0516
0.0505
0.0495
0.0485
0.0475
0.0465
0.0455
-1.5
0.0668
0.0655
0.0643
0.063
0.0618
0.0606
0.0594
0.0582
0.0571
0.0559
-1.4
0.0808
0.0793
0.0778
0.0764
0.0749
0.0735
0.0721
0.0708
0.0694
0.0681
-1.3
0.0968
0.0951
0.0934
0.0918
0.0901
0.0885
0.0869
0.0853
0.0838
0.0823
-1.2
0.1151
0.1131
0.1112
0.1093
0.1075
0.1056
0.1038
0.102
0.1003
0.0985
-1.1
0.1357
0.1335
0.1314
0.1292
0.1271
0.1251
0.123
0.121
0.119
0.117
-1
0.1587
0.1562
0.1539
0.1515
0.1492
0.1469
0.1446
0.1423
0.1401
0.1379
-0.9
0.1841
0.1814
0.1788
0.1762
0.1736
0.1711
0.1685
0.166
0.1635
0.1611
-0.8
0.2119
0.209
0.2061
0.2033
0.2005
0.1977
0.1949
0.1922
0.1894
0.1867
-0.7
0.242
0.2389
0.2358
0.2327
0.2296
0.2266
0.2236
0.2206
0.2177
0.2148
-0.6
0.2743
0.2709
0.2676
0.2643
0.2611
0.2578
0.2546
0.2514
0.2483
0.2451
-0.5
0.3085
0.305
0.3015
0.2981
0.2946
0.2912
0.2877
0.2843
0.281
0.2776
-0.4
0.3446
0.3409
0.3372
0.3336
0.33
0.3264
0.3228
0.3192
0.3156
0.3121
-0.3
0.3821
0.3783
0.3745
0.3707
0.3669
0.3632
0.3594
0.3557
0.352
0.3483
-0.2
0.4207
0.4168
0.4129
0.409
0.4052
0.4013
0.3974
0.3936
0.3897
0.3859
-0.1
0.4602
0.4562
0.4522
0.4483
0.4443
0.4404
0.4364
0.4325
0.4286
0.4247
0
0.5
0.496
0.492
0.488
0.484
0.4801
0.4761
0.4721
0.4681
0.4641
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
124
(lanjutan) TABEL 𝒁
z
0
0
0.5
0.01
0.504
0.02
0.508
0.03
0.512
0.04
0.516
0.05
0.5199
0.06
0.5239
0.07
0.5279
0.08
0.5319
0.09
0.5359
0.1
0.5398
0.5438
0.5478
0.5517
0.5557
0.5596
0.5636
0.5675
0.5714
0.5753
0.2
0.5793
0.5832
0.5871
0.591
0.5948
0.5987
0.6026
0.6064
0.6103
0.6141
0.3
0.6179
0.6217
0.6255
0.6293
0.6331
0.6368
0.6406
0.6443
0.648
0.6517
0.4
0.6554
0.6591
0.6628
0.6664
0.67
0.6736
0.6772
0.6808
0.6844
0.6879
0.5
0.6915
0.695
0.6985
0.7019
0.7054
0.7088
0.7123
0.7157
0.719
0.7224
0.6
0.7257
0.7291
0.7324
0.7357
0.7389
0.7422
0.7454
0.7486
0.7517
0.7549
0.7
0.758
0.7611
0.7642
0.7673
0.7704
0.7734
0.7764
0.7794
0.7823
0.7852
0.8
0.7881
0.791
0.7939
0.7967
0.7995
0.8023
0.8051
0.8078
0.8106
0.8133
0.9
0.8159
0.8186
0.8212
0.8238
0.8264
0.8289
0.8315
0.834
0.8365
0.8389
1
0.8413
0.8438
0.8461
0.8485
0.8508
0.8531
0.8554
0.8577
0.8599
0.8621
1.1
0.8643
0.8665
0.8686
0.8708
0.8729
0.8749
0.877
0.879
0.881
0.883
1.2
0.8849
0.8869
0.8888
0.8907
0.8925
0.8944
0.8962
0.898
0.8997
0.9015
1.3
0.9032
0.9049
0.9066
0.9082
0.9099
0.9115
0.9131
0.9147
0.9162
0.9177
1.4
0.9192
0.9207
0.9222
0.9236
0.9251
0.9265
0.9279
0.9292
0.9306
0.9319
1.5
0.9332
0.9345
0.9357
0.937
0.9382
0.9394
0.9406
0.9418
0.9429
0.9441
1.6
0.9452
0.9463
0.9474
0.9484
0.9495
0.9505
0.9515
0.9525
0.9535
0.9545
1.7
0.9554
0.9564
0.9573
0.9582
0.9591
0.9599
0.9608
0.9616
0.9625
0.9633
1.8
0.9641
0.9649
0.9656
0.9664
0.9671
0.9678
0.9686
0.9693
0.9699
0.9706
1.9
0.9713
0.9719
0.9726
0.9732
0.9738
0.9744
0.975
0.9756
0.9761
0.9767
0.9783
0.9788
0.9793
0.9798
0.9803
0.9808
0.9812
0.9817
2
0.9772
0.9778
2.1
0.9821
0.9826
0.983
0.9834
0.9838
0.9842
0.9846
0.985
0.9854
0.9857
2.2
0.9861
0.9864
0.9868
0.9871
0.9875
0.9878
0.9881
0.9884
0.9887
0.989
2.3
0.9893
0.9896
0.9898
0.9901
0.9904
0.9906
0.9909
0.9911
0.9913
0.9916
2.4
0.9918
0.992
0.9922
0.9925
0.9927
0.9929
0.9931
0.9932
0.9934
0.9936
2.5
0.9938
0.994
0.9941
0.9943
0.9945
0.9946
0.9948
0.9949
0.9951
0.9952
2.6
0.9953
0.9955
0.9956
0.9957
0.9959
0.996
0.9961
0.9962
0.9963
0.9964
2.7
0.9965
0.9966
0.9967
0.9968
0.9969
0.997
0.9971
0.9972
0.9973
0.9974
2.8
0.9974
0.9975
0.9976
0.9977
0.9977
0.9978
0.9979
0.9979
0.998
0.9981
2.9
0.9981
0.9982
0.9982
0.9983
0.9984
0.9984
0.9985
0.9985
0.9986
0.9986
3
0.9987
0.9987
0.9987
0.9988
0.9988
0.9989
0.9989
0.9989
0.999
0.999
3.1
0.999
0.9991
0.9991
0.9991
0.9992
0.9992
0.9992
0.9992
0.9993
0.9993
3.2
0.9993
0.9993
0.9994
0.9994
0.9994
0.9994
0.9994
0.9995
0.9995
0.9995
3.3
0.9995
0.9995
0.9995
0.9996
0.9996
0.9996
0.9996
0.9996
0.9996
0.9997
3.4
0.9997
0.9997
0.9997
0.9997
0.9997
0.9997
0.9997
0.9997
0.9997
0.9998
3.5
0.9998
0.9998
0.9998
0.9998
0.9998
0.9998
0.9998
0.9998
0.9998
0.9998
3.6
0.9998
0.9998
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
3.7
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
3.8
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
125
TABEL DISTRIBUSI-𝒕
df
𝜶
0.2
1.376
0.15
1.963
0.1
3.078
0.05
6.31
0.025
12.7
0.02
15.9
0.01
31.82
0.005
63.65
0.0025
127.3
0.001
0.0005
1
0.25
1
318.3
636.619
2
3
0.817
0.765
1.061
0.979
1.386
1.25
1.886
1.638
2.92
2.353
4.303
3.182
4.849
3.482
6.965
4.541
9.925
5.841
14.08
7.453
22.33
10.22
31.599
12.924
4
0.741
0.941
1.19
1.533
2.132
2.776
2.999
3.747
4.604
5.598
7.173
8.61
5
6
0.727
0.718
0.92
0.906
1.156
1.134
1.476
1.44
2.015
1.943
2.571
2.447
2.757
2.612
3.365
3.143
4.032
3.707
4.773
4.317
5.893
5.208
6.869
5.959
7
8
0.711
0.706
0.896
0.889
1.119
1.108
1.415
1.397
1.895
1.86
2.365
2.306
2.517
2.449
2.998
2.896
3.499
3.355
4.029
3.833
4.785
4.501
5.408
5.041
9
10
0.703
0.7
0.883
0.879
1.1
1.093
1.383
1.372
1.833
1.812
2.262
2.228
2.398
2.359
2.821
2.764
3.25
3.169
3.69
3.581
4.297
4.144
4.781
4.587
11
0.697
0.876
1.088
1.363
1.796
2.201
2.328
2.718
3.106
3.497
4.025
4.437
12
13
0.696
0.694
0.873
0.87
1.083
1.079
1.356
1.35
1.782
1.771
2.179
2.16
2.303
2.282
2.681
2.65
3.055
3.012
3.428
3.372
3.93
3.852
4.318
4.221
14
15
0.692
0.691
0.868
0.866
1.076
1.074
1.345
1.341
1.761
1.753
2.145
2.131
2.264
2.249
2.624
2.602
2.977
2.947
3.326
3.286
3.787
3.733
4.14
4.073
16
0.69
0.865
1.071
1.337
1.746
2.12
2.235
2.583
2.921
3.252
3.686
4.015
17
18
0.689
0.688
0.863
0.862
1.069
1.067
1.333
1.33
1.74
1.734
2.11
2.101
2.224
2.214
2.567
2.552
2.898
2.878
3.222
3.197
3.646
3.61
3.965
3.922
19
20
0.688
0.687
0.861
0.86
1.066
1.064
1.328
1.325
1.729
1.725
2.093
2.086
2.205
2.197
2.539
2.528
2.861
2.845
3.174
3.153
3.579
3.552
3.883
3.85
21
22
0.686
0.686
0.859
0.858
1.063
1.061
1.323
1.321
1.721
1.717
2.08
2.074
2.189
2.183
2.518
2.508
2.831
2.819
3.135
3.119
3.527
3.505
3.819
3.792
23
0.685
0.858
1.06
1.319
1.714
2.069
2.177
2.5
2.807
3.104
3.485
3.768
24
25
0.685
0.684
0.857
0.856
1.059
1.058
1.318
1.316
1.711
1.708
2.064
2.06
2.172
2.167
2.492
2.485
2.797
2.787
3.091
3.078
3.467
3.45
3.745
3.725
26
27
0.684
0.684
0.856
0.855
1.058
1.057
1.315
1.314
1.706
1.703
2.056
2.052
2.162
2.158
2.479
2.473
2.779
2.771
3.067
3.057
3.435
3.421
3.707
3.69
28
0.683
0.855
1.056
1.313
1.701
2.048
2.154
2.467
2.763
3.047
3.408
3.674
29
30
0.683
0.683
0.854
0.854
1.055
1.055
1.311
1.31
1.699
1.697
2.045
2.042
2.15
2.147
2.462
2.457
2.756
2.75
3.038
3.03
3.396
3.385
3.659
3.646
40
50
0.681
0.679
0.851
0.849
1.05
1.047
1.303
1.299
1.684
1.676
2.021
2.009
2.123
2.109
2.423
2.403
2.704
2.678
2.971
2.937
3.307
3.261
3.551
3.496
60
80
0.679
0.678
0.848
0.846
1.045
1.043
1.296
1.292
1.671
1.664
2
1.99
2.099
2.088
2.39
2.374
2.66
2.639
2.915
2.887
3.232
3.195
3.46
3.416
100
0.677
0.845
1.042
1.29
1.66
1.984
2.081
2.364
2.626
2.871
3.174
3.39
1000
∞
0.675
0.674
0.842
0.841
1.037
1.036
1.282
1.282
1.646
1.645
1.962
1.96
2.056
2.054
2.33
2.326
2.581
2.576
2.813
2.807
3.098
3.09
3.3
3.291