peluang - eLisa UGM

PELUANG
by Andi Dharmawan
Populasi dan Sampel
• Dalam statistik, kita umumnya tertarik pada 'populasi' yang
terlalu besar bagi kita untuk mengukur sepenuhnya.
• Misalnya, kita bisa tertarik pada semua bola lampu yang
diproduksi oleh produsen tertentu.
– Pabrikan dapat mengklaim bahwa bola lampu nya memiliki
masa 1.500 jam.
– Jelas ini tidak bisa tepat tetapi kita mungkin akan puas setuju
dengan produsen jika sebagian besar lampu memiliki masa
hidup yang lebih besar dari 1500 jam.
– Jika pabrik memproduksi setengah juta bola lampu per tahun
maka kita tidak punya waktu untuk menguji mereka semua.
– Dalam hal ini kita menguji 'sampel'.
– Semakin besar sampel, semakin akurat akan menjadi
perbandingan dengan seluruh penduduk.
Tabel VII.1 Distribusi Frekuensi daya tahan dari sampel light bulbsshowing
metode penghitungan mean dan deviasi standar. N merupakan jumlah
kelas, n jumlah dalam sampel
Interval Kelas
• Menemukan minimum dan maksimum data.
• Perbedaan antara memberikan berbagai data.
• Pilih jumlah interval kelas (biasanya sampai sekitar 20) sehingga rentang
kelas dapat dipilih karena beberapa kelipatan 10, 100, 1000, dll (seperti
rentang kelas 100 di atas).
• Rentang data dibagi oleh berbagai kelas dan kemudian dibulatkan ke
bilangan bulat di atas memberikan jumlah kelas.
• Interval kelas yang dipilih sehingga minimal kelas terendah kurang dari
data nilai minimum.
• Dalam contoh kita, minimal kelas terendah telah terpilih sebagai 900.
• Tambahkan rentang kelas 100 untuk menemukan interval kelas, misalnya,
900-1000.
• Lanjutkan menambahkan berbagai kelas untuk mencari interval kelas
berikutnya sampai Anda melewati nilai maksimum.
Titik Tengah Kelas
• Titik tengah kelas ditemukan oleh nilai maksimum
dalam interval kelas - nilai minimum dalam interval
kelas dibagi 2.
• Untuk interval 1300-1400, titik tengah kelas (14001300) / 2 = 1350.
• Kelas titik tengah diambil sebagai nilai representatif
untuk kelas.
• Artinya, demi kesederhanaan kita memperlakukan data
di kelas 1300-1400 seolah-olah ada 47 nilai pada 1350.
• Ini merupakan pendekatan yang tidak terlalu serius jika
kelas yang tidak terlalu lebar.
Frekuensi Kelas dan Jumlah Total
dalam Sampel
• Frekuensi kelas ditemukan dengan menghitung
jumlah nilai data yang berada dalam rentang
kelas.
• Misalnya, ada 47 nilai antara 1300 dan 1400.
– Anda harus memutuskan apakah akan menyertakan
nilai-nilai yang jatuh tepat pada batas kelas di kelas
atas atau kelas bawah.
– Ini biasanya tidak peduli yang Anda pilih selama Anda
konsisten dalam seluruh set data.
• Jumlah nilai dalam sampel diberikan oleh jumlah
frekuensi untuk setiap interval kelas.
Memperbaiki i dan Rata-Rata
Sampel, 𝒙
• Ini adalah produk dari frekuensi dan titik tengah kelas.
• Jika titik tengah kelas diambil sebagai nilai representatif untuk kelas maka
memberikan jumlah dari semua nilai-nilai di kelas itu.
• Misalnya, di kelas delapan, dengan titik tengah kelas 1650, ada 190 nilai.
• Jika kita mengatakan bahwa masing-masing nilai adalah sekitar 1650 maka
total semua nilai dalam kelas yang 1650 × 190 = 313.500.
• Menyimpulkan kolom ini memberikan total nilai perkiraan untuk seluruh
sampel = 1.682.700 jam.
• Jika kita hanya menggunakan satu lampu pada satu waktu dan berubah
ketika gagal maka 1.000 lampu akan berlangsung sekitar 1.682.700 jam
rata-rata sampel adalah total ini dibagi dengan jumlah dalam sampel,
1000.
• Memberikan 1 682.700/1000 = 1682,7 jam.
• Mean adalah ukuran tendensi sentral.
• Artinya, jika Anda ingin nomor sederhana untuk meringkas masa ini lampu
Anda akan mengatakan bahwa hidup rata-rata adalah 1.683 jam.
Frekuensi Kumulatif
• Frekuensi kumulatif memberikan jumlah yang jatuh ke dalam
interval kelas saat atau interval kelas yang datang sebelum. Anda
bisa menganggapnya sebagai 'jumlah sejauh' fungsi.
• Untuk mencari frekuensi kumulatif untuk kelas, mengambil nomor
di kelas saat ini dan menambah frekuensi kumulatif sebelumnya
untuk kelas bawah, misalnya, untuk 1900-2000 kita memiliki
frekuensi 92.
• Frekuensi kumulatif untuk 1800-1900 adalah 859.
• Tambahkan 859 +92 untuk mendapatkan frekuensi kumulatif 951.
• Artinya, 951 bola lampu dalam sampel memiliki seumur hidup di
bawah 2000 jam. Perhatikan bahwa frekuensi kumulatif dari kelas
akhir harus sama dengan jumlah total dalam sampel. Hal ini karena
kelas terakhir harus menyertakan nilai maksimum dalam sampel
dan semua yang lain memiliki daya tahan kurang dari ini.
(𝒙𝒊 −
𝟐
𝒙) ,
Deviasi Kuadrat
• (𝑥𝑖 − 𝑥)2 merupakan jumlah yang titik tengah kelas berbeda dari
rata-rata sampel.
• Jika kita ingin mengukur seberapa tersebar di sekitar mean data,
maka ini akan tampak seperti sejumlah berguna.
• Namun, menambahkan (𝑥𝑖 − 𝑥)2 untuk seluruh sampel hanya
akan memberikan nol, karena nilai-nilai positif dan negatif akan
membatalkan satu sama lain.
• Oleh karena itu kita mengambil alun-alun, sehingga semua angka
positif.
• Untuk interval kelas enam titik tengah kelas 1450, mengurangkan
mean, 1682,7, memberikan -232,7, yang ketika kuadrat adalah
54.149,2.
• Nilai ini merupakan kuadrat dari deviasi dari rata-rata, atau hanya
deviasi kuadrat.
𝟐
Fi(𝒙𝒊 − 𝒙) , Varians dan Standar
Deviasi
• Untuk setiap kelas kita kalikan frekuensi dengan deviasi kuadrat, dihitung
pada kolom 6.
• Ini memberikan perkiraan terhadap total deviasi kuadrat untuk kelas itu.
• Untuk kelas keenam kita kalikan deviasi kuadrat dari 54.149 dengan
frekuensi 103 untuk mendapatkan 5.577.347.
• Jumlah kolom ini memberikan total kuadrat deviasi dari rata-rata untuk
seluruh sampel.
• Membagi dengan jumlah titik sampel memberikan gambaran deviasi
kuadrat rata-rata, disebut varians.
• Hal ini ditemukan dengan menjumlahkan kolom 7 dan membaginya
dengan 1000, jumlah dalam sampel, memberikan varian 39.120.
• Sebuah ukuran yang lebih baik dari penyebaran data yang diberikan oleh
akar kuadrat dari angka ini, yang disebut standar deviasi dan biasanya
diwakili oleh σ.
• 𝜎 =
39120 ≈ 198.
Frekuensi Relatif
• Jika bukan 1000 nilai data dalam sampel kita
memiliki tahun 2000, 10 000, atau 500, kita
harapkan bahwa proporsi jatuh ke setiap
interval kelas akan tetap kurang lebih sama.
• Ini proporsi jumlah disebut frekuensi relatif
dan ditemukan dengan membagi frekuensi
dengan jumlah total dalam sampel.
• Oleh karena itu, untuk kelas ketiga, 1100 1200, kita menemukan 5/1000 = 0,005.
Frekuensi Relatif Kumulatif
• Dengan argumen yang sama seperti di atas kita harapkan proporsi
dengan seumur hidup kurang dari 1900 jam menjadi kira-kira apa
yang sama ukuran sampel.
• Ini frekuensi relatif kumulatif dapat ditemukan dengan membagi
frekuensi kumulatif dengan jumlah dalam sampel. Perhatikan
bahwa frekuensi relatif kumulatif untuk interval kelas terakhir
adalah 1.
• Artinya, seluruh sampel memiliki seumur hidup kurang dari 2000
jam.
• Data dapat direpresentasikan dalam histogram seperti pada
Gambar VII.1, yang memberikan representasi bergambar sederhana
data.
• Sisi kanan memiliki skala yang sama dengan skala kiri dibagi dengan
jumlah dalam sampel, sehingga memberikan frekuensi relatif dan
frekuensi relatif kumulatif seperti yang diberikan dalam Tabel VII.1.
Gambar VII.1 Histogram dari daya
tahan sampel bola lampu.
Tendensi Sentral - Mean
• Yang paling umum digunakan ukuran tendensi sentral
adalah mean, 𝑥
dimana xi merupakan perwakilan dari nilai kelas dan fi
merupakan frekuensi dari kelas. Penjumlahan terjadi pada
lebih dari semua kelas.
• Jika data belum dikelompokkan ke dalam kelas
kemudian mean ditemukan dengan menjumlahkan
semua nilai data individu dan membaginya dengan
jumlah dalam sampel:
di mana penjumlahan kini seluruh nilai sampel.
Dispersi - Standar Deviasi
•
Varians adalah deviasi kuadrat rata-rata yang diberikan oleh
di mana 𝑥 adalah sampel dari mean, xi adalah nilai representatif untuk kelas, fi adalah frekuensi
kelas, dan penjumlahan adalah atas semua kelas. Nilai ini sama dengan
yang bisa beberapa kali lebih cepat untuk menghitung.
•
Untuk data tidak dikelompokkan ke dalam kelas yang kita miliki
atau
di mana penjumlahan kini seluruh nilai sampel.
Dispersi - Standar Deviasi (lanjutan)
• Deviasi standar diberikan oleh akar kuadrat dari varians:
• Kita telah menghitung umur rata-rata dan deviasi standar
daya tahan dari sampel bola lampu.
• Kita ulangi perhitungan di bawah ini. Nilai rata-rata
diberikan oleh
Dispersi - Standar Deviasi (lanjutan)
• Varians diberikan oleh
• Oleh karena itu, standar deviasi:
Sistem Acak dan Probabilitas
• Frekuensi Relatif dan Probabilitas
– Probabilitas suatu peristiwa berhubungan dengan frekuensi relatif.
• Probabilitas
• Ruang Sampel Diskrit.
– semua probabilitas kurang dari, atau sama dengan 1, yaitu 0  p(x)  1,
di mana x adalah setiap hasil dalam ruang sampel;
– probabilitas individu hasil penjumlahan ke 1, yaitu,
• Ruang Sampel Kontinu
– probabilitas x berada dalam interval a ke b diberikan oleh
– Fungsi kepadatan probabilitas mematuhi kondisi:
Sistem Acak dan Probabilitas
(lanjutan)
• Kejadian dengan Kemungkinan yang Sama
– Jika semua hasil sama-sama mungkin maka
probabilitas dari suatu peristiwa E dari satu set
sampel diskrit diberikan oleh
𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ ℎ𝑎𝑠𝑖𝑙 𝑑𝑖 𝐸
𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ ℎ𝑎𝑠𝑖𝑙 𝑑𝑖 𝑆
Hukum Penambahan Probabilitas
• Kejadian Menguraikan
– Kejadian menguraikan merupakan peristiwa tanpa
hasil yang sama.
– Mereka tidak bisa terjadi secara bersamaan.
• Non-Disjoint Event
Latihan Soal
•
Sebuah desain sirkuit terpadu termasuk kapasitor 100 pF (picofarads). Setelah pembuatan, 80 sampel diuji dan
kapasitansi berikut ditemukan nominal 100-pF kapasitor (data disajikan dalam pF)
90 100 115 80 113 114 99 105 90 99 106 103
95 105 95 101 87 91 101 102 103 90 96 97
99 86 105 107 93 118 94 113 92 110 104 104
95 93 95 85 96 99 98 83 97 96 98 84
102 109 98 111 119 110 108 102 100 101 104 105
93 104 97 83 98 91 85 92 100 91 101 103
101 86 120 96 101 102 112 119
Nyatakan data dalam bentuk tabel dan gambar histogram. Cari mean dan deviasi standar!
•
•
•
•
•
•
•
•
Apa kemungkinan melemparkan nomor lebih dari 4 pada satu lemparan sebuah dadu?
Apa kemungkinan membuang sejumlah kurang dari 4 atau 6 pada satu lemparan sebuah dadu?
Apa kemungkinan melemparkan ganjil atau nomor lebih dari 4 pada satu lemparan sebuah dadu?
Berapa probabilitas menggambar apapun Jantung atau Raja dari dikocok pak kartu?
Pada dua lemparan sebuah dadu, berapa probabilitas dari 6 pada pertama melemparkan diikuti oleh bilangan
genap pada lemparan kedua?
Melontar dua dadu, berapa probabilitas bahwa jumlah dadu adalah 7?
Berapa probabilitas bahwa dua kartu pertama dibagikan dari bungkus akan klub.
Sebuah komponen dalam jaringan komunikasi memiliki probabilitas 1% kegagalan selama periode 24-jam. Untuk
menjaga terhadap kegagalan komponen identik dipasang secara paralel dengan perangkat switching otomatis
harus komponen asli gagal. Jika itu juga memiliki probabilitas 1% kegagalan apa probabilitas bahwa meskipun
tindakan pencegahan ini komunikasi akan gagal.