Induksi Matematika
advertisement
U R IK U LU M si AS 22 Se KEL I-K INDUKSI MATEMATIKA A. PENGERTIAN INDUKSI MATEMATIKA Induksi matematika merupakan pembuktian deduktif, meski namanya induksi. Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataanpernyataan yang menyangkut bilangan-bilangan asli. 1 B. LANGKAH-LANGKAH INDUKSI MATEMATIKA Maksud dan tujuan induksi matematika adalah membuktikan suatu pernyataan yang melibatkan bilangan asli n misal P(n) akan berlaku semua nilai dari n. Pembuktian ini melibatkan dua langkah: 1. Langkah dasar: buktikan bahwa pernyataan itu berlaku untuk P(1). 2. Langkah induksi: tunjukkan bahwa jika pernyataan itu berlaku untuk P(k), maka pernyataan itu berlaku untuk P(k+1). CONTOH SOAL 1. Buktikan bahwa untuk penjumlahan –n bilangan asli berurutan dapat dinyatakan dengan formula 1+ 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n = n(n + 1) 2 https://id.wikipedia.org/wiki/Induksi_matematika 1 1 20 13 MATEMATIKA XI Pembahasan: Misal P(n) = 1+ 2 + 3 + 4 + ... + n = • 11 ( + 1) 2 1 = 1 benar n(n + 1) 2 P(1) = 1 = Maka P(1) benar. • Asumsikan P(k) = 1+ 2 + 3 + 4 + ... + k = Maka k(k + 1) benar. 2 P(k + 1) = 1+ 2 + 3 + 4 + ... + k + k + 1 k(k + 1) P(k + 1) = + k +1 2 k(k + 1) + 2(k + 1) P(k + 1) = 2 (k + 1)(k + 2) P(k + 1) = 2 P(k + 1) mengikuti formula P(n), kesimpulannya P(n) benar. 2. Buktikan bahwa 3n – 1 adalah kelipatan dari 2! Pembahasan: Misal P(n) = 3n – 1 adalah kelipatan 2. • P(1) = 31 – 1 P(1) = 2, benar kelipatan 2. • Asumsikan P(k) benar, P(k) = 3k – 1 kelipatan 2 atau 3k – 1 = 2m, m∈Asli maka P(k + 1) = 3k +1 − 1 = 3k ⋅ 3 − 1 = (2m + 1) ⋅ 3 − 1 P(k + 1) = 6m + 2 P(k + 1) = 2(3m + 1) Nampak P(k + 1) merupakan bilangan kelipatan 2 sehingga P(n) pernyataan yang berlaku untuk setiap n∈Asli. 2 3. Buktikan bahwa 1+ 3 + 5 + 7 + ... + (2n − 1) = n2 Pembahasan: Misal P(n) = 1+ 3 + 5 + 7 + ... + (2n − 1) = n2 • P(1) = 1 = 12 1 = 1 = benar P(1) benar. • Asumsikan P(k) = 1+ 3 + 5 + 7 + ... + (2k − 1) = k 2 benar. Maka P(k + 1) = 1+ 3 + 5 + 7 + ... + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) P(k + 1) = k 2 + 2k + 1 P(k + 1) = (k +1)2 Karena P (k + 1) mengikuti pola P(n), maka P(n) benar. 4. Buktikan bahwa 13 + 23 + 33 + ... + n3 = (1+ 2 + 3 + ... + n)2 Pembahasan: Misal P(n) = 13 + 23 + 33 + ... + n3 = (1+ 2 + 3 + ... + n)2 • P(1) = 1 = 13 1 = 1 = benar P(1) pernyataan benar. • Diasumsikan P(k ) = 13 + 23 + 33 + ... + k 3 = (1+ 2 + 3 + ... + k )2 benar. Maka P(k + 1) = 13 + 23 + ... + k 3 + (k + 1)3 = (1+ 2 + 3 + ... + k )2 + (k + 1)3 2 k(k + 1) 3 = + (k + 1) 2 k 2 (k + 1)2 = + (k + 1)3 4 k 2 (k + 1)2 + 4(k + 1)3 = 4 2 (k + 1) ( k 2 + 4(k + 1) ) = 4 (k + 1)2 (k 2 + 4k + 4 ) = 4 (k + 1)2 (k + 2)2 = 4 (k + 1)(1+ k + 1) = 2 3 4 k (k + 1)2 + 4(k + 1)3 = 4 2 (k + 1) ( k 2 + 4(k + 1) ) = 4 2 2 (k + 1) (k + 4k + 4 ) = 4 (k + 1)2 (k + 2)2 = 4 2 2 (k + 1)(1+ k + 1) = 2 = (1+ 2 + 3 + 4 + ... + k + 1)2 P(k+1) mengikuti formula P(n) maka P(n) bernilai benar untuk semua n ∈ Asli. 5. 1 1 1 1 Buktikan bahwa 1+ 1+ 1+ ... 1+ = n + 1 , untuk setiap bilangan asli n. 1 2 3 n Pembahasan: 1 1 1 1 Misal P(n) = 1+ 1+ 1+ ... 1+ = n + 1 , 1 2 3 n • 1 P(1) = 1+ = 1+ 1 1 2=2 2=2 P(1) benar. • 1 1 1 Asumsikan P(k) = 1+ 1+ ... 1+ = k + 1 maka 1 2 k 1 1 1 1 P(k + 1) = 1+ 1+ ... 1+ 1+ 1 2 k k + 1 1 = (k + 1) 1+ k + 1 = (k + 1) + 1 P(k+1) mengikuti pola P(n), maka P(n) benar untuk setiap n ∈ Asli. C. INDUKSI MATEMATIKA YANG DIPERLUAS Semua pernyataan yang melibatkan n bilangan asli, tidak selalu dimulai dengan n = 1. Oleh karena itu, induksi matematika bisa diperluas dengan cara sebagai berikut: 1. Langkah dasar: buktikan bahwa pernyataan itu berlaku untuk P(m). 2. Langkah induksi: tunjukkan bahwa jika pernyataan itu berlaku untuk P(k), k≥m, maka pernyataan itu berlaku untuk P(k+1). 4 CONTOH SOAL 1. Buktikan bahwa pertidaksamaan berlaku untuk semua bilangan asli n≥4! Pembahasan: Misal P(n) = n3 > n3 berlaku untuk semua bilangan asli n≥4. • P( 4 ) : 34 > 4 3 81 > 64 benar P(4) benar. • Misal k≥4 dan 3k > k3 benar 3k > k 3 3 ⋅ 3k > 3 ⋅ k 3 3k +1 > 3k 3 3k +1 > k 3 + 2k 3 sedangkan 2k 3 = k 3 + k 3 k ⋅ k 2 + k 2 ⋅ k > 3k 2 + 32 k 2 ⋅ k 3 > 3k 2 + 9k 2k 3 > 3k 2 + 3k + 6k 2k 3 > 3k 2 + 3k + 1 dari 3k +1 > k 3 + 2k 3 3k +1 > k 3 + 3k 2 + 3k + 1 3k +1 > (k + 1)3 maka P(k+1) mengikuti pola P(n) sehingga P(n) benar untuk n≥4. 2. Buktikan bahwa n2 + 3 < 2n untuk semua bilangan asli n≥5! Pembahasan: Misal P(n) = n2 + 3 < 2n untuk semua bilangan asli n≥5. • P(5) : 52 + 3 ≤ 25 28 ≤ 32 P(5) benar. 5 • Asumsikan P(k) : k 2 + 3 ≤ 2k untuk k ≥5, maka 2k 2 + 6 ≤ 2 ⋅ 2k 2k 2 + 6 ≤ 2k +1 k 2 + k ⋅ k + 4 ≤ 2k +1 berlaku k ≥ 5maka k 2 + 2k + 4 ≤ 2k +11 (k + 1)2 + 3 ≤ 2k +1 P(k + 1) : (k + 1)2 + 3 ≤ 2k +1 benar. Maka P(n) benar untuk n ≥5. D. PRINSIP INDUKSI MATEMATIS KUAT Misalkan P(n) adalah suatu pernyataan di mana kebenarannya ditentukan oleh nilai n. Jika P(n) memenuhi dua hal berikut: 1. P(1) benar. 2. Untuk setiap bilangan asli k, jika P(1), P(2),….P(k-1),P(k) bernilai benar, maka P(k+1) juga bernilai benar. Maka P(n) bernilai benar untuk setiap bilangan asli n: CONTOH SOAL 1. 1 ( xn+1 + xn ) untuk semua 2 bilangan asli n. Tunjukkan bahwa 1 ≤ x n ≤ 2 untuk semua bilangan asli n. Barisan bilangan xn didefinisikan dengan: x1 = 1, x 2 = 2, x n+ 2 = Pembahasan: Misal P(n) : x1 = 1, x 2 = 2, x n+ 2 = 1 ( xn+1 + xn ) berlaku untuk semua n ∈ Asli. 2 • P(1) : 1 ≤ x1 ≤ 2 , P(1) benar. • Untuk setiap bilangan asli k misalkan P(1), P(2), ..., P(k-1), P(k) benar, akan ditunjukkan P(k + 1) : 1 ≤ x k +1 ≤ 2 Dari asumsi didapat 1 ≤ x k −1 ≤ 2 1≤ xk ≤ 2 6 Bila pertidaksamaan di atas dijumlahkan akan didapat 2 ≤ x k −1 + x k ≤ 4 Bila masing-masing ruas dibagi 2, maka akan didapat x k −1 + x k ≤2 2 1 ≤ x k +1 ≤ 2 1≤ Maka P(k+1) benar sehingga P(n) benar untuk n ∈ Asli. 2. 3x n + 4 x n−1 dengan n adalah bilangan asli. Buktikan : x n+1 ≤ 1 12 untuk semua bilangan asli n. Misalkan x 0 = 1, x1 = 2, x n+1 = Pembahasan: 3x n + 4 x n−1 di mana x n+1 ≤ 1untuk n ∈ Asli. 12 3x + 4 x 0 P(1) : x 2 = 1 12 Misal P(n) : x n+1 = • 3x 1 + 4 x 0 12 3 ⋅ 2 + 4 ⋅1 x2 = 12 10 x2 = ≤ 1 12 x2 = P(1) benar. • Misal P(1),P(2),P(3),...,P(k − 1),P(k ) benar, berlaku 3x k −1 + 4 x k −2 12 dan x k ≤ 1 xk = 3x k + 4 x k −1 12 dan x k +1 ≤ 1 x k +1 = Untuk P(k+1) 3x + 4 x k x k + 2 = k +1 12 3x k + 4 x k −1 3x k −1 + 4 x k −2 3 + 4 12 12 = 12 9xk 16 + x k −1 + x k −1 + x k −2 12 12 = 12 9 x + 24 x k −1 + 16 xk −2 = k 144 7 3x k +1 + 4 x k 12 3x k + 4 x k −1 3x k −1 + 4 x k −2 3 + 4 12 12 = 12 9xk 16 + x k −1 + x k −1 + x k −2 12 = 12 12 9 x + 24 x k −1 + 16 xk −2 = k 144 xk +2 = Karena xk ≤ 1→ 9xk ≤ 9 x k −1 ≤ 1 → 24 x k −1 ≤ 24 x k −2 ≤ 1 → 16 x k −2 ≤ 16 Bila kita ambil nilai yang terbesarnya 9 + 24 + 16 144 49 = ≤1 144 xk +2 = maka P(k+1) benar sehingga P(n) berlaku untuk n ∈ Asli. 3. Misalkan barisan a1, a2, a3, .... didefinisikan sebagai berikut: a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3, dan an = an−1 + an−2 + an−3 . Buktikan bahwa an < 2n ! Pembahasan: Misal an = an−1 + an−2 + an−3 maka an < 2n untuk a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3. • • 1 n = 1 → a1 = 1 < 2 1< 2 terbukti Asumsikan a1 , a2 , a3 ,..., ak −2 , ak −1 , ak benar sehingga berlaku ak −2 < 2k −2 ak −1 < 2k −1 ak < 2k ak +1 = ak + ak −1 + ak −2 ak +1 < 2k −2 + 2k −1 + 2k 1 k 1 k ⋅ 2 + ⋅ 2 + 2k 4 2 7 k ak +1 < ⋅ 2 4 ak +1 < 2 ⋅ 2k ak +1 < ak +1 < 2k +1 maka ak + 1 benar sehingga an benar untuk setiap n ∈ Asli. 8 4. Misalkan x 0 = 1, x1 = 1, x n+1 = x n + x n−1 dengan n adalah bilangan asli. Buktikan : x n+1 ≤ 2n untuk semua bilangan asli n. Pembahasan: Misal P(n) : x n+1 ≤ 2n untuk semua n ∈ Asli dengan x n+1 = x n + x n−1 • P(1) : x 2 ≤ 21 x1 + x 0 ≤ 2 1+ 1 ≤ 2 2 ≤ 2 benar P(1) benar. • Asumsikan P(1),P(2),P(3),...P(k − 1),P(k ) benar sehingga x k +1 < 2k x k < 2k −1 maka untuk P(k+1) x k + 2 = x k +1 + x k x k + 2 < 2k + 2k −1 1 x k + 2 < 2k + ⋅ 2k 2 3 k xk +2 < ⋅ 2 2 x k + 2 < 2 ⋅ 2k x k + 2 < 2k +1 maka P(k+1) benar sehingga P(n) benar untuk semua n ∈ Asli. 9