5. Gelombang Datar

5. Gelombang Datar
Gelombang EM adalah konsekuensi dari persamaan Maxwell. Bagian ini
menguraikan perilaku gelombang EM dengan pertama-tama akan meninjau
gelombang datar dalam ruang bebas. Selanjutnya akan dijelaskan pula interaksi
antara gelombang dengan medium. Asumsi yang diambil adalah gelombang
berbentuk harmonik waktu dan bebas dari sumber.
5.1 Perambatan Gelombang EM dalam Ruang Hampa
Untuk analisa, kita perlu bentuk solusi untuk E dan H dalam ruang bebas, yang
merupakan solusi dari PDE
G
K
∇2 E + k02 E = 0
(5.1)
Sebenarnya disini ada tiga persamaan, yakni
∂ 2 Ei ∂ 2 Ei ∂ 2 Ei
+ 2 + 2 + k02 Ei = 0
2
∂x
∂y
∂z
i = x, y , z
(5.2)
Kita menempuh prosedur standar dengan pemisahan variabel. Dengan
mengambil satu komponen, misalnya Ex, yang berbentuk
Ex = f ( x ) g ( y ) h ( z )
(5.3)
akan diperoleh
ghf ′′ + fhg ′′ + fgh′′ + k02 fgh = 0
⇒
f ′′ g ′′ h′′
+
+ + k02 = 0
f
g
h
(5.4)
Masing-masing suku adalah fungsi satu variabel dan sama dengan suatu
konstanta, seperti diperlihatkan pada suku terakhir ruas kiri, dengan demikian
haruslah berlaku
f ′′
= − k x2 ;
f
dan
g ′′
= − k y2 ;
g
h′′
= − k z2
h
k x2 + k y2 + k z2 = k02 dengan k0 =
2π
λ
(5.5)
=
ω
c
Dengan demikian, kita memiliki 3 buah persamaan diferensial biasa:
d2 f
+ k x2 f = 0
dx 2
solusinya adalah f = e± jkx x
d 2g
+ k y2 g = 0
2
dy
solusinya adalah g = e
d 2h
+ k z2 h = 0
2
dz
solusinya adalah h = e ± jkz z
(5.6.a)
± jk y y
(5.6.b)
(5.6.c)
Sehingga untuk Ex kita peroleh
Ex = A e
± j (k x x + k y y + k z z )
(5.7)
Ekspresi ini menyatakan komponen-x dari gelombang E yang merambat ke arah
suatu vektor perambatan dengan amplitudo A. Arah perambatan diberikan oleh:
G
k = k x xˆ + k y yˆ + k z zˆ
(5.8)
Selanjutnya akan digeneralisasi ke seluruh komponen. Jika vektor (posisi)
normal 3D didefinisikan sebagai
r
r = xxˆ + yyˆ + zzˆ
r r
maka k ⋅ r = k x x + k y y + k z z , sehingga diperoleh
(5.9)
v v
Ex = Ae− jk ⋅ r
(5.10.a)
dan dengan cara yang sama diperoleh dua komponen lainnya
v v
E y = Be − jk ⋅ r
dan
(5.10.b)
5. Gelombang Datar - 2
v v
Ez = Ce− jk ⋅r
(5.10.c)
Maka kita dapat menuliskan persamaan umum gelombang datar sebagai
r r rv
E = E0e− jk ⋅r
(5.11)
v
dimana E0 = Axˆ + Byˆ + Czˆ .
Untuk perambatan tanpa sumber ∇·E = 0. Jika persyaratan ini dipenuhi,
haruslah k·E0= 0. Ini berarti E0 tegak lurus k. Persamaan yg serupa untuk H
dapat ditemukan dengan substitusi solusi untuk E kedalam persamaan ∇×E.
Hasilnya adalah :
G
G
k
H = 0 nˆ × E
ωμ0
(5.12)
dmana n adalah vektor satuan pada arah k. Perlu diingat bahwa H tegak lurus
k dan juga tegak lurus E, jadi gelombangnya adalah TEM (transverse
electromagnetic).
Fakta ini diperoleh dari persamaan H di atas. Dengan
demikian, kita bisa menggambarkan gelombang seperti diperlihatkan pada
Gambar 5.1.
Gambar 5.1 Gelombang EM dengan E dan H tegak lurus satu sama lain dan
sekaligus keduanya tegak lurus arah perambatan (TEM)
5. Gelombang Datar - 3
Koefisien pada ruas kanan (5.12) memiliki arti khusus dalam gelombang EM.
Kita bisa menguraikannya menjadi
k0
2π
2π f
1
ε0
=
=
=
=
ωμ0 λ0ωμ0 cωμ0 cμ0
μ0
(5.13)
Suku ini berdimensi admittansi, dan sebenarnya
Y0 =
ε
1
1
= = 0
Z 0 η0
μ0
(5.14)
disini Z0 disebut impedansi ruang hampa dan bernilai ≈ 377Ω. Dengan demikian,
kita bisa menuliskan (5.12) sebagai:
G
G
1
H = nˆ × E
η0
(5.15)
5.2 Perambatan dalam Medium Penghantar
Kita telah melihat perambatan dalam ruang hampa (dielektrik sempurna dng σ
= 0). Sekarang kita tinjau perambatan dalam media menghantar (konduktif)
dimana σ bisa bernilai sampai ∞. Kita mulai dengan persamaan
∇2 E− με
ρ
∂2 E
∂J
=μ
+∇
2
ε
∂t
∂t
(5.16)
yang telah diperoleh dari bagian sebelumnya. Dengan mengasumsikan tak ada
muatan bebas dan memilih gelombang bentuk harmonik, maka kita dapat
mengubahnya menjadi
r
r
r
∇ 2 E + ω 2 με E = jωμσ E
r
r
∇2 E − γ 2 E = 0
⇒
(5.17)
dimana γ 2 = jωμσ − μεω 2 , yakni koefisian perambatan kompleks akibat nilai
hantaran terbatas.
5. Gelombang Datar - 4
Di dalam logam, arus hantaran (σE) jauh lebih besar daripada arus perpindahan
(jεω0E). Keduanya akan kurang lebih sama hanya pada daerah optik. Misalnya,
σ = 5.8×107 untuk tembaga dan εω0 = 2πx1010× 8.854×10-12 = 0.556. Jadi, untuk
kasus bahan sangat menghantar pada frekuensi dibawah cahaya tampak, kita
hanya perlu memperhitungkan jσμω. Persamaan diferensial parsial dapat
disederhanakan menjadi
G
G
∇2 E − jωμ0σ E = 0
(5.18)
5.3 Gelombang Jatuh pada Penghantar
Tinjau gelombang datar menuju medium menghantar dan jatuh tegak lurus,
sepeti dilukiskan pada Gambar 5.2 berikut ini.
.
Gambar 5.2 Gelombang jatuh tegaklurus pada medium menghantar
Untuk permasalahan ini, maka (5.18) mengambil bentuk berikut
∂ 2 Ex
− jωμ0σ Ex = 0
∂z 2
(5.19)
dimana solusinya adalah
E x = E0 e
− j ωμ0 σ z
(5.20)
Eksponen disederhanakan menjadi:
γ=
jωμ0σ = (1 + j )
ωμ0σ
2
(5.21)
5. Gelombang Datar - 5
Jadi, kini γ punya bagian riil dan imajiner sama. Selanjutnya gelombang bisa
dinyatakan sebagai
Ex = E0e−α z e− j β
z
dengan α = β =
ωμ0σ
2
dan bisa juga kita tuliskan sebagai
−z
Ex = E0e
δ
− jz
e
(5.22)
δ
Persamaan terakhir memberikan factor kedalaman kulit:
δ=
2
1
1
= =
ωμ0σ α β
(5.23)
Di permukaan, pada z = 0 kita punya Ex=E0 dan pada kedalaman kulit z = δ
diperoleh Ex=E0/e. Artinya, medan meluruh sebesar 1/e atau 36.8% dari nilainya
di permukaan. Perluruhan kuat medan ini diilustrasikan pada Gambar 5.3
berikut ini
Gambar 5.3 Peluruhan kuat medan listrik saat memasuki medium menghantar
Sebagai gambaran, untuk tembaga dengan σ = 5.8x107 S/m diperoleh
2
6.61×10−2
.
δ=
=
ωμ0σ
f
Maka pada frekuensi
60Hz
tembaga memiliki
kedalaman kulit δ=8.5x10-3 m, pada f=1MHz δ=6.6x10-5 m dan pada f=30GHz,
diperoleh δ=3.8x10-7 m. Sebaliknya air laut memiliki konduktivitas σ = 4 S/m,
2.52 ×102
sehingga δ =
. Maka pada f=1 kHz air laut memiliki δ=7.96m. inilah
f
alasan mengapa kapal selam memakai frekuensi gelombang EM yang sangat
rendah (ULF) untuk berkomunikasi.
5. Gelombang Datar - 6
Gambar 5.4 Komunikasi kapal selam dengan ULF
5.4 Impedansi karakteristik bahan
Impedansi karakteristik bahan didefinisikan seperti pada definisi impedansi
sebelumnya, yakni
Zm =
μ0
μ0
=
σ
εc
ε− j
ω
(5.24)
Tetaapi disini arus hantaran sangat dominan. Konsekuensinya adalah suku
kedua pada penyebut (denominator) menjadi sangat besar. Dengan pendekatan
ini diperoleh akan diperoleh
Z m = (1 + j )
ωμ0 1 + j
=
σδ
2σ
(5.25)
Sebagai contoh, tembaga pada frekuensi 10GHz
memiliki impedansi
karakteristik sebesar Zm= 0.026(1+j) Ω.
Pantulan pada antarmuka logam-udara adalah ρ =
Zm − Z0
≈ −1 karena Z m << Z 0 .
Zm + Z0
Juga kita catat bahwa, ketika →σ ∞, Zm→ 0 dan bahwa ρ= -1 pada penghantar
sempurna. Sehingga syarat batas terpenuhi. Koefisien transmisi pada logam
diberikan oleh τ = 1+ρ.
5. Gelombang Datar - 7
Bahan dapat berperilaku baik sebagai dielektrik maupun sebagai penghantar,
bergantung pada frekuensi kerja. Dari persamaan Maxwell bentuk harmonik
kita dapatkan
∇ × H = σ E + jωε E
Pada ruas kanan, suku pertama menyatakan rapat arus konduksi sedangkan
suku kedua menyatakan rapat arus perpindahan. Disini akan ada tiga
kemungkinan sifat bahan, yakni:
εω >> σ : arus perpindahan >> arus penghantar ⇒ dielektrik
εω ≈ σ : arus perpindahan ≈ arus penghantar
⇒ kuasi-konduktor
εω << σ : arus perpindahan << arus penghantar ⇒ konduktor
Untuk keperluan praktis, aturan yang bisa dipkai untuk menentukan sifat-sifat
bahan adalah sebagai berikut
Dielektrik:
σ
1
<
ωε 100
(5.26.a)
Kuasi-konduktor:
1
σ
<
< 100
100 ωε
(5.26.b)
Konduktor:
100 <
σ
ωε
(5.26.c)
Gambar 5.5 menunjukkan batas-batas sifat ini untuk beberapa jenis bahan,
yakni: tanah, air laut, dan tembaga.
Gambar 5.5 Daerah konduktor, kuasi-konduktor dan dielektrik dari beberapa material
5. Gelombang Datar - 8
Kasus Umum
Dari hasil sebelumnya telah diperoleh
⎡
σ ⎤
⎥
γ 2 = jωμσ − μεω 2 = −ω 2με ⎢1 +
⎢⎣
jωε ⎥⎦
Jika γ = α+jβ, kuadratkan dan samakan bagian riil/imajiner lalu dipecahkan
untuk α dan β. maka akan diperoleh:
1
2
⎧
⎡
⎤⎫
2
⎪
⎪
⎛ σ ⎞⎟
⎪
⎪
1⎢
⎥
⎪
⎪
α = ω με ⎨ ⎢ 1 + ⎜⎜ ⎟⎟ − 1⎥ ⎬
⎪2 ⎢
⎝⎜ ωε ⎠
⎥ ⎪⎪
⎦⎭
⎪⎪ ⎣
⎪
⎩
Np/m
(5.27)
rad/m
(5.28)
1
2
⎧
⎡
⎤⎫
2
⎪
⎪
⎛ σ ⎞⎟
⎪
⎪
1⎢
⎥
⎪
⎪
β = ω με ⎨ ⎢ 1 + ⎜⎜ ⎟⎟ + 1⎥ ⎬
⎪2 ⎢
⎝⎜ ωε ⎠
⎥ ⎪⎪
⎪⎩
⎦⎪
⎪ ⎣
⎭
Dengan ekspansi binomial dan penyederhanakan, kita akan mendapatkan
pendekatan nilai α, β dan Z sebagai berikut
Besaran
α
Dielektrik yang baik
σ μ
2 ε
Penghantar yang baik
ωμσ
2
β
ω με
ωμσ
2
Zw
μ
ε
ωμ
(1 + j )
2σ
5.5 Gelombang Datar di Perbatasan Medium
Tinjau suatu gelombang berjalan ke arah +z dengan polarisasi linier (pada arah-
x) dan (magnitude) kuat medan listrik Ei. Kita akan meninjau perilaku
gelombang di perbatasan dua buah medium dengan menganalisis medan-medan
listrik dan megnetnya, seperti yang diperlihatkan dalam Gambar 5.6.
5. Gelombang Datar - 9
Gambar 5.6 Gelombang datar jatuh pada batas dua medium
Ada beberapa syarat batas yang harus dipenuhi oleh medan-medan di
perbatasan tersebut, diantaranya adalah kontinyuitas medan tangensial di
perbatasan:
Ei + Er = Et
(5.29)
Hi + H r = Ht
(5.30)
Terlebih dahulu didefinisikan impedansi berikut
Ei
= Z1
Hi
Er
= − Z1
Hr
Et
= Z2
Ht
(5.31)
Substitusi ke (5.29) dan (5.30) dan eliminasi Er akan memberikan
τ=
Et
2Z 2
=
Ei Z1 + Z 2
(koefisien transmisi)
(5.32)
Dengan cara sama, substitusi ke (5.29) dan (5.30) dan eliminasi dan eliminasi Et
akan menghasilkan
ρ=
Er Z 2 − Z1
=
Ei Z 2 + Z1
(koefisien pantulan)
(5.33)
5. Gelombang Datar - 10
Kita perhatikan bahwa τ = 1+ρ. Proses pantulan ini serupa dengan yang terjadi
pada saluran transmisi. Pengertian koefisien transmisi dan koefisien pantulan
diperjelas dengan Gb 5.7. Selanjutnya akan beberapa kasus khusus.
Gambar 5.7 Koefisien pantulan dan transmisi
(1) Medium 1: udara; Medium 2: penghantar
Z1 = 377Ω
>>
Jadi Et = τ Ei ≈
Z2 = Zm =
1+ j
σδ
2Z 2
Ei .
Z1
Lalu, gunakan H t =
Et
2
⇒ H t = Ei ≈ 2 H i
Z2
Z1
(5.34)
(5.35)
(5.36)
Persamaan ini mengatakan bahwa medan magnetik yang diteruskan hampir
bernilai dua kali yang datang sebelum akhirnya meluruh sesuai nilai kedalaman
kulit. Di sisi pantulan Hi ≈ Hr yang berarti bahwa hampir seluruh medan-H
dipantulkan dan membentuk gelombang berdiri.
(2) Medium 1: penghantar; Medium 2: udara
Situasi menjadi sebaliknya, kini gelombang datang dari sisi konduktif. Dapat
kita tunjukkan bahwa gelombang hampir seluruhnya dipantulkan didalam
konduktor, tetapi gelombang berdiri mengalami pelemahan akibat konduktivitas
medium.
(3) Medium1: dielektrik; Medium2: dielektrik
5. Gelombang Datar - 11
Z1 =
μ0
,
ε1
Z2 =
μ0
ε2
⇒
ρ=
ε1
−1
ε2
(5.37)
ε1
+1
ε2
Hasil ini mengatakan bahwa pantulan dapat dikendalikan dengan mengubah
nisbah konstanta dielektrik. Analogi dengan saluran transmisi dapat dipakai
untuk membuat peralatan penyesuai seperempat-gelombang.
Gambar 5.8 Penyesuaian impedansi dengan keping λ/4
Penyesuaian gelombang dapat dilakukan dengan keeping penyesuai λ/4.
Gambar 5.8 menunjukkan suatu contoh kasus penyesuaian impedansi. Menurut
teori saluran transmisi, agar terjadi matching maka haruslah Z p = Z 0 Z 2 .
Karena
Z0
Z 0 = 376.7Ω,
Z2 =
Z p = 266Ω
dan ε r' =
εr
=
376.7
= 188Ω , maka
2
Z0
=2
Z2
Prinsip penyesuaian λ/4 tidak hanya berlaku dalam permasalahan saluran
transmisi. Sesungguhnya prinsip yang sama dipakai untuk menghilangkan
pantulan pada berbagai peralatan optik dengan memakai lapisan coating λ/4
pada lensa dan prisma untuk meningkatkan efisiensi transmisi cahaya.
Dengan cara sama, irisan setengah gelombang dapat dipakai sebagai jendela
dielektrik. Yakni, transparansi secara penuh. Disini Z2=Z0 dan bagian penyesuai
5. Gelombang Datar - 12
adalah λ/2. Peralatan demikian dipakai untuk melindungi antena dari cuaca, es,
salju dsb dan disebut radome (Gambar 5.9).
Gambar 5.9 Radome harus dedesain dengan prinsip penyesuai impedansi
Perlu diingat bahwa kedua aplikasi tsb sensitif terhadap frekuensi dan bahwa
bagian penyesuai bernilai λ/4 or λ/2 pada satu nilai frekuensi saja.
5.6 Gelombang Jatuh Miring
Analogi saluran transmisi dng pantulan gelombang datar hanya terjadi pada
gelombang jatuh tegak lurus. Jika gelombang jatuh miring, maka karakteristik
pantulan dan transmisi akan bergantung pada polarisasi dan sudut datang.
Di sini harus dibedakan dua kasus polarisasi. Pertama-tama akan dijelaskan
perilaku gelombang datang, lalu perbedaan setiap jenis polarisasi. Tujuan kita
adalah menentukan koefisien pantulan. Sekali lagi perlu diingat bahwa kita
hanya berurusan dengan gelombang datar.
5. Gelombang Datar - 13
Gambar 5.10 Geometri untuk analisis gelombang jatuh miring
Gambar 5.10 menunjukkan geometri yang akan dipakai dalam analisis. Lebih
lanjut lagi, bidang gelombang datang adalah bidang x-y dan E dapat sejajar atau
tegak lurus bidang gelombang datang. Untuk jelasnya, kedua kasus ini
diberikan dalam Gambar 5.11.
Gambar 5.11 Medan listrik (a) parallel dan (b) tegak lurus bidang datang
Untuk medan listrik yang tegak lurus bidang datang, analisis medannya adalah
sebagai berikut. Untuk gelombang jatuh, maka berlaku
ˆ 0 exp ⎡⎣ jβ1 ( x sin θi + y cos θi )⎤⎦
Ei = zE
H i = (−xˆ cos θi + yˆ sin θi )
(5.38.a)
E0
exp ⎡⎣ jβ1 ( x sin θi + y cos θi )⎤⎦
Z1
(5.38.b)
Sedangkan gelombang pantulnya
Er = zˆρ⊥ E0 exp ⎡⎣ jβ1 ( x sin θr − y cos θr )⎤⎦
(5.39.a)
5. Gelombang Datar - 14
H r = ( xˆ cos θr + yˆ sin θr )
ρ⊥ E0
exp ⎡⎣ jβ1 ( x sin θr − y cos θr )⎤⎦
Z1
(5.39.b)
dan gelombang yang diteruskan akan berbentuk
Et = zˆτ ⊥ E0 exp ⎡⎣ jβ2 ( x sin θt + y cos θt )⎤⎦
H t = (−xˆ cos θt + yˆ sin θt )
(5.40.a)
τ ⊥ E0
exp ⎡⎣ jβ2 ( x sin θt + y cos θt )⎤⎦
Z2
(5.40.b)
Hubungan berbagai komponen medan diperlihatkan pada Gambar 5.12.
Gambar 5.12 Hubungan berbagai komponen medan di perbatasan
Arti ekspresi matematika dalam (5.38), (5.39), dan (5.40) adalah sebagai berikut.
Argumen dalam eksponensial menyatakan arah perambatan gelombang. Jadi
untuk medan listrik/magnet dari gelombang datang Ei dan Hi
Diluar eksponensial menyatakan komponen vektor dari medan ybs misalnya
untuk Hr
Selanjutnya diterapkan syarat batas:
Medan E tangensial (Ez), match pada y=0
Medan H tangensial (Hx), match pada y=0
5. Gelombang Datar - 15
Maka akan didapatkan
exp ( jβ1 x sin θi ) + ρ⊥ exp ( jβ1 x sin θr ) = τ ⊥ exp ( jβ2 x sin θt )
(5.41)
Kita tahu bahwa τ =1+ ρ, sehingga argumen dari eksponen haruslah bernilai
sama. Kadang-kadang ini disebut sebagai phase-matching dalam optika. Hal ini
ekivalen dengan menerapkan syarat batas.
jβ1 sin θi = jβ1 sin θr = jβ2 sin θt
(5.42)
Persamaan pertama menghasilkan
θr = θi ,
(5.43)
dan dari yang kedua, karena β =
sin θt =
μ1ε1
sin θi
μ2ε2
2π
λ
(5.44)
Dengan matching komponen Hx dan menggunakan hukum Snell,
kita
mendapatkan koefisien pantulan Fresnel untuk gelombang dengan medan E
tegak lurus bidang datang
ρ⊥ =
Z 2 cos θi − Z1 cos θt
Z 2 cos θi + Z1 cos θt
(5.45)
Hukum Snell bisa dipakai untuk menghilangkan θt dan menuliskannya dalam
sudut datang, di saat yang sama diasumsikan medium non-magnetik (μ= μ0
untuk kedua media)
cos θi −
ρ⊥ =
ε2
− sin 2 θi
ε1
ε
cos θi + 2 − sin 2 θi
ε1
(5.46)
5. Gelombang Datar - 16
Kedua bentuk akan sama dengan pada kasus saluran transmisi saat
θi=0.
Bentuk terakhir inilah yang paling sering terdapat di textbook, bentuk
terdahulu bersifat lebih umum.
Dari persamaan tersebut kita dapatkan hasil-hasil pengamatan berikut ini:
•
Jika ε2 > ε1 , maka akar pangkatnya positif,
•
Jika ε1> ε2 , maka gelombang merambat dari medium lebih rapat ke
kurang rapat
DAN
sin 2 θi ≥
ε2
, maka ρ⊥ kompleks dan
ε1
ρ⊥ = 1 . Hal ini menyebabkan gelombang
datang mengalami pantulan total internal ke medium yang lebih rapat.
Jika kesamaan terpenuhi, kita mendapatkan sudut kritis. Dengan kata lain, jika
sudut datang lebih dari atau sama dengan sudut kritis dan gelombang
merambat dari medium yang tapat ke kurang rapat, akan terjadi pantulan total
internal.
θic = sin −1
ε2
ε1
(5.47)
Untuk θi> θic , maka ρ⊥ = 1 seperti sebelumnya. Kita juga mendapatkan hasilhasil ”aneh” berikut ini.
sin θt =
ε1
sin θ i karena ε1 > ε 2
ε2
cosθt = 1 − sin 2 θt = jA
dimana A =
⇒
sin θt > 1 !
cos θt imajiner!
ε1 2
sin θi − 1
ε2
Apa arti fisis hasil ini? Untuk melihatnya, kita kembali ke ekspresi medan yang
diteruskan dan menggantikan ke hasil di atas. Sebelumnya
5. Gelombang Datar - 17
Et = zˆτ ⊥ E0 exp ⎡⎣ j β 2 ( x sin θt − y cosθt ) ⎤⎦
= zˆτ ⊥ E0 exp [ j β 2 x sin θ t ] exp [ −α y ]
dimana α = β 2 A = ω μ2ε 2
ε1 2
sin θi − 1
ε2
Secara fisis, nampak bahwa medan yang diteruskan merambat sepanjang
permukaan (arah –x) tetapi melemah pada arah +y. Gelombang semacam ini
disebut sebagai medan gelombang
permukaan.
Gambar 5.13 Pantulan total
Kita mengasumsikan εr = 81, σ = 0 dan μr = 1. Mis θi = 45° tentukan
θic = sin −1
1
= 6.38° . Dengan demikian θi > θ ic , yakni diperoleh pantulan total.
81
Selanjutnya, dengan hukum Snell
sin θt =
81
sin 45° = 6.38
1
cosθt = ± j 81sin 2 45° − 1 = + j 6.28
(dilih tanda +untuk atenuasi pd
arah +y)
α = β2 A =
2π
λ0
6.28 =
39.5
λ0
Nep / m
5. Gelombang Datar - 18
1
− 0.5
81
τ = 1 + ρ⊥ = 1 +
= 1.42∠ − 44.6°
1
0.707 +
− 0.5
81
0.707 −
Ini
berarti
bahwa
jika
kuat
medan
di
permukaan
1V/m,
maka
Et = τ Ei = 1.42Vm -1 . Kita tentukan medan E yang diteruskan pada λ/4 diatas
permukaan
⎡ −39.49 λ0 ⎤
⎥ = 73.2μVm−1
Et = 1.42exp ⎢
⎢ λ0
4 ⎥⎦
⎣
⎛ 73.2 ×10−6 ⎞⎟
⎟ = −85.8dB
= 20log ⎜⎜
⎜⎝ 1.42 ⎠⎟⎟
Ini berarti bahwa gelombang permukaan terikat secara kuat pada permukaan
dan aliran daya pada arah tegak lurus permukaan adalah nol.
5.7 Gelombang Terolarisasi Parallel
Dengan cara yang sama seperti sebelumnya, kita bisa melakukan analisis pada
gelombang dng medan E sejajar bidang datang gelombang. Koefisien pantulan
Fresnel adalah
ρ =
Z 2 cos θt − Z1 cos θi
Z1 cos θi + Z 2 cos θt
(5.48)
Atau, untuk bahan non-magnetik
−
ρ =
ε2
ε
cos θi + 2 − sin 2 θi
ε1
ε1
ε2
ε
cos θi + 2 − sin 2 θi
ε1
ε1
(5.49)
Untuk polarisasi parallel, ada kemungkinan pantulan dibuat nol. Dalam kasus
demikian, maka
5. Gelombang Datar - 19
ε2
ε
cosθ i = 2 − sin 2 θi , atau
ε1
ε1
ε 2 ε1
1 + ε 2 ε1
sin θi =
karena
tan −1 x = sin −1
θi = θ B = tan −1
x
1 + x2
, maka
ε2
ε1
(5.50)
Disini θi adalah sudut Brewster dan transmisi sempurna terjadi pada sudut ini.
Gambar 5.14 Perhatikan bahwa delombang dng polarisasi paralel
mengalami lompatan fasa sebesar π pada θB
B
Kadangkala sudut Brewster ini disebut sbg sudut pemolarisasi karena
gelombang datar yang terdiri dari gelombang dengan polarisasi
paralel dan
tegaklurus (mis. pada polarisasi sirkuler) yang jatuh pada sudut Brewster,
maka hanya polarisasi tegaklurus saja yang dipantulkan. Komponen gelombang
dengan polarisasi paralel akan diteruskan seluruhnya. Fenomena ini dipakai
dalam optika (atau teknik gelombang mikro) untuk mengubah radiasi sirkuler
menjadi linier.
5. Gelombang Datar - 20
Gambar 5.15 Gelombang datar merambat di ruang hampa
Gambar 5.15 berikut ini menggambarkan gelombang datar yang merambat di
ruang hampa, dengan kuat medan listrik sebesar 1.2π mV/m dan kuat medan
magnet 10μA/m. Perhatikan bahwa E tetap berada di bidang x-z, E terpolarisasi
pada arah-x.
5.8 Polarisasi Gelombang
Polarisasi menggambarkan perilaku berubah-waktu dari vektor E pada suatu
G
ˆ x , ini berarti gelombang terpolarisasi pada arah x.
titik dalam ruang. Jika E = xE
G
ˆ x + yE
ˆ y dan Ex= Ey, maka gelombang
E = xE
Sedangkan jika
terpolarisasi linier pada sudut 45°. Perhatikan bahwa definisi lain bagi H tidak
diperlukan. Contoh diatas menunjukkan bahwa arah E konstan terhadap waktu.
Akan tetapi, pada beberapa kasus, arah E berubah terhadap waktu.
Tinjau superposisi 2 gelombang terpolarisasi linier, satu pada arah-x dan yang
lain pada arah-y, tetapi berbeda fasa waktu (tertinggal) sebesar π/2.
G
ˆ 1 ( z ) + yE
ˆ 2 ( z ) = xE
ˆ 10e− jkz − yjE
ˆ 20e− jkz
E ( z ) = xE
(5.51)
Ekspresi sesaat untuk E(z) ditentukan dengan mengalikan dengan exp{jωt} dan
mengambil bagian riil-nya
5. Gelombang Datar - 21
G
ˆ 1 ( z ) + yE
ˆ 2 ( z )⎤⎦ e jωt }
E ( z , t ) = Re {⎡⎣ xE
(5.52)
Penjabaran persamaan tersebut lebih lanjut menghasilkan
G
⎛
π⎞
ˆ 10 cos (ωt − kz ) + yE
ˆ 20 cos ⎜⎜ωt − kz − ⎟⎟
E ( z , t ) = xE
⎜⎝
2 ⎠⎟
(5.53)
Perlu diperhatikan bagaimana arah E berubah terhadap t. Ambil referensi,
misalnya z=0
G
ˆ 10 cos (ωt ) + yE
ˆ 20 sin (ωt )
E ( z , t ) = xE
(5.54)
Sementara kita ambil E10 = E20, dan menggambarkan arah E untuk berbagai ωt.
Pada ωt=0, E menarah ke +x, kemudian saat ωt=π/2 E mengarah ke +y, dan
saat ωt=π E mengarah ke
-x.. Terlihat bahwa medan listrik berputar
berlawanan arah jarum jam. Karena E10 = E20 gelombang terpolarisasi sirkuler.
Dengan cara yang sama, jika komponen-y mendahului 90°
kita akan mendapatkan E yang berputar searah jarum jam.
(a)
(b)
Gambar 5.16 Polarisasi sirkuler dengan arah putar: (a) berlawanan arah jarum jam
(CW)
dan (b) searah jarum jam (CCW)
5. Gelombang Datar - 22
Untuk kasus lain dimana E10≠E20, atau pergeseran fasa tidak tepat sebesar π/2
(mendahului atau tertinggal), maka gelombang akan terpolarisasi secara eliptik
(Gambar 5.17).
(a)
(b)
Gambar 5.17 Polarisasi eliptik (a) medan dan (b) sumbu major/minor
Dalam polarisasi eliptik dikenal faktor AR (axial ratio) yang didefinisikan
sebagai
Axial ratio (AR) =
major axis
minor axis
1 ≤ AR ≤ ∞
Gambar 5.17(b) menjelaskan kedua sumbu ini.
5.9 Teorema Poynting
Gelombang EM yang merambat akan membawa energi. Secara intuitif, kita bisa
memahami bahwa aliran energi ini searah dengan arah perambatan gelombang.
Vektor Poynting adalah suatu besaran yang berhubungan dengan kuantitas dan
arah energi gelombang EM. Karena gelombang EM memiliki komponen E dan H,
tentu vektor Poynting akan merlasikan kedua medan ini kedalam energinya.
Akan ditinjau terlebih dahulu kedua buah komponen medan dalam gelombang
EM. Dengan melihat satuan atau dimensinya, kita ingat bahwa medan E
berdimensi V/m sedangkan medan H berdimensi A/m. Hasil perkalian keduanya
akan berdimensi VA/m2 atau W/ m2, yakni besarnya daya persatuan luas. Lebih
lanjut lagi, persamaan Maxwell memberikan nilai pusaran E dan H (setalah
konversi melalui hubungan kuantitatif untuk B) sebagai berikut:
5. Gelombang Datar - 23
r
r
∂H
∇ × E = −μ
∂t
(5.55)
r
r r
∂E
∇× H = J +ε
∂t
(5.56)
Dengan memakai identitas dari kalkulus vektor berikut
G G
G
G
G
G
∇⋅ A × B ≡ B ⋅ ∇× A − A ⋅ ∇× B
(
)
(
)
(
)
(5.57)
lalu kita substitusikan A = E dan B = H, maka
G K
G
G
G
G
∇⋅ E × H ≡ H ⋅ ∇× E − E ⋅ ∇× H
(
)
(
)
(
)
G
G
K ∂H G G G ∂ E
= −H ⋅ μ
− E⋅ J − E⋅ε
∂t
∂t
=−
G G
μ ∂ G G
ε ∂ G G
H ⋅H −
E⋅E −E⋅ J
2 ∂t
2 ∂t
=−
∂ ⎛⎜ 1 2 1
2⎞
2
⎜⎜⎝ εE + μ H ⎟⎠⎟⎟ − σ E
∂t 2
2
(
)
(
)
Kemudian kita integrasikan hasil terakhir ke seluruh volume V
G
G
∫ ∇⋅ ( E × H )
dV = −
V
∂ ⎜⎛ 1 2 1
2⎞
2
⎜⎜⎝ ε E + μ H ⎠⎟⎟⎟ dV − ∫ σ E dV
∫
2
∂t V 2
V
(5.58)
Sisi kiri dari persamaan tesebut ekivalen dengan integral permukaan
G G
∇⋅ E × H
∫ (
V
)
dV =
G
G
G
∫v ( E × H ) ⋅ dS
S
yang menyatakan menyatakan daya yang keluar dari volume melalui
permukaan S. Suku pertama ruas kanan adalah laju perubahan energi listrik
dan magnet pada medan sedangakan suku kedua ruas kana menyatakan
disipasi daya dalam volume. Secara keseluruhan, ruas kanan pada persamaan
tersebut menyatakan penurunan daya netto.
5. Gelombang Datar - 24
Vektor Poynting adalah vector yang mengambarkan aliran daya , baik besar
maupun arahnya, yang diambil dari sisi persamaan, yakni
G G G
S = E×H
(vektor Poynting)
(5.59)
Jika kita tuliskan,
1
1 r r
we = ε E 2 = ε E ⋅ E ∗
2
2
Rapat energi listrik:
(5.60.a)
1
1 r r
μH 2 = μH ⋅ H ∗
2
2
Rapat energi magnetic:
wm =
Rapat daya ohmic:
Pσ = σ E =
2
J2
σ
(5.60.b)
r r
r r∗ J ⋅ J ∗
=σE⋅E =
σ
(5.60.c)
Maka persamaan (5.58) dapat dituliskan sebagai berikut
⎫
G G ∂⎧
⎪
⎪
−∫ S ⋅ dS = ⎪⎨∫ ( we + wm ) dV ⎪⎬ + ∫ Pσ dV
⎪
∂t ⎪
⎪
⎪
S
⎩V
⎭ V
(5.61)
dan dapat ditafsirkan sebagai
Daya mengalir
KEDALAM per-
laju peningkatan
= energi listrik dan
mukaan saat tertentu
magnet tersimpan
daya ohmic
+ yg didisipasi
dalam V
Sejauh ini kita hanya membahas vektor Poynting umum. Tetapi, yang akan kita
pakai adalah medan harmonik-waktu. Kita perlu mengevaluasi daya rata-rata,
dan karena medan bersifat harmonik waktu, kita bisa memperoleh harga rataratanya dengan mengintegrasikannya didalam satu perioda.
5. Gelombang Datar - 25
Dari hasil sebelumnya, kita ingat cara mencari nilai sesaat adalah, kalikan
dengan exp{jωt) dan kemudian ambil bagian riil-nya. Tetapi, kita harus hati-hati
karena akhirnya akan diperoleh hasil berupa suku kosinus dan menangani hasil
campurannya (tdk linier). Begitu vektor Poynting berubah-waktu diperoleh,
nilai rata-ratanya
ditentukan dengan integrasi paa satu perioda.
Maka
hasilnya adalah
G G
G
G G
1
Pav = Sav (r ) = Re E × H ∗
2
{
}
(5.62)
Sebagai contoh, tinjau m,edan di suatu titik R dalam ruang yang ditimbulkan
oleh arus vertikal elementer (antena) sepanjang dl di titik pusat koordinat bola
yang diberikan oleh:
K
60π Id A
E = Eθ θˆ = j
sin θ e− jβ Rθˆ ,
λR
dan
G
Id A
sin θ e− jβ Rφˆ
H = H φφˆ = j
2λ R
Maka vektor Poynting sesaat adalah:
G
S ( R, t ) = Re θˆ Eθ ( R, θ ) e jωt × Re φˆ H ( R, θ ) e jωt
{
}
{
}
⎛ Id A ⎞⎟
= θˆ × φˆ 30π ⎜⎜
sin 2 θ sin 2 (ωt − β R )
⎜⎝ λ R ⎠⎟⎟
2
⎛ Id A ⎞⎟
= rˆ15π ⎜⎜
sin 2 θ ⎡⎢1 − cos (2 {ωt − β R})⎤⎥
⎜⎝ λ R ⎠⎟⎟
⎣
⎦
2
G G
G
G G
1
Diperoleh rapat daya rata-ratanya, dengan memakai Pav = S av (r ) = Re E × H ∗ ,
2
{
}
adalah
2
G
⎛ Id A ⎞⎟
sin 2 θ
S av ( R ) = rˆ15π ⎜⎜
⎜⎝ λ R ⎠⎟⎟
W/m 2
5. Gelombang Datar - 26
Ini adalah rata-rata waktu dari S(R,t). Untuk mendapatkan daya total kita
harus mengintegrasi Sav(R) ke seluruh bola. Dengan demikian
2
G
G 2π π
⎛ Id A ⎞⎟
2
2
⎜
S
dS
Total Daya = ∫
⋅
=
15
π
v av
∫ ∫ ⎜⎜⎝ λ R ⎠⎟⎟ sin θ R sin θ d θdφ
S
0 0
⎛dA ⎞
= 40π 2 ⎜⎜ ⎟⎟⎟ I 2
⎜⎝ λ ⎠
2
Hasil ini akan kita bahas lebih mendalam lagi dalam pembahasan antenna dan
radiasi EM.
5. Gelombang Datar - 27