PERBANDINGAN DAN FUNGSI TRIGONOMETRI

PERBANDINGAN DAN FUNGSI
TRIGONOMETRI
D. Rumus Perbandingan Trigonometri di Semua Kuadran
Dalam pembahasan sebelumnya, kita telah melihat nilai perbandingan trigonometri
untuk sudut sudut istimewa yang besarnya kurang dari 900 (dinamakan sudut lancip).
Selanjutnya akan dibahas nilai perbandingan trigonometri untuk sudut sudut istimewa
yang besarnya lebih dari 900.
Yang dimaksud sudut istimewa yaitu sudut 00 dan sudut kelipatan 300 dan 450 .
Dalam interval 00  x  3600 sudut-sudut tersebut dikelompokkan atas empat kuadran,
yaitu :
Kuadran I , yakni sudut-sudut yang besarnya antara 00 sampai 900 (dinamakan sudut
lancip)
Kuadran II , yakni sudut-sudut yang besarnya antara 900 sampai 1800 (dinamakan
sudut tumpul)
Kuadran III , yakni sudut-sudut yang besarnya antara 1800 sampai 2700
Kuadran IV , yakni sudut-sudut yang besarnya antara 2700 sampai 3600
Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa dapat dikelompokkan
menjadi dua bagian, yakni :
- Dengan menggunakan aturan pelurus (1800 –  ), (1800 +  ) dan (3600 –  )
- dengan menggunakan aturan penyiku (900 +  ), (2700 –  ) dan (2700 +  ).
Untuk nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut istimewa dengan menggunakan
aturan pelurus dapat dijelaskan sebagai berikut :
y
Q(x, y)
P( x, y)
1
1

Q'

O
x
y
P'
Perbandingan dan Fungsi Trigonometri
x
Misalkan sebuah lingkaran dengan jari-jari 1
satuan dengan ujung titik P(x, y) diletakkan
pada koordinat Cartesius.
Kemudian pada kuadran II terdapat titik Q(–
x, y) pada lingkaran tersebut sehingga
segitiga siku-siku OP’P dan OQ’Q kongruen.
1
Dari segitiga OP’P diperoleh nilai : Sin  =
y
= y
1
cos  =
x
= x
1
tan  =
y
x
Dari segitiga OQ’Q diperoleh :
y
sin (180 –  ) =
= y = sin  maka sin (180 –  ) = sin 
1
x
cos (180 –  ) =
= –x = –cos  maka cos (180 –  ) = –cos 
1
y
y
tan (180 –  ) =
= 
= –tan  maka tan (180 –  ) = –tan 
x
x
Sebuah lingkaran dengan jari-jari 1 satuan dengan ujung titik P(x, y) diletakkan pada
koordinat Cartesius.
y
Kemudian pada kuadran III terdapat titik Q(–
x, –y) pada lingkaran tersebut sehingga
segitiga siku-siku OP’P dan OQ’Q kongruen.
P( x, y)
Dari segitiga OP’P diperoleh nilai :
1
Q'
y
Sin  =


O
x
x
P'
1
cos  =
tan  =
Q(x, y)
y
1
x
1
y
= y
= x
x
Dari segitiga OQ’Q diperoleh :
sin (180 +  ) =
cos (180 +  ) =
tan (180 +  ) =
y
1
x
1
y
x
= –y = –sin 
= –x = –cos 
=
y
= tan 
maka sin (180 +  ) = –sin 
maka cos (180 +  ) = –cos 
maka tan (180 +  ) = tan 
x
Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa dikuadran IV dapat dijelaskan
sebagai berikut :
y
sebuah lingkaran dengan jari-jari 1 satuan
dengan ujung titik P(x, y) diletakkan pada
P( x, y)
koordinat Cartesius.
Kemudian pada kuadran IV terdapat titik
1
y
Q(x, –y) pada lingkaran tersebut sehingga

x
segitiga siku-siku OPP’ dan OQP’ kongruen.
x P'

0
1
Q(x, y)
Perbandingan dan Fungsi Trigonometri
2
Dari segitiga OPP’ diperoleh nilai : Sin  =
y
= y
1
cos  =
x
= x
tan  =
1
y
x
Dari segitiga OQP’ diperoleh :
sin (360 –  ) =
cos (360 –  ) =
tan (360 –  ) =
y
1
x
1
y
= –y = –sin 
maka sin (360 –  ) = –sin 
= x = cos 
maka cos (360 –  ) = cos 
=

x
y
x
= –tan 
maka tan (360 –  ) = –tan 
Berdasarkan uraian di atas dapat ditarik kesimpulan bahwa dengan menggunakan aturan
pelurus untuk sudut-sudut istimewa dalam interval 00  x  3600 berlaku hubungan :
sin (180 – α) = sin α
cos (180 – α) = –cos α
tan (180 – α) = –tan α
sin (180 + α) = –sin α
cos (180 + α) = –cos α
tan (180 + α) = tan α
sin (360 – α) = –sin α
cos (360 – α) = cos α
tan (360 – α) = –tan α
Disamping itu, dengan menggunakan aturan penyiku terdapat pula hubungan antara nilainilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran, yakni sebagai berikut :
y
Q
P( x, y)
1
y

0
x
R
x
sebuah lingkaran dengan jari-jari 1 satuan
dengan ujung titik P(x, y) diletakkan pada
koordinat Cartesius.
Sehingga pada segitiga siku-siku OPR
berlaku :
y
Sin  =
= y
1
x
cos  =
= x
1
y
tan  =
x
x
cot  =
y
Dari segitiga siku-siku OPQ diperoleh :
x
= x = cos  maka sin (900 –  ) = cos 
1
y
cos (900 –  ) =
= y = sin  maka cos (900–  ) = sin 
1
x
0
tan (90 –  ) =
= cot  maka tan (900 –  ) = cot 
y
sin (900 –  ) =
Perbandingan dan Fungsi Trigonometri
3
y
T( y, x)
W
1
P( x, y)
Q
1


x
0
S
y
x
R
Sebuah lingkaran dengan jari-jari 1 satuan
dengan ujung titik P(x, y) diletakkan pada
koordinat Cartesius.
Sehingga pada segitiga siku-siku OPR
berlaku :
y
Sin  =
= y
1
x
cos  =
= x
1
y
tan  =
x
cot  =
x
y
Terdapat pula titik T(–y, x) pada lingkaran yang membentuk segitiga siku-siku OTS
sehingga berlaku:
x
= x = cos  maka sin (900 +  ) = cos 
1
y
0
cos (90 +  ) =
= –y = –sin 
maka cos (900 +  ) = –sin 
1
x
x
tan (900 +  ) =
=  = –cot  maka tan (900 +  ) = –cot 
y
y
sin (900 +  ) =
y
P( x, y)
Q
1
y

00

S
x
R
1
T(x, y)
x
Sebuah lingkaran dengan jari-jari 1 satuan
dengan ujung titik P(x, y) diletakkan pada
koordinat Cartesius.
Sehingga pada segitiga siku-siku OPR
berlaku :
x
y
Sin  =
= y
cos  =
= x
1
1
y
x
tan  =
cot  =
y
x
W
Terdapat pula titik T(–y, –x) pada lingkaran yang membentuk segitiga siku-siku OTS
sehingga berlaku:
x
= –x = –cos  maka sin (2700 –  ) = –cos 
1
y
cos (2700 –  ) =
= –y = –sin 
maka cos (2700 –  ) = –sin 
1
x
x
tan (2700 –  ) =
=
= cot  maka tan (2700 –  ) = cot 
y
y
sin (2700 –  ) =
Perbandingan dan Fungsi Trigonometri
4
y
Sebuah lingkaran dengan jari-jari 1 satuan
dengan ujung titik P(x, y) diletakkan pada
P
(
x
,
y
)
koordinat Cartesius.
Q
Sehingga pada segitiga siku-siku OPR
1
y
berlaku :

S
x
x
y
x
0
R
Sin  =
= y
cos  =
= x

1
1
y
x
1
tan  =
cot  =
y
x
W
T( y,x)
Terdapat pula titik T(y, –x) pada lingkaran yang membentuk segitiga siku-siku OTS
sehingga berlaku:
x
= –x = –cos  maka sin (2700 +  ) = –cos 
1
y
0
cos (270 +  ) =
= y = sin 
maka cos (2700 +  ) = sin 
1

x
x
tan (2700 +  ) =
=  = –cot  maka tan (2700+  ) = –cot 
y
y
sin (2700 +  ) =
Berdasarkan uraian di atas dapat ditarik kesimpulan bahwa dengan menggunakan
aturan pelurus untuk sudut-sudut istimewa dalam interval 00  x  3600 berlaku
hubungan :
sin (900 – α) = cos α
cos (900 – α) = sin α
tan (900 – α) = cot α
sin (900 + α) = cos α
cos (900 + α) = –sin α
tan (900 + α) = –cot α
sin (2700 – α) = –cos α
cos (2700 – α) = –sin α
tan (2700 – α) = cot α
sin (2700 + α) = –cos α
cos (2700 + α) = sin α
tan (2700 + α) = –cot α
Untuk lebih jelasnya akan diuraikan pada contoh soal berikut :
01. Tentukanlah nilai dari :
(a) cos 1500
(c) tan 2400
(d) csc 3000
(b) sin 2250
(d) sec 1350
(e) cot 1200
Jawab
(a) cos 1500 = cos (180 – 30)0
= –cos 300
1
3
= –
2
Perbandingan dan Fungsi Trigonometri
5
(b) sin 2250 = sin (180 + 45)0
= –sin 450
1
= –
2
2
(c) tan 2400 = tan (180 + 60)0
= tan 600
= 3
(d) sin 300 = sin (360 – 60)0
= sin 600
0
= 
3
2
Jadi csc 3000 = 
2
3
= 
2
x
3
3
3
2
3
3
(e) tan 1200 = tan (180 – 60)0
= –tan 600
= 
=  3
1
Jadi ctg 1200 = 
3
= 
1
x
3
= 
02. Jika diketahui cos  =
(a) sin 
Jawab
3
3
1
3
3
1
dan  pada kuadran IV maka tentukanlah nilai
3
(b) tan 
(d) sec 
1
, maka untuk menentukan nilai-nilai perbandingan
3
trigonometri yang lain, kita menggunakan bantuan segitiga siku-siku.
Jika diketahui nilai cos  =
BC2 = 32 – 12
B
BC2 = 8
BC =
3
8
2 2
BC = 2 2
A
Perbandingan dan Fungsi Trigonometri

1
C
6
Sehingga karena  pada kuadran IV maka diperoleh :
2 2
3
2 2
(b) tan  = 
= 2 2
1
3
(c) sec  = = 3
1
(a) sin  = 
03. Tentukanlah nilai dari :
5
7
(a) cos 
(b) sin 
3
6
Jawab
5
5
(a) cos  = cos ( x 180 0 )
3
3
= cos 3000
= cos (360 – 60)0
= cos 600
= 1/2
7
7
(b) sin  = sin ( x 180 0 )
6
6
= sin 2100
= sin (180 + 30)0
= –sin 300
= –1/2
3
3
(c) tan  = tan ( x 180 0 )
2
2
= tan 2700
= tan (180 + 90)0
= tan 900
= tidak ada
3
(c) tan 
2
Aturan lain yang diambil dari sudut (3600 – α) adalah aturan sudut negatif. Dimana
aturan yang dipakai adalah sebagai berikut:
sin (3600 – α) = –sin α
cos (3600 – α) = cos α
tan (3600 – α) = –tan α
sin (00 – α) = –sin α
cos (00 – α) = cos α
tan (00 – α) = –tan α
sin (–α) = –sin α
cos (–α) = cos α
tan (–α) = –tan α
Untuk menentukan nilai perbandingan trigonometri terhadap sudut-sudut yang besarnya
lebih dari 3600 maka digunakanlah aturan periodisitas trigonometri.
Nilai sinus dan cosinus akan berulang setiap kelipatan 3600 sedangkan nilai tangens
akan berulang setiap 1800. ini berati sin 300 = sin 3900 = sin 7500 dan seterusnya.
Sehingga dapat dirumuskan :
sin (k.3600 + α ) = sin α
cos (k.3600 + α ) = cos α
dimana k adalah bilangan bulat
0
tan (k.180 + α ) = tan α
Perbandingan dan Fungsi Trigonometri
7
Namun dalam praktiknya aturan periodisitas di atas dapat disederhanakan dengan
rumusan :
sin (α – k.3600) = sin α
cos (α – k.3600) = cos α
tan (α – k.3600) = tan α
dimana k adalah bilangan asli dan α ≥ k.3600
Untuk lebih jelasnya akan diuraikan pada contoh soal berikut :
04. Tentukanlah nilai dari
(a) sin (–315)0
4
(b) cos (  )
3
Jawab
(a) sin (–315)0 = –sin 3150
= –sin (360 – 45)0
= sin 450
1
=
2
2
4
4
(b) cos (  ) = cos 
3
3
4
= cos ( x 180 0 )
3
= cos 2400
= cos (180 + 60)0
= –cos 600
1
= 
3
2
05. Tentukanlah nilai dari
(a) cos 9300
(b) sin 12150
Jawab
(a) cos 9300 = cos (930 – 720)0
= cos 2100
= cos (180 + 30)0
= –cos 300
1
= 
3
2
(b) sin 12150 = sin (1215 – 1080)0
= sin 1350
= sin (180 – 45)0
= sin 450
1
=
2
2
Perbandingan dan Fungsi Trigonometri
(c) tan 6000
8
(b) tan 6000 =
=
=
=
=
tan (600 – 360)0
tan 2400
tan (180 + 60)0
tan 600
3
06. Tentukanlah nilai dari
20
11
(a) sin
(b) cos


3
3
Jawab
11
11
(a) sin  = sin (
x 180 )0
3
3
= sin 6600
= sin (660 – 360)0
= sin 3000
= sin (360 – 60)0
= –sin600
1
= 
3
2
20
20
(b) cos
 = cos (
x 180 )0
3
3
= cos 12000
= cos (1200 – 1080)0
= cos 1200
= cos (180 – 60)0
= –cos600
1
= 
2
25
 =
6
=
=
=
(c) csc
25

6
25
x 180 )0
6
sin 7500
sin (750 – 732)0
sin 300
1
=
2
25
2
Jadi csc
= 2
 =
1
6
(c) sin
sin (
Perbandingan dan Fungsi Trigonometri
9