DIMENSI TIGA

DIMENSI TIGA
A. Pengertian
1). Titik
2). Garis
3). Bidang
B. Kedudukan titik terhadap garis dalam ruang dimensi tiga
a. Titik terletak (berimpit) pada garis
b. Titik terletak di luar garis
C. Kedudukan titik terhadap bidang dalam ruang dimensi tiga
a. Titik terletak pada bidang
b. Titik terletak di luar bidang
D. Kedudukan garis terhadap garis dalam ruang dimensi tiga
a. Garis yang sejajar dengan garis lain
b. Garis yang berpotongan dengan garis lain
c. Garis yang berhimpit dengan garis lain
d. Garis yang bersilangan dengan garis lain
E. Kedudukan garis terhadap bidang dalam ruang dimensi tiga
a. Garis terletak (berhimpit) pada bidang
b. Garis yang sejajar pada bidang
c. Garis yang menembus bidang
F. Kedudukan bidang terhadap bidang dalam ruang dimensi tiga
a. Bidang yang saling sejajar
b. Bidang yang saling berpotongan
c. Bidang yang saling bersilangan
Latihan 1:
Perhatikan gambar di bawah ini!
H
G
E
F
D
C
A
Tentukanlah:
1. Garis-garis yang sejajar
2. Garis-garis yang berpotongan
3. Garis-garis yang bersilangan
4. Bidang-bidang yang sejajar
5. Bidang-bidang yang berpotongan
6. Bidang-bidang yang bersilangan
B
G. Gambar dimensi tiga
H
E
G
F
D
A
C
B
a. Bidang frontal, yaitu bidang yang sejajar bidang gambar
Contoh: ABFE dan CDHG
b. Garis frontal, yaitu garis yang terletak pada bidang frontal.
Contoh: AB, BC, CD, AD, CD, DH, HG, dan CG
c. Garis orthogonal, yaitu garis yang tegak lurus pada bidang
frontal.
Contoh: AD, BC, FG, dan EH
d. Sudut surut, yaitu sudut antara garis frontal mendatar dengan
garis orthogonal.
Contoh:  BAD,  ABC,  BCD,  ADC,  EFG,  FEH,
 FGH, dan  EHG
H. Perbandingan proyeksi
Perbandingan proyeksi adalah perbandingan antara ruas garis orthogonal pada gambar dengan ruas
garis sesungguhnya.
Latihan 2:
1. Lukislah sebuah kubus ABCD.EFGH yang panjang rusuknya 6cm, sudut surut 30o, perbandingan
proyeksi 1 : 2 dan ABFE merupakan bidang frontal.
2. Lukislah sebuah balok PQRS.TUVW dengan bidang frontal PQUT, panjang PQ = 8 cm, QR = 6
cm, QU = 4 cm, sudut surut 20o, dan perbandingan proyeksi 1 : 3.
I. Luas Permukaan Bangun Dimensi Tiga
1). Luas permukaan kubus
Luas permukaan kubus = 6s2
2). Luas permukaan balok
Luas permukaan balok = 2(pl + pt + lt)
3). Luas permukaan prisma
Luas permukaan prisma = 2 x luas alas + seluruh luas sisi selubung
4). Luas permukaan limas
Luas permukaan limas = luas alas + luas seluruh sisi tegak
5). Luas permukaan tabung
Luas permukaan tabung = 2 r (r  t )
6). Luas permukaan kerucut
Luas permukaan kerucut =  r (r  s)
7). Luas permukaan bola
Luas permukaan bola = 4 r 2
Latihan 3:
Hitunglah:
1. Luas permukaan kubus jika panjang sisinya 4 3 cm!
2. Luas permukaan balok yang panjangnya 9 2 cm, lebarnya 5 3 cm dan tingginya 3 5 cm !
2. Luas permukaan prisma segienam beraturan yang panjang sisinya 5 cm dan tingginya 7 cm !
3. Luas permukaan limas segitiga beraturan yang panjang sisinya 6 cm !
4. Luas permukaan tabung yang jari-jarinya 13 cm dan tingginya 25 cm !
5. Luas permukaan kerucut yang jari-jarinya 13 cm dan tingginya 25 cm !
6. Luas permukaan bola yang jari-jarinya 13 cm !
J. Volum Bangun Dimensi Tiga
1). Volum kubus
Volum kubus = s3
2). Volum balok
Volum balok = plt
3). Volum prisma
Volum prisma = luas alas x tinggi
4). Volum limas
1
Volum limas = x luas alas x tinggi
3
5). Volum tabung
Volum tabung = r 2 t
6). Volum kerucut
1
Volum kerucut = r 2 t
3
7). Volum bola
4
Volum bola = r 3
3
Latihan 4:
Hitunglah:
1. Volum kubus jika panjang sisinya 4 3 cm!
2. Volum balok yang panjangnya 9 2 cm, lebarnya 5 3 cm dan tingginya 3 5 cm !
3. Volum prisma segienam beraturan yang panjang sisinya 5 cm dan tingginya 7 cm !
4. Volum limas segiempat beraturan yang panjang sisinya 4 3 cm dan tingginya 6 cm !
5. Volum tabung yang jari-jarinya 13 cm dan tingginya 25 cm !
6. Volum kerucut yang jari-jarinya 13 cm dan tingginya 25 cm !
7. Volum bola yang jari-jarinya 13 cm !
K. Menentukan irisan suatu bidang pada dimensi tiga
1). Irisan suatu bidang pada dimensi tiga adalah segi-n yang semua sisinya merupakan garis potong
bidang itu dengan dimensi tiga tersebut.
2). Cara menentukan irisan suatu bidang pada dimensi tiga adalah:
a. Sumbu afinitas, yaitu garis potong antara bidang pengiris dengan bidang alas dimensi tiga
(atau dengan perluasannya).
b. Perpotongan bidang diagonal.
c. Perluasan bidang sisi.
Latihan 5:
Pada limas segilima T.ABCDE. Jika K pada pertengahan TB, L pada pertengahan TC, dan M pada
pertengahan TD. Lukislah irisan bidang melalui K, L, dan M dengan limas tersebut dengan cara
perluasan bidang sisi.
Petunjuk:
1. Perpanjang BC dan ED sehingga berpotongan di U.
2. Perluas bidang TCB dan TED sehingga berpotongan di TU.
3. Perpanjang KL sehingga memotong TU di V.
4. Perpanjang AB dan DE sehingga berpotongan di X.
5. Perluas bidang TAB dan TED sehingga berpotongan di TX.
6. Perpanjang VM sehingga memotong TE di N dan memotong TX di Y.
7. Hubungkan KY sehingga memotong TA di O.
8. Hubungkan K, L, M, N, dan O.
9. Bidang KLMNO adalah bidang irisan yang diinginkan.
L. Jarak dua Unsur pada Dimensi Tiga
1). Jarak antara dua titik dalam ruang dimensi tiga.
2). Jarak titik ke garis dalam ruang dimensi tiga.
3). Jarak titik ke bidang dalam ruang dimensi tiga.
4). Jarak antara dua garis yang sejajar dalam ruang dimensi tiga.
5). Jarak garis ke bidang dalam ruang dimensi tiga.
6). Jarak antara dua bidang dalam ruang dimensi tiga.
Latihan 6:
Pada suatu kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 7 cm. Tentukan:
1. Jarak antara titik A ke diagonal FH !
2. Jarak antara GH dan CE !
3. Jarak antara GF dan CE !
4. Jarak antara bidang BDE dan bidang CFH !
M. Proyeksi garis pada bidang
l
B
A
V
A’
B’
Gambar di samping menunjukkan garis l yang melalui
titik A dan B. Melalui titik A dan B masing-masing
dibuat garis yang tegak lurus pada bidang v serta
memotong bidang tersebut di titik A’ dan B’.
Garis yang melalui titik A’ dan B’ dinamakan proyeksi
orthogonal garis l pada bidang V.
N. Panjang proyeksi garis pada bidang
Menghitung panjang proyeksi garis pada bidang dapat digunakan aturan menentukan jarak garis pada
bidang.
Latihan 7:
Pada suatu kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 5 cm. Tentukan:
a. Proyeksi EA ke bidang BDE dan hitunglah panjang proyeksinya!
b. Proyeksi BG ke bidang BDE dan hitunglah panjang proyeksinya!
c. Proyeksi CG ke bidang BDE dan hitunglah panjang proyeksinya!
d. Proyeksi HF ke bidang BDE dan hitunglah panjang proyeksinya!
O. Besar Sudut pada Dimensi Tiga
1). Besar sudut antara garis dan bidang
Sudut antara garis dan bidang adalah sudut antara garis tersebut dengan proyeksinya.
2). Besar sudut antara dua bidang
Sudut antara bidang U dan bidang V dapat ditentukan oleh garis l pada bidang U dan garis m pada
bidang V yang saling tegak lurus pada garis potong bidang U dan V.
3). Besar sudut antara dua garis yang bersilangan
Sudut antara dua buah garis l dan m yang bersilangan adalah sudut yang diperoleh dari dua garis
yang berpotongan yang masing-masing sejajar dengan garis l dan m.
Latihan 8:
Pada suatu kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Tentukan besar sudut yang dibentuk
oleh:
a. FC dan FH !
b. BG dan DE !
c. AB dan DG !
d. DE dan HF !
e. BE dan CF !
Uji Kompetensi:
A. Pilihan Ganda
1. Diketahui balok ABCD.EFGH dan pasangan garis
(1) BH dan AC
(3) AD dan BC
(2) BC dan EF
(4) HG dan BD
Pasangan ruas garis yang bersilangan adalah ….
a. (1), (2), dan (3)
d. (1), (2), dan (4)
b. (1), (3), dan (4)
e. semua benar
c. (2), (3), dan (4)
2. Pada kubus ABCD.EFGH, jika P adalah titik tengah rusuk CG, maka perbandingan antara volum
P.BCD dengan volum kubus adalah ….
a. 1 : 12
d. 3 : 8
b. 2 : 9
e. 1 : 8
c. 2 : 3
3. Panjang diagonal ruang suatu balok adalah 196 cm. Tiga rusuk yang bertemu di salah satu titik
sudutnya mempunyai perbandingan 2 : 3 : 6. Luas permukaan balok tersebut adalah …. cm2.
a. 59.028
d. 54.326
b. 58.236
e. 52.426
c. 56.448
4. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jika P adalah titik pusat bidang
EFGH, maka jarak P ke rusuk BC adalah …. cm
a. 2 3
d. 3 6
b. 3
e. 4 3
c. 3 5
5. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Nilai cos  (AG,BDG) adalah ….
2
1
a.
2
d.
6
3
2
1
2
b.
2
e.
6
3
3
2
c.
3
B. Uraian
1. Diketahui sebuah bola melalui titik-titik sudut kubus ABCD.EFGH yang panjang rusuknya 4 cm.
Tentukan perbandingan antara volume bola dan volume kubus!
2. Limas segiempat beraturan T.ABCD dengan AB = 4 cm dan TA=TB=TC=TD=6 cm. Hitunglah
jarak antara titik A ke rusuk TC!
3. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Titik K, L, M, dan N berturut-turut
merupakan titik tengah AE, AB, CD, dan DH. Tentukan sudut yang dibentuk oleh bidang KLMN
dan bidang ABCD !