dasar integral garis

Program Perkuliahan Dasar Umum
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
Integral Garis
[MA1124]
KALKULUS II
Integral Garis
Definisi Integral garis
Integral garis di bidang
Misalkan persamaan parameter kurva mulus C ( di
bidang)
x=x(t), y=y(t) ; a ≤ t ≤ b
b
maka
2
2
∫ f (x, y) dS = ∫ f (x(t), y(t)) (x' (t)) + (y' (t)) dt
Integral
C
a
garis di ruang
Misalkan persamaan parameter kurva mulus C ( di
ruang)
x=x(t), y=y(t), z=z(t) ; a ≤ t ≤ b
maka
b
∫ f (x, y, z) dS = ∫ f (x(t), y(t), z(t)) (x' (t)) + (y' (t)) + (z' (t)) dt
2
C
7/6/2007
2
2
a
[MA 1124]
KALKULUS II
2
Sifat-sifat integral garis
1.
Jika C = C1UC2U … UCn, maka
A C1
C2
Cn B
∫ f (x, y) dS = ∫ f (x, y) dS + ∫ f (x, y) dS + ... + ∫ f (x, y) dS
C
2.
C1
C2
Cn
Jika – C adalah kurva C dengan arah berlawanan denga
C, maka
∫ f (x, y) dS = −∫ f (x, y) dS
−C
7/6/2007
C
[MA 1124]
KALKULUS II
3
Contoh
1.
Hitung
∫ (x
3
)
+ y dS , C adalah kurva x=3t; y=t3 ; 0≤t≤1
C
Jawab. x’(t)=3; y’(t)=3t2
∫ (x
C
3
)
∫ ((3t )
1
+ y dS =
3
)
+ t 3 32 + (3t ) dt
2
0
1
= ∫ 28 t 3 9 + 9t 4 dt
0
1
= 84∫ t 3 1 + t 4 dt
0
(
⎛1
= 84⎜ 1 + t
⎝6
((
= 14 1 + t
7/6/2007
)
)
4 3/2
4 3 /2
)
1
0
1
⎞
⎟
⎠0
(
)
= 14 2 2 − 1
[MA 1124]
KALKULUS II
4
Contoh
2.
Hitung
∫ (2x ) dS , C adalah terdiri dari busur parabola
C
C1
y=x2 dari (0,0) ke (1,1) diikuti oleh ruas garis vertikal
dari (1,1) ke (1,2).
Jawab.
(1,2)
Untuk C1: (0,0) Æ (1,1) , berupa busur y = x2.
C2
(1,1)
Persamaan parameter C1:
misalkan x = t Æ y = t2
0≤ t ≤1
x’(t)=1 y’(t)=2t
Sehingga
∫ (2x ) dS
C1
7/6/2007
1
1
= ∫ 2 t 1 + (2t ) dt = ∫ 2 t 1 + 4 t 2 dt
0
[MA 1124]
KALKULUS II
2
0
5
Contoh (Lanjutan)
1
∫ (2x ) dS = ∫ 2 t
C1
Sehingga
2
1 + 4 t dt
∫ (2x ) dS
0
(
1 2
= . 1 + 4 t2
4 3
1
= 5 5 −1
6
(
)
3 /2
1
C2
0
1
2
Jadi,
Untuk C2: (1,1) Æ (1,2)
∫ (2x ) dS = ∫ (2x ) dS + ∫ (2x ) dS
(berupa ruas garis)
Persamaan parameter C1:
misalkan
7/6/2007
= ∫ 2 0 + 12 dt
= 2 t 1 = 2(2 − 1) = 2
)
x=1Æy=t
x’(t)=0 y’(t)=1
2
C
C1
(
)
1
5 5 −1 + 2
6
1
= 5 5 + 11
6
=
(
1≤ t ≤2
[MA 1124]
KALKULUS II
C2
)
6
Latihan
1. Hitung ∫ (2 + x y )dS, C adalah setengah bagian atas
C
lingkaran lingkaran satuan x2+y2=1
2
2. Hitung ∫ (sin x + cos y ) dS , C adalah ruas garis dari (0,0)
C
ke (π,2π)
3. Hitung
0≤t≤1
7/6/2007
∫ (2x + 9z)dS, C adalah kurva x=t; y=t2; z=t3;
C
[MA 1124]
KALKULUS II
7
Kerja
r
Misalkan F( x, y) = M(x, y)î + N( x, y) ĵ adalah gaya yang bekerja pada
pada suatu titik (x,y) di bidang
F
Q
T
r(t)
A
B
Akan dicari: Berapa kerja (W) yang dilakukan oleh gaya F untuk
memindahkan sebuah partikel menyelusuri kurva C dari A ke B?
r
Misal r = xîr+ yĵ adalah vektor posisi Q(x,y)
r dr
vektor singgung satuan di Q
T=
ds
r drr drr dt rr ' ( t )
T=
=
= r
ds dt ds r ' ( t )
7/6/2007
[MA 1124]
KALKULUS II
8
Kerja (2)
rr r r
Maka F.T = F T cos θ adalah komponen singgung F di Q
Kerja yang dilakukan oleh F untuk memindahkan partikel
sejauh ∆s adalah
rr
∆W = F.T ∆s
Kerja yang dilakukan oleh gaya F untuk memindahkan
partikel dari A ke B adalah
r r
rr
r drr dt
ds = ∫ F.d r
W = ∫ F.T ds = ∫ F.
dt
ds
C
C
C
r
r
d r dx dy
diketahui
=
î +
ĵ ⇒ d r = dx î + dy ĵ
dt dt
dt
Jadi, didapat W = ∫ M( x, y)î + N(x, y) ĵ . dx î + dy ĵ
(
)(
)
C
= ∫ M( x, y) dx + N( x, y)dy
C
7/6/2007
[MA 1124]
KALKULUS II
9
Kerja (3)
Dengan
cara yang sama untuk
r
F (x, y, z) = M(x, y, z)ˆ
i + N(x, y, z)ˆ
j + P(x, y, z)kˆ
gaya yang bekerja pada suatu titik di ruang, maka
W = ∫ M(x, y, z) dx + N(x, y, z)dy + P(x, y, z)dz
C
7/6/2007
[MA 1124]
KALKULUS II
10
Contoh
1. Tentukan kerja yang dilakukan oleh medan gaya
r
F ( x, y ) = ( x 3 − y 3 )iˆ + xy 2 ˆj dalam memindahkan partikel
sepanjang kurva C : x = t2, y=t3 , -1 ≤t≤ 0
Jawab. Kerja yang dilakukan medan gaya F adalah
; dx = 2t dt, dy=3t2 dt
W = ∫ M dx + N dy
C
=
∫ (x
C
0
3
)
− y 3 dx + xy 2 dy
= ∫ ((t ) − (t ) )2t dt + t (t ) 3t dt
−1
0
=
2 3
∫ (2t
−1
7
3 3
)
3 2
− 2t 10 + 3t 10 dt =
⎛1 1 ⎞ − 7
= −⎜ −
⎟=
⎝ 4 11 ⎠ 44
7/6/2007
2
0
2
∫ (2t
−1
[MA 1124]
KALKULUS II
7
− t 10
)
0
1 8 1 11
t
dt = t −
4
11
−1
11
Contoh
2
2. Hitung integral garis ∫ ydx + x dy dengan kurva C : x = 2t,
C
y=t2-1 , 0 ≤t≤ 2
Jawab. Kerja yang dilakukan adalah
; dx = 2 dt, dy=2t dt
W = ∫ y dx + x 2 dy
C
2
=
∫ (t
0
2
=
2
)
− 1 2 dt + (2t ) 2t dt
∫ (2t
2
− 2 + 8t 3
0
2
)
2
16
2 3
4
=
− 4 + 32
dt = t − 2t + 2t
3
3
0
100
16
=
+ 28 =
3
3
7/6/2007
[MA 1124]
KALKULUS II
12
Latihan
1. Tentukan kerja yang dilakukan oleh medan gaya
r
F (x, y, z) = (2x − y )ˆ
i + 2z ˆ
j + (y − z)kˆ
dalam memindahkan partikel sepanjang C, dimana
C adalah ruas garis dari (0,0,0) ke (1,1,1)
2. Hitung integral garis ∫ ydx + x 2 dy dengan kurva C adalah ruas
garis dari (1,1) ke (3,-1)
r
r r
2
2
3. Hitung ∫ F.d r dengan F = xy î + xy ĵ sepanjang
C
C
a. C = C1 U C2
b. C = C3
y
C3
(3,5)
C2
(0,2)
C1
(3,2)
x
7/6/2007
[MA 1124]
KALKULUS II
13
Integral Garis Bebas Lintasan
PENDAHULUAN
r
r r
Hitung∫ F.d r dengan F = yî + xĵ atas lintasan
C
a. C garis y = x dari (0,0) ke (1,1)
b. C garis y = x2 dari (0,0) ke (1,1)
c. C garis y = x3 dari (0,0) ke (1,1)
TEOREMA
r A: DASAR INTEGRAL GARIS
Misalkan F( x, y) = M(x, y)î + N( x, y) ĵ dengan C adalah kurva mulus
sepotong-potong dengan titik pangkal (x0,y0) dan titik ujung
(x1,y1).
r
r
Jika F( x, y) = ∇f ( x, y) maka
r r
F.d r = f ( x 1 , y1 ) − f ( x 0 , y 0 )
∫
C
7/6/2007
[MA 1124]
KALKULUS II
14
Integral Garis Bebas Lintasan(2)
r
r
r
Jika F( x, y) = ∇f ( x, y) makaF disebut gaya konservatif dan rf
disebut fungsi potensial dari F
r
∂f
∂f
∇f =
î +
ĵ
∂x
∂y
r
Contoh: F = yî + xĵ dengan C kurva dari (0,0) ke (1,1)
r
r
F = yî + xĵ = ∇f dengan fungsi potensial f = xy
r r
maka F.d r = f (1,1) − f (0,0) = 1.1 − 0.0 = 1
∫
C
Masalah:
Bagaimana mengetahui bahwa F konservatif?
(F(x,y)=gradien dari suatu fungsi f).
Bagaimana memperoleh f(x,y) jika F(x,y) konservatif?
7/6/2007
[MA 1124]
KALKULUS II
15
Integral Garis Bebas Lintasan(3)
r
DEFINISI: Misal F = M î + N ĵ + P k̂
r
r r r
maka Curl F = rot F = ∇ x F
î
ĵ
k̂
∂
∂
∂
⎛ ∂P ∂N ⎞ ⎛ ∂M ∂P ⎞ ⎛ ∂N ∂M ⎞
=
⎟⎟k̂
⎟⎟î + ⎜
− ⎟ ĵ + ⎜⎜
−
= ⎜⎜ −
∂x ∂y ∂z
⎝ ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂z ∂x ⎠ ⎝ ∂x ∂y ⎠
M N P
TEOREMA B
r
r
F = M î + N ĵ + P k̂ maka F konservatif jika dan hanya jika
Misalkan
r
r
Curl F = rot F = 0 atau jika dan hanya jika
∂N ∂M ∂P ∂N ∂M ∂P
=
,
=
,
=
∂x
∂y ∂y r ∂z ∂z ∂x
r
Khusus jika F = M î + N ĵ maka F konservatif jika dan hanya jika
∂N ∂M
=
∂y
∂x
7/6/2007
[MA 1124]
KALKULUS II
16
Contoh:
(
)
1. Diketahui
a. Tunjukkan
r rbahwa F konservatif, dan tentukan f
b. Hitung ∫ F .d r dengan C sebarang kurva dari (1,4) ke (3,1)
r
F = 2 xy 3 iˆ + 1 + 3 x 2 y 2 ˆj
C
Jawab.
∂N
∂M
r
=
a. (i) F Konservatif ⇔ ∂ y
∂x
M=2xy3
N=1+3x2y2
⇒
⇒
∂M
= 6 xy 2
∂y
∂N
= 6x y2
∂x
∂M
∂N
=
∂y
∂x
r
Jadi F Konservatif
r
r
∂f ˆ
∂f ˆ
3 ˆ
2
2 ˆ
(ii) F = 2 xy i + 1 + 3 x y j =
i +
j = ∇f
∂x
∂y
∂f
∂f
= 2 x y 3 ……. (1)
= 1 + 3 x 2 y 2 ……. (2)
∂x
∂y
(
7/6/2007
)
[MA 1124]
KALKULUS II
17
Contoh (Lanjutan)
Integralkan (1) terhadap x, diperoleh
f (x, y ) =
∫
2 x y 3 dx
f ( x , y ) = x 2 y 3 + C ( y ) ……. (3)
Turunkan (3) terhadap y, diperoleh
∂f
= 3 x 2 y 2 + C ' (y )
∂y
……. (4)
Dari (2) dan (4), diperoleh
∂f
= 3 x 2 y 2 + C ' (y ) = 1 + 3 x 2 y 2
∂y
C ' (y ) = 1
C (y ) = y + C
Jadi fungsi potensialnya adalah f (x, y) = x2y 3 + y + C
7/6/2007
[MA 1124]
KALKULUS II
18
Contoh (Lanjutan)
b.
∫
C
r r ( 3 ,1 )
F .d r = ∫ 2 x y 3 dx + 1 + 3 x 2 y 2
(
) dy
(1 , 4 )
= f ( 3 , 1 ) − f (1 , 4 )
(
) (
= 3 2. 1 3 + 1 − 1 2. 4 3 + 4
)
, f ( x, y ) = x 2 y 3 + y + C
= 10 − 68 = − 58
7/6/2007
[MA 1124]
KALKULUS II
19
Contoh
r
2. Diketahui F ( x , y , z ) = e x cos y + yz ˆi + xz − e x sin y ˆj + xy kˆ
(
)
(
)
a. Tunjukkan
bahwa F konservatif, dan tentukan f
r r
b. Hitung ∫ F .d r dengan C sebarang kurva dari (0,0,0)ke (1,0,1)
C
Jawab.
∂P
∂M
∂P
∂N
∂M
∂N
r
,
=
,
=
a. (i) F Konservatif ⇔ ∂ y = ∂ x
∂x
∂z
∂y
∂z
∂M
∂M
x
= − e sin y + z
M=ex cosy+yz ⇒
∂z
∂y
∂N
∂N
N=xz – ex siny ⇒
= − e x sin y + z
∂z
∂x
∂P
P=xy
= x
⇒ ∂P = y
∂y
∂x
∂P
=
Sehingga diperoleh, bahwa ∂ M = ∂ N ,
∂y
∂x ∂x
r
Jadi F Konservatif
7/6/2007
[MA 1124]
KALKULUS II
= y
= x
∂M
∂P
∂N
,
=
∂z
∂y
∂z
20
Contoh (lanjutan)
r
∂f ˆ ∂f ˆ ∂f ˆ r
x
x
ˆ
ˆ
ˆ
(ii) F = e cos y + yz i + xz − e sin y j + xy k =
i +
j+
k = ∇f
∂x
∂y
∂y
∂f
∂f
= e x cos y + yz ……. (1)
= xz − e x sin y ……. (2)
∂x
∂y
∂f
……. (3)
= xy
∂z
(
) (
)
Integralkan (1) terhadap x, diperoleh
f (x, y , z ) =
∫ (e
x
)
cos y + yz dx
f ( x, y , z ) = e x cos y + xyz + C (y , z ) ……. (4)
Turunkan (4) terhadap y, diperoleh
∂f
= −e x sin y + xz + Cy (y, z) ……. (5)
∂y
7/6/2007
[MA 1124]
KALKULUS II
21
Contoh (Lanjutan)
Dari (2) dan (5), diperoleh
∂f
= −e x sin y + xz + C y (y , z ) = xz − e x sin y
∂y
C y (y , z ) = 0
C ( y , z ) = C ( z ) ……. (6)
Masukan (6) ke (4), diperoleh
f ( x, y , z ) = e x cos y + xyz + C ( z ) ……. (7)
Turunkan (7) terhadap z, diperoleh
∂f
= xy + C' (z) ……. (8)
∂z
Dari (3) dan (8), diperoleh
∂f
= xy + C ' ( z ) = xy
∂y
C '(z) = 0
C ( z ) = C ……. (9)
7/6/2007
[MA 1124]
KALKULUS II
22
Contoh (Lanjutan)
Masukan (9) ke (7), diperoleh
f ( x, y , z ) = e x cos y + xyz + C
Jadi fungsi potensialnya adalah
f ( x, y , z ) = e x cos y + xyz + C
b.
∫
C
r r (1,0,1) x
F .d r = ∫ e cos y + yz dx + xz − e x sin y dy + xy dz
(
)
(
)
(0,0,0 )
= f (1 , 0 ,1 ) − f ( 0 , 0 ,0 )
(
) (
, f ( x, y , z ) = e x cos y + xyz + C
= e 1 cos 0 + 1 . 0 . 1 − e 0 cos 0 + 0
)
= e −1
7/6/2007
[MA 1124]
KALKULUS II
23
Penyataan berikut ekivalen
r
r
1. F = ∇ f untuk suatu f (F konservatif)
r r
2. F .d r bebas lintasan
∫
C
3.
∫
r r
F .d r = 0
C
Sudah
Jelas???
7/6/2007
[MA 1124]
KALKULUS II
24
Latihan
(
)
r r
Tentukan apakah F konservatif? Jika ya, tentukan f F = ∇f
r
r
4. F = (2e y − yex )î + (2xe y − e x )ĵ
1. F = (10x − 7 y )î − (7 x − 2 y ) ĵ
r
r
2
2
2
2
2
2. F = (12x + 3y + 5y )î + (6xy − 3y + 5x )ĵ 5. F = (2xy + z )î + x ĵ + (2xz + π cos πz )k̂
r
3. F = (4 y 2 cos(xy 2 ) )î + (8x cos(xy 2 ) )ĵ
Hitung integral garis berikut:
( 3,1)
6.
∫ (y
2
+ 2xy)dx + (x 2 + 2xy)dy
(1,1, 4 )
(1,π )
2
∫ (e
x
sin y )dx + (e cos y )dy
x
(1,1,1)
8. ∫ (6xy + 2z )dx + (9x y
3
7/6/2007
10. ∫ (yz − e −x )dx + (xz + e y )dy + (xy)dz
( 0,0,0)
( 0,0)
( 0, 0, 0)
9. ∫ (cos x + 2yz)dx + (sin y + 2xz )dy + (z + 2xy)dz
( 0, 0, 0 )
( −1, 2 )
7.
( π ,π , 0 )
2
2
2
)dy + (4xz + 1)dz 11.∫ (3x
2
− 6 yz)dx + (2 y + 3xz )dy + (1 − 4xyz2 )dz
C
C adalah ruas garis dari (0,0,0) ke (1,1,1)
[MA 1124]
KALKULUS II
25
Teorema Green di Bidang
y
C4
Misalkan C kurva mulus sepotong-potong, tertutup
sederhana yang membentuk batas dari suatu daerah
di bidang XOY. Jika M(x,y) dan N(x,y) kontinu dan
mempunyai turunan kontinu pada S dan batasnya C
maka
⎛∂N ∂M⎞
+
=
M
dx
N
dy
∫C
∫∫S ⎜⎜⎝ ∂ x − ∂ y ⎟⎟⎠dA
Bukti.
C = C1 U C2 U C3 U C4
Perhatikan
S = {(x,y)|a ≤ x ≤ b, g(x) ≤ y ≤ f(x)}
C3 y=f(x)
S
C1
a
7/6/2007
C2
∫ M dx = ∫ M dx + ∫ M dx + ∫ M dx + ∫ M dx
C
C1
b
C2
C3
a
C4
b
⎡b
⎤
M dx = M( x, g( x )) dx + M( x, f ( x )) dx = − ⎢ M( x, f ( x )) dx − M( x, g( x )) dx ⎥
y=g(x)
⎢⎣ a
⎥⎦
C
a b f (x)
b
a
b f (x)
⎤
⎡
∂M
∂ M ( x , y)
x
b
M dx = − ⎢
dydx⎥ = −
dA
∂
y
y
∂
⎥⎦
⎢⎣ a g ( x )
C
a g(x)
∫
∫
∫
∫
∫∫
∫
∫
∫∫
[MA 1124]
KALKULUS II
26
Teorema Green di Bidang
Sama halnya dengan memperlakukan S sebagai
himpunan x sederhana, kita peroleh
∫
C
N dy =
∫∫
S
∂N
dA
∂x
Sehingga diperoleh
∫∫
S
7/6/2007
⎛∂N ∂M⎞
⎜⎜
⎟⎟dA = M dx + N dy
−
⎝ ∂x ∂y ⎠
C
∫
[MA 1124]
KALKULUS II
27
Contoh
Hitung ∫ y dx + 4xydy dengan C adalah kurva tertutup yang terdiri
C
dari busur parabola y = x2 dari titik asal ke titik(2,4) dan
segmen garis (2,4) ke titik (0,0)
Jawab.
Akan kita coba mengerjakan dengan dua cara, yaitu dengan
Integral garis biasa dan teorema Green
1. Integral garis
Untuk C1: (0,0) Æ (2,4) , berupa busur y = x2.
Persamaan parameter C1:
misalkan x = t Æ y = t2
(2,4)
0≤ t ≤2
x’(t)=1 y’(t)=2t
C
2
2
Sehingga
C1
(0,0)
7/6/2007
2
y
∫ dx + 4xy dy =
C1
2
∫ (t )
2 2
2
dt + 4.t.t 2.2t dt =
0
[MA 1124]
KALKULUS II
∫ (t
4
)
+ 8 t 4 dt
0
28
Contoh (Lanjutan)
2
=
∫
0
2
288
9 5
=
9 t dt = t
5
5 0
4
Untuk C2: (2,4) Æ (0,0) (berupa ruas garis)
Persamaan parameter C2: misalkan
(x,y) = (2 , 4)+ t (0,0) - (2,4)
x = 2 – 2t, y = 4 – 4t
Sehingga
2
y
∫ dx + 4xy dy =
C2
⇒
x’(t)=-2 , y’(t)=-4 0≤ t ≤1
1
2
(
)
(− 2)dt + 4(2 − 2t )(4 − 4t )(− 4)dt
4
−
4
t
∫
0
1
(
)
= − ∫ 160 − 320t + 160t 2 dt
0
7/6/2007
[MA 1124]
KALKULUS II
29
Contoh (lanjutan)
1
(
)
2
2
y
dx
+
4
xy
dy
=
−
160
−
320
t
+
160
t
dt
∫
∫
C2
0
1
320 2 160 3 ⎞
⎛
= − ⎜160 t −
t +
t ⎟
2
3
⎝
⎠0
160
=−
3
Jadi,
2
y
∫ dx + 4xy dy =
C
2
y
∫ dx + 4xy dy +
C1
288 160
−
5
3
64
=
15
2
y
∫ dx + 4xy dy
C2
=
7/6/2007
[MA 1124]
KALKULUS II
30
Contoh (Lanjutan)
2. Teorema Green.
y
⎛∂N ∂M⎞
∫C y dx + 4xy dy = ∫∫S ⎜⎜⎝ ∂ x − ∂ y ⎟⎟⎠dA
2
(2,4)
4
2 2x
=
y=2x
0 x2
2
S
= ∫y
y=x2
(0,0)
2
Dengan:
M=y2
N=4 yx
∫ ∫ (4y − 2y ) dy dx
2
0
2
x
2x
x2
dx
= ∫ 4x 2 − x 4 dx
0
⇒
⇒
∂M
= 2y
∂y
∂N
= 4y
∂x
2
4 3 1 5
32 32 64
= x − x
=
−
=
3
5
3
5
15
0
S={(x,y)| 0 ≤ x ≤ 2, x2 ≤ y ≤ 2x}
7/6/2007
[MA 1124]
KALKULUS II
31
Latihan
1. Tentukan kerja yang dilakukan oleh medan gaya
r
F( x, y) = (sin x − y)î + (e y − x 2 ) ĵ dalam menggerakkan suatu obyek
mengitari satu kali x2 + y2 = 4 dalam arah positif.
∫
2. Hitung
2xy dx + y 2 dy dengan C kurva tertutup yang terbentuk
oleh y = x/2 dan x = y2 antara (0,0) dan (4,2)
C
3. Hitung
∫ xy dx + (x + y)dy dengan C segitiga yg titik-titik sudutnya
C
(0,0), (2,0), dan (0,1)
4. Hitung ∫ (e 3x + 2y) dx + ( x 2 + sin y) dy dengan C persegipanjang yg titik
titik sudutnya (2,1), (6,1), (6,4) dan (2,4)
2
2
5. Hitung ∫ (x + 4x y) dx + (2x + 3y) dy dengan C ellips
C
C
9x2 + 16 y2 = 144
7/6/2007
[MA 1124]
KALKULUS II
32
Program Perkuliahan Dasar Umum
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
Integral Permukaan
[MA1124]
KALKULUS II
G
Luas Permukaan
c
a
b
Gi
d
R
Ri
Misalkan diketahui partisi permukaan G berupa grafik
z = f(x,y) atau F(x,y,z) = f(x,y) – z
∆Ti
r
∇F. k̂
,
cos γ i = r
∇F k̂
∆Si
k
∇F
γ
γ
γ
f x2 + f y2 + 1
=
1
f x2 + f y2 + 1
sec γ i = f x2 + f y2 + 1
∆Si~ ∆Ti = ∆Ri sec γi
∆Si = luas Gi dan ∆Ri = luas Ri = ∆xi∆yi
∆Ti = luas bidang singgung yang
terletak diatas Ri
γi = sudut antara Ri dan Ti
Jadi ∆Si = f x2 + f y2 + 1 ∆R i
Luas Permukaan G adalah
∫∫
dS =
G
7/6/2007
−1
cos γ i =
∆Ri
r
dengan ∇F = f x î + f y ĵ − k̂
[MA 1124]
KALKULUS II
∫∫
f x2 + f y2 + 1 dA
R
34
Contoh
Hitung luas permukaan G : z = x2 + y2 dibawah bidang z=4
Jawab.
Z
z=4
G
x2+y2=4
S
x
Bagian G yang dimaksud diproyeksikan
pada daerah S (daerah yang dibatasi
oleh lingkaran x2+y2=4).
y
Misalkan f(x,y)=x2+y2. Maka didapat
fx= 2x, fy=2y
Sehingga luas permukaan G adalah
∫∫ dS =
G
∫∫
2
2
fx + fy + 1 dA =
S
∫∫
4x 2 + 4y 2 + 1 dA
S
dengan S={(x,y)| -2≤ x ≤ 2,
− 4 − x 2 ≤y≤ 4 − x 2 }
7/6/2007
[MA 1124]
KALKULUS II
35
Contoh (Lanjutan)
Dengan koordinat polar, batasan S berubah menjadi
S={(r,θ)|0 ≤ r ≤ 2, 0≤ θ ≤ 2π }
Jadi
∫∫ dS =
G
=
∫∫
4x 2 + 4y 2 + 1 dA
S
2π 2
∫∫
4r 2 + 1 r dr dθ
0 0
2π
=
∫
0
=
7/6/2007
(
)
2
3/2
1 2
2
. 4r + 1
dθ
0
8 3
(
)
(
)
π
2π
1
17 17 − 1 .θ 0 = 17 17 − 1
6
12
[MA 1124]
KALKULUS II
36
Latihan Luas Permukaan
1. Hitung luas permukaan G : z = x2 + y2 dibawah bidang
z =4
2. Hitung luas permukaan G : z = 4 − y 2 yang tepat berada
di atas persegi panjang dengan titik sudut (1,0),(2,0),
(2,1),(1,1)
3. Hitung luas permukaan G : silinder z2 + x2 = 16 di oktan
I yang dipotong oleh bidang x =2, y = 1, y = 3
4. Hitung luas permukaan G : silinder z2 + y2 = 9 di oktan I
antara y =x, y = 3x
7/6/2007
[MA 1124]
KALKULUS II
37
Integral Permukaan
Misalkan g(x,y,z) terdefinisi pada permukaan G
Misalkan permukaan G berupa grafik
z
G
z = f(x,y) atau F(x,y,z) = f(x,y) – z
-Misalkan R proyeksi G pada bidang
(x , y , z )
Gi
XOY
i
i
i
-Partisi R menjadi n bagian; R1, R2,…,Rn
c
a
(x i , y i )
b
x
dy
R
-Pilih (x i , y i ) ∈ R i dan (x i , y i , z i ) ∈ G i
(partisi G yang bersesuaian dgn R)
-Bentuk jumlah riemann
∑ g(x , y , z )∆G ,
n
i
Ri
i
i
i
dengan ∆G i =luas G i
i =1
Integral permukaan dari g atas G
adalah g(x, y, z) dS = lim n g(x , y , z )∆G
∑
∫∫
∫∫ g(x, y, z) dS = ∫∫ g(x, y, z)
P →0
G
atau
G
7/6/2007
[MA 1124]
KALKULUS II
i
i
i
i
i =1
f x2 + f y2 + 1 dA
R
38
Integral Permukaan (2)
Dengan cara yang sama diperoleh
1. Jika permukaan G berupa grafik x = f(y,z), (y,z)∈ R
(Proyeksi G pada bidang YOZ), maka
∫∫
2.
g( x, y, z) dS =
G
R
Jika permukaan G berupa grafik y = f(x,z), (x,z)∈ R
(Proyeksi G pada bidang XOZ), maka
∫∫
G
7/6/2007
∫∫
g(f ( y, z), y, z) 1 + f y2 + f z2 dA
g( x, y, z) dS =
∫∫
g( x, f ( x, z), z) f x2 + 1 + f z2 dA
R
[MA 1124]
KALKULUS II
39
Contoh
1. Hitung
∫∫
Jawab.
z dS , G adalah permukaan z = 4 − x 2 − y 2
G
z = 4 − x2 − y2
⇒
z2 = 4 − x2 − y 2
z2 + x2 + y 2 = 4
G bagian atas kulit bola dengan jari-jari 2.
Z
R (proyeksi G pada XOY) berupa lingkaran
x2+y2=4.
Kita punya z = 4 − x 2 − y 2 , maka
2
G
R
x
2
x2+y2=4
2
2
fx + fx
7/6/2007
2
y
(
(
1
4 − x2 − y 2
2
1
fy = 4 − x 2 − y 2
2
fx =
)
)
−1 / 2
. − 2x =
−1 / 2
. − 2y =
−x
4 − x2 − y 2
−y
4 − x2 − y 2
x2
y2
4 − x2 − y 2
4
+1 =
+
+
=
4 − x2 − y 2 4 − x2 − y 2 4 − x2 − y 2 4 − x2 − y 2
[MA 1124]
KALKULUS II
40
Contoh (lanjutan)
Jadi
∫∫ z dS =
G
=
∫∫ z fx + fy + 1 dA
2
2
R
∫∫
4 − x2 − y 2
R
4
dA
2
2
4−x −y
= 2 ∫∫ dA
R
dimana daerah R={(r,θ)|0 ≤ r ≤ 2, 0≤ θ ≤ 2π }, sehingga
∫∫ z dS = 2∫∫ dA
G
R
2π 2
= 2 ∫ ∫ r dr dθ = 8π
0 0
7/6/2007
[MA 1124]
KALKULUS II
41
Latihan Integral Permukaan
1. Hitung
∫∫
x 2 z 2 dS , dengan G bagian kerucut z2 = x2 + y2
G
di antara z = 1 dan z = 2
2. Hitung
∫∫ g(x, y, z) dS
G
a. g(x,y,z) = x2 + y2 + z , dengan G: z = x+y+1, 0≤x≤1, 0≤y≤1
b. g(x,y,z) = x , dengan G: x+y+2z = 4, 0≤x≤1, 0≤y≤1
c. g(x,y,z) = x+y , dengan G: z =
4 − x 2 , 0≤x≤√3, 0≤y≤1
d. g(x,y,z) = 4x 2 + 4y 2 + 1, dengan G: z =x2-y2, 0≤x2+y2≤1
e. g(x,y,z) = x + y , dengan G adalah permukaan kubus,
0≤x≤1, 0≤y≤1, 0≤z≤1
7/6/2007
[MA 1124]
KALKULUS II
42