BAB II TINJAUAN PUSTAKA Sebelum pembahasan mengenai

BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
Sebelum pembahasan mengenai irisan bidang datar dengan tabung lingkaran
tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut.
A. Matriks
Matriks adalah himpunan skalar (bilangan real atau kompleks) yang
disusun secara empat persegi panjang (menurut baris-baris dan kolomkolom). Skalar-skalar tersebut disebut elemen matriks. Untuk batasnya
menggunakan : (
)
Contoh II.A.1
Baris
Matriks real:
(
)
Kolom
Matriks diberi nama dengan huruf besar seperti A, B, C dan lain-lain.
(
Secara lengkap ditulis matriks
elemen-elemennya
) artinya suatu matriks A yang
di mana indeks i menyatakan baris ke-i dan indeks j
menyatakan kolom ke-j dari elemen tersebut.
4
Bentuk-Bentuk Irisan..., Festi Dwijayanti, FKIP UMP, 2014
5
(
Pandang sebuah matriks
)
dan
yang
berarti bahwa banyaknya baris = m serta banyaknya kolom = n.
(
)
(
Boleh ditulis sebagai matriks
),
disebut ukuran (ordo)
dari matriks tersebut. Berikut adalah beberapa hal tentang matriks yang
berkaitan dengan pembahasan mengenai irisan tabung lingkaran tegak dengan
bidang datar.
1. Operasi Perkalian pada Matriks
Dua buah matriks dapat dikalikan apabila jumlah kolom matriks
pertama sama dengan jumlah baris matriks kedua. Secara definisi adalah
sebagai berikut
Definisi II.A.1
Misal matriks A sebagai matriks pertama dan B matriks kedua. Pandang
berukuran
dan
perkalian AB adalah suatu matriks
Untuk setiap
berukuran
berukuran
maka
di mana:
dan
Bentuk-Bentuk Irisan..., Festi Dwijayanti, FKIP UMP, 2014
6
Contoh II.A.2
(
( )
) dan
Ukuran matriks
dan
(
sehingga
(
Jadi,
sehingga
ada dan berukuran
) di mana
).
Secara singkat dapat ditulis
(
)( )
(
)
(
)
2. Transpose dari Suatu Matriks
Pandang suatu matriks
(
) berukuran
maka transpose
dari A adalah matriks AT berukuran
yang diperoleh dari A dengan
menuliskan baris ke-i dari A,
sebagai kolom ke-i dari
Dengan kata lain
(
.
).
Contoh II.A.3
Misal
(
) maka
(
)
Bentuk-Bentuk Irisan..., Festi Dwijayanti, FKIP UMP, 2014
7
3. Beberapa Jenis Matriks Khusus
Suatu matriks terdiri dari berbagai jenis dengan karakteristik khusus
pada masing-masing matriks tersebut.
Berikut adalah beberapa jenis
matriks khusus.
a. Suatu matriks dengan banyak baris sama dengan banyak kolom yaitu n
disebut matriks persegi berordo n. Barisan elemen
disebut diagonal utama dari matriks persegi tersebut.
b. Matriks diagonal adalah matriks persegi yang semua elemen di luar
diagonal utamanya adalah nol atau
untuk
.
c. Matriks identitas adalah matriks diagonal dengan semua elemen-elemen
diagonal utamanya = 1.
d. Matriks simetris adalah matriks yang transposenya sama dengan dirinya
sendiri.
e. Matriks hermitian adalah matriks yang transpose konjugatnya sama
dengan dirinya sendiri (AH = A).
4. Transformasi (Operasi) Elementer pada Baris dan Kolom Suatu Matris.
Anggota dari suatu matriks atau disebut sebagai elemen matriks dapat
diubah menurut aturan tertentu. Perubahan tersebut berkaitan dengan baris
dan kolom sehingga disebut sebagai transformasi elementer pada baris dan
kolom yang diberikan oleh
a. Penukaran tempat baris ke-i dan baris ke-j (baris ke-i dijadikan baris kej dan baris ke-j dijadikan baris ke-i), ditulis
.
Bentuk-Bentuk Irisan..., Festi Dwijayanti, FKIP UMP, 2014
8
Contoh II.A.4
(
Misal
) maka
(
)
b. Penukaran tempat kolom ke-i dan kolom ke-j (kolom ke-i dijadikan
kolom ke-j dan kolom ke-j dijadikan kolom ke-i), ditulis
.
Contoh II.A.5
(
Untuk A pada contoh II.A.4,
)
c. Mengalikan baris ke-i dengan skalar
, ditulis
.
Contoh II.A.6
Jika
(
(
) maka
d. Mengalikan kolom ke-i dengan skalar
)
, ditulis
.
Contoh II.A.7
Jika
(
) maka
(
)
e. Menambah baris ke-i dengan p kali baris ke-j, ditulis
.
Contoh II.A.8
Jika
(
) maka
(
)
Bentuk-Bentuk Irisan..., Festi Dwijayanti, FKIP UMP, 2014
9
f. Menambah kolom ke-i dengan p kali kolom ke-j, ditulis
.
Contoh II.A.9
Jika
(
) maka
(
)
Catatan:
Operasi c, d, e, dan f dapat dilakukan dalam satu langkah yaitu
a. Menambah m kali baris ke-i dangan n kali baris ke-j, ditulis Hi(m)j(n)(A).
b. Menambah m kali kolom ke-i dangan n kali kolom ke-j, ditulis
Ki(m)j(n)(A).
dengan skalar m ≠ 0 dan n ≠ 0.
Contoh II.A.10
a. Jika
(
) maka H2(2)3(1)(A) = (
b. Jika
(
) maka K2(2)3(2)(A) = (
)
)
5. Rank matriks
Rank baris dari matriks A adalah dimensi dari ruang baris matriks A
dan rank kolom dari matriks A adalah dimensi ruang kolom matriks A.
Rank baris sama dengan rank kolom dari matriks A tersebut, ditulis r(A).
Catatan:
a. Rank matriks menyatakan jumlah maksimum vektor-vektor baris/
kolom yang bebas linier.
Bentuk-Bentuk Irisan..., Festi Dwijayanti, FKIP UMP, 2014
10
b. Untuk mencari rank dari suatu matriks dapat digunakan transformasi
elementer karena matriks-matriks yang ekuivalen baris/ kolom
mempunyai ruang yang sama. Diusahakan mengubah sebanyak
mungkin baris/ kolom menjadi vektor nol karena vektor nol bergantung
linier.
Contoh II.A.11
(
Cari rank dari
)
Dikerjakan secara baris
(
)
(
(
)
)
(
)
Baris ke-3 adalah adalah vektor nol, jadi r(A) = 2.
6. Determinan
Setiap matriks persegi A selalu dikaitkan dengan suatu skalar yang
disebut determinan matriks tersebut dan ditulis sebagai det(A). Berikut
adalah determinan untuk matriks persegi berordo dua dan berordo tiga.
Determinan dari matriks persegi A berordo 2 adalah
(
)
| |
|
|
Bentuk-Bentuk Irisan..., Festi Dwijayanti, FKIP UMP, 2014
11
Determinan dari matriks persegi B berordo 3 adalah
| |
)
(
|
|
| |
(Suryadi, 1991)
B. Transformasi Sistem Koordinat di R2
Transformasi sistem koordinat di R2 adalah suatu fungsi yang memetakan
ruang vektor di R. Secara sederhana bahwa transformasi ini merupakan fungsi
untuk memperoleh suatu persamaan baru pada sistem koordinat yang telah
ditransformasikan. Berikut ini adalah dua hal pokok yang perlu diketahui
sebelum melakukan transformasi sistem koordinat
1. Akar dan Vektor Karakteristik
Suatu akar karakteristik diperlukan untuk mencari vektor karakteristik.
Vektor karakteristik inilah yang akan digunakan sebagai basis natural
sistem koordinat yang baru setelah dilakukan transformasi sistem
koordinat.
Definisi II.B.1
suatu matriks persegi dan λ adalah skalar yang memenuhi persamaan
(*):
⃗
⃗ untuk suatu vektor kolom ⃗
suatu akar karakteristik dari
maka dikatakan λ adalah
dan ⃗ yang memenuhi persamaan (*)
disebut vektor karakteristik yang bersangkutan dengan λ.
Bentuk-Bentuk Irisan..., Festi Dwijayanti, FKIP UMP, 2014
12
Contoh II.B.1
(
Hitunglah akar karakteristik dari
)
Penyelesaian:
Misalkan λ skalar dan ⃗
(
)( )
(
( ) adalah vektor yang memenuhi
( )
)( )
(
)( )
(
)( )
( )
( ).......................................................II.B.1
Persamaan II.B.1 adalah suatu sistem persamaan linier homogen yang
dibutuhkan jawaban nontrivial ⃗
rank (
)
sehingga
atau |
|
(disebut persamaan
karakteristik)
⟺
Untuk mencari vektor karakteristik yang bersangkutan, masukkan harga λ
ke persamaan II.B.1, diperoleh
Untuk
(
)( )
( ) atau
Cukup ambil 1 persamaan, misal
. Jadi, ⃗
}
. Apabila
maka
( ) yaitu vektor-vektor yang bersangkutan dengan
.
Bentuk-Bentuk Irisan..., Festi Dwijayanti, FKIP UMP, 2014
13
Untuk
)( )
(
( ) atau
Cukup ambil 1 persamaan, misal
. Jadi, ⃗
(
}
. Apabila
maka
) yaitu vektor-vektor yang bersangkutan dengan
.
2. Transformasi Simetris
Pada transformasi ini digunakan matriks simetris. Suatu transformasi
linier T pada R2 dan R3 dikatakan suatu transformasi simetris jika untuk
R2 dan R3 berlaku
setiap
Teorema II.B.1
Akar-akar karakteristik dari matriks A yang simetris adalah riil dan vektorvektor karakteristik yang bersangkutan dengan akar karakteristik yang
berbeda saling tegak lurus.
Hal khusus:
Jika
adalah matriks simetris berordo 2 maka diperoleh 2 vektor
karakteristik yang saling tegak lurus dan panjangnya 1.
Bukti:
Misalkan
⃗⃗⃗
⃗⃗
dan
adalah akar-akar karakteristik dari A maka
⃗⃗⃗
} ......................................................................................... II.B.2
⃗⃗
Karena A simetris maka
⃗⃗
⃗⃗⃗
Bentuk-Bentuk Irisan..., Festi Dwijayanti, FKIP UMP, 2014
14
Lakukan transpose konjugat
(
⃗⃗ )
( ⃗⃗ )
⃗⃗⃗
̅ ⃗⃗
................................................. II.B.3
Kalikan persamaan II.B.3 dengan ⃗⃗⃗ dan persamaan II.B.2 dengan ⃗⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗⃗
̅ ⃗⃗ ⃗⃗⃗ dan ⃗⃗⃗
Oleh karena itu ( ̅
⃗⃗ ⃗⃗⃗
)⃗⃗ ⃗⃗⃗
panjang ⃗⃗ di mana |⃗⃗ |
, jika diambil
. Jadi, ̅
maka √⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ adalah
̅
setiap akar karakteristik adalah real. Jika diambil
yang berarti
maka
karena akar karakteristik yang berbeda sehingga
⃗⃗
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
(saling tegak lurus).
maka jelas dari bukti di atas terdapat ⃗⃗⃗
Untuk A2 berordo 2, jika
dan ⃗⃗⃗ yang saling tegak lurus dan ambil yang panjangnya 1.
Jika
maka pandang persamaan karakteristik
|
|
Diskriminan :
Jumlah dua bilangan non-negatif = 0 berakibat masing-masing
bilangan = 0. Jadi,
dan
.
Persamaan karakteristik menjadi
} adalah nol.
Semua koefisien dari persamaan
Jadi semua vektor di R2 merupakan vektor karakteristik dan dapat dipilih 2
vektor yang saling tegak lurus dengan panjang = 1.
Bentuk-Bentuk Irisan..., Festi Dwijayanti, FKIP UMP, 2014
15
Catatan:
Persamaan karakteristik dari matriks
|
|
Jika disebut
|
dan
| maka
persamaan menjadi
(Suryadi, 1991)
C. Irisan Kerucut (Garis Lengkung Derajat Dua di R2)
1. Persamaan Standar Irisan Kerucut
Persamaan standar irisan kerucut pada sistem koordinat
a.
, yaitu suatu elips dengan pusat
setengah sumbunya masing-masing adalah
maka persamaan menjadi
lingkaran yang berpusat di
dengan panjang
dan
. Apabila
yaitu suatu persamaan
dan berjari-jari
adalah suatu elips khayal dengan pusat
b.
adalah
. Untuk bentuk
.
, yaitu suatu persamaan hiperbola berpusat di
dengan sumbu riil
dan setengah sumbu khayalnya .
Apabila konstanta 1 pada
diganti dengan 0, diperoleh
persamaan-persamaan garis asimtot yaitu
Bentuk-Bentuk Irisan..., Festi Dwijayanti, FKIP UMP, 2014
16
Dapat diuraikan menjadi
atau garis-garis
c.
dan
, yaitu suatu parabola dengan puncak
sebagai sumbu simetris. Fokus parabola adalah
. Parabola terbuka ke kanan ketika
ketika
dan sumbu
dan direktrisnya
dan terbuka ke kiri
.
2. Transformasi Irisan Kerucut pada Sumbu-sumbu Utamanya
Diketahui persamaan umum irisan kerucut:
................... II.C.1
Persamaan di atas dapat ditulis dengan matriks
(
)( )
( )
atau
di mana
(
)
(
)
dan
( )
dinamakan bagian homogen kuadrat
dinamakan bagian linier
bilangan tetap dari persamaan derajat dua
Bentuk-Bentuk Irisan..., Festi Dwijayanti, FKIP UMP, 2014
17
Untuk mengetahui jenis suatu irisan kerucut, persamaan II.C.1 perlu
diubah ke persamaan standar dengan cara translasi atau rotasi sistem
koordinat kartesius.
a. Translasi
Definisi II.C.1
Translasi sistem koordinat
ke
adalah perubahan sistem
koordinat di mana sumbu-sumbu
dan
sedangkan vektor-
vektor basis mempunyai panjang dan arah positif yang tetap.
Misalkan titik awal yang baru
berkoordinat
terhadap
sistem koordinat lama. Suatu titik
terhadap sistem koordinat
lama akan mempunyai koordinat
terhadap sistem koordinat
}
baru dengan hubungan:
𝑌
𝑌
𝑦
𝑦
𝑃
𝑗
𝑂 𝑝 𝑝
𝑖
𝑗
𝑂
𝑥
𝑖
𝑥
𝑋
𝑋
Gambar II.C.1:Translasi sistem koordinat di R2
Bagian linier dari persamaan II.C.1 dapat dihilangkan melalui translasi
dan titik awal sistem koordinat baru akan menjadi pusat irisan kerucut
tersebut. (Surjadi, 1982)
Bentuk-Bentuk Irisan..., Festi Dwijayanti, FKIP UMP, 2014
18
b. Rotasi
Untuk melenyapkan suku kembar
dari bagian homogen kuadratis
dilakukan rotasi sistem koordinat
sistem koordinat baru
ke
di mana vektor-vektor karakteristik dari
(matriks simetris) yang panjangnya 1 dan saling tegak lurus
dijadikan vektor-vektor basis dari sistem
tersebut.
(Suryadi, 1991)
Teorema II.C.1
Diketahui transformasi linier dan simetris
karakteristik ⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗ sehingga
|⃗⃗⃗ |
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ dan
dengan vektor-vektor
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ , di mana
|⃗⃗⃗ |
Jika diadakan rotasi ke
yaitu sistem koordinat dengan ⃗⃗⃗ dan ⃗⃗⃗
sebagai vektor-vektor satuan maka bentuk homogen kuadrat:
menjadi
Bukti
( )
Pada sistem koordinat baru
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ dan
:
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
Bentuk-Bentuk Irisan..., Festi Dwijayanti, FKIP UMP, 2014
19
Jadi,
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
karena ⃗
⃗
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
dan ⃗
⃗
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
Akibat II.C.1
Persamaan derajat dua
dapat
diubah menjadi
, jika
dan
ialah akar-akar
dari persamaan karakteristik dari transformasi linier dan simetris
|
|
3. Jenis-jenis Irisan Kerucut yang Dinyatakan Oleh
a. Jika
,
, dan
atau
,
, dan
maka persamaan dapat dijabarkan menjadi
b.
dan
yang satu positif dan yang lain negatif,
. Persamaan
dapat dijabarkan menjadi
⟺
dan
atau
.
Dikatakan bahwa irisan kerucut berubah corak menjadi dua garis lurus
yang saling berpotongan.
Bentuk-Bentuk Irisan..., Festi Dwijayanti, FKIP UMP, 2014
20
c.
dan
keduanya positif atau negatif dan
, persamaan dapat
dijabarkan menjadi
⟺
atau
dan
Irisan kerucut berubah corak menjadi dua garis lurus imaginer yang
berpotongan dan hanya mempunyai satu titik yang real yaitu titik 0.
d. Salah satu bilangan karakteristik positif, yang lain sama dengan 0 dan
negatif, persamaan dapat dijabarkan menjadi
⟺
, atau
Irisan kerucut berubah corak menjadi sepasang garis lurus sejajar.
e. Salah satu bilangan karakteristik positif, yang lain sama dengan 0 dan
positif, persamaan dapat dijabarkan menjadi
⟺
atau
, yaitu dua garis
lurus imaginer yang sejajar.
f. Salah satu bilangan karakteristik
, yang lain sama dengan
. Dalam hal ini persamaan dapat ditulis sebagai
dan
atau
. Jadi, irisan kerucut berubah corak menjadi dua garis lurus
yang berimpit.
(Surjadi, 1982)
Bentuk-Bentuk Irisan..., Festi Dwijayanti, FKIP UMP, 2014
21
4. Penjabaran Persamaan Derajat Dua yang Umum Menjadi Bentuk Standar
Diketahui persamaan umum derajat dua:
Bentuk standar dari garis lengkung dapat ditentukan dengan terlebih
dahulu melakukan translasi sistem koordinat
ke
melenyapkan bagian liniernya dan rotasi sistem koordinat
untuk melenyapkan suku
koordinat baru
untuk
ke
. Translasi garis lengkung pada sistem
di mana
diperoleh
atau
Bagian homogen kuadrat tidak berubah terhadap translasi sedangkan
bilangan tetapnya menjadi
koefisien
dan
menjadi
. Tentukan
sehingga
Jadi,
} ............................................................... (II.C.2)
atau dengan matriks
Persamaan II.C.2 adalah persamaan pusat irisan kerucut.
Bentuk-Bentuk Irisan..., Festi Dwijayanti, FKIP UMP, 2014
22
Susunan tersebut hanya memberi jawaban jika dan hanya jika matriks
(
) dan (
) mempunyai rank yang sama. Jika
|
kedua matriks mempunyai rank 2 maka
Dalam hal ini hanya ada satu titik
|
saja yang memenuhi persamaan
II.C.2. Jika rank = 1 maka akan diperoleh satu garis pusat irisan kerucut.
Jika rank tidak sama maka translasi tidak dapat dilakukan.
Jika
terhadap
dihitung dari persamaan II.C.2 maka irisan kerucut tersebut
mempunyai persamaan :
......................................... (II.C.3)
di mana
.
Menurut teorema II.C.1 persamaan II.C.3 dapat diubah menjadi
.............................................................. (II.C.4)
dengan suatu rotasi ke sistem koordinat baru
adalah akar-akar karakteristik dari
di mana
dan
Jenis-jenis irisan kerucut yang
dinyatakan oleh persamaan derajat dua dapat diketahui dengan
menggunakan poin C.3.
(Suryadi, 1991)
Bentuk-Bentuk Irisan..., Festi Dwijayanti, FKIP UMP, 2014
23
Teorema II.C.2
Jika
|
|
|
dan
|
maka
Bukti
Jadi,
} ...............................................(II.C.5)
karena
maka ada
rank (
Atau
yang memenuhi persamaan II.C.5 atau
)
sehingga |
⟺|
dan
|
|
|
|
⟺
Bentuk-Bentuk Irisan..., Festi Dwijayanti, FKIP UMP, 2014
24
Catatan:
Persamaan II.C.4 sekarang dapat ditulis sebagai
di mana dari persamaaan karakteristik
Jika
dan
maka
dan
dan jika
irisan kerucut adalah suatu elips. (jika
dan
maka
maka irisan
kerucut juga elips).
Jadi,
Jika
Jika
dan
⟺ elips
dan
⟺ elips imaginer.
(tanda
berlawanan) ⟺ hiperbola.
dan
(Surjadi, 1982)
5. Irisan Kerucut yang Berubah Corak
Misal persamaan irisan kerucut
Persamaan irisan kerucut akan berupa sepasang garis lurus bila
|
|
Kedudukan dari sepasang garis lurus tersebut tergantung dari determinan
|
|
Bentuk-Bentuk Irisan..., Festi Dwijayanti, FKIP UMP, 2014
25
Berikut klasifikasi irisan kerucut ketika
a. Jika determinan
maka C berubah corak menjadi sepasang garis
yang berpotongan.
b. Jika determinan
maka C berubah corak menjadi sepasang garis
imaginer.
c. Jika determinan
maka C berubah corak menjadi sepasang garis
|
sejajar atau berimpit. Sejajar apabila
|
dan berimpit
apabila
(Suryadi, 1991)
D. Vektor di dalam R3
⃗⃗⃗⃗⃗
Pada dimensi tiga, vektor ⃗
⟨
⟩ adalah vektor posisi titik
⟨
. Panjang dari vektor dimensi tiga ⃗
⟩ adalah
√
|⃗ |
Jika diberikan titik
dan titik
maka vektor yang
diwakili oleh ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ adalah
⃗
⟨
⟩
⃗
Jika ⃗
⟩ dan ⃗
⟨
⟨
⟨
⟩
⟩ maka
⃗
⃗
⟨
⟩
⟨
⟩
⟨
⟩
⃗
⃗
⟨
⟩
⟨
⟩
⟨
⟩
⃗
⟨
⟩
⟨
⟩ ,dengan
skalar.
Bentuk-Bentuk Irisan..., Festi Dwijayanti, FKIP UMP, 2014
26
Sifat-sifat vektor
Jika ⃗ , ⃗ , dan adalah vektor di R3,
1. ⃗
⃗
2. ⃗
(⃗
3. ⃗
⃗
4. ⃗
⃗
dan
adalah skalar, maka
⃗
)
⃗)
(⃗
⃗)
(⃗
5.
⃗
6.
⃗
⃗
7.
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
(Spiegel, 1999)
Vektor-vektor , , dan ⃗ disebut vektor basis standar, mempunyai panjang 1
dan mengarah pada X, Y, dan Z positif.
Misalkan tiga vektor pada
⟨
⟩
memiliki aturan khusus
⟨
⃗
⟩
⟨
⟩
z
⃗
x
y
Gambar II.D.1: Vektor Basis Standar
Jika ⃗
⟨
⟩ maka dapat ditulis
⃗
⟨
⟩
⟨
⟩
⟨
⟨
⟩
⟩
⟨
⟩
⟨
⟨
⟩
⟩
⃗
Bentuk-Bentuk Irisan..., Festi Dwijayanti, FKIP UMP, 2014
27
Definisi II.D.1
⟩ dan ⃗
⟨
Jika ⃗
⟨
⟩ maka dot product (perkalian titik) ⃗
dan ⃗ yang ditulis (⃗ . ⃗ ) dinyatakan sebagai
⃗ ⃗
(Purcell, 1984)
Sifat-sifat perkalian titik (dot product):
Jika ⃗ , ⃗ , dan adalah vektor dalam R3 dan
1) ⃗ ⃗
|⃗ |
2) ⃗ ⃗
⃗ ⃗
3) ⃗ (⃗
⃗
4)
⃗ ⃗
)
⃗
skalar maka
⃗
(⃗ ⃗ )
⃗
⃗
Teorema II.D.1
Jika
adalah sudut diantara vektor ⃗ dan ⃗ maka ⃗ ⃗
|⃗ ||⃗ |
Bukti:
Z
B
⃗
⃗
⃗
O 𝜃
⃗
A
X
Y
Gambar II.D.2: Sudut antara dua vektor
Bentuk-Bentuk Irisan..., Festi Dwijayanti, FKIP UMP, 2014
28
Jika diaplikasikan aturan cosinus segitiga OAB pada gambar, diperoleh
|
|
|
|
|
|
|
Pada gambar dinyatakan |
|
||
|
|⃗ |, |
|
................................... (II.D.1)
|⃗ |, dan |
|⃗
|
⃗ | sehingga
persamaan II.D.1 menjadi
|⃗
⃗|
|⃗ |
|⃗ |
|⃗ | |⃗ |
.................................................. (II.D.2)
Menggunakan sifat perkalian titik 1, 2, dan 3, ruas kiri persamaan II.D.2
dapat ditulis sebagai berikut:
|⃗
⃗|
(⃗
⃗ ) (⃗
⃗)
⃗ ⃗
⃗ ⃗
⃗ ⃗
⃗ ⃗
|⃗ |
⃗ ⃗
|⃗ |
Dengan demikian, persamaan II.D.2 menjadi
|⃗ |
⃗ ⃗
|⃗ | =|⃗ |
⃗ ⃗
⃗ ⃗
|⃗ |
|⃗ | |⃗ |
|⃗ ||⃗ |
|⃗ ||⃗ |
Akibat II.D.1
Jika
adalah sudut tak nol vektor ⃗ dan ⃗ maka
⃗ ⃗
|⃗ ||⃗ |
Dua vektor ⃗ dan ⃗ tegak lurus jika dan hanya jika ⃗ ⃗
(Suryadi, 1984)
Bentuk-Bentuk Irisan..., Festi Dwijayanti, FKIP UMP, 2014
29
Definisi II.D.2
Jika ⃗
⟩ dan ⃗
⟨
⟩ maka cross product ⃗ dan ⃗ adalah
⟨
vektor
⃗
⃗
⃗
⃗
⟨|
| |
| |
|⟩
⟨
⟩
Teorema II.D.2
Vektor ⃗
⃗ tegak lurus terhadap ⃗ dan ⃗
Bukti:
Untuk menunjukkan ⃗
⃗ tegak lurus terhadap ⃗ , dihitung dot productnya
sebagai berikut:
(⃗
⃗) ⃗
|
|
|
|
|
Dengan cara yang sama, untuk menunjukkan ⃗
|
⃗ tegak lurus terhadap ⃗
adalah sebagai berikut:
(⃗
⃗) ⃗
|
|
|
|
|
|
(Spiegel, 1999)
Bentuk-Bentuk Irisan..., Festi Dwijayanti, FKIP UMP, 2014
30
Teorema II.D.3
Jika
adalah sudut antara ⃗ dan ⃗
⃗|
maka |⃗
|⃗ | |⃗ |
Bukti:
Dari definisi cross product dan besar vektor
|⃗
⃗|
|⃗
⃗|
|⃗
⃗|
(
|⃗
⃗|
|⃗ | |⃗ |
|⃗
⃗|
|⃗ | |⃗ |
|⃗
⃗|
|⃗ | |⃗ |
|⃗
⃗|
|⃗ | |⃗ |
|⃗
⃗|
)(
)
⃗ ⃗
|⃗ | |⃗ |
|⃗ | | ⃗ |
Akibat II.D.2
Dua vektor tak nol ⃗ dan ⃗ sejajar jika dan hanya jika ⃗
⃗
Bukti:
Dua vektor tak nol ⃗ dan ⃗ sejajar jika dan hanya jika
keduanya
, jadi |⃗
⃗|
oleh karena itu ⃗
atau . Untuk
⃗
Bentuk-Bentuk Irisan..., Festi Dwijayanti, FKIP UMP, 2014
31
Sifat –sifat cross product:
Jika ⃗ , ⃗ , dan adalah vektor di R3 dan m skalar maka
⃗
1) ⃗
2)
⃗
⃗
⃗
3) ⃗
4) (⃗
(⃗
⃗)
5) ⃗ (⃗
6) ⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗)
(⃗
)
( ⃗)
⃗
)
)
(⃗
⃗)
(⃗
⃗
⃗
(⃗ ⃗ )
(Suryadi, 1984)
E. Geometri Analitik Ruang
1. Sistem Koordinat Siku-siku di R3
Untuk menyatakan letak sebuah titik di dalam ruang, tiga bilangan
dibutuhkan. Setiap titik di dalam ruang dinyatakan dengan 3 bilangan real
secara berturut-turut (x, y, z). Supaya suatu titik dapat ditampilkan dalam
ruang, yang pertama ambil titik asal O dan tiga garis arah melalui O yang
saling tegak lurus satu sama lain. Garis tersebut disebut sumbu koordinat
yang dinyatakan sebagai sumbu X (axis), sumbu Y (ordinat), dan sumbu Z
(aplikat).
Bentuk-Bentuk Irisan..., Festi Dwijayanti, FKIP UMP, 2014
32
Secara umum, sumbu X dan Y ditampilkan secara horizontal, dan
sumbu Z secara vertikal seperti gambar berikut.
Z
O
Y
X
Gambar II.E.1: Sistem Koordinat Siku-siku di R3
Ketiga sumbu koordinat menyatakan tiga koordinat bidang, Bidang
XY untuk daerah sumbu X dan sumbu Y, bidang YZ untuk daerah sumbu Y
dan sumbu Z, bidang XZ untuk daerah sumbu X dan sumbu Z.
Ketiga bidang koordinat tersebut membagi ruang menjadi delapan
bagian yang disebut oktan dan diberi nomor menurut aturan berikut:
Oktan I
berisi titik-titik dengan X > 0, Y > 0, Z > 0
Oktan II
berisi titik-titik dengan X < 0, Y > 0, Z > 0
Oktan III
berisi titik-titik dengan X < 0, Y < 0, Z > 0
Oktan IV berisi titik-titik dengan X > 0, Y < 0, Z > 0
Oktan V
berisi titik-titik dengan X > 0, Y > 0, Z < 0
Oktan VI berisi titik-titik dengan X < 0, Y > 0, Z < 0
Bentuk-Bentuk Irisan..., Festi Dwijayanti, FKIP UMP, 2014
33
Oktan VII berisi titik-titik dengan X < 0, Y < 0, Z < 0
Oktan VIII berisi titik-titik dengan X > 0, Y < 0, Z < 0
(Suryadi, 1984)
2. Jarak Dua Titik dalam Ruang
Rumus jarak dua titik dalam ruang:
Jarak |
| antara titik
|
dan
√
|
adalah
(
)
(Hambali, 1986)
Bukti:
Z
C
M
L
Q
B
P
O
A
X
Y
N
Gambar II.E.2: Jarak Dua Titik di R3
Untuk melihat apakah rumus tersebut benar, dibuat sebuah balok seperti
dan
gambar. Jika koordinat
|
dan karena
|
|
maka
|
|
|
bidang ANBP, berarti
Bentuk-Bentuk Irisan..., Festi Dwijayanti, FKIP UMP, 2014
34
sehingga :
|
|
|
|
|
|
|
√
|
(
)
(Suryadi, 1984)
3. Transformasi Sistem Koordinat
Definisi II.E.1
Translasi adalah pergeseran sistem koordinat
dan
di mana sumbu-sumbu
sedangkan vektor-vektor basis mempunyai panjang
dan arah positif yang sama.
Dengan demikian, jika sumbu
bergeser menjadi
dengan
mengawetkan kesejajaran maka koordinat titik P terhadap
kedua sistem koordinat adalah
atau ( )
( )
( )
𝑍
𝑍
𝑋
𝑂
𝑂’ (𝑝 𝑝 𝑝
)
𝑌
Y
𝑋
Gambar II.E.3: Translasi sistem koordinat di R3
Bentuk-Bentuk Irisan..., Festi Dwijayanti, FKIP UMP, 2014
35
Definisi II.E.2
Rotasi adalah perputaran sistem koordinat dengan pusat tetap O(0,0,0).
Jika sistem koordinat
dirotasikan ke sistem koordinat
dimisalkan cosinus arah dari
,
,
, dan
, dan
secara berturut-turut adalah
. Jika
P terhadap sistem koordinat
dan
terhadap sistem koordinat
maka
adalah koordinat titik
adalah koordinat titik P
maka hubungan kedua sistem koordinat
adalah
𝑍
𝑍
 𝑃 𝑥𝑦𝑧
𝑂
𝑌
𝑋
𝑌
𝑋
Gambar II.E.4: Rotasi sistem koordinat di R3
Bentuk-Bentuk Irisan..., Festi Dwijayanti, FKIP UMP, 2014
36
Dalam matriks : ( )
(
Di mana matriks (
)( )
) disebut matriks rotasi dan dinotasikan
dengan R.
Catatan:
Kombinasi translasi dan rotasi disebut transformasi orthogonal yaitu suatu
transformasi yang memetakan suatu ruang vektor v
R3 tanpa mengubah
panjangnya. Dengan demikian, transformasi orthogonal diberikan oleh
Di mana matriks (
) adalah orthogonal.
Bukti
(
(
)(
)
)
Bentuk-Bentuk Irisan..., Festi Dwijayanti, FKIP UMP, 2014
37
Karena
,
, dan
)
(
lurus, diperoleh
adalah vektor unit tegak
Oleh karena itu, R disebut orthogonal.
(Chatterje, 2003)
4. Bidang Datar di R3
Suatu bidang datar V akan tertentu bila diketahui tiga buah titik (yang
tidak segaris) yang terletak pada bidang datar tersebut. Misalkan diketahui
tiga titik pada bidang datar V, yaitu
,
, dan
.
Z

R
P
S
Q

O
Y
X
Gambar II.E.5: Bidang di R3
Berdasarkan gambar di atas diperoleh
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⟨
⟩
⟨
⟩
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⟨
⟩
⟨
⟩
Bentuk-Bentuk Irisan..., Festi Dwijayanti, FKIP UMP, 2014
38
Untuk setiap sebarang titik
pada bidang rata V berlaku :
, dengan
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
dan
skalar .
⃗⃗⃗⃗⃗
Sehingga diperoleh persamaan vektoris bidang datar V adalah
⟨
⟩
⟨
⟩
⟨
⟩
⟨
⟩
..... (II.E.1)
Selanjutnya, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dan ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ disebut vektor-vektor arah bidang yaitu setiap
dua vektor pada bidang yang tidak segaris. Oleh karena itu, persamaan
vektoris bidang rata yang diketahui melalui satu titik
diketahui kedua vektor arahnya ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⟨
⟩
⟨
⟩
⟩ dan ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⟨
⟨
⟩
⟨
dan
⟨
⟩ adalah
⟩
....... (II.E.2)
Persamaan tersebut dapat dibentuk ke dalam persamaan parameter bidang rata
sebagai berikut:
............................................................ (II.E.3)
............................................................. (II.E.4)
.............................................................. (II.E.5)
Apabila dieliminasi
dan
pada persamaan (II.E.3) dan (II.E.4),
diperoleh persamaan:
Dimana
|
| ............................................... (II.E.6)
Bentuk-Bentuk Irisan..., Festi Dwijayanti, FKIP UMP, 2014
39
Subtitusi
dan
ke persamaan (II.E.5), diperoleh:
{
atau (
}
)
{
(
}
)
.... (II.E.7)
Misalkan :
|
|
|
|
dan
Persamaan (II.E.7) menjadi
(
)
⟺
⟺
⟺
...................................................................... II.E.8
Persamaan II.E.8 merupakan persamaan linier (umum) dari suatu bidang
datar.
(Suryadi, 1984)
Berdasarkan persamaan-persamaan sebelumnya diperoleh vektor
⟨
⟩
|
|
⃗
⟨
⟩
|
|
|
|
⃗⃗⃗⃗⃗
|
|⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
Jadi, vektor tersebut merupakan vektor yang tegak lurus pada bidang
yang dibentuk oleh ⃗⃗⃗⃗⃗ dan ⃗⃗⃗⃗⃗ . Oleh
datar
karena itu, ⟨
⟩
⃗ disebut vektor normal dari bidang datar V = 0
Bentuk-Bentuk Irisan..., Festi Dwijayanti, FKIP UMP, 2014
40
tersebut. Vektor normal ini akan memegang peranan penting dalam
pembahasan bidang datar.
Berdasarkan persamaan (II.E.7), suatu bidang datar yang diketahui
dengan vektor normal ⟨
melalui titik
⟩
⃗ berbentuk:
(Suryadi, 1984)
5. Garis Lurus dalam R3
Persamaan garis l dalam ruang dimensi tiga dapat ditentukan ketika
diketahui dua titik pada garis tersebut, misalnya
dan
.
Z
P
Q
R
l
O
Y
X
Gambar II.E.6 : Garis di R3
Diperoleh ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⟩, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⟨
⟩, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⟨
⟩. Untuk sebarang titik
⟨
pada l berlaku
Jelas bahwa
sehingga didapat persamaan vektoris garis lurus
yaitu
⟨
⟩
⟨
⟩
⟨
⟩
Bentuk-Bentuk Irisan..., Festi Dwijayanti, FKIP UMP, 2014
41
Selain itu, persamaan garis juga dapat ditentukan apabila sudah
diketahui satu titik sebarang pada l dan vektor arah l yang dimisalkan dengan
⃗
⟨
⟩. Oleh karena itu, ⃗
⟨
⟩
⃗⃗⃗⃗⃗ sehingga
⟨
⟩
Persamaan vektoris l dapat ditulis
⟨
⟩
⟨
⟩
⟨
⟩
⟨
⟩
Dari persamaan vektoris tersebut, dapat di ubah ke dalam persamaan
parameter sebagai berikut:
Dengan mengeliminasi
diperoleh
(Suryadi, 1984)
6. Konikoida
Konikoida adalah permukaan yang dinyatakan oleh
mana
adalah polinomial berderajat dua pada
di
dan . Persamaan
umum konikoida ditampilkan sebagai berikut
(Chatterje, 2003)
Bentuk-Bentuk Irisan..., Festi Dwijayanti, FKIP UMP, 2014
42
Konikoida terdiri dari bola, elipsoid, hiperboloid, kerucut, paraboloid, dan
tabung. Persamaan umum konikoida dapat ditransformasikan melalui
transformasi sistem koordinat menjadi salah satu bentuk standar sebagai
berikut
a)
: elipsoida.
b)
: elipsoida khayal.
c)
: hiperboloida daun satu.
d)
: hiperboloida daun dua.
e)
: kerucut khayal.
f)
: kerucut.
g)
: paraboloida eliptik.
h)
: paraboloida hiperbolik.
i)
: tabung eliptik.
j)
: tabung hiperbolik.
k)
: tabung khayal.
l)
: silinder parabolik.
m)
: sepasang bidang rata berpotongan.
n)
: sepasang bidang rata khayal berpotongan.
o)
: sepasang bidang rata sejajar.
Bentuk-Bentuk Irisan..., Festi Dwijayanti, FKIP UMP, 2014
43
p)
: sepasang bidang rata khayal sejajar.
q)
: sepasang bidang rata berimpit.
Dengan
dan merupakan bilangan positif.
(Suryadi, 1984)
7. Tabung
Suatu konikoida disebut sebagai tabung apabila memiliki pusat berupa
garis lurus. Apabila persamaan umum konikoida berubah menjadi persamaan
Setelah dilakukan transformasi sistem koordinat, maka konikoida disebut
tabung lingkaran tegak. Untuk memperoleh titik pusat suatu konikoida
dengan persamaan
Digunakan persamaan pusat konikoida sebagai berikut
{
....................................................(*)
Titik pusat berupa garis lurus terjadi ketika
Rank A= Rank (A,b) = 2
Rank (
)
rank (
)
Bentuk-Bentuk Irisan..., Festi Dwijayanti, FKIP UMP, 2014
44
Pusat tersebut adalah menggunakan persamaan
{
Persamaan karakteristiknya adalah
|
|
Selanjutnya, nilai karakteristik dapat dimasukkan dalam persamaan
di mana
| dan
|
|
Suatu tabung lingkaran tegak akan menghasilkan
|
dan
sehingga akan diperoleh
atau
dengan
.
(Suryadi, 1984)
Bentuk-Bentuk Irisan..., Festi Dwijayanti, FKIP UMP, 2014