4. Potensial Fungsi Delta

MATERI PERKULIAHAN
4. Potensial Fungsi Delta
Fungsi Delta Dirac dalam satu dimensi dituliskan dengan
−
, merupakan
suatu “fungsi” yang secara matematis tidak memenuhi kriteria sebagai sebuah
fungsi karena bernilai tak hingga pada suatu titik. Namun demikian, dalam fisika
Fungsi Delta Dirac merupakan konstruksi yang penting. Beberapa karakteristik
dari Fungsi Delta Dirac yaitu
a)
−
=
−
b)
c)
d)
′
0, jika ≠
∞, jika =
−
=1
−
2
=
3
=−
Jika Fungsi Delta Dirac berbentuk
tak hingga pada titik
1
4
, artinya
= 0 maka fungsi ini bernilai
−
. Fungsi Delta Dirac mirip
= 0 dan bernilai nol pada titik lainnya. Gambar 1
menunjukkan grafik Fungsi Delta Dirac
dengan fungsi gaussian dengan area yang sangat sempit dan dengan puncak yang
tak hingga.
∞
Gambar 1. Fungsi delta Dirac
Sekarang kita tinjau partikel bermassa
−
dengan energi negatif
daerah dengan potensial berbentuk fungsi delta
, berada pada
= −!
5
dengan ! adalah konstanta.
= −!
−∞
Gambar 2. Fungsi delta Dirac
= −!
Bagaimana fungsi gelombang dari partikel tersebut? Jelas bahwa potensial
bernilai tak hingga pada titik
= 0 dan bernilai nol pada daerah lainnya. Untuk
itu, kita pecahkan persamaan Schrodinger pada daerah
Pada daerah
−
ℏ&
2
&
'
&
'
&
'
&
< 0,
2
ℏ&
&
&
= )&'
dengan ) ≡ ,−
>0
= 0 maka persamaan Schrödingernya adalah
= '
=−
< 0 dan
6
'
7
&ℏ.
, bernilai real dan positif (karena
negatif). Persamaan (7)
adalah persamaan diferensial orde dua dengan akar-akar real berlainan, solusinya
adalah
'
=/0
12
+ 4 0 12
Syarat fungsi gelombang pada daerah
' −∞ = 0
< 0 adalah jika
→ −∞ maka '
8
→0
/0 +40
=0
/=0
Jadi persamaan (8) menjadi
'
= 4 0 12
9
< 0, pada daerah
Sama halnya pada daerah
> 0,
= 0 maka persamaan
Schrödingernya sama dengan persamaan (6). Dengan demikian, solusinya juga
sama hanya saja koefisiennya dibedakan
'
=80
12
+ 9 0 12
Syarat fungsi gelombang pada daerah
' ∞ =0
80
9=0
+90
> 0 adalah jika
→ +∞ maka '
10
→0
=0
Jadi persamaan (8) menjadi
'
=80
11
12
Dengan demikian, solusi persamaan Schrodinger untuk semua daerah telah
diperoleh, yaitu
'
=
4 0 12 , :;<:)
8 0 12 , :;<:)
<0
>0
12
Untuk memperoleh hubungan antara koefisien 4 dan 8 maka kita terapkan syarat
kontinuitas fungsi gelombang pada
' 0
=>?=1 2@A
4 0A = 8 0A
=' 0
=>?=1 2BA
= 0 maka
4=8
Maka '
pada persamaan (12) menjadi
'
4 0 12 , untuk
4 0 12 , untuk
=
≤0
≥0
13
'
Gambar 2. Fungsi gelombang '
Dari grafik tampak bahwa pada titik
untuk potensial fungsi delta
= 0, kemiringan grafik tidak sama. Hal ini
berarti bahwa turunan pertama fungsi gelombang pada
diskontinuitas (tidak kontinue). Turunan pertama '
gelombang daerah kiri adalah
'
'
'
H
2IA
H
2IA
H
2IA
=
= )40 12 |2IA
2IA
= )4
kanan adalah
'&
'&
H
2IA
=
H
2IA
H
2IA
= 0 untuk fungsi
4 0 12 H
sedangkan turunan pertama '
'
pada
= 0 mengalami
40
= −)40
= −)4
12
H
12 |
2IA
14
pada
= 0 untuk fungsi gelombang daerah
2IA
15
Ketidakkontinuan fungsi gelombang pada permasalahan potensial tak hingga,
adalah kasus pengecualian bahwa turunan pertama fungsi gelombang harus
kontinue pada semua .
Pada area yang sangat sempit di sekitar
−
ℏ&
2
&
'
−!
&
'
= '
= 0, persamaan Schrödingernya adalah
16
Kemudian kita integralkan persamaan Schrödinger di sekitar titik
dari – L sampai +L maka dengan L → 0
−
ℏ& NO
M
2 –O
&
'
ℏ&
'
−
P∆
2
P∆
'
'
2INO
Suku
&
ST 2
S2
U
NO
–O
'
=
R−!' 0 = 0
R=−
H
−!M
−
2
!' 0
ℏ&
'
2INO
H
2I O
=−
= 0, yaitu
NO
M '
–O
2
!' 0
ℏ&
tidak lain adalah persamaan (15) sedangkan suku
ST 2
S2
U
2I O
adalah persamaan (14). Sementara itu, dari persamaan (13) diperoleh bahwa
' 0 = 4, maka diperoleh
−)4 − )4 = −
)=
!
ℏ&
2
!4
ℏ&
dengan menghubungkan definisi ) ≡ ,−
V−
2
ℏ&
=
!
!
ℏ&
ℏ&
= −W & X
ℏ
2
&
17
&ℏ.
dengan persamaan (17) maka
!&
2ℏ&
=−
18
Normalisasi fungsi gelombang '
N
|'
|&
=1
M |'Y
|&
+M
M
A
A
N
|'&
A
N
M |40 12 |&
+M
4 M 0
+4 M
&
4&
A
Z .[\
&1
A
&12
A
U
&
+ 4&
4& 4&
+
=1
2) 2)
4 = √)
4=,
'
|40
Z ].[\
N
A
0
|&
=1
12 |&
=1
&12
=1
U =1
&1 A
!
ℏ&
=,
!
ℏ&
0
-_
|2|
ℏ.
13
Inilah fungsi gelombang ternormalisasi dari partikel berenergi negatif yang berada
dalam daerah dengan potensial berbentuk fungsi delta, −!
.
Lalu bagaimana persamaan fungsi gelombang dan berapa energi yang dimiliki
partikel jika energinya positif ?