2. Persamaan dan Pertidaksamaan

Konsep Dasar Matematika
Astuti Mahardika, M.Pd
PERSAMAAN
 Persamaan Linier
adalah kalimat terbuka yang memiliki hubungan sama
dengan dan variabelnya berpangkat tertinggi satu
 PL satu variabel
 PL dua variabel, dst
 Persamaan Kuadrat
adalah kalimat terbuka yang memiliki hubungan sama
dengan dan variabelnya berpangkat tertinggi dua
 PK satu variabel
 PK dua variabel, dst
Contoh
 x + 5 = 10
x+y=4
 2y – 10 = 20
 3a + 27 = 12b
 x 2  2 x  15  0
2
 x  25  0
 x 2  2 x  y 2  3 y  15  0
BENTUK UMUM
SISTEM PERSAMAAN LINIER DUA
VARIABEL

 a1 x + b 1y = c 1
 a2 x + b 2 y = c 2
untuk
a1
a2

b1
b2

c1
c2
Cara Menyelesaikan Sistem Persamaan
Linear Dua Variabel
 Cara Substitusi
 Cara Eliminasi
 Cara Eliminasi dan Substitusi
Cara Substitusi
Contoh :
Tentukan penyelesaian sistem persamaan linier berikut
2x + y = 5 . . . . . . . ( i )
x + 3y = 10 . . . . . . . ( ii )
Penyelesaian :
2x + y = 5  y = 5 – 2x substitusi ke persamaan ( ii )
Diperoleh x + 3y = 10  x + 3 ( 5 – 2x ) = 10
 x + 15 – 6x = 10
 – 5x = – 5  x = 1
substitusi x = 1 ke persamaan ( i )
diperoleh 2x + y = 5  2 + y = 5  y = 3
Jadi penyelesaiannya adalah ( 1 , 3 )
Cara Eliminasi
Contoh :
Tentukan penyelesaian sistem persamaan linier berikut
2x + y = 10 . . . . . . . ( i )
x + 3y = 15 . . . . . . . ( ii )
Penyelesaian :
Samakan koefisien salah satu variabelnya
2x + y = 10| x 1| 2x + y = 10
2x + y = 10| x 3 | 6x + 3y = 30
x + 3y = 15| x 2| 2x + 6y = 30
x + 3y = 15| x 1 | x + 3y = 15
------------- –
------------- –
– 5y = – 20
5x
= 15
y = 4
x
= 3
Jadi penyelesaiannya adalah ( 3 , 4 )
Cara Eliminasi dan Substitusi
Contoh :
Tentukan penyelesaian sistem persamaan linier berikut
2x + 5y = 16 . . . . . . . ( i )
3x + y = 11 . . . . . . . ( ii )
Penyelesaian :
2x + 5y = 16| x 3 |
3x + y = 11| x 2 |
6x + 15y = 48
6x + 2y = 22
-------------- 13y = 26  y = 2
Substitusi y = 2 ke persamaan ( ii )
3x + y = 11  3x + 2 = 11
3x = 9  x = 3
Jadi penyelesaiannya adalah ( 3 , 2 )
Contoh :
Dua tahun yang lalu umur ayah 6 kali umur Adi, 18 tahun
kemudian umur ayah menjadi 2 kali umur Adi. Tentukan
persamaan linear dari permasalahan tersebut
Penyelesaian :
 Permasalahan tersebut dapat dibuat dalam model
matematika sebagai berikut :
sekarang
2 tahun yg lalu
18 th kemudian
Umur ayah
x
x-2
x + 18
Umur adi
y
y-2
y + 18
x – 2 = 6 (y – 2)
x + 18 = 2 (y + 18)
Perbandingan
Dua tahun yang lalu :
(x–2)=6(y–2)
 x – 2 = 6y – 12
 x – 6y = – 10 . . . . . . . . . . . . . . ( i )
18 tahun kemudian :
( x + 18 ) = 2 ( y + 18 )
 x + 18 = 2y + 36
 x – 2y = 18
. . . . . . . . . . . . ( ii )
Kedua persamaan diselesaikan dengan eliminasi atau
substitusi diperoleh
x = 32 dan y = 7
Jadi umur ayah sekarang 32 tahun , sedang umur Adi
sekarang 7 tahun.
Soal
1. a. 5x + 2y = 8
2x + 3y = 1
c. 3x – y = 16
4x – 3y = 23
b. 3x – 2y = 8
6x + 5y = 7
d. 4x – 3y – 10 = 0
2x – 5y + 2 = 0
2. Ani membeli 4 buku tulis dan 3 pensil seharga
Rp. 6.300,- , sedangkan Adi membeli 5 buku
tulis dan 2 pensil seharga Rp. 7.000,- Jika buku
tulis dan pensil yang dibeli Ani dan Adi sama ,
maka hitung berapa harga buku tulis dan harga
pensil tersebut !
3.Keliling sebuah persegi panjang sama dengan 22 cm.
Jika panjangnya dibuat tiga kali semula dan lebarnya
dibuat dua kali semula, maka keliling persegi panjang
menjadi 58 cm. Tentukan panjang dan lebar persegi
panjang semula.
4.Bilangan yang terdiri atas dua angka adalah 7 kali jumlah
angka-angkanya. Jika kedua angka dipertukarkan, maka
bilangan yang terjadi 18 lebih dari jumlah angkaangkanya. Tentukan bilangan itu
5. Diketahui jumlah dua bilangan sama dengan 41,
sedangkan selisih kedua bilangan itu sama dengan 19
maka bilangan - bilangan itu adalah.... .
A.
29 dan 12
B.
28 dan 13
C.
27 dan 14
D.
26 dan 15
E.
30 dan 11
CONTOH SOAL
 Dua tahun yang lalu umur ayah 6 kali umur Dida, 18 tahun
kemudian umur ayah menjadi 2 kali umur Dida. Tentukan
persamaan linear dari permasalahan tersebut dan umur
massing-masing!
 Keliling sebuah persegi panjang sama dengan 22 cm.
Jika panjangnya dibuat tiga kali semula dan lebarnya
dibuat dua kali semula, maka keliling persegi panjang
menjadi 58 cm. Tentukan panjang dan lebar persegi
panjang semula
 Sepuluh tahun yang lalu umur Adi adalah empat kali
umur Billy. Sekarang umur Adi dua kali umur Billy.
Carilah masing-masing umur mereka sekarang !
 Tiga tahun yang lalu seorang laki-laki umurnya tujuh
kali umur anaknya. Tujuh tahun yang akan datang
umurnya akan menjaditiga kali umur anaknya.
a. Tulislah sistem persamaan dari soal tersebut
b. Tentukan umur masing-masing sepuluh tahun yang
akan datang
PERTIDAKSAMAAN
 Ditandai dengan <, >, , atau 
 Pertidaksamaan Linier
 PtL satu variabel
 PtL dua variabel, dst
 Persamaan Kuadrat
 PtK satu variabel
 PtK dua variabel, dst
Contoh
 x + 5 < 10
x+y>4
 2y – 10  20
 3a + 27  12b
 x 2  2 x  15  0
2
 x  25  0
 x 2  2 x  y 2  3 y  15  0
Cara Penyelesaian
1. Menambah,mengurangi, mengali, dan membagi
kedua ruas persamaan dengan bilangan yang sama.
Contoh :
a. x + 3  7
 x + 3-3  7 - 3
 x  4
Jadi x  4 disebut penyelesaian dari x + 3  7
19
Contoh
b. 3(x + 1)  18

3x + 3  18
 3x + 3 – 3  18 - 3

3x  15

x 5
Jadi x  5 penyelesaian dari : 3(x + 1)  18
20
Contoh :
c. x - 10 > 3x
 x - 10 + 10 > 3x + 10

x > 3x + 10

x – 3x > 3x – 3x + 10

-2x > 10
 ( - ½ ) . -2x > 10 . ( - ½ )
x < -5
( tanda ketidaksamaan dibalik karena dikalikan
dengan bilangan negatif )
21
Cara Penyelesaian
2. Grafik penyelesaian pertidaksamaan.
•
Penyelesaian suatu pertidaksamaan dapat dinyatakan
dengan noktah-noktah ( titik ) pada garis bilangan yang
disebut grafik penyelesaian
22
Contoh :
Untuk variabel pada bilangan asli kurang dari 8,
tentukan grafik penyelesaian dari : 3x – 1 > x + 5
Penyelesaian :
3x – 1 > x + 5
3x – 1 + 1 > x + 5 + 1
3x > x + 6
3x – x > 6
2x > 6
x > 3
Variabel x yang memenuhi adalah : 4, 5, 6, dan 7
Grafik penyelesaiannya adalah :
●
●
●
●
●
-4 -3
-2
-1
0
1
●
●
2
●
● ● ● ●
●
3
4
6 7
8
5
23
Contoh Soal
1. Untuk x  { bilangan cacah }, himpunan
penyelesaian dari 3x – 2 < 13 adalah….
a.
b.
c.
d.
{ 0, 1, 2, 3, 4 }
{ 0,1, 2, 3, 4, 5 }
{ 3, 4, 5, 6, . . . }
{ 4, 5, 6, 7, . . . }
24
Pembahasan:
3x – 2 < 13, x  { bilangan cacah }
3x < 13 + 2  pakai cara cepat
3x < 15
x<5
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah :
{ 0, 1, 2, 3, 4 }.
25
Contoh Soal
2. Penyelesaian pertidaksamaan 3x – 5 > x + 3
adalah. . . .
a. x > 2
b. x > 4
c. x < 2
d. x < 4
26
Pembahasan:
3x - 5 > x + 3  pakai cara cepat.
3x - x > 3 + 5
2x > 8
x > 4
Jadi, penyelesaiannya adalah x > 4.
27
28
LATIHAN SOAL
Untuk x  { himpunan cacah }, himpunan
penyelesaian dari 3x – 5 > x + 3 adalah. . .
a. { 0, 1, 2, 3 }
b. { 0, 1, 2, 3, 4 }
c. { 4, 5, 6, 7, . . .}
d. { 5, 6, 7, 8, . . .}
29
Pembahasan:
x  { himpunan cacah },
Hp dari 3x – 5 > x + 3
3x – 5 > x + 3  pakai cara cepat
3x – x > 3 + 5
2x > 8
x>4
jadi, himpunan penyelesaiannya :
= { 5, 6, 7, 8, . . .}
30
LATIHAN SOAL
Penyelesaian dari pertidaksamaan
⅔ ( 6 + 3x ) > 8, adalah. . . .
a. x > 2
b. x < 2
c. x > 4
d. x < 4
31
Pembahasan:
Penyelesaian ⅔ ( 6 + 3x ) > 8
⅔ ( 6 + 3x ) > 8  pakai cara cepat
4 + 2x > 8
2x > 8 - 4
2x > 4
x > 2
32
LATIHAN SOAL
Diketahui pertidaksamaan 13 – 2( y + 1) > ( y + 1 ) – 8
Penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah . . .
a. y > - 6
b. y < - 6
c. y > 6
d. y < 6
33
Pembahasan:
13 – 2( y + 1) > ( y + 1 ) – 8.
13 – 2y – 2 > y - 7
11 – 2y > y - 7
- 2y - y > - 7 - 11
- 3y > - 18
y<6
34
LATIHAN SOAL
Sebuah persegi panjang memiliki panjang 5 cm
lebih dari lebarnya dan kelilingnya tidak lebih dari
38 cm. Jika lebarnya x cm, maka batas-batas nilai x
adalah . . .
a. 0 < x  7
b. x  7
c. x > 7
d. d. 7  x  9
35
Pembahasan:
lebar ( l ) = x cm dan panjang (p) = x + 5 cm
p + l = ½ keliling.
x + 5 + x  ½ ( 38 )
2x + 5  19
2x  19 – 5
2x  14
x  7
36
Himpunan penyelesaian dari : -6( a + 2) + 4a  - 6,
adalah ….
a
b. a
c. a
d. a
a.
 -3
 -3
 -6
 -6
37
Pembahasan:
Penyelesaian -6( a + 2) + 4a  - 6
-6( a + 2) + 4a  - 6
-6a - 12 + 4a  - 6
- 2a  - 6 + 12
- 2a  6  kalikan dengan (-1)
2a  - 6
a-3
38
Bastian berusia 3 tahun lebih tua dari Diah.
Jumlah usia mereka kurang dari 15 tahun, usia
Diah sekarang adalah . . .
a. < 6 tahun
b. > 6 tahun
c. = 6 tahun
d. = 4 tahun
39
Pembahasan:
Misal :
Usia Diah = x tahun
Usia Bastian = x + 3 tahun
Jumlah usia keduanya < 15 tahun.
x + x + 3
2x + 3
2x
2x
x
<
<
<
<
<
15
15
15 - 3
12
6
40
Jumlah dua bilangan cacah genap berurutan
kurang dari atau sama dengan 90. Bilangan
itu adalah . . .
a.
b.
c.
d.
x  42
x  40
x  44
x  44
dan y  48
dan y  50
dan y  46
dan y  46
41
Pembahasan:
Misal :
Bilangan pertama = x
Bilangan kedua = x + 2
Jumlah keduanya  90
x + x + 2  90
Bilangan pertama  x  44
2x + 2  90
Bilangan kedua  y  44 + 2
2x  90 – 2
y  46
2x  88
x  44
42
Lebar sebuah persegi panjang lebih pendek 4 cm
dari panjangnya. Jika keliling nya sama dengan 72
cm, panjang persegi panjang adalah . . .
a. 16 cm
c. 18 cm
b. 20 cm
d. 22 cm
43
Pembahasan:
Misal : lebar
=x
panjang = x + 4
keliling
= 72
panjang + lebar = ½ keliling.
x + x + 4 = ½ ( 72 )
2x + 4 = 36
2x = 36 – 4
x = 16
Persegipanjang memiliki lebar = 16 cm, maka
panjang = 16 + 4 = 20 cm
44
Berat badan rata-rata 4 orang siswa 55 kg.
Ketika datang seorang siswa lain, berat
rata-ratanya menjadi 56 kg. Berat badan
siswa yang baru datang adalah . . .
70 kg
b. 68 kg
c. 60 kg
d. 56 kg
a.
45
Pembahasan:
Rata-rata 4 siswa = 55 kg
Total berat 4 siswa = 4 x 55 kg = 220 kg
Rata-rata 5 siswa = 56 kg
Total berat 5 siswa = 5 x 56 kg = 280 kg
Selisih total berat = 280 kg - 220 kg
= 60 kg
Jadi, berat siswa yang baru datang = 60 kg.
46
SOAL
Tentukan himpunan penyelesaian (HP) dari
 x 1 4x  3

2
3
 2x2 + 10x > 3x -3
 x2  x  6  0

x  5(2 x  1)  3x  2