BAB II AKAR PERSAMAAN NONLINIER

BAB II
AKAR PERSAMAAN NONLINIER
2.1 Metode Satu Titik Tetap
Pada matematika rekayasa sering kali kita harus menentukan akar-akar persamaan
sebuah fungsi yang berbentuk f(x) = 0,jika dilakukan pendekatan nilai x = s maka f(s) = 0
dengan f adalah fungsi yang diberikan dan s adalah nilai pendekatan. Formula yang
memberikan nilai-nilai eksak untuk menjawab masalah numerik akan terjadi jika
permasalahan yang ada adalah masalah sederhana.
Pada beberapa kondisi maka diperlukan metode iterasi agar didapatkan hasil
pendekatan yang mendekati nilai eksak.
Jadi untuk menentukan nilai x tersebut diatas dilakukan tahap demi tahap mulai
dari x0,x1,x2,x3,x4……..dst,sehingga :
x1 = g(x0), kemudian x2 = g(x1) kemudian x3 = g(x2) dst
Sampai didapatkan harga :
xn+1 = g(xn)
Dan iterasi dikatakan konvergen jika :
xn+1=xn
Contoh Soal :
f(x) = x2-3x+1 = 0, jika diketahui nilai eksak :
x = 1,5 ± √1,25
x1 = 2,618034, x2=0,381966
x = g1(x) = ⅓(x2+1)
maka :
xn+1 = ⅓(xn2+1),dicoba x0 = 1, maka :
x0 = 1, x1 = 0,67, x3 = 0,481, x4 = 0,390,……
atau
x = g2 = 3 – 1/x
xn+1 = 3 – 1/n
x0 = 1, x2 = 2 , x3 = 2,6, x4 = 2,615
2.2 Metode Newton Tergeneralisasi
Cara lain yang umum digunakan untuk memecahkan akar-akar persamaan Non
Linier adalah dengan menggunakan Metode Newton Tergeneralisasi (Generalized
newton’s Method)
Dalam metode ini prosedur menentukan akar-akar persamaan nonlinier dimulai
dengan menentukan fungsi dalam bentuk f(x) = 0. Jika y = f(y) seperti terlihat pada
gambar berikut, maka persamaannya adalah sama dengan perpotongan fungsi tersebut
dengan sumbu x
y
f(x
)
x
x
y(1
(2))
y(0
)
x
x
(1)
x
(0)
Jika f(x(0)) = 0, maka permasalahan selesai. Namun jika f(x(0)) ≠ 0,maka dicoba
pendekatan baru x(1) dan seterusnya sampai didapatkan harga x yang merupakan akar
persamaan tersebut.
Secara grafis, tentukan y(0) = f(x(0)) pada titik (x(0),y(0)) dan tarik garis singgung
yang melalui titik tersebut. l(1) yaitu sama dengan f’(x(0)) dan persamaan l(1) adalah :
y – f(x(0)) = (x – x(0)) f’(x(0))
Jika x(1) adalah titik dimana l(1) berpotongan dengan sumbu.x, maka (x(1),0) memenuhi
persamaan tsb, sehingga
- f(x(0)) = (x(1) - x(0)) f’(x(0))
Atau
f ( x (0) )
x (1) = x ( 0) −
f ' ( x (0) )
(0)
dengan f’(x ) ≠ 0
Jika f(x(1)) = 0, maka permasalahan selesai, tetapi jika f(x(1)) ≠ 0, maka harus dicoba titik
lain misal x(2) dan l2 dapat ditentukan dst,sehingga
f ( x (1) )
x =x −
f ' ( x (1) )
dengan f’(x(1)) ≠ 0
( 2)
(1)
Dengan cara yang sama jika masih belum diketemukan akar persamaan harus dicoba lagi
dengan titik-titik yang baru sehingga dapat dituliskan persamaan umum sebagai berikut :
f (x n )
f ' (x n )
dengan f’(x(n)) ≠ 0
x ( n +1) = x n −
Prosedur iterasi seperti telah dijelaskan tsb disebut Metode Newton dan Formula Rekursi
tersebut disebut Formula Newton
Contoh Soal :
Tentukan besarnya akar positif dari persamaan berikut :
x3 + √3(x2) - 2x = 2√3
Jawaban :
Dengan menggunakan Formula Newton :
f ( x (n) )
x ( n +1) = x n −
f ' ( x (n) )
f(x) = x3 + √3(x2) – 2x - 2√3 = 0
maka f’(x)= 3x2 + 2√3(x) - 2
coba x(0) = 1,7
f(x0) = 3,0545
diperoleh
x (1) = x 0 −
f ( x (0) )
3,0545
= 1,7 −
= 1,46
(0)
12,559
f ' (x )
f’(x0) = 12,559
coba x(1) = 1,46
1
f(x ) = 0,42
( 2)
f ( x (1) )
0,42
=x −
= 1,43 −
= 1,4
(1)
9,452
f ' (x )
1
diperoleh
x
diperoleh
x ( 3) = x 2 −
f’(x1) = 9,452
coba x(2) = 1,4
f(x2) = -0,125
f ( x ( 2) )
(−0,125)
= 1,4 −
= 1,4
( 2)
8,73
f ' (x )
f’(x2) = 8,73
karena x(2) = x(3) maka proses iterasi sudah selesai.
Jika formula Newton tersebut dimodifikasikan menjadi
f ( x (n) )
x ( n +1) = x n − ω
f ' ( x (n) )
(n)
dengan f’(x ) ≠ 0 dan ω = faktor bebas,maka persamaan seperti pada contoh di atas
dapat dipersingkat dalam melakukan iterasinya.
Jika ω = 1,3 maka :
3,0545
= 1,4
12,559
− 0,125
x ( 2) = 1,4 − 1,3
= 1,4
8,73
x(1) = x(2) , maka prosedur iterasi telah selesai. Jika dianggap bahwa akar persamaannya
adalah x = 1,4, maka jika disubtitusikan ke dalam persamaan semula :
f(x) = x3 + √3(x2) – 2x - 2√3 = 0
f(1,4) = (1,4)3 + √3(1,4)2 – 2(1,4) - 2√3
f(1,4) = - 0,125 ~ 0
(Catatan : tingkat ketelitian adalah satu angka di belakang koma)
Demikian juga jika akan menyelesaikan dua buah persamaan dengan dua variabel
yang tidak diketahui :
f1 (x1,x2) = 0
f2 (x1,x2) = 0
x (1) = 1,7 − 1,3
Maka dengan cara yang sama Metode Newton dapat ditulis sebagai berikut
(n)
(n)
f 1 ( x1 , x 2
( n +1)
(n)
x1
= x1 − ω
(n)
(n)
∂f 1 ( x1 , x 2
∂x1
x2
( n +1)
= x2
(n)
−ω
f 2 ( x1
( n +1)
( n +1)
, x2
(n)
∂f 2 ( x1
, x2
∂x 2
(n)
Contoh Soal :
2x1 – x2 = -3
x1 – 2x2 = -3
Solusi eksak : x1 = -1
x2 = 1
Maka persamaan diatas dapat ditulis sebagai :
f1(x1, x2) = 2x1 – x2 + 3
f2(x1, x2) = x1 – 2x2 + 3
∂f 1 ( x1 , x 2 )
=2
∂x1
∂f 2 ( x1 , x 2 )
= −2
∂x 2
(n)
2 x1
(n)
(n)
− x2 + 3
x1
= x1 − ω
2
( n +1)
(n)
x1
− 2x2 + 3
( n +1)
(n)
x2
= x2 − ω
−2
( n +1)
Untuk mencoba awal digunakan x1(0) = x2(0) = 0 dan ω = 1,maka diperoleh :
x1(1) = -(3/2), x2(1) = (3/4)
x1(2) = -(9/8), x2(2) = (15/16)
x1(3) = -(33/32), x2(3) = (63/64), dst
Sehingga sampai didapat x1(n+1) = x1(n) = -1
x2(n+1) = x2(n) = 1 à koonvergen
Tugas :
1. Tentukan harga x1,x2 pada persamaan simultan berikut
-ex1 – x1 + 3x2 + 3 = 0
ex2 + x2 – 2x1 + 1 = 0
dengan catatan : gunakan masing-masing harga : ω = 1, ω = 1,2 , ω = 1,3
2. Tentukan harga x1,x2,x3 pada persamaan simultan berikut :
x1 + x2 + x3 = -ex1
x1 + x2 + x3 = -ex2
x1 + x2 + x3 = -ex3
dengan catatan : - Gunakan harga ω = 1
- Coba buat program sederhana untuk proses iterasi problem di atas.