Geometri Datar

Modul
1
Geometri Datar
1.1
Perkembangan Geometri
Benda-benda alam yang konkrit, seperti televisi, batu bata, lapangan sepakbola, lapangan soft-ball, bola, bola rugby dan sebagainya merupakan awal diselidikinya geometri. Sedangkan metode yang digunakan adalah empiris, teoremateoremanya ditetapkan berdasarkan pendekatan induksi. Pada tahap ini belum
dilakukan usaha untuk menghubungkan secara logis antara teorema yang satu
dengan yang lainnya.
Perubahan perkembangan pemikiran merubah atau mengalami perubahan
perkembangan dari benda yang konkrit menjadi benda pikiran yang diperoleh
dari alam dengan mengambil beberapa sifat yang perlu. Misal sebuah lapangan
sepak bola, yang perlu diperhatikan adalah lebar dan panjangnya saja, tidak
perlu memikirkan apakah ada rumput atau tidak, begitu juga seutas tali, tidak
perlu melihat berapa besar talinya, tetapi cukup diperhatikan panjang talinya.
Pada tahap ini mulai dikenal obyek geometri yang berupa titik, garis dan bidang
yang merupakan hasil pemikiran. Metode yang digunakan didapat dari faktafakta dan ditetapkan hukum-hukumnya dengan penalaran deduktif. Sedangkan
teorema yang baru diperoleh dari teorema-teorema sebelumnya.
Setelah ditemukan obyek hasil pemikiran sebagai obyek geometri maka di1
Modul 1. Geometri Datar
2
susun dalam susunan aksiomatik. Dalam penyusunan ditetapkan sekelompok
pengertian yang tidak didefinisikan dan cukup jelas yang disebut dengan pengertian dasar. Ditetapkan pula sekelompok yang tidak diragukan kebenarannya
tanpa harus dibuktikan yaitu aksioma. Dengan menggunakan aksioma yang
sudah ada dapat diturunkan beberapa teorema secara deduktif.
1.1.1
Deduktif-Aksiomatik
Penalaran deduktif adalah penarikan kesimpulan dari hal yang umum ke hal
yang khusus, sedangakn ilmu deduktif adalah suatu sistem S dari pernyataanpernyataan yang memenuhi persyaratan sebagai berikut:
1. Semua pernyataan S harus mengenai satu hal yang nyata
2. Semua pernyataan S harus akurat
3. Jika ada pernyataan merupakan anggota S, maka kesimpulan logis dari
pernyataan itu adalah juga anggota S.
4. Didalam S dapat ditunjuk sekelompok istilah dengan persyaratan sebagai
berikut:
(a) Arti istilah tersebut tidak membutuhkan penjelasan yang disebut dengan pengertian dasar
(b) Arti semua istilah yang lain yang terdapat dalam S harus dapat didefinisikan dengan istilah tadi
5. Dalam S dapat ditunjuk sekelompok pernyataan dengan sifat sebagai berikut:
(a) Kebenaran pernyataan itu jelas dan tak perlu bukti
(b) Semua pernyataan S lainnya harus dapat diperoleh dari pernyataan
tadi secara deduktif
Penalaran deduktif disebut juga sebagai penalaran silogistik dan didalam silogistik dikenal tiga pernyataan yaitu pernyataan sebagai premis mayor, premis
minor dan kesimpulan.
Contoh 1.1.1
Premis Mayor
Premis Minor
Kesimpulan
Semua sudut yang berseberangan jumlahnya 1800
Segitiga siku hanya
mempunyai satu sudut
siku
∠α dan ∠β adalah sudut
berseberangan
4ABC adalah segitiga
siku
∠α + ∠β = 1800
Matematika-SMP
4ABC hanya mempunyai
satu sudut siku
Modul 1. Geometri Datar
1.1.2
3
Pengertian Dasar, Aksioma dan Teorema
Pengajaran geometri secara khusus diberikan secara deduktif-aksiomatik. Pada pokok pembahasan garis sejajar, garis siku atau yang lainnya, perlu dimulai
dengan menetapkan pengertian dasar, kemudian dikenalkan sekumpulan aksioma
dan definisi serta teorema.
Beberapa pengertian dasar dan definisi yang ditetapkan adalah
1. Titik
2. Garis
3. Ruas garis
4. Titik terletak pada garis atau garis melalui titik
5. Titik diluar garis atau garis tidak melalui titik
dan definisi, sebagai berikut
1. Sudut
2. Sudut bertolak belakang
3. Dua garis berimpit
4. Dua garis sejajar
5. Dua garis berpotongan
Sedangkan aksioma yang dapat dibuat, adalah
Aksioma-1: Ada sedikitnya dua titik yang berbeda
Aksioma-2: Melalui dua titik yang berbeda, dapat dibuat tepat sebuah garis
Aksioma-3: Setiap garis dapat dimuat sedikitnya dua titik yang berbeda
Aksioma-4: Ada titik di luar garis
Aksioma-5: Melalui sebuah titik tertentu di luar garis yang diketahui dapat
tepat satu garis sejajar yang diketahui
Matematika-SMP
Modul 1. Geometri Datar
4
Dari sistem aksioma tersebut dapat diturunkan beberapa teorema yang kebenarannya dapat dibuktikan berdasarkan aksioma-aksioma tersebut.
Teorema 1.1.1
Sedikitnya ada sebuah garis.
¤ Bukti:
Dengan menggunakan Aksioma-1 dan Aksioma-2 dapat dibuat sebuah garis.
¥
Teorema 1.1.2
Sedikitnya ada tiga titik yang berbeda yang tidak terletak pada sebuah garis.
¤ Bukti:
Dengan menggunakan Aksioma-1, Aksioma-3 dan Aksioma-4 dapat dibuat sebuah garis dan sebuah titik yang tidak terletak pada garis tersebut.
¥
1.2
Melukis Bangun Datar
Pada saat menginginkan suatu gambar dari suatu obyek yang dikehendaki dalam
geometri datar, misal obyek yan berbentuk garis, sudut, persegi atau yang lainnya, maka diperlukan dua peralatan dasar yaitu penggaris dan jangka. Penggaris
dapat berbentuk penggaris segitiga siku yang biasanya berpasangan dan jangka
yang mutlak diperlukan.
Dengan mengunakan aksioma, teorema dan definisi diatas, dapat dibuat gambar yang berbentuk segitiga, persegi atau lainnya. Gambar-gambar tersebut
merupakan rangkaian dari dua gambar dasar yaitu garis dan lingkaran. Sesuai
dengan aksioma diatas dengan dua buah titik dapat dibuat sebuah garis dan
dengan menggunakan sebuah jangka dan titik pusat dapat dibuat banyak titik
yang jaraknya sama yang biasanya disebut dengan jari-jari.
1.2.1
Melukis Segitiga
Sebelum dipelajari bangun-bangun yang lainnya, perlu dipelajari bangun segitiga, karena bagun segitiga merupakan dasar dari bangun-bangun yang lainnya,
Matematika-SMP
Modul 1. Geometri Datar
5
A
B
R
Gambar 1.1 Garis dan Lingkaran
artinya bangun yang lainnya dapat dibentuk oleh beberapa segitiga. Oleh karena
itu perlu disimak terlebih dahulu sifat-sifat segitiga.
Sifat-sifat Segitiga
1. Bangun segitiga terdiri dari tiga sisi dan atau tiga sudut.
2. Ketiga sisinya mempunyai pertidaksamaan segitiga yaitu jumlah dua sisi
akan lebih besar dari sisi yang lainnya
3. Jumlah ketiga sudutnya adalah 1800 .
4. Sudut terbesar terletak berhadapan dengan sisi terpanjang.
Dengan menggunakan sifat segitiga, dapat dilukis sebuah segitiga dengan
mengambil tiga unsur dari enam unsur yang diketahui (tiga sisi dan tiga sudut),
yaitu:
1. Ketiga unsurnya adalah sisi, (s, s, s)
2. Dua buah sisi dan sebuah sudut yang diapit oleh sisinya, (s, sd, s)
3. Dua buah sudut dan sebuah sisi yang diapit oleh sudut, (sd, s, sd)
4. Dua buah sisi dan sebuah sudut yang tidak diapit oleh sisinya, (s, s, sd)
5. Dua buah sudut dan sebuah sisi yang tidak diapit oleh sudut, (s, sd, sd)
Tidak menutup kemungkinan melukis segitiga dengan unsur yang lebih sedikit
dan informasi yang lainnya.
1.2.2
Melukis Segi-n Beraturan
Segi-n beraturan adalah suatu obyek yang mempunyai n sisi yang sama panjang
dan mempunyai n sudut yang sama besar. Segitiga sama sisi adalah suatu segitiga
Matematika-SMP
Modul 1. Geometri Datar
6
yang mempunyai tiga sisi sama panjang dan sudut sama besar yaitu 1200 . Segi-n
beraturan mempunyai jumlah sudutnya adalah
(n − 2) × 1800
dan setiap sudutnya mempunyai besar yang sama, yaitu
(n − 2) × 1800
n
Contoh 1.2.1 Segi-3 atau segitiga mempunyai jumlah sudut sebesar:
(3 − 2) × 1800 = 1800
dan besar sudutnya adalah
1800
= 600
3
Contoh 1.2.2 Segi-4 atau persegi mempunyai jumlah sudut sebesar:
(4 − 2) × 1800 = 3600
dan besar sudutnya adalah
1.2.3
3600
= 900
4
Panjang Sisi Segi-n Beraturan
Keliling dari sebuah lingkaran dengan jari-jari R dan pusat O dengan n titik pada
keliling lingkaran akan membentuk segi-n beraturan oleh:
1. Tali busur yang menghubungkan titik di keliling lingkaran, dinamakan segin dalam beraturan atau
2. Garis singgung di titik sekeliling lingkaran dinamakan segi-n luar beraturan
Tabel berikut berisi panjang sisi dari segi-n dalam beraturan dengan jari-jari
lingkaran R
n Jumlah Sudut Besar Sudut
Panjang
√ Sisi
0
0
3
180
60
R √3
0
0
4
360
90
qR 2
√
1
R 10 − 2 5
5
5400
1080
2
6
7200
1200
pR √
8
10800
1350
R 2− 2
√
1
10
14400
1440
R(−1 + 5)
2 p
√
12
18000
1500
R 2− 3
Matematika-SMP
Modul 1. Geometri Datar
1.3
7
Garis Sejajar
Dua buah garis lurus, misal garis a dan garis b, dikatakan sejajar satu dengan
yang lainnya apabila kedua garis tersebut terletak pada bidang datar dan tidak
berpotongan satu dengan yang lainnya. Dua garis lurus a dan b yang sejajar
ditulis dengan akb dan dibaca ”garis a sejajar dengan garis b”.
A
B
Gambar 1.2 Dua Garis sejajar
Jika ada dua garis lurus sejajar terpotong oleh sebuah garis lurus yang lain,
garis yang memotong dinamakan transversal dari dua garis sejajar.
2 1
A
3 4
2 1
B
3 4
Gambar 1.3 Dua Garis sejajar dengan Transversal
Sedangkan sudut-sudut yang terbentuk oleh kedua garis sejajar dan transversalnya, jika berada diantara kedua garis sejajar disebut dengan sudut dalam dan
jika berada diluar kedua garis sejajar disebut dengan sudut luar. Dari Gambar 1.3, istilah-istilah yang perlu diperhatikan sebagai berikut:
No
1
2
3
4
5
6
7
Istilah
Sudut Dalam
Sudut Luar
Sudut Dalam Sepihak
Sudut Dalam Berseberangan
Sudut Luar Sepihak
Sudut Luar Berseberangan
Sudut Sehadap
Matematika-SMP
Contoh
∠A3 , ∠A4 , ∠B1 , dan ∠B2 ,
∠A1 , ∠A2 , ∠B3 , dan ∠B4 ,
∠A3 , dan ∠B2
∠A3 , dan ∠B1
∠A1 , dan ∠B4
∠A2 , dan ∠B4
∠A1 , dan ∠B1
Modul 1. Geometri Datar
8
Untuk melukis dua garis lurus yang sejajar diperlukan dua buah garis siku atau
mistar dan jangka.
Aksioma dan Teorema Garis Sejajar
Dengan aksioma, teorema dan definisi diatas dapat dibangun teorema atau
aksioma khusus pada garis lurus yang sejajar, antara lain
Teorema 1.3.1
Jika sebuah garis memotong salah satu dari dua garis yang sejajar, maka garis
itu juga akan memotong garis yang kedua
Teorema 1.3.2
Jika garis sejajar dengan salah satu dari dua garis sejajar, maka garis tersebut
sejajar juga dengan garis keduanya.
Teorema 1.3.3 Jika dua buah garis masing-masing sejajar dengan sebuah
garis yang diketahui, maka kedua garis itu sejajar
Teorema 1.3.4
Jika dua garis sejajar a dan b dipotong oleh transversal p, maka
a. sudut sehadap sama besar
b. sudut dalam berseberangan sama besar
c. sudut luar berseberangan sama besar
d. tiap dua sudut dalam sepihak berjumlah 1800
e. tiap dua sudut luar sepihak berjumlah 1800
1.4
Sebangun dan Kongruen
Di dalam kehidupan sehari-hari sering dijumpai obyek-obyek yang mempunyai
bentuk yang sama tetapi ukuran yang berbeda. Contoh konkrit yang sering
Matematika-SMP
Modul 1. Geometri Datar
9
dilihat adalah obyek pohon di televisi dengan ukuran 21 inchi dengan obyek
yang sama pada televisi dengan ukuran 34 inchi. Obyek-obyek yang bentuknya
sama tetapi mempunyai ukuran yang berbeda disebut dengan obyek sebangun.
Sedangkan kongruen, yaitu obyek yang mempunyai bentuk dan ukuran yang
sama.
1.4.1
Sebangun
Kata lain dari sebangun adalah penskalaan, jika dua obyek yang sama tetapi
ukuran yang berbeda mempunyai makna bahwa obyek yang lebih kecil mewakili obyek yang lebih besar, seperti peta sebuah pulau atau denah dari sebuah
pertokoan dan lain-lain.
Dua buah obyek yang bersisi lurus dikatakn sebangun jika memnuhi dua
syarat, yaitu:
1. sudut yang bersesuaian mempunyai besar yang sama
2. sisi yang bersesuaian mempunyai panjang yang sebanding
Untuk lebih memahami, perhatikan contoh dua obyek yang sebangun dibawah
ini
P
Q
8
B
A
6
6
4
3
3
8
4
D
C
S
R
Gambar 1.4 Dua Obyek Sebangun
Dua obyek persegi-empat, yaitu persegi-empat ABCD dan P QRS, perhatikan
bahwa kedua obyek tersebut adalah sebangun, sebab:
1. sudut yang bersesuaian mempunyai besar yang sama, yaitu masing-masing
bersudut 900
2. sisi yang bersesuaian mempunyai panjang yang sebanding, yaitu
AB : P Q = 4 : 8 = 1 : 2
BC : QR = 3 : 6 = 1 : 2
Matematika-SMP
Modul 1. Geometri Datar
10
CD : RS = 4 : 8 = 1 : 2
DA : SP = 3 : 6 = 1 : 2
Karena memenuhi kedua syarat diatas maka kedua obyek tersebut sebangun.
Dua Segitiga Sebangun
Telah diketahui diatas bahwa segitiga adalah bangun yang sangat penting
dari geometri datar, artinya bahwa obyek-obyek selain segitiga dapat dipecahkan
dengan bantuan obyek segitiga. Oleh karena itu perlu dibahas lebih detil sedikit.
Definisi 1.4.1 Dua segitiga dikatakan sebangun jika kedua segitiga tersebut
sisi-sisinya yang bersesauaian mempunyai panjang yang sebanding atau sudutsudut yang bersesuaian mempunyai besar yang sama
Jika dua segitiga sebangun, misal segitiga 4ABC dan 4P QR dapat ditulis
dengan lambang: 4ABC ∼ 4P QR
Untuk lebih memahami, perhatikan contoh dua obyek yang sebangun dibawah
ini
P
14
Q
A
7
6
B
10
3
5
C
R
Gambar 1.5 Dua Segitiga Sebangun
Perhatikan gambar dua segitiga yang sebangun, yaitu 4ABC ∼ 4P QR,
untuk membuktikan bahwa kedua segitiga tersebut sebangun, bandingkan sisisisinya, yaitu
BC
CA
1
AB
=
=
=
PQ
QR
RP
2
oleh karena aperbandingan sisi-sisinya sama, maka kedua segitiga tersebut sebangun.
Matematika-SMP
Modul 1. Geometri Datar
11
Dengan mengetahui bahwa dua segitiga sebangun, dapat dicari panjang sisi
yang tidak diketahui dari segitiga yang lainnya.
P
12
Q
A
6
B
10
4
R
C
Gambar 1.6 Dua Segitiga Sebangun
Contoh 1.4.1 Perhatikan Gambar 1.6, dua segitiga sebangun, yaitu 4ABC ∼
4P QR, Carilah panjang sisi BC pada segitiga ABC dan panjang sisi RP pada
segitiga P QR
Jawab:
Karena kedua segitiga sebangun, maka ketiga sisinya sebanding, yaitu
AB
BC
CA
1
=
=
=
PQ
QR
RP
2
atau
6
BC
4
1
=
=
=
12
10
RP
2
jadi panjang sisi BC = 5, dan panjang sisi RP = 8
Garis Sejajar pada Segitiga
Jika sebuah segitiga dilukis garis yang sejajar pada salah satu sisinya maka
terjadi dua segitiga yang sebangun.
Pandang Gambar 1.7 dari sebuah segitiga ditarik sebuag garis sejajar pada
sisi yang lain akan didapat dua segitiga yang sebangun, yaitu 4ABC ∼ 4P RC
Garis Tinggi pada Segitiga Siku
Jika sebuah segitiga siku dilukis garis tinggi pada sisi miringnya maka terjadi
tiga segitiga yang sebangun.
Matematika-SMP
Modul 1. Geometri Datar
12
A
B
A
B
P
P
R
C
C
C
Gambar 1.7 Segitiga Sebangun dari Garis Sejajar
B
B
B
P
P
A
C A
C
A
P
C
A
Gambar 1.8 Segitiga Sebangun dari Garis Tinggi Segitiga Siku
Pandang Gambar 1.8 dari sebuah segitiga siku ditarik sebuag garis tinggi pada
garis sisi miring akan didapat tiga segitiga siku yang sebangun, yaitu 4BAC ∼
4AP C ∼ 4BP A
1.4.2
Kongruen
Dua obyek dikatakan mempunyai sifat kongruen jika sama bentuknya dan ukurannya. Kongruen dapat dikenakan pada dua ruas garis, dua sudut, dua segitiga
atau obyek yang lainnya. Dua obyek dikatakan kongruen pada bidang datar,
maka
a. Unsur-unsur yang bersesuaian sama
b. Luas daerahnya sama
Untuk memastikan dua buah segitiga mempunyai sifat kongruen, jika
a. Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang (s, s, s)
Matematika-SMP
Modul 1. Geometri Datar
13
B
A
P
B
C
A
P
B
P
C
A
Gambar 1.9 Segitiga Kongruen
b. Dua sisi yang bersesuaian sama panjang serta sudut yang diapitnya sama
besar (s, sd, s)
c. Dua sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi yang diapitnya sama panjang (sd, s, sd)
Lihat Gambar 1.9 segitiga 4BP A kongruen dengan 4BP C
1.5
lingkaran
sering dijumpai obyek-obyek yang berbentuk lingkaran, seperti roda kendaraan,
roda gigi mesin dan lian-lain. Berdasarkan kurikulum matematika SLTP pada pokok pembahasan tentang lingkaran yang terdiri dari beberapa sub-pokok
pembahasan yaitu pengertian , unsur keliling dan luas lingkaran, begitu juga
hubungan antara sudut dalam lingkaran, garis singgung, lingkaran dalam dan
luar segitiga. Tetapi pada modul ini hanya akan dibahas beberapa sub-pokok
bahasan yaitu hubungan antara sudut dan lingkaran, lingkaran dalam dan luar
segitiga.
1.5.1
Antara Sudut pada Lingkaran
Pembahasan hubungan antara sudut pada lingkaran akan dibahas secara detil
setelah diketahui hal pokok tentang: sudut pusat, sudut keliling, sudut dalam
lingkaran dan sudut luar lingkaran.
Pada Gambar 1.10, menunjukan sebuah lingkaran dengan pusat P . Sudut
pusat dari gambar tersebut adalah ∠AP B, atau ∠BP C, atau ∠AP C. Sedangkan
sudut yang titik sudutnya pada busur lingkaran dan kaki-kaki sudutnya adalah
Matematika-SMP
Modul 1. Geometri Datar
14
A
12
3 1
2
C
1
2
P
1
2
B
Gambar 1.10 Segitiga didalam Lingkaran
tali busur-tali busur lingkaran tersebut dinamakan sudut keliling lingkaran, contohnya adalah ∠CAB. Besarnya sudut pusat dengan bentuk kaki seperti pada
Gambar 1.10 dua kali besarnya sudut keliling lingkaran yang menghadap ke busur
yang sama.
Contohnya, ∠BP C = 2∠BAC, ∠BP A = 2∠BCA, dan ∠AP C = 2∠ABC.
A
B
P
E
D
C
Gambar 1.11 Segitiga Dalam Lingkaran
Perhatikan Gambar 1.11, lingkaran dengan pusat P , dua talibusur AC dan
BD memotong di E, sehingga terbentuk sudut ∠AED, ∠AEB, ∠BEC dan
∠CED sudut-sudut tersebut dinamakan sudut dalam keliling lingkaran atau sudut
keliling dalam lingkaran. Perlu diketahui bahwa besarnya sudut dalam keliling
lingkaran sama dengan setengah jumlah kedua busur di dalam sudut itu dan
sudut yang bertolak belakang.
1
Contohnya: ∠AED = (bs AD + bs BD), buktikan.
2
Perhatikan Gambar 1.12, lingkaran dengan pusat P , dua talibusur AB dan
DC memotong di Q terletak diluar lingkaran, sehingga terbentuk sudut ∠AQD
yang disebut dengan sudut luar keliling lingkaran atau sudut keliling luar lingkaran.
Perlu diketahui bahwa besarnya sudut luar keliling lingkaran sama dengan setengah selisih kedua busur di dalam sudut itu.
Matematika-SMP
Modul 1. Geometri Datar
15
A
B
Q
P
C
D
Gambar 1.12 Segitiga Luar Lingkaran
1
Contohnya: ∠BQC = (bs AB + bs DC), buktikan.
2
D
E
C
F
P
A
B
Gambar 1.13 Sudut Segmen Segitiga didalam Lingkaran
Perhatikan Gamba1.13, sudut kelilig ACB, ADB, AEB, dan AF B, menghadap segmen yang sama yaitu AB. Sifat besar sudut pusat yang menghadap
busur yang sama, maka besar ∠ACB = ∠ADB = ∠AEB = ∠AF B, Jadi sudutsudut dalam segmen yang sama besarnya adalah sama.
1.5.2
Lingkaran Dalam Segitiga
Pandang sebuah segitiga sebarang, tarik garis bagi pada setiap sudutnya, maka
akan ditemukan sebuah titik potong garis bagi-garis bagi, misal titik P , maka
jarak ketiga sisi segitiga terhadap titik P adalah sama. Jika pada titik P dibuat
lingkaran dengan jari-jari jarak titik P terhadap salah satu garis segitiga, maka
lingkaran tersebut akan menyinggung semua sisi yang lainnya.
Garis bagi AD dan garis bagi BE berpotongan di titik P yang berjarak sama
terhadap garis AB, BC dan AC, sehingga P adalah pusat lingkaran dalam segitiga yang menyinggung sisi AB, BC dan AC, jadi jari lingkaran dalamnya adalah
P G. Panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga tersebut adalah:
Matematika-SMP
Modul 1. Geometri Datar
16
C
E
D
P
G
A
B
F
Gambar 1.14 Lingkaran Dalam Segitiga
Teorema 1.5.1
Jari-jari lingkaran dalam segitiga sama dengan luas segitiga itu dibagi dengan
setengah keliling lingkaran.
Catatan: Buktikan teorema tesebut.
1.5.3
Lingkaran Luar Segitiga
Pandang segitiga ABC, tarik ketiga sumbu dari setiap sisinya, perpotongan ketiga garis tersebut adalah P , berarti jarak P A, P B, dan P C adalah sama. Jika
dari pusat P dibuat lingkaran dengan jari-jari P C, maka lingkaran tersebut akan
menyinggung titik A dan titik B. Perhatika Teorema diabwah ini.
C
R
R
A
P
R
B
Gambar 1.15 Lingkaran Luar Segitiga
Teorema 1.5.2
Jari-jari lingkaran luar segitiga sama dengan hasil kali ketiga sisi-sisinya dibagi
oleh empat kali luas segitiga itu.
Catatan: Buktikan teorema tesebut.
Matematika-SMP
Modul
2
Geometri Ruang
Mencari rumus suatu volume benda atau obyek didasarkan pada dua pendekatan,
yaitu dengan cara induktif dan deduktif. Pencarian rumus yang diawali dengan
suatu eksprimen atau percobaan atau pengamatan kemudian ditemukan suatu
rumusan, pendekatan tersebut dinamakan pendekatan induktif. Sedangkan pendekatan deduktif adalah pendekatan yang dilakukan berdasarkan teorema, definisi atau postulat yang berlaku yang sudah teruji kebenarannya.
Pada modul ini akan dicari rumus volume beberapa obyek di ruang atau di
dimensi tiga, antara lain volume kubus, balok, prisma tegak, tabung, kerucut,
bola dan limas.
2.1
Penurunan Rumus Secara Induktif
Volume atau isi dari suatu obyek yang berongga adalah banyak satuan ukuran
atau takaran yang digunakan, biasanya ukurannya lebih kecil dari obyek yang
diukur. Contoh sederhana, Volume dari suatu termos adalah lima belas gelas,
artinya dalam satu termos dapat diisi oleh lima belas gelas, kalau satuan ukuran
terkecilnya adalah gelas.
Dalam bagian ini digunakan satuan takaran terkecil adalah satuan yang sudah
disepakati yaitu centimeter (cm), selanjutnya disebut dengan satuan saja.
17
Modul 2. Geometri Ruang
2.1.1
18
Volume Kubus
S
s
s
Gambar 2.1 Kubus dengan panjang rusuk s
Kubus adalah obyek yang mempunyai ukuran panjang, lebar dan tinggi yang
sama. Lihat Gambar 2.1, kubus yang mempunyai ukuran panjang, lebar dan
tinggi yaitu s, jadi
V olume Kubus = Vkubus = s × s × s = s3 = (Luas Alas) × (T inggi)
2.1.2
(2.1)
Volume Balok
t
l
p
Gambar 2.2 Balok dengan ukuran p, l dan t
Balok adalah obyek yang mempunyai ukuran panjang, lebar dan tinggi yang
tidak sama. Lihat Gambar 2.2, balok yang mempunyai ukuran panjang, lebar
dan tinggi yaitu p, l dan t jadi
V olume Balok = Vbalok = p × l × t = (Luas Alas) × (T inggi)
2.1.3
(2.2)
Volume Prisma Tegak Siku
Prisma tegak siku (P T S) adalah balok yang dipotong menjadi dua bagian sama
besar seperti terlihat pada Gambar 2.3, balok yang mempunyai ukuran panjang,
Matematika-SMP
Modul 2. Geometri Ruang
19
t
p
l
Gambar 2.3 Prisma Tegak Siku
lebar dan tinggi yaitu p, l dan t, maka volume prisma tegak siku adalah setengah
dari volume balok, jadi
1
V olume P T S = Vprisma−tsk = (p × l × t) = (Luas Alas) × (T inggi)
2
2.1.4
(2.3)
Volume Prisma Tegak Sebarang
t
A1 A2
A1
A2
Gambar 2.4 Prisma Tegak Sebarang
Prisma Tegak Sebarang (P T Se) adalah suatu prisma tegak yang alasnya
merupakan segitiga sebarang. Jika salah satu titik dari segitiga ditarik sebuah
garis sehingga memotong sisi dihadapannya tegak lurus, maka alas segitiga tersebut menjadi dua bagian segitiga siku, seperti terlihat pada Gambar 2.4, sehingga
volume prisma tegak sebarang adalah
V olume P T S =
=
=
=
Vprisma−sbr =
Matematika-SMP
Vprisma−sbr
V1 + V2
A1 t + A2 t
(A1 + A2 )t
At = (Luas Alas) × (T inggi)
(2.4)
Modul 2. Geometri Ruang
2.1.5
20
Volume Prisma Tegak Segi-n
A4
A3
t
A2
A1
A4
A3
A2
An
A1
Gambar 2.5 Prisma Tegak Segi-n
Prisma Tegak Segi-n (PTS-n) adalah suatu prisma tegak yang alasnya merupak segi-n. Jika setiap titik sudut ditarik sebuah garis sedemikian hingga membentuk sebuah prisma dengan banyak segitiga. Sesuai dengan prisma tegak segitiga sebarang, bahwa volume prisma tegak segi-n merupakan perluasan dari
volume prisma tegak sebarang, seperti terlihat pada Gambar 2.5, sehingga volume prisma tegak segi-n adalah
V olume P T S − n =
=
=
=
Vprisma−segi−n =
2.1.6
Vprisma−segi−n
V1 + V2 + V3 + · · · + Vn
A1 t + A2 t + A3 t + · · · + An t
(A1 + A2 + A3 + · · · + An )t
At = (Luas Alas) × (T inggi)
Volume Tabung
t
r
Gambar 2.6 Tabung dengan Jari-jari r dan Tinggi t
Matematika-SMP
(2.5)
Modul 2. Geometri Ruang
21
Jika n pada prisma tegak segi-n adalah besar sekali, maka dapat dikatakan
bahwa prisma tegak tersebut adalah sebuah tabung. Dengan demikian volume
tabung merupakan perkalian luas alas tabung yang merupakan luas lingkaran dan
tinggi tabung, jadi
V olume T abung = Vprisma−segi−n
= (Luas Alas) × (T inggi)
Vtabung = π × r2 × t
2.1.7
(2.6)
Volume Kerucut
r
t
t
r
Gambar 2.7 Kerucut dengan Jari-jari r dan Tinggi t
Untuk mendapatkan volume kerucut perlu dilakukan pecobaan sederhana.
Buatlah kerucut dengan luas alas sama dengan luas alas tabung, misal luas alas
lingkaran dengan jari-jari r dan tinggi t yang juga merupakan tinggi tabung. Gunakan beras atau pasir atau yang lainnya, misal digunakan pasir. Ambil pasir
dengan menggunakan kerucut, kemudian tuangkan pada tabung, hitung berapa kali tuangan yang dapat dilakukan. Berdasarkan percobaan hanya tiga kali
tuang, jadi volume tabung adalah tiga volume kerucut. Dengan kata lain, volume
kerucut adalah sepertiga volume tabung, yaitu
Vtabung = 3 × Vkerucut
1
× Vtabung
Vkerucut =
3
1
=
× π × r2 × t
3
2.1.8
(2.7)
Volume Bola
Untuk mendapatkan volume bola perlu dilakukan pecobaan sederhana. Buatlah
setengah bola dengan jari-jari yang sama dengan jari-jari alas tabung yaitu r.
Matematika-SMP
Modul 2. Geometri Ruang
22
r
2r
Gambar 2.8 Bola dengan Jari-jari r
Gunakan beras atau pasir atau yang lainnya, misal digunakan pasir. Ambil pasir
dengan menggunakan setengah bola, kemudian tuangkan pada tabung, hitung
berapa kali tuangan yang dapat dilakukan. Berdasarkan percobaan hanya tiga
kali tuang, jadi volume tabung adalah tiga volume setengah bola. Dengan kata
lain, volume bola adalah sepertiga volume setengah bola, yaitu
Vtabung = 3 × V 1 bola
2
1
V 1 bola =
Vtabung
2
3
1
=
× π × r2 × t
3
1
=
× π × r2 × 2r
3
4
Vbola =
× π × r3
3
2.1.9
(2.8)
Volume Limas
Volume Limas pada dasarnya sama seperti pencarian volume kerucut. Limas
yang dimaksud adalah limas dengan alas yang sama dengan alas pada prisma
tegak segi-n, sehingga proses pencari volume limas sama dengan pencarian volume
kerucut, sehingga volume limas adalah
Vprisma−segi−n = 3 × Vlimas
1
× Vprisma−segi−n
Vlimas =
3
1
=
× (Luas Alas) × (T inggi)
3
Matematika-SMP
(2.9)
Modul 2. Geometri Ruang
2.2
23
Penurunan Rumus Secara Deduktif
Berpikir deduktif adala berpikir berdasarkan aturan yang sudah ada atau aturan yang berlaku. Aturan-aturan tersebut dapat berbentuk postulat, definisi
atau teorema yang kebenarannya sudah dijamin. Contoh suatu definisi sebagai
berikut:
P
C
A
B
Gambar 2.9 Limas Segitiga
Definisi 2.2.1 Limas segitiga adalah bangun atau obyek yang dibatasi oleh
empat-bidang datar yang berbentuk segitiga. (Lihat Gambar 2.9)
Empat bidang datar segitiga yang dimaksud adalah segitiga ABC, ABP ,
ACP dan BCP .
Postulat 2.2.2 Postulat Cavalieri
Jika ada dua obyek ruang mempunyai tinggi yang sama, ketika dua obyek tersebut
dipotong oleh bidang datar pada tinggi yang sama, dan jika luas dari kedua potongan tersebut juga sama, maka kedua obyek tersebut mempunyai volume yang
sama.
Contoh 2.2.1 Ambil dua obyek ruang yang sama misal B1 dan B2 mempunyai tinggi t, jika dipotong oleh bidang datar H, luasan yang didapat yaitu Lb1
dan Lb2 , jika Lb1 = Lb2 , maka volume kedua obyek tersebut adalah sama. Lihat
Gambar 2.10.)
Oleh karena itu, untuk membuktikan besarnya suatu volume-volume dari
obyek ruang, perlua dikaji terlebih dasar geometri datar yang akan dipakai pada
geometri ruang. Perhatika beberapa teorema-teorema dibawah ini:
Teorema 2.2.3
Matematika-SMP
Modul 2. Geometri Ruang
24
B2
B1
H
Lb1
Lb2
Gambar 2.10 Dua Obyek Ruang mempunyai Volume yang Sama
Limas segitiga T.ABC dengan tinggi t2 , dipotong pada bagian tengah sejauh t1
dari puncak P yang sejajar dengan alasnya, misal titik potongnya adalah P QR,
maka
L4 P QR
t2
= 12
L4 ABC
t2
T
t1
R
P
t2
M
Q
C
A
N
B
Gambar 2.11 Limas T.ABC
Bukti:
Pandang Gambar 2.11, karena bidang irisannya sejajar dengan alas, berakibat
1. garis P Q sejajar dengan garis AB,
garis P R sejajar dengan garis AC, dan
garis QR sejajar dengan garis BC,
2. 4AT B sebangun dengan 4P T Q,
4AT C sebangun dengan 4P T R, dan
4BT C sebangun dengan 4QT R
Matematika-SMP
Modul 2. Geometri Ruang
25
maka
PQ
PR
TR
=
=
AB
AC
TC
jika T N dan T M tinggi limas bawah dan atas yang merupakan akibat bidang
P QR sejajar dengan bidang ABC, maka garis M R sejajar dengan garis N C,
sehingga berakibat 4T M R sebangun denga 4T N C, sehingga
TR
TM
RM
t1
=
=
=
=λ
TC
TN
CN
t2
dimisalkan ∠RP Q = ∠CAB = α, maka
1
P Q RM
t2
L4P QR
= 21
= λ2 = 21
L4ABC
t2
AB N C
2
¥
Teorema 2.2.4
Jika dua limas segitiga mempunyai alas dan tinggi yang sama, maka volume kedua
limas tersebut adalah sama.
T
T
R
C
P
A
Q
B
Gambar 2.12 Dua Limas T.ABC dan T.P QR
Silahkan dibuktikan!
Teorema 2.2.5
Volume limas segitiga adalah
Vlimas =
Matematika-SMP
1
× Alas × T inggi
3
Modul 2. Geometri Ruang
26
R
P
Q
C
A
B
Gambar 2.13 Prisma Tegak P QR.ABC
R
R
R
P
P
Q
C
A
A
B
B
B
Gambar 2.14 Hasil Perpotongan dari Prisma Tegak P QR.ABC
Bukti:
Pandang prisma tegak P QR.ABC seperti pada Gambar 2.13, kemudian potong
sesuai dengan garis-garis yang ada sehingga menjadi tiga limas segitiga seperti
pada Gambar 2.14.
Pandang limas pertama dan kedua, sesuai dengan Teorema 2.2.4, maka kedua
limas tersebut mempunyai volume yang sama. Untuk limas kedua dan ketiga,
bidang atau 4P QR dan 4P AB mempunyai luas yang sama, karena segi-empat
dibagi menjadi dua bagian oleh diagonalnya, karena sama kedua bidang tersbut
jadikan sebagai alasnya prisma R.P QB dan R.P AB yang mempunyai tinggi yang
sama, sehingga kedua limas tersbut mempunyai volume yang sama pula. Jadi
Matematika-SMP
Modul 2. Geometri Ruang
27
volume limas terhadap volume prisma adalah
Vlimas =
1
× Alas × T inggi
3
¥
Teorema 2.2.6
Volume limas sebarang adalah
Vlimas =
1
× Alas × T inggi
3
Silahkan dibuktikan!
O
a
B
A
Gambar 2.15 Lingkaran dengan Juring OAB
Teorema 2.2.7
Pada lingkaran berlaku:
Luas Juring OAB
sudut juring OAB
=
Luas Lingkaran
sudut satu lingkaran
panjang busur AB
=
panjang keliling lingkaran
Bukti:
Kalau titik A tetap dan titik B bergerak memutar sepanajang lingkaran, maka
titik B akan mencapai titik A. Oleh karena itu perbandingan kedua sudut dan
busur, adalah sebagai berikut:
No Jenis
1 sudut
2 busur
3 luas
dengan mengambil α sebesar 900 ,
Juring
α
AB
OAB
maka
Lingkaran
3600
2πr
πr2
1
K
f rac14L
1
900
4
=
=
=
3600
K
L
4
Matematika-SMP
Modul 2. Geometri Ruang
28
cobalah dengan besar alpha yang berbeda. ¥
Teorema 2.2.8
Kerucut lingkaran tegak dengan jari-jarialas r, tinggi t dan apotema (ruas garis
pelukis) s, maka
Volume
Luas selimut
Sudut juring
1 2
πr t
3
L = πrs
r
× 3600
α =
s
V
=
Bukti:
Kerucut dianggap sebagai limas segi-n beraturan, maka volume dari kerucut sama
dengan volume limas, yaitu sepertiga luas alas dikalikan dengan tingginya, atau
1
× Luas Alas × T inggi
3
1
× πr2 × t
=
3
1 2
=
πr t
3
Vkerucut =
T
s
t
T
a
s
r
2pr
Gambar 2.16 Kerucut dan Selimut Kerucut
Untuk menghitung luas selimut kerucut, lihat Gambar 2.16 dan Teorema 2.2.7,
maka
LuasJuring
2πr
=
LuasLingkaranjarir
2πs
r
=
s
jadi luas selimut kerucut adalah
Lselimut = πrs
Matematika-SMP
Modul 2. Geometri Ruang
29
Berdasarkan Teorema 2.2.7, didapat pula
sudutjuring
2πr
=
sudutsatuputaraqn
2πs
r
=
s
jadi sudut juring adalah
α=
r
× 3600
s
¥
Teorema 2.2.9
Kerucut terpancung, seperti pada Gambar ker-pancung, dengan jari-jari alas R,
jari-jari atasnya r , tinggi t dan apotema s, maka volume kerucut terpancung
adalah
1
V = πt(R2 + rR + r2 )
3
dan luas selimut kerucut terpancung adalah
L = πs(R + r)
Silahkan dibuktikan!
Teorema 2.2.10
Sebuah bola dengan jari-jari R, maka volume bola adalah
4
V = πR3
3
dan luas permukaan bola adalah
L = 4πR2
Silahkan dibuktikan!
Matematika-SMP