analisis distribusi potensial elektrostatis pad a - Digilib

SEMINAR NASIONAL II
SDM TEKNOLOGI NUKLIR
YOGY AKARTA, 21-22 DES EMBER 2006
ISSN 1978-0176
Daftar Isi
ANALISIS DISTRIBUSI POTENSIAL ELEKTROSTATIS
PAD A ELEMEN TABUNG AKSELERATOR
ELEKTROSTATIS
DWI PRIYANTORO, BANGUN PRIBADI
Sekolah Tinggi Teknologi Nuklir - BA TAN
Jl. Babarsari Kotak Pos 6101 YKBB Yogyakarta 55281
Telepon 0274-484085,489716,
Faksimili 0274-489715
Abstrak
ANALISIS DISTRIBUSI POTENSIAL ELEKTROSTATIS PADA ELEMEN TABUNG AKSELERATOR
ELEKTROSTATIS. Tabung akselerator elektrostatis disusun dari beberapa elektroda lingkar yang berjarijari sama, dengan pusat segaris. Elektroda-elektroda tersebut dihubungkan ke sumber tegangan bertingkat,
yang makin ke belakang makin rendah. Elektroda pertama dihubungkan ke sumber tegangan tinggi, dan
elektroda terakhir ditanahkan. Analisis secara matematis telah dilakukan untuk mendapatkan distribusi
potensial elektrostatis pada elemen elektroda tabung akselerator. Dari analisis diperoleh bahwa distribusi
potensial elektrostatis pada elemen elektroda adalah konstan sebesar tegangan yang terpasang.
Kata-kata kunci: analisis distribusi potensial, tabung akselerator elektrostatis
Abstract
THE POTENTIAL DISTRIBUTION ANALYSIS OF ELECTROSTATIC
POTENTIAL ON THE
ELEMENT OF ACCELERATOR TUBE. Tube of electrostatic accelerator is formed by some elements of
circular electrode elements that have same radius which compiled by line. All elements of electrode are
interfaced to source of voltage by high rise. The first electrode is interface to the sourceof high voltage, and
jointed last electrode to the ground. Mathematic analysis have been done to get distribution of electrostatic
potential in the electrode element of accelerator tube. Of the mathematic analyse obtained that distribution
of electrostatic potential at electrode element is constant equal to attached voltage.
Keywords: distribution of electrostatic potential,
Tube of electrostatic accelerator
PENDAHULUAN
Tabung
Akselerator
tersusun
dari
beberapa elektroda lingkar berjari-jari sama,
dengan pusat segaris. Gambar 1. menunjukkan
tabung akselerator dengan beberapa elektrode
lingkar yang dihubungkan ke sumber tegangan.
Elektrode
pertama
(paling
depan)
diberi
tegangan tinggi VHV, elektrode kedua diberi
VHJr-LW, elektrode
ketiga diberi
tegangan
tegangan Vmr-2L1V, demikian seterusnya, dan
elektrode terakhir (paling belakang) ditanahkan.
Besamya
penurunan
tegangan
L1V
adalah
memenuhi persamaan mL1 V = VHV dengan m
Dwi Priyantoro dkk.
365
adalah jumlah elektroda, atau dapat dinyatakan
sebagai Tabell.
Tabel
1. Besar tegangan yang dipasang pada
elektroda tabung akselerator, VHV
menyatakan tegangan elektode dan m
menyatakan jumlah elektrode.
Ele
i=
ktro
1
i=2
i=3
2)LI V
i=(m-1)
m
i=0
da
VHV - (m-
Teg
VH
VHV -
VHV-
ang
an
v
1L1V
2L1V
Sekolah Tinggi Teknologi Nuklir-BATAN
SEMINAR NASIONAL II
SDM TEKNOLOGI NUKLIR
YOGYAKARTA, 21-22 DESEMBER 2006
ISSN 1978-0176
Karena
elemen
tabung
akselerator
berdimensi
silinder
maka
dipilih
sistem
koordinat
silinder. Dalam sistem koordinat
silinder,
~f.!::.,_iJ>-A
kdHl
(2)
1 8r8 ( r 8r8) + -;.z1 8r/l
82 + 8Z2
82
V 2 = -;.
adalah sudut
dengan r adalah jari-jari tabung,
azimuth, dan z adalah panjang elemen tabung.
Dalam analisis ini diambil dua asumsi yaitu
pertama
distribusi
potensial
elektrostatis
merupakan
fungsi sudut azimuth dan yang
kedua tidak merupakan fungsi sudut azimuth.
Distribusi potensial secara teknis atau secara
pendekatan juga dilakukan.
Dari asumsi pertama, bahwa distribusi
potensial
dalam
elemen
elektroda
tabung
(sudut
merupakan fungsi dari r Gari-jari),
azimuth), dan z (panjang elemen tabung), maka
distribusi potensial dapat dinyatakan sebagai
Persamaan (3).
<I>
Gambar 1. Tabung Akselerator Yang Dilengkapi
Dengan HV
Pada
setiap
penampang
elektroda
bermuatan
(Wangsness,
1979)
terdapat
potensial
elektrostatis,
sehingga
dengan
menyusun sejumlah elektrode semacam ini,
dapat digunakan untuk mempercepat gerakan
partikel bermuatan. ltulah sebabnya akselerator
yang demikian disebut akselerator elektrostatis.
Dalam makalah ini dianalisis secara matematis,
distribusi
potensial
elektrostatis
pada
penampang elemen elekrode tabung akselerator.
<I>
V= V(r, f/J,z)
Dengan menggabungkan Persamaan
(2), dan (3) diperoleh Persamaan (4).
Analisis Distribusi Potensial Elektrostatis
Distribusi potensial elektrostatis (V) yang
timbul dalam elektroda berbentuk tabung, (lihat
Gambar 2) memenuhi
persamaan
Laplace
1995; Jackson,
1999;
(Arfken & Weber,
Sneddon, 1956),
V2V
=0
(3)
-r-8r +---+-=0
r1 8r
8 ( 8V)
r2
1 82V
8r/l
82V
8Z2
Dengan
memisalkan :
pemisahan
(4)
variabel,
V = R(r) <P(¢) Z(z)
(1)
(1),
dan
(5)
memenuhi
Persamaan
(4), maka
dengan
memasukkan Persamaan (5) ke Persamaan (4)
dapat diperoleh Persamaan (6) berikut ini,
dengan V2 adalah tanda Laplacian dan Vadalah
distribusi potensial dalam tabung.
r
dr
dr )
C!>(¢)Z(z)
d (r dR(r)
+ R(r)Z(z)
r2
+ R(r)C!>(¢)
Gambar 2. Dalam sistem koordinat silinder, posisi
setiap titik pada tabung dapat dinyatakan sebagai
per, z). Potensial elektrostatis pada elektrode
bentuk tabung memenubi persamaan Laplace
(Arfken & Weber, 1995; Jackson, 1999; Sneddon,
1956).
d2Z(z)
dz2
(6)
=0
Persamaan (6) dibagi dengan Persamaan
(5) akan diperoleh Persamaan (7).
<1>,
Sekolah Tinggi Teknologi Nuklir -BA TAN
d2C!>
d¢2
366
Dwi Priyantoro
dkk.
SEMINAR NASIONAL II
SDM TEKNOLOGI NUKLIR
YOGYAKARTA,
ISSN 1978-0176
21-22 DESEMBER
1 d2R(r)
-----+--R(r)
+
dr2
1
2006
dR
rR(r) dr
(7)
yang memiliki
berikut.
1
d2<1>(¢)+_I_d2Z(z)=0
r2<1>(¢) d¢2
Z(z) dz2
<1>(¢)=
Persamaan (7) memiliki suku pertama
dan suku kedua mengandung variabel r, suku
ketiga mengandung variabel r dan variabel ¢,
dan suku keempat hanya mengandung variabel
z saja.
Fungsi Z(z) dari Persamaan (7) dapat
diselesaikan (Artken & Weber, 1995; Sneddon,
1956) dengan mengambil suku keempat sebagai
suatu konstanta, misalkan
sehingga suku
keempat dapat ditulis sebagai Persamaan (8).
Il
d2Z(z) -k2Z(z)=0
(8)
dz2
yang merupakan persamaan diferensial
order dua, yang memiliki penyelesaian :
Z(z) = C1 cosh kz + C2 sinh kz
linier
dengan Cj dan C2 maupun aj dan a2 adalah
konstanta sembarang yang nilainya tergantung
pada syarat batas medium. Untuk persamaan
yang mengandung
variabel r dan ¢, dapat
dipisahkan,
dengan
terlebih
dahulu
memasukkan konstanta k! ke Persamaan (7)
dan dengan
menyusun
kembali
sehingga
diperoleh Persamaan (10).
R(r)
dr2
r
+e
n2,
Dwi Priyantoro dkk.
sehingga
n¢
(12a)
atau:
(12b)
dengan C3 dan C4 maupun a3 dan a4 adalah
konstanta sembarang yang ditentukan dengan
syarat batas medium elemen tabung akselerator.
Untuk Persamaan (10) yang mengandung
variabel
r
dapat
diselesaikan
dengan
memasukkan konstanta Il dan _n2, selanjutnya
dengan menata kembali sehingga diperoleh
Persamaan (13):
d2R(r) +.!. dR(r) + (e _ n2)R(r) = 0 (13)
dr
r dr
r2
dengan C5 dan C6 adalah suatu konstanta
sembarang yang nilainya tergantung
syarat
batas, sedangkan In(kr) dan Nn(kr) berturutturut adalah :
In(kr) =
NnCkr)
(10)
r2 =0
yang mana suku pertama dan kedua hanya
merupakan fungsi r, dan suku ketiga hanya
merupakan fungsi ¢ saja. Fungsi tJJ( ¢) dari
Persamaan (10) dapat diselesaikan (Arfken &
Weber,
1995;
Sneddon,
1956)
dengan
mengambil suku ketiga sebagai suatu konstanta,
dimisalkan
Persamaan (11).
cos n¢ + c4 sin
(12)
f
s=O
s! (-1)'
(n+s)! (kr2
(15a)
J+2S
dR
R(r) dr
+_I_d2<1>(¢)
<1>(¢) d¢2
c3
Persamaan
Persamaan (13) merupakan persamaan
diferensial
Bessel
yang
mempunyai
penyelesaian (Arfken & Weber, 1995; Sneddon,
1956) sebagai berikut :
(9a)
atau:
r2 d2R(r)
-----+----
penyelesaian
dapat
diperoleh
= (cosmr)Jn(kr)-J
sinmr
(15b)
Fungsi In(kr) dikenal sebagai fungsi
Bessel jenis pertama dengan orde n dan Nn(kr)
adalah fungsi Bessel jenis kedua dengan orde n.
Dari analisis tersebut maka Persamaan
(3) dapat dinyatakan
berikut.
sebagai
V(r,¢,z) = [c1 coshkz
Persamaan
(16)
+ c2 sinhkz]
x [c3 cosn¢ + c4 sinn¢]
x [CSJn (kr)
367
n(kr)
+ c6Nn (kr)]
Sekolah Tinggi Teknologi Nuklir-BATAN
SEMINAR NASIONAL II
SDM TEKNOLOGI NUKLIR
YOGYAKARTA, 21-22 DESEMBER 2006
ISSN 1978-0176
atau:
V(r,¢,z)
= [al
x [a3
+ a4
ein¢
x [CSJn
(kr)
ekz
dengan n = 0, yang mempunyai penyelesaian
(Arfken & Web err, 1995; Sneddon, 1956)
seperti Persamaan (23).
+aZ e-kz]
e-in¢]
+ c6Nn (kr)]
dengan C7 dan Cs adalah suatu konstanta
sembarang yang nilainya tergantung pada syarat
batas, sedangkan Jo(kr) adalah fungsi Bessel
jenis pertama orde 0 dan No(kr) adalah fungsi
Bessel jenis kedua orde 0, yang berturut-turut
adalah sebagai berikut :
Dari asumsi kedua, bahwa distribusi
potensial
dalam elemen tabung merupakan
fungsi dari r (jari-jari) dan z (panjang elemen
tabung),
maka
distribusi
potensial
dapat
dinyatakan sebagai,
V= V(r,z)
(17)
Dengan menggabungkan Persamaan
(2), dan (17) diperoleh Persamaan (18):
-r-ar
r1 ar
a ( aVJ
Dengan
memisalkan :
v = R(r)
+--=0
azz
(24b)
(18)
azv
pemisahan
(24a)
(1),
Dari analisis di atas maka penyelesaian
dari Persamaan (18) dapat dinyatakan sebagai
Persamaan (25) :
dan
variabel,
Z(z)
(19)
V(r,z) = [cI coshkz + Cz sinhkz]
memenuhi
Persamaan
(18), maka dengan
memasukkan
Persamaan (19) ke Persamaan
(18) dapat diperoleh Persamaan (20) berikut ini,
(20)
yang apabila dibagi dengan Persamaan
akan diperoleh Persamaan (21) :
_1 cf~r)~
dl(r)~
cfZ(z)=0
~r) dl
r H.r) dr Z(z) dl
atau:
V(r,z) = [al
dr + R(r) d2Z(z)
dl =0
Z(z) [ cfdlR(r) +~r d1(r)]
(25a)
x [c7JO (kr) + cgNO (kr)]
x
[c7JO
(kr)
ekz
+ az
e-kz]
+ cgNO (kr)]
(19)
PEMBAHASAN
Distribusi potensial dari elemen elektroda
tabung
akselerator
dapat
ditentukan
dari
Persamaan
(16)
maupun
(25)
dengan
mempertimbangkan
syarat batas yang berlaku.
Dalam pembahasan ini kedua hal terse but akan
ditelaah semua. Penentuan distribusi potensial
secara teknis atau secara pendekatan juga akan
dilakukan.
(21)
Pada Persamaan (21), suku pertama dan
suku kedua hanya mengandung
variabel r,
sedang suku ketiga hanya memuat variabel z
saja.
Suku ketiga Persamaan (21) tetap dapat
dipenuhi apabila suku tersebut merupakan suatu
konstanta,
misal
k! yang
sama
seperti
Persamaan
(8) dengan penyelesaian
seperti
Persamaan (9). Selanjutnya Persamaan (21)
dapat ditulis sebagai Persamaan (22) :
Pembahasan
1. Dari Persamaan
(16)
Fungsi Bessel In(kr), dengan n > 0 dan r
mendekati nol, akan bemilai nol, atau dapat
dituliskan sebagai :
(26)
_1_dzR(r) +_I_dJ(r)
+
R(r) d?
r R(r) dr
Bessel
lC
=0
(22)
yang merupakan persamaan diferensial
yang identik dengan Persamaan (13)
Sekolah Tinggi Teknologi Nuklir-BATAN
Hal ini tidak diizinkan, karena potensial
pada sumbu tabung bemilai tertentu yang tidak
sama dengan nol, atau :
V(r)IHO
368
*
0
(27)
Dwi Priyantoro dkk.
SEMINAR NASIONAL II
SDM TEKNOLOGI NUKLIR
YOGYAKARTA, 21-22 DESEMBER 2006
ISSN 1978-0176
Oleh karena itu maka fungsi In(kr) hanya
berlaku untuk n = 0 di mana pada r-+ 0 fungsi
Jo(kr) bemilai satu, atau dapat ditulis sebagai :
Gambar 4.Fungsi Besseljenis kedua atau fungsi
Neumann, Nn(kr) yang bemilai minus tak berhingga
pada r menuju nol, Nn(kr)lr->o= - ro
(Kreyszig, 1983)
(28)
Gambar 3. menunjukkan fungsi Bessel
In(kr) dengan n = 0 dan 1(Kreyszig, 1983).
Semua fungsi Bessel In(kr) dengan n :t= 0
bemilai no! untuk r=0. Satu-satunya fungsi
Bessel yang berharga tidak no! pada r=O adalah
Jo (kr), yang bernilai satu.
1.4
r
Dari pembahasan di atas, maka distribusi
potensial pada elemen tabung akselerator dapat
dituliskan sebagai berikut :
sinhkz]
V(r,¢,z) =[c} coshkz+c2
atau
V(r,¢,z) = [a}
ekz
+ a2
e-kz]
(30b)
0.6
x[a3
0.2
·0.2
'0.6
Gambar 3. Fungsi Bessel In(kr) dengan orde n=O
dan 1.
Satu-satunya fungsi Bessel yang berharga
tidak no! pada r=O adalah Jo (kr), yang mana
bemilai Jo(kr)lr--;()=l (Kreyszig, 1983)
Dari Persamaan (16), Fungsi Nn(kr) yang
juga disebut fungsi Neumann, mempunyai nilai
minus tak terhingga pada r menuju no!, atau
dapat ditulis sebagai :
(29)
Oleh karena potensial V pada sumbu
tabung bemilai tertentu, maka konstanta C6
harus bemilai no! atau crO. Gambar 4.
(Kreyszig,
1983)
menunjukkan
fungsi
Neumann Nn(kr) yang memperlihatkan bahwa
untuk r mendekati no!, fungsi Neumann bemilai
minus tak terhingga.
1.5
0.5
r
k
o
B
10
-0.5
-1
-1.5
Dwi Priyantoro
(30a)
x [c3 cosn¢ + c4 sin n¢][csJo (kr)]
ein¢ +a4
369
[CS
Jo(kr)]
Persamaan (30) menunjukkan distribusi
potensial pada elemen tabung akselerator, yang
merupakan fungsi dari arah radial r, sudut
azimuth ¢, dan arah aksial z sepanjang sumbu
tabung.
Pembahasan
2. Dari Persamaan (25),
Fungsi Bessel No(kr) akan bemilai minus tak
terhingga pada r menuju no!, atau dapat ditulis:
(31)
sedangkan potensial V pada sumbu tabung
berharga tertentu, maka konstanta C8 haruslah
bemilai nol. Maka penyelesaian dari Persamaan
(25) adalah sebagai berikut :
V(r,z)
= [c) coshkz+c2sinhkz]
[c7 Jo(kr)]
(32a)
atau:
V(r,z)=[a1
ekz +a2
e-kz]
[c7 Jo(kr)]
(32b)
Persamaan (32) menunjukkan distribusi
muatan pada elemen tabung akselerator, yang
merupakan fungsi dari arah radial r dan arah
aksial z sepanjang sumbu tabung.
Mengingat tebal dari satu elemen tabung
akselerator
relatif lebih kecil dari jari-jari
tabung, maka pada Persamaan
(32) dapat
diterapkan syarat batas bahwa pada saat z
mendekati tak berhingga, nilai potensial V(r, z)
pada perpanjangan
sumbu tabung haruslah
sama dengan no!, atau dapat ditulis :
V(O, z)1
dkk.
e-in¢]
z __
=0
(33)
Sekolah Tinggi Tekno!ogi Nuklir-BATAN
SEMINAR NASIONAL II
SDM TEKNOLOGI NUKLIR
YOGYAKARTA, 21-22 DESEMBER 2006
ISSN 1978-0176
a1 dari
yang
mengharuskan
konstanta
Persamaan (32) bernilai nol, sehingga diperoleh
penyelesaian seperti pada Persamaan (34).
V(r,z)
=
C
e-kz Jo(kr)
VCr)
V(r,z)lr=o
=
41f&0
b
(34)
KESIMPULAN
:
Dari pembahasan
1, 2, dan 3, dapat
diperoleh
3 kesimpulan
tentang distribusi
potensial elektrostatis dari elemen elektroda
tabung akselerator, yaitu :
1. Bila
V=V(r¢,z),
maka
distribusi
potensial pada elemen elektroda tabung
akselerator secara umum adalah:
¢, z) = [c, coshkz + Cz sinhkz]
x [c3 cos n¢ + c4 sin n¢][csJo(kr)]
VCr,
atau:
(35a)
V(r,¢,z)=[a,
x [ a3
(35b)
2.
dengan Q adalah muatan cincin, b adalah jarijari cincin, Eo menunjukkan permitivitas, dan
VHV adalah
tegangan yang dipasang pada
elemen
tersebut.
Dengan
menggabungkan
Persamaan
(35) dan persaman
(34) maka
didapat konstanta c seperti pada Persamaan (36)
berikut ini.
+az
e in¢ + a4 e -in¢]
e-kz]
[Cs
J 0 (kr)]
Bila terjadi simetri pada sumbu azimuth
atau V=V(r,z), maka distribusi potensial
pada
elemen
elektroda
tabung
akselerator adalah:
V(r,z)
3.
Dengan memasukkan Persamaan (36) ke
Persamaan (34) maka distribusi potensial pada
elemen elektroda tabung akselerator menjadi
seperti Persamaan (37).
(37)
= [a,
ekz
+az
e-kz]
[c7 Jo(kr)]
[c7 Jo(kr)]
Secara pendekatan, distribusi potensial
pada
elemen
elektroda
tabung
akselerator
adalah sebesar tegangan
tinggi yang dipasang pada elemen
tersebut, atau :
VCr) = VHV
Untuk keperluan teknis, dapat diterapkan
syarat batas bahwa potensial pada dinding
elektroda adalah sebesar tegangan tinggi yang
dipasang pada elektroda tersebut, atau dapat
ditulis :
SARAN
Untuk mendapatkan konstanta-konstanta
sembarang pada kesimpulan (1) dan (2) perlu
dilakukan percobaan langsung.
(38)
sehingga didapatkan konstanta k bernilai
dan diperoleh Persamaan (39) berikut.
ekz
V(r,z) =[c, coshkz+czsinhkz]
atau:
(36)
Sekolah Tinggi Teknologi Nuklir-BATAN
(39)
Jadi secara teknis, distribusi potensial
pada penampang
elemen elektroda
tabung
akselerator, adalah bernilai konstan sebesar
tegangan tinggi yang dipasang pada elektroda
tersebut.
dengan
c=a2xC7,
adalah
suatu
konstanta
sembarang. Persamaan (34) mendiskripsikan
distribusi
potensial
elektrostatis
pada satu
elemen dari tabung akselerator.
Pembahasan
3. Tabung
akselerator
elektrostatis
yang tersusun
atas beberapa
lempengan
elektroda
lingkar yang sejajar
dengan pusat segaris dan dengan radius yang
sarna, merupakan
gabungan
dari potensial
elektrostatis
masing-masing
elektroda
penyusunnya. Potensial elektrostatis dalam satu
elemen, (Priyantoro, D., 2004) dapat didekati
oleh konduktor bentuk cincin, dengan potensial
seperti pada Persamaan (35) berikut ini.
1 Q
= VHV
DAFTAR PUST AKA
nol
4.
370
ARFKEN, G. B. and WEBER, H. J., 1995,
"Mathematical Methods For Physicists",
Dwi Priyantoro dkk.
SEMINAR NASIONAL II
SDM TEKNOLOGI NUKLIR
YOGYAKARTA, 21-22 DESEMBER 2006
ISSN 1978-0176
Fourth edition,
California, USA.
Academic
Press,
Inc.
5.
HAYT W. H. Jr., 1993, "Elektromagnetika
Teknologi", (alih bahasa oleh The Houw
Liong, Ph.D.), Edisi keempat, Jilid 1,
Penerbit Erlangga Jakarta.
6.
HAYT W. H. Jr., 1989, "Elektromagnetika
Teknologi", (alih bahasa oleh The Houw
Liong, Ph.D.), Edisi keempat, Jilid 2,
Penerbit Erlangga Jakarta.
7.
JACKSON,
J.
D.,
1999,
"Classical
Electrodynamics", Third edition, John
Wiley and Sons, Inc.
8.
KREYSZIG, E., 1983, "Advanced Engineering
Mathematics", Fifth edition, John Wiley
and Sons, Inc.
9.
PRIYANTORO,
D.,
2004,
"Penentuan
Tegangan Optimal Akselerator Ion",
Thesis,
Sekolah PascasaIjana
UGM,
Yogyakarta.
10. SNEDDON, I. N., 1956, "Specials Functions of
Mathematical Physics and Chemistry",
First edition, Oliver and Boyd, Edinburgh.
11. WANGSNESS, R. K., 1979, "Electromagnetic
Fields", John Wiley & Sons, Inc.
TANYAJAWAB
Pertanyaan :
I. Bagairnana/apa akibatnya jika distribusi
potensialnya tidak sarna? (Sri Mulyono)
2. Aplikasi dari hasil penelitian ini ?
(Wijiyono)
Jawaban :
1. Tinjauan hanya dari segi analsis saja.
2. Secara teoritis ada percepatan juga rnedan
listrik sehingga penelitian ini untuk
rnenentukan V. dirnana
a. E = -v V (r, <1>, z)
Saran:
Perlu diaplikasikan ke penelitian.
Daftar Isi
Dwi Priyantoro dkk.
371
Sekolah Tinggi Teknologi Nuklir-BATAN