PENGANTAR MODEL PROBABILITAS - (PMP, Minggu

PENGANTAR MODEL PROBABILITAS
(PMP, Minggu 8-14)
Sri Haryatmi Kartiko
Universitas Gadjah Mada
Juni 2014
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi
Outline
1
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM
Mean dan Variansi
Fungsi Pembangkit Momen (MGF)
2
Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL
Distribusi Spesial Diskrit
Distribusi Spesial Kontinu
3
Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM
Fungsi Distribusi Bersyarat dan Independensi
Sifat Variabel Random
4
Minggu 13,14:RANTAI MARKOV
Persaman Chapman Kolmogorov
Klasifikasi State
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi
Outline
1
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM
Mean dan Variansi
Fungsi Pembangkit Momen (MGF)
2
Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL
Distribusi Spesial Diskrit
Distribusi Spesial Kontinu
3
Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM
Fungsi Distribusi Bersyarat dan Independensi
Sifat Variabel Random
4
Minggu 13,14:RANTAI MARKOV
Persaman Chapman Kolmogorov
Klasifikasi State
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi
Outline
1
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM
Mean dan Variansi
Fungsi Pembangkit Momen (MGF)
2
Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL
Distribusi Spesial Diskrit
Distribusi Spesial Kontinu
3
Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM
Fungsi Distribusi Bersyarat dan Independensi
Sifat Variabel Random
4
Minggu 13,14:RANTAI MARKOV
Persaman Chapman Kolmogorov
Klasifikasi State
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi
Outline
1
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM
Mean dan Variansi
Fungsi Pembangkit Momen (MGF)
2
Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL
Distribusi Spesial Diskrit
Distribusi Spesial Kontinu
3
Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM
Fungsi Distribusi Bersyarat dan Independensi
Sifat Variabel Random
4
Minggu 13,14:RANTAI MARKOV
Persaman Chapman Kolmogorov
Klasifikasi State
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM
Dalam bab ini, diperkenalkan konsep tentang momen dari variabel,
mean dan variansi dari variabel random.
Definisi 1.1
Momen ke n di sekitar titik asal dari suatu variabel random X ,
ditulis E (X n ), adalah
(P
n
n
x∈RX x f (x) jika X diskrit,
E (X ) = R ∞ n
jika X kontinu.
−∞ x f (x)
untuk n = 0, 1, 2, 3, . . .,
Jika n = 1, maka E (X ) merupakan momen pertama di sekitar titik
nol. Untuk n = 2, maka E (X 2 ) merupakan momen kedua dari
variabel random X di sekitar titik nol. Secara umum, momen suatu
variabel random tidak selalu ada. Bila suatu variabel random tidak
punya mean, dikatakan variabel random tersebut tidak punya
momen pertama. Ada dua hal yang penting untuk suatu variabel
random, yakni, mean dan variansi yang akan dibahas dalam subbab
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi
Mean dan Variansi
Definisi 1.2
Misalkan X adalah variabel random yang mempunyai fungsi
densitas probabilitas (pdf) f (x). Mean dari variabel random X
didefinisikan sebagai
µX
= sumx∈RX xf (x)jika X diskrit
Z ∞
=
xf (x)dxjika X kontinu
(1)
(2)
−∞
bila harganya berhingga.
Mean adalah ukuran tendensi sentral dari suatu distribusi variabel
random X . Mean juga biasa disebut sebagai harga harapan dari
variabel random X dan ditulis E (X ) dari kata Expectation of X.
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi
Mean dan Variansi
Contoh 1.3
Variabel random X berdistribusi uniform pada interval (2, 7),
berapa mean dari X ?
Jawab:
Pdf dari variabel random X adalah
(
1
jika 2 < x < 7,
f (x) = 5
0 untuk harga x yang lain
Sehingga, mean atau harga harapan dari X adalah
µX
= E (X )
Z ∞
=
xf (x)dx
−∞
7
Z
1
x dx
5
2
1 2 7
1
=
x
= (49 − 4)
10
10
2
=
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi
Mean dan Variansi
Teorema 1.4
Misal X adalah suatu variabel random dengan pdf f (x). Jika a dan
b adalah dua bilangan riil, maka
E (ax + b) = aE (X ) + b
(3)
Definisi 1.5
Misal X adalah suatu variabel random dengan mean µX . Variansi
dari X , ditulis Var (X ) atau σX2 , didefinisikan sebagai
Var (X ) = σX2 = E (X − µX )2
(4)
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi
Mean dan Variansi
Teorema 1.6
Jika X adalah suatu variabel random dengan mean µX dan variansi
σX2 , maka
σX2 = E (X 2 ) − µ2X
(5)
Teorema 1.7
Jika X adalah suatu variabel random dengan mean µX dan variansi
σX2 , maka
Var (aX + b) = a2 Var (X )
(6)
dimana a dan b adalah bilangan riil konstanta.
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi
Mean dan Variansi
Contoh 1.8
Misal X mempunyai fungsi peluang:
(
2x
untuk 0 ≤ x ≤ k,
2
f (x) = k
0
yang lainnya.
Berapa nilai k, bila Var (X ) = 2?
Contoh 1.9
Jika pdf dari variabel random X diberikan oleh:
(
1 − |x| untuk |x| < 1
f (x) =
0
yang lainnya,
Maka, berapa variansi dari X ?
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi
Fungsi Pembangkit Momen (MGF)
Fungsi pembangkit momen (MGF) adalah fungsi riil yang dapat
dibangkitkan untuk semua momen dari variabel radom.
Definisi 1.10
Misal X adalah suatu variabel random dengan fungsi pdf f (x).
Fungsi riil M : R → R yang didefinisikan sebagai
M(t) = E (e tX )
(7)
disebut fungsi pembangkit momen dari X , jika mean-nya ada untuk
semua t dalam selang interval −h < t < h untuk suatu h > 0.
Pada umumnya,tidak semua variabel random mempunyai fungsi
pembangkit momen. Tetapi, jika fungsi pembangkit momen dari
suatu variabel random ada, maka fungsi pembangkit momennya
unique.
Dengan menggunakan definisi mean dari variabel random,
diperoleh representasi dari M(t) secara eksplisit, yakni:
(P
tx
x∈RX e f (x) jika X diskrit
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi
Fungsi Pembangkit Momen (MGF)
Contoh 1.11
Misal X adalah variabel random yang mempunyai fungsi
pembangkit momen M(t) dan n adalah suatu bilangan asli.
Berapa turunan ke-n dari M(t) pada t = 0?
Contoh 1.12
Tentukan MGF dari variabel random X yang mempunyai pdf:
(
e −x untuk x > 0,
f (x) =
0
yang lainnya.
Kemudian, tentukan mean dan variansi-nya!
Contoh 1.13
Misal variabel random X mempunyai MGF, M(t) = (1 − t)−2
untuk t < 1. Berapa moment ketiga dari X ?
Penyelesaian:
Hitung turunan ketiga dari M(t) pada t = 0 untuk menghitung
momen ketiga dari X ,
M(t) = (1 − t)−2
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi
Fungsi Pembangkit Momen (MGF)
M 0 (t) = 2(1 − t)−3
M 00 (t) = 6(1 − t)−4
M 000 (t) = 24(1 − t)−5
Dengan demikian, momen ketiga dari X adalah
Teorema 1.14
24
(X 3 ) = random 5dengan
= 24 fungsi pembangkit
Misal X adalah suatuEvariabel
(1 − 0)
momen MX (t). Jika a dan b adalah dua bilangan riil konstanta,
maka
MX +a (t) = e at MX (t)
(8)
MbX (t) = MX (bt)
t a
t
b
M X +a (t) = e MX
b
b
(9)
(10)
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi
Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL
Dalam bab ini dibahas beberapa distribusi penting. Dalam aplikasi,
memungkinkan untuk menentukan bahwa distribusi mempunyai
bentuk spesial yang diketahui. Biasanya distribusi spesial
tergantung pada satu atau lebih dari satu parameter dan apabila
harga numeris dari parameter diketahui, distribusi tertentu dengan
lengkap.
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi
Distribusi Spesial Diskrit
Distribusi Bernoulli
Sebuah eksperimen terdiri hanya satu trial, misal terdapat hanya 2
kejadian yaitu E dan E c yang dapat direpresentasikan sebagai
”head” dan ”tail” pada lemparan uang satu kali, mendapatkan
barang ”rusak” atau ”bagus” pada pengambilan satu item dari
suatu lot barang produksi pabrik, atau secara umum ”sukses” atau
”gagal” pada trial suatu eksperimen. Misal pada suatu eksperimen,
probabilitas E terjadi dengan probabilitas p = P(E ) dan E c terjadi
dengan probabilitas q = P(E c ) = 1 − p.
Variabel random X yang berharga 0 atau 1 ini disebut variabel
Bernoulli, dan hasil eksperimen yang hanya mempunyai 2 outcome
disebut Bernoulli trial. Khususnya bila suatu eksperimen
mempunyai 2 hasil yaitu ”sukses”(E ) atau ”gagal”(E c ) maka
variabel Bernoulli yang berkorespondensi dengannya adalah
(
1 bila e ∈ E ,
X (e) =
0 bila e ∈ E c .
Pdf X dapat disajikan sebagai f (0) = q dan bila f (1) = p. Disebut
distribusi Bernoulli, yang secara matematis disajikan sebagai
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi
Distribusi Spesial Diskrit
Contoh 2.1
Eksperimen melempar sebuah dadu bersisi 4. Taruhan diletakkan
pada hasil mata dadu 1 . Jadi E = {1}, E c = {2, 3, 4}, dan
p = 1/4.
Contoh 2.2
Eksperimen mengambil kelereng secara random dari koleksi 10
kelereng hitam dan 20 kelereng putih. Dalam hal ini dapat
dipandang ”hitam” sabagai sukses dan ”putih” sebagai gagal atau
sebaliknya.Mendapatkan kartu hitam yang dikatakan sukses,
p = 10/30 = 1/3 dan q = 20/30 = 2/3
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi
Distribusi Spesial Diskrit
Distribusi Binomial
Kadang diperlukan eksperimen yang lebih kompleks, misalnya
sejumlah trial Bernoulli yang diulang n kali secara independen,
masing-masing dengan probabilitas sukses p. X menunjukkan
banyaknya sukses, dikenal dengan pdf Binomial, dengan pdf dari X
disajikan sebagai
n
f (x) =
p x q n−x
x = 0, 1, 2, ...n
(12)
x
atau ditulis dengan notasi X ∼ B(n, p) dibaca X berdistribusi
Binomial dengan banyak trial n dan probabilitas sukses untuk satu
trial p, 0 ≤ p ≤ 1
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi
Distribusi Spesial Diskrit
Akan diturunkan beberapa sifat umum distribusi binomial. Bila
X ∼ B(n, p), maka
MX (t) = E (e
tX
)=
n
X
e tx f (x)
x=0
=
=
=
n
X
x=0
n
X
x=0
n
X
x=0
n
!
e tx p x q n−x
x
n
!
(pe t )x q n−x
x
n
x
!
(pe t )x q n−x
= (pe t + q)n
MX0 (t) = n(pe t + q)n−1 pe t , dengan demikian
E (X ) = MX0 (0) = np. Selanjutnya
MX ”(t) = n(n − 1)(pe t + q)n−2 p 2 e 2t + n(pe t + q)n−1 pe t , yang
berarti E (X ) = MX ”(0) = n(n − 1)p 2 + np, sehingga
Var (X ) = E (X 2 ) − [E (X )]2 = npq
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi
Distribusi Spesial Diskrit
Distribusi Hipergeometri
Misal populasi terdiri dari N item, M diantaranya tipe 1, sisanya
N − M item dari tipe 2. Misal n item diambil secara random tanpa
pengembalian, dan X banyaknya item tipe 1 yang terambil. Dalam
hal ini X dikatakan berdistribusi hipergeometri, sering ditulis
dengan notasi X ∼ H(n, M, N). Pdf diskrit dari X diberikan oleh
!
!
M
N −M
f (x) =
x
n−x
!
N
, x = 0, 1, 2, ... min(n, m)
n
Dapat ditunjukkan bahwa
E (x) = nM/N
V (x) = n(M/N)(1 − M/N)(N − n)/(N − 1)
(13)
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi
Distribusi Spesial Diskrit
Teorema 2.3
Apabila X berdistribusi Hipergeometri
X ∼ H(n, M, N), x = 0, 1, ...n maka untuk N → ∞ dan M → ∞
dengan M
N → p, konstanta positif berlaku
!
!
M
N −M
!
x
n−x
n
!
lim
=
p x (1 − p)n−x ,
(14)
N,M→∞
x
N
n
yang berarti bahwa distribusi binomial merupakan pendekatan dari
distribusi hipergeometri.
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi
Distribusi Spesial Diskrit
Distribusi Geometri
Pandang kembali trial bernoulli dengan probabilitas sukses
p = E (X ). Pada distribusi binomial banyaknya trial tertentu yaitu
n, dan variabel yang menjadi perhatian adalah banyaknya sukses.
Sekarang pandang banyaknya trial yang diperlukan untuk
menghasilkan sejumlah sukses yang ditentukan.
Misal banyaknya trial yang diperlukan untuk mendapatkan sukses
yang pertama adalah X , maka X dikatakan berdistribusi Geometri
dengan parameter p, diberi notasi X ∼ Geo(p) dengan bentuk pdf
sebagai berikut:
g (x) = pq x−1 , x = 1, 2, 3, ... dan p = 1 − q
Sifat probabilitas dipenuhi karena 0 < p < 1 dan
∞
∞
X
X
g (x; p) = p
q x−1
x=1
x=1
= p(1 + q + q 2 + ...)
p
=1
=
p
(15)
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi
Distribusi Spesial Diskrit
Teorema 2.4
Apabila X berdistribusi Geometri, X ∼ Geo(p) maka X
mempunyai sifat memoryless yaitu
P(X > j + k/X > j) = P(X > k)
(16)
Contoh 2.5
Sampel dengan pengembalian. Lima buah kelereng diambil dari
koleksi 10 kelereng hitam dan 20 kelereng putih, pengambilan
dengan pengembalian. X merupakan banyaknya kelereng hitam
yang terambil. Hitung P(X = 2) dan tulis pdf dari X .
Penyelesaian :
Untuk mengambil 2 kelereng hitam, dengan konsekuensi 3 kelereng
putih karena diambil 5 kelereng maka didapat
! 5
10 2 20 3
P(X = 2) =
30
30
2
Dengan cara yang sama pdf dari X adalah
! 5
10 x 20 5−x
P(X =Minggu
x) =
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM
9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM
30
30
x
Distribusi Spesial Kontinu
Distribusi Uniform
Variabel random kontinu terbatas pada interval (a, b) dan berharga
konstan dalam interval tersebut. Dengan
R b sifat probabilitas
berakibat c = 1/(b − a) karena 1 = a cdx = c(b − a). Distribusi
spesial ini disebut distribusi uniform pada interval (a, b) dengan pdf
1
a<x <b
b−a
dan nol untuk X yanf lain, diberi notasi X ∼ Unif (a, b)
CDF dari X ∼ unif (a, b) mempunyai bentuk

x ≤a
 0
x−a
a<x <b
F (x; a, b) =
 b−a
1
b
f (x; a, b) =
a+b
2
(b − a)2
Var (X ) =
12
E (X ) =
(17)
(18)
Mi
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi
Distribusi Spesial Kontinu
Distribusi Gamma
Distribusi kontinu yang sering terjadi pada aplikasi disebut
distribusi Gamma. Nama ini diambil dari adanya hubungan dengan
suatu fungsi yang disebut fungsi Gamma.
Definisi 2.6
Fungsi Gamma yang dinotasikan dengan Γ(κ) untuk setiap κ > 0,
diberikan oleh
Z ∞
Γ(κ) =
t κ−1 e −t dt
(19)
0
R∞
Sebagai contoh, jika κ = 1, maka Γ(1) 0 e −t dt = 1. Fungsi
Gamma mempunyai beberapa sifat yang bermanfaat yang disajikan
dalam teorema berikut:
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi
Distribusi Spesial Kontinu
Teorema 2.7
Fungsi Gamma memenuhi beberapa sifat:
Γ(κ) = (κ − 1)Γ(κ − 1)
Γ(n) = (n − 1)!
√
1
Γ
=
π
2
; κ>1
; n = 1, 2, . . .
(20)
(21)
(22)
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi
Distribusi Spesial Kontinu
Contoh 2.8
Banyaknya penguapan dalam inci di suatu sungai merupakan
variabel random X yang berdistribusi Gamma, X ∼ Gam(0, 2; 6).
Hitung probabilitas banyaknya penguapan melebihi suatu level,
misalnya 2 inci.
Penyelesaian:
Z ∞
1
x 6−1 e −x/0.2 dx
P[X > 2] =
6
(0, 2) Γ(6)
2
= 1 − F (2; 0, 2 , 6)
5
X
10i −10
=
e
= 0.067
i!
i=0
Contoh 2.9
Hitung mean dan variansi dari distribusi Γ(κ)
Penyelesaian:
∞
x κ−1 e −x/θ
MX (t) =
e
dx
θκ Γ(κ)
0
Z ∞SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI
1
=
x κ−1 e (t−1/θ)x dx
κ
Distribusi Spesial Kontinu
θ Γ(κ) 0
Z
tx
Dengan substitusi u = −(t − 1/θ)x, didapat
Z ∞
1
1
−κ
u κ−1 e −u du
DistribusiMEksponensial
X (t) = ( − t)
κ
θ
θ Γ(κ) 0
Variabel random kontinu X mempunyai
distribusi Eksponensial
−κ
M
(t)
=
(1
−
θt)
t
<
X
dengan parameter
θ > 0 diberi notasi X 1/θ
∼ Exp(θ) bila mempunyai
pdf berbentuk
Dengan memasukkan t = 0 pada
derivatif pertama dan kedua dari
1 −x/θ
f (x; θ) = e
, x >0
(23)
MX t didapat
θ
dan nol untuk x yang lain. CDF dari X adalah
MX0 (0) = κθ(1 − θt)−κ−1
= κθ
−x/θ
F (x; θ) = 1 −
e
, x >0
MX ”(0) = κ(κ + 1)θ2 (1 − θt)−κ−2 = κ(κ + 1)θ2
θ merupakan parameter skala.
(24)
Mi
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi
Distribusi Spesial Kontinu
Distribusi eksponensial adalah keadaan kusus distribusi Gamma
yaitu X ∼ Exp(θ) identik dengan X ∼ Gam(θ, 1) sehingga pdf
Eksponensial mempunyai mean dan variansi
E (X ) = 1θ = θ
Var (X ) = 1θ2 = θ2
Theorem 1
Untuk variabel random kontinu X , X ∼ Exp(θ) berlaku
P[X > a + t/X > a] = P[X > t]
(25)
untuk semua a > 0 dan t > 0.
Bukti :
P[X > a + t/X > a] =
=
P[X > a + t dan X > a]
P[X > a]
P[X > a + t]
P[X > a]
e −(a+t)/θ
=
e −a/θ
= P[X > t]
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi
Distribusi Spesial Kontinu
Contoh 2.10
Misal komponen tertentu, sebut K mempunyai waktu tahan hidup
X dalam jam yang berdistribusi X ∼ Exp(100). Hitung
probabilitas komponen berusia paling sedikit 50 jam.
Penyelesaian:
Probabilitas komponen berusia paling sedikit 50 jam adalah
P[X ≥ 50] = 1 − F (50; 100)
= e −0,0,5
= 0, 6065
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi
Distribusi Spesial Kontinu
Distribusi Normal
1
f (x; µ, σ) = √ exp
σ 2π
( )
1 x −µ 2
2
σ
(26)
untuk −∞ < x < ∞, dimana −∞ < µ < ∞ dan 0 < σ < ∞.
Biasa diberi notasi X ∼ N(µ, σ 2 ).
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi
Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL
RANDOM
Definisi 3.1
Fungsi densitas probabilitas bersama (pdf bersama) dari variabel
random diskrit berdimensi k, X = (X1 , X2 , . . . Xk ) adalah
f (x1 , x2 , . . . xk ) = P[X1 = x1 , X2 = x2 , . . . Xk = xk
untuk semua harga x = (x1 , x2 , . . . xk ) dari X .
(27)
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi
Contoh 3.2
Dari 1 dek kartu bridge diambil 5 buah kartu.
x1 banyaknya kartu merah.
x2 banyaknya kartu daun.
pdf bersama dari (x1 , x2 ) adalah
25
13
13
x1
x2
5 − x1 − x2
f (x1 , x2 ) =
52
5
x1 = 0, 1, ...5
x2 = 0, 1, ...5.
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi
Perluasan distribusi hipergeometri:
N item terdiri dari M1 tipe 1, M2 tipe 2 dst Mk tipe k.
xi = banyaknya item tipe i.
x = (x1 , . . . , xk ).
P
M1
M2
N − P Mi
...
x1
x2
n − xi
f (x1 , . . . , xk ) =
N
n
(28)
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi
Contoh 3.3
Distribusi Multinominal
(k + 1) kejadian saling asing E1 , . . . , Ek+1
pi = P(Ei ) i = 1, 2, . . . , k + 1
xi = n(Ei )
x = (x1 , . . . , xk ) berdistribusi multinominal
X ∼ Mult(n, p1 , . . . , pk )
f (x1 , . . . xk ) =
n!
xk+1
p1x1 p2x2 . . . pk+1
x1 ! . . . xk+1 !
(29)
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi
Teorema 3.4
Fungsi f (x1 , . . . , xk ) adalah pdf bersama untuk vektor random
diskrit X = (X1 , . . . , Xk ) bhb dipenuhi
a. f (x1 , . . . , xk ) ≥ 0 untuk setiap (x1 , . . . , xk )
P P
b.
. . . f (x1 , . . . , xk ) = 1
x1
xk
Definisi 3.5
Pasangan (X1 , X2 ) dari variabel random diskrit mempunyai pdf
bersama f (x1 , x2 ), pdf marginal dari X1 & X2 adalah
P
f1 (x1 ) = f (x1 , x2 ) &
x2
P
(30)
f2 (x2 ) = f (x1 , x2 )
x1
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi
Definisi 3.6
Pasangan (X1 , X2 ) dari variabel random kontinu mempunyai pdf
bersama f (x1 , x2 ), pdf marginal dari X1 & X2 adalah
R
f1 (x1 ) = x2 f (x1 , x2 ) &
R
(31)
f2 (x2 ) = x1 f (x1 , x2 )
Definisi 3.7
Sebarang fungsi f (x1 , x2 , . . . , xn ) dikatakan pdf bersama vektor
random berdimensi k bila dan hanya bila
a. f (x1 , . . . , xk ) ≥ 0 untuk setiap (x1 , . . . , xk )
R∞
R∞
b. −∞ . . . −∞ f (x1 , . . . , xk )dx1 . . . dxk = 1
Definisi 3.8
Cumulative Distribution Function (CDF), atau fungsi distribusi
kumulatif, bersama dari k variabel random X1 , X2 , . . . , Xk
didefinisikan sebagai
F (x1 , x2 , . . . , xn ) = P[X1 ≤ x1 , X2 ≤ x2 , . . . , Xn ≤ xn ]
(32)
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi
Definisi 3.9
Vektor random berdimensi k, X = (X1 , X2 , . . . , Xk ) disebut
kontinu bila terdapat fungsi f (x1 , x2 , . . . , xk ) yang merupakan
fungsi densitas probabilitas (pdf) bersama sedemikian hingga CDF
bersamanya dapat ditulis
Z xk
Z x1
F (x1 , x2 , . . . , xk ) =
f (t1 , . . . , tk )dt1 , . . . , dtk (33)
...
−∞
−∞
untuk setiap x = (x1 , x2 , . . . , xn ).
Teorema 3.10
Fungsi F (x1 , x2 ) adalah CDF bivariat bila dan hanya bila memenuhi
lim F (x1 , x2 ) = F (−∞, x2 ) = 0, ∀ x2
x1 →−∞
lim F (x1 , x2 ) = F (x1 , −∞) = 0, ∀ x1
x2 →−∞
lim F (x1 , x2 ) = F (∞, ∞) = 1
x1 →∞
x2 →∞
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi
Contoh 3.11
X1 adalah konsentrasi zat pada trial pertama suatu eksperimen,
sedangkan X2 adalah konsentrasi zat pada trial kedua. Dianggap
pdf bersama kedua variabel random adalah
f (x1 , x2 ) = 4x1 x2 ; 0 < x1 < 1, 0 < x2 < 1. Hitung CDF
F (x1 , x2 )
Penyelesaian:
CDF bersama adalah
Z x2 Z x1
F (x1 , x2 ) =
f (t1 , t2 )dt1 dt2
−∞ −∞
Z x2 Z x1
=
4t1 t2 dt1 dt2
=
−∞
2 2
x1 x2
−∞
; 0 < x1 < 1, 0 < x2 < 1
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi
Fungsi Distribusi Bersyarat dan Independensi
Definisi 3.12
Probabilitas bersyarat
Bila X1 dan X2 variabel random diskrit atau kontinu dengan pdf
bersama f (x1 , x2 ), maka fungsi densitas probabilitas bersyarat
untuk X2 disyaratkan X1 = x1 didefinisikan sebagai:
f (x2 /x1 ) =
f (x1 , x2 )
f (x1 )
(34)
untuk setiap x1 sedemikian hingga f (x1 ) > 0, dan nol untuk yang
lain.
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi
Fungsi Distribusi Bersyarat dan Independensi
Contoh 3.13
Pdf bersama pasangan X1 dan X2 adalah
f (1, 1) = 0, 5 f (1, 2) = 0, 1
f (2, 1) = 0, 1
f (2, 2) = 0, 3
Hitung probabilitas X1 = 1 degan syarat X2 = 1
Penyelesaian :
X
fX2 (1) =
f (x1 , 1)
x1
= f (1, 1) + f (2, 1) = 0, 6
f (X1 = 1/X2 = 1) =
=
=
P(X1 = 1, X2 = 1)
P(X2 = 1)
f (1, 1)
fX2 (1)
0, 5
5
=
0, 6
6
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi
Fungsi Distribusi Bersyarat dan Independensi
Definisi 3.14
Variabel Random Independen.
Variabel random X1 , X2 , . . . , Xk dikatakan independen bila untuk
setiap ai < bi
P(a1 ≤ X1 ≤ b1 , . . . , ak ≤ Xk ≤ bk ) =
k
Y
P(ai ≤ Xi ≤ b(35)
i)
i=1
Teorema 3.15
Variabel random X1 , X2 , . . . , Xk independen bila dan hanya bila
F (x1 , x2 , . . . , xk ) = F (x1 )F (x2 ) . . . F (xk )
(36)
f (x1 , x2 , . . . , xk ) = f (x1 )f (x2 ) . . . f (xk )
(37)
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi
Fungsi Distribusi Bersyarat dan Independensi
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi
Fungsi Distribusi Bersyarat dan Independensi
Akan disajikan bagaimana menghitung harga harapan fungsi
variabel random U(X ) yang merupakan fungsi dari variabel random
X1 , X2 , . . . , Xn .
Teorema 3.16
X = (X1 , . . . , Xk ) mempunyai pdf bersama f (x1 , . . . , xk ).
Bila Y = u(x1 , . . . , xk ) merupakan fungsi dari X , maka
E (Y ) = EX (u(x1 , . . . , xk )) dengan
X
X
EX (u(x1 , . . . , xk )) =
···
u(x1 , . . . , xk )f (x1 , . . . , xk )
x
disk
Zk
...
xk
X
x
Z1
EX (u(x1 , . . . , xk )) =
untuk
u(x1 , . . . , xk )f (x1 , . . . , xk )dx1 . . . dxk
x1
untuk
X
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi
Fungsi Distribusi Bersyarat dan Independensi
Teorema 3.17
X = (X1 , . . . , Xk ) mempunyai pdf bersama f (x1 , . . . , xk ).
Bila Y = u(x1 , . . . , xk ) merupakan fungsi dari X , maka
E (Y ) = EX (u(x1 , . . . , xk )) dengan
P
P
EX (u(x1 , . . . , xk )) = R x1 · · R· xk u(x1 , . . . , xk )f (x1 , . . . , xk )
EX (u(x1 , . . . , xk )) = xk . . . x1 u(x1 , . . . , xk )f (x1 , . . . , xk )dx1 . . . dxk
; untuk X di
; untuk X ko
Teorema 3.18
Bila X1 dan X2 mempunyai pdf bersama f (x1 , x2 ), maka
E (X1 + X2 ) = E (X1 ) + E (X2 )
(38)
Teorema 3.19
Bila X dan Y variabel random independen, maka untuk sebarang
fungsi g (x) dan h(y ) berlaku:
E (g (X )h(Y )) = E (g (X ))E (h(Y ))
(39)
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi
Fungsi Distribusi Bersyarat dan Independensi
Definisi 3.20
Kovariansi antara dua variabel random X1 dan X2 , diberi notasi
Cov (X , Y ) = σXY = E [(X − µX )(Y − µY )]
(40)
Teorema 3.21
X = (X1 , . . . , Xk ) mempunyai pdf bersama f (x1 , . . . , xk ).
Bila Y = u(x1 , . . . , xk ) merupakan fungsi dari X , maka
E (Y ) = EX (u(x1 , . . . , xk )) dengan
P
P
EX (u(x1 , . . . , xk )) = R x1 · · R· xk u(x1 , . . . , xk )f (x1 , . . . , xk )
EX (u(x1 , . . . , xk )) = xk . . . x1 u(x1 , . . . , xk )f (x1 , . . . , xk )dx1 . . . dxk
Teorema 3.22
Bila X dan Y dua variabel random, a dan b konstanta, maka
Cov (aX , bY ) = ab · Cov (X , Y )
(41)
Cov (X + a, Y + b) = ab · Cov (X , Y )
(42)
Cov (X , aX + b) = a · Var (X )
(43)
; untuk X di
; untuk X ko
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi
Fungsi Distribusi Bersyarat dan Independensi
Teorema 3.23
Bila X dan Y dua variabel random independen, maka
Cov (X , Y ) = 0
Teorema 3.24
Bila X1 dan X2 dua variabel random dengan pdf bersama f (x1 , x2 )
maka
Var (X1 + X2 ) = Var (X1 ) + Var (X2 ) + 2Cov (X1 , X2 )
(44)
dan
Var (X1 + X2 ) = Var (X1 ) + Var (X2 )
(45)
bila X1 dan X2 independen.
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi
Fungsi Distribusi Bersyarat dan Independensi
Definisi 3.25
Bila X dan Y variabel random dengan variasi σX2 dan σY2 dan
kovariansi σXY = Cov (X , Y ), maka koefisien korelasi antara X dan
Y adalah
σXY
ρ=
(46)
σX σY
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi
Fungsi Distribusi Bersyarat dan Independensi
Contoh 3.26
Pdf bersama pasangan X dan Y adalah
f (x, y ) =
1
20
; 0 < x < 10, x − 1 < y < x + 1
Hitung korelasi antara variabel random X dan Y .
Penyelesaian :
2
25
Variansi dari X adalah σ12 = (10)
12 = 3 , variansi dari Y adalah
2
2
2
26
σ22 = (10)
12 + 12 = 3 , dan kovariansi antara X dan Y adalah
σ12 = E (XY ) − E (X )E (Y ) = 25
3 .
Sehingga, koefisien korelasi antara X dan Y adalah
r
25
25
ρ = q 3q =
= 0, 981
26
25
26
3
3
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi
Fungsi Distribusi Bersyarat dan Independensi
Definisi 3.27
Bila X dan Y variabel random dengan pdf bersama f (x, y ), maka
harga harapan bersyarat dari Y untuk X = x diberikan oleh
(P
yf (y /x) ; bila X dan Y diskrit
E (Y /x) = R y
; bila X dan Y kontinu.
y yf (y /x)
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi
Minggu 13,14:RANTAI MARKOV
Proses Stokasik adalah koleksi variabel random [X (t), t ∈ T ], yaitu
X (t), t ∈ T merupakan variabel random. Indeks t merupakan
waktu, X (t) dikatakan state dari proses pada waktu t. Misal X (t)
bisa merupakan banyaknya pelanggan yang memasuki supermarket
pada waktu t, atau banyaknya pelanggan pada waktu t, atau total
penjualan pada waktu t.
Himpunan T disebut indeks set dari proses. Bila T merupakan
himpunan kontabel, proses disebut proses waktu diskrit. Bila T
merupakan interval bilangan real, proses stokastik disebut proses
waktu kontinu. Misal {Xn , n = 1, 2, . . . , n} disebut proses stokastik
waktu diskrit dengan indeks bilangan bulat non-negatif, sementara
{X (t), t ≥ 0} disebut proses stokastik waktu kontinu dengan
indeks bilangan real non-negatif.
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi
Pandang proses stokastik {Xn , n = 0, 1, 2, . . . } yang harganya
sebanyak berhingga atau kontabel. Bila Xn = i, maka proses
dikatakan pada state i pada waktu n. Misal proses pada state i,
probabilitas pada waktu berikutnya pada state j dinotasikan
dengan Pij tanpa memandang state pada waktu sebelumnya.
P{Xn+1 = j/Xn = i, Xn−1 = in−1 , . . . , X1 = i1 , X0 = i0 } = Pij
(47)
untuk semua state i0 , i1 , . . . , in−1 dan semua n > 0. Proses
stokastik semacam ini disebut Rantai Markov. Persamaan 47
dapat diberi interpretasi sebagai berikut, untuk suatu rantai
Markov, distribusi bersyarat state yad Xn+1 diberikan state yang
lalu X0 , X1 , . . . , Xn−1 dan state sekarang Xn , adalah independen
terhadap state yang lalu, dan hanya tergantung pada state
sekarang. Karena probabilitas non-negatif dan karena Harga Pij
menunjukkan bahwa proses dari state i akan berpindah ke state j.
Karena probabilitas non-negatif dan karena proses harus membuat
transisi ke suatu state maka
∞
X
Pij ≥ 0, i, j ≥ 0,
Pij = 1, i = 0, 1, . . .
(48)
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi
P adalah matriks probabilitas transien satu step Pij


P00 P01 P02 · · ·
P10 P11 P12 · · ·



 ..
.
.
..
..

 .


 Pi0 Pi1 Pi2 · · ·


..
..
..
.
.
.
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi
Contoh 4.1
Ramalan Cuaca
Misal kemungkinan hari hujan besok tergantung pada kondisi
cuaca sebelumnya yaitu dari hari ini hujan atau tidak, dan tidak
tergantung pada hari kemarin. Misal bila bari ini hujan,
probabilitas besok hujan adalah α, sedang bila hari ini tidak hujan,
probabilitas besok hujan adalah β. Hitung matriks probabilitas
transisi situasi di atas
Penyelesaian :
P00 = Probabilitas hari ini hujan, besok hujan
P01 = Probabilitas hari ini hujan, besok tidak hujan
P00 = Probabilitas hari ini tidak hujan, besok hujan
P01 = Probabilitas hari ini tidak hujan, besok tidak hujan
Jadi, matriks probabilitas transisinya adalah
α 1−α
P=
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi
Contoh 4.2
Sistim Komunikasi
Pandang sistem komunikasi yang mentransmit digit 0 dan 1.
Setiap digit yang ditransmit melalui beberapa fase, pada setiap
fase mempunyai probabilitas p untuk tidak berubah. Misal
{Xn , n = 0, 1, . . . } adalah rantai Markov dengan matriks
probabilitas transisi:
p
1−p
P=
1−p
p
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi
Contoh 4.3
Seekor kucing bernama Gery bertempramen ceria(C), sedang(S)
atau murung(M). Bila dia ceria hari ini, maka ia akan C ,S, atau G
dengan probabilitas 0, 5; 0, 4; 0, 1. Bila dia sedang-sedang hari
ini, probabilitas akan C ,S, atau G adalah 0, 3; 0, 4; 0, 3. Bila dia
murung hari ini, probabilitas akan C ,S, atau G adalah
0, 2; 0, 3; 0, 5. Tulis matriks probabilitas transisinya.
Penyelesaian :
P00 = 0, 5
P01 = 0, 4
P02 = 0, 1
dan seterusnya, sehingga matriks

0, 5
P = 0, 3
0, 2
probabilitas transisinya adalah

0, 4 0, 1
0, 4 0, 3
0, 3 0, 5
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi
Persaman Chapman Kolmogorov
Telah didefinisikan probabilitas transisi satu step Pi,j , yang akan
dikembangkan menjadi probabilitas transisi n step Pijn yaitu
probabilitas proses dari state i akan berada pada state j setelah n
transisi.
Pijn = P[Xn+m = j/Xm = i],
n ≥ 0; i, j ≥ 0
(49)
Tentu saja Pij1 = Pij .
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi
Persaman Chapman Kolmogorov
Teorema 4.4
Persamaan Chapman Kolmogorov memberikan metode untuk
menghitung probabilitas transisi n step. Persamaan ini adalah
Pijn+m
=
∞
X
m
Pikn Pkj
,
untuk setiap n, m dan setiap i, j
(50)
k=0
Bukti :
Pernyataan ini dapat dibuktikan sebagai berikut:
Pijn+m = P[Xn+m = j/Xm = i]
=
=
=
∞
X
k=0
∞
X
k=0
∞
X
k=0
P[Xn+m = j, Xn = k/X0 = i]
P[Xn+m = j/Xn = k, X0 = i]P[Xn = k/X0 = i]
m
Pikn Pkj
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi
Persaman Chapman Kolmogorov
Bila P(n) adalah matriks probabilitas transisi n step Pijn maka dari
persamaan 50 didapat
Pn+m = Pn · Pm
dengan ” · ” menyatakan perkalian matriks. Khususnya
P(2) = P(1 + 1) = P · P = P2
Maka dengan induksi,
P(n) = P(n − 1 + 1) = Pn−1 · P = Pn
Contoh 4.5
Dari contoh 4.1, α = 0, 7 dan β = 0, 4. Hitung probabilitas akan
hujan setelah 4 hari bila diketahui hari yang ditentukan hujan.
Penyelesaian :
Matriks probabilitas transisi 1 step adalah
0, 7 0, 3
P=
0, 4 0, 6
Dengan demikian,
2
P(2) = P
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM
0, 7 0, 3
0, 7 0, 3
=
.
Klasifikasi State
0, 4 0, 6
0, 4 0, 6
n
State j dikatakan asesibel untuk
0, 61 state
0, 39 i bila Pij > 0 untuk suatu
=
n > 0. Hal ini mengakibatkan
j asesibel dari state i bila dan
0, 52state
0, 48
kemungkinan proses
akan berada di
hanya bila mulai dari i ada
0, 5749 0, 4251
state j. Hal ini benar=karena jika j tidak asesibel dari i, maka
0, 5668 0, 4332
,
!
∞
[
P(memasuki
statediinginkan
j/berawaladalah
dari state
i) 0,=
P
(Xn = j) X0 = 1
4 =
Probabilitas yang
P00
5749
n=0
=
=
∞
X
n=0
∞
X
P(Xn = j/X0 = i)
Pijn
n=0
= 0
Dua state i dan j yang asesibel satu dengan yang lain disebut
berkomunikasi dan ditulis i ↔ j.
Sebagai catatan, setiap state berkomunikasi dengan dirinya sendiri
karena dengan definisi:
Pii0 = P(X0 = i/X0 = i) = 1
Mi
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi
Klasifikasi State
Relasi komunikasi memenuhi tiga sifat berikut
1
State i komunikasi dengan state i, untuk setiap i ≥ 0.
2
State i komunikasi dengan state j, maka state j komunikasi
dengan state i.
3
State i komunikasi dengan state j, state j komunikasi dengan
state k, maka state i komunikasi dengan state k.
Sifat 1 dan 2 dapat diturunkan langsung dari sifat komunikasi,
sedang untuk sifat 3 misal i komunikasi dengan state j, state j
komunikasi dengan state k, maka terdapat n dan m sedemikian
m > 0. Dengan Chapman Kolmogorov didapat:
hingga Pijn > 0,Pjk
Pikn+m
=
∞
X
m
m
Pirn Prk
≥ Pijn Pjk
(51)
n=0
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi
Klasifikasi State
Dengan demikian, state k asesibel dari state i. Dengan cara yang
sama, dapat ditunjukkan bahwa state i asesibel dari state k.
Sehingga state i dan k berkomunikasi.
Dua state saling berkomunikasi dikatakan berada dalam satu kelas.
Suatu akibat yang mudah diturunkan dari 1, 2, dan 3, bahwa dari
setiap kelas dari state adalah sama atau saling asing. Dengan kata
lain, konsep komunikasi membagi ruang state menjadi sejumlah
kelas yang separabel. Rantai markov disebut iredusibel bila hanya
terdapat satu kelas yaitu jika semua state berkomunikasi satu
dengan yang lain.
Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi
Klasifikasi State
Contoh 4.6
Pandang rantai Markov terdiri dari 3 state 0, 1, 2 dengan matriks
probabilitas transisi
1 1

0
2
2
P =  12 14 14 
0 13 23
Tunjukkan bahwa rantai Markov ini iredusibel.
Penyelesaian:
Sebagai contoh adalah memungkinkan untuk pergi dari state 0 ke
state 2 yaitu dari state 0 ke 1 dengan probabilitas 12 kemudian dari
state 1 ke state 2 dengan probabilitas 14 . Dengan demikian rantai
Markov ini iredusibel.