Logika Kalimat, Kalimat Dan Penghubung Kalimat, Pembuktian

LOGIKA KALIMAT, KALIMAT DAN PENGHUBUNG KALIMAT, PEMBUKTIAN
KELOMPOK 4
1. Rochayati
(14144100120)
2. Safrida Setyaningsih
(14144100124)
3. Ernawati
(14144100125)
4. Siti Aziza
(14144100138)
5. Ambar Retno M
(14144100150)
Prodi Pendidikan Matematika
FKIP UPY TA 2014/205
A. LOGIKA KALIMAT
1. Semesta Pembicaraan
Suatu pembicaraan yang menguraikan hubungan antara
obyek-obyek tertentu. Keseluruhan dari obyek-obyek yang
dibicarakan atau dipaparkan disebut semesta pembicaraan (universe
of discourse).
Contoh : Kita berbicara tentang orang-orang
2. Kalimat Deklaratif
Kalimat pernyataan/ statemen/ kalimat deklaratif/ proposisi
adalah kalimat berarti yang dapat diketahui benar atau salahnya, tetapi
tidak sekaligus keduanya. Benar atau salah disebut nilai kebenaran.
Contoh pernyataan:
4 adalah bilangan genap. (pernyataan bernilai benar)
3. Konstan Nominal, Denotasi, dan Designasi
a) Konstan nominal
Konstan nominal adalah lambang yang merupakan unsur bahasa
untuk menunjukkan suatu anggota tertentu dari semesta pembicaraan.
b) Denotasi dan Designasi
Apa yang dilambangkan dari suatu lambang disebut denotasi.
Lambangnya sendiri disebut designasi dari apa yang dilambangkan
olehnya.
Contoh : Designasi dari seorang pemuda adalah namanya, sedangkan
pemuda adalah denotasi dari nama itu.
4. Variabel
Variabel adalah lambang yang melambangkan
anggota sembarang dari semesta pembicaraan.
Contoh :
x2 – 3x + 2 = 0
Lambang dari contoh tersebut adalah variabel x.
B. KALIMAT DAN PENGHUBUNG KALIMAT
1. Konjungsi
Konjungsi dari pernyataan p dan pernyataan q adalah pernyataan majemuk
yang berbentuk “p dan q” dan ditulis dengan simbol “p ^ q “.
Nilai kebenaran dari konjungsi :
Konjungsi “p ^ q” bernilai benar jika dan hanya jika p bernilai Benar dan q bernilai
Benar.
p
q
p^q
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
S
S
2. Disjungsi
Disjungsi dari pernyataan p dan q adalah pernyataan majemuk dalam
bentuk “p atau q” yang dituliskan dengan notasi atau lambang “p v q”.
Nilai kebenaran disjungsi
“p v q bernilai salah hanya jika p bernilai salah dan q bernilai salah”.
P
q
pvq
B
B
B
B
S
B
S
B
B
S
S
S
3. Negasi / Ingkaran
Negasi / ingkaran dari suatu pernyataan adalah
pernyataan yang menyangkal kebenaran dari suatu suatu
pernyataan.
Ingkaran dari suatu pernyataan p ditulis p.
Jika p suatu pernyataan yang bernilai benar, maka ingkaran dari p
atau p bernilai salah, dan jika q pernyataan yang bernilai salah, maka
ingkaran dari q atau q bernilai benar.
Tabel nilai kebenaran dari ingkaran :
p
p
(p)
B
S
B
S
B
S
4. Implikasi (Pernyataan bersyarat)
Implikasi dari pernyataan p dan q adalah pernyataan majemuk yang
disusun dalam bentuk “Jika p maka q” dan dilambangkan “p  q “.
Pernyataan p disebut anteseden dan pernyataan q disebut konsekuen.
Nilai kebenaran implikasi :
“ Suatu implikasi “ p  q “ bernilai salah hanya jika p benar dan q salah”.
Tabel Nilai Kebenaran :
P
q
pq
B
B
B
B
S
S
S
B
B
S
S
B
5. Biimplikasi
Biimplikasi dari pernyataan p dan q adalah pernyataan
majemuk yang dituliskan dalam bentuk “ p jika dan hanya jika
q”, dan dilambangkan “p  q”.
Nilai Kebenaran Biimplikasi :
“ Biimplikasi p  q bernilai benar jika dan hanya jika p dan q
sama – sama bernilai benar atau p dan q sama – sama bernilai
salah”.
Tabel nilai kebenaran :
P
q
pq
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
S
B
6. Urutan Mengerjakan Operasi Menghubungkan Kalimat
Operasi dalam hal ini dimaksudkan adalah kata penghubung kalimat
yaitu negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi.
Perhatikan kalimat majemuk berikut
(A  B)  (( A & C )  ( B & C))
Dengan adanya tanda kurung kita mengetahui urutan
mengerjakan operasi yang diatas. Tapi apabila kalimatnya
mengandung banyak operasi, maka diperlukan banyak tanda
kurung. Untuk mengurangi tanda banyaknya kurung tersebut
maka diadakan kesepakatan berupa urutan kuasa operasi
sebagai berikut :
1. Negasi
2. Konjungsi
3. Disjungsi
4. Implikasi
5. Biimplikasi
Setelah adanya kesepakatan diatas maka kalimat
“ A  ( B & C )” dapat ditulis sebagai “ A  B & C”.
C. Pembuktian
1. Variabel Kalimat
Simbol yang melambangkan sebarang fakta (peristiwa) disebut variabel
kalimat, yang ditulis dengan “p”,”q”,”r” dan sebagainya.
Misalkan diberikan bentuk-bentuk.
“p^q”
“(p^r)q”
Bentuk-bentuk yang memuat variabel kalimat dan yang menyajikanhukumhukum logika kalimat disebut tautologi.
2. Tautologi
Tautulogi adalah pernyataan majemuk yang nilai kebenarannya selalu benar.
Tabel kebenarannya :
p
Q
pq
pq
(p  q)  (p  q)
B
B
B
B
B
B
S
S
B
B
S
B
S
B
B
S
S
S
S
B
Dari tabel diatas, nilai kebenaran dari (p  q)  (p  q) selalu
bernilai benar, sehingga (p  q)  (p  q) merupakan suatu tautologi.
3. Kontradiksi
Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang nilai kebenarannya
selalu salah.
Contoh pernyataan majemuk yang merupakan kontradiksi :
(pq)  (pq)
Tabel nilai kebenarannya:
p
Q
q
pq
pq
(pq)(pq)
B
B
S
B
S
S
B
S
B
S
B
S
S
B
S
S
B
S
S
S
B
S
B
S
Dari tabel diatas, nilai kebeneran dari : (pq)  (pq) selalu
bernilai salah, sehingga (pq)  (pq) merupakan suatu kontradiksi.
4. Rumus – Rumus Tautologi
Di bawah ini diberikan rumus-rumus tautologi. Semua rumus dapat
dibuktikan dengan menggunakan metode tabel nilai.
Rumus 2.1 (Komutatif)
1. p^ q  q ^p
2. p v q qv p
Rumus 2.2 (Distributif)
1. p ^(q v r)  (p^q) v(p^r) 2. p v(q^r) (p v q) ^ (p v r)
Rumus 2.3
1. p ^ B T ^ pp
3.p v SS v p p
2. p ^ S S v pS
4. p v BB v p B
Rumus 2.4
1.p ^ p B
2. p ^ p S
Rumus 2.5 (Asosiatif)
1. p ^(q v r) (p ^ q)^ r)
2. p v(q v r)  (p v q)v r
Rumus 2.6 (Identitas, negasi rangkap dan idempoten)
1. pp
2. p p
3. p ^ pp
4. q v p p
Rumus 2.7 (Hukum De Morgan)
1. p^ q ( p ^ q )
2. pVq ( p v q )
Rumus 2.8
1. p  q (p ^ q )
2. p  q ((p^ q ) v ( p  q))
Rumus 2.9
1. (Bp) p
3. (pB) p
2. (Sp) B
4. (pS)  p
Rumus 2.10 Hubungan implikasi dan biimplikasi dengan negasi,
konjungsi dandisjungsi.
1. (pq)( p v q)
3. (pq)  (( p v q) ^ (p v q )
2. (pq)  p^ q
4. (pq) ((p ^ q) v ( p ^ q )
Rumus 2.11
1. (pq)  (p q) ^ (q p))
2. ((pq) ^ ((qr)  (pr).(sifat transitif)
Rumus 2.12
1. (p(q  r)  (q  (pr))
2. (p(q  r)  ((p^q)  r)
5. Reducsio ad Absurdum
Reductio ad absurdum (pembuktian melalui kontradiksi)
Bila p suatu pernyataan yang akan dibuktikan kebenarannya,
maka untuk membuktikan dengan cara kontradiksi, kita menganggap p
salah. Kemudian diuraikan sehingga menemukan hal yang bertentangan
dengan ketentuan hukum dalam logika yang telah diakui kebenarannya.
Contoh :
Buktikaan cara tak lngsung bahwa : jika n2 ganjil, maka n ganjil.
Bukti :
Misalkan : p : “jika n2 ganjil, maka n ganjil “adalah sebuah implikasi.
Maka : p : “n2 ganjil dan n tidak ganjil “ BOLEH JUGA “ n2 ganjil dan
n genap”.
p = “ n2 ganjil dan n genap “ adalah suatu pernyataan yang jelas salah.
Dengan demikian p : “ jika n2 ganjil, maka n ganjil “ adalah pernyataaan
yang benar.
Sumber :
Modul kelas XII semester 2 SMAN 2 WATES
http://pasca.undiksha.ac.id/e-learning/staff/dsnmateri/6/1-30.pdf
TERIMAKASIH