new teori permainan

Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id
TEORI PERMAINAN
I. Pendahuluan
Dalam kehidupan sehari-hari sering dijumpai kegiatan-kegiatan yang bersifat kompetitif
yang diwarnai persaingan atau konflik. Persaingan atau konflik ini dapat terjadi antara dua orang
(dua pihak) atau sejumlah orang (grup). Beberapa contoh kegiatan itu antara lain :
1. Para manajer pemasaran bersaing dalam memperebutkan bagian pasar,
2. permainan catur,
3. dua buah partai politik yang bersaing dalam kampanye untuk memperoleh suara
terbanyak,
4. para jenderal tentara yang ditugaskan dalam perencanaan dan pelaksaan perang.
Tidak setiap keadaan persingan dapat disebut sebagai permainan (game). Kriteria atau ciri-ciri
dari suatu permainan adalah :
1. terdapat persaingan kepentingan di antara pemain,
2. setiap pemain mempunyai sejumlah pilihan, terbatas atau tidak terbatas, yang disebut
strategi,
3. aturan permainan untuk mengatur pilihan-pilihan itu disebutkan satu-satu dan diketahui
oleh semua pemain,
4. hasil permainan dipengaruhi oleh pilihan-pilihan yang dibuat oleh semua pemain dan
hasil untuk seluruh kombinasi pilhan dari pemain diketahui dan didefinisikan secara
numerik.
Jadi, permainan (game) adalah suatu bentuk persaingan antara antara dua orang atau pihak atau
antara dua kelompok atau grup yang saling berhadapan dan menggunakan aturan-aturan yang
diketahui oleh kedua belah pihak yang saling berhadapan. Sedangkan teori permainan (game
theory) adalah suatu pendekatan matematis untuk merumuskan situasi persaingan dan konflik
antara berbagai kepentingan. Teori ini dikembangkan untuk mmenganalisa proses pengambilan
keputusan dari situasi-situasi persaingan yang berbeda-beda dan melibatkan dua atau lebih
kepentingan. Dalam permainan, pihak pertama disebut dengan pemain baris sedangkan pihak
kedua disebut pemain kolom. Anggapannya adalah bahwa setiap pemain (individual atau
kelompok) mempunyai kemampuan untuk mengambil keputusan secara bebas dan rasional.
Aturan-aturan dalam permainan meliputi :
1. langkah atau strategi yang dapat dipilih oleh tiap-tiap pemain,
2. informasi yang digunakan oleh setiap pemain yang memilih langkah atau strategi,
3. pembayaran, yang didefinisikansecara numerik, yang harus dipenuhi oleh setiap pemain
setelah permainan selesai.
Unsur-unsur dasar teori permainan sebagai berikut :
Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id
1. Angka-angka dalam matriks pay off (matriks permainan), menunjukkan hasil-hasil (pay
offs) dari strategi-strategi permainan yang berbeda-beda
2. Strategi permainan, adalah rangkaian kegiatan atau rencana yang menyeluruh dari
seorang pemain sebagai reaksi atas aksi yang mungkin dilakukan oleh pemain lain yang
menjadi pesaingnya
3. Aturan-aturan permainan, menggambarkan kerangka dengan mana para pemain memilih
strategi mereka
4. Nilai permainan, adalah hasil yang diperkirakan per permainan atau pay off rata-rata dari
sepanjang rangkaian permainan dimana kedua pemain mengikuti atau mempergunakan
strategi mereka yang paling baik atau optimal.
5. Suatu strategi dikatakan dominan bila setiap pay off dalam strategi adalah superior
terhadap setiap pay off yang berhubungan dalam suatu strategi alternative
6. Suatu strategi optimal adalah rangkaian kegiatan atau rencana yang menyeluruh yang
menyebabkan seorang pemain dalam posisi yang menguntungkan tanpa memperhatikan
kegiatan-kegiatan para pesaingnya
7. Tujuan dari model permainan adalah mengidentifikasikan strategi atau rencana optimal
untuk setiap pemain
Konsep-konsep teori permainan paling tidak sangat penting untuk beberapa hal berikut ini :
a. Mengembangkan suatu kerangka untuk analisis pengambilan keputusan dalam situasisituasi persaingan (dan kadang-kadang kerja sama)
b. Menguraikan suatu metode kuantitatif yang sistematis yang memungkinkan para pemain
yang terlibat persaingan untuk memilih strategi-strategi yang rasional dalam pencapaian
tujuan mereka
c. Memberikan gambaran dan penjelasan fenomena situasi-situasi persaingan atau konflik
II. Klasifikasi Permainan
A. Berdasarkan jumlah langkah dan pilihan.
1. Permainan berhingga (finite game), yaitu suatu permainan yang mempunyai sejumlah
langkah yang berhingga dengan setiap langkah yang memuat sejumlah pilihan yang
berhingga pula.
2. Permainan tak berhingga (infinite game), yaitu permainan selain permainan
berhingga.
B. Berdasarkan jumlah pemain.
1. Permainan dua orang, yaitu permainan dengan jumlah pemain dua orang.
2. Permainan n orang, yaitu permainan dengan jumlah pemain n orang.
C. Berdasarkan jumlah pembayaran.
1. Permainan berjumlah nol (zero sum game), yaitu suatu permainan dengan jumlah
kemenangan kedua belah pihak sama dengan nol. Dengan kata lain, jumlah
Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id
pembayaran yang diterima pemain yang menang sama dengan jumlah pembayaran
yang dilakukan pemain yang kalah. Jika permainan ini dilakukan oleh dua orang
maka disebut dengan permainan berjumlah nol dari dua orang (two person zero sum
game), sedangkan jika permainan dilakukan oleh n orang maka disebut dengan
permainan berjumlah nol dari n orang (n person zero sum game). Misalkan pi
.
pembayaran untuk pemain Pi ; i = 1, 2, ..., n maka
Contoh :
Dalam persaingan perebutan jumlah pendengar antara dua radio swasta
ABC dan PQR di kota X dengan asumsi tidak ada pendengar baru.
Penambahan jumlah pendengar radio ABC, misalkan sejumlah 200
orang, merupakan kerugian bagi radio PQR karena pendengar radio
PQR sejumlah 200 orang, pindah menjadi pendengar radio ABC.
2. Permainan berjumlah tidak nol (non zero sum game), yaitu permainan dengan total
pembayaran dari masing-masing pemain pada akhir suatu permainan tidak sama
dengan nol. Permainan ini dapat dilakukan oleh dua orang atau lebih.
III. Matriks Pembayaran
Matriks pembayaran (pay off matrix) adalah suatu tabel berbentuk segi empat dengan
elemen-elemennya yang merupakan besarnya nilai pembayaran yang bersesuaian dengan strategi
yang digunakan oleh kedua belah pihak.
A. Matriks pembayaran untuk permainan bejumlah nol dari dua orang (two person zero
sum game).
Bentuk umumnya :
Pemain Kedua (P2)
i
Pemain
Pertama
(P1)
dengan :
1
2
3
.
.
.
m
j
1
2
3
...
...
...
n
.
.
.
.
...
m = banyak strategi yang dimiliki pemain P1
n = banyak strategi yang dimiliki pemain P2
; i = 1, 2, ..., m dan j = 1, 2, ..., n = nilai pembayaran (didefinisikan
secara numerik yang bersesuaian dengan strategi ke-i bagi pemain P1
dan strategi ke-j bagi pemain P2.
Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id
Matriks pembayaran tersebut merupakan matriks pembayaran terhadap pemain pertama
(P1) sehingga pemain P1 disebut pemain baris yang berusaha memaksimumkan
pembayaran dan pemain P2 disebut pemain kolom yang berusaha meminimumkan
pembayaran.
Contoh :
Terdapat persaingan perebutan pasar barang-barang elektronika dari pengusaha A dan
pengusaha B dengan mengadakan kampanye promosi. Pengusaha A menggunakan tiga
media promosi yaitu televisi, radio dan surat kabar. Sedangkan pengusaha B hanya
menggunakan dua media promosi yaitu televisi dan radio. Dengan menggunakan
informasi pasar yang diperoleh dari hasil riset pemasaran diperoleh data sebagai berikut
:
-
-
-
-
-
Bila pengusaha A melakukan promosi melalui media televisi dan
pengusaha B juga melakukan promosi dengan media televisi makan pengusaha A
akan memperoleh keuntungan Rp 5 juta.
Bila pengusaha A melakukan promosi melalui media radio dan pengusaha
B melakukan promosi dengan media televisi maka pengusaha A akan memperoleh
keuntungan
Rp 6 juta.
Bila pengusaha A melakukan promosi melalui media surat kabar dan
pengusaha B juga melakukan promosi dengan media televisi maka pengusaha A
akan rugi sebesar Rp 5 juta.
Bila pengusaha A melakukan promosi melalui media televisi dan
pengusaha B melakukan promosi dengan media radio maka pengusaha A maupun B
tidak akan menikmati keuntungan ataupun kerugian.
Bila kedua pengusaha tersebut sama-sama menggunakan media radio
maka pengusaha B akan memperoleh keuntungan sebesar Rp 2 juta.
Pengusaha B juga akan memperoleh keuntungan sebesar Rp 3 juta bila
berpromosi menggunakan radiodi saat pengusaha A berpromosi menggunakan
media surat kabar.
Dari data tersebut dapat disajikan matriks pembayaran sebagai berikut :
Pengusaha B
Pengusaha A
Televisi
Radio
Televisi
5
0
Radio
6
-2
Surat Kabar
-10
-3
Keterangan :
=5
=6
= -10
berarti keuntungan pengusaha A sebesar Rp 5 juta,
berarti keuntungan pengusaha A sebesar Rp 6 juta,
berarti keuntungan pengusaha B sebesar Rp 10 juta,
Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id
=0
= -2
= -3
berarti tidak yang untung maupun yang rugi,
berarti keuntungan pengusaha B sebesar Rp 2 juta,
berarti keuntungan pengusaha B sebesar Rp 3juta.
B. Matriks pembayaran untuk permainan berjumlah nol dari n orang (n person zero sum
game).
Sesuai dengan pengertian dalam teori permainan maka untuk jumlah pemain n>2
dibentuk menjadi 2 kelompok yang juga saling berhadapan (bersaing). Pengelompokan
ini dikenal dengan istilah koalisi. Salah satu bentuk penyajian matriks pembayaran
dapat dilihat pada contoh berikut ini.
Misalkan terdapat tiga pemain yaitu A, B dan C.
Pemain A memiliki dua strategi, misalkan A1 dan A2.
Pemain B memiliki dua strategi, misalkan B1 dan B2.
Pemain C memiliki tiga strategi, misalkan C1, C2 dan C3.
Dengan data sebagai berikut :
A
A1
A1
A1
A1
A1
A1
A2
A2
A2
A2
A2
A2
Strategi
B
B1
B1
B1
B2
B2
B2
B1
B1
B1
B2
B2
B2
C
C1
C2
C3
C1
C2
C3
C1
C2
C3
C1
C2
C3
A
-3
4
0
-6
2
4
1
-1
2
-3
-1
4
Pembayaran
B
2
-5
2
4
-4
0
1
2
1
-2
1
-1
C
1
1
-2
2
2
-4
-2
3
-3
5
0
-3
Dengan jumlah pemain n = 3 maka terdapat tiga koalisi yang mungkin yaitu A
melawan B dan C; A dan B melawan C; dan B melawan A dan C. Dengan demikian
dapat dibuat tiga buah matriks pembayaran yang sesuai koalisi tersebut berdasarkan
data diatas sebagai berikut.
1.
Matriks pembayaran untuk A melawan B dan C. Pemain A dipandang
sebagai pemain baris.
Pemain B dan C
Pemain
A1
B1, C1
B1, C2
B1, C3
B2, C1
B 2 , C2
B2, C3
-3
4
0
-6
2
4
Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id
A
A2
1
-1
2
-3
-1
4
2.
Matriks pembayaran untuk A dan B melawan C. Pemain A dan B
dipandang sebagai pemain baris.
Pemain C
C1
C2
C3
A1, B1
-1
-1
2
Pemain
A1, B2
-2
-2
4
A dan B
A2, B1
2
-3
3
A2, B2
-5
0
3
3.
Matriks pembayaran untuk B melawan A dan C. Pemain B dipandang
sebagai pemain baris.
Pemain A dan C
Pemain
B
A1, C1
A1, C2
A1, C3
A2, C1
A2, C2
A2, C3
B1
2
-5
2
1
2
1
B2
4
-4
0
-2
1
-1
IV. Nilai Permainan
Dari matriks pembayaran, kedua belah pihak yang bersaing dapat menentukan strategi
optimum, yaitu strategi yang menjadikan seorang pemain berada dalam posisi terbaik tanpa
memperhatikan langkah-langkah yang dipilih pemain pesaingnya. Dengan kaitan ini, yang
disebut dengan nilai permainan (value of the game) adalah rata-rata pembayaran (ekspektasi
perolehan) per permainan jika kedua pihak atau pemain yang saling bersaing tersebut melakukan
strategi optimum (strategi terbaik) mereka. Dengan kata lain, nilai permainan adalah suatu
pembayaran yang bersesuaian dengan strategi optimum (strategi terbaik) yang dilakukan oleh
kedua pemain tersebut.
Nilai permainan dapat dibedakan menjadi dua jenis yaitu :
1. suatu permainan dikatakan adil (fair) jika nilai permainannya sama dengan nol,
2. Suatu permainan dikatakan tidak adil (unfair) jika nilai permainannya tidak sama dengan
nol.
PERMAINAN BERJUMLAH NOL DARI DUA ORANG
2.1 Pendahuluan
Ada dua macam strategi optimum yang dapat digunakan untuk menentuan solusi optimum bagi
kedua pihak yang saling bersaing yaitu :
Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id
a. Strategi Murni (Pure Strategy)
b. Strategi Campuran (Mixed Strategy)
2.2 Permainan dengan Strategi Murni
Permainan dengan straegi murni adalah suatu permainan dengan posisi pilihan terbaiknya bagi
setiap pemain dicapai dengan memilih satu strategi tunggal. Jadi strategi murni adalah strategi
dimana setiap pemainnya hanya mempunyai tepat satu langkah yang terbaik. Dalam permainan
dengan strategi murni, pemain pertama (pemain baris) yaitu pemain yang berusaha
memaksimumkan kemenangan (keuntungan) yang minimum sehingga kriteria strategi
optimumnya adalah kriteria maximin. Sedangkan pemain kedua (pemain kolom) yaitu pemain
yang berusaha meminimumkan kekalahan (kerugian) yang maksimum sehingga kriteria strategi
optimumnya adalah kriteria minimax.
Apabila nilai maximin sama dengan nilai minimax maka permainan ini dapat diselesaikan
dengan strategi murni di mana titik keseimbangan (equilibrium point) telah tercapai. Titik
keseimbangan ini dikenal sebagai titik pelana (sadle point).
Cara menentukan titik pelana adalah sebagai berikut :
a. Untuk pemain pertama (P1)
Apabila pemain pertama (P1) memilih strategi i maka dia yakin akan memenangkan
apapun strategi yang dipilih atau digunakan oleh pemain kedua P2.
Karena pemain pertama (P1) merupakan pemain yang berusaha memaksimumkan
kemenangan (keuntungan) yang minimum maka dia akan memilih strategi yang akan
memberikan nilai maksimum dari nilai yang minimum itu
b. Untuk pemain kedua (P2)
Pemain kedua (P2) akan berusaha menekan kemenangan bagi pemain pertama (P1)
sampai sekecil mungkin sehingga jika pemain kedua (P2) memilih strategi j maka dia
yakin bahwa kemenangan yang diperoleh pemain pertama (P1) tidak lebih dari
apapun strategi yang dipilih atau digunakan oleh pemain pertama (P1). Karena pemain
kedua (P2) merupakan pemain yang berusaha meminimumkan kekalahan (kerugian) yang
Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id
maksimum maka dia akan memilih strategi yang akan memberikan nilai minimum dari
nilai yang maksimum itu yaitu
.
Jika dalam suatu matriks pembayaran (aij) sedemikian rupa sehingga berlaku :
= ars
Maka matriks pembayaran tersebut disebut mempunyai titik pelana pada (r, s) dan
elemen ars merupakan nilai permainan yang bersesuaian dengan strategi optimum bagi
pemain pertama (P1), yaitu i = r dan strategi optimum bagi pemain kedua (P2), yaitu j = s.
Contoh :
Diketahui matriks pembayaran di bawah ini :
Pemain P2
i
Pemain P1
j
1
2
3
4
1
5
-4
-2
-1
2
3
1
-1
2
3
2
3
-3
-2
Tabel 1
Dalam permainan ini pemain P1 mengharapkan untuk memperoleh aij; i = 1, 2, 3 dan j = 1, 2, 3,
4 yang mungkin yang terbesar melalui pemilihan strategi i. Sementara itu pemain P2 berusaha
menekan perolehan (kemenangan) pemain P1 menjadi sekecil mungkin dengan melalui
pemilihan strategi j.
Karena pemain P1 merupakan pemain yang berusaha memaksimumkan sedangkan pemain P2
merupakan pemain yang berusaha meminimumkan maka secara rasional P1 mengatakan : “Jika
saya memilih i = 1 maka P2 akan memilih j = 2 sehingga dalam kasus ini saya menang sebesar 4. Bila saya memilih i = 2 maka P2 akan memilih j = 3 sehingga kemenangan saya hanya
sebesar -1 dan bila saya memilih i = 3 maka maka P2 juga akan memilih j = 3 sehingga
kemenangan saya hanya sebesar -3. Dari ketiga perolehan tersebut (-4, -1, -3) saya harus
menentukan yang maksimum dari ketiganya itu dan pilihan terbaik saya adalah i = 2 yang
menjadikan kemenangan saya sebesar -1”.
Sedangkan pemain P2 akan mengatakan bahwa : “Saya harus membuat kemenangan P1 sekecil
mungkin. Bila saya memilih j = 1 maka kemenangan pemain P1 yang paling besar adalah 5.
Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id
Begitu juga secara berturut-turut bila saya memilih j = 2, 3, dan 4 maka P1 akan mendapatkan
perolehan 3, -1, dan 2. Dengan demikian saya harus memilih j yang dapat meminimumkan
perolehan P1 yang maksimum tersebut. Dengan begitu saya harus memilih j = 3 yang membuat
kemenangan P1 hanya -1”.
= a23 = -1.
Jadi permainan dengan matriks pembayaran di atas mempunyai titik pelana pada (2, 3) dengan
nilai permainan sebesar -1. Dengan demikian berarti bahwa pemain P2 memenangkan permainan
sebesar 1(pemain P1 harus membayar sebesar 1 kepada pemain P2) dan strategi optimum bagi
pemain P1 adalah i = 2 dan bagi pemain P2 adalah j = 3. Hal ini menunjukkan bahwa permainan
dengan matriks pembayaran tersebut dapat diselesaikan dengan strategi murni.
Untuk mempermudah penentuan apakah suatu permainan dengan matriks pembayaran tertentu
mempunyai titik pelana atau tidak maka diberikan prosedur di bawah ini.
1. Perhatikan baik-baik matriks pembayaran yang ada
2. Pada setiap barisnya, tentukan nilai yang terkecil
3. Dari nilai-nilai terkecil dari setiap barisnya tersebut (yang dipilih sesuai langkah kedua)
pilihlah nilai yang terbesar.
4. Pada setiap kolomnya, tentukan nilai yang terbesar.
5. Dari nilai-nilai terbesar dari setiap kolomnya tersebut (yang dipilih sesuai langkah
keempat) pilihlah nilai yang terkecil.
6. Periksalah apakah nilai terbesar yang terpilih (dari langkah ketiga) sama dengan nilai
terkecil yang terpilih (dari langkah kelima)
-
Apabila sama maka permainan dengan matriks pembayaran tersebut mempunyai titik
pelana dan nilai yang merupakan titik pelana tersebut merupakan nilai permainannya.
Dari sini strategi dari masing-masing pemain dapat dilihat di mana letak nilai
permainannya itu. Dengan demikian permainan ini dapat diselesakan dengan strategi
murni.
-
Apabila tidak sama maka permainan dengan matriks pembayaran tersebut tidak
mempunyai titik pelana dan harus diselesaikan dengan strategi campuran (mixed
strategy)
Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id
Contoh:
Diberikan matriks pembayaran di bawah ini
Pemain P2
i
j
1
2
3
4
Minimum
tiap baris
Pemain P1
1
5
-4
-2
-1
-4
2
3
1
-1
2
-1
3
2
3
-3
-2
-3
Max tiap
5
3
-1
2
Maximum dari
yang minimum
kolom
Minimum dari
yang maximum
Tabel 2
Kalau nilai minimum tiap barisnya diperhatikan maka nilai maksimum dari yang minimum
tersebut sebesar -1. Demikian juga kalau nilai maksimum dari setiap kolomnya diperhatikan
maka nilai minimum dari yang maksimum tersebut sebesar -1 juga.
Terlihat bahwa
= -1
Jadi permainan itu dapat diselesaikan dengan strategi murni, yaitu :
-
Strategi optimum bagi pemain P1 adalah i = 2, dan
-
Strategi optimum bagi pemain P2 adalah j = 3 dengan
-
Nilai permainan sebesar -1.
Definisi dan teorema keberadaan titik pelana sebagai berikut :
Definisi 1
Pandang f(X,Y) merupakan fungsi berharga real dari dua vektor X
dan
dan Y
masing-masing merupakan ruang Euclid berdimensi n dan m. Suatu titik (
dengan
),
Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id
dan
f(X,
2.3
) f(
dikatakan
) f(
merupakan
suatu
titik
pelana
dari
f
(X,Y)
jika
Y)
Permainan dengan Strategi Campuran
Dalam permainan di mana permainan tersebut tidak mempunyai titik pelana maka para
pemain akan bersandar kepada apa yang disebut sebagai strategi campuran. Hal ini berarti
pemain pertama akan memainkan setiap strategi baris dengan proporsi waktu (probabilitas)
tertentu. Oleh karena itu dalam suatu permainan yang diselesaikan dengan strategi campuran,
strategi dari setiap pemain akan mempunyai probabilitas yang menunjukkan proporsi waktu atau
banyaknya bagian yang dipergunakan untuk melakukan strategi tersebut. Jadi tugas dari setiu ap
pemain adalah menentukan proporsi waktu (probabilitas) yang diperlukan untuk menentukan
strateginya.
Untuk lebih jelasnya dapat diperhatikan ilustrasi permainan matriks pembayaran 2 x 2 di bawah
ini.
Pemain P2
i
Pemain P1
j
1
2
1
1
5
2
6
3
Tabel 3
Matriks pembayaran dari permainan berjumlah nol dari dua orang di atas tidak mempunyai titik
pelana sehinggaa strategi murni tidak dapat dipergunakan. Dengan demikian tugas para pemain
adalah menentukan proporsi waktu (probabilitas) yang diperlukan untuk memainkan strategi
pada baris bagi Pemain P1 dan strategi komlom bagi Pemian P2.
-
Bagi Pemain P1
Misalnya x, dengan 0 ≤ x ≤ 1 adalah proporsi waktu (probabilitas) yang diperlukan untuk
memainkan strategi pada baris pertama maka proporsi waktu (probabilitas) yang diperlukan
untuk memainkan strategi pada baris kedua adalah 1-x sehingga jumlah semua proporsi
waktu yang diperlukan untuk memainkan strateginya adalah x+1-x =1.
-
Bagi Pemain P2
Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id
Misalnya y, dengan 0 ≤ y ≤ 1 adalah proporsi waktu (probabilitas) yang diperlukan untuk
memainkan strategi pada kolom pertama maka proporsi waktu (probabilitas) yang
diperlukan untuk memainkan strategi pada kolom kedua adalah 1-y sehingga jumlah semua
proporsi waktu yang diperlukan untuk memainkan strateginya adalah y+1-y =1.
y
1-y
1
2
X
1
1
5
1-x
2
6
3
Tabel 4
Dengan demikian tugas dari masng-masing pemain adalah menentukan besarnya pecahan
yang tidak diketahui x dan y dimana pemain pertama P1 menginginkan untuk mencari
strategi yang akan memaksimumkan kemenangannya (atau meminimumkan kekalahannya)
tanpa memperhatikan langkah yang dilakukan oleh pihak lawan (pesaing), yaitu pemain P2.
Secara logika, pemain pertama P1 ingin membagi permainannya di antara baris-barisnya
sedemikian rupa sehingga kemenangan atau kekalahan harapannya (expected) di saat pemain
kedua. Sudah barang tentu pemain kedua P2 (yang diasumsikan mempunyai kecerdasan yang
sama dengan dengan pemain pertama P1) akan mengikuti logika yang serupa di dalam
penghitungan proporsi waktu yang diperlukan untuk setiap kolomnya seperti yang dilakukan
oleh pemain pertama P1, yaitu pemain kedua P2 akan membagi waktu bermainnya di antara
kolom-kolomnya sedemikian rupa sehingga kemenangan atau kekalahan harapannya
(expected) di saat pemain P1 memainkan baris kesatu akan sama dengan kemenangan atau
kekalahan harapannya (expected) di saat pemain P1 memainkan baris kedua. Jadi strategi
campuran adalah strategi dengan setiap pemain menggunakan distribusi probabilitas dalam
memilih strateginya.
2.4 Aturan Dominansi
Sebelum menyelesaikan suatu permainan perlu dipertinmbangkan apakah ada baris atau kolom
dalam matriks pembayarannya yang tidak efektif pengaruhnya di dalam penentuan strategi
optimum dan nilai permainan. Bila ada maka baris atau kolom yang seperti itu bisa dihapus atau
Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id
tidak dipakai,Hal itu berarti bahwa probabilitas untuk memilih strategi sesuai baris atau kolom
tersebut sama dengan nol.
Dengan demikian ukuran matriks pembayaran yang tersisa akan lebih kecil. Hal ini akan lebih
mempermudah untuk menyelesaikannya. Aturan demikian ini dinamakan aturan dominansi.
a. Aturan dominansi bagi pemain pertama P1 (pemain baris). Karena pemain P1 (pemain baris)
merupakan pemain yang berusaha untuk memaksimumkan kemenangan/perolehannya maka
aturan dominansinya adalah sebagai berikut : bila terdapat suatu baris dengan semua elemen
dari baris tersebut adalah sama (sekolom) dari baris yang lain maka baris tersebut dikatakan
didominansi dan baris itu telah dihapus.
b. Aturan dominansi bagi pemain kedua P2 (pemain kolom). Karena pemain kedua P2
merupakan pemain yang berusaha untuk meminimumkan kekalahan/kerugiannya maka
aturan dominansinya adalah sebagai berikut : bila terdapat suatu kolom dengan semua
elemen dari kolom tersebut adalah sama atau lebh besar dari elemen dalam posisi yang sama
(sebaris) dari kolom yang lain maka kolom tersebut dikatakan didominansi dan kolom itu
dapat dihapus. Aturan dominansi ini dapat diulang lagi jika masih ada baris atau kolomnya
yang didominansi oleh baris atau kolom yang lain. Dan ini memungkinkan matriks
pembayaran semula akan tersisa menjadi matriks pembayaran dengan satu elemen saja. Bila
hal ini dapat terjadi maka permainannya dapat diselesaikan dengan strategi murni dengan
nilai permainan sesuai dengan elemen yang tersisa tersebut. Tetapi tidak semua permainan
yang mempunyai titik pelana dapat diselesaikan dengan aturan dominansi yang berulangulang tersebut.
Contoh :
Diberikan matriks pembayaran di bawah ini
Pemain P2
1
2
3
4
5
1
4
-9
7
-2
1
2
2
-8
4
-4
0
j
i
Pemain P1
Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id
3
-2
8
9
2
3
4
5
1
8
0
2
Tabel 5
-
Bagi pemain P1
Perhatikan elemen-elemen pada baris kesatu, kedua, dan keempat. Untuk setiap j ; j = 1, 2,
3, 4, 5 berlaku a1j<a4j dan a2j<a4j. Dengan demikian pemain P1 tidak akan memilih
strategi sesuai baris kesatu dan kedua apapun pilihan strategi dari P2. Oleh karena itu baris
kesatu dan kedua dapat dihapus sehingga matriksnya menjadi
Pemain P2
1
2
3
4
5
3
-2
8
9
2
3
4
5
1
8
0
2
j
i
Pemain P1
Tabel 6
Sekarang pandang matriks pembayaran tersisa dari tabel di atas. Untuk pemain P1 sudah
tidak ada baris yang dapat didominansi oleh baris yang lain.
-
Bagi pemain P2
Pada kolom ke 2,3,4, dan 5 untuk setiap i; i = 3, 4 berlaku ai2>ai4, ai3>ai4. Dengan
demikian pemain P2 tidak akan memilih strategi sesuai kolom 2, 3, dan 5 apapun pilihan
dari P1. Dari sini maka kolom ke 2,3,5 dapat dihapus sehingga matriks pembayarannya
menjadi :
Pemain P2
1
4
Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id
Pemain P1
3
-2
2
4
5
0
Tabel 7
Pada matriks pembayaran tersisa pada tabel di atas dapat diperiksa lagi apakah masih ada
baris atau kolom yang memungkinkan untuk didominansi. Ternyata tidak ada maka aturan
dominansi tidak dapat diulang lagi. Tampak bahwa matriks pembayaran pada tabel 7 akan
lebih mudah untuk diselesaikan karena ukuran matriks pembayaran ini lebih kecil bila
dibandingkan dengan ukuran matriks pembayaran semula pada tabel 7. Di dalam
memeriksa apakah aturan dominansi dapat digunakan atau tidak, tidak harus dimulai dari
pemain P1 dahulu tetapi bisa dimulai sembarang.
METODE PENYELESAIAN
1. Metode Aljabar
Metode aljabar dapat digunakan untuk menyelesaikan suatu permainan berjumlah nol
dari dua orang dengan masing-masing pemain mempunyai dua pilihan strategi (langkah).
Matriks pembayaran dari permainan berjumlah nol dari dua orang dengan masing-masing
pemain mempunyai dua pilihan strategi sebagai berikut.
Tabel 1. Matriks pembayaran dari permainan berjumlah nol dari dua orang
Pemain P2
i
Pemain P1
j
1
2
1
a11
a12
2
a21
a22
Prinsip untuk menggunakan metode aljabar untuk menyelesaikan permainan ini adalah
bahwa kedua pemain P1 dan P2 membagi waktu (sesuai proporsinya) yang diperlukan
untuk memilih suatu strategi.
Misalkan x = Proporsi waktu yang digunakan oleh pemain P1 untuk memainkan strategi
pertama.
Berarti bahwa:
Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id
1 - x = Proporsi waktu yang digunakan oleh pemain P1 untuk memainkan strategi
kedua.
Misalkan y = Proporsi waktu yang digunakan oleh pemain P2 untuk memainkan strategi
pertama.
Berarti bahwa:
1 - y = Proporsi waktu yang digunakan oleh pemain P2 untuk memainkan strategi
kedua.
Matriks pembayaran menjadi:
Tabel 2. Matriks pembayaran
Pemain P2
i
Pemain P1
•
j
Y
1-y
1
2
X
1
a11
a12
1-x
2
a21
a22
Bagi pemain P1
Karena dasar pemikiran pemain P1 adalah berusaha memaksimumkan
kemenangannya
memaksimumkan
maka
ia
merancang
kemenangan
suatu
strategi
(meminimumkan
yang
dapat
kekalahan)
tanpa
memperhatikan langkah balasan yang dilakukan oleh pihak lawannya (P2).
Kemenangan harapan bagi pemain P1 dapat dilihat pada tabel berikut.
Tabel 3. Kemenangan harapan pemain P1
Ketika P2 memainkan Ketika P2 memainkan
strategi ke1
strategi ke 2
P1 memainkan strategi P1 memenangkan a11 P1 memenangkan a12
ke 1, x kali
unit, x kali
unit, x kali
----------------
+
+
P1 memainkan strategi P1 memenangkan a21 P1 memenangkan a22
ke 2, (1-x) kali
Total
unit, (1-x) kali
kemenangan x a11 + (1-x) a21
harapan bagi P1
unit, (1-x) kali
x a12 + (1-x) a22
Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id
Besarnya bilai x ditentukan dengan menggunakan prinsip pemikiran
pemain P1, yaitu bahwa total kemenangan harapan P1 ketika pemain P2
memainkan strategi ke 1 sama dengan total kemenangan harapan P1 ketika
pemain P2 memainkan strategi ke 2.
Dari tabel 3 diperoleh bahwa:
x a11 + (1-x) a21 = x a12 + (1-x) a22
x (a11 + a22 – a12 – a21) = a22 – a21
x = a22 – a21
= x 1*
a11 + a22 + a12 – a21
a 22 − a 21
a11 − a12
1− × = 1−
=
= ×2 *
a11 + a 22 − a12 − a 21 a11 + a 22 − a12 − a 21
Jadi strategi optimum pemain P1 adalah X* = [x1*,x2*]
•
Bagi pemain P2
Pemain
P2
bermaksud
memaksimumkan
kemenangan
atau
meminimumkan kekalahannya tanpa memperhatikan strategi yang
dimainkan oleh pemain P1.
Tabel 4. Kekalahan harapan pemain P2 (rata-rata kekalahan P2)
Ketika
memainkan
P2 Ketika
memainkan
P2 Total
kekalahan
strategi ke 1, y strategi ke 2, (1-y) harapan bagi P2
kali
kali
P1
P2 kalah a11 unit, y P2 kalah a12 unit, y a11 + (1-y) a12
memainkan
kali
(1-y) kali
strategi ke 1
P2 kalah a21 unit, y P2 kalah a22 unit, y a21 + (1-y) a22
P1
memainkan
strategi ke 2
kali
(1-x) kali
Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id
Dari tabel 4 diperoleh bahwa
y a11 + (1-y) a12 = y a21 + (1-y) a22
y (a11 + a22 – a12 – a21) = a22 – a12
y = a22 – a12
= y1*
a11 + a22 + a12 – a21
a 22 − a12
a11 − a 21
1− y = 1−
=
= y2 *
a11 + a 22 − a12 − a 21 a11 + a 22 − a12 − a 21
Jadi strategi optimum pemain P2 adalah Y* = [y1*,y2*]
Dengan demikian strategi optimum bagi masing-masing pemain telah
diperoleh, yaitu X* = [x1*,x2*] dan Y* = [y1*,y2*].
Penghitungan nilai permainan dipandang dari pemain P1 maupun P2
a. Jika nilai permainan dihitung menurut pandangan pemain P1 maka
perlu diperhatikan:
i. Selama pemain P2 menggunakan y1* waktunya untuk memainkan
(strategi) kesatu, pemain
P1 menang a11 unit sebanyak x1* kali
dan pemain P1 menang a21 unit sebanyak x2* kali.
ii. Selama pemain P2 menggunakan y2* waktunya untuk memainkan
kolom (strategi) kedua, pemain P1 menang a12 unit sebanyak x1* kali
dan pemain P1 menang a22 unit sebanyak x2* kali.
Nilai permainannya sama dengan total kemenangan harapan bagi pemain
P1 yaitu:
v*=y1* [x1* a11 + x2* a21] + y2* [x1* a12 + x2* a22]
b. Jika nilai permainan dihitung menurut pandangan pemain P2 maka
perlu diperhatikan:
i. Selama pemain P1 menggunakan x1* waktunya untuk memainkan
(strategi) kesatu, pemain
P2 akan kalah a11 unit y1* kali dan
pemain P2 kalah a12 unit y2* kali.
ii. Selama pemain P1 menggunakan x2* waktunya untuk memainkan
kolom (strategi) kedua, pemain P2 akan kalah a12 unit y1* kali dan
pemain P2 kalah a22 unit y2* kali.
Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id
Nilai permainannya sama dengan total kekalahan harapan bagi pemain P2
yaitu:
v*=x1* [y1* a11 +y2* a21] + x2* [y1* a12 +y2* a22]
Contoh:
Diberikan matriks pembayaran sebagai berikut. Akan dicari strategi
optimum untuk P1 dan P2.
Tabel 5. Matriks pembayaran
Pemain P2
i
Pemain P1
j
1
2
1
5
3
2
1
4
Misalkan x = Proporsi waktu yang digunakan oleh pemain P1 yang digunakan untuk
memainkan strategi ke 1.
y = Proporsi waktu yang digunakan oleh pemain P2 untuk memainkan strategi
pertama.
Matriks pembayaran menjadi:
Tabel 6. Matriks pembayaran
Pemain P2
i
Pemain P1
•
j
Y
1-y
1
2
X
1
5
3
1-x
2
1
4
Bagi pemain P1
Tabel kemenangan harapan bagi pemain P1 dapat dilihat pada tabel
berikut.
Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id
Tabel 7. Kemenangan harapan bagi P1
Ketika P2 memainkan Ketika P2 memainkan
strategi ke1
P1 memainkan strategi P1
strategi ke 2
memenangkan
5 P1
memenangkan
ke 1, x kali
unit, x kali
unit, x kali
----------------
+
+
P1 memainkan strategi P1
ke 2, (1-x) kali
Total
memenangkan
unit, (1-x) kali
kemenangan 5x + 1(1-x)
1 P1
memenangkan
3
4
unit, (1-x) kali
3x + 4(1-x)
harapan bagi P1
Bagi pemain P1 agar dapat mencapai strategi optimum makaperlu
menyamakan kemenangan harapan yang diperoleh ketika pemain P2
memainkan strategi ke 1 yaitu [5x+(1-x)] dengan kemenangan harapan
yang diperoleh ketika pemain
Dari tabel 3 diperoleh bahwa:
5x + (1-x) = 3x + 4(1-x)
5x – x – 3x+4x = 4-1
5x =3
x = 3/5 = x1*
Karena x2* = 1- x maka x2* = 1- 3/5 = 2/5
Jadi strategi optimum bagi pemain P1 dicapai bila ia menggunakan 3/5
waktunya untuk memainkan strategi ke 1 dan 2/5 waktunya untuk
memainkan strategi ke 2.
Jadi strategi optimum pemain P1 adalah X* = [3/5,2/5]
•
Bagi pemain P2
Tabel kekalahan harapan bagi pemain P2 dapat dilihat pada tabel berikut.
Tabel 8. Kekalahan harapan pemain P2 (rata-rata kekalahan P2)
Ketika
memainkan
P2 Ketika
memainkan
P2 Total
kekalahan
strategi ke 1, y strategi ke 2, (1-y) harapan bagi P2
kali
kali
Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id
P1
P2 kalah 5 unit, y P2 kalah 3 unit, (1- 5y + 3(1-y)
memainkan
kali
y) kali
strategi ke 1
P2 kalah 1 unit, y P2 kalah 4 unit, (1- y + 4(1-y)
P1
kali
x) kali
memainkan
strategi ke 2
Agar pemain P2 dapat mencapai strategi optimum ia perlu menyamakan
rata-rata kekalahan (kekalahan harapan) yang dideritanya ketika pemain P1
memainkan strategi ke 1, yaitu [5y+3(1-y)] dengan rata-rata kekalahan
yang diderita ketika pemain P1 memainkan strategi ke 2 yaitu [y+4(1-y)].
Dari tabel 4 diperoleh bahwa
5y + 3(1-y)= y + 4(1-y)
5y – 3y – y + 4y = 4 – 3
5y = 1
y = 1/5 = y1*.
Karena y2* = 1- y maka y2* = 1 – 1/5 = 4/5.
Jadi strategi campuran optimum bagi pemain P2 dicapai bila ia
menggunakan 1/5 waktunya untuk memainkan strategi ke 1 dan 4/5
waktunya untuk memainkan strategi ke 2.
Jadi strategi optimum pemain P2 adalah Y* = [1/5,4/5]
Dengan demikian strategi optimum bagi masing-masing pemain telah
diperoleh, yaitu X* = [3/5,2/5] dan Y* = [1/5,4/5].
Penghitungan nilai permainan dipandang dari pemain P1 maupun P2
a. Jika nilai permainan dihitung menurut pandangan pemain P1 maka
perlu diperhatikan:
i. Selama pemain P2 menggunakan 1/5 waktunya untuk memainkan
strategi kesatu, pemain P1 menang 5 unit sebanyak 3/5 kali dan 1
unit sebanyak 2/5 kali.
Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id
ii. Selama pemain P2 menggunakan 4/5 waktunya untuk memainkan
strategi kedua, pemain P1 menang 3 unit sebanyak 3/5 kali dan 4 unit
sebanyak 2/5 kali.
Nilai permainannya sama dengan total kemenangan harapan bagi pemain
P1 yaitu:
v*= 1/5 [5(3/5) + 1(2/5)] + 4/5[3(3/5) + 4(2/5)]
= 1/25 [15 + 2 + 36 + 32]
= 85/25
= 17/5 = nilai permainan
Ini berarti bahwa bila pemain P1 bermain dengan menggunakan strategi
optimumnya maka ia dapat mengharapkan kemenangan harapan sebesar
17/5 unit per permainan.
b. Jika nilai permainan dihitung menurut pandangan pemain P2 maka
perlu diperhatikan:
i. Selama pemain P1 menggunakan 3/5 waktunya untuk memainkan
strategi kesatu, pemain P2 akan kalah 5 unit 1/5 kali dan 3 unit 4/5
kali.
ii. Selama pemain P1 menggunakan 2/5 waktunya untuk memainkan
strategi kedua, pemain P2 akan kalah 1 unit sebanyak 1/5 kali dan 4
unit 4/5 kali.
Nilai permainannya sama dengan total kekalahan harapan bagi pemain P2
yaitu:
v*= 3/5 [5(1/5) + 3(4/5)] + 2/5[1(1/5) + 4(4/5)]
= 1/25 [ 15 + 36 + 2 + 32]
= 85/25 = 17/5 = nilai permainan.
Karena nilai permainan bertanda positif maka pemain P1 dinyatakan
sebagai pemenang dengan rata-rata kemenangan per permainan sebesar 17/5 unit.
c. Prosedur penghitungan nilai permainan dapat disederhanakan menjadi:
• Pemain P1 memainkan strategi yang telah dibentuk sedemikian rupa sehingga
kemenangan yang diperoleh ketika pemain P2 memainkan strategi kesatu sama
Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id
dengan kemenangan yang diperolehnya ketika pemain P2 memainkan strategi
kedua.
• Alasan tersebut juga dapat diterapkan pada harapan kemenangan pemain P2.
Tabel 9. Kemenangan harapan pemain P2
Pemain
P2
3
Pemain
P1
1
y1*
y2*
x1*
a11
a12
x1*
x2*
a21
a22
x2*
y1*
y2*
2
4
Dengan X* = [x1*, x2*] adalah strategi optimum pemain P1.
Y* = [y1*, y2*] adalah strategi campuran optimum pemain P2.
Dari tabel 8 terdapat 4 pasang perkalian yang mungkin akan memberikan nilai sama
dan merupakan nilai permainan adalah:
1. v* = x1* a11 + x2* a21
berdasarkan kemenangan harapan bagi pemain P1
2. v* = x1* a12 + x2* a22
3. v* = y1* a11 + y2* a21
berdasarkan kemenangan harapan bagi pemain P2
4. v* = y1* a21 + y2* a22
contoh:
Pemain
P2
3
Pemain
P1
1
3/8
5/8
1/4
-2
4
1/4
3/4
3
1
3/4
3/8
5/8
2
4
terdapat 4 pasang perkalian yang mungkin akan memberikan nilai sama dan
merupakan nilai permainan adalah:
Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id
5. v* = 1/4 (-2) + 3/4 (3) = 7/4 berdasarkan kemenangan harapan bagi pemain P1
6. v* = 1/4 (4) + 3/4 (1) = 7/4
ketika pemain P2 memainkan kolom 1 atau kolom 2.
7. v* = 3/8 (-2) + 5/8 (4) = 7/4
berdasarkan kemenangan harapan bagi pemain P2
8. v* = 3/8 (3) + 5/8 (1) = 7/4
ketika pemain P1 memainkan baris 1 atau baris 2.
d. Menghitung nilai permainan dengan menggunakan probabilitas dan
nilai harapan permainan
Pemain P2
Pemain P1
y1*
y2*
i j
1
2
X1*
1
a11
a12
X2*
2
a21
a22
Probabilitas bagi pemain P1 adalah [x1*,x2*] dan probabilitas P2 adalah [y1*,y2*]
Penghitungan probabilitas untuk setiap pembayaran:
Strategi penghasil
Probabilitas
Nilai
pembayaran
pembayaran
harapan
a11
Baris 1, kolom 1
P11= x1* x y1*
a11 x P11
a12
Baris 1, kolom 2
P12= x1* x y2*
a12 x P12
a21
Baris 2, kolom 1
P21= x2* x y1*
a21 x P21
a22
Baris 2, kolom 1
P22= x2* x y2*
a22 x P22
Jumlah
1
v*
Pembayaran
Nilai harapan permainan v* =
2 2
∑ ∑ a P
ij ij
i =1 j =1
= a11P11+a12P12+a21P21+a22P22
Contoh:
Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id
Pemain P2
Pemain P1
3/8
5/8
1/4
-2
4
3/4
3
1
Penghitungan probabilitas untuk setiap pembayaran:
Strategi penghasil
Probabilitas
pembayaran
pembayaran
-2
Baris 1, kolom 1
P11= 1/4 x 3/8 = 3/32
a11 x P11= -6/ 32
4
Baris 1, kolom 2
P12= 1/4 x 5/8 = 5/32
a12 x P12 = 20/32
3
Baris 2, kolom 1
P21= 3/4 x 3/8 = 9/32
a21 x P21= 27/32
1
Baris 2, kolom 1
P22= 3/4 x 5/8 =15/32
a22 x P22 = 15/32
Jumlah
1
7/4
Pembayaran
Nilai harapan
Nilai permainan = nilai harapan permainan
v* = 7/4
METODE GRAFIK
Yaitu metode penyelesaian permainan dengan menggunakan grafik. Metode grafik ini
dapat digunakan untuk menyelesaikan kasus permainan di antaranya adalah sebagai berikut:
a. Matriks berukuran 2 x n
Matriks pembayaran dari permainan berukuran 2 x n adalah
Pemain P2
j
y1
y2
1
2
…
…
yn
n
i
Pemain P1
x1
1
a11
a12
…
a1n
Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id
x2 = 1 – x1
2
dan
Dengan
a21
a22
…
a2n
, xi ≥ 0 dan y1 ≥ 1 untuk setiap i, j.
Pembayaran harapan yang berkaitan dengan strategi murni pemain P2.
Strategi murni
Pembayaran harapan pemain 1
pemain 2
1
a11.x1 + a21.(1 – x1) = (a11 – a21).x1 + a21
a12.x1 + a22.(1 – x1) = (a12 – a22).x1 + a22
2
a1n.x1 + a2n.(1 – x1) = (a1n – a2n).x1 + a2n
n
Tabel di atas menunjukkan bahwa pembayaran harapan (rata-rata pembayaran) bagi
pemain P1 bervariasi secara linear dengan x1. Berdasarkan kriteria minimax untuk pemain P1
harus memilih nilai x1 yang akan memaksimalkan pembayaran harapan (rata-rata pembayaran)
minimumnya (prinsip maximin). Hal ini dapat dilakukan dengan cara menggambarkan garisgaris lurus di atas sebagai fungsi dari x1. Sumbu vertikal menunjukkan pembayaran harapan
(rata-rata pembayaran) dan sumbu horizontal menunjukkan variasi dari x1 (0 ≤ x1 ≤ 1). Dalam
grafik ini dicari titik maximinnya.
Contoh:
Diberikan matriks pembayaran sebagai berikut. Akan dicari strategi optimum untuk P1 dan P2.
P2
P1
y1
y2
y3
-1
5
1
3
3
-3
j
i
x1
x2 = 1-x1
Penyelesaian
Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id
x1 = probabilitas pemain 1 memainkan strategi kesatu
x2 = probabilitas pemain 2 memainkan strategi kedua
yj = probabilitas pemain 2 memainkan strategi ke-j
maka pembayaran harapan bagi pemain P1 yang berkaitan dengan strategi murni P2 adalah
Strategi murni
Pembayaran harapan P1
P2
1
-x1 + 5(1-x1) = -6.x1 + 5
2
x1 + 3(1- x1) = -2. x1 + 3
3
3. x1 - 3(1-x1) = 6. x1 - 3
Ketiga garis lurus fungsi dari x1 tersebut dapat digambarkan pada grafik
6
5
4
3
2
garis 1
1
garis 2
0
-1 0
garis 3
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-2
-3
-4
Menurut kriteria minimax P1, harus memilih nilai x1 yang akan memaksimalkan pembayaran
harapan minimumnya yaitu
v* = max(x1) { min (-6x1 + 5, -2x1 + 3
, 6x1 - 3)}
karena hanya garis (1) dan (3) yang melalui titik maximin maka
v* = max(x1) { min (-6 x1 + 5, 6 x1 - 3)}
dari sini nilai optimum x1 titik potong garis (1) dengan garis (3)
-6 x1 + 5 = 6 x1 – 3 12 x1 = 8
x1 = x1* = 2/3
x2* = 1- x1* = 1/3
Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id
jadi strategi campuran optimum P1 X* = [2/3, 1/3]
Nilai permainan yang diperoleh
v*= -6x1* + 5 = -6. 2/3 + 5 = 1 atau v* = 6x1* – 3 = 1
selanjutnya akan dihitung strategi optimum pemain P2 . Nilai yang optimum bagi pemain
pembayaran P2 dapat diperoleh dari nilai pembayaran harapan permainan, yaitu:
m
v* = ∑
sehingga
i =1
n
∑a x
j =1
ij 2
* yj *
y1*(-6x1* + 5 ) + y2* (-2x1* + 3) + y3* (6x1*-3) = v*
y1* + 5/3 y2* + y3* = 1
y1* + y3* = 1
(y2* = 0 karena tidak melalui titik maximin dimana v* > 1)
Jadi strategi kedua pemain P2 tidak dimainkan, sehingga matriks pembayarannya menjadi
P1
P2
j
y1
y3=1-y1
i
x1
x2
-1
5
3
-3
maka pembayaran harapan bagi pemain P2 yang berkaitan dengan strategi murni P1 adalah
Strategi murni P1
Pembayaran harapan P2
1
-y1 + 3(1-y1) = 3 - 4y1
2
5y1 - 3(1-y1) = 8x1 - 3
Kedua garis lurus fungsi dari y1 tersebut dapat digambarkan pada grafik
Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id
Karena P2 menginginkan untuk meminimumkan kekalahan yang maksimum maka pemain P2
harus memilih nilai y1 yang akan meminimumkan pembayaran harapan yang maksimum, yaitu:
v* = min(y1) { max (3 – 4y1, 8y1 - 3)}
karena kedua garis (1) dan (2) melalui titik minimax maka nilai optimum y1* adalah titik potong
kedua garis tersebut, diperoleh
y1 = y1* = ½
karena y1 + y3 = 1 maka y3* = 1 – y1* = ½
jadi strategi optimum P2 y* = [ ½ , 0, ½], dan nilai permainan v* = 1
CONTOH 15
b. Matriks berukuran m x 2
Matriks pembayaran dari permainan berukuran 2 x n adalah
Pemain P2
J
y1
y2 = 1 – y1
1
2
i
Pemain P1
x1
1
a11
a12
x2
2
a21
a22
.
.
.
.
Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id
.
.
.
xm
m
am1
.
am2
Pembayaran harapan yang berkaitan dengan strategi murni pemain P2
Strategi murni
pemain 1
Pembayaran harapan pemain 2
(P2)
1
2
.
.
.
M
(a11 – a21)y1 + a12
(a12 – a22)y1 + a22
.
.
.
(am1 – am2)y1 + am2
Tabel di atas menunjukkan bahwa pembayaran harapan (rata-rata pembayaran) bagi
pemain P2 bervariasi secara linear dengan y1. Berdasarkan kriteria minimax untuk pemain P2
harus memilih nilai y1 yang akan meminimumkan pembayaran harapan (rata-rata pembayaran)
maksimumnya (prinsip minimax). Hal ini dapat dilakukan dengan cara menggambarkan garisgaris lurus di atas sebagai fungsi dari y1. Sumbu vertikal menunjukkan pembayaran harapan
(rata-rata pembayaran) dan sumbu horizontal menunjukkan variasi dari y1 (0 ≤ y1 ≤ 1). Dalam
grafik ini dicari titik minimaxnya.
Teori Dualitas
Yaitu salah satu metode penyelesaian yang dapat digunakan untuk menghitung strategi
optimum pemain yang mempunyai lebih dari dua pilihan strategi. Matriks pembayarannya dapat
disajikan sebagai berikut
y1
y2
…
yn
Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id
x1
x2
.
.
.
xm
a11 a12 …. a1n
a21 a22 …. a2n
am1 am2 …. amn
v
v
v
v
v
v
Hal ini berdasarkan pada:
a. Prinsip pemain P1
Memaksimumkan v (nilai permainan) sedemikian rupa sehingga
≥ v ; j = 1, 2, …, n
Dengan
, xi ≥ 0 ; untuk setiap i dan
b. Prinsip pemain P2
Meminimumkan v (nilai permainan) sedemikian rupa sehingga
≥ v ; i = 1, 2, …, n
Dengan
, yj ≥ 0 ; untuk setiap j dan
Permainan Berjumlah Nol dari n Orang
Ada dua asumsi yang dipakai di dalam pembahasan permainan berjumlah nol dari n
orang ini, yaitu:
1. Setiap pemain dalam permainan ini dapat berkomunikasi dan berunding dengan pemain
yang lain untuk membuat suatu perjanjian yang mengikat. Jika suatu kelompok
menyatakan untuk bekerja sama maka mereka membentuk koalisi. Suatu koalisi adalah
persetujuan di antara beberapa pemain untuk mengkoordinasikan strategi mereka yang
ada di dalam suatu cara sedemikian sehingga seluruh anggota koalisi itu beruntung.
Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id
2. Para pemain dapat membuat pembayaran sampingan (side payment) yaitu transfer
pembayaran di antara pemain. Setelah koalisi memaksimumkan total pembayarannya,
pembayaran untuk para koalisi itu diatur dengan pembuatan pembayaran sampingan.
Banyak cara yang mungkin untuk mengelompokkan ke dalam koalisi adalah 2n-1
Contoh :
Diberikan permainan berjumlah nol dari 3 orang (A, B, C) masing-masing pemain mempunyai 2
pilihan strategi.
A mempunyai strategi : X1, X2
B mempunyai strategi : Y1, Y2
C mempunyai strategi : Z1, Z2
Diperoleh matriks pembayaran
Strategi
Pembayaran
A
B
C
A
B
C
X1
X1
X1
X1
X2
X2
X2
X2
Y1
Y1
Y2
Y2
Y1
Y1
Y2
Y2
Z1
Z2
Z1
Z2
Z1
Z2
Z1
Z1
-1
-3
0
3
-2
0
-1
2
1
2
2
-2
0
-1
-2
1
0
1
-2
-1
-2
1
3
-3
koalisi yang mungkin terbentuk adalah
grup I
grup II
1. A
BC
2. B
AC
3. C
AB
Diperoleh matriks pembayaran dari tiap koalisi sebagai berikut
Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id
•
Matriks pembayaran A melawan B, C
X1
X2
•
Y1, Z1
Y1, Z2
-1
-2
-3
0
0
-1
Y2, Z2
3
-2
Matriks pembayaran B melawan A, C
X1, Z1
Y1
Y2
•
Y1, Z1
1
2
X1, Z2
2
-2
X2, Z1
0
-2
X2, Z2
-1
1
Matriks pembayaran C melawan A, B
X1, Y1
Z1
Z2
0
1
X1, Y2
-2
-1
X2, Y1
X2, Y2
2
1
3
-3
Dengan metode grafik didapatkan :
1. Nilai permainan untuk A yaitu V(A) = -3/2 dan V(BC)= 3/2
2. Nilai permainan untuk B yaitu V(B) = -1/2 dan V(AC)= 1/2
3. Nilai permainan untuk C yaitu V(C) = -9/7 dan V(AB)= 9/7