analisis kestabilan model mangsa-pemangsa dengan interferensi
advertisement
ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA DENGAN INTERFERENSI ANTARPEMANGSA FIKRI AZHARI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013 1 ABSTRAK FIKRI AZHARI. Analisis Kestabilan Model Mangsa-Pemangsa dengan Antarpemangsa. Dibimbing oleh ALI KUSNANTO dan TONI BAKHTIAR. Interferensi Dalam karya ilmiah ini direkonstruksi model mangsa-pemangsa dari tiga spesies hewan dalam suatu rantai makanan, dengan dua spesies pemangsa dan satu spesies mangsa yang disusun oleh Feng et al. (2010). Dari model tersebut diteliti pengaruh dari interferensi antarpemangsa berdasarkan tingkat kejenuhan dan persaingannya. Hasil analisis diperoleh lima titik tetap, dimana dua diantaranya bersifat sadel. Pengaruh tingkat kejenuhan dan persaingan terhadap dinamika populasi ditunjukkan dengan pendekatan numerik, dari empat kondisi. Kondisi pertama, tingkat kejenuhan kedua spesies pemangsa lebih besar dibandingkan dengan persaingannya, sedangkan kondisi kedua tingkat persaingan pemangsa kedua spesies pemangsa lebih besar dibandingkan dengan tingkat kejenuhannya. Kondisi ketiga tingkat kejenuhan pemangsa I lebih besar dibandingkan dengan tingkat persaingannya, tetapi tingkat kejenuhan pemangsa II lebih kecil dibandingkan tingkat persaingannya. Kondisi keempat tingkat kejenuhan pemangsa I lebih kecil dibandingkan dengan tingkat persaingannya, tetapi tingkat kejenuhan pemangsa II lebih besar dibandingkan tingkat persaingannya. Secara umum, melalui simulasi, disimpulkan bahwa tingkat kejenuhan pemangsa I dan tingkat persaingan pemangsa II memengaruhi kestabilan populasi, sedangkan tingkat kejenuhan pemangsa II dan tingkat persaingan pemangsa I tidak memengaruhi kestabilan populasi. Kata kunci: analisis kestabilan, mangsa-pemangsa, kejenuhan, tingkat persaingan. interferensi antarpemangsa, tingkat 2 ABSTRACT FIKRI AZHARI. Stability Analysis of Predator-Prey Model with Interference between Predators. Supervised by ALI KUSNANTO and TONI BAKHTIAR. In this study we reconstructed a predator-prey model of three animal species in a food chain, which consist of two species of predator and one species of prey (Feng et al. (2010)). From this model we investigated the effects of interference between predators based on the saturation and competition levels. In the stability analysis five equilibrium points obtained, in which two of them are unstable saddles. The effects of saturation and competition levels to population dynamics is shown by using numerical approach, where four conditions are considered. In the first condition, the saturation level of two predators is bigger than the competition level. In the second condition, the saturation level of two predators is lower than the competition level. In the third condition, the saturation level of predator I is bigger than its competition level, but saturation level of predator II is lower than its competition level. The fourth condition, the saturation level of predator I is lower than its competition level, but saturation level of predator II is bigger than its competition level. In general, the simulation results of the four conditions above, concluded that the saturation level of predator I and competition level of predator II effects the stability of populations, whereas saturation level of predator II and competition level of predator I did not effects the stability of populations. Keyword: stability analysis, predator-prey, interference between predators, saturation level, competition level. 3 ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA DENGAN INTERFERENSI ANTARPEMANGSA FIKRI AZHARI Skripsi Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013 4 Judul Nama NRP : Analisis Kestabilan Model Mangsa-Pemangsa dengan Interferensi Antarpemangsa : Fikri Azhari : G54080072 Menyetujui, Pembimbing I Pembimbing II Drs. Ali Kusnanto, M.Si. NIP. 19650820 199003 1 001 Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc. NIP. 19720627 199702 1 002 Mengetahui, Ketua Departemen Matematika Dr. Berlian Setiawaty, MS. NIP. 19650505 198903 2 004 Tanggal Lulus: ........................................... 5 PRAKATA Syukur Alhamdulillah penulis mengucapkan puji syukur kehadirat Allah SWT yang senantiasa memberikan nikmat iman serta nikmat islam. Limpahan rahmat dan hidayah-Nya yang besar, sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini. Keterbatasan dan ketidaksempurnaan membuat penulis membutuhkan bantuan, dukungan dan semangat dari berbagai pihak, baik secara langsung maupun tidak langsung. Oleh karena itu penulis ingin mengucapkan rasa terima kasih yang sebesar-besarnya kepada: 1. Mama dan Ayah yang telah memberikan didikan, kasih sayang, dukungan secara moril, materi, nasihat dan motivasi, serta doa yang tiada henti-hentinya. Untuk kakak dan adik-adikku, Nisa El Islami, Mohammad Haviz, Aulia Miftah El Karimi, dan Lutfiah Fazra El Ghifari, terima kasih atas doa dan dukungannya, 2. Drs. Ali Kusnanto, M.Si. selaku dosen pembimbing I dan Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc. selaku dosen pembimbing II. Terima kasih atas waktu, ilmu yang diberikan dan kesabaran dalam membimbing penulis, 3. Dr. Paian Sianturi selaku dosen penguji. Terima kasih atas waktu dan ilmu yang sangat bermanfaat bagi penulis, 4. Semua dosen Departemen Matematika, terima kasih atas ilmu yang telah diberikan, 5. Bu Susi, Pak Yono, Bu Ade, Mas Heri, Mas Deni dan seluruh staf pegawai Departemen Matematika, terima kasih atas bantuannya dalam memperlancar administrasi akademik bagi penulis, 6. Surya Pratiwi atas doa, motivasi dan dukungannya, serta teman-teman mahasiswa Matematika angkatan 44, 45, dan 46, 7. Teman-teman satu bimbingan: Dewi, Ade, dan Irma. Terima kasih atas doa, bantuan, dukungan semangat dan nasihatnya, 8. Teman-teman satu kostan Alma: Bambang, Issanto, Wahyu, Lodian, Aldi, Afnan, Whendy, Annas, dan Agus. Terima kasih atas doa, bantuan, dukungan semangat dan nasihatnya, 9. Teman-teman lainnya yang telah mendukung selama ini, yang tidak dapat disebutkan satu per satu. Penulis menyadari bahwa dalam karya ilmiah ini masih terdapat kekurangan, oleh karena itu penulis mengharapkan saran dan kritik dari semua pihak. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang memerlukan. Bogor, Januari 2013 Fikri Azhari v RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 19 Februari 1991 sebagai anak kedua dari empat bersaudara, anak dari pasangan Bustanul Arifin dan Hanik Qomariyah. Penulis menyelesaikan pendidikan Sekolah Dasar pada tahun 2002 di SD Negeri 04 Pagi Jakarta, Sekolah Menengah Pertama Negeri 234 Jakarta tahun 2005, Sekolah Menengah Atas Negeri 89 Jakarta tahun 2008, kemudian pada tahun yang sama penulis masuk Institut Pertanian Bogor melalui jalur Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri, jurusan Matematika, FMIPA. Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi anggota himpunan profesi Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) IPB sebagai staf Divisi Forum Silaturahmi Alumni Matematika IPB pada tahun 2009/2010 serta staf Divisi Keilmuan pada tahun 2010/2011. Selain itu, penulis mengajar Pengantar Matematika dan Kalkulus I di Bimbingan Belajar Gumatika, pengajar Matematika SMA di Bimbingan Belajar Salemba Group, dan pengajar Matematika di VISION Education and Personality Consultant. Penulis juga aktif pada kegiatan kemahasiswaan, sebagai koordinator PDD Matematika Ria dalam Kompetisi Sains SMA Se-Indonesia pada November 2011. vi DAFTAR ISI Halaman DAFTAR GAMBAR ................................................................................................................ viii DAFTAR TABEL ..................................................................................................................... viii DAFTAR LAMPIRAN ............................................................................................................. I ix PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ............................................................................................................ 1.2 Tujuan Penulisan ......................................................................................................... 1.3 Sistematika Penulisan ................................................................................................. 1 1 1 LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Diferensial ..................................................................................... 2.2 Titik Tetap ................................................................................................................... 2.3 Titik Tetap Stabil ........................................................................................................ 2.4 Titik Tetap Takstabil ................................................................................................... 2.5 Pelinearan ................................................................................................................... 2.6 Nilai Eigen dan Vektor Eigen ..................................................................................... 2.7 Analisis Kestabilan Titik Tetap ................................................................................... 2.8 Penondimensionalan ................................................................................................... 2 2 2 2 2 2 2 3 III PEMBAHASAN 3.1 Perumusan Model ....................................................................................................... 3.2 Analisis Kestabilan Titik Tetap ................................................................................... 4 5 IV SIMULASI 4.1 Pengaruh Tingkat Kejenuhan Pemangsa I ( ) ........................................................... 4.2 Pengaruh Tingkat Kejenuhan Pemangsa II ( ) .......................................................... 4.3 Pengaruh Tingkat Persaingan Pemangsa I ( ) ......................................................... 4.4 Pengaruh Tingkat Persaingan Pemangsa II ( ) ........................................................ 7 9 10 12 V SIMPULAN ....................................................................................................................... 14 VI DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................................ 15 LAMPIRAN .............................................................................................................................. 16 II vii DAFTAR GAMBAR Halaman 1 Pengaruh pada kondisi dan 2 Dinamika populasi 3 Bidang parametrik hubungan antara 4 Dinamika populasi 5 Bidang parametrik hubungan antara 6 Pengaruh 7 Dinamika populasi 8 Bidang parametrik hubungan antara 9 Pengaruh pada kondisi ketika pada kondisi 10 Dinamika populasi 7 dan .......................................... 8 (kondisi ke-1).................................................. 8 ....................................................................... 9 ketika dan pada kondisi pada kondisi ............................................................... dan 9 .............................................................. 9 dan ......................................... 10 (kondisi ke-2).................................................. 10 ............................................................. 11 ......................................... 11 11 Bidang parametrik hubungan antara (kondisi ke-3).................................................. 11 12 Dinamika populasi ........................................................................ 12 ............................................................ 12 13 Pengaruh pada kondisi ............................................ ketika pada kondisi dan 14 Dinamika populasi pada kondisi 15 Dinamika populasi ketika dan dan ......................................... 12 ..................................................................... 13 DAFTAR TABEL dan Halaman ................................................................................ 7 1 Kasus kestabilan titik tetap 2 Kondisi kestabilan titik tetap .............................................................................................. 13 viii DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1 Penondimensionalan model mangsa-pemangsa ................................................................. 17 2 Penentuan titik tetap .......................................................................................................... 20 3 Penentuan nilai eigen ......................................................................................................... 24 4 Kode program untuk Gambar 1 ......................................................................................... 28 5 Kode program untuk Gambar 2 ......................................................................................... 29 6 Kode program untuk Gambar 3 ......................................................................................... 30 7 Kode program untuk Gambar 4 ......................................................................................... 31 8 Kode program untuk Gambar 5 ......................................................................................... 31 9 Kode program untuk Gambar 6 ......................................................................................... 32 10 Kode program untuk Gambar 7 ......................................................................................... 33 11 Kode program untuk Gambar 8 ......................................................................................... 33 12 Kode program untuk Gambar 9 ......................................................................................... 34 13 Kode program untuk Gambar 10 ....................................................................................... 35 14 Kode program untuk Gambar 11 ....................................................................................... 36 15 Kode program untuk Gambar 12 ....................................................................................... 37 16 Kode program untuk Gambar 13 ....................................................................................... 37 17 Kode program untuk Gambar 14 ....................................................................................... 38 18 Kode program untuk Gambar 15 ....................................................................................... 39 ix I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Makhluk hidup terdiri atas bermacammacam spesies yang membentuk komunitas dan hidup bersama. Makhluk hidup selalu bergantung kepada makhluk hidup lain. Ada beberapa jenis hubungan yang dapat terjadi antarspesies. Salah satu interaksi tersebut adalah predasi, yaitu hubungan antara mangsa (prey) dan pemangsa (predator). Tiap pemangsa akan bersaing dengan individu lain yang sejenis untuk memperoleh mangsanya guna mempertahankan hidup. Di dalam hubungan tersebut pemangsa juga berperan sebagai pengontrol populasi mangsa. Awalnya model mangsa-pemangsa berfokus hanya pada peran predasi, dengan interferensi antarpemangsa diabaikan. Di tahun 1975, Beddington-DeAngelis memperkenalkan suatu model mangsa-pemangsa dengan ditambahkan adanya interferensi antarapemangsa dengan jenis yang berbeda. (Feng et al. 2010) Dalam sistem mangsa-pemangsa interferensi dapat diartikan sebagai adanya persaingan dalam memangsa. Manfaat persaingan antarpemangsa ialah untuk mengatur besarnya populasi dan memastikan ketersediaan makanan, ruang, dan sumber daya lain yang diperlukan untuk eksistensi dan reproduksi. Jadi, adanya persaingan di dalam sistem mangsa-pemangsa dapat memengaruhi kestabilan dinamika populasi. Selain itu, persaingan dapat berdampak positif pada kestabilan dan daya tahan jika tingkat persaingan antarpemangsa rendah, dan sebaliknya jika tingkat persaingan antarpemangsa tinggi maka populasi pemangsa semakin berkurang. Selain tingkat persaingan antarpemangsa, tingkat kejenuhan memangsa juga memengaruhi kestabilan sistem. Semakin besar tingkat kejenuhan pemangsa maka populasi pemangsa semakin berkurang. Dalam karya ilmiah ini, direkonstruksi model mangsa-pemangsa yang melibatkan tiga spesies hewan yang membentuk suatu rantai makanan, dengan dua spesies pemangsa dan satu spesies mangsa yang disusun oleh Feng et al. (2010). Dari model tersebut akan diteliti efek dari interferensi pemangsa dalam tingkatan yang berbeda berdasarkan tingkat kejenuhan dan tingkat persaingan antarpemangsa. 1.2 Tujuan Penulisan Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini ialah: 1. Memelajari model mangsa-pemangsa Feng et al. (2010) dengan adanya interferensi antarpemangsa. 2. Melihat pengaruh tingkat kejenuhan dan persaingan antarpemangsa terhadap kestabilan sistem. 1.3 Sistematika Penulisan Karya ilmiah ini terdiri dari empat bab. Bab pertama merupakan pendahuluan yang berisi latar belakang dan tujuan penulisan. Bab kedua berupa landasan teori yang menjadi konsep dasar dalam penyusunan pembahasan. Bab ketiga berisi penjelasan model mangsapemangsa dengan adanya interferensi antarpemangsa. Dalam bab ini juga disajikan simulasi dinamika populasi mangsa maupun pemangsa dari pengaruh tingkat kejenuhan dan persaingan antarpemangsa. Bab keempat berisi simpulan dari keseluruhan penulisan. II LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Diferensial Sistem persamaan diferensial orde satu dengan persamaan dan buah fungsi yang tak diketahui dapat ditulis sebagai berikut: ( ( ) ) ̇( ) dengan ( ( )) ( ) ( ) ( ). ( ( )) Jika linear maka sistem persamaan diferensial di atas disebut linear, sebaliknya jika tidak linear maka sistem persamaan diferensial di atas disebut taklinear. Jika tidak bergantung secara eksplisit pada , yaitu ( ( ) ) ( ( )), maka disebut sistem persamaan diferensial mandiri. Sistem persamaan diferensial linear mandiri dapat ditulis sebagai berikut: ̇ , dengan adalah matriks koefisien berukuran dan adalah vektor koefisien berukuran . Jika maka sistem persamaan diferensial di atas disebut homogen. Solusi dari sistem persamaan diferensial linear mandiri homogen sebagai berikut: , disebut dengan solusi trivial. Jika tidak demikian disebut solusi nontrivial. dengan | . 2.2 Titik Tetap Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial sebagai berikut: ( ) ̇ . Titik disebut titik tetap jika memenuhi ( ) . Titik tetap disebut juga titik kritis atau titik keseimbangan. (Tu 1994) 2.6 Nilai Eigen dan Vektor Eigen Misalkan matriks berukuran . Suatu vektor taknol di disebut vektor eigen dari , jika untuk suatu skalar berlaku: . (2.3) Vektor disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen . Untuk mencari nilai eigen dari matriks , maka persamaan (2.3) dapat ditulis sebagai berikut: ( ) , (2.4) dengan matriks identitas. Persamaan (2.4) memunyai solusi taknol jika dan hanya jika: ( ) . (2.5) Persamaan (2.5) disebut persamaan karakteristik dari matriks . (Anton 1995) 2.3 Titik Tetap Stabil Misalkan titik adalah titik tetap sebuah sistem persamaan diferensial mandiri dan ( ) adalah solusi yang memenuhi kondisi awal ( ) dengan . Titik dikatakan titik tetap stabil jika dengan | | | , maka | ( ) . (Verhulst 1990) 2.4 Titik Tetap Takstabil Misalkan titik adalah titik tetap sebuah sistem persamaan diferensial mandiri dan ( ) adalah solusi yang memenuhi kondisi awal ( ) dengan . Titik dikatakan titik tetap takstabil jika | , maka | ( ) | (Verhulst 1990) 2.5 Pelinearan Untuk suatu sistem persamaan diferensial taklinear, analisis kestabilannya dilakukan melalui pelinearan. Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial taklinear sebagai berikut: ̇ ( ). (2.1) Dengan menggunakan ekspansi Taylor di sekitar titik tetap , maka persamaan (2.1) dapat ditulis sebagai berikut: ̇ ( ). (2.2) Persamaan tersebut merupakan sistem persamaan diferensial taklinear dengan matriks Jacobi, [ ] ( ) suku berorde tinggi yang bersifat ( ) . Selanjutnya pada persamaan (2.2) disebut pelinearan dari sistem taklinear persamaan (2.2) yang dituliskan dalam bentuk ̇ . (Tu 1994) dan 2.7 Analisis Kestabilan Titik Tetap Misalkan diberikan matriks berukuran sebagai berikut: ( ), maka persamaan karakteristiknya menjadi 3 ( ) , sedemikian sehingga diperoleh persamaan: , dengan ( ) , ( ) . Dengan demikian diperoleh nilai eigen dari matriks sebagai berikut: √ Ada tiga kasus untuk nilai : Kasus I Jika maka kedua nilai eigen bernilai real dan berbeda tanda, sehingga titik tetap bersifat sadel. Kasus II i Jika dan maka kedua nilai eigen bernilai real dan positif, sehingga titik tetap bersifat simpul tak stabil. Jika maka kedua nilai eigen bernilai real dan negatif, sehingga titik tetap bersifat simpul stabil. ii Jika dan maka kedua nilai eigen bernilai kompleks ( √ dengan , ), sehingga titik tetap bersifat spiral tak stabil. Jika maka kedua nilai eigen bernilai kompleks ( ), sehingga titik tetap bersifat spiral stabil. Jika maka kedua nilai eigen imajiner murni ( ), sehingga titik tetap bersifat center. iii maka kedua nilai eigen bernilai sama, sehingga pada kasus ini titik tetap bersifat simpul sejati. Kasus III Jika maka salah satu nilai eigen bernilai nol, titik tetap bersifat degenerate. (Strogatz 1994) Analisis kestabilan titik tetap dapat juga dikaji berdasarkan kondisi Routh-Hurwitz. Misalkan a1 , a2 , a3 , , ak adalah bilangan- bilangan real dengan a j 0 jika jk. persamaan Semua nilai eigen dari karakteristik p( ) k a1 k 1 ak 2 2 ak 11 ak 0 memunyai bagian real yang negatif jika dan hanya jika determinan dari matriks M j untuk setiap j 1, 2,3, , k adalah positif. a2 j 1 a1 a3 a5 1 a a a2 j 2 2 4 M j 0 a1 a3 a2 j 3 0 0 0 0 0 Menurut kondisi Routh-Hurwitz, untuk k 2,3 berlaku bahwa titik tetap x* stabil jika dan hanya jika . (Keshet 1988) 2.8 Penondimensionalan Penondimensionalan adalah suatu metode untuk menyederhanakan suatu persamaan banyak parameter menjadi persamaan dengan lebih sedikit parameter. Biasanya penondimensionalan mengelompokkan beberapa parameter dengan sebuah parameter tunggal. (Strogatz 1994) Contoh: Diberikan model mangsa pemangsa berikut: ̇ (2.7) ̇ Persamaan (2.7) memiliki empat parameter, yaitu , , , dan . Dengan memisalkan , , , maka diperoleh model dengan satu parameter yaitu, ̇ , ̇ . 4 III PEMBAHASAN 3.1 Perumusan Model Dalam karya ilmiah ini dibahas model mangsa-pemangsa yang menggambarkan suatu rantai makanan antara dua spesies pemangsa dan satu spesies mangsa dengan adanya faktor kejenuhan memangsa dan persaingan antarpemangsa. Berikut ini adalah sistem persamaan modelnya: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) di mana menggambarkan laju pemangsaan dan ketersediaan makanan (mangsa). Laju pertumbuhan intirinsik mangsa ( ) dipengaruhi oleh laju pertumbuhan pemangsa dan , di mana tumbuh secara logistik. Laju pertumbuhan populasi pemangsa dipengaruhi oleh interferensi antarpemangsa yaitu tingkat persaingan ( ) dan kejenuhan ( ) yang dikurangi oleh laju kematian populasi pemangsa ( ), untuk . Kedua faktor tersebut akan dianalisis untuk melihat pengaruh kestabilan sistem. Untuk menyederhanakan model (3.1) maka dilakukan penondimensionalan, sehingga skala parameter yang digunakan, yaitu: x ( ) ( ) dengan : banyaknya populasi mangsa ( ; ekor), : banyaknya populasi pemangsa I ( ; ekor), : banyaknya populasi pemangsa II ( ; ekor), : laju pertumbuhan intrinsik mangsa (per hari), : daya dukung lingkungan bagi mangsa, : kemampuan maksimum pemangsa I dalam mencari mangsa (per hari), : kemampuan maksimum pemangsa II dalam mencari mangsa (per hari), : tingkat kejenuhan pemangsa I (ekor), : tingkat kejenuhan pemangsa II (ekor), : tingkat persaingan pemangsa I, : tingkat persaingan pemangsa II, : koefisien interaksi antara mangsa dan pemangsa I, : koefisien interaksi antara mangsa dan pemangsa II, : laju kematian pemangsa I (per hari), : laju kematian pemangsa II (per hari). ) dan ( ) merupakan Besaran ( suatu interaksi (respon fungsional) yang X AY AZ , y 1 , z 2 , K RK RK dengan ( ) , ( ) , dan ( ) Sistem persamaan yang baru menjadi: . xy xz dx x(1 x) b1 x m1 y b2 x m2 z dt dy xy a1 d1 y dt b1 x m1 y (3.2) dz xz a2 d2 z . dt b2 x m2 z (bukti lihat Lampiran 1) Titik tetap pada persamaan dinyatakan ke dalam bentuk juga dapat diperoleh dengan , , dan persamaannya: x(1 x) (3.2) dapat * + dan menentukan , sehingga xy xz 0 b1 x m1 y b2 x m2 z a1 xy d1 y 0 b1 x m1 y a2 xz d 2 z 0. b2 x m2 z (3.3) Dengan menyelesaikan sistem persamaan (3.3) diperoleh lima titik tetap yaitu ( ), ( ), ( ̅ ̅ ), ( ̃ ̃ ), dan ( ). (bukti lihat Lampiran 2) 5 3.2 Analisis Kestabilan Titik Tetap Misalkan dari persamaan (3.3) dituliskan sebagai berikut: Analisis Kestabilan Titik Tetap Matriks Jacobi yang berpadanan dengan titik tetap A2 (1,0,0) ialah: y z g1 ( x, y, z ) x 1 x x b1 x m1 y b2 x m2 z x g 2 ( x, y, z ) y a1 d1 y b1 x m1 y 1 1 1 b1 a1 d1 (b1 1) J2 0 1 b1 0 0 (3.4) x g 3 ( x , y , z ) z a2 d2 z . b2 x m2 z 0 . a2 d 2 (b2 1) 1 b2 1 1 b2 Persamaan karakteristik titik tetap det( J 2 I ) 0 , sehingga diperoleh nilai Dengan melakukan pelinearan pada persamaan (3.4) maka diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut: g1 g1 x x g J y 2 x g3 z x g1 y g y 2 g2 y g z 3 y x eigennya: g1 z g y 2 . z g3 z g3 z x 0 0 . d 2 3 a2 d 2 (b2 1) . 1 b2 x y 2 d1 , 3 d2 . w1 w12 4a1b1d1m1 2a1m1 , (a1 d1 ) x b1d1 , d1m1 dengan Karena parameter diasumsikan taknegatif, maka 1 0 dan 2 , 3 0 , sehingga kestabilan titik tetapnya selalu bersifat sadel. y xy 1 2 x b x m y ( b x m1 y ) 2 1 1 1 a1 y a1 xy J3 b1 x m1 y (b1 x m1 y ) 2 0 a1 d1 (b1 1) , 1 b1 Analisis Kestabilan Titik Tetap Diberikan titik tetap ( ̅ ̅ ): Nilai eigen diperoleh dengan menyelesaikan persamaan karakteristik det( J1 I ) 0, yaitu: 1 1 , 2 Jika kestabilan titik tetap bersifat stabil, tetapi jika sedikitnya ada satu nilai eigen real atau yang positif maka titik tetap bersifat sadel. Agar titik tetap ( ) bersifat stabil maka dan ( ) , selain itu akan bersifat sadel. Analisis Kestabilan Titik Tetap Matriks Jacobi yang berpadanan dengan titik tetap A1 (0,0,0) ialah: 1 0 J1 0 d1 0 0 1 1 , w1 a1m1 a1 d1 . Di bawah ini merupakan matriks Jacobi yang berpadanan dengan titik tetap ( ̅ ̅ ): xym1 x b1 x m1 y (b1 x m1 y ) 2 a1 x a1 xym1 d1 b1 x m1 y (b1 x m1 y ) 2 0 x b2 x 0 . a2 x d 2 b2 x 6 Matriks J 3 dimisalkan sebagai berikut: ( Jika dan kedua nilai eigen berbeda tanda, maka titik tetap bersifat sadel, sedangkan jika , dan kondisi akan bersifat spiral stabil. ), Analisis Kestabilan Titik Tetap Titik tetap (̃ ̃ ): dari setiap elemen matriks J 3 diperoleh nilai eigennya: 1,2 3 2 4 2 x , a2 x d2 , b2 x z dengan w2 w2 2 4a2b2 d 2 m2 2a2 m2 , (a2 d 2 ) x b2 d 2 , d 2 m2 dengan w2 a2 m2 a2 d2 . Matriks Jacobi yang berpadanan dengan titik tetap (̃ ̃ ): , . z xz 1 2 x b2 x m2 z (b2 x m2 z ) 2 a2 z a2 xz J4 b x m z ( b x m2 z ) 2 2 2 2 0 Jika matriks J 4 dimisalkan sebagai berikut: xzm2 x b2 x m2 z (b2 x m2 z ) 2 a2 x a2 xzm2 d2 b2 x m2 z (b2 x m2 z ) 2 0 dengan Vij x b1 x 0 . a1 x d1 b1 x merupakan elemen dari matriks J 5 , persamaan karakteristiknya menjadi: ( 3 1 2 2 3 0, ), di mana diperoleh nilai eigen dari matriks J 4 , yaitu: 1,2 2 4 2 , ax 3 1 d1 , b1 x 3 V11V22V33 V12V21V33 V13V31V22 . (bukti lihat Lampiran 3) dengan Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz, titik * * * tetap A5 ( x , y , z ) stabil jika dan hanya jika: , . Jika dan kedua nilai eigen berbeda tanda, maka titik tetap bersifat sadel. Jika , dan , maka titik tetap bersifat stabil atau spiral stabil. Analisis Kestabilan Titik Tetap Matriks Jacobi dari titik tetap A5 ( x* , y* , z* ) diberikan sebagai berikut: ( 1 (V11 V22 V33 ), 2 V11V22 V11V33 V22V33 V12V21 V13V31 , ), y* x* (a1 d1 ) b1d1 0, d1m1 z* x* (a2 d 2 ) b2 d 2 0, d 2 m2 1 0, 3 0, 1 2 3 . Dari kelima titik tetap yang diperoleh, kestabilan titik tetap dan , dapat dilihat pada Tabel 1. 7 Tabel 1 Kasus kestabilan titik tetap Kasus dan . Titik Tetap ( ) dan ( ) Sadel Sadel ( ) dan ( ) Sadel Sadel ( ) dan ( ) Sadel Sadel ( ) dan ( ) Sadel Stabil IV SIMULASI Pengaruh persaingan antarpemangsa dan tingkat kejenuhan pemangsa diamati dengan kurva bidang solusi yang menunjukkan hubungan banyaknya populasi dengan variabel waktu . Solusi numerik dilakukan dengan menyubstitusikan nilai parameter pada persamaan (3.2). Kasus kestabilan titik tetap yang digunakan dalam simulasi ini yaitu ( ) dan ( ) di mana kestabilan kedua titik tetapnya bersifat sadel, dengan nilai parameter , , , dan tetap. Kasus tersebut merepresentasikan peristiwa mangsa-pemangsa di dalam kehidupan nyata, di mana kemampuan maksimum pemangsa dalam mencari mangsa ( ) lebih besar dibandingkan laju kematian ( ) yang dipengaruhi oleh kejenuhan pemangsa ( ), untuk . Dalam simulasi diberikan empat kondisi, dengan setiap kondisi akan diamati pengaruh persaingan dan kejenuhan pemangsa terhadap dinamika populasi. 4.1 Pengaruh Tingkat Kejenuhan Pemangsa I ( ) Untuk mengetahui pengaruh tingkat kejenuhan pemangsa I diberikan kondisi ke-1 di mana kejenuhan pemangsa I ( ) dan II ( ) lebih besar dibandingkan dengan tingkat persaingan pemangsa I ( ) dan II ( ). Nilai parameter yang digunakan ialah , , , , , , dan . Pada Gambar 1 ditunjukkan hubungan populasi mangsa dari kelima titik tetap terhadap , , , , √ , . √ Garis dan menunjukkan kondisi sadel, sedangkan garis menunjukkan kondisi stabil. Untuk nilai , garis menunjukkan kondisi takstabil, sedangkan untuk nilai menunjukkan kondisi stabil. 𝑥𝐴 𝑥𝐴 𝑥𝐴 𝑥𝐴 𝑥𝐴 Gambar 1 Pengaruh saat kondisi dan . Dinamika Populasi pada Kondisi ke-1 Tingkat kejenuhan pemangsa I yang diberikan ialah dengan nilai awal ( ) , ( ) , ( ) . Diperoleh empat titik tetap taknegatif, ( ) dan ( ) kestabilan titik tetapnya bersifat sadel, sedangkan ( ) bersifat spiral takstabil dengan nilai eigen yang diperoleh yaitu ( ). 8 mengalami penurunan jumlah populasi, kemudian spesies mangsa mengalami kenaikan jumlah populasi yang menyebabkan populasi pemangsa I dan II pun juga bertambah. Kejadian tersebut berosilasi secara terus menerus. Hasil simulasi yang ditunjukkan oleh Gambar 3 merupakan hubungan populasi spesies mangsa dengan populasi spesies pemangsa I dan II dan hubungan pemangsa I dengan pemangsa II. Hubungan populasi tersebut tidak menuju ke suatu titik tertentu pada waktu , sehingga terbentuk limit cycle. 𝑥 𝑦 𝑧 Gambar 2 Dinamika populasi pada kondisi . dan Gambar 2 menunjukkan populasi spesies mangsa dan kedua spesies pemangsa bersifat spiral takstabil. Awalnya populasi mangsa mengalami penurunan jumlah populasi yang sangat cepat. Hal tersebut menyebabkan jumlah spesies pemangsa I dan II juga Gambar 3 Bidang parametrik hubungan antara . Ketika tingkat kejenuhan pemangsa I ( ) dinaikkan menjadi , populasi spesies mangsa dan kedua spesies pemangsa awalnya berosilasi, kemudian stabil di titik tetap ( ) dalam rentang waktu tertentu. Nilai eigen yang diperoleh 9 yaitu ( dilihat pada Gambar 4. ). Dapat 𝑥 𝑦 𝑧 Gambar 4 Dinamika populasi ketika . Hubungan populasi spesies mangsa terhadap spesies pemangsa I dan II ketika menunjukkan kestabilan yang bersifat spiral stabil. Gambar 5 terlihat hubungan tersebut menuju ke titik tetap yang menggambarkan populasi pemangsa I mengalami kepunahan dan populasi pemangsa II stabil dalam rentang waktu tertentu. 4.2 Pengaruh Tingkat Kejenuhan Pemangsa II ( ) Untuk mengetahui pengaruh tingkat kejenuhan pemangsa II diberikan kondisi ke-2 di mana tingkat kejenuhan pemangsa I ( ) dan II ( ) lebih kecil daripada tingkat persaingan pemangsa I ( ) dan II ( ). Nilai parameter yang digunakan ialah , , , , , , dan . Gambar 6 menunjukkan hubungan populasi mangsa dari kelima titik tetap terhadap , , , , √ , √ 𝑥𝐴 𝑥𝐴 Gambar 6 Gambar 5 Bidang parametrik hubungan antara ketika . 𝑥𝐴 𝑥𝐴 . 𝑥𝐴 Pengaruh pada kondisi dan . Garis putus-putus , , , dan menunjukkan kondisi bersifat sadel, sedangkan garis menunjukkan kondisi stabil. Garis dan berpotongan di titik , hal tersebut tidak memengaruhi perubahan kestabilan sistem. 10 Dinamika Populasi pada Kondisi ke-2 Tingkat kejenuhan pemangsa II yang diberikan ialah dengan nilai awal ( ) , ( ) , ( ) . Jumlah populasi spesies pemangsa I dan II meningkat dengan cepat, namun ketika ketersediaan makanan berkurang, kedua spesies pemangsa mengalami penurunan jumlah populasi. Dalam rentang waktu tertentu populasi ketiga spesies mengalami kestabilan di titik tetap ( ) dengan nilai eigen ( ). Dalam kondisi ini tingkat kejenuhan pemangsa II ( ) tidak berpengaruh terhadap kestabilan sistem, sehingga sistem akan tetap stabil walaupun nilai parameter dinaikkan ataupun. Hasil simulasi dapat dilihat pada Gambar 7. 𝑦 𝑧 Gambar 8 Bidang parametrik hubungan antara . 4.3 Pengaruh Tingkat Persaingan Pemangsa I ( ) Untuk mengetahui pengaruh tingkat persaingan pemangsa I diberikan kondisi ke-3 di mana tingkat kejenuhan pemangsa I ( ) lebih besar daripada tingkat persaingan I ( ) dan tingkat kejenuhan pemangsa II ( ) lebih kecil daripada tingkat persaingan pemangsa II ( ). Nilai parameter yang digunakan ialah , , , , , , dan . Gambar 9 menunjukkan hubungan populasi mangsa terhadap kelima titik tetap terhadap , , , 𝑦 𝑧 Gambar 7 Dinamika populasi pada kondisi . dan Gambar 8 menunjukkan hubungan populasi spesies mangsa terhadap spesies pemangsa I dan II pada kondisi dan . Dari kurva tersebut terlihat kestabilan sistem bersifat spiral stabil dalam rentang waktu tertentu. xA3 1.66 0.3m1 0.27 (0.3m1 0.3)2 0.03m1 , m1 , √ . Garis putus-putus , , dan menunjukkan kondisi sadel, serta garis menunjukkan kondisi stabil. Untuk nilai garis menunjukkan kondisi stabil. 11 Populasi mangsa dan kedua spesies pemangsa awalnya berosilasi, kemudian mencapai kestabilannya pada waktu tertentu di titik tetap ( ) dan nilai eigen yang diperoleh adalah ( ). Dalam kondisi ini populasi spesies pemangsa II lebih banyak dibandingkan dengan spesies pemangsa I. 𝑥𝐴 𝑥𝐴 Gambar 9 𝑥𝐴 𝑥𝐴 𝑥𝐴 Pengaruh pada kondisi dan . Dinamika Populasi pada Kondisi ke-3 Tingkat persaingan pemangsa I yang diberikan ialah dengan nilai awal ( ) , ( ) , ( ) . Hasil simulasi dapat dilihat pada Gambar 10. 𝑦 𝑧 Gambar 11 Bidang parametrik hubungan antara . Gambar 10 Dinamika populasi pada kondisi . dan Gambar 11 menunjukkan kurva bidang parametrik hubungan spesies mangsa dan kedua pemangsa bersifat spiral stabil. Untuk melihat pengaruh tingkat persaingan pemangsa I ( ), maka dinaikkan menjadi . Gambar 12 menunjukkan ketika nilai parameter dinaikkan, maka terjadi 12 perubahan kestabilan sistem dalam waktu yang singkat menuju ke titik tetap ( ). 𝑥 𝑦 𝑧 Gambar 12 𝑥𝐴 𝑥𝐴 Dinamika populasi ketika . 4.4 Pengaruh Tingkat Persaingan Pemangsa II ( ) Untuk mengetahui pengaruh tingkat persaingan pemangsa II diberikan kondisi ke4 di mana tingkat kejenuhan pemangsa I ( ) lebih kecil daripada tingkat persaingan I ( ) dan tingkat kejenuhan pemangsa II ( ) lebih besar daripada tingkat persaingan pemangsa II ( ). Nilai parameter yang digunakan adalah , , , , , , dan . Gambar 13 menunjukkan hubungan populasi mangsa terhadap kelima titik tetap terhadap , , , , √( ( ( √ ) Gambar 13 𝑥𝐴 𝑥𝐴 𝑥𝐴 Pengaruh pada kondisi dan . Dinamika Populasi pada Kondisi ke-4 Tingkat persaingan pemangsa II yang diberikan ialah dengan nilai awal ( ) , ( ) , ( ) . ), ) . Garis , , dan menunjukkan kondisi sadel sedangkan garis menunjukkan kondisi stabil. Garis pada selang menunjukkan kondisi stabil. 𝑦 𝑧 Gambar 14 Dinamika populasi pada kondisi . dan 13 Pada Gambar 14 populasi spesies mangsa dan spesies pemangsa II terjadi spiral takstabil, sedangkan populasi pemangsa I mengalami kepunahan. Populasi spesies mangsa dan pemangsa II yang takstabil diakibatkan tingkat persaingan kecil, sehingga proses mangsa-memangsa menjadi tidak teratur. Ketika ketersediaan makanan melimpah, jumlah populasi spesies pemangsa II bertambah banyak. Dalam waktu yang cepat populasi mangsa akan berkurang, sehingga populasi spesies pemangsa II juga berkurang. Kondisi seperti ini berosilasi secara terusmenerus. Jika nilai parameter persaingan pemangsa II ( ) dinaikkan menjadi maka akan terjadi perubahan kestabilan. Populasi pemangsa I mengalami kepunahan dalam rentang waktu tertentu sedangkan populasi pemangsa II mengalami penjumlahan populasi kemudian stabil pada titik tetap ( ). Kurva bidang solusinya dapat dilihat pada Gambar 15. Kondisi b1 m1 dan b2 m2 b1 m1 dan 𝑦 𝑧 Gambar 15 Ketika nilai parameter yang memengaruhi kestabilan setimbang, maka dinamika populasi mangsa dan kedua pemangsa akan stabil. Sebaliknya, ketika salah satu nilai parameter tidak setimbang maka dinamika populasi menjadi tidak stabil. Dari empat kondisi yang diteliti, titik tetap dan selalu bersifat sadel. Pada kondisi pertama, titik tetap memiliki nilai eigen , dan bilangan-bilangan kompleks dengan bagian real positif, sehingga kestabilan bersifat spiral takstabil. Untuk kondisi kedua dan ketiga, dinamika populasinya bersifat spiral stabil menuju titik tetap , nilai eigen yang diperoleh yaitu 3 0 , 1 dan 2 adalah bilangan-bilangan kompleks dengan bagian real negatif. Sistem mengalami spiral takstabil pada kondisi keempat. Nilai eigen yang diperoleh adalah , dan bilangan-bilangan kompleks dengan bagian real positif. Berikut adalah tabel kondisi kestabilan dari hasil simulasi, dapat dilihat pada Tabel 2. Tabel 2 Kondisi kestabilan titik tetap. Titik Tetap Sadel Sadel Spiral takstabil Sadel Sadel Sadel b1 m1 dan b2 m2 Sadel Sadel b1 m1 dan b2 m2 Sadel Sadel b2 m2 Dinamika populasi ketika . takstabil; spiral stabil Sadel takstabil; spiral stabil - Sadel Spiral stabil Sadel Spiral stabil Spiral takstabil - 8 V SIMPULAN Dari analisis model mangsa-pemangsa dengan interferensi antarpemangsa yang terdiri dari tiga spesies diperoleh lima titik tetap. Kondisi kestabilan dari titik tetap yang diperoleh tidak mungkin stabil secara bersamaan. Dari kasus titik tetap yang digunakan, kondisi kestabilan titik tetap dan selalu bersifat sadel. Pada dinamika populasi spesies pemangsa I dan II, faktor persaingan dan kejenuhan berpengaruh besar terhadap kestabilan sistem rantai makanan. Tingkat persaingan dan kejenuhan yang tidak seimbang akan menyebabkan jumlah populasi spesies pemangsa ataupun spesies mangsa tidak stabil. Semakin besar tingkat persaingan pemangsa ( ), jumlah populasi pemangsa semakin berkurang, sedangkan semakin besar kejenuhan pemangsa ( ), faktor kematian semakin kecil. Dari empat kondisi yang diberikan, pada kondisi pertama hanya diperoleh empat titik tetap positif. Faktor tingkat kejenuhan pemangsa I cukup memengaruhi kestabilan sistem. Awalnya, dinamika populasi spesies mangsa dan pemangsa tidak stabil. Namun ketika tingkat kejenuhan pemangsa I dinaikkan, sistem menjadi stabil. Pada kondisi kedua, faktor tingkat kejenuhan pemangsa II tidak memengaruhi kestabilan sistem. Ketika nilai parameter tingkat kejenuhan pemangsa II dinaikkan maupun diturunkan, sistem akan tetap stabil ke titik tertentu dalam waktu . Untuk kondisi ketiga sama halnya dengan kondisi kedua, faktor tingkat persaingan pemangsa I ( ) tidak memengaruhi kestabilan sistem. Pada kondisi keempat, kestabilan sistem dapat dipengaruhi oleh faktor tingkat persaingan pemangsa II ( ). Dalam kondisi ini populasi pemangsa I mengalami kepunahan sedangkan populasi mangsa dan pemangsa II tidak stabil. Ketika nilai persaingan pemangsa II dinaikkan, maka populasi spesies mangsa maupun kedua spesies pemangsa stabil pada titik tertentu dalam rentang waktu . VI DAFTAR PUSTAKA Anton H. 1995. Aljabar Linear Elementer. Ed ke-5. Terjemahan Pantur Silaban dan I Nyoman Susila. Jakarta: Erlangga. Keshet LE. 1988. Mathematical Models in Biology. New York: The Random House. Feng J, Zhu L & Wang H. 2010. Stability of Ecosystem Induced by Mutual Interference between Predators. China: Tianjin University. Strogatz SH. 1994. Nonlinear Dynamics and Chaos with Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering. New York: Perseus Books. Tu PNV. 1994. Dynamical System, An Introduction with Application in Economics and Biology. Second Revised and Enlarged Edition. Germany: Springer Verlag. Verhulst F. 1990. Nonlinear Differential Equation an Dynamical System. Germany: Springer Verlag. LAMPIRAN 17 Lampiran 1 Penondimensionalan model mangsa-pemangsa Diberikan sistem persamaan mangsa pemangsa: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3.1) , dengan: ( ) ( ) Dilakukan penondimensionalan untuk mendapatkan sistem persamaan dengan parameter yang lebih sederhana: dimisalkan dY dZ dX X, Y , Z dT dT dT ̇ ̇ ̇ ( ) ( ) ( ) (1) ( ) (2) ( ) (3) X xxˆ , Y yyˆ , Z zzˆ , T t * Dari persamaan (1) diperoleh fungsi sebagai berikut: A1 X A2 X X X RX 1 Y Z K B1 X M1Y B2 X M 2 Z A1 XY A2 XZ RX 2 K B1 X M1Y B2 X M 2 Z X RX ˆ ˆ ˆ ˆ A1 xxyy A2 xxzz dxxˆ R R( xxˆ ) ( xxˆ )2 K B1 xxˆ M1 yyˆ B2 xxˆ M 2 zzˆ dt * ˆ ˆ ˆ ˆ A1 xxyy A2 xxzz R xˆ dx * Rxxˆ x 2 xˆ 2 K B1 xxˆ M1 yyˆ B2 xxˆ M 2 zzˆ dt A1 xyyˆ A2 xzzˆ dx R R x x 2 xˆ K B1 xxˆ M1 yyˆ B2 xxˆ M 2 zzˆ dt * pilih: K 1 1 1 xˆ , ŷ , ẑ , R A1 A2 R dx xy xz x x2 R R dt * B1 xK M1 y B2 xK M 2 z A1 A2 pilih: ` R A1 A2 18 dx xy xz x x2 * B1 xK M1 y B2 xK M 2 z dt pilih: K 1 , B1 b1 , B2 b2 , M1 m1 , M 2 m2 dx xy xz x x2 b1 x m1 y b2 x m2 z dt * dx xy xz x(1 x) dt b1 x m1 y b2 x m2 z (4) Dari persamaan (2) diperoleh fungsi sebagai berikut: A1 X Y C1 Y D1Y B1 X M1Y Y C1 A1 XY D1Y B1 X M1Y ˆ ˆ C1 A1 xxyy dyyˆ D1 yyˆ * dt B1 xxˆ M1 yyˆ ˆ ˆ C1 A1 xxyy yˆ dy D1 yyˆ * ˆ B1 xx M1 yyˆ dt pilih: 1 1 ŷ , A1 R A1 ˆ C1 A1 xxy dy D1 y * ˆ B1 xx M1 yyˆ dt pilih: K xˆ R K C1 A1 xy dy R D1 y dt * B x K M y 1 1 1 R A1 C1 xy dy D1 y * B1 x M1 y dt pilih: B1 b1 , C1 a1 , M1 m1 , D1 d1 dy xy a1 d1 y dt b1 x m1 y Dari persamaan (3) diperoleh fungsi sebagai berikut: A2 X Z C2 Z D2 Z B2 X M 2 Z Z C2 A2 XZ D2 Z B2 X M 2 Z ˆ ˆ C2 A2 xxzz dzzˆ D2 zzˆ * dt B2 xxˆ M 2 zzˆ ˆ ˆ C2 A2 xxzz zˆ dz D2 zzˆ * ˆ B xx M 2 zzˆ dt 2 pilih: (5) 19 ẑ 1 1 , A2 R A2 ˆ C2 A2 xxz dz D2 z * B2 xxˆ M 2 zzˆ dt pilih: K xˆ R K C2 A2 xz dz R D2 z dt * B x K M z 1 2 2 R A2 C2 xz dz D2 z dt * B2 x M 2 z pilih: B2 b2 , C2 a2 , M 2 m2 , D2 d2 dz xz a2 d2 z dt b2 x m2 z Kemudian dari sistem persamaan (4), (5), dan (6) didapat skala baru yaitu: X xxˆ X x xˆ K 1 dengan: xˆ , R A1 R X x K Y yyˆ y Y yˆ dengan: ŷ y 1 RK 1 , K 1, R maka menjadi yˆ A1 A1 A1Y RK Z zzˆ z Z zˆ dengan: ẑ A2 Z RK * T t T t* 1 t* T t RT z 1 1 RK , K 1, R maka menjadi zˆ A2 A2 (6) 20 Lampiran 2 Penentuan titik tetap Titik tetap akan diperoleh dengan menetapkan x(1 x) (ii) a2 xz d2 z 0 b2 x m2 z (iii) y z x (1 x) 0 b x m y b x m z 1 1 2 2 y z x 0 atau (1 x) 0 b1 x m1 y b2 x m2 z x 0 atau 1 x y z b1 x m1 y b2 x m2 z x 0 atau x 1 y z b1 x m1 y b2 x m2 z Dari persamaan (ii) akan diperoleh nilai xy a1 d1 y 0 b1 x m1 y xy d1 y 0 b1 x m1 y y 0 atau a1 x d1b1 d1 x d1m1 y y 0 atau y (a1 d1 ) x d1b1 d1m1 Dari persamaan (iii) akan diperoleh nilai xz a2 d2 z 0 b2 x m2 z sebagai berikut: a1 x y d1 0 b1 x m1 y a1 x d1 y 0 atau b1 x m1 y (i) a1 Dari persamaan (i) akan diperoleh nilai sebagai berikut: xy xz x(1 x) 0 b1 x m1 y b2 x m2 z xy xz 0 b1 x m1 y b2 x m2 z a2 x z d2 0 b2 x m2 z a2 x z 0 atau d2 b2 x m2 z z 0 atau a2 x d2b2 d2 x d2 m2 z z 0 atau z (a2 d 2 ) x d 2b2 d 2 m2 sebagai berikut: 21 Sehingga diperoleh titik tetap ( ( ) ) substitusi Untuk memperoleh titik tetap ( y z x 1 , karena dan b1 x m1 y b2 x m2 z x 1 x 1 ( Untuk memperoleh titik tetap x 1 y b1 x m1 y 1 x y b1 x m1 y ) ( ) ( ) substitusikan dan y (a1 d1 ) x d1b1 d1m1 y z , karena b1 x m1 y b2 x m2 z x 1 dan 0 0 b1 x 0 b2 x 0 Sehingga diperoleh titik tetap ) 1 x b1 x m1 y y b1 x m1 y b1 x x 2 m1 xy y x2 x b1 x b1 y m1 y m1 xy 0 x2 x b1 x b1 y m1 y m1 xy 0 x2 x b1 x b1 1 m1 m1 x y 0 , karena y (a d ) x d1b1 x 2 x b1 x b1 1 m1 m1 x 1 1 0 d1m1 (a1 d1 ) x d1b1 d1m1 d1m1 x2 d1m1 x b1d1m1 x b1d1m1 1 m1 m1 x (a1 d1 ) x d1b1 0 a1m1 x2 (a1m1 a1 d1 ) x b1d1 0 dengan menggunakan rumus ABC didapatkan x x (a1m1 a1 d1 ) (a1m1 a1 d1 ) 2 4a1b1d1m1 2a1m1 w1 w12 4a1b1d1m1 2a1m1 dengan w1 a1m1 a1 d1 substitusi ̅ ke persamaan y (a1 d1 ) x d1b1 d1m1 22 w w 2 4a b d m 1 1 1 1 1 (a1 d1 ) 1 2a1m1 y d1m1 Sehingga diperoleh titik tetap ( ) d1b1 ( ̅ ̅ ) w w 2 4a b d m 1 1 1 1 1 (a1 d1 ) 1 2a1m1 w w 2 4a b d m 1 1 1 1 1 A3 1 , 2a1m1 d1m1 ( Untuk memperoleh titik tetap x 1 z b2 x m2 z 1 x z b2 x m2 z dan z ) substitusikan (a2 d 2 ) x d 2b2 d 2 m2 y z , karena b1 x m1 y b2 x m2 z x 1 d1b1 ,0 1 x b2 x m2 z z b2 x m2 z b2 x x 2 m2 xz z x2 x b2 x b2 z m2 z m2 xz 0 x2 x b2 x b2 z m2 z m2 xz 0 x2 x b2 x b2 1 m2 m2 x z 0 , karena z (a2 d 2 ) x d 2b2 d 2 m2 (a d 2 ) x d 2b2 x 2 x b2 x b2 1 m2 m2 x 2 d 2 m2 0 d2 m2 x2 d2 m2 x b2 d2 m2 x b2 d2 m2 1 m2 m2 x (a2 d 2 ) x d 2b2 0 a2 m2 x2 (a2 m2 a2 d2 ) x b2 d2 0 dengan menggunakan rumus ABC didapatkan x (a2 m2 a2 d 2 ) (a2 m2 a2 d 2 )2 4a2 b2 d 2 m2 2a2 m2 w2 w2 4a2b2 d 2 m2 2 x 2a2 m2 dengan w2 a2 m2 a2 d2 substitusi ̃ ke persamaan z (a2 d 2 ) x d 2b2 d 2 m2 23 w w 2 4a b d m 2 2 2 2 2 (a2 d 2 ) 2 2a2 m2 z d 2 m2 Sehingga diperoleh titik tetap ( ) (̃ d 2b2 ̃) w w 2 4a b d m 2 2 2 2 2 (a2 d 2 ) 2 2a2 m2 w w 2 4a b d m 2 2 2 2 2 A4 2 , 0, 2a2 m2 d 2 m2 Untuk memperoleh titik tetap ( d 2b2 ) substitusikan (a d ) x d1b1 y 1 1 d1m1 z (a2 d 2 ) x d 2b2 d 2 m2 Karena perhitungannya sulit dilakukan secara manual, maka dilakukan perhitungan menggunakan perangkat lunak matematika dengan kode sebagai berikut: with(DEtools) : Akan didapatkan persamaan , sehingga diperoleh titik tetap y* (a1 d1 ) x* d1b1 d1m1 z* (a2 d 2 ) x* d 2b2 d 2 m2 ( ) dengan 24 Lampiran 3 Penentuan nilai eigen dari persamaan Misalkan persamaan (3.3) dituliskan sebagai berikut: y z g1 ( x, y, z ) x 1 x x b x m y b x m z 1 1 2 2 x g 2 ( x, y, z ) y a1 d1 y b1 x m1 y x g 3 ( x , y , z ) z a2 d2 z b2 x m2 z Dengan melakukan pelinearan didapat matriks Jacobi sebagai berikut: g1 g1 x x g J y 2 x g z 3 x dengan g1 y g y 2 g2 y g z 3 y x dideferensialkan terhadap y z g1 1 2 (b1 x m1 y ) (b2 x m2 z ) 2 x g1 m1 y 1 y (b1 x m1 y ) (b1 x m1 y ) 2 g1 m2 z 1 z (b2 x m2 z ) (b2 x m2 z ) 2 dideferensialkan terhadap g 2 a1 (b1 x m1 y ) a1 x x g 2 a1m1 x y (b1 x m1 y ) 2 g 2 0 z dideferensialkan terhadap g3 a2 (b2 x m2 z ) a2 x x g3 0 y g3 a2 m2 x z (b2 x m2 z ) 2 g1 z g y 2 z g z 3 g3 z x 25 Pelinearan titik tetap ( ) akan diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut: 1 0 J1 0 d1 0 0 0 0 d 2 Kemudian dicari nilai eigennya dengan menggunakan persamaan karakteristik det( J1 I ) 0 sehingga diperoleh 1 0 0 0 d1 0 0 0 0 d 2 (1 )(d1 )(d2 ) 0 Jadi nilai eigennya adalah sebagai berikut: 1 1 2 d1 3 d2 Pelinearan titik tetap ( ) akan diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut: 1 1 1 b1 a1 d1 (b1 1) J2 0 1 b1 0 0 0 a2 d 2 (b2 1) 1 b2 1 1 b2 Kemudian dicari nilai eigennya dengan menggunakan persamaan karakteristik det( J 2 I ) 0 sehingga diperoleh 1 1 1 b1 1 1 b2 0 a1 d1 (b1 1) 1 b1 0 0 0 a2 d 2 (b2 1) 1 b2 0 26 Jadi nilai eigennya adalah sebagai berikut: 1 1 Pelinearan titik tetap 2 a1 d1 (b1 1) 1 b1 3 a2 d 2 (b2 1) 1 b2 ( ̅ ̅ ) akan diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut: y xy 1 2 x b1 x m1 y (b1 x m1 y ) 2 a1 y a1 xy J3 b x m y ( b x m1 y ) 2 1 1 1 0 xym1 x b1 x m1 y (b1 x m1 y ) 2 a1 x a1 xym1 d1 b1 x m1 y (b1 x m1 y ) 2 0 x b2 x 0 a2 x d 2 b2 x Diperoleh nilai eigen dari matriks J 3 : 1,2 2 4 2 di mana G11 G22 y xy 1 2 x b x m y ( b x m1 y )2 1 1 1 1 2x a1 x a1 xym1 d1 2 b1 x m1 y (b1 x m1 y ) a1 x y xy a1 xym1 d1 b1 x m1 y (b1 x m1 y )2 G11G22 G12G21 a1 x a1 xym1 y xy 1 2 x b x m y (b x m y )2 b x m y (b x m y )2 d1 1 1 1 1 1 1 1 1 xym1 a1 y a1 xy x 2 2 b1 x m1 y (b1 x m1 y ) b1 x m1 y (b1 x m1 y ) dengan merupakan elemen dari matriks J 3 . Jadi nilai eigennya adalah sebagai berikut: 1 2 2 4 2 2 4 2 a2 x 3 d2 b2 x Pelinearan titik tetap (̃ . ̃ ) akan diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut: 27 z xz 1 2 x b x m z ( b x m2 z ) 2 2 2 2 a2 z a2 xz J4 b x m z ( b x m2 z ) 2 2 2 2 0 xzm2 x b2 x m2 z (b2 x m2 z ) 2 a2 x a2 xzm2 d2 b2 x m2 z (b2 x m2 z ) 2 0 x b1 x 0 a1 x d1 b1 x Diperoleh nilai eigen dari matriks J 4 : 1,2 2 4 2 di mana , . a2 x a2 xzm2 z xz 1 2 x d2 2 2 b2 x m2 z (b2 x m2 z ) b2 x m2 z (b2 x m2 z ) 1 2x a2 x z xz a2 xzm2 d2 b2 x m2 z (b2 x m2 z )2 G11G22 G12G21 a2 x a2 xzm2 z xz 1 2 x b x m z (b x m z ) 2 b x m z (b x m z ) 2 d 2 2 2 2 2 2 2 2 2 xzm2 a2 z a2 xz x 2 2 b x m z b x m z ( b x m z ) ( b x m z ) 2 2 2 2 2 2 2 2 dengan merupakan elemen dari matriks J 4 . Jadi nilai eigennya adalah sebagai berikut: 1 2 2 4 2 2 4 2 a1 x 3 d1 b1 x Pelinearan titik tetap ( ) Dimisalkan matriks Jacobian dari titik tetap A5 ( x* , y* , z* ) : V11 V12 V13 J 5 V21 V22 V23 V V V33 32 31 dengan Vij merupakan elemen dari matriks J 5 . Kemudian dicari persamaan karakteristik 28 det( J 5 I ) 0 Sehingga diperoleh V11 V12 V13 V21 V22 V23 0 V31 V32 V33 V11 V22 V33 V12V23V31 V13V21V32 V13V31 V22 V23V32 V11 V12V21 V33 0 3 V11 V22 V33 2 V11V22 V22V33 V11V33 V11V22V33 V12V23V31 V13V21V32 V13V31V22 V13V31 V11V23V32 V23V32 V12V21V33 V12V21 0 karena dan 3 V11 V22 V33 2 V11V22 V22V33 V11V33 V11V22V33 V13V31V22 V13V31 V12V21V33 V12V21 0 3 V11 V22 V33 2 V11V22 V22V33 V11V33 V13V31 V12V21 V11V22V33 V13V31V22 V12V21V33 0 3 1 2 2 3 0 dengan 1 V11 V22 V33 2 V11V22 V22V33 V11V33 V13V31 V12V21 3 V11V22V33 V13V31V22 V12V21V33 Lampiran 4 Kode program untuk Gambar 1 29 Lampiran 5 Kode program untuk Gambar 2 30 Lampiran 6 Kode program untuk Gambar 3 31 Lampiran 7 Kode program untuk Gambar 4 Lampiran 8 Kode program untuk Gambar 5 32 Lampiran 9 Kode Program untuk Gambar 6 33 Lampiran 10 Kode Program untuk Gambar 7 Lampiran 11 Kode Program untuk Gambar 8 34 Lampiran 12 Kode Program untuk Gambar 9 35 Lampiran 13 Kode Program untuk Gambar 10 36 Lampiran 14 Kode Program untuk Gambar 11 37 Lampiran 15 Kode Program untuk Gambar 12 Lampiran 16 Kode Program untuk Gambar 13 38 Lampiran 17 Kode Program untuk Gambar 14 39 Lampiran 18 Kode Program untuk Gambar 15