2. f`(x 2 )

FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN
• Suatu fungsi f(x) dikatakan naik di titik x= xo,
jika untuk h positip dan
• cukup kecil, f(x0 – h) ≤ f(xo) ≤ f(xo + h), suatu
fungsi f(x) dikatakan turun di x=xo jika untuk h
positip dan cukup kecil,
• f(x0 – h) > f(xo) > f(xo + h),
• Jika f’(xo)>0, maka f(x) adalah fungsi naik di
x=xo;
• Jika f’(xo)<0, maka f(x) adalah fungsi turun di
x=xo;
• Jika f’(xo)=0, maka f(x) adalah fungsi stasioner
di x=xo;
SKETSA FUNGSI NAIK DAN TURUN
y=f(x)
y=f(x)
f(x1 )
f(x 2 )
x1
x2
Fungsi Naik
(a)
f(x1 )
f(x 2 )
x1
x2
Fungsi Turun
(b)
CONTOH 1
3
Tentukan interval agar fungsi f(x)  x 3  x 2 naik atau turun .
2
JAWAB :
3
f(x)  x 3  x 2  f ' (x)  3x 2  3 x
2
 3x(x - 1)  x  0 atau x  1
1
Gambar garis bilangan dan selidiki nilai f ' (x) di titik x  -1, x  , dan x  2
2
f ' (-1)  3(-1)2  3(1)  6  0 (Positif)
1
1
1
3 6
3
f ' ( )  3( ) 2  3( )    -  0 (Negatif)
2
2
2
4 4
4
f ' (2)  3(2) 2  3(2)  12  6  6  0 (Positif)
- - -
+ + +
0
+ + +
1
3 2
x naik pada interval x  0 dan x  1 dan
2
Turun pada interval 0  x  1
Jadi f(x)  x3 -
SKETSA GRAFIK DENGAN UJI TURUNAN
SKETSA GRAFIK DENGAN
UJI TURUNAN PERTAMA
Syaratnya :
1.
Bentuk Dasar (Linear atau kuadrat)
2.
Titik potong dengan sumbu - sumbu koordinat
3.
Interval definisi fungsi
4.
Interval fungsi naik atau turun
5.
Titik Stasioner.
CONTOH 2
a.
Carilah ti tik stasioner untuk fungsi y  x 3  6x 2  15x  2
b.
Tentukan Jenis dari titik tit ik stasioner yang diperoleh dari a
c.
Buatlah sketsa grafiknya.
JAWAB :
a.
y  x 3  6x 2  15x  2
y'  3x 2  12 x  15. Syarat tit ik stasioner y'  0
3x 2  12 x  15.  0
3(x  5)(x - 1)  0
(x  5)(x - 1)  0
x  5 atau x  1
Jika x  -5 maka y  (-5)3  6.(-5)2 - 15.(-5) - 2
y  98
Jika x  1 maka y  (1) 3  6.(1) 2 - 15.(1) - 2
y  -10
Jadi titik - titik stasionern ya adalah (-5,98) dan(1,-10)
b.
Untuk menentukan jenis titik stasioner, maka kita
pakai titik uji disebelah kiri dan kanan titi k stasioner.
Misalnya kita pilih x  -6, x  0, dan x  2 sebagai sampel
masukan kedalam fungsi turunan.
x  -6 maka y'  21  0
x  0 maka y'  -15 dan
x  2 maka y'  21  0
masukkan hasilnya dalam tabel turunan.
TABEL TURUNAN
X
-6
-5
0
1
2
Y’
Kemiringan
+
/
0
-
\
0
-
+
/
Dengan demikian (-5,98) adalah titik balik maksimum
dan (1,-10) adalah titik balik minimum.
c.
Untuk mengsketsa
grafik fungsi y  x  6x - 15x - 2
3
2
dibutuhkan beberapa titik lagi
1.
Titik potong dengan sumbu x maka y  0
x3  6x 2 - 15x - 2  0
(x - 2)(x2  8x  1)  0
x  2 atau x2  8x  1  0
x  2 atau x  -4  15 (Pakai rumus ABC)
x  2, atau x  -0,127, atau x  - 7,873
Jad i titik potong dengan sumbu x, adalah
(2,0), (-0,127,0) , dan (-7,873,0)
c. LANJUTAN
Titik potong dengan sumbu y maka x=0
Y=-2
Jadi titik potong dengan sumbu y adalah
(0,-2)
Dari tabel turunan dapat disimpulkan bahwa:
Grafik naik pada selang (-~,-5)dan(1,~) dan turun
Pada interval selang (-5,1)
LANJUTAN SKETSA GRAFIK
(-5,98)
Y
y  x  6x - 15x - 2
3
(-7,873,0)
(-0,127,0)
(2,0)
(0,-2)
(1,-10)
2
X
Catatan :
dy y y 2  y1
m


 tg 
dx x x 2  x 1
dimana m = gradien
Y=f(x)
y = mx + c
y2
y1
y

x
x1
x2 X
Maka dapat disimpulkan :
dy y2  y1
1. f ' (x) 

m
dx
x2  x1
m suatu gradien
2. Jika terdapat persamaan kurva
y = f(x) maka garis singgung kurva
pada titik singgung (x1, y1) adalah
y = mx + (y1 – mx1) dimana
m = f’(x)
3. Beberapa keadaan garis :
a. Jika m > 0, maka garis naik.
b. Jika m < 0, maka garis turun.
c. Jika m = 0, maka garis mendatar.
4. Beberapa keadaan di sekitar
titik stasioner pada kurva :
1.
f’(x )
+
0
1
Keadaan
/
-
\
Bentuk gambarnya
Berarti titik stasionernya maksimum di
(x1, f(x1)), maka
Nilai maksimum fungsi adalah
ymaks= f(x1)
2.
f‘(x2)
Keadaan
0
\
+
/
Bentuk gambarnya
Berarti titik stasioner minimum di titik
(x2, f(x2)).
Maka nilai minimum fungsi adalah :
ymin = f(x2)
3.
f‘(x3)
Keadaan
+
/
0
+
/
Bentuk gambarnya
berarti titik stasioner merupakan titik
belok di (x3, f(x3))
4.
f‘(x2)
Keadaan
0
\
\
Bentuk gambarnya
berarti titik stasioner merupakan titik
belok di titik (x4, f(x4))
TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI
1.
Y  Sinx
2.
Y  Cosx dan
3.
Y  Tanx
1. TURUNAN Y=SIN X
F(X) SIN X
Jika Y  Sin x, maka Y'(x)  Cos x
BUKTI:
f(x  h) - f(x)
Sin(x  h)  Sinx
 Limit
(Gunakan Rms) Sinα - Sinβ
h  0
h  0
h
h
1
1
2Cos (2x  h)Sin h 1
Cos(x  12 h)Sin 12 h
2
2
2
 Limit
x 1  Limit
1
h  0
h  0
h
2
2h
f ' (x)  Limit
Sin 12 h
 Limit Cos(x  h). Limit 1
 Limit Cos(x  12 h).1
h  0
h  0
h  0
2h
1
2
 Limit Cos(x  12 h)  Cosx
h  0
( Terbukti )
2. TURUNAN Y=COS X
F(X) COS X
Jika Y  Cos x, maka Y'(x)  - Sin x
BUKTI:
Cos(x  h)  Cosx
f(x  h) - f(x)
(Gunakan Rms) Cosα - Cosβ
 Limit
0

h
h  0
h
h
1
1
- 2Sin (2x  h)Sin h 1
- Sin(x  12 h)Sin 12 h
2
2
2
x 1  Limit
 Limit
1
h  0
h  0
h
2h
2
f ' (x)  Limit
Sin 12 h
 Limit - Sin(x  12 h).1
 Limit - Sin(x  h). Limit 1
h  0
h  0
h  0
2h
1
2
 Limit - Sin(x  12 h)  Sinx
h  0
( Terbukti )
3. TURUNAN Y=TAN X
Jika Y  TAN X  Y'(X)  SEC2 X
BUKTI:
Sin x U(x)
Y  Tan x 

(Gunakan Rms. Hasil bagi dua fungsi) di dapat
Cos x V(x)
U' (x).V(x)- U(x).V'(x)
Y'(x) 
dimana U(x)  Sinx  U' (x)  Cosx
2
V(x)
dan V(x)  Cosx  V' (x)  -Sinx maka
Cosx.Cosx - Sinx(-sinx ) Cos 2 x  Sin 2 x
Y'(x) 

2
Cos x
Cos 2 x
1
2


Sec
x ( Terbukti )
2
Cos x
CONTOH 3
Tentukan Turunan dari fungsi-fungsi berikut:
1. f(x) = 4sinx – 2cosx
2. f(x) = 2sinxcosx
JAWAB
1. f(x) = 4sinx – 2cosx
f ‘ (x) = 4. dsinx-2.dcosx
=4cosx+2sinx
2. f(x) = 2sinxcosx = sin 2x
f ‘(x) = d2x.dsin2x
=2cos2x
PERSAMAAN GARIS SINGGUNG DISUATU
TITIK PADA KURVA
h
Q(x+h,f(x+h))
f(x+h)-f(x)
g
P(X,f(X))
l
x
x+h
Gradien Garis singgung
kurva di titik P
f(x  h)  f(x)
adalah f ' (x)  Limit
h  0
h
RINGKASAN MATERI
1.
Gradien Garis Singgung di titik P(x, y) adalah
2.
f(x  h) - f(x)
f ' (x)  Limit
m
h  0
h
Persamaan Garis singgung di titik P(x1 , y1 ) dengan
gradiennya
m adalah : y - y1  m(x  x1 )
3.
Jika garis saling tegak lurus maka m 1 .m 2  1
4.
Jika garisnya sejajar maka m 1  m 2
CONTOH 4
Tentukan persamaan garis singgung di titik (3,9) pada kurva y  x 2
JAWAB :
y  x 2  y'  2x pada titik (3,9), maka y ' (3)  2.3  6  m
persamaan garis singgung di (3,9) adalah :
y - y1  m( x - x1 )
y - 9  6(x - 3)
y
 6x - 18  9
y
 6x - 9
CONTOH 5
π 1
Tentukan persamaan garis singgung di titik ( ,
2 ) pada kurva y  sinx
4 2
JAWAB :
y  sinx  y'  cosx  y' ( 4 )  cos 4 
1
2 m
2
π 1
Persamaan garis singgung di ( ,
2 ) adalah
4 2
y - y1  m(x  x1 )
y-
1
1
1
1
2
2 ( x  4 )  y 
2x 
2 (1  4 )
2
2
2
2
TERIMA KASIH