Fungsi Non-Linear - tito math`s blog

Modul 5
Fungsi Non-Linear
Drs. Wahyu Widayat, M.Ec
PE NDAH ULUA N
F
ungsi non-linier merupakan bagian yang penting dalam matematika
untuk ekonomi, karena pada umumnya fungsi-fungsi yang
menghubungkan variabel-variabel ekonomi bentuknya tidak linier. Oleh
sebab itu dengan mempelajari bentuk-bentuk fungsi non- linier dan
memahami sifat-sifatnya akan sangat bermanfaat dalam mendalami teoriteori ekonomi. Model-model persamaan yang dipilih untuk diterapkan dapat
dilakukan lebih tepat dan mendekati keadaan yang sebenarnya. Fungsi nonlinier merupakan fungsi yang banyak sekali digunakan dalam ekonomi,
karena lebih mendekati keadaan nyata. Banyak masalah dalam ilmu ekonomi
yang menggunakan fungsi non-linier sebagai model, khususnya persamaanpersamaan kuadratik. Meskipun demikian tidak semua aplikasinya dimuat
dalam modul ini. Aplikasi fungsi kuadratik yang dibicarakan, dibatasi untuk
fungsi permintaan dan penawaran
Dalam modul ini dijelaskan cara membuat grafik fungsi non-linier,
sehingga persamaan-persamaan yang ditampilkan pada modul-modul
berikutnya dapat digambarkan secara cepat tanpa menggunakan titik-titik
yang memenuhi persamaan dalam jumlah yang terlalu banyak.
Dengan mempelajari modul ini, secara umum Anda diharapkan dapat
memahami berbagai macam bentuk fungsi non-linier, mengenai sifat-sifatnya
dan dapat menggambarkan grafiknya. Di samping itu, Anda diharapkan
mampu untuk:
a. menggambarkan grafik fungsi non-linier.
b. menggunakan sifat-sifat fungsi kuadratik untuk membuat gambar
grafiknya.
c. membedakan bentuk-bentuk fungsi kuadratik seperti lingkaran, elips,
parabola dan hiperbola.
d. menentukan jika ada: format, jari-jari, asimtot dari fungsi kuadratik serta
batasan-batasan nilai untuk variabel-variabelnya.
5.2
Matematika Ekonomi 1
Kegiatan Belajar 1
Grafik Kurva Non-Linear
P
olinom atau suku banyak dalam x dan y dilambangkan f(x) adalah
ungkapan yang mengandung suku-suku kxrys, di mana k adalah konstan,
r dan s adalah bilangan bulat. Nilai tertinggi (r + s) pada suku f(x,y)
dinamakan pangkat polinom. Jika polinom f(x,y) berpangkat n dan
disamakan dengan nol, maka diperoleh persamaan pangkat n dalam x dan y
yaitu f(x,y) = 0. Persamaan ini disebut persamaan aljabar. Suatu grafik yang
melukiskan persamaan aljabar disebut sebagai kurva aljabar. Suatu contoh
kurva aljabar adalah garis lurus.
Persamaan dalam x dan y yang bukan persamaan aljabar disebut
persamaan transcendental dan grafiknya disebut kurva transcendental.
Contoh-contoh kurva transcendental adalah grafik fungsi trigonometri,
logaritma, dan fungsi berpangkat.
Cara membuat grafik yang akan dibahas dapat digunakan untuk
membuat grafik aljabar maupun grafik transcendental. Cara ini merupakan
cara yang umum untuk melukis suatu grafik. Kemudian akan dibahas cara
lain yaitu cara yang lebih khusus untuk melukiskan jenis fungsi tertentu. Cara
ini lebih efisien untuk melukis grafik dari fungsi jenis tertentu, seperti fungsi
kuadratik (lingkaran, elips, parabola dan hiperbola), fungsi perpangkatan dan
fungsi logaritma.
Menggambar grafik fungsi non-linear, dilakukan dengan menentukan
titik-titik yang memenuhi persamaan dalam jumlah yang cukup banyak. Akan
tetapi titik-titik yang jumlahnya banyak itu, mungkin masih belum
memberikan informasi yang lengkap tentang bentuk kurva sesungguhnya.
Sebaiknya suatu persamaan yang hendak dibuat grafiknya diuji dulu
dengan memperhatikan kaidah-kaidah yang berhubungan dengan fungsi
tersebut, sehingga titik-titik yang digunakan jumlahnya tidak terlalu banyak.
Kaidah-kaidah dalam membuat grafik kurva non-linear dan kegunaannya
adalah sebagai berikut:
5.3
ESPA4112/MODUL 5
A. TITIK PENGGAL
Titik penggal suatu kurva adalah titik perpotongan antara kurva dan garis
sumbu. Titik penggal dengan sumbu x diperoleh dengan memasukkan y = 0
ke dalam persamaan dan kemudian mencari nilai x nya. Titik penggal dengan
sumbu x diperoleh dengan memasukkan x = 0 ke dalam persamaan dan
kemudian mencari nilai y nya. Untuk menggambar grafik suatu fungsi,
titik-titik penggal ini harus dicari.
B. SIMETRIS
Dua titik dikatakan simetris terhadap suatu garis bila garis tersebut
terletak di antara dua titik dan jarak masing-masing titik ke garis tersebut
sama.
Contoh 5.1:
(-x,y)
(x,y)
(x,-y)
Titik (x,y) simetris dengan titik (x,-y) terhadap sumbu x. Titik (x,y) simetris
dengan titik (-x,y) terhadap sumbu y.
Dua titik simetris terhadap titik ke tiga, jika titik ke tiga itu terletak di
tengah-tengah garis yang menghubungkan ke dua titik tersebut.
Contoh 5.2:
Titik (x,y) simetris dengan titik (-x,-y) terhadap titik origin.
5.4
Matematika Ekonomi 1
Y
(x,y)
X
0
(-x,-y)
Suatu kurva juga dapat simetris terhadap garis sumbu atau terhadap titik
origin. Kurva simetris terhadap sumbu x bila untuk setiap titik (x,y) pada
kurva, simetris dengan titik (x,-y) yang juga terletak pada kurva.
Contoh 5.3:
Y
(x,y)
X
0
(x,-y)
Kurva simetris terhadap sumbu y, bila untuk setiap titik (x,y) pada kurva
simetris dengan titik (-x,y) yang juga terletak pada kurva.
5.5
ESPA4112/MODUL 5
Contoh 5.4:
Y
(-x,y)
(x,y)
X
Kurva simetris terhadap titik origin apabila setiap titik (x,y) pada kurva
simetris dengan titik (-x,-y) yang juga terletak pada kurva.
Contoh 5.5:
Y
(x,y)
X
(-x,-y)
Dari tiga contoh terakhir dapat dilihat bahwa grafik persamaan f(x,y) = 0
simetris terhadap:
a. Sumbu x jika f(x,y) = f(x,-y) = 0
b. Sumbu y jika f(x,y) = f(-x,y) = 0
c. Titik origin jika f(x,y) = f(-x,-y) = 0
Perlu diperhatikan di sini bahwa suatu fungsi yang simetris terhadap
sumbu x dan sumbu y tentu simetris terhadap origin. Akan tetapi sebaliknya,
kurva yang simetris terhadap origin belum tentu simetris terhadap sumbu x
dan y.
5.6
Matematika Ekonomi 1
Contoh 5.6:
Kurva yang ditunjukkan oleh persamaan x2y + y + x3 = 0 merupakan fungsi
dengan kurva yang simetris terhadap origin tetapi tidak simetris terhadap
salah satu sumbu.
Y
0
X
f(x,-y) = -x2y - y + x3 > f(x,-y) = 0 tidak sama dengan f(x,y) = 0. Jadi
f(x,y) = 0 tidak simetris terhadap sumbu x.
f(-x,y) = x2y + y - x3 > f(-x,y) = 0 tidak sama dengan f(x,y) = 0. Jadi
f(x,y) = 0 tidak simetris terhadap sumbu y.
f(-x,-y) = -x2y - y - x3 = 0 > f(-x,-y) = 0 sama dengan f(x,y) = 0. Jadi
f(x,y) = 0 simetris terhadap origin.
Contoh 5.7:
Kurva yang ditunjukkan oleh persamaan x3y + xy = 0 merupakan fungsi
yang simetris terhadap sumbu x,y dan titik origin, karena:
Y
f(x,-y) = -x3y - xy = 0 = f(x,y)
3
f(-x,y) = -x y - xy = 0 = f(x,y)
f(-x,-y) = x3y + xy = 0 = f(x,y)
0
X
5.7
ESPA4112/MODUL 5
Di dalam menggambar suatu grafik, kadang-kadang harus diperhatikan
kesimetrisan kurva terhadap garis yang bukan garis sumbu atau titik lain
selain titik origin. Grafik persamaan f(x,y) = 0 simetris terhadap garis x =
h, jika f(h + c,y) = f(h - c,y) = 0 untuk semua nilai c dan y.
Contoh 5.8:
Pada gambar di bawah j1 = c dan c > 0 dan f(x,y) simetris terhadap garis
x=h
Y
x=h
(h-c,y)
(h+c,y)
Ji
Ji
0
X
Grafik persamaan f(x,y) = 0 simetris terhadap garis y = k, jika f(x, k + c) =
f(x,k - c) = 0 untuk semua nilai c dan x.
Y
(x,k+c)
J2
y=k
J2
X
0
(x,k-c)
Pada gambar di atas j2 = c dan c > 0; f(x,y) simetris terhadap garis x =
k. Grafik persamaan f(x,y) = 0 simetris terhadap titik (h,k), jika f(h + c, k +
d)= f(h - c,k - d)= 0 untuk semua c dan d.
5.8
Matematika Ekonomi 1
Contoh 5.9:
Y
(h+c,k+d)
J3
*
J3
(h-c,k-d)
0
Pada gambar di atas j3 =
simetris terhadap titik (h,k).
X
c 2 + d 2 dan c > 0, d > 0 sehingga f(x,y)
C. BATAS NILAI
Pada sistim sumbu koordinat, titik (x,y) mempunyai koordinat bilangan
riil. Jadi untuk titik (x,y) di mana nilai x merupakan bilangan riil tetapi y
bilangan imajiner atau nilai y merupakan bilangan riil tetapi x bilangan
imajiner harus dikecualikan dan titiknya tidak digunakan. Hal ini disebabkan
variabel-variabel yang berpangkat genap dalam persamaan, penyelesaiannya
melibatkan akar dan bilangan negatif tidak mempunyai akar bilangan riil.
Akibatnya kurva harus dibatasi sedemikian rupa sehingga semua titik
mempunyai koordinat bilangan riil. Setiap variabel pada suatu persamaan,
sebaiknya dilihat apakah nilainya mempunyai batas.
Contoh 5.10:
Tentukan apakah kurva yang ditunjukkan oleh persamaan x2 + y2 = 25
mempunyai batas?
x2 = 25 - y2
x = ± 25 − y 2
Nilai di bawah tanda akar yaitu 25 - y2 akan bertanda negatif bila:
25 - y2 < 0
- y2 < - 25 atau y > ±5
dan batas untuk y adalah -5 < y < 5
Batas untuk x:
y2 = 25 - x2
ESPA4112/MODUL 5
5.9
y = ± 25 − X 2
Nilai di bawah tanda akar bertanda negatif bila:
25 - x2 < 0
- x2 < 25 atau x > ±5
dan batas untuk x adalah -5 < x < 5
D. ASIMTOTIS
Asimtot suatu kurva adalah suatu garis lurus yang didekati oleh kurva
dengan jarak yang semakin dekat dengan nol bila kurva tersebut semakin
jauh dari origin atau dapat pula dikatakan bahwa garis y = mx + b
merupakan asimtot kurva y = f(x), jika f(x) semakin dekat mx + b maka x
dan y nilainya bertambah tanpa batas. Jadi, f(x) mx + b jika x dan y ∞.
Pada umumnya garis asimtot yang banyak digunakan adalah garis
asimtot yang sejajar sumbu x atau sumbu y. Garis asimtot yang sejajar
dengan sumbu x disebut asimtot horisontal dan yang sejajar sumbu y disebut
asimtot vertikal dan didefinisikan:
Garis y = k adalah asimtot horisontal kurva y = f(x) bila y → k untuk
x → ∞.
Garis x = h adalah asimtot vertikal kurva y = f(x) bila x → h untuk y →
∞. Untuk kepentingan penggambaran suatu kurva, akan dibedakan arah
gerakan suatu kurva apakah x dan y nilainya terus bertambah besar tanpa
batas (x → +∞ ; y → +∞) atau x dan y nilainya terus berkurang tanpa batas (x
→ -∞; y → -∞). Di samping itu harus diperhatikan juga nilai variabel yang
tidak bertambah atau berkurang tanpa ada batasnya. Hal ini sangat berguna
untuk menentukan apakah suatu kurva mendekati asimtot dari kiri atau dari
kanan (untuk asimtot vertikal) atau mendekati asimtot dari atas atau dari
bawah (untuk asimtot horisontal).
5.10
Matematika Ekonomi 1
Contoh 5.11:
Asimtot vertikal
Asimtot horisontal
Y
Y
0
X
0
X
Contoh 5.12:
Tentukan apakah kurva yang ditunjukkan oleh persamaan xy-3x-4y-2= 0
mempunyai asimtot horisontal atau vertikal?
Langkah pertama adalah mengeluarkan x:
4y + 2
x=
y-3
Dari persamaan di atas dapat diketahui bahwa, jika y → +∞, maka x → 4
dan x > 4. Jika
y → -∞, maka x → 4 dan x < 4. Jadi x = 4 merupakan
asimtot vertikal yang didekati oleh kurva dari kiri dan kanan.
Langkah kedua adalah mengeluarkan y:
3x + 2
y=
x-4
Jika x → +∞, maka y → 3 dan y > 3, tetapi bila x → -∞ maka y → 3
dan y < 3. Jadi y = 3 merupakan asimtot horisontal yang didekati kurva dari
atas dan bawah.
Y
y=3
xy - 3x - 4y - 2 = 0
x=4
5.11
ESPA4112/MODUL 5
E. FAKTORISASI
Persamaan kurva f(x,y) = 0 mungkin dapat terjadi sebagai hasil perkalian
antara dua faktor atau lebih, atau f(x,y) = g(x,y) . h(x,y) = 0. Dengan
demikian maka grafik f(x,y) = 0 terdiri dari dua grafik yaitu g(x,y) = 0 dan
h(x,y) = 0, dan titik (x,y) yang memenuhi persamaan g(x,y) = 0 atau h(x,y) =
0 terletak pada f(x,y) = 0.
Contoh 5.13:
Buatlah grafik persamaan 2x2 + 3xy - 2y2 = 0
Faktorisasi:
2x2 - xy + 4xy - 2y2 = 0
x(2x - y) + 2y(2x - y) = 0
(2x - y) (x + 2y) = 0
Jadi grafik persamaan 2x2 + 3xy - 2y2 = 0 terdiri dari grafik dua garis
lurus yaitu:
2x - y = 0 dan x + 2y = 0.
Y
2x - y = 0
X
x + 2y = 0
L A TIH A N
Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas,
kerjakanlah latihan berikut!
1) y = (x + 2)(x - 3)2
2) y3 + xy2 - xy - x2 = 0
5.12
Matematika Ekonomi 1
3) y2 - 4xy - 1 = 0
4) xy - y - x - 2 = 0
5) x2y - x2 - 4y = 0
Petunjuk Jawaban Latihan
1)
(0,18)
y = (x + 2) (x – 3)2
(-2,0)
2)
(3,0)
X
Y
y = (x + 2) (x – 3)2
X
3)
Y
y=1
y2 - 4xy - 1 = 0
x=1
5.13
ESPA4112/MODUL 5
4)
Y
xy - x - y - 2 = 0
y = -1
x = -1
5)
Y
y=1
x2y- x2 – 4y = 0
x=2
RA NGK UMA N
Dalam menggambar grafik suatu kurva perlu diperhatikan Titik
penggal, Simetris, Asimtot, Faktorisasi. Titik penggal dengan sumbu x
diperoleh dengan memasukkan y = 0. Titik penggal dengan sumbu y
diperoleh dengan memasukkan x = 0.
Grafik persamaan f(x,y) simetris terhadap:
a. Sumbu x jika f(x,y) = f(x,-y) = 0
b. Sumbu y jika f(x,y) = f(-x,y) = 0
c. Titik origin jika f(x,y) = f(-x,-y) = 0
Batas nilai untuk variabel x dan y harus dicari sehingga dapat
diketahui selang untuk variabel x dan y yang menyebabkan titik (x,y)
mempunyai koordinat bilangan riil. Suatu kurva perlu diselidiki apakah
mempunyai garis asimtot. Garis y = k adalah asimtot horisontal kurva y
= f(x) bila y → k untuk x → ∞. Garis x = h adalah asimtot vertikal kurva
5.14
Matematika Ekonomi 1
y = f(x) bila x → h untuk y → ∞. Apabila f(x,y) = g(x,y) . h(x,y) = 0,
maka grafik f(x,y) terdiri dari dua grafik yaitu g(x,y) dan h(x,y) = 0.
TES FORMATIF 1
Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!
1) Batas kurva yang ditunjukkan oleh persamaan x 2 + y 2 =16 adalah ….
A. y ≥ 4 atau y ≤ − 4
B. y ≥ − 4 atau y ≤ 4
C. x ≥ 4 atau x ≤ − 4
D. x ≥ − 4 atau x ≤ 4
2) Di bawah ini yang bkan titik penggal persamaan (x − 5)(x + 3) 2
adalah ….
A. (0, -45
B. (0, -15)
C. (5, 0)
D. (-3, 0)
3) Suatu kurva yang ditunjukkan oleh persamaan
adalah ….
A. simetris terhadap sumbu x
B. simetris terhadap sumbu y
C. simetris terhadap origin
D. simetris terhadap sumbu x dan origin
x3 + x 2 y − y + 5 = 0
5.15
ESPA4112/MODUL 5
4) Grafik dari persamaan 12 x 2 − 5 xy − 2 y 2 = 0 adalah ….
A.
y
3x – 2y = 0
x
4x + y
B.
4x - y
3x – 2y
4
2
0
1
2
x
C.
y
x
3x + 2y
4x + y
5.16
Matematika Ekonomi 1
D.
y
4x - y
3x + 2y
5) Titik penggal dari grafik persamaan y = x 3 + x 2 − 12x −12 adalah ….
A. (3, 0), (-2,0), (0, 12)
B. (-3, 0), (2, 0), (0, -12)
C. (-3, 0), (-2, 0), (0, 12)
D. (3, 0), (-2, 0), (0, -12)
Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang
terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar.
Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan
Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.
Tingkat penguasaan =
Jumlah Jawaban yang Benar
× 100%
Jumlah Soal
Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali
80 - 89% = baik
70 - 79% = cukup
< 70% = kurang
Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat
meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%,
Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang
belum dikuasai.
5.17
ESPA4112/MODUL 5
Kegiatan Belajar 2
Fungsi Kuadratik
A. FUNGSI KUADRATIK
Suatu persamaan kuadrat mungkin dapat berbentuk suatu lingkaran elips,
parabola, hiperbola atau bentuk yang lain. Bentuk umum persamaan
kuadratik:
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
di mana: A,B,C,D,E dan F adalah konstan dan paling tidak salah satu dari
A,B dan C tidak bernilai sama dengan nol. Kurva yang menggambarkan
persamaan di atas dapat diperoleh dengan mengiris dua buah kerucut dengan
suatu bidang datar.
Parabola
Hiperbola
Elips
Lingkaran
Irisan yang didapat bisa berbentuk lingkaran, elips, parabola atau hiperbola.
Selain itu mungkin diperoleh pula bentuk-bentuk yang lebih khusus, yaitu
dua garis lurus yang berpotongan dan dua buah garis sejajar.
Dari persamaan kuadratik Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 dengan
mudah dapat diketahui secara cepat apakah kurvanya berbentuk lingkaran,
elips, parabola atau hiperbola.
Jika B = 0 dan A = C, maka irisan berbentuk lingkaran.
Jika B2 - 4 AC < 0, maka irisan berbentuk elips.
Jika B2 - 4 AC = 0, maka irisan berbentuk parabola.
Jika B2 - 4 AC > 0, maka irisan berbentuk hiperbola.
5.18
Matematika Ekonomi 1
Untuk kasus yang lebih khusus yaitu B = 0 dan paling tidak salah satu
dari A dan C tidak bernilai nol, maka irisan kerucut bentuknya dapat
diidentifikasi dengan menggunakan kriteria berikut ini:
Jika A = C, maka irisan berbentuk lingkaran.
Jika A=/ C, tetapi A dan C bertanda sama, maka irisan berbentuk elips.
Jika A = 0 atau C = 0 akan tetapi tidak sama dengan nol bersama-sama,
maka irisan berbentuk parabola.
Jika A dan C tandanya tidak sama, maka irisan berbentuk hiperbola.
1.
Lingkaran
Secara ilmu ukur, lingkaran didefinisikan sebagai tempat kedudukan
titik-titik pada bidang datar yang jaraknya dari suatu titik tertentu tetap. Titik
tertentu itu dinamakan pusat dan jarak titik-titik pada lingkaran ke pusat
dinamakan jari-jari lingkaran. Bentuk umum persamaan lingkaran adalah:
Ax2 + Ay2 + Dx + Ey + F = 0
Persamaan di atas dapat dibawa ke bentuk:
(x - h)2 + (y - k)2 = r2
di mana (h,k) merupakan pusat lingkaran dan r adalah jari-jari. Gambar
lingkaran tersebut adalah sebagai berikut:
Y
(h,k)
X
0
Contoh 5.14:
Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan:
x2 - 4x + y2 = 0
5.19
ESPA4112/MODUL 5
Bentuk umum lingkaran:
(x - h)2 + (y - k)2 = r2
x2 – 4x + y2 = 0 → ruas kiri dan kanan ditambah 4
x2 - 4x + 4 + y2 = 4
(x - 2)2 + (y - 0)2 = 22
Titik pusat (2,0), jari-jari = 2.
Y
(2,0)
X
•
0
Contoh 5.15:
Dari persamaan berikut tentukan bentuk standar dari lingkaran.
Tentukan letak titik pusat dan jari-jari lingkarannya.
x 2 + y 2 − 6x − 8y + 16 = 0
Bentuk umum lingkaran:
(x − h) 2 + (y − k) 2 = r 2
(x 2 − 6x + 9) + (y 2 − 8y + 16) = − 16 + 9 + 16
(x − 3) 2 + (y − 4) 2 = 32
Titik pusat (3, 4), jari-jari = 3.
2.
Elips
Secara ilmu ukur, elips didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik
pada bidang datar yang jumlah jaraknya dari dua buah titik tetap. Kedua titik
tersebut dinamakan fokus. Suatu elips dibagi secara simetris oleh dua sumbu
yang berpotongan tegak lurus. Yang panjang dinamakan sumbu panjang dan
yang pendek dinamakan sumbu pendek. Perpotongan kedua sumbu disebut
pusat elips.
Bentuk umum persamaan Elips adalah Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 di
mana A, C, A dan C berlainan tanda. Persamaan Elips dapat ditulis dalam
bentuk standar:
5.20
Matematika Ekonomi 1
(x - h ) 2
a2
+
(y - k ) 2
b2
=1
Pusat elips adalah (h,k) dan bila a > b, maka sumbu panjang sejajar
dengan sumbu x. Akan tetapi bila a < b, maka sumbu panjang sejajar dengan
sumbu y. Sumbu panjangnya 2a dan sumbu pendeknya 2b. Sumbu panjang
disebut jari-jari panjang dan sumbu pendek disebut jari-jari pendek.
Contoh 5.16:
Tentukan pusat elips, jari-jari panjang dan pendek dari elips yang
ditunjukkan oleh persamaan:
4x2 + 9y2 + 16x - 18y - 11 = 0
4(x2 + 4x + 4) + 9(y2 - 2y + 1) = 11 + 16 + 9
4(x + 2)2 + 9(y - 1)2 = 36
(x + 2) 2 (y - 1) 2
+
=1
9
4
Pusat elips (-2,1)
Jari-jari panjang = 9 = 3
Jari-jari pendek = 4 = 2
Y
(2,1)
X
0
Contoh 5.17:
Tentukan pusat elips, jari-jari panjang dan pendek dari elips yang
ditunjukkan oleh persamaan 9x2 + y2 + 36x + 2y + 28 = 0.
5.21
ESPA4112/MODUL 5
Bentuk umum persamaan elips:
(x - h ) 2 (y - k ) 2
+
=1
a2
b2
9(x2 + 4x + 4) + (y2 + 2y + 1) = -28 + 36 + 1
9(x + 2)2 + (y + 1)2 = 9
(x + 2) 2 (y + 1) 2
+
=1
1
9
Pusat elips (-2, -1).
Jari-jari panjang = 3
Jari-jari pendek = 1
Y
(-2,-1)
X
3.
Parabola
Secara ilmu ukur, parabola didefinisikan sebagai tempat kedudukan
titik-titik pada suatu bidang datar yang jaraknya ke suatu titik dan ke suatu
garis tertentu sama. Titik tersebut dinamakan fokus dan garisnya disebut
"directrix". Suatu parabola simetris terhadap suatu garis yang disebut sumbu.
Perpotongan sumbu parabola dengan parabola disebut dengan "vertex"
parabola. Persamaan umum dari suatu parabola yang sumbunya sejajar
sumbu y adalah:
Ax2 + Dx + Ey + F = 0,
Jika sumbunya sejajar sumbu x, persamaannya:
Cy2 + Dx + Ey + F = 0,
Bentuk persamaan standar dari parabola adalah:
(x - h)2 = 4p (y - k)
di mana (h,k) adalah vertex parabola dan sumbunya sejajar dengan sumbu y;
atau
(y - k)2 = 4p (x - h)
5.22
Matematika Ekonomi 1
di mana (h,k) adalah vertex parabola dan sumbu parabola sejajar dengan
sumbu x, sedang p adalah parameter yang tanda serta besarnya menentukan
keadaan bentuk parabola.
Untuk parabola yang sumbunya sejajar dengan sumbu y:
Jika p < 0, maka parabola terbuka ke bawah.
Jika p > 0, maka parabola terbuka ke atas.
Untuk parabola yang sumbunya sejajar dengan sumbu x:
Jika p < 0, maka parabola terbuka di sebelah kiri.
Jika p > 0, maka parabola terbuka di sebelah kanan.
Besarnya jarak antara titik fokus dan garis directrix adalah 2p. Apabila nilai p
semakin besar, maka parabola semakin cepat membuka. Bagian-bagian
parabola dapat Anda perhatikan pada gambar berikut.
Y
directrix
fokus
vertex
sumbu
2p
0
Contoh 5.18:
Jadikan bentuk standar persamaan parabola:
x2 - 4x + 4y + 16 = 0
dan tentukan vertexnya.
Bentuk standar parabola:
= 4p(y - k)
(x - h)2
2
x - 4x + 4y + 16
=0
= -4y - 16 + 4
x2 - 4x + 4
X
5.23
ESPA4112/MODUL 5
(x - 2)2 = -4 (y + 3)
Jadi parabola mempunyai vertex (2, -3); p = -1; sumbu sejajar dengan
sumbu y dan parabola terbuka ke bawah.
Y
0
X
x2 - 4x + 4y + 16 = 0
4.
Hiperbola
Secara ilmu ukur hiperbola didefinisikan sebagai tempat kedudukan
titik-titik pada bidang datar yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu
besarnya tetap. Hiperbola mempunyai dua sumbu yang membagi dua
hiperbola secara simetris dan yang memotong hiperbola disebut sumbu
"transverse". Pada suatu hiperbola terdapat dua buah garis asimtot yang
saling berpotongan. Titik potongnya disebut pusat hiperbola.
Bentuk umum persamaan hiperbola yaitu Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
di mana A dan C berlawanan tanda. Persamaan tersebut dapat dijadikan
bentuk standar untuk hiperbola.
( x − h )2 ( y − k )2
a2
+
b2
= 1 atau
( y − k )2 ( x − h )2
b2
+
a2
=1
di mana (h,k) adalah pusat hiperbola dan sumbu transverse sejajar dengan
sumbu x. Asimtot ditunjukkan oleh persamaan:
x−h
y−k
=±
a
b
Bila a = b, maka kedua asimtot berpotongan tegak lurus.
5.24
Matematika Ekonomi 1
Contoh 5.19:
Tentukan pusat hiperbola dan persamaan asimtotnya bila diketahui
persamaan hiperbola adalah 9x2 - 4y2 - 18x - 16y - 43 = 0.
Bentuk umum persamaan hiperbola:
(x - h ) 2 (y - k ) 2
(y - k ) 2 (x - h ) 2
atau
+
=
1
=1
a2
b2
b2
a2
9x2 - 4y2 - 18x - 16y - 43 = 0
9(x2 - 2x + 1) - 4(y2 + 4y + 4) = 43 + 9 - 16
9(x - 1)2 - 4(y + 2)2 = 36
(x - 1) 2 (y + 2) 2
+
=1
4
9
Jadi titik pusat hiperbola (1,-2), a = 2, b = 3.
Sumbu transverse sejajar dengan sumbu x.
Persamaan asimtot:
x−h
y−k
=±
a
b
x −1
y+2
=±
2
3
3x - 3 = ±(2y + 4)
Asimtot 1: 3x - 3 = 2y + 4 atau
3x - 2y - 7 = 0
Asimtot 2: 3x - 3 =-2y - y atau
3x + 2y + 1 = 0
5.25
ESPA4112/MODUL 5
Y
0
X
9x2 - 4y2 - 18x - 16y - 43 = 0
Telah disebutkan bila a = b, maka asimtot hiperbola akan saling berpotongan
tegak lurus. Apabila asimtot hiperbola sejajar dengan sumbu x dan sumbu y,
maka bentuk persamaan standar hiperbola menjadi:
(x - h) (y - k) = c
di mana (h,k) merupakan pusat hiperbola, x = h dan y = k merupakan
asimtotnya. Hal ini merupakan keadaan yang khusus dari hiperbola karena
dari Ax2 + bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, nilai A = C = 0 dan 0.
Bila asimtot hiperbola berimpit dengan sumbu x dan sumbu y, maka
bentuk persamaan hiperbola menjadi xy = c. Ini merupakan bentuk yang
lebih khusus lagi dari hiperbola karena
h = k = 0 dan persamaan (x - h)(y k) = c. Jenis hiperbola xy = C ini mempunyai titik pusat yang berimpit
dengan origin. Bila C > 0, maka kurva hiperbola terletak pada kuadran I dan
III dan bila C < 0, maka kurva hiperbola terletak pada kuadran II dan IV.
Persamaan xy = C menunjukkan hubungan kebalikan yang proporsional
antara x dan y yaitu bila suatu variabel nilainya bertambah besar, maka yang
lain akan turun nilainya secara proporsional. Suatu variabel y merupakan
kebalikan secara proporsional dengan variabel x apabila ada konstanta C
sedemikian rupa sehingga:
C
atau xy = C
y=
X
Dengan definisi tersebut di atas, secara umum dapat pula dikatakan
bahwa variabel y merupakan kebalikan secara proporsional dengan variabel x
berpangkat bilangan positif, jika ada konstanta C sedemikian rupa sehingga:
5.26
Matematika Ekonomi 1
y=
C
n
atau xny = C
X
Hiperbola ini mempunyai pusat di origin dengan asimtot yang berimpit
dengan sumbu x dan y dan disebut hiperbola Fermat.
Apabila n merupakan bilangan ganjil dan C > 0, maka hiperbola terletak
di kuadran I dan III pada sistim sumbu koordinat. Akan tetapi jika C < 0,
maka hiperbola terletak di kuadran II dan IV. Persamaan XnY = C, bila
dengan n yang nilainya genap, maka hiperbola terletak di kuadran I dan II
untuk C > 0 dan terletak di kuadran III dan IV untuk C < 0. Akan tetapi untuk
persamaan XYm = C dan m bernilai genap sedangkan C > 0, maka kurva akan
terletak pada kuadran I dan IV dan bila C < 0, maka kurva berada kuadran II
dan III.
Contoh 5.20:
Gambarkan persamaan x(y - 1) = - 2
Titik pusat: (0,1); Asimtot: x = 0 dan y = 1
Y
y =1
0
X
x(y - 1) = -2
L A TIH A N
Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas,
kerjakanlah latihan berikut!
1) x2 +y2 -6x -2y -6 = 0
2) xy -4y = 4
3) x2 +9y2 -8x +7 = 0
5.27
ESPA4112/MODUL 5
4) y2 - 4x2 -4y +4 = 0
5) y2 -2y -8x +25 = 0
Petunjuk Jawaban Latihan
1) Lingkaran dengan bentuk standarnya (x – 3)2 + (y – 1)2 = 4
Y
(3,1)
X
0
2) Hiperbola dengan bentuk standarnya (x – 4) + (y – 0) = 4
Y
0
X
xy – 4y = 4
x =4
5.28
Matematika Ekonomi 1
3) Elips dengan titik pusat (4,1); jari panjang 3 dan pendek 1
Y
(3,1)
X
0
4) Hiperbola dengan bentuk standarnya (y – 4) + (x – 0) = -4
Y
y =4
0
X
5) Parabola, dengan persamaan (y – 1)2 = 8 (x – 3)
Y
y2 -2y -8x +25 = 0
(3,1)
0
X
ESPA4112/MODUL 5
5.29
RA NGK UMA N
Bentuk umum fungsi kuadratik adalah:
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
Bentuk irisan kerucut untuk:
B = 0 dan A = C adalah lingkaran
B2 - 4AC < 0 adalah elips
B2 - 4AC = 0 adalah parabola
B2 - 4AC > 0 adalah hiperbola
Bila B = 0, maka irisan kerucut untuk:
A = C adalah lingkaran
A ≠ C tetapi A dan C tandanya sama, adalah elips
A = 0 atau C = 0 akan tetapi tidak nol bersama-sama adalah parabola
A dan C tandanya tidak sama adalah hiperbola
Bentuk-bentuk standar untuk:
Lingkaran : (x - h)2 + (y - k)2 = r2
(x - h ) 2 (y - k ) 2
+
=1
Elips
:
a2
b2
Parabola : (y - k)2 = 4p (x - h) atau (x - h)2 = 4p (y - k)
(x - h ) 2 (y - k ) 2
−
=1
Hiperbola :
a2
b2
TES FORMATIF 2
Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!
1) Titik pusat
dan jari-jari lingkaran dari persamaan lingkaran
2
2
x + y + 8x − 10y + 32 = 0 adalah….
A. titik pusat (4, 5) jari-jari = 3
B. titik pusat (-4, 5), jari-jari = 3
C. titik pusat (-4, 5), jari-jari = 4
D. titik pusat (5, -4), jari-jari = 4.
2) Jari-jari panjang dari elips yang ditunjukkan oleh persamaan
9x 2 + 4y 2 − 90x − 32y + 253 = 0 adalah ….
A. 9
B. 4
C. 3
5.30
Matematika Ekonomi 1
D. 2
3) Pernyataan di bawah ini yang benar untuk parabola dengan persamaan
y 2 − 10y + 8x + 1 = 0
adalah ….
A. parabola terbuka ke bawah, vertex = (3, 5)
B. parabola terbuka ke bawah, vertex = (-5, 3)
C. parabola terbuka di sebelah kiri, vertex = (5, 3)
D. parabola terbuka di sebelah kiri, vertex = (-3, 5)
4) Diketahui hiperbola dengan persamaan 9x 2 − y 2 − 36x + 10y + 2 = 0 .
Persamaan asimtot hiperbola itu adalah ….
A. 3x – y = 1 dan x + 3y = 11
B. 3x + y = 1 dan 3x – y = 11
C. 3x + y = 11 dan x – 3y = 1
D. 3x – y = 1 dan 3x + y = 11
5) Bentuk kurva dari persamaan x 2 − 9y 2 − 14x + 36y + 4 = 0
A. lingkaran
B. elips
C. parabola
D. hiperbola
adalah ….
Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang
terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar.
Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan
Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2.
Tingkat penguasaan =
Jumlah Jawaban yang Benar
× 100%
Jumlah Soal
Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali
80 - 89% = baik
70 - 79% = cukup
< 70% = kurang
ESPA4112/MODUL 5
5.31
Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat
meneruskan dengan Kegiatan Belajar 3. Bagus! Jika masih di bawah 80%,
Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang
belum dikuasai.
5.32
Matematika Ekonomi 1
Kunci Jawaban Tes Formatif
Tes Formatif 1
1) C
2) B
3) C
4) A
5) D
Tes Formatif 2
1) B
2) C
3) A
4) D
5) D
ESPA4112/MODUL 5
5.33
Daftar Pustaka
Baldani, Jeffrey, James Bradfield and Robert Turner. (1996). Mathematical
Economics, The Dryden Press, Harcourt Brace College Publisher.
Haeussler, Ernest F. and Richard S. Paul. (1996). Introductory Mathematical
Analysis for Business Economics, and The Life and Social Sciences,
Eighth Edition, Prentice Hall International Inc.
Hoy, Michael, John Livernois, Chris McKenna, Ray Rees and Thanasis
Stengos. (1996). Mathematics for Economics, Addison-Wesley Publisher
Limited,
Jacques, Ian. (1995). Mathematics for Economics and Business, Second
Edition, Addison-Wesley Publishing Company.
Silberberg, Eugene and Wing Suen. (2001). The Structure of Economics a
Mathematical Analysis, Irwin McGraw-Hill.
Kembali ke Daftar Isi