analisis dinamik model rantai makanan lima unsur

ANALISIS DINAMIK
MODEL RANTAI MAKANAN LIMA UNSUR
EKOSISTEM LAUT
Muhammad Rif’an Hidayatulloh, Wuryansari Muharini Kusumawinahyu.
Jurusan Matematika, F.MIPA, Universitas Brawijaya
Email: [email protected]
Abstrak. Artikel ini membahas model rantai makanan suatu ekosistem mikrobiologi di lautan, di mana terjadi proses
makan-memakan antara spesies-spesies di dalamnya. Terdapat empat laju pertumbuhan populasi yang dikaji, yakni populasi
bakteri, fitoplankton, zooplankton, dan protozoa, serta dipandang pula perubahan kepadatan unsur nutrisi. Kondisi tersebut
menghasilkan suatu sistem persamaan diferensial lima dimensi. Untuk memudahkan analisis, dilakukan penskalaan terhadap
model awal. Selanjutnya ditentukan titik kesetimbangan, syarat eksistensi titik kesetimbangan, dan kestabilan lokal titik
kesetimbangan. Diperoleh delapan titik kesetimbangan, dua di antaranya memerlukan syarat eksistensi. Di antara delapan
titik kesetimbangan tersebut, lima titik kesetimbangan stabil dengan syarat tertentu. Pada bagian akhir dilakukan simulasi
numerik untuk mengilustrasikan dan menguji hasil analisis yang telah diperoleh.
Kata Kunci: rantai makanan ekosistem laut, titik kesetimbangan, kestabilan lokal, simulasi numerik .
1. PENDAHULUAN
Model predator-prey merupakan model matematika yang menggambarkan interaksi antara
spesies predator dan prey. Stone (1990) telah mengkaji model matematika rantai makanan
mikroorganisme lautan yang berjudul “Phytoplankton–Bacteria-Protozoa Interaction : a Qualitative
Model Portraying Indirect Effect”. Dalam kajiannya, Stone (1990) membahas interaksi beberapa
komponen laut. Komponen laut yang dibahas berupa mikroba, contohnya bakteri, fitoplankton,
zooplankton, protozoa dan nutrien.
Hadley dan Forbest (2009) tertarik untuk menguji model yang telah dikaji Stone (1990) dalam
dua hal. Pertama, Hadley dan Forbest (2009) menguji model tersebut menggunakan sistem dinamik.
Selanjutnya, Hadley dan Forbest (2009) menambahkan fungsi respon Holling tipe II pada laju
pertumbuhan nutrien. Namun, pada pembahasan Hadley dan Forbes (2009) terjadi kesalahan
perhitungan salah satu kestabilan titik kesetimbangannya, sehingga pada artikel ini digunakan fungsi
respon Holling tipe I agar analisa tidak terlalu rumit.
2. MODEL MATEMATIKA
P
Z
𝑒𝑧
𝑒𝑝
𝑑𝑝
𝑒𝑖
B
F
𝑑𝑧
𝑟𝑓
𝑟𝑏
N
Gambar 1 Interaksi antar plankton.
Pada Gambar 1 diperlihatkan model interaksi 5 populasi, dengan
dan berturut-turut
merupakan populasi bakteri, fitoplankton, zooplankton, protozoa, dan nutrien. Digunakan fungsi
respon Holling tipe I untuk menyatakan laju pertumbuhan populasi bakteri ( ) dan fitoplankton ( ).
Hadley dan Forbest mengasumsikan bahwa pada awalnya konsentrasi nutrien konstan yaitu
sehingga
(
)
(
)
dan
Sistem persamaan laju pertumbuhan populasi bakteri, fitoplankton, zooplankton, protozoa, dan
nutrien dapat ditulis sebagai berikut.
(
)
(
)
(1)
(
{
(
)
(
)
)
dengan
laju mula-mula pertumbuhan bakteri,
laju mula-mula pertumbuhan fitoplankton,
koefisien pemangsaan zooplankton terhadap fitoplankton,
koefisien pemangsaan protozoa
terhadap fitoplankton,
koefisien pemangsaan bakteri terhadap fitoplankton,
laju kematian
zooplankton,
laju kematian protozoa,
massa nutrien, dan
konsentrasi awal nutrien.
Dilakukan penskalaan parameter sistem (1) menggunakan persamaan
dan
Dengan menggunakan aturan rantai diperoleh
(2)
{
(
dengan
)
dan
3. ANALISIS DINAMIK MODEL
Titik kesetimbangan sistem (2) diperoleh ketika
(3)
Nilai eigen persamaan (3) diperoleh dengan menyelesaikan persamaan |
[
(⃑ )
(⃑ )
(⃑ )
(⃑ )
|
dengan
Titik kesetimbangan dikatakan stabil jika semua bagian riil nilai eigen bernilai
]
negatif.
Berdasarkan persamaan (3) diperoleh delapan titik kesetimbangan dengan sifat kestabilan
(
) yang menunjukkan bahwa keempat populasi
masing-masing. Titik kesetimbangan
punah, bersifat tidak stabil sebab dua nilai eigen ( ) bernilai positif. Titik kesetimbangan
(
) yang menunjukkan bahwa populasi fitoplankton dan zooplankton punah, bersifat
stabil jika
Titik kesetimbangan
(
) yang menunjukkan bahwa populasi bakteri
dan protozoa punah, bersifat tidak stabil sebab salah satu nilai eigen ( ) bernilai positif
Titik kesetimbangan
(
) menunjukkan kondisi dimana semua populasi
tidak habis. Titik
eksis jika dan hanya jika
dan
tidak stabil. Persamaan karakteristik
matriks ( ) berbentuk
dengan
Hurwitz, titik kesetimbangan
dan
stabil jika
Dengan menggunakan kriteria Routhdan
357
(
) yang menunjukkan bahwa semua populasi punah kecuali
Titik kesetimbangan
) yang menunjukkan
populasi bakteri, bersifat stabil jika
Titik kesetimbangan (
bahwa semua populasi punah kecuali populasi fitoplankton, bersifat tidak stabil karena salah satu nilai
eigen titik kesetimbangan bernilai positif.
) menunjukkan bahwa hanya populasi zooplankton
Titik kesetimbangan (
yang punah dan bernilai sembarang. Persamaan karakteristik matriks Jacobi di titik adalah
dengan
dan
Routh-Hurwitz, titik kesetimbangan
Dengan menggunakan kriteria
stabil jika
Seperti titik kesetimbangan
dan
(
pada titik kesetimbangan
lasi zooplankton yang punah, namun di sini
( ) berbentuk
) hanya popu-
bernilai sembarang. Persamaan karakteristik matriks
dengan
dan
kan kriteria Routh-Hurwitz, titik kesetimbangan
Dengan mengguna
dan
stabil jika
4. SIMULASI NUMERIK
Untuk mengilustrasikan hasil analisis pada bab sebelumnya, maka dilakukan simulasi numerik
dengan menggunakan nilai awal dan nilai parameter yang diberikan pada Tabel 1. Hasil simulasi
ditunjukkan pada Gambar 2 dan Gambar 3.
Tabel 1. Nilai awal dan nilai parameter yang digunakan untuk simulasi persamaan (2).
Nilai Awal
P a r a m e t e r
Simulasi Gambar
Titik
Titik
2
3
0.2
0.1
0.122
0.08
0.3
1
1
2
5.57
0.895
5
0.34
0.34
0.4
0.4
1.3
1.3
1.5
1.5
1
1
6
E4
E4
4
5
Populasi
3
2
4
Populasi
b
f
z
p
n
E2
1
b
f
z
p
n
2
E2
1
0
-1
0
3
20
40
60
80
100
0
0
20
40
60
80
100
t-waktu
t-waktu
Gambar 2. Potret fase model (2) untuk nilai
Gambar 3. Potret fase model (2) untuk nilai
Gambar 2 menunjukkan bahwa jika
maka titik kesetimbangan
Gambar 3 menunjukkan bahwa titik kesetimbangan
stabil, jika
stabil, sedangkan pada
358
5. KESIMPULAN
Berdasarkan pembahasan dalam artikel ini diperoleh kesimpulan sebagai berikut.
1. Model rantai makanan lima unsur ekosisten laut berupa sistem otonomus nonlinier dengan lima
persamaan dan sembilan parameter. Setelah dilakukan penskalaan diperoleh lima persamaan
dengan enam parameter dimana semua parameter bernilai positif.
2. Di antara delapan titik kesetimbanganyang dibahas hanya tiga yang tidak stabil yakni , , dan
. Titik kesetimbangan
stabil jika dan hanya jika syarat eksistensi titik kesetimbangan
tidak
terpenuhi. Titik kesetimbangan
,
, dan
stabil apabila berturut-turut memenuhi kondisi
tertentu.
3. Beberapa simulasi numerik yang telah dilakukan menunjukkan hasil yang sesuai dengan hasil
analisis.
6. UCAPAN TERIMA KASIH
Penulis berterima kasih kepada Wuryansari Muharini K., Trisilowati, dan Ratno Bagus Edy W.
atas segala bimbingan, saran, dan kesabaran yang telah diberikan selama penulisan artikel ini. Penulis
juga berterima kasih kepada Abdul Latief dan Chusnul Chotimah atas doa dan motivasi yang telah
diberikan.
DAFTAR PUSTAKA
Hadley, S. dan Forbes, L. K., (2009), Dynamical System Analysis of a Five Dimensional Trophic
Food Web in the Southern Oceans, Journal of Applied Mathematics, 2009, hal. 37-54.
Stone, L., (1990), Phytoplankton-Bacteria-Protozoa Interactions: a Qualitative Model Portraying
Indirect Effect, Marine Ecology Progress Series, 64 (90), hal. 137-145.
359