2 Elektron Sebagai Gelombang

Darpublic
www.darpublic.com
Elektron Sebagai Gelombang
Sudaryatno Sudirham
Dalam perkembangan pemahaman mengenai atom, de Broglie mengajukan postulat
bahwa partikel yang bergerak dengan kecepatan tertentu dapat dipandang sebagai
gelombang yang merambat dengan arah yang sama dengan arah kecepatan partikel.
Dengan postulat tersebut, upaya untuk memahami atom terpecah menjadi dua aliran atau
dua cara pendekatan. Cara pertama adalah cara pengamatan eksperimental dan cara kedua
adalah pendekatan matematis. Walaupun pendekatan matematis pada awalnya mendapat
tentangan yang keras namun cara ini justru memberikan hasil yang lebih akurat. Teori atom
Bohr misalnya, yang berbasis pada pengamatan atas spektrum gelombang radiasi partikel,
dan mampu menjelaskan dengan baik struktur atom hidrogen, namun tidak dapat
menjelaskan atom-atom dengan nomer yang lebih tinggi. Kesulitan itu ternyata dapat
diatasi melalui pendekatan matematis. Ulasan kita berikut ini adalah dalam upaya
memahami pengertian tentang partikel sebagai gelombang, dan bukan dimaksudkan untuk
menelusuri ataupun membuktikan pernyataan bahwa partikel dapat dipandang sebagai
gelombang.
Gelombang
Gambaran kita mengenai partikel secara umum adalah bahwa partikel menempati
suatu ruang yang terbatas. Jika suatu gelombang dapat menyatakan suatu partikel maka
gelombang tersebut haruslah menempati ruang yang terbatas pula. Gelombang yang
demikian keadaannya tentulah bukan merupakan gelombang tunggal melainkan suatu
gelombang komposit, yaitu gelombang yang tersusun dari banyak bentuk gelombang dasar
sinus, yang akan kita lihat berikut ini.
Gelombang Tunggal. Suatu bentuk gelombang sinus tunggal dengan amplitudo Am,
frekuensi sudut ω, dan pergeseran sudut θ, kita tuliskan sebagai u = Am cos(ωt − θ) atau
dengan menggunakan notasi kompleks
u = Am e j ( ωt −θ)
(1)
Jika θ merupakan fungsi x, θ = kx , dengan k adalah bilangan gelombang, k = 2π / λ , dimana λ
adalah panjang gelombang, maka (1) menjadi
u = Am e j ( ωt − kx)
(2)
Persamaan (2) ini merupakan persamaan gelombang sinus yang merupakan fungsi dari t
(waktu) dan x (posisi). Persamaan u = Am e j (ωt −kx ) adalah persamaan untuk gelombang maju
karena untuk suatu nilai amplitudo yang konstan, x harus makin besar dengan
bertambahnya t; dalam hal ini gelombang merambat ke arah sumbu x positif. Persamaan
untuk gelombang mundur adalah u = Am e j (ωt + kx) .
Sudaryatno Sudirham, “Elektron Sebagai Gelombang”
1/8
Darpublic
www.darpublic.com
Kecepatan rambat gelombang dapat dicari dengan melihat perubahan posisi
amplitudo. Untuk gelombang maju, amplitudo yamg bernilai konstan akan memenuhi
ωt − kx = 0 atau x =
ωt
. Kecepatan rambat gelombang adalah
k
vf =
dx ω
= = f λ
dt k
(3)
dengan f adalah frekuensi siklus. Kecepatan ini disebut kecepatan fasa. Bentuk gelombang
tunggal ini merupakan bentuk gelombang non-kausal.
Paket Gelombang
Kita lihat suatu bentuk gelombang komposit yang merupakan jumlah dari n gelombang
sinus yang masing-masing mempunyai amplitudo Amn , frekuensi ωn , dan bilangan
gelombang kn , yaitu u = ∑ Amn e j (ωnt −k n x ) . Gelombang komposit ini adalah gelombang maju
n
yang dapat kita tuliskan sebagai
u=

∑ Amne j(ω t −k x) = ∑
n
n

n

=

∑
n
n
Amn j[(ωn −ω0 )t −( k n −k0 ) x] 
j (ω t −k x)
e
 A0e 0 0
A0

(4)
Amn j[( ∆ωn )t −( ∆kn ) x ] 
j (ω t − k x)
e
 A0e 0 0
A0

dengan k 0 , ω0 , A0 berturut-turut adalah nilai tengah dari bilangan gelombang, frekuensi dan
amplitudo. Dalam tinjauan ini kita membatasi variasi nilai bilangan gelombang k pada selang


yang sempit, yaitu  k 0 −
∆k 
∆k 

 ≤ k ≤  k0 +
 . Selain itu perbedaan nilai k antara gelombang2 
2 

gelombang sinus tersebut sangat kecil sehingga perubahan nilai k dapat dianggap kontinyu.
Kita menganggap pula bahwa dalam selang variasi bilangan gelombang yang sempit ini,
amplitudo dari masing-masing gelombang penyusun tidak terlalu bervariasi sehingga
Amn / A0 ≈ 1 . Dengan anggapan ini maka (4) menjadi

u=


∑ e j[(∆ω )t −(∆k ) x]  A0 e j (ω t −k x) = S ( x, t ) A0 e j (ω t −k x)
n
n
0
0
0
0
(5)

n
Apa yang berada dalam tanda kurung pada (5) , yang kita sebut S ( x, t ) , merupakan
suatu faktor yang akan membuat amplitudo gelombang menjadi fungsi dari x dan t.
Bagaimana bentuk amplitudo sebagai fungsi x, dapat kita lihat pada suatu t tertentu,
misalnya pada t = 0. Pada t = 0, bentuk amplitudo gelombang menjadi

A( x,0) = S ( x,0) A0 = 


∑ e − j (∆k ) x  A0
(6)
n

n
Karena perubahan k dianggap kontinyu maka
S ( x,0 ) =
∑
e − j ( ∆k n ) x =
n
(
+ ∆k / 2
− j ( ∆k ) x
∫
e
− ∆k / 2
d∆k =
)
1 − j ( ∆k ) x
e
− jx
+ ∆k / 2
− ∆k / 2
(7)
2 sin( x∆k/2)
1
e − j ( ∆k ) x / 2 − e + j ( ∆k ) x / 2 =
=
x
− jx
Sudaryatno Sudirham, “Elektron Sebagai Gelombang”
2/8
Darpublic
www.darpublic.com
Dengan demikian maka persamaan gelombang komposit (2.5) untuk t = 0 menjadi
u t =0 =
2 sin( x∆k/2)
A0 e − jk0 x
x
(8)
Persamaan (8) menunjukkan bahwa amplitudo gelombang komposit ini merupakan fungsi
dari x yang dinyatakan dengan adanya faktor S(x), dan kita katakan bahwa amplitudo
gelombang ini terselubung oleh fungsi S ( x) =
2 sin( x∆k/2)
.
x
Bentuk gelombang (8) yang diperoleh untuk t = 0 ini merupakan bentuk gelombang
sebagai fungsi x yang bebas dari waktu (t = 0) yang dapat dituliskan sebagai
u t = A( x)e − jk0 x = A( x)e sx
(9)
Limit fungsi selubung
S ( x) =
2 sin( x∆k/2)
x
adalah ∆k jika x→0 dan 0 jika x→∞; jika digambarkan akan terlihat seperti pada Gb.1.
∆x
selubung S(x) =
Gb.1. Paket gelombang.
Kita katakan bahwa gelombang komposit ini berada dalam selubung atau paket dan kita
sebut sebagai paket gelombang. Paket gelombang ini mempunyai amplitudo maksimum di
suatu titik dan nilainya menurun dengan cepat di luar titik tersebut. Bentuk gelombang
seperti inilah yang dapat dipakai untuk menyatakan partikel dengan pengertian bahwa
posisi partikel adalah di sekitar nilai maksimum gelombang ini. Lebar daerah di sekitar nilai
maksimum ini, yang kita sebut lebar paket gelombang, harus kita definisikan. Pendefinisian
ini agak bebas sehingga kita tidak menentukan posisi elektron secara pasti melainkan
menentukan rentang x di mana elektron mungkin berada; hal ini perlu kita sadari jika kita
menyatakan elektron dengan fungsi gelombang. Jika kita ambil nilai (∆k x / 2) = π / 2 maka
pada x = ± π / ∆k amplitudo telah menurun sampai 63% dari nilai maksimumnya. Nilai x ini
kita pakai sebagai batas lebar paket gelombang sehingga lebar paket gelombang pada
Gb.2.4 adalah
∆x = 2 ×
π
∆k
(10)
Hubungan antara sebaran bilangan gelombang, ∆k, dan lebar paket gelombang, ∆x, menjadi
∆k ∆x = 2 π
Sudaryatno Sudirham, “Elektron Sebagai Gelombang”
(11)
3/8
Darpublic
www.darpublic.com
Dari persamaan gelombang komposit (5)

u=


∑ e j[(∆ω )t −(∆k ) x]  A0 e j (ω t −k x) = S ( x, t ) A0 e j (ω t −k x)
n
n
0
0
0
0

n
kita dapat mendefiniksikan dua macam kecepatan. Yang pertama adalah kecepatan fasa
v f = ω 0 / k 0 seperti yang telah kita kenal pada gelombang tunggal. Yang kedua adalah
kecepatan group yang dapat kita lihat dari amplitudo gelombang komposit S ( x, t ) A0 .
Amplitudo gelombang ini akan mempunyai bentuk yang sama bila S ( x, t ) = konstan . Hal ini
akan terjadi jika (∆ω n )t = (∆k n ) x untuk setiap n. Dari sini didefinisikan kecepatan group
sebagai
vg =
∂x ∆ω ∂ω
=
=
∂t ∆k ∂k
(12)
karena ∆k dianggap cukup kecil. Kecepatan group ini merupakan kecepatan rambat paket
gelombang. Karena paket ini mewakili elektron maka vg juga merupakan kecepatan
elektron.
Panjang Gelombang de Broglie
De Broglie memberikan relasi panjang gelombang yaitu
λ=
h
p
(13)
di mana h adalah konstanta Planck dan p adalah momentum elektron. Kita akan mencoba
memahami formula (13) ini, melalui formulasi Einstein tentang kuantisasi energi.
Menurut Einstein gelombang elektromagnetik (cahaya) memiliki energi yang terkuantisasi
dalam paket-paket energi yang disebut photon:
E ph = hf = h
ω
= hω
2π
(14)
dengan f adalah frekuensi siklus dan h = h / 2π . Kalau energi gelombang dapat dinyatakan
sebagai energi partikel photon dengan formula (14), maka energi partikel elektron yang
dipandang sebagai gelombang haruslah dapat dinyatakan dengan menggunakan formula
yang sama. Sebuah elektron-bebas, yang tidak mendapat pengaruh medan potensial
apapun, jika dipandang sebagai gelombang harus memiliki energi
E = E k = hω
(15)
Kecepatan elektron ve sama dengan kecepatan group vg dari paket gelombang. Jadi
energi kinetik elektron sebagai partikel E k = mv e2 / 2 = mv g2 / 2 harus sama dengan energi
elektron sebagai gelombang (15), sehingga
mv g2
2
= hω
(16)
Jika (16) diturunkan secara parsial terhadap k (bilangan gelombang) akan diperoleh
mv g
∂v g
∂k
=h
∂ω
∂k
(17)
Karena menurut (11) v g = ∂ω / ∂k maka (17) memberikan
Sudaryatno Sudirham, “Elektron Sebagai Gelombang”
4/8
Darpublic
www.darpublic.com
mv g
∂v g
∂k
= hv g
atau
m
∂v g
∂k
=h
(18)
Integrasi (18) memberikan
mv g = hk = h
2π h
=
λ λ
(19)
Dari (19) kita peroleh
λ=
h
h
=
mv g
p
(20)
Inilah relasi (13) yang diberikan oleh de Broglie; panjang gelombang ini disebut panjang
gelombang de Broglie.
1
Dari (19) kita peroleh nilai momentum elektron sebagai gelombang
p = mv g = hk
(21)
dan kecepatan elektron sebagai gelombang
0
ve = v g =
hk h 2π
h
=
=
m m λ mλ
(22)
Percobaan Thomson
Pada 1927 George Paget Thomson (1892 - ), fisikawan Inggris, melakukan percobaan
untuk mempelajari perilaku berkas elektron yang ditembakkan menembus lapisan tipis
material kristal. Berkas elektron ini, setelah menembus kristal, mengenai lempeng film.
Gambar yang diperoleh pada lempeng film berupa lingkaran-lingkaran konsentris yang
menunjukkan bahwa berkas elektron mengalami difraksi seperti halnya gelombang sinar-x
yang didefraksi oleh material polikristal. Kesimpulan yang diperoleh: elektron berperilaku
seperti gelombang.
Percobaan Davisson dan Germer
Davisson dan Germer menembakkan berkas elektron dengan energi tertentu pada
permukaan kristal tunggal nikel. Skema percobaannya terlihat seperti pada Gb.2.
penembak elektron
berkas elektron
θ
detektor
pantulan elektron
θ
kristal tunggal
Gb.2.2. Skema percobaan Davisson dan Germer.[3].
Pantulan berkas elektron oleh permukaan kristal ternyata mencapai nilai maksimum pada
sudut tertentu, sesuai dengan relasi Bragg
nλ = 2d sin θ
Sudaryatno Sudirham, “Elektron Sebagai Gelombang”
(23)
5/8
Darpublic
www.darpublic.com
dengan n adalah bilangan bulat, λ adalah panjang gelombang, dan d adalah jarak dua bidang
kisi yang berurutan dalam kristal. Panjang gelombang λ tergantung dari energi elektron yang
ditembakkan yang berarti tergantung dari tegangan akselerasi pada penembak elektron.
Nilai maksimum ini ditafsirkan sebagai interferensi yang saling menguatkan, artinya
gelombang pantulan mempunyai fasa yang sama.
Persamaan (23) menunjukkan bahwa perbedaan sudut antara dua pantulan maksimum yang
berurutan, atau sinθ, tergantung dari λ/d. Jadi jika panjang gelombang terlalu kecil maka
posisi pantulan maksimum akan sangat berdekatan. Untuk memperoleh resolusi yang baik,
panjang gelombang harus mendekati jarak kisi kristal d yang kurang dari satu nanometer.
Panjang gelombang ditentukan oleh tegangan akselerasi penembak elektron (karena
tegangan akselerasi menentukan kecepatan elektron) melalui hubungan
mv e2
= eV aksel
2
(24)
dan kecepatan elektron akan menentukan λ melalui hubungan
ve =
h
mλ
(25)
Untuk memperoleh λ = 0,1 nm, tegangan akselerasi yang diperlukan adalah 150 V, dan
pada tegangan sekitar inilah Davisson dan Germer bekerja. Dengan demikian percobaan ini
memberikan konfirmasi bahwa elektron ber-perilaku seperti gelombang.
Prinsip Ketidak-pastian Heisenberg
Dalam pernyataan elektron sebagai gelombang, posisi elektron ditentukan oleh posisi
paket gelombang. Akan tetapi paket gelombang tidaklah menempati ruang yang cukup
sempit, melainkan mempunyai lebar yang kita beri notasi ∆x pada Gb.2.4. Jika posisi
mengandung ketidak-pastian, maka kecepatan juga mengandung ketidak-pastian karena
v = dx / dt . Jika kecepatan mengandung ketidak-pastian maka momentum pun mengandung
ketidak-pastian. Heisenberg memberikan hubungan ketidak pastian momentum dan posisi
sebagai
∆p ∆x ≥ h
(26)
yang dapat kita pahami sebagai berikut. Menurut (21) momentum elektron adalah p = hk
yang berarti perubahan momentum ∆p = h∆k ; sementara itu (9) memberikan relasi
∆k ∆x = 2π (ingat bahwa kita agak bebas menentukan ∆x). Dari kedua relasi ini dapat kita
peroleh (26) dan inilah relasi ketidak-pastian Heizenberg yang terkenal. Relasi ini
menunjukkan bahwa ketidak-pastian posisi elektron terkait dengan ketidak-pastian
momentum. Jika kita hendak mengetahui posisi elektron dengan teliti maka ketidak-pastian
momentum akan besar; demikian pula sebaliknya jika kita hendak mengetahui momentum
dengan teliti maka ketidak-pastian posisi akan besar.
Karena perubahan momentum terkait pada perubahan energi maka terdapat pula ketidakpastian energi. Dari relasi energi E = hf , kita mendapatkan bahwa perubahan energi
sebanding dengan perubahan frekuensi, ∆E = h∆f = h / ∆t . Dari sini didapatkan relasi
ketidak-pastian energi dan waktu sebagai
∆E ∆t ≥ h
Sudaryatno Sudirham, “Elektron Sebagai Gelombang”
(27)
6/8
Darpublic
www.darpublic.com
Dualisme Pandangan Mengenai Elektron
Dalam dualisme antara elektron sebagai partikel dan elektron sebagai gelombang,
beberapa hal perlu kita catat.
• Bahwa elektron dapat dipandang sebagai gelombang tidaklah berarti bahwa elektron
adalah gelombang; akan tetapi kita dapat mempelajari gerakan elektron dengan
menggunakan persamaan diferensial yang sama bentuknya dengan persamaan
diferensial untuk gelombang.
• Elektron sebagai partikel mempunyai massa tertentu, m. Elektron sebagai gelombang
mempunyai massa nol, tetapi memiliki panjang gelombang yang terkait dengan massa
dan kecepatan elektron yaitu λ = h / mve = h / mv g .
• Elektron sebagai partikel memiliki energi total yang terdiri dari energi potensial dan
energi kinetik yaitu
E = E p + E k = E p + mv e2 / 2 . Elektron sebagai gelombang
mempunyai energi total E = hf = hω .
• Elektron sebagai partikel mempunyai momentum p = mve2 / 2 . Elektron sebagai
gelombang memiliki momentum p = hk = h / λ .
• Kita tidak dapat menentukan momentum dan posisi elektron secara simultan dengan
masing-masing mempunyai tingkat ketelitian yang kita inginkan secara bebas. Kita
dibatasi oleh prinsip ketidakpastian Heisenberg: ∆p ∆x ≥ h . Demikian pula halnya
dengan energi dan waktu: ∆E ∆t ≥ h .
Sudaryatno Sudirham, “Elektron Sebagai Gelombang”
7/8
Darpublic
www.darpublic.com
Beberapa Konstanta Fisika
Kecepatan rambat cahaya
Bilangan Avogadro
Konstanta gas
Konstanta Planck
Konstanta Boltzmann
Permeabilitas
Permitivitas
Muatan elektron
Massa elektron diam
Magneton Bohr
c
N0
R
h
kB
µ0
ε0
e
m0
µB
3,00 × 10 meter / detik
23
6,02 × 10 molekul / mole
o
8,32 joule / (mole)( K)
−34
6,63 × 10 joule-detik
o
1,38 × 10−23 joule / K
−6
1,26 × 10 henry / meter
8,85 × 10−12 farad / meter
1,60 × 10−19 coulomb
9,11 × 10−31 kg
2
9,29 × 10−24 amp-m
8
Pustaka
(berurut sesuai pemakaian)
1.
Zbigniew D Jastrzebski, “The Nature And Properties Of Engineering
Materials”, John Wiley & Sons, ISBN 0-471-63693-2, 1987.
2.
Daniel D Pollock, “Physical Properties of Materials for Engineers”, Volume I,
CRC Press, ISBN 0-8493-6200-6, 1982
3.
William G. Moffatt, George W. Pearsall, John Wulf, “The Structure and
Properties of Materials”, Vol. I Structure, John Wiley & Sons, ISBN 0 471
06385, 1979.
4.
Marcelo Alonso, Edward J. Finn, “Fundamental University Physics”,
Addison-Wesley, 1972.
5.
Robert M. Rose, Lawrence A. Shepard, John Wulf, “The Structure and
Properties of Materials”, Vol. IV Electronic Properties, John Wiley & Sons,
ISBN 0 471 06388 6, 1979.
6.
Sudaryatno Sudirham, P. Gomes de Lima, B. Despax, C. Mayoux, “Partial
Synthesis of a Discharge-Effects On a Polymer Characterized By Thermal
Stimulated Current” makalah, Conf. on Gas Disharge, Oxford, 1985.
7.
Sudaryatno Sudirham, “Réponse Electrique d’un Polyimide Soumis à une
Décharge Luminescente dans l’Argon”, Desertasi, UNPT, 1985.
8.
Sudaryatno Sudirham, “Analisis Rangkaian Listrik”, Bab-1 dan Lampiran-II,
Penerbit ITB 2002, ISBN 979-9299-54-3.
9.
W. Tillar Shugg, “Handbook of Electrical and Electronic Insulating
Materials”, IEEE Press, 1995, ISBN 0-7803-1030-6.
10. Daniel D Pollock, “Physical Properties of Materials for Engineers”, Volume
III, CRC Press, ISBN 0-8493-6200-2, 1982.
11. Jere H. Brophy, Robert M. Rose, John Wulf, The Structure and Properties of
Materials, Vol. II Thermodynamic of Structure, John Wiley & Sons, ISBN 0
471 06386 X, 1979.
12. L. Solymar, D. Walsh, “Lectures on the Electrical Properties of Materials”,
Oxford Scie. Publication, ISBN 0-19-856192-X, 1988.
13. Daniel D Pollock, “Physical Properties of Materials for Engineers”, Volume
II, CRC Press, ISBN 0-8493-6200-4, 1982.
14. G. Bourne, C. Boussel, J.J. Moine, “Chimie Organique”, Cedic/ Ferdinand
Nathan, 1983.
15. Fred W. Billmeyer, Jr, “Textbook of Polymer Science”, John Wiley & Son,
1984.
Sudaryatno Sudirham, “Elektron Sebagai Gelombang”
8/8