teori ringkas

Copyright © 2009 www.usmitb.com
Provide Free Tests and High Quality
TEORI RINGKAS
PERTIDAKSAMAAN
Sifat-sifat
- a > b ⇔ ac > bc untuk c > 0
- a > b ⇔ ac < bc untuk c < 0
- a > b ⇔ a + c > b + c untuk c ∈ R
- ab > 0 maka a/b > 0
- ab < 0 maka a/b < 0
- Jika a > b dan b > c maka a > c
- a2 > 0 untuk setiap a∈ R
Harga mutlak
-
⎧x
x2 = x = ⎨
⎩− x
untuk
untuk
x≥0
x≤0
-
x < a maka – a < x < a
-
x >a
-
x > y
-
x < y ⇔ x2 < y2 ⇔ (x – y)(x + y) < 0
maka x < – a atau x > a
⇔ x2 > y2 ⇔ (x – y)(x + y) > 0
Irasional
- { f(x) < a , a > 0} ⇔ ⎧⎨f(x) > a 2 ∧ f(x) ≥ 0 ⎫⎬
⎩
⎭
-
f(x) > g(x) ⇔ {f(x) > g(x) ∧
-
f(x) < h(x) ⇔ f(x) < [h(x)]2 ∧ f(x) ≥ 0 ∧ h(x) > 0
f(x) ≥ 0 ∧
g(x) ≥ 0}
PERSAMAAN KUADRAT
Bentuk umum ax + bx + c = 0 dengan a, b, c a bilangan real dan a ≠ 0
2
Penyelesaian suatu persamaan disebut juga dengan akar. Ada 3 cara mencari akar
persamaan kuadrat, yaitu dengan memfaktorkan, dengan melengkapi kuadrat sempurna dari
bentuk umum dan dengan rumus a b c. Persisnya cara rumus abc adalah
x1,2 =
−b ± D
2a
x1 dan x2 akar ax2 + bx + c = 0
D = b2 − 4ac
D disebut diskriminan
SIFATOPERASI AKAR
b
Sifat jumlah x 1 + x 2 = −
a
c
Sifat kali x1 .x 2 =
a
Sifat pengurangan x1 − x 2 = ±
D
a
Beberapa bentuk rumus yang dinyatakan dengan sifat diatas
1. Jumlah kuadrat akar-akar
x12 + x22 = (x1 + x2)2 − 2x1 x2
2. Jumlah pangkat tiga akar-akar
x13 + x23 = (x1 + x2)3 − 3x1 x2 (x1 + x2)
3. kuadrat selisih akar-akar
(x1 − x2)2 = D
a2
(x1 − x2)2 = (x1 + x2)2 − 4x1 x2
4. selisih kuadrat akar-akar
x12 − x22 = (x1 + x2) (x1 − x2)
Copyright © 2009 www.usmitb.com
Provide Free Tests and High Quality
5. jumlah kebalikan akar-akar
1 + 1 = x1 + x 2
x1
x2
x1 x 2
Jenis-jenis akar
1. Dua akar real berlainan
⎯→ D > 0
2. Dua akar kembar
⎯→ D = 0
3. Tidak memiliki akar real
⎯→ D < 0
4. Dua akar real
⎯→ D ≥ 0
5. Kedua akarnya real positif, jika
(D ≥ 0 ; x1 + x2 > 0 ; x1 x2 > 0)
6. Kedua akarnya real negatif
(D ≥ 0 ; x1 + x2 < 0 ; x1 x2 > 0)
7. Kedua akar berbeda tanda, jika
(D > 0 ; x1 x2 < 0)
8. Akar berlawanan tanda
( baca x1 = − x2) ⇔ x1 + x2 = 0 ⇔ b = 0
9. Akar berkebalikan ( baca x1 = 1
x2
) ⇔ x 1 x2 = 1 ⇔ c = 1
10. Kedua akar rasional D = k dimana a, b, c dan k bilangan
rasional.
2
Menyusun Persamaan Kuadrat baru :
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya x1 dan x2 adalah
x2 – (x1 + x2)x + x1.x2 = 0
RELASI DAN FUNGSI
Produk Cartesius :
dari A dan B adalah A x B = { (x,y) ⏐ x ∈ A dan x ∈ B, A dan
B himpunan tak kosong }
Sifat :
1. A x B ≠ B x A
2. Jika n(A) = n1 dan n(B) = n2, maka n(A x B) = n1 . n2
Relasi :
Relasi dari A ke B adalah himpunan bagian dari A x B (R
adalah relasi jika R ⊂ A x B).
Sifat :
Jika n(A) = n1 dan n(B) = n2, maka banyak relasi dari A ke B
n .n
atau dari B ke A ada 2 1 2 − 1
Fungsi :
Fungsi dari A ke B adalah relasi yang memasangkan setiap
elemen A dengan satu elemen B.
Sifat :
Jika n(A) = n1 dan n(B) = n2, maka banyak fungsi yang dapat
n
dibuat dari A ke B ada n 2 1 fungsi.
A
x
B
f
y
Domain, Kodomain dan Range
Fungsi dari A ke B dinotasikan dengan f : A → B
Jika x ∈ A dan y ∈ B, maka: f : x → y atau y = f(x)
Bentuk y = f(x) disebut aturan fungsi. Dalam hal ini x disebut variabel bebas dan y
disebut variabel tak bebas. Dapat pula dikatakan y peta (bayangan) dari x.
Domain (Daerah asal) Fungsi Df = { x ⏐ y terdefinisi }= A
Kodomain (Daerah kawan) adalah Kf = B
Copyright © 2009 www.usmitb.com
Provide Free Tests and High Quality
Range (Daerah hasil) adalah Rf = { y ⏐ y = f(x), x ∈Df }
Operasi Aljabar pada Fungsi
1) Jumlah fungsi f(x) dan g(x) ditulis :
(f + g) (x) = f(x) + g(x)
2) Selisih fungsi f(x) dengan g(x) ditulis :
(f – g)(x) = f(x) – g(x)
3) Hasil kali fungsi f(x) dengan konstanta k ditulis :
(k f)(x) = k f(x)
4) hasil bagi fungsi f(x) dengan g(x) ditulis :
(f . g)(x)= f(x) . g(x)
⎛ ⎞
f(x)
5) Hasil bagi fungsi f(x) dengan g(x) ditulis : ⎜ f ⎟(x) =
⎝g⎠
g(x)
6) Perpangkatan fungsi f(x) dengan n ditulis : f n (x ) = {f(x )}n
Definisi :
Jika fungsi f dan g memenuhi Rf ∩ Dg ≠ ∅ maka komposisi
dari g dan f, ditulis g o f (berarti f dilanjutkan g) dengan
aturan : g o f (x) = g(f (x)).
{
}
= {z z = g(R ∩ D )}⊂ R
Domain : D gof = x f ( x ) ∈ D g ⊂ D f
Range
: R g of
f
g
g
Sifat:
1.
Tidak komutatif: f o g ≠ g o f
2.
Assosiatif: ( f o g ) o h = f o (g o h)
3.
Terdapat unsur identitas yaitu fungsi I(x) = x sehingga
foI=Iof=I
Fungsi Invers
Definisi :
Jika fungsi f : A → B diitentukan dengan aturan y = f(x),
maka invers dari f adalah f − 1 : B→ A dengan aturan
x = f −1 (y).
f − 1 bisa berupa fungsi atau relasi (bukan fungsi) Dalam hal f − 1 berupa fungsi maka f − 1
dinamakan fungsi invers
f − 1 bisa berupa fungsi atau relasi (bukan fungsi) Dalam hal f − 1 berupa fungsi maka f − 1
dinamakan fungsi invers
Teorema:
1. Fungsi f −1 merupakan fungsi bijektif (satu-satu kepada)
2. Grafik fungsi f(x) dengan f −1(x) simetris terhadap garis
y=x
Sifat :
1. f o f −1 = f −1 o f = I
2. (f o g)−1 = g−1 o f −1
3. f o g = h ⇒ f = h o g −1
4. f o g = h ⇒ g = f − 1 o h
FUNGSI KUADRAT
Copyright © 2009 www.usmitb.com
Provide Free Tests and High Quality
Grafik parabola
a > 0 buka atas
a < 0 buka bawah
Memotong sumbu -x di dua titik ⇒ D > 0
Menyinggung sumbu -x ⇒ D = 0
Tidak Memotong sumbu x ⇒ D < 0
a>0
D<0
a>0
D=0
a>0
D>0
x
x
x
a<0
D<0
x
x
x
a<0
D>0
a<0
D=0
ax2 + bx + c definit positif maka
1.
seluruh gambar diatas sumbu x
2. ax2 + bx + c > 0 untuk setiap x
Syarat yang harus dipenuhi …
a > 0 dan D < 0
ax2 + bx + c definit negatif
1. seluruh gambar di bawah sumbu x
2. ax2 + bx + c < 0 untuk setiap x
Syarat yang harus dipenuhi …
a < 0 dan D < 0
Titik ekstrim grafik fungsi kuadrat (parabola) disebut juga titik puncak.
(xp,yp) titik puncak ⇒ xp = − b , yp = D
2a
− 4a
g
Garis g : sumbu simetri
g≡
x=− b
2a
2
y = a x + bx + c
Untuk a < 0, Nilai y akan
(− b , D )
pada
titik
2a − 4 a maksimum
puncak, notasi ymaks.
a<0
a>0
ymaks =
D
−4a
Untuk a > 0, Nilai y akan
minimum
pada
titik
puncak, notasi ymin.
ymin = D
(− b , D )
2a − 4 a
−4a
Fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c dapat ditulis sebagai …
1.
f(x) = a ( x −x1 ) (x − x2 )
dimana (x1,0) dan (x2,0) titik potong dengan sumbu-x
2. f(x) = a (x − xp)2 + yp
dimana (xp,yp) adalah titik puncak para bola
HUBUNGAN PARABOLA DENGAN GARIS
Copyright © 2009 www.usmitb.com
Provide Free Tests and High Quality
Hubungan parabola g : y = ax2 + bx + c dan garis f:
y = mx + n dapat dirumuskan Sebagai berikut
1.
Subtitusi kedua persamaan
⇒ ax2 + bx + c = mx + n
⇒ ax2 + (b − m)x + c − n = 0
2.
Tuliskan Ds = (b − m)2 − 4 a (c −n )
[Ds diskriminan ax2 + (b − m)x + c − n = 0, dengan kata lain diskriminan hasil subtitusi
g dan f]
3.
Dari Ds bisa diambil kesimpulan sbb
Ds > 0 ⇔ g dan f berpotongan di dua titik berbeda
Ds = 0 ⇔ g dan f bersinggungan)
Ds < 0 ⇔ g dan f tidak berpotongan.
EKSPONEN
Sifat-sifat eksponen
an.bn =(ab)n
an ⎛ a ⎞
= ⎜⎜ ⎟⎟
bn ⎝ b ⎠
n
n a n b = n ab
na
a
=n
nb
b
am.an = am+n
am
= a m −n
an
a0 = 1 ( a
a
−n
≠ 0)
1
= n
a
⎛a m ⎞
⎟
⎜
⎠
⎝
n
= a mn
n m
a
=a
m
n
m n a = mn a = a
1
mn
TRIGONOMETRI
MI
x
SA
KUADRAN
DE
sinx = DE
MI
cosx = SA
MI
DE
tanx = SA
1
sec x = cos
x
1
csc x = sin x
1
cot x = tan
x
Copyright © 2009 www.usmitb.com
Provide Free Tests and High Quality
II
I
sin = +
semua +
II
II
tan = +
Sudut Istimewa
0o
α
0
sin α
cos α
1
tan α
0
Identitas
1.
sin2 x + cos2 x = 1
2. sin2 x = 1 − cos2 x
3. cos2 x = 1 − sin2 x
4.
5.
6.
sin x
cos x
cos x
cot x =
sin x
1
sec x =
cos x
tan x =
cos = +
30o
45o
60o
1
2
1 2
2
1 3
2
1 3
2
1 3
3
1 2
2
1
2
1
3
90o
1
0
-
7.
csc x =
1
sin x
8. sec2 x = tan2 x + 1
9. csc2 x = cot2 x + 1
10. Aturan sinus pada segitiga ABC
a
b
c
=
=
sin A sin B sin C
11.
Aturan cosinus pada segitiga ABC
a 2 = b 2 + c 2 − 2 bc cos A
b 2 = a 2 + c 2 − 2 ac cos B
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C
12.
Luas segitiga ABC
L = ½ . bc sin A = ½ . ac sin B = ½ . ab sin C
L = s(s − a )(s − b)(s − c)
13.
14.
15.
16.
s = ½ (a + b + c)
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
sin (α − β) = sin α cos β − cos α sin β
cos (α + β) = cos α cos β − sin α sin β
cos (α − β) = cos α cos β + sin α sin β
17.
tan (α + β) =
tan α + tan β
1 − tan α tan β
18. tan (α − β) =
tan α − tan β
1 + tan α tan β
19. sin 2α = 2 sin α cos α
20. cos 2 α = cos2 α − sin2 α = 2cos2 α − 1 = 1 − 2sin2 α
21.
tan 2α =
2tan α
1 − tan 2 α
22. sin2 α = 1 − 1 cos 2α
23.
2 2
cos α = 1 + 1 cos 2α
2 2
2
24. sin 3α = 3sin α − 4sin3 α
Copyright © 2009 www.usmitb.com
Provide Free Tests and High Quality
25.
26.
27.
28.
29.
cos 3α = 4cos3 α − 3cos α
2sin α cos β = sin (α+β) + sin (α−β)
2cos α sin β = sin (α+β) − sin (α−β)
2 cos α cos β = cos (α+β) + cos (α−β)
–2sin α cos β = cos (α+β) − cos (α−β)
30. sin α + sin β = 2 sin
1
2
(α+β) cos
1
2
(α−β)
sin α − sin β = 2 cos
1
2
(α+β) sin
1
2
(α−β)
32. cos α + cos β = 2cos
1
2
(α+β) cos
1
2
31.
33. cos α − cos β = −2 sin
1
2
(α+β) sin
(α−β)
1
2
(α−β)
Bentuk a cos x + b sin x
1. a cos x + b sin x = k cos (x−α)
k=
a 2 + b2
dan tan α =
b
a
2. y = a cos x + b sin x + c
ymax = k + c dan ymin = − k + c
3. Agar acos x + bsin x = c bisa diselesaikan maka
Persamaan trigonometri
sin x = sin α
x = α + n. 360o
x = 180o – α + n. 360o
cos x = cos α
x = ±α + n. 360o
tan x = tan α
x = α + n.180o
BARISAN DAN DERET
Un = Sn − Sn−1
Un = Suku ke n
Sn = Jumlah n suku
pertama
Deret aritmatika
u2 – u1 = u3 – u2 = un – un – 1
Un = a + (n−1) b
Sn =
n
n
(2a + (n − 1)b )
(a + U n ) =
2
2
Suku tengah Ut =
U1 + U n
2
a = suku awal
b = beda = un – un – 1
ut = suku tengah
Sisipan b’ =
b
k +1
b' = beda baru
k = banyak sisipan
Deret Geometri
u2
u
un
= 3 =
u1
u2
u n −1
Un = arn−1
berlaku untuk
setiap deret
Copyright © 2009 www.usmitb.com
Provide Free Tests and High Quality
Sn =
a(r n − 1) a(1 − r n )
=
r −1
1−r
Suku tengah Ut =
U1 U n
a = suku awal
r = rasio =
un
u n −1
ut = suku tengah
Sisipan r' = k +1 r
r' = rasio baru
k = banyak sisipan
Deret Geometri tak hingga
S∞ =
a
syarat −1 < r < 1
1−r
LIMIT
lim f(x) = L artinya nilai f(x) akan mendekati L untuk nilai x mendekati a.
x →a
Fungsi f(x) kontinu di x = a jika
lim
x →a
f(x) = f(a)
Berikut sedikit ilustrasi tentang masalah limit dan kekontinuan suatu fungsi. Bisa kita lihat,
nilai Lim f(x) belum tentu sama dengan nilai f(a).
x →a
L
L
a
a
Lim f(x) = L
Lim f(x) = L
x →a
x →a
f(a) = L
f(x) kontinu di a
f(a) tidak terdefinisi
f(x) tidak kontinu di a
a
Lim f(x) tidak ada
x →a
f(a) tidak terdefinisi
f(x) tidak kontinu di
Operasi pada limit
1. Lim [ f(x) + g(x) ] = Lim f(x) + Lim g(x)
x →a
x →a
x →a
2. Lim [ f(x) − g(x) ] = Lim f(x) − Lim g(x)
x →a
x →a
x →a
3. Lim [ C f(x) ] = C Lim f(x), C konstanta
x →a
x →a
4. Lim [ f(x) ⋅ g(x) ] = Lim f(x) ⋅ Lim g(x)
x →a
x →a
x →a
Lim f(x)
f(x)
x →a
, dengan Lim g(x) ≠ 0
5. Lim g(x) = Lim
g(x)
x →a
x →a
x →a
6. Lim [ f(x) ]n = [ Lim f(x)]n
x →a
x →a
Copyright © 2009 www.usmitb.com
Provide Free Tests and High Quality
Bentuk tak tentu Bentuk
Limit bentuk
Bentuk Lim
0
0
,∞
∞ ,∞ − ∞, 0 ⋅ ∞
0
0
f(x)
x → a g(x)
dimana f(a) = 0 dan g(a) = 0 disebut bentuk
0
0
. Bentuk ini diselesaikan
dengan cara …
Metode pencoretan: f(x) dan g(x) akan mempunyai faktor yang sama, bentuk ini
diselesaikan dengan pencoretan faktor yang sama tersebut.
Metode L’hopital
f(x) bentuk 0
0
g(x)
f
(
x
)
f ′(x )
maka lim
= lim
x → a g(x)
x → a g ′(x )
lim
x →a
Limit bentuk ∞
∞
lim
x →∞
⎧ 0 jika n < m
ax n + bx n −1 ... ⎪⎪ a
=⎨
jika n = m
px m + qx m −1 ⎪ p
⎩⎪ ∞ jika n > m
Limit bentuk ∞ − ∞
Bentuk umum :
Cara penyelesaian :
Kalikan dengan bentuk sekawan (Baca : f(x) + g(x) )
Lim
x →∞
f ( x ) − g(x)
f(x) + g(x)
f(x) + g(x)
= Lim
x →∞
f(x) − g(x)
f(x) + g(x)
∞
menjadi bentuk ∞
∞ . Selesaikan ∞ (Lihat sebelumnya)
Lim
x →∞
a1x 2 + bx + c − a 2 x 2 + px + q =
1.
2.
3.
b−p
untuk a = a1 = a2
2 a
∞ untuk a1 > a2
−∞ untuk a1 < a2
Limit fungsi trigonometri Untuk ξ → 0 Nilai dari
sin ξ ≅ ξ
tan ξ ≅ ξ
cos ξ ≅ 1 − 1 ξ2
sec ξ ≅ 1 + 1 ξ2
2
2
tan ξ − sin ξ ≅ 1 ξ3
2
TURUNAN
Definisi :
Turunan pertama dari fungsi y = f (x)
didefinisikan sebagai berikut :
f ( x + p) − f ( x )
dy
= lim
f ‘ (x) = y’ =
p →0
p
dx
RUMUS-RUMUS TURUNAN
1.
Jika y = c ( konstanta ) , maka y’ = 0
2. Jika y = x n , maka y’ = n.x n-1
3. Jika y = sin x , maka y’ = cos x
4. Jika y = cos x , maka y’ = –sin x
5. Jika y = tan x , maka y’ = sec2x
6. Jika y = cot x maka y’ = – csc2 x
7.
Jika y = sec x maka y’ = secx tan x
Copyright © 2009 www.usmitb.com
Provide Free Tests and High Quality
8.
Jika y = cscx maka y’ = – csc x.cot x
9.
Jika y = ln x , maka y’ =
1
x
10. Jika y = ex , maka y’ = ex
SIFAT-SIFAT TURUNAN
1.
Jika y = u ± v , maka y’ = u’ ± v’
2. Jika y = u . v , maka y’ = u’.v + u.v’
u
u '.v − u.v'
, maka y’ =
v
v2
3.
Jika y =
4.
5.
6.
Jika y = u n , maka y’ = n. u n-1 . u’
Jika y = f ( u ) , maka y’ = f ’ ( u ) . u’
Jika y = f ( t ) dan t = g (x) , maka
dy
dx
=
dt
dy
.
dx
dt
PENGGUNAAN TURUNAN
1.
f ’ (x ) = 0 ⇔ didapat titik kritis
2. f ’ (x) > 0 ⇔ f (x) naik
3. f ‘ (x) < 0 ⇔ f (x) turun
4. f ‘ (x) = 0 dan f “ (x) < 0 ⇔ didapat titik ekstrim maksimum
5. f ‘ (x) = 0 dan f ” (x) > 0 ⇔ didapat titik ekstrim minimum
INTEGRAL
Jika f(x) adalah fungsi yang differensiabel maka
∫ f ' ( x ) dx adalah f ( x ) + c
A.
Rumus Dasar
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
B.
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
x n dx =
1
x n + 1 + c dengan n ≠ −1
n +1
1
dx =
x
∫
x −1 dx = ln x + c
sin xdx = − cos x + c
cos xdx = sin x + c
sec 2 xdx = tan x + c
csc 2 xdx = − cot x + c
sec x. tan xdx = sec x + c
csc x. cot xdx = − csc x + c
Integral tentu
Jika
∫ f ( x )dx = g( x ) + c
b
b
a
a
∫ f ( x )dx = g(x )
C.
Sifat-sifat integral
1.
maka
= g ( b ) − g (a )
∫ (f ( x ) + g(x ) )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ g(x )dx
Copyright © 2009 www.usmitb.com
Provide Free Tests and High Quality
3.
∫ (f ( x ) − g(x ) )dx = ∫ f (x )dx − ∫ g( x )dx
∫ kf ( x )dx = k ∫ f ( x )dx
4.
− ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx
2.
b
a
a
b
b
c
c
a
b
a
∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx
5.
a
∫ f ( x )dx = 0
6.
a
D.
Menghitung luas daerah
y = f(x)
a
b
y = f(x)
L= − ∫ f ( x )dx
a
a
y = f(x)
y = g(x)
x=b
b
E.
x
b
L= ∫ f ( x )dx
L=
b
x
b
x=a
a
∫ (f ( x ) − g(x ))dx
a
Volume
Benda Putar
y
y = f(x)
a
b
x
b
x = f(y)
b
b
v = π ∫ y dx
2
a
v = π ∫ x 2 dy
a
a
F
Integral Parsial
∫ udv = uv − ∫ vdu
PERSAMAAN GARIS
Φ
Rumusan Persamaan Garis
A x + B y + C = 0 (bentuk implisit)
y = mx + n
(bentuk eksplisit)
dengan m adalah gradien garis tersebut m = − A
B
Garis g membentuk sudut α dengan sumbu-x positif, maka m = tanα
Φ
Cara Menentukan Persamaan Garis Lurus
Persamaan garis melalui sebuah titik (x1, y1) dengan
gradien m
y – y1 = m(x – x1)
Persamaan garis melalui 2 buah titik (x1, y1) dan (x2 , y2)
Adalah
y − y1
y − y1
= 2
x − x1
x 2 − x1
Dengan gradien m =
Φ
y 2 − y1
x 2 − x1
Hubungan Antara Dua Garis Lurus
- Dua garis sejajar : m1 = m2
- Dua garis tegak lurus : m1.m2 = –1
Copyright © 2009 www.usmitb.com
Provide Free Tests and High Quality
-
Sudut antara 2 garis tan α =
-
Jarak titik (x1, y1) ke garis
d=
-
m1 − m 2
1 + m 1 .m 2
Ax + By + C = 0
Ax1 + By1 + C
A2 + B 2
Jarak antara garis Ax + By = C1 dan Ax + By = C 2 adalah d =
C1 − C 2
A2 + B 2
MATRIKS
Bentuk umum suatu matriks adalah :
⎡ a 11
⎢
⎢a
A = ⎢⎢ 21
⎢ ::
⎢
⎢⎣a m1
a 12
a 22
::::
::::
::
::::
a m2
::::
a 1n ⎤
⎥
a 2 n ⎥⎥
⎥
⎥
⎥
a mn ⎥⎦
::
Matriks A diatas memuat m baris dan n kolom, disebut berordo m x n.
Transpos suatu matriks
Transpose suatu matriks A ditulis At adalah matriks dengan menukar elemen-elemen pada
baris A dengan elemen-elemen pada kolomnya
Kesamaan dua matriks
A = B ⇔ 1. Ordo A = Ordo B
2. elemen-elemen yang seletak nilainya
Operasi Jumlah
C = A + B ⇔ 1. Ordo C = Ordo A = Ordo B
2. ci,j = ai,j + bi,j; i ∈ baris dan j ∈ kolom
Sifat operasi penjumlahan
1. Komutatif : A + B = B + A
2. Asosiatif : (A + B ) + C = A + (B + C)
3. Ada matriks 0 sehingga A + 0 = 0 + A = A
4. Ada matriks −A sehingga A + (−A) = 0
5. (A+ B)t = At + Bt
Definisi A − B = A + (−B)
Catatan Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya 0.
Matriks −A diperoleh dengan mengalikan setiap elemen A dengan −1.
Perkalian dengan konstanta
C = k A ⇔ 1. k bilangan real, A dan C matriks berordo sama
2. ci,j = k ai,j; i ∈ baris dan j ∈ kolom
Sifat perkalian dengan konstanta
p dan q bilangan real, A dan B matriks, maka
(p + q) A = p A + q A
p ( A + B) = p A + p B
p (q A ) = ( p q) A
Operasi Kali
C = A B ⇔ 1. Cm x n = Amxp Bpxn
2. cij = ai1 b1 j + ai2 b2 j + … + aip bpj
Sifat-sifat operasi kali
1. Tidak komutatif: A B ≠ B A
2. Asosiatif: (A B) C = A (B C)
3. Distributif A (B + C) = A B + AC
4. Ada matriks Identitas sehingga A I = I A = A
5. Jika A B = 0, belum tentu A = 0 atau B = 0
6. Jika A B = A C maka belum tentu B = C
Copyright © 2009 www.usmitb.com
Provide Free Tests and High Quality
7. (A . B)t = Bt At
Catatan Matriks Identitas adalah matriks ordo n x n (atau bujursangkar) yang semua
elemen diagonal a11 = a22 = …= ann = 1 dan elemen lainnya nol
Determinan
Determinan matriks A ditulis sebagai det(A) atau ⏐A⏐.
1.
⎛ a 11 a 12 ⎞
⎟ ⇒ ⏐A⏐=a11 a22 −a12 a21
A = ⎜⎜
⎟
⎝ a 21 a 22 ⎠
⎛ a 11
⎜
a 12
a 13 ⎞
⎟
⎜a
⎝ 31
a 32
a 33 ⎟⎠
a 22
a 23
a 32
a 33
2. A = ⎜ a 21 a 22 a 23 ⎟
⏐A⏐=a11
−a12
a 21
a 23
a 31
a 33
+a13
a 21
a 31
a 22
a 32
Cara lain adalah dengan metode Sorrus
a11 a12 a13 a11 a12
⏐A⏐ = a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32
= (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32)
− (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32)
Sifat
det (A B) = det(A) det (B)
det (A + B) ≠ det(A) + det(B)
A ordo nxn ⇒ det(k A) = kn det(A)
det (At) = det(A)
det ( A−1 ) =
1
det A
Invers Matriks
Invers dari matriks A ditulis A−1 dan didefinisikan sebagai berikut⏐
A−1 invers A ⇔ 1. A matriks ordo n x n
2. A A−1 = A−1 A = I
⎛a b⎞
⎟ ⇒ A−1 =
⎟
⎝c d⎠
A = ⎜⎜
1
A
⎛ d −b ⎞
⎜
⎟
⎜− c a ⎟
⎝
⎠
Sifat Invers matriks
1.
A = B−1 ⇔ B = A−1
2.
(A−1)−1 = A
3.
(A B )−1 = B−1 A−1
A B = C ⇒ A = C B −1
A B = C ⇒ B = A−1 C
Ketiga kalimat berikut mempunyai pengertian sama
1.
A singular
2. A tidak punya invers
3. det A = 0
TRANFORMASI
Jika titik (x, y) ditransformasikan oleh matriks M sehingga memiliki bayangan (x’, y’) maka
berlaku
⎛ x ⎞ ⎛ x' ⎞
M⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ y ⎠ ⎝ y' ⎠
Copyright © 2009 www.usmitb.com
Provide Free Tests and High Quality
MATRIKS TRANSFORMASI
Matriks pencerminan
⎛1 0 ⎞
⎟
⎟
⎝0 − 1⎠
terhadap sumbu x ⎜⎜
⎛ −1 0 ⎞
⎟
⎟
⎝ 0 1⎠
terhadap sumbu y ⎜⎜
⎛0 1 ⎞
⎟
⎟
⎝1 0 ⎠
terhadap garis y = x ⎜⎜
⎛ 0 −1 ⎞
⎟
⎟
⎝−1 0 ⎠
terhadap garis y = - x ⎜⎜
Matriks Rotasi
⎛ 0 −1 ⎞
⎟
R 90 o = ⎜⎜
⎟
⎝1 0 ⎠
⎛ −1 0 ⎞
⎟
R180 o = ⎜⎜
⎟
⎝ 0 − 1⎠
Dilatasi faktor skala k
⎛ 0 1⎞
⎟
R 270 o = ⎜⎜
⎟
⎝−1 0⎠
⎛ cos θ − sin θ ⎞
⎟
R θ = ⎜⎜
⎟
⎝ sin θ cos θ ⎠
⎛k 0⎞
⎜
⎟
⎜0 k⎟
⎝
⎠
Rotasi terhadap titik (a, b)
⎛ x − a ⎞ ⎛ x '−a ⎞
⎟=⎜
⎟
R⎜⎜
⎟ ⎜
⎟
⎝ y − b ⎠ ⎝ y '− b ⎠
R = matriks rotasi
Dilatasi terhadap titik (a, b) dengan faktor skala k
⎛ k 0 ⎞⎛ x − a ⎞ ⎛ x '−a ⎞
⎜
⎟⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜ 0 k ⎟⎜ y − b ⎟ = ⎜ y'− b ⎟
⎝
⎠⎝
⎠ ⎝
⎠
Pencerminan terhadap garis y = mx + n yang memlalui
(a, b)
⎛ 1 − m2
⎜
⎜
2
⎜1+ m
⎜ 2m
⎜⎜
2
⎝1+ m
2m
1 + m2
−1 + m2
1 + m2
⎞
⎟
⎟⎛ x − a ⎞ ⎛ x '−a ⎞
⎟=⎜
⎟
⎟⎜⎜
⎟⎝ y − b ⎟⎠ ⎜⎝ y'− b ⎟⎠
⎟⎟
⎠
PELUANG
Kaidah pencacahan
1.
2.
n! = n (n – 1)(n – 2)(n – 3) ….. 3.2.1
Permuasi
Prn =
n!
(n − r)!
Permutasi siklis = (n – 1)!
Permutasi dengan p, q, r unsure sama =
3.
n!
p! q ! r!
Kombinasi
⎛n⎞
n!
Cn
r = ⎜⎜ ⎟⎟ =
⎝ r ⎠ r!(n − r)!
Binomial Newton :
⎛n⎞
⎛n⎞
⎛n⎞
⎛n⎞
(a + b) n = ⎜⎜ ⎟⎟a n + ⎜⎜ ⎟⎟a n −1 .b + ⎜⎜ ⎟⎟a n − 2 .b 2 + ... + ⎜⎜ ⎟⎟.b n
⎝1⎠
⎝2⎠
⎝n⎠
⎝0⎠