F(x) - Drive STMIK Pelita Nusantara Medan
advertisement
STMIK PELITA NUSANTARA | PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA SISTEM BILANGAN ο Bilangan Asli : 1,2,3,4,5,… ο Bilangan Bulat : …, -5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,… ο Bilangan Rasional bulat : Pembagian dua buah bilangan π π π π π π π ππ , , , ,… ο Bilangan Tak Rasional : √2 , √3 , . . . ο Bilangan Rill : - Bilangan Rasional Bilangan Tak Rasional ο Bilangan Kompleks Rill : a + b√−1 dimana a , b Bilangan DIAGRAM BILANGAN Bil. Rill (R) Bil. Rasional (Q) Bil. Bulat (Z) Bil. Asli (N) KALKULUS1 1|Halaman STMIK PELITA NUSANTARA | PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA FUNGSI & GRAFIKNYA Defenisi Fungsi adalah suatu aturan padanan yang menghubungkan tiap objek x kedalam suatu himpunan yang disebut daerah asal dengan sebuah nilai unik f (x) dari himpunan kedua yang disebut sebagai daerah nilai. x f F(x) Daerah Asal Daerah Nilai Contoh : NILAI UJIAN MAHASISWA A P B q C r D y = g(x) =x2 2 4 1 3 0 2 -1 1 -2 0 KALKULUS1 2|Halaman STMIK PELITA NUSANTARA | PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA Penulisan Fungsi Fungsi ditulis dengan huruf tunggal contoh : f, g atau F Misalkan ; f(x) dibaca “fungsi f pada x” Contoh : 1) f(x) = f(2) = f(-1) = f(a) = f(a+h) = 2x + 1 2(2) +1 = 4 + 1 = 5 2(-1) + 1 = -2 + 1 = -1 2(a) + 1 = 2a + 1 2(a+h) + 1 = 2a + 2h + 1 2) f(x) = x2 – 2x a. f(4) b. f(4+h) c. f(4+h) – f(4) d. [f(4+h) – f(4)]/h 3) g(x) = π π Cari dan sederhanakan [g(a+h) – g(a)]/h TUGAS (dikertas double folio) 1. Untuk f(x) = 3x3 + x hitunglah : a. f(-5) b. f(-5 + h) c. f(-5 + h) – f(h) d. f(-5 + h) – f(h)/ h π 2. Diketahui : f(x) = (π−π) Tentukan : a. f(a) b. f(a-h) c. f(a-h) - f(a) d. f(a-h) – f(a) / h KALKULUS1 3|Halaman STMIK PELITA NUSANTARA | PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA OPERASI PADA FUNGSI 1. JUMLAH ( + ) ( f + g )x = f (x) + g (x) 2. SELISIH ( - ) ( f - g )x = f (x) - g (x) 3. HASIL KALI (.) ( f . g )x = f (x) . g (x) 4. HASIL BAGI π π (π₯) (π₯) = π π (π₯) 5. PANGKAT fn (x) =[ f (x)]n n ≠ 1 Contoh : 1. f (x) = π₯−3 2 g(x) = 5x maka : a. (f + g) x = π₯−3 2 = = = b. (f - g) x = KALKULUS1 + 5x π₯−3 2 + 10π₯ 2 π₯−3+10π₯ 2 11π₯−3 2 π₯−3 2 - 5x 4|Halaman STMIK PELITA NUSANTARA | PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA π₯−3 = 2 −9π₯−3 2 π₯−3 c. (f . g) x = 5π₯ ( π₯−3) 2 5π₯ 2 −15π₯ = (π₯ ) 2 π₯−3 2 = = = e. f2(x) = [ = 5π₯ π₯−3 2 . 1 5π₯ π₯−3 10π₯ (π₯−3) 2 ] 2 (π₯−3)2 = 22 π₯ 2 −6π₯+9 4 11π₯−3 f. (f + g) (2) = 2 = 11(2)−3 = KALKULUS1 . 5x 2 = π 2 2 = d. 10π₯ π₯−3−10π₯ = π - 2 22−3 2 5|Halaman STMIK PELITA NUSANTARA | PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA = 19 2 2. f(x) = x2 + x g(x) = 2 π₯+3 Carilah nilai dari : a. (f + g) (x) b. (f - g) (x) c. g2(x) d. (f . g) (x) e. π π (π₯) f. (f . g) (1) g. (g . g) (3) FUNGSI TRIGONOMETRI KALKULUS1 6|Halaman STMIK PELITA NUSANTARA | PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA Trigonometri terdiri dari sinus (sin) , cosinus (cos), tangens (tan), cotangent secan ( sec ) dan cosecant ( cosec). (cot ), Trigonometri merupakan nilai perbandingan yang dapat didefenisikan pada koordinat cartesius dan segitiga siku-siku. y Misalkan lingkaran L berjari jari r. P (a,b) r πΌ 0 a a Titik P (a,b) terletak pada lingkaran L dan OP = r. OP membentuk sudut πΌ dengan sumbu x positif. b x Maka : Sin πΌ = π Cos πΌ = π Tan πΌ = π π π π Cot πΌ = π Sec πΌ = π π π Cosec πΌ = π π Jika trigonometri didefenisikan dalam segitiga siku-siku maka defenisinya adalah sebagai berikut : C = sisi miring KALKULUS1 7|Halaman STMIK PELITA NUSANTARA | PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA b = sisi dihadapan πΌ πΌ a = sisi dekat πΌ Maka : Sin πΌ = π Cos πΌ = π Tan πΌ = π π π π Cot πΌ = π Sec πΌ = π π π Cosec πΌ = π π Contoh : 1. Jika Sin πΌ = 1 2 dan 0o < πΌ < 900 Tentukan nilai dari : a. Cos πΌ b. Tan πΌ c. Cot πΌ d. Sec πΌ e. Cosec πΌ Jawab : B KALKULUS1 8|Halaman STMIK PELITA NUSANTARA | PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA 2 1 πΌ A C AB = 2 BC = 1 AC = ? TEOREMA PHYTAGORAS AB2 = BC2 + AC2 AC2 = AB2 - BC2 AC = √π΄π΅2 − π΅πΆ 2 = √22 − 12 = √4 − 1 = √3 Maka : π΄πΆ a. Cos πΌ = b. Tan πΌ = π΅πΆ c. Cot πΌ = π΄πΆ d. Sec πΌ = π΄π΅ e. Cosec πΌ = KALKULUS1 π΄π΅ π΄πΆ π΅πΆ π΄πΆ = = = = π΄π΅ π΅πΆ √3 2 1 √3 √3 1 = = 1 √3 2 1 3 √3 = √3 2 2 = √3 3 3 √ 2 = =2 1 9|Halaman STMIK PELITA NUSANTARA | PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA 2. Jika Cos πΌ = 3 5 dan 0o < πΌ < 900 Tentukan nilai dari : a. Sin πΌ b. Tan πΌ c. Cot πΌ d. Sec πΌ e. Cosec πΌ B 5 3 πΌ C A NILAI TRIGONOMETRI UNTUK SUDUT-SUDUT ISTIMEWA Sin πΌ Cos πΌ πΌ 00 300 450 600 900 Tan πΌ Cot πΌ Sec πΌ Cosec πΌ 0 1 0 - 1 - 1 2 1 √3 3 √3 2 √3 3 2 1 √2 2 1 √3 2 1 √3 2 1 √2 2 1 2 1 1 √2 √2 √3 1 √3 3 2 2 √3 3 1 0 - 0 - 1 Contoh : Tentukan nilai dari : 1. cos 450 . sec 450 + cos 300. tan 300 + sin 600 . cot 600 2. sin 450 . cos 450 + sin 600. tan 300 + sec 300 . cosec 600 KALKULUS1 10 | H a l a m a n STMIK PELITA NUSANTARA | PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA LIMIT TEOREMA LIMIT A Andaikan n bilangan bulat positif, k konstanta dan f dan g fungsi-fungsi yang mempunyai limit di c, maka : KALKULUS1 11 | H a l a m a n STMIK PELITA NUSANTARA | PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA 1. π₯π’π¦ π = π 2. π₯π’π¦ π = π 3. π₯π’π¦ ππ(π) = π π₯π’π¦ π(π) 4. π₯π’π¦[π(π) + π(π)] = π₯π’π¦ π(π) + π₯π’π¦ π(π) 5. π₯π’π¦[π(π) − π(π)] = π₯π’π¦ π(π) − π₯π’π¦ π(π) 6. π₯π’π¦[π(π). π(π)] = π₯π’π¦ π(π). π₯π’π¦ π(π) 7. π₯π’π¦ π→π π→π π→π π→π π→π π→π π→π π→π π→π π→π π→π π(π) π→π π(π) = π₯π’π¦ π(π) π→π π₯π’π¦ π(π) π→π π→π ,asalkan π₯π’π¦ π(π) ≠ π π→π π→π 8. π₯π’π¦[π(π)]π = [π₯π’π¦ π(π)] π 9. π₯π’π¦ √π(π) = π√π₯π’π¦ π(π) , asalkan π₯π’π¦ π(π) > 0 bilamana n π→π π→π π→π π→π π→π π genap Contoh : 1. π₯π’π¦ π = π 2. π₯π’π¦ π = π 3. π₯π’π¦ ππ = π π₯π’π¦ π = π (π) = π 4. π₯π’π¦ πππ = ππ π₯π’π¦ π = ππ (π) = ππ 5. π₯π’π¦ [πππ − ππ] = π₯π’π¦ πππ − π₯π’π¦ ππ π→π π→π π→π π→π π→−π KALKULUS1 π→π π→π π→−π π→−π 12 | H a l a m a n STMIK PELITA NUSANTARA | PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA = π π₯π’π¦ ππ − π π₯π’π¦ π π→−π π→−π = π [π₯π’π¦ π±]π − π π₯π’π¦ π π→−π π→−π = π(−ππ ) − π(−π) = π+π =π 6. π₯π’π¦[ππ + π] = π₯π’π¦ ππ + π₯π’π¦ π π→π π→π π→π = π π₯π’π¦ π + π₯π’π¦ π π→π π→π = π(π) + π =π 7. π₯π’π¦ √π − π = √π₯π’π¦(π − π) π→π π→π = √π₯π’π¦ π − π₯π’π¦ π π→π π→π = √π − π = √π =π TEOREMA LIMIT B (Teorema Penggantian). Jika f suatu fungsi polinom atau fungsi rasional, maka π₯π’π¦ π(π) = π(π) π→π Asalkan dalam kasus fungsi rasional nilai penyebutnya tidak nol di c. Contoh : KALKULUS1 13 | H a l a m a n STMIK PELITA NUSANTARA | PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA 1. Cari π₯π’π¦ π→π ππ − ππ −πππ + π πππ −ππ+ π Jawab : Nilai penyebut untuk π = π ππππ πππ − ππ + π = π(ππ ) − π(π) + π = ππ − ππ + π = ππ ≠ 0 π₯π’π¦ ππ − ππ −πππ + π πππ −ππ+ π π→π ππ − ππ −π(ππ )+ π = π(ππ )−π(π)+ π = = 2. π₯π’π¦ ππ−ππ−ππ+π ππ ππ ππ ππ + ππ−ππ π→π ππ + π−π Nilai penyebut untuk π = π ππππ ππ + π − π = (ππ ) + π − π = π Pada soal ini teorema limit B tidak dapat diterapkan karena nilai penyebutnya adalah 0 maka penyelesaianya harus menyederhanakan hasil bagi tersebut secara aljabar (faktorisasi), setelah itu dapat diselesaikan dengan teorema B apabila nilai penyebutnya sudah tidak nol. (π − π)(π + π) ππ + ππ − ππ π₯π’π¦ π = π₯π’π¦ π→π π + π − π π→π (π − π)(π + π) KALKULUS1 14 | H a l a m a n STMIK PELITA NUSANTARA | PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA = π₯π’π¦ (π+π) π→π (π+π) π+π = = π+π π π TEOREMA LIMIT C ο (Limit bila → + ∞ ). Andaikan f terdefenisi pada [ c, ∞] untuk suatu bilangan c. Maka π₯π’π¦ π(π) = π³ π→∞ jika untuk masing-masing πΊ > 0, terdapat bilangan M yang berpadanan sedemikian sehingga π > π ⇒ |π(π) − π³| < π ο (Limit bila → − ∞ ). Andaikan f terdefenisi pada [-∞, c ] untuk suatu bilangan c . Maka π₯π’π¦ π(π) = π³ π→∞ jika untuk masing-masing πΊ > 0, terdapat bilangan M yang berpadanan sedemikian sehingga π < π ⇒ |π(π) − π³| < π ο π₯π’π¦ π→∞ π ππ = π π ππ π₯π’π¦ π π→−∞ π π =π Contoh : Buktikan bahwa π₯π’π¦ π π→∞ π+ππ =π Penyelesaian : KALKULUS1 15 | H a l a m a n STMIK PELITA NUSANTARA | PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA Dalam kasus ini pembagi dan pembilang dibagi dengan angkat x tertinggi yang muncul dipenyebut, yakni x2 π π π π π₯π’π¦ = π₯π’π¦ π π = π₯π’π¦ π =π π π→∞ π + π π→∞ π + π π→∞ π +π ππ ππ π π π→∞ π π₯π’π¦ π + π₯π’π¦ π π→∞ π π→∞ π₯π’π¦ = π = π+π =0 Soal : Gunakan Teorema A untuk mencari tiap limit dengan pembenaran tiap langkah . 1. π₯π’π¦(ππ − π) π→π 2. π₯π’π¦ (πππ − ππ) π→−π 3. π₯π’π¦[( ππ + π)(ππ − π)] π→π 4. π₯π’π¦ ππ π→π πππ +ππ 5. π₯π’π¦ πππ −π π→−π ππ +ππ 6. π₯π’π¦ √ππ − π π→π KALKULUS1 16 | H a l a m a n STMIK PELITA NUSANTARA | PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA 7. π₯π’π¦ ( π→π πππ + ππ π/π ) π+π Cari limit dengan melakukan beberapa langkah aljabar sebelum mencoba menghitung limitnya. 1. π₯π’π¦ π→−π 2. π₯π’π¦ π→π 3. π₯π’π¦ π→−π 4. π₯π’π¦ πππ −ππππ +πππ −π πππ +ππ+π ππ +ππ−ππ π−π ππ +ππ+ππ π+π ππ +ππ+π π→−π ππ −ππ−π 5. π₯π’π¦ π→−π KALKULUS1 ππ −ππ ππ −π 17 | H a l a m a n STMIK PELITA NUSANTARA | PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA DIFFERENTIAL (TURUNAN) Defenisi Turunan fungsi f adalah fungsi lain π′ (dibaca f aksen) yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah π′ (π ) = π₯π’π¦ π(π+π)−π(π) π π→π Asalkan limit ini ada. Contoh : 1. π(π) = ππ + ππ Tentukan π′ (π ) Jawab : π′ (π ) = π₯π’π¦ π→π = π₯π’π¦ π→π = π₯π’π¦ π(π+π)−π(π) π [(π+π)π −π(π+π)]−(ππ −ππ) π (ππ +πππ+ππ ) −(ππ+ππ)−(ππ −ππ) π π→π = π₯π’π¦ π→π KALKULUS1 ππ +πππ+ππ –ππ−ππ−ππ +ππ π 18 | H a l a m a n STMIK PELITA NUSANTARA | PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA = π₯π’π¦ πππ+ππ −ππ π π→π = π₯π’π¦ ππ + π − π π→π = ππ − π 2. π(π) = πππ − π Tentukan π′ (π ) Jawab : π′ (π ) = π₯π’π¦ π→π π′ (π) = π₯π’π¦ π(π+π)−π(π) π π(π+π)−π(π) π π→π = π₯π’π¦ [ππ(π+π)−π]−[ππ(π)−π] π π→π = π₯π’π¦ [ππ+πππ−π]−[ππ−π] π π→π = π₯π’π¦ ππ+πππ−π−ππ+π π π→π = π₯π’π¦ πππ π→π π = π₯π’π¦ ππ π→π = ππ π 3. DIKETAHUI : π(π) = π−π TENTUKAN : π′ (π) π πππππ πππππ π π′ (π) = π₯π’π¦ π→π π(π+π)−π(π) π JAWAB KALKULUS1 19 | H a l a m a n STMIK PELITA NUSANTARA | PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA π′ (π) = π₯π’π¦ π→π π(π + π) − π(π) π π π − π − π π + π − π π′ (π) = π₯π’π¦ π→π π π(π − π) π(π + π − π) – (π + π − π)(π − π) (π − π)(π + π − π) π′ (π) = π₯π’π¦ π→π π ππ − ππ ππ + ππ − ππ – (π + π − π)(π − π) (π − π)(π + π − π) π′ (π) = π₯π’π¦ π→π π ππ − ππ − ππ − ππ + ππ (π + π − π)(π − π) π′ (π) = π₯π’π¦ π→π π −ππ (π + π − π)(π − π) π′ (π) = π₯π’π¦ π→π π π′ (π) = π₯π’π¦ π→π π′ (π) = π₯π’π¦ π→π –π π π π (π + π − π)(π − π) π −π (π + π − π)(π − π) π′ (π) = −π (π + π − π)(π − π) π′ (π) = −π (π − π)(π − π) π′ (π) = −π ππ − ππ + π 4. π(π) = √π KALKULUS1 20 | H a l a m a n STMIK PELITA NUSANTARA | PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA Tentukan π ′ (π ) ATURAN PENCARIAN TURUNAN 1. Jika π(π) = π dengan π suatu konstanta maka untuk sebarang x, π′ (π) = π ππππ π«(π) = π 2. Jika π(π) = π , maka π′ (π) = π ππππ π«(π) = π 3. Jika π(π) = ππ π′ (π) = πππ−π ππππ π«(ππ ) = πππ−π 4. Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsi yang terdeferensialkan, maka (ππ)′ (π) = π. π′ (π) ππππ π«[π. π(π)] = π. π«π(π) 5. Jika f dan g fungsi-fungsi yang terdeferensialkan, maka : (π + π)′ (π) = π′ (π) + π′ (π) ππππ π«[π(π) + π(π)] = π«π(π) + π«π(π) 6. Jika f dan g fungsi-fungsi yang terdeferensialkan, maka : (π − π)′ (π) = π′ (π) − π′ (π) ππππ π«[π(π) − π(π)] = π«π(π) − π«π(π) 7. Jika f dan g fungsi-fungsi yang terdeferensialkan, maka : (π. π)′ (π) = π′ (π) π(π) + π(π) π′ (π) ππππ π«[π(π). π(π)] = π«π(π)π(π) + π(π) π«π(π) 8. Jika f dan g fungsi-fungsi yang terdeferensialkan dengan π(π) ≠ π, maka : π ′ π(π)π′ (π) − π(π)π′ (π) ( ) (π) = π ππ (π) KALKULUS1 21 | H a l a m a n STMIK PELITA NUSANTARA | PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA π π(π)π«π (π) − π(π)π«π (π) ππππ π« ( ) (π) = π ππ (π) Soal : Carilah turunan dari fungsi – fungsi berikut : 1. π(π) = π π′(π) = π ( Aturan 1) 2. π(π) = ππ π′ (π) = π π«(π) = π(π) = π ( Aturan 2 dan 4) 3. π(π) = ππππ π′(π) = ππ π«(ππ ) = ππ (πππ−π ) = ππ π ( Aturan 3 dan 4) 4. π(π) = −ππ−π π′(π) = −π π«(π−π ) = −π(−ππ−π−π ) = πππ−π (Aturan 3 dan 4) 5. π(π) = −π ππ Cara 1 : π(π) = −π ππ = −ππ−π π′(π) = −π π«(π−π ) = −π(−ππ−π−π ) = πππ−π = ππ ππ (Aturan 3 dan 4) Cara 2 : π′(π) = ππ π«(−π)− π«(ππ )(−π) (ππ )π ππ (π) − (πππ−π )(−π) = ππ KALKULUS1 22 | H a l a m a n STMIK PELITA NUSANTARA | PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA = π−(−ππππ ) = = 6. ππ ππ ππ ππ ππ ππ (Aturan 8) π(π) = −ππππ + ππ Jawab : π′(π) = −ππ π«(ππ ) + π π«(π) = −ππ(πππ−π ) + π (π) π′(π) = −ππππ + π ( Aturan 5 ) 7. π(π) = ππ (ππ − π) Jawab : π′ (π) = πππ«(ππ − π) + π«(ππ)(ππ − π) π′ (π) = ππ(πππ − π) + π(ππ − π) π′ (π) = (πππ − π) + (πππ − π) π′ (π) = πππ + πππ − π π′ (π) = πππ − π ( Aturan 6 dan 7 ) 8. π(π) = (ππ + π)π Jawab : π(π) = (ππ + π)π = (ππ + π)(ππ + π) π′ (π) = (ππ + π)π«(ππ + π) + π«(ππ + π)(ππ + π) KALKULUS1 23 | H a l a m a n STMIK PELITA NUSANTARA | PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA π′ (π) = (ππ + π)(π + π) + (π + π)(ππ + π) π′ (π) = (ππ + π)(π) + (π)(ππ + π) π′ (π) = (ππ + π) + (ππ + π) π′ (π) = ππ + π + ππ + π π′ (π) = ππ + π ( Aturan 7 ) TURUNAN SINUS DAN COSINUS D(Sin x) = Cos x D(Cos x) = - Sin x Contoh : 1. Tentukan turunan dari f (x) = 3 sin x – 2 cos x Jawab : π(π)′ = π π«( πππ π) − ππ«(πππ π) = π ( πππ π) − π(−πππ π) = π πππ π + π πππ π 2. Tentukan turunan dari f(x) = tan x Jawab : πππ π = π(π)′ = KALKULUS1 πππ π πππ π πππ π π«(πππ π)− π«(πππ π)(πππ π) (πππ π)π 24 | H a l a m a n STMIK PELITA NUSANTARA | PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA π(π)′ = πππ π π«(πππ π) − π«(πππ π)(πππ π) (πππ π)π π(π)′ = πππ π πππ − (−πππ π)(πππ π) (πππ π)π πππ π π + ππππ π π(π) = (πππ π)π ′ π(π)′ = π ππππ π π(π)′ = ππππ π ATURAN RANTAI TURUNAN Defenisi : Andaikan y=f(u) dan u=g(x) menentukan fungsi komposit y=f(g(x)) = (fog)(x). Jika g terdeferensialkan di x dan f terdeferensialkan di u=g(x), maka fog terdeferensialkan di x, maka : (fog)’ (x) = f’ (g(x)) g’ (x) atau Dxy = Duy Dxu Contoh : 1. π = (πππ − ππ + π)ππ , cari Dxy Jawab : Misalkan u = πππ − ππ + π Maka KALKULUS1 π = π ππ 25 | H a l a m a n STMIK PELITA NUSANTARA | PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA Dxy = Duy Dxu = D(π ππ ) D (πππ − ππ + π) = ππ π ππ (ππππ − π ) = ππ (πππ − ππ + π) ππ (ππππ − π) = (πππ − ππ + π) ππ (πππ ππ − πππ) 2. π = πͺπππ π , cari Dxy Jawab : Misalkan u = πͺππ π Maka π=ππ Dxy = Duy Dxu = D (π π ) D(πͺππ π ) = π π π (- Sin x) = 5 (πͺππ π )π (−πΊππ π) = -5 πͺπππ π πΊππ π ATURAN RANTAI BERSUSUN TURUNAN Y = f (u) dan u = g (v) dan y = h (x) Maka : Dx y = Du y Dv u Dx v KALKULUS1 26 | H a l a m a n STMIK PELITA NUSANTARA | PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA Contoh : π = πΊπππ (ππ) , cari Dxy Jawab : v = 4x u = Sin (4x) atau u = Sin v maka : π = π π Dx y = Du y Dv u Dx v = D (π π ) D (Sin v ) D (4x ) = ππ π (C0s v ) (4) = π (πΊππ π) π (C0s v ) (4) = 20 πΊπππ (4x) Cos (4x) TURUNAN TINGKAT TINGGI KALKULUS1 27 | H a l a m a n STMIK PELITA NUSANTARA | PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA Derivatif Penulisan Penulisan Penulisan Penulisan f’ y’ D Leibniz Pertama f’(x) y’ Dxy ππ ππ Kedua f’’(x) y’’ D2x y ππ π πππ Ketiga f’’’(x) y’’’ D3xy ππ π πππ Keempat f’’’’(x) y’’’’ D4xy ππ π πππ Kelima f(5)(x) y(5) D5xy ππ π πππ Keenam f(6)(x) y(6) D6xy ππ π πππ ….. ….. …… …… ....... Ke- n f(n)(x) y(n) Dnxy ππ π πππ Contoh : y = sin (3x) y’ = 3 cos (3x) y’’= 3(3) cos(3x) = 3 2 cos(3x) = 9 cos(3x) y’’’ = 9 (3) cos (3x) = 3 3cos(3x) = 27 cos (3x) y’’’’ = 27 (3) cos (3x) =3 4 cos(3x) = 91 cos (3x) ….. KALKULUS1 28 | H a l a m a n STMIK PELITA NUSANTARA | PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA yn = 3 n cos(3x) KALKULUS1 29 | H a l a m a n