vektor dan bidang rata

Vektor , Skalar,dan
Bidang Rata
Vektor dan Skalar
Vektor adalah Besaran yang mempunyai besar
dan arah.
Contoh :
 Kecepatan, momentum, berat, percepatan, gaya
dan lain-lain
Skalar adalah besaran yang mempunyai besar
tapi tanpa arah.
Contoh :
 Volume, massa, panjang, waktu dan lain-lain
PENYAJIAN VEKTOR





Ekor panah disebut ttk pangkal
Arah panah menentukan
arah vektor
Panjang panah menentukan
arah vektor
Ujung panah disebut
ttk ujung
Maka vektor v =
V = AB
ALJABAR VEKTOR
1. Vektor-vektor yang panjang dan arahnya sama
v=w=z
4
2. Vektor negatif Adalah vektor yang
besarnya sama tetapi arahnya
terbalik/berlawanan
3. Vektor Nol
Vektor yang panjangnya nol
 Dinyatakan dengan O

4. Penjumlahan Vektor
+
5. Jika v adalah suatu vektor tak nol dan k adalah suatu
bilangan real tak nol (skalar), maka hasil kali kv
didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya
(k*panjang v)dan yang arahnya sama dengan arah v
jika k>0 dan berlawanan arah dengan v jika k< 0
Hukum Aljabar Vektor
Jika a, b dan c adalah vektor-vektor serta m dan n
adalah skalar, maka :
1. a + b = b + a
; Hukum Komutatif
untuk penjumlahan
2. a + (b+c) = (a+b)+c
; Hukum Assosiatif untuk
penjumlahan
3. ma = am
; Hukum Komutatif untuk
perkalian
4. m(na) = (mn)a
; Hukum Asosiatif untuk
perkalian
5. (m+n) a = ma + na
; Hukum Distributif
6. m (a + b) = ma + mb
; Hukum Distributif
Komponen-Komponen Vektor
1.
Vektor dalam bidang
OP = a (sepanjang OX) + b (sepanjang OY)
y
p
r
b
Ѳ
o
x
a
Jika i sebagai vektor satuan dalam arah ox
j sebagai vektor satuan dalam arah OY
maka : a = ai dan b = bj
Dengan demikian vektor OP = dapat ditulis sebagai :
R = ai + bj
2. Vektor dalam ruang
Vektor OP dalam ruang atau dalam sistem koordinat OX, OY, OZ dapat
dilihat pada gambar berikut:
z
p
r
c
y
o
a
b
x
Misal : OP = ai + bj + ck,
maka : |r | = panjang vektor OP =OP =  a² + b² + c²
HASIL KALI TITIK DAN SILANG
1. Hasil kali titik



Hasil kali titik (skalar) dua vektor A dan B
didefinisikan :
A  B = A B cos 
dengan :
A dan B masing-masing panjang vektor A
dan B
 adalah sudut antara vektor A dan B
(0 )
Hukum-hukum yang berlaku pada
perkalian skalar
1. A  B = B  A
2. A  (B+C) = A  B + A  C
3. m (A  B) = (mA)  B = A  (mB) , m adalah skalar
4. i  i = j  j = k  k = 1 , i  j = j  k = k  i = 0
5. Jika A = a1 i + a2 j + a3 k dan B = b1 i + b2 j + b3 k
maka A  B = a1 b1 +a2 b2 + a3 b3
6. Jika A  B = 0 dan A , B bukan vektor nol, maka A
dan B tegak lurus.
2. Hasil Kali Silang
Hasil kali silang (vektor) dari A dan B adalah vektor
C yang arahnya tegak lurus vektor A dan B dengan
mengikuti kaidah tangan kanan yang didefinisikan
sebagai berikut :
A x B = AB sin   u
dengan :
-  adalah sudut antara A dan B ( 0     )
- u adalah vektor satuan yang menunjukkan
arah dari C
Hukum-hukum yang berlaku pada perkalian
silang (vektor) :
1. A x B = - B x A
2. A x (B+C) = A x B + A x C
3. m (A x B) = (mA) x B = A x (mB) = (A x B)m, m adalah skalar
4. i x i = j x j = k x k = 0 , i x j = k , j x k = i , k x i = j
5. jika A = a1 i + a2 j + a3 k dan B = b1 i + b2 j + b3 k , maka :
j
i
A x B  a1 a 2
b1 b 2
k
a 3 
b3 
= (a2b3 - b2a3) i - (a1b3 - b1a3) j + (a1b2 - b1a2) k
6. Besarnya A x B = luas jajaran genjang dengan sisinya vektor A
dan B
7. Jika A x B = 0 dan A = B  0 maka A dan B sejajar.
CONTOH
Diketahui Vektor A = 2i – 3j + k
B = – i + 4j + 5k
Maka :
1. A + B = (2 – 1) i + (–3 + 4) j + (1 + 5) k
= i + j + 6k
2. A – B = (2 + 1) i + (–3 – 4) j + (1 – 5) k
= 3i – 7j – 4k
3. A . B = (2)(-1)i + (-3)(4)j + (1)(5)k
= -2i – 12j + 5k
4.
j
i
A x B   2 - 3
- 1 4
k
1 
5 
= { (-3)(5) – (1)(4) }i – { (2)(5) – (1)(-1) }j
+ { (2)(4) – (-1)(-3) }k
= (-15 – 4)i – (10 + 1)j + (8 – 3)k
= -19i – 11j + 5k

Jarak dua titik yang berada pada dua ujung
z
vektor
A (a , a , a )
d
1
2
3
B(b , b , b )
1
2
3
x
y
Maka jarak antara titik A ke titik B adalah d, dengan:
2
2
d   b  a    b  a    b  a 
 1 1
 2 2
 3 3
2
BIDANG RATA DAN GARIS LURUS
Terlihat pada gambar bahwa :
OX = OP + PX
......(1)
dimana
Merupakan persamaan vektoris bidang rata yang melalui
satu titik P( x1 , y1, z1 ) dan diketahui kedua vektor
arahnya a = [ x a ,y a, z a] dan b = [xb ,y b, z b] .

Persamaan (1) dapat ditulis menjadi 3 persamaan :
……….(2)





yang disebut persamaan parameter bidang rata.
Dengan mengeliminasi λ dan μ pada persamaan diatas
diperoleh :
V = Ax + By + Cz + D = 0 ………. (3)
yang disebut persamaan linier bidang rata yang
mempunyai vektor normal bidang ( vektor yang tegak
lurus bidang rata ) :

[ A, B, C ]
=axb

dimana :

Dari persamaan (3) di atas, suatu bidang rata yang di
ketahui melalui satu titik ( x1 , y 1, z 1 ) dengan vektor
normalnya ( A , B , C ) berbentuk:
A ( x — x1) + B ( y — y 1) + C ( z — z 1) = 0

HAL-HAL KHUSUS DARI BIDANG RATA V = AX + BY + CZ + D = 0.
1. Bila D = 0 maka bidang rata akan melalui titik asal O (0,0,0) dan
sebaliknya, setiap bidang rata yang melalui titik asal persamaannya
akan mempunyai harga D = 0.
2. Apabila D ≠ 0 persamaan Ax + By + Cz + D = 0 dapat ditulis menjadi
Ax/ -D + By/ -D + Cz/ -D = 1 dan sebut berturut-turut A/ -D = 1/p,
B/ -D=1/ q, C/-D =1/ r, didapat persamaan :
x/p + y/q + z/r = 1 yang mana memotong sumbu X di (p, 0, 0 )
sumbu Y di ( 0, q ,0 ) sumbu Z di ( 0, 0, r ).
3. Bila A = 0, bidang rata sejajar sumbu X bila B = 0, bidang rata
sejajar sumbu Y, dan bila C = 0, bidang rata sejajar sumbu Z
4. Bila A = B = 0, bidang rata sejajar bidang XOY bila B = C = 0, bidang
rata sejajar bidang YOZ bila A = C = 0, bidang rata sejajar bidang XOZ

Contoh :
1.
Untuk mengubah kepersamaan linier dapat kita lakukan
dgn mencari vektor normal sebagai hasil cross product
( 1, 2, 3 ) x ( 0, 2, 5) = ( 4, —5, 2 )
4x – 5y + 2z – 13 = 0
2. Bidang 2x + 3y + 4z = 12 dapat ditulis menjadi :
x/6 + y/4 + z/3 = 1
akan memotong sumbu-sumbu di (6,0,0), (0,4,0) & (0,0,3).
Catatan :
1. Jika n = a x b . di mana a dan b adalah vektor-vektor pada
bidang, maka persamaan bidang rata dapat ditulis
dalam bentuk :
2. Jika vektor a bertitik awal di p (x1, y1, z1) dan titik ujungnya
q (x2, y2, z2), serta b titik awalnya p (x1, y1, z1) dan titik
ujungnya r (x3, y3, z3), maka persamaan bidang rata
dapat ditulis dalam bentuk :
4. Jadi empat buah titik ( x1, y1, z1 ), ( x2, y2, z2 ), ( x3, y3, z3 ),
dan ( x4, y4, z4 ) akan sebidang jika dan hanya jika :
Contoh :
1. Tentukan persamaan bidang yang melalui ketiga titik
( 2, -1, 1 ), ( 3, 2, 1 ), dan ( -1, 3, 2 )
2. Apakah empat titik berikut sebidang, jika sebidang ,
tentukan persamaan liniernya :
( 2, 1, 3 ), ( 4, 2, 1 ), ( -1, -2, 4 ) dan ( 0, 0, 5 )
SUDUT ANTARA DUA BIDANG RATA
Sudut antara dua bidang rata merupakan sudut antara
vektor-vektor normalnya. Misanya, sudut antara bidang :
maka sudutnya adalah sudut antara normal-normal
, yaitu :
Contoh :
Jawab :
KEDUDUKAN 2 BUAH BIDANG RATA
1. Kedudukan sejajar :
 Bila V1 dan V2 sejajar maka n1 dan n2 sama (atau
berkelipatan), berarti [A1, B1, C1] = λ [A2, B2, C2] adalah
syarat bidang V1 dan V2 sejajar (λ sebarang ≠ 0 )
2. Kedudukan tegak lurus :
 Bila V1 tegak lurus V2, maka vektor normalnya akan
saling tegak lurus,
CONTOH :
1. Tentukan persamaan bidang rata V2 yang sejajar dengan
bidang rata V1 = x + y + 5z = 9 dan bidang rata V2 melalui
titik (0,2,1) !

Jawab :
CONTOH :
2. Tentukan persamaan bidang rata V2 yang tegak lurus pada
bidang rata V1 = x + y + z = 1 serta melalui titik (0,0,0) dan
(1,1,0) !
Jawab :
Jarak Antara Sebuah Titik dan Sebuah Bidang Rata Dan
Jarak Antara Dua Bidang Sejajar.
Jarak dari titik ( x1, y1, z1 ) ke bidang V : Ax + By + Cz + D = 0
adalah :
Untuk mencari jarak dua bidang sejajar V2, kita ambil
sembarang titik pada V2, lalu menghitung jarak titik tsb V1
Contoh :
1. Tentukan jarak titik (4,7,3) ke bidang 2x + 6y – 3z = 13 .
Jawab :
2. Diketahui V1 = x + y + z – 2 = 0 dan V2 = x + y + z – 5 = 0.
jika R pada V2, hitunglah jarak tersebut ke V1 .
jawab :
BERKAS BIDANG
Contoh :
Tentukan persamaan bidang rata V yang melalui titik( 0,0,0)
serta melalui garis potong bidang-bidang :
V1 = 2x + 3y +24 = 0 dan V2 = x – y + 2z = 12
Jawab :
V dapat dimisalkan berbentuk :
------ (*)
Karena V melalui ( 0,0,0 ) terpenuhi :
Yang kita subtitusikan ke (*) diperoleh :
V = 4x + y + 4z = 0
JARINGAN BIDANG
Pandang bidang rata V 1 = 0 , V 2 = 0 dan V 3 = 0 yang tidak
melalui satu garis lurus yg sama (bukan dalam satu berkas ).
Bentuk :
menyatakan kumpulan bidangbidang yang melalui titik potong ketiga bidang V 1 = 0 , V 2 = 0
dan V 3 = 0 itu ( dalam gambar melalui titik T ).
Dan himpunan bidang-bidang rata itu disebut jaringan bidang.
Contoh :
Tentukan persamaan bidang rata V yang sejajar bidang
U : x + y + z =1 serta melalui titik potong bidang :
Jawab :
……(*)
Karena sejajar dengan U, maka ( 1, 1, 1 ) adalah normal dari V
atau ( 1, , μ ) kelipatan dari ( 1, 1, 1 )
Jadi subtitusikan ke (*) menghasilkan persamaan yang
diminta, yaitu : V = x + y + z – 7 = 0
PERSAMAAN GARIS LURUS
Sebuah garis lurus akan tertentu bila diketahui dua titik pada
garis tersebut.
Mis, titik P ( x1, y1, z1 ) dan R ( x2, y2, z2 ), maka
OP=[x1, y1, z1], OR =[x2, y2, z2 ] dan PR=[ x2-x1, y2-y1, z2-z1 ]
Untuk sembarang titik Q(x,y,z) pada garis g berlaku PQ= PR
Jelas bahwa : OQ = OP + PQ
……(*)
Adalah persamaan vektoris garis lurus melalui titik P ( x1, y1, z1 )
dan R ( x2, y2, z2 )
Jadi bila garis lurus melalui titik P ( x1, y1, z1 ) dan mempunyai
vektor arah a = [a,b,c], maka persamaannya adalah :
……….(**)
Dari persamaan (**) diperoleh 3 persamaan, yaitu :

x = x1 +  a

y = y1 +  b ………(***)

z = z1 +  c
yang disebut persamaan parameter garis lurus.
Kemudian bila a  0, b  0, c  0,  kita eliminasikan dari
persamaan (***), diperoleh :


( x  x1 )
=
a
( y  y1 )
=
=
b
( z  z1 )
c
yang disebut persamaan linier garis lurus
Contoh :
Tentukan persamaan garis lurus melalui (3, 2 ,-2) dan (4, -2,-1)
Jawab :
yang merupakan persamaan liniernya.
HAL KHUSUS DARI GARIS LURUS DENGAN VEKTOR ARAH
[A,B,C]
1.
2. Bila a = 0 vektor [0, b, c] terletak pada bidang rata yang
sejajar bidang yoz
Bila b = 0 , garis lurus sejajar bidang xoz
Bila c = 0 , garis lurus sejajar bidang xoy
Dalam hal ini, bila salah satu bilangan arah (mis a = 0)
maka, persamaan garis lurusnya menjadi :
[x, y, z]= [ x1, y1, z1 ] +  [0, b, c]
Sedangkan persamaan liniernya :
3. Bila a = 0, b = 0, vektor [ 0,0, c] sejajar dengan arah sumbu Z
Bila a = c = 0, garis lurus sejajar sumbu Y
Bila b = c = 0, garis lurus sejajar sumbu X
Contoh :
1.
2. Garis lurus [x,y,z] = [2,3,-2] + λ[0,4,2] bersifat sejajar sumbu Y
( a=c=0) dan dapat dtulis sebagai :
x = 2 , z = - 2 ( dimana berlaku untuk setiap y )
GARIS LURUS SEBAGAI PERPOTONGAN DUA BIDANG RATA
Garis lurus dapat dinyatakan sebagai perpotongan
sembarang dua bidang rata yang melalui garis lurus tersebut.
Misalnya, garis lurus g adalah perpotongan bidang rata.
V 1 = A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 dan
V 2 = A2 x + B2 y + C2z + D2 = 0 , maka persamaan
garis lurus g dapat ditulis :
Untuk mencari persamaan linier garis lurus tsb sbb :
1. Menentukan vektor arah dari garis lurus : [ a, b, c ]
Jelas [a, b, c] = n1 x n2
2. Menentukan sembarang titik (x1, y1, z1) pada garis lurus,
biasanya diambil titik potong dengan bidang koordinat,
mis. bidang xoy  z = 0 sehingga diperoleh :
A1x + By1 + D1 = 0
A2x + By2 + D2 = 0
Contoh :
Tentukan persamaan garis lurus akibat perpotongan dua buah
bidang : V1 : x - 2y + z = 1
V2 : 3x - y + 5z = 8
Jawab :
n1 = [ 1, -2, 1 ] dan n2 = [ 3, -1, 5 ]
vektor arah garis : [ 1, -2, 1 ] x [ 3, -1, 5 ] = [ -9, -2, 5 ]
titik potong bidang dengan bidang xoy :
z=0
x – 2y = 1
x=3
3x – y = 8
y=1
Jadi persamaan liniernya :
[x, y, z]= [ 3, 1, 0 ] +  [ -9, -2, 5 ]
KEDUDUKAN DUA GARIS LURUS
Didalam ruang berdimensi tiga, 2 garis lurus mungkin sejajar,
berimpit, berpotongan, atau bersilangan. Diketahui garis lurus
1. g1 sejajar g2 bila arah mereka berkelipatan. Jadi bila
, μ ≠ 0 atau bila
Jika berlaku
g1 dan g2 berimpit.
contoh :
, maka :
2. Kalau arah g1 yaitu [ a1, b1 ,c1 ] dan arah g2 yaitu [a2, b2,c2 ]
tidak berkelipatan, maka g1 dan g2 berpotongan di satu titik
atau bersilangan.
Jika
, maka kedua garis tsb berpotongan
pada satu titik dan persamaan bidang yang memuat kedua
garis g1 dan g2 tsb adalah :
a1
a2
x  x1
b1
b2
y  y1  0
c1
c2
z  z1
Jika tidak demikian, maka kedua garis tsb bersilangan.
Contoh :
Tunjukan bahwa
berpotongan
Dan tentukan titik potongnya serta bidang rata yang memuat
garis g1 dan g2 tsb.
Jawab :
Arah mereka tidak berkelipatan, jadi tidak sejajar ataupun
berimpit. Sedangkan determinan :
, jadi g1 dan g2 berpotongan.
Titik potongnya dicari dari persamaan g1= g2 , diperoleh :
1 = 1 kemudian di subt. ke g 1
( 5, -7, 6 )
2 = 2 kemudian di subt. ke g 2
( 5, -7, 6 )
Persamaan bidang rata yang memuat garis g1 dan g2 adalah :
2 x  4
1
 4  3 y  3  0


 7
8 z  1 
11x – 6y – 5z -67 = 0
Sudut antara garis g1 dan g2 adalah sudut antara vektor-vektor
arah [ a1, b1 ,c1 ] dan [ a2, b2 ,c2 ] , yaitu :
KEDUDUKAN GARIS LURUS DAN BIDANG RATA
Pandang garis lurus g dengan vektor arah a =[ a , b , c] dan
bidang rata V dengan vektor normal n = [ A , B , C], maka :
g 1 sejajar denga bidang V g3 tegak lurus bidang V
g 2 terletak pada bidang V
1. Garis lurus g sejajar bidang rata V jikka vektor arah garis
tegak lurus normal bidang.
a . n = 0 atau aA + bB + cC = 0
2. Garis g tegak lurus bidang rata V jikka vektor arah garis lurus
= vektor normal bidang rata (atau kelipatanya) atau
3. Bila garis g terletak seluruhnya pada bidang rata, terpenuhi
vektor a tegak lurus n atau a.n = 0 sehingga
aA + bB+cC = 0
dan sembarang titik P pada garis g harus terletak pula pada
bidang V.
CONTOH :
JARAK ANTARA DUA GARIS LURUS G1 DAN G2
1. Bila g1 dan g2 sejajar , untuk menghitung
jaraknya dapat dilakukan sebagai berikut:
- Pilihlah sembarang titik p pada g1
- Buatlah bidang rata W melalui P dan tegak
lurus g1, yang dengan sendirinya juga tegak
lurus 2
- Tentukan Q titik tembus g2 pada W
- Panjang PQ adalah jarak g1 dan g2
2. Bila g1 dan g2 bersilangan, dapat dilakukan sebagai
berikut :
- Buat bidang rata W yang melalui g1 dan sejajar g2
- Pilih sembarang titik P pada g 2
- Tentukan jarak P ke bidang W, merupakan jarak
g1 dan g2.
Contoh :
2.