Simulasi Persamaan Gelombang

Simulasi Persamaan Gelombang
Oleh: Mohammad Jamhuri
December 15, 2013
Oleh: Mohammad Jamhuri
Simulasi Persamaan Gelombang
Soal 1
Perhatikan persamaan gelombang utt = uxx , untuk 0 ≤ x ≤ 10, dengan syarat
batas ux (0, t) = 0 dan u (10, t) = 0, dan syarat awal ut (x, 0) = 0 dan
(
2
(x − 3)2 (x − 7)2 , 3 ≤ x ≤ 7
u (x, 0) = 16
0,
untuk x lainnya
Terapkan skema beda hingga orde-2 untuk persamaan gelombang. Gunakan pula
hampiran orde-2 untuk menaksir u (x, ∆t) , juga untuk syarat batas kiri.
Jika dipilih ∆x = 1, diperoleh suatu hampiran bagi simpangan awal berikut
u (x, 0)
=
0
0
0
0
1
2
1
0
0
0
0
Hitung u (x, t) untuk beberapa selang waktu (hand-calculation), pilih ∆t = 1. Apa
yang anda lihat pada batas?
Implementasikan dan simulasikan perpecahan gundukan awal sampai gelombang
pecahannya menabrak batas kanan dan kiri, kemudian berbalik. Amatilah!
Kerjakan soal (c) namun simpangan awal nol, dan kecepatan awal
(
1, |x − 5| ≤ 1
ut (x, 0) =
0, x lainnya
Oleh: Mohammad Jamhuri
Simulasi Persamaan Gelombang
Jawaban Soal 1.b
Jawaban Soal 1.a
Skema beda hingga orde-2 untuk
persamaan gelombang diatas adalah
n
n
ujn+1 = S uj+1
+ uj−1
+ 2 (1 − S) ujn − ujn−1
(1)
dengan
∆t 2
S=
∆x 2
Hampiran orde-2 untuk syarat awal
ut (x, 0) = 0 adalah
uj1 − uj−1
untuk ∆x = ∆t = 1, maka S = 1 dan
persamaan (1), menjadi
n
n
ujn+1 = uj+1
+ uj−1
− ujn−1
untuk j = 0, dan n = 0 maka
0
u(−1)
= u10
dan
u0−1 = u01
∆t
uj−1 = uj1
(6)
untuk n = 0, dan j = 1 · · · (Mx − 1), berlaku
(2)
Hampiran orde-2 untuk syarat batas
kiri ux (0, t) = 0 adalah
n
u1n − u−1
=0
2∆t
n
u(−1) = u1n
(5)
substitusikan (5) ke persamaan (4) untuk
n = 0, dan j = 0 diperoleh
u01 = u10
=0
(4)
(3)
Oleh: Mohammad Jamhuri
0
uj1 = uj+1
+ uj−1 − uj−1
dengan mensubstitusikan (2) pada
persamaan diatas diperoleh
uj1 =
0 + u0
uj+1
j−1
Simulasi Persamaan Gelombang
2
(7)
Jawaban soal 1.b
untuk n = 1 · · · Nt dan j = 0, berlaku
n
u0n+1 = u1n + u−1
− u0n−1
dan dengan mensubstitusikan (3) pada persamaan diatas diperoleh
u0n+1 = 2u1n − u0n−1
(8)
Dengan menggunakan kondisi awal dan kondisi batas (6), (7), dan (8) diperoleh
hasil sebagai berikut:
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
t/x
0
0
0
0
1
2
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0.5
1
1
1
0.5
0
0
0
1
0
0
0.5
1
0.5
0
0.5
1
0.5
0
0
2
0
0.5
1
0.5
0
0
0
0.5
1
0.5
0
3
0
1
0.5
0
0
0
0
0
0.5
1
1
4
Oleh: Mohammad Jamhuri
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
2
5
0
−1
−0.5
0
0
0
0
0
0.5
1
1
6
0
−0.5
−1
−0.5
0
0
0
0.5
1
0.5
0
7
0
0
−0.5
−1
−0.5
0
0.5
1
0.5
0
0
8
Simulasi Persamaan Gelombang
0
0
0
−0.5
−1
0
1
0.5
0
0
0
9
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
10
Jawaban Soal 1.c
Persamaan beda untuk persamaan gelombang utt = uxx adalah
n
n
+ uj−1
+ 2 (1 − S) ujn − ujn−1 ,
ujn+1 = S uj+1
untuk j = 0, dan n = 0, maka persamaan (9)
menjadi
0
u01 = S u10 + u−1
+ 2 (1 − S) u00 − u0−1 (10)
substitusikan persamaan (2) untuk j = 0, dan
persamaan (3) untuk n = 0 pada persamaan
(10), diperoleh
u01 = S u10 + u10 + 2 (1 − S) u00 − u01
2u01 = 2Su10 + 2 (1 − S) u00
S=
∆t 2
∆x 2
(9)
dengan menggunakan (2), persamaan (12)
menjadi
uj1 =
S 0
0
u
+ uj−1
+ (1 − S) uj0
2 j+1
(13)
untuk j = 0 dan n = 2 · · · Nt persamaan (9)
menjadi
n
u0n+1 = S u1n + u−1
+2 (1 − S) u0n − u0n−1 (14)
atau
u01 = Su10 + (1 − S) u00
(11)
untuk n = 0 dan j = 1 · · · (Mx − 1) persamaan
(9) menjadi
0
0
uj1 = S uj+1
+ uj−1
+ 2 (1 − S) uj0 − uj−1 (12)
Oleh: Mohammad Jamhuri
dengan menggunakan (3), persamaan (14)
menjadi
u0n+1 = 2Su1n + 2 (1 − S) u0n − u0n−1
Simulasi Persamaan Gelombang
(15)
Simulasi Soal 1.c
Hasil Simulai
Oleh: Mohammad Jamhuri
Simulasi Persamaan Gelombang
Simulasi Soal 1.d
Hasil Simulasi
Oleh: Mohammad Jamhuri
Simulasi Persamaan Gelombang
Soal 2: Strauss subbab 2.3 No. 2
Soal 2
Consider a solution of the diffusion equation ut = uxx in {0 ≤ x ≤ l, 0 ≤ t < ∞} .
1
Let M (T ) = the maximum of u (x, t) in the closed rectangle
{0 ≤ x ≤ l, 0 ≤ t ≤ T } . Does M (T ) increase or decrease as a function of T ?
2
Let m (T ) = the minimum of u (x, t) in the close rectangle {0 ≤ x ≤ l, 0 ≤ t ≤ T } .
Does m (T ) increase or decrease as a function of T ?
Jawaban Soal 2
1
Dengan menggunakan prinsip maksimum, nilai maksimum terdapat pada x = 0,
atau x = l, atau t = 0. Andaikan nilai maksimum tersebut terdapat pada sisi-sisi
persegi panjang {0 ≤ x ≤ l, 0 ≤ t ≤ T } untuk t = S > T , maka M (T ) ≤ M (S)
sehingga M (T ) tidak akan turun. Jadi M (T ) naik dalam fungsi waktu.
2
Dengan menggunakan prinsip maksimum, nilai minimum terdapat pada x = 0,
atau x = l, atau pada t = 0. Andaikan nilai minimum tersebut terdapat pada
sisi-sisi persegi panjang {0 ≤ x ≤ l, 0 ≤ t ≤ T } untuk t = S > T , maka
m (T ) > m (S) . Sehingga m (T ) tidak akan naik. Jadi m (T ) turun dalam fungsi
waktu.
Oleh: Mohammad Jamhuri
Simulasi Persamaan Gelombang
Soal No. 7 (Strauss Subbab 2.3)
Soal 3
1
More generally, if ut − kuxx = f , vt − kvxx = g , f ≤ g , and u ≤ v at x = 0, x = l
and t = 0, prove that u ≤ v for 0 ≤ x ≤ l, 0 ≤ t < ∞.
2
If vt − vxx ≥ sin x for 0 ≤ x ≤ π, 0 < t < ∞, and if v (0, t) ≥ 0, v (π, t) ≥ 0 and
v (x, 0) ≥ sin x, use part (1) to show that v (x, t) ≥ (1 − e −t ) sin x.
Jawaban Soal 3
Misalkan w = u − v dan dengan menggunakan prinsip maksimum, jika
wt − wxx ≤ 0 in R = [0, l] × [0, T ] , maka
max w (x, t) =
R
Oleh: Mohammad Jamhuri
max
x=0,x=l ,t=0
w (x, t)
Simulasi Persamaan Gelombang
Soal No 8 (Strauss Subbab 2.3)
Soal 4
Consider the diffusion equation on (0, l) with the Robin boundary conditions
ux (0, t) − a0 u (0, t) = 0 dan ux (l, t) + al u (l, t) = 0. If a0 > 0 and al > 0, use the energy
´l
method to show that the endpoints contribute to the decrease of 0 u 2 (x, t) dx. (This
is interpreted to mean that part of the “energy” is lost at the boundary, so we call the
boundary conditions “radiating” or “dissipative.”)
Oleh: Mohammad Jamhuri
Simulasi Persamaan Gelombang
Jawaban Soal 4
uux |l0
Dengan menngunakan metode energy dan
ux (0, t) − a0 u (0, t) = ux (l, t) + al u (l, t) = 0.
0
=
ut − uxx
=
(ut − uxx ) u
=
uut − uuxx
=
=
1 2
u t − (uux )x + (ux )2
2
ˆ
ˆ l
1 l 2
u t dx −
(uux )x dx
2 0
0
ˆ l
+
(ux )2 dx
0
=
ˆ l
1 ∂
u 2 dx − uux |l0
2 ∂t 0
ˆ l
+
(ux )2 dx
0
Oleh: Mohammad Jamhuri
u (l, t) (−al u (l, t))
=
−u (0, t) a0 u (0, t)
−al u 2 (l, t) − a0 u 2 (0, t)
=
0
0
u (l, t) ux (l, t) − u (0, t) ux (l, t)
=
ˆ l
1 ∂
u 2 dx + al u 2 (l, t) + a0 u 2 (0, t)
2 ∂t 0
ˆ l
+
(ux )2 dx
=
0
∂
∂t
ˆ
l
ˆ
u 2 dx
=
−2
0
l
(ux )2 − 2al u 2 (l, t)
0
−2a0 u 2 (0, t)
Karena al , dan a0 positif, maka ruas kanan
dari persamaan diatas selalu negatif, sehingga
dapat disimpulkan bahwa energinya selalu
turun.
Simulasi Persamaan Gelombang
Kode Program
Figure:
Oleh: Mohammad Jamhuri
Simulasi Persamaan Gelombang
Figure:
Oleh: Mohammad Jamhuri
Simulasi Persamaan Gelombang